福州市华伦中学数学圆 几何综合（篇）（Word 版 含解析）
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．已知圆O 的半径长为2，点A 、B 、C 为圆O 上三点，弦BC=AO ，点D 为BC 的中点，
(1)如图，连接AC 、OD ，设∠OAC=α，请用α表示∠AOD ； (2)如图，当点B 为AC 的中点时，求点A 、D 之间的距离：
(3)如果AD 的延长线与圆O 交于点E ，以O 为圆心，AD 为半径的圆与以BC 为直径的圆相切，求弦AE 的长．
【答案】（1）1502AOD α∠=?-；（2）7AD =3）
331331
22
or
【解析】 【分析】
（1）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于30°，OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值. （2）连接OB 、OC ，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于30°，因为点D 为BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于90°，根据OA=OB=2,在直角三角形中用三角函数及勾股定理即可求得OD 、AD 的长.
（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关系，求出AD 的长，再过O 点作AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解. 【详解】
(1)如图1：连接OB 、OC. ∵BC=AO ∴OB=OC=BC
∴△OBC 是等边三角形 ∴∠BOC=60° ∵点D 是BC 的中点 ∴∠BOD=1
302
BOC ∠=? ∵OA=OC
∴OAC OCA ∠=∠=α ∴∠AOD=180°-α-α-30?=150°-2α
(2)如图2：连接OB、OC、OD.
由（1）可得：△OBC是等边三角形，∠BOD=1
30 2
BOC
∠=?
∵OB=2，
∴OD=OB?cos30?=3
∵B为AC的中点，
∴∠AOB=∠BOC=60°
∴∠AOD=90°
根据勾股定理得：AD=227
AO OD
+=
（3）①如图3.圆O与圆D相内切时：
连接OB、OC，过O点作OF⊥AE
∵BC是直径，D是BC的中点
∴以BC为直径的圆的圆心为D点
由（2）可得：3D的半径为1∴31
设AF=x
在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，
2222OA AF OD DF -=-
即(
)
2
2
2
2331x x -=-+-
解得：331
x 4+=
∴AE=331
2AF +=
②如图4.圆O 与圆D 相外切时： 连接OB 、OC ，过O 点作OF ⊥AE ∵BC 是直径，D 是BC 的中点 ∴以BC 为直径的圆的圆心为D 点 由（2）可得：3D 的半径为1 ∴31 在Rt △AFO 和Rt △DOF 中，
2222OA AF OD DF -=-
即()
2
222331x x -=- 解得：331
x 4-=
∴AE=331
2AF -=
【点睛】
本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.
2．如图所示，CD为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接BC、BD，过点B的切线AE与CD 的延长线交于点A，OE//BD，交BC于点F，交AB于点E.
（1）求证：∠E=∠C；
（2）若⊙O的半径为3，AD=2，试求AE的长；
（3）在（2）的条件下，求△ABC的面积.
【答案】（1）证明见解析；（2）10；（3）48 5
.
【解析】
试题分析：（1）连接OB，利用已知条件和切线的性质证明：OE∥BD，即可证明：∠E=∠C；
（2）根据题意求出AB的长，然后根据平行线分线段定理，可求解；
（3）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.
试题解析：（1）如解图，连接OB，
∵CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠CBO＋∠OBD＝90°，
∵AB是⊙O的切线，
∴∠ABO＝∠ABD＋∠OBD＝90°，
∴∠ABD＝∠CBO.
∵OB、OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC，∴∠C＝∠CBO.
∵OE∥BD，∴∠E＝∠ABD，
∴∠E＝∠C；
（2）∵⊙O的半径为3，AD＝2，
∴AO＝5，∴AB＝4.
∵BD∥OE，
∴＝，
∴＝，
∴BE＝6，AE=6+4=10
（3）S △AOE==15，然后根据相似三角形面积比等于相似比的平方可得
S△ABC= S△AOE==
3．在直角坐标系中，⊙C过原点O，交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．（1）求圆心C的坐标．
（2）抛物线y=ax2+bx+c过O，A两点，且顶点在正比例函数y=-的图象上，求抛物线的解析式．
（3）过圆心C作平行于x轴的直线DE，交⊙C于D，E两点，试判断D，E两点是否在（2）中的抛物线上．
（4）若（2）中的抛物线上存在点P（x0，y0），满足∠APB为钝角，求x0的取值范围．
【答案】（1）圆心C的坐标为（1，）；
（2）抛物线的解析式为y=x2﹣x；
（3）点D、E均在抛物线上；
（4）﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．
【解析】
试题分析：（1）如图线段AB是圆C的直径，因为点A、B的坐标已知，根据平行线的性质即可求得点C的坐标；
（2）因为抛物线过点A、O，所以可求得对称轴，即可求得与直线y=﹣x的交点，即是二次函数的顶点坐标，利用顶点式或者一般式，采用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（3）因为DE∥x轴，且过点C，所以可得D、E的纵坐标为，求得直径AB的长，可得D、E的横坐标，代入解析式即可判断；
（4）因为AB为直径，所以当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，所以﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．
试题分析：（1）∵⊙C经过原点O
∴AB为⊙C的直径
∴C为AB的中点
过点C作CH垂直x轴于点H，则有CH=OB=，OH=OA=1
∴圆心C的坐标为（1，）．
（2）∵抛物线过O、A两点，
∴抛物线的对称轴为x=1，
∵抛物线的顶点在直线y=﹣x上，
∴顶点坐标为（1，﹣）．
把这三点的坐标代入抛物线y=ax2+bx+c，得，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣x．
（3）∵OA=2，OB=2，
∴AB==4，即⊙C的半径r=2，
∴D（3，），E（﹣1，），
代入y=x2﹣x检验，知点D、E均在抛物线上．
（4）∵AB为直径，
∴当抛物线上的点P在⊙C的内部时，满足∠APB为钝角，
∴﹣1＜x0＜0，或2＜x0＜3．
考点：二次函数综合题．
4．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，且∠MAC＝∠ABC．
（1）求证：MN是⊙O的切线．
（2）设D是弧AC的中点，连结BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．
①求证：FD＝FG．
②若BC＝3，AB＝5，试求AE的长．
【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②AE＝1
【解析】
【分析】
（1）由AB为直径知∠ACB＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°．由∠MAC＝∠ABC可证得
∠MAC+∠CAB＝90°，则结论得证；
（2）①证明∠BDE＝∠DGF即可．∠BDE＝90°﹣∠ABD；∠DGF＝∠CGB＝90°﹣∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD＝∠CBD．则问题得证；
②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，可得AE＝CH．根据AB＝BH可求出答案．
【详解】
（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠ABC＝90°；
∵∠MAC＝∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB＝90°，即MA⊥AB，
∴MN是⊙O的切线；
（2）①证明：∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABD，
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB＝90°，
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠ABD＝90°，
∵∠DBC＝∠ABD，
∴∠FDG＝∠CGB＝∠FGD，
∴FD＝FG；
②解：连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．
∵∠DBC ＝∠ABD ，DH ⊥BC ，DE ⊥AB ， ∴DE ＝DH ，
在Rt △BDE 与Rt △BDH 中，
DH DE
BD BD =??
=?
， ∴Rt △BDE ≌Rt △BDH （HL ）， ∴BE ＝BH ， ∵D 是弧AC 的中点， ∴AD ＝DC ，
在Rt △ADE 与Rt △CDH 中，
DE DH
AD CD =??
=?
， ∴Rt △ADE ≌Rt △CDH （HL ）． ∴AE ＝CH ．
∴BE ＝AB ﹣AE ＝BC+CH ＝BH ，即5﹣AE ＝3+AE ， ∴AE ＝1． 【点睛】
本题是圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，正确作出辅助线来构造全等三角形是解题的关键．
5．四边形ABCD 内接于⊙O ，连接AC 、BD ，2∠BDC +∠ADB ＝180°．
（1）如图1，求证：AC ＝BC ；
（2）如图2，E 为⊙O 上一点，AE ＝BE ，F 为AC 上一点，DE 与BF 相交于点T ，连接
AT，若∠BFC＝∠BDC+1
2
∠ABD，求证：AT平分∠DAB；
（3）在（2）的条件下，DT＝TE，AD＝8，BD＝12，求DE的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）82
【解析】
【分析】
（1）只要证明∠CAB=∠CBA即可．
（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．想办法证明TL=TH即可解决问题．
（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．证明△EAG≌△TDH（AAS），推出AG=DH，证明
Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），推出DH=DR，同理可得AL=AH，BR=BL，设DH=x，则AB=2x，
由S△ADB=1
2
?BD?AQ=
1
2
?AD?h+
1
2
?AB?h+
1
2
?DB?h，可得AQ=
5
2
h，再根据
sin∠BDE=sin∠ADE，sin∠AED=sin∠ABD，构建方程组求出m即可解决问题．【详解】
解：（1）如图1中，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，
即∠ADB+∠BDC+∠ABC＝180°，
∵2∠BDC+∠ADB＝180°，
∴∠ABC＝∠BDC，
∵∠BAC＝∠BDC，
∴∠BAC＝∠ABC，
∴AC＝BC．
（2）如图2中，作TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．
∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BAC＝∠BDC，∴∠BFC＝∠BDC+∠ABF，
∵∠BFC＝∠BDC+1
2
∠ABD，
∴∠ABF＝1
2
∠ABD，
∴BT平分∠ABD，
∵AE＝BE
∴∠ADE＝∠BDE，
∴DT平分∠ADB，
∵TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L．
∴TR＝TL，TR＝TH，
∴TL＝TH，
∴AT平分∠DAB．
（3）如图3中，连接EA，EB，作EG⊥AB，TH⊥AD于H，TR⊥BD于R，TL⊥AB于L，AQ⊥BD于Q．
∵AE＝BE
∴∠EAB＝∠EDB＝∠EDA，AE＝BE，
∵∠TAE＝∠EAB+∠TAB，∠ATE＝∠EDA+∠DAT，
∴∠TAE＝∠ATE，
∴AE＝TE，
∵DT＝TE，
∴AE＝DT，
∵∠AGE＝∠DHT＝90°，
∴△EAG≌△TDH（AAS），
∴AG＝DH，
∵AE＝EB，EG⊥AB，
∴AG＝BG，
∴2DH＝AB，
∵Rt△TDR≌Rt△TDH（HL），
∴DH＝DR，同理可得AL=AH，BR＝BL，
设DH＝x，则AB＝2x，
∵AD＝8，DB＝12，
∴AL＝AH＝8﹣x，BR＝12﹣x，AB＝2x＝8﹣x+12﹣x，∴x＝5，
∴DH＝5，AB＝10，
设TR＝TL＝TH＝h，DT＝m，
∵S△ADB=1
2
?BD?AQ=
1
2
?AD?h+
1
2
?AB?h+
1
2
?DB?h，
∴12AQ＝（8+12+10）h，
∴AQ＝5
2 h，
∵sin∠BDE＝sin∠ADE，可得h
m
＝
AP
AD
＝
AP
8
，
sin∠AED＝sin∠ABD，可得AP
m
＝
AQ
AB
＝
AQ
10
＝
5
2
10
h
，
∴AP
m
＝
5
28
10
mAP
，
解得m＝
或﹣
（舍弃），
∴DE＝2m＝
．
【点睛】
本题属于圆综合题，考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，锐角三角函数，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理和判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题．
6．如图，点A在直线l上，点Q沿着直线l以3厘米/秒的速度由点A向右运动，以AQ为
边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，tan∠ABQ= 3
4
，点C在点Q右侧，CQ=1厘米，过点C作直
线m⊥l，过△ABQ的外接圆圆心O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上
取点F，使DF=1
3
CD，以DE、DF为邻边作矩形DEGF．设运动时间为t秒．
（1）直接用含t 的代数式表示BQ 、DF ； （2）当0＜t ＜1时，求矩形DEGF 的最大面积；
（3）点Q 在整个运动过程中，当矩形DEGF 为正方形时，求t 的值． 【答案】（1）BQ=5t ，DF=23t;（2）16;（3）t 的值为3
5
或3． 【解析】
试题分析：（1）AB 与OD 交于点H ，根据题中的比例关系和勾股定理可表示出BQ 的长；根据垂直于同一条直线的两直线平行和三角形的中位线定理可求得AH 的长，再根据矩形的判定定理和矩形的性质可求CD 的长，即可表示出FD ；
（2）根据题意表示出矩形的长和宽，然后构造二次函数，通过二次函数的最值可求解； （3）当矩形为正方形时，分别让其长与宽相等，列方程求解即可. 试题解析：（1）5t BQ =，2
DF=
t 3
； （2）DE=OD-OE=32t+1-52t=1-t ，()2
2211
·t 13326
S DF DE t t ??==-=--+ ???，∴当t=
12时，矩形DEGF 的最大面积为
1
6
； （3）当矩形DEGF 为正方形时，221133t t t t -=
-=或,解得3
35
t t ==或.
7．已知：ABC 内接于
O ，过点B 作O 的切线，交CA 的延长线于点D ，连接
OB ．
（1）如图1，求证：DAB DBC ∠=∠；
（2）如图2，过点D 作DM AB ⊥于点M ，连接AO ，交BC 于点N ，
BM AM AD =+，求证：BN CN =；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E 为
O 上一点，过点E 的切线交DB 的延长线于点
P ，连接CE ，交AO 的延长线于点Q ，连接PQ ，PQ OQ ⊥，点F 为AN 上一点，连
接CF ，若90DCF CDB ∠+∠=?，tan 2ECF ∠=，1
2
ON OQ =，610PQ OQ +=，求CF 的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10=CF 【解析】 【分析】 （1）延长BO 交
O 于G ，连接CG ，根据切线的性质可得可证∠DBC ＋∠CBG=90°，然后
根据直径所对的圆周角是直角可证∠CBG ＋∠G=90°，再根据圆的内接四边形的性质可得∠DAB=∠G ，从而证出结论；
（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH ，根据垂直平分线性质可得DH=AD ，再根据等边对等角可得∠DHA=∠DAH ，然后根据等边对等角和三角形外角的性质证出∠ABC=∠C ，可得AB=AC ，再根据垂直平分线的判定可得AO 垂直平分BC ，从而证出结论；
（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，证出tan ∠BGE=tan ∠ECF=2，然后利用AAS 证出△CFN ≌△BON ，可设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ，根据锐角三角函数和相似三角形即可证出四边形OBPE 为正方形，利用r 和a 表示出各线段，最后根据
610PQ OQ +=，即可分别求出a 和CF ．
【详解】
解：（1）延长BO 交
O 于G ，连接CG
∵BD 是
O 的切线
∴∠OBD=90° ∴∠DBC ＋∠CBG=90° ∵BG 为直径 ∴∠BCG=90°
∴∠CBG ＋∠G=90° ∴∠DBC=∠G ∵四边形ABGC 为O 的内接四边形
∴∠DAB=∠G ∴∠DAB=∠DBC
（2）在MB 上截取一点H ，使AM=MH ，连接DH
∴DM 垂直平分AH ∴DH=AD ∴∠DHA=∠DAH ∵BM
AM AD =+，=+BM MH BH
∴AD=BH ∴DH=BH ∴∠HDB=∠HBD
∴∠DHA=∠HDB ＋∠HBD=2∠HBD 由（1）知∠DAB=∠DBC ∴∠DHA=∠DAB=∠DBC ∴∠DBC =2∠HBD ∵∠DBC =∠HBD ＋∠ABC ∴∠HBD=∠ABC ，∠DBC=2∠ABC ∴∠DAB=2∠ABC ∵∠DAB=∠ABC ＋∠C ∴∠ABC=∠C ∴AB=AC
∴点A 在BC 的垂直平分线上 ∵点O 也在BC 的垂直平分线上 ∴AO 垂直平分BC ∴BN CN =
（3）延长CF 交BD 于M ，延长BO 交CQ 于G ，连接OE ，
∵90DCF CDB ∠+∠=? ∴∠DMC=90° ∵∠OBD=90° ∴∠DMC=∠OBD ∴CF ∥OB
∴∠BGE=∠ECF ，∠CFN=∠BON ， ∴tan ∠BGE=tan ∠ECF=2 由（2）知OA 垂直平分BC ∴∠CNF=∠BNO=90°，BN=CN ∴△CFN ≌△BON
∴CF=BO ，ON=FN ，设CF=BO=r ，ON=FN=a ，则OE=r ∵
1
2
ON OQ = ∴OQ=2a ∵CF ∥OB ∴△QGO ∽△QCF
∴=OG QO
CF QF
即
21
22==++OG a r a a a ∴OG=12
r
过点O 作OE ′⊥BG ，交PE 于E ′ ∴OE ′=OG ·tan ∠BGE=r=OE ∴点E ′与点E 重合 ∴∠EOG=90° ∴∠BOE=90°
∵PB 和PE 是圆O 的切线
∴∠OBP=∠OEP=∠BOE=90°，OB=OE=r ∴四边形OBPE 为正方形
∴∠BOE=90°，PE=OB=r
∴∠BCE=1
2
∠
BOE==45°
∴△NQC为等腰直角三角形
∴NC=NQ=3a，
∴
BC=2NC=6a
在Rt△CFN中，CF=2210
+=
NC FN a
∵PQ OQ
⊥
∴PQ∥BC
∴∠PQE=∠BCG
∵PE∥BG
∴∠PEQ=∠BGC
∴△PQE∽△BCG
∴=
PQ PE
BC BG
即1
2
6
=
+
PQ r
r
a r
解得：PQ=4a
∵610
PQ OQ
+=，
∴4a＋2a=610
解得：a=10
∴CF=1010
?=10
【点睛】
此题考查的是圆的综合大题，难度较大，掌握圆的相关性质、相似三角形的判定及性质、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等腰三角形的判定及性质、正方形的判定及性质是解决此题的关键．
8．已知ABD
△内接于圆O，点C为弧BD上一点，连接BC AC AC
、，交BD于点E，CED ABC
∠=∠．
（1）如图1，求证：弧AB=弧AD；
（2）如图2，过B作BF AC
⊥于点F，交圆O点G，连接AG交BD于点H，且222
EH BE DH
=+，求CAG
∠的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，圆O上一点M与点C关于BD对称，连接ME，交
∥交AD于点Q，交BD的延长线于点R，AB于点N，点P为弧AD上一点，PQ BG
=，ANE的周长为20，52
AQ BN
DR=，求圆O半径．
【答案】（1）见解析；（2）∠CAG=45°；（3）r=62
【解析】
【分析】
（1）证∠ABD=∠ACB可得；
（2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合，证△ALE≌△AHE，利用勾股定理逆定理推导角度；
（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD.先证△AEN≌△QUD，再证△NVE≌△RKU，可得到
NV=KR=DK，进而求得OB的长.
【详解】
（1）∵∠CED是△BEC的外角，∴∠CED=∠EBC+∠BCA
∵∠ABC=∠ABD+∠EBC
又∵∠CED=∠ABC
∴∠ABD=∠ACB
∴弧AB=弧AD
（2）如下图，△AHD绕点A旋转至△ALE处，使得点D与点B重合
∵△ALB是△AHD旋转所得
∴∠ABL=∠ADB，AL=AH
设∠CAG=a，则∠CBG=a
∵BG⊥AC
∴∠BCA=90°-a，∴∠ADB=∠ABD=90°-a
∴在△BAD中，BAE+∠HAD=180-a-(90°-a)-(90°-a)=a
∴∠LAE=∠EAH=a
∵LA=AH，AE=AE
∴△ALE≌△AHE，∴LE=EH
∵HD=LB，222
=+
EH BE DH
∴△LBE为直角三角形
∴∠LBE=(90°-a)+(90°-a)=90°，解得：a=45°
∴∠CAG=45°
（3）如下图，延长QR交AB于点T，分别过点N、Q作BD的垂线，交于点V，I，取QU=AE，过点U作UK垂直BD
由（2）得∠BAD=90°
∴点O在BD上
设∠R=n，则∠SER=∠BEC=∠MEB=90°-n
∴∠AEN=2n
∵SQ⊥AC
∴∠TAS=∠AQS=∠DQR，AN=QD
∵QU=AE
∴△AEN≌△QUD
∴∠QUD=∠AEN=2n
∴UD=UR=NE，
∵△ANE的周长为20
∴QD+QR=20
在△DQR中，QD=7
∵∠ENR=∠UDK=∠R=n
∴△NVE≌△RKU
∴NV=KR=DK=
2 2
∴BN=5
∴22r
【点睛】
本题考查了圆的证明，涉及到全等、旋转和勾股定理，解题关键是结合图形特点，适当构造全等三角形
9．如图，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点G，E是CD上一点，且BE＝DE，延长EB至点P，连接CP，使PC＝PE，延长BE与⊙O交于点F，连结BD，FD．
（1）连结BC，求证：△BCD≌△DFB；
（2）求证：PC是⊙O的切线；
（3）若tan F＝2
3
，AG﹣BG＝
5
3
3
，求ED的值．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）DE＝133
．
【解析】
【分析】
（1）由BE=DE可知∠CDB=∠FBD，而∠BFD=∠DCB，BD是公共边，结论显然成立．（2）连接OC，只需证明OC⊥PC即可．根据三角形外角知识以及圆心角与圆周角关系可知∠PEC=2∠CDB=∠COB，由PC=PE可知∠PCE=∠PEC=∠COB，注意到AB⊥CD，于是
∠COB+∠OCG=90°=∠OCG+∠PEC=∠OCP，结论得证．
（3）由于∠BCD=∠F，于是tan∠BCD=tanF=2
3
=
BG
CG
，设BG=2x，则CG=3x．注意到AB是
直径，连接AC，则∠ACB是直角，由射影定理可知CG2=BG?AG，可得出AG的表达式（用
x表示），再根据AG-BG=53
3
求出x的值，从而CG、CB、BD、CD的长度可依次得出，
最后利用△DEB∽△DBC列出比例关系算出ED的值．【详解】
解：（1）证明：因为BE＝DE，
所以∠FBD＝∠CDB，
在△BCD和△DFB中：
∠BCD＝∠DFB
∠CDB＝∠FBD
BD＝DB
所以△BCD≌△DFB（AAS）．
（2）证明：连接OC．
因为∠PEC ＝∠EDB+∠EBD ＝2∠EDB ， ∠COB ＝2∠EDB ， 所以∠COB ＝∠PEC ， 因为PE ＝PC ， 所以∠PEC ＝∠PCE ， 所以∠PCE ＝∠COB ， 因为AB ⊥CD 于G ， 所以∠COB+∠OCG ＝90°， 所以∠OCG+∠PEC ＝90°， 即∠OCP ＝90°， 所以OC ⊥PC ， 所以PC 是圆O 的切线． （3）因为直径AB ⊥弦CD 于G ， 所以BC ＝BD ，CG ＝DG ， 所以∠BCD ＝∠BDC ， 因为∠F ＝∠BCD ，tanF ＝23
， 所以∠tan ∠BCD ＝
23＝BG CG
， 设BG ＝2x ，则CG ＝3x ． 连接AC ，则∠ACB ＝90°，
由射影定理可知：CG 2＝AG?BG ，
所以AG ＝229922
x C x
G x G B ==
，
因为AG ﹣BG ＝
3
，
所以
292x x -=
解得x ，
所以BG ＝2x CG ＝3x ＝
所以BC 3
=，
所以BD ＝BC ， 因为∠EBD ＝∠EDB ＝∠BCD ， 所以△DEB ∽△DBC ，
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( )
解析几何复习（4）—直线和圆的方程综合 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．若直线1=x 的倾斜角为α，则α （ ） A ．等于0 B ．等于4 π C ．等于2π D ．不存在 2．点P(2,3)到直线：ax +(a －1)y+3=0的距离d 为最大时，d 与a 的值依次为 （ ） A ．3,-3 B ．5,1 C ．5,2 D ．7,1 3．圆42 2=+y x 截直线0323=-+y x 所得的弦长是 （ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．32 4．若直线013=--y x 到直线0=-ay x 的角为6 π，则实数a 的值等于 （ ） A ．0 B ．3 C ．0或3 D ．3 3- 5．若圆)0(02222 2 >=++-+k y kx y x 与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围是（ ） A ．20<
解析几何 直线与圆检测题及答案 令狐文艳 一、选择题： 1. 已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为（ ） A.-10 B.2 C.5 D.17 2. 设直线0=++n my x 的倾角为θ，则它关于x 轴对称的直线的倾角是（ ） Ａ.θB.θπ+2 C.θπ- D.θπ -2 3. 已知过)4,(),,2(m B m A -两点的直线与直线x y 2 1=垂直，则m 的值（ ） A.4 B.-8 C.2 D.-1 4. 若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小，则m 的值 为（ ） A. 2- B. 1 C. 2 D. 1- 5. 不论k 为何值，直线0)4()2()12(=+----k y k x k 恒过的一个定点是（ ） A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-2,3) 6. 圆8)2()1(22=+++y x 上与直线01=++y x 的距离等于2的点共 有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 7. 在Rt △ABC 中, ∠A ＝90°, ∠B ＝60°, AB=1, 若圆O 的
圆心在直角边AC 上, 且与AB 和BC 所在的直线都相切, 则圆O 的半径是（ ） A. 3 2 B.21 C. 23D.3 3 8. 圆222210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是（ ） A. 2B. 1．22 + D. 1+9. 过圆0422=+-+my x y x 上一点)1,1(P 的圆的切线方程为（ ） A.032=-+y x B.012=--y x C.012=--y x D.012=+-y x 10. 已知点),(b a P )0(≠ab 是圆O ：2 2 2 r y x =+内一点，直线m 是以 P 为中点的弦所在的直线，若直线n 的方程为2r by ax =+，则 （ ） A ．m ∥n 且n 与圆O 相离 B ．m ∥n 且n 与圆O 相交 C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离 D ．m ⊥n 且n 与圆O 相离 二、填空题： 11. 若直线l 沿 x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移 1个单位，又回到原来的位置，则直线l 的斜率 k =_________ ． 12. 斜率为 1的直线l 被圆422=+y x 截得的弦长为２，则直线l 的方程为． 13. 已知直线l 过点 P(5,10),且原点到它的距离为5,则直线l 的
第11讲 解析几何之直线与圆的方程 一．基础知识回顾 （一）直线与直线的方程 1．直线的倾斜角与斜率：(1)直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴________与直线l________方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为__________．(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k ＝________，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2) (x 1≠x 2)的直线的斜率公式为k ＝____________. 2．直线的方向向量：经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线的一个方向向量为P 1P 2→，其坐标 为________________，当斜率k 存在时，方向向量的坐标可记为(1，k)． 3 4.12112212M 的坐标为(x ，y)，则????? x ＝ ，y ＝ ，此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式． 二．直线与直线的位置关系 1．两直线的位置关系：平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两直线平行：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2?_________________.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2B 2C 2≠0)，l 1∥l 2?________________________. (2)两直线垂直：对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2?k 12k 2＝____.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2?A 1A 2＋B 1B 2＝____. 2．两条直线的交点：两条直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程组成的方程组的____；反之，如果这个方程组只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l 1和l 2的________，因此，l 1、l 2是否有交点，就看l 1、l 2构成的方程组是否有________． 3.常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0 (m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0 (m ∈R)； (3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0 (λ∈R)，但不包括l 4．平面中的相关距离：(1)两点间的距离平面上两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离|P 1P 2|＝____________________.(2)点到直线的距离：平面上一点P (x 0，y 0)到一条直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝_______________.(3)两平行线间的距离已知l 1、l 2是平行线，求l 1、l 2间距离的方法：①求一条直线上一点到另一条直线的距离；②设l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0，则l 1与l 2之间的距离d ＝________________. 三．圆与圆的方程 1．圆的定义：在平面内，到________的距离等于________的点的________叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是________和________． 3．圆的标准方程；(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，其中________为圆心，____为半径． 4．圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是__________________，其中 圆心为___________________，半径r ＝____________________________. 四．点线圆之间的位置关系 1．点与圆的位置关系：点和圆的位置关系有三种．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，点
福州华伦中学创办于1994年。学校现有学生1300多人，教师110多人，校园环境清新优雅，教学氛围和谐融洽，师生关系团结温馨，有“心灵的桃源”之美称。学校由福州市至一教育集团主办，福州八中和双丰村协办，董事会七位成员中有五位具有高级教师以上的职称。 2、福州三牧中学 福州三牧中学，现坐落于福州市鼓楼区风景秀丽的五凤山麓的江厝路，毗邻福飞南路。是一所由百年名校－－福建省福州第一中学（以下简称福州—中）于1995年（1997年停办，2001年复办至今）独自创办的民办初级中学。作为实践福州一中办学理念的窗口，三牧中学秉承福州一中的优良传统，以福州一中“植基立本、成德达才”和“勤奋、严谨、活跃、竞取”作为学校的校训、校风，并承担为福州一中高中输送超优质生源的任务。 3、福州时代中学 福州时代中学是1994年由福建师大附中创办的一所民办学校。位于仓山区程埔路172号新校园内（原福建师大生命科学院校址，与福建师大附中毗邻。学校办学规模逐年扩大，从开办初期的初一两个班110位学生发展到现在，全校从初一到初三共38个班级（现2016级、2015级各12个班，现2017级14个班），学生2036 人，成为一所普通全日制完全中学。
福州励志中学是2003年经福州市教育局批准，由福建省首批示范性高中——福州三中和福州国龙文化传播有限公司联合创办的一所民办初中学校。学校位于福州市鼓楼区梅峰路6号，环境优美。现有初中部三个年段，二十三个教学班。办学依托福州三中，利用其丰富的教育资源，以“爱国，励志，自强，博学”为校训，坚持“以人为本，以诚为先，实现可持续发展”的办学理念，通过严格规范的管理、严谨求精的教风，培育优秀人才，满足社会对优质教育的需求，创办出有时代特性、有创新精神的学校。 5、福州日升中学 福州日升中学，是依托省一级达标学校福州四中于1994年创办的一所私立完全中学。我校因办学点在福州四中校园内的缘故，于1999年被停止初中招生，从而创办了高中部。经市教育局批准，初中部于2002年选址西二环南路47号恢复办学。复办后的初中部，绿树环抱，鲜花盛开，环境优美而宁静。
平面解析几何（直线和圆的方程、圆锥曲线）专题 17.0 圆锥曲线几何性质 如果涉及到其两“焦点”，优先选用圆锥曲线第一定义；如果涉及到其“焦点”、“准线”或“离心 率”，优先选用圆锥曲线第二定义；此外，如果涉及到焦点三角形的问题，也要重视焦半径和三角形中正余弦定理等几何性质的应用? PF t +PF2| =2a》￡沪2方程为椭圆， 椭圆方程的第一定义：PF1- PF2 =2a F I F2无轨迹， PF1 - PF2 =2a = F t F2以F"F2为端点的线段 |PF t _PF2| =2aYF t F2方程为双曲线 双曲线的第一定义：PF1 _PF2 =2a - F1F 2无轨迹 PF i -PF 2 =2a=F i F2以F i,F 2的一个端点的一条射线 圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线|的距离之比为常数e的点的轨迹.简言之就是“ e=点点距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图. 点线距 当0 e 1时，轨迹为椭圆； 当e =1时，轨迹为抛物线； 当e -1时，轨迹为双曲线； 当e =0时，轨迹为圆（e =￡，当c =0, a =b时）. a 圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势 b =?,1 —e2、双曲线中b . e2 -1 . a a 圆锥曲线的焦半径公式如下图： 特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几 何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点弦最值的特点 17.1圆锥曲线中的精要结论: .其中e=c，椭圆中 a a ex a— ex
福州市物理学会 榕物学[2012]4号 关于公布“2012年全国初中应用物理知识竞赛” 福州赛区获奖名单的通知 福州教育学院、各县(市、区)教师进修学校、有关中学：根据全竞办[2011]01号“关于2012年全国中学应用物理知识竞赛的通知”文件精神和福州市物理学会的具体要求，在四月上旬经过竞赛并认真评选，共评出福州赛区一等奖33人，二等奖50人，三等奖74人。现将名单公布如下： 一等奖（33名） 翁才智福州十九中指导教师：林敏 郭梓晗福清文光中学指导教师：王团生 王晨福州十九中指导教师：郑妍颖 叶铠逞福州十九中指导教师：江竹秀 黄超福州延安中学指导教师：唐厚学 薛雪峰福州十九中指导教师：俞华 陈坪屹福州三牧中学指导教师：苏达青 陈德福州十八中指导教师：辛晓瑜 李泽鑫福州三牧中学指导教师：王长泉
林智蓉福州华侨中学指导教师：赵冰李知阳福州三牧中学指导教师：杨彩丹杨灵一福州三中金山校区指导教师：陈晞吴涵卿福州一中指导教师：李家国李佳文福州三牧中学指导教师：王长泉林璐阳罗源三中指导教师：张祥清蒋慧敏福州二十四中指导教师：张肇丹雷凌志福州二十四中指导教师：李民林铖福州时代中学指导教师：郑祖直许树正福州十九中指导教师：李玲吴涛平福州时代中学指导教师：王思思杨仕达福州华伦中学指导教师：黄声伟张端喆福州延安中学指导教师：陈宏彬林智闽江学院附中指导教师：郑岩泉刘展宏福州教院附中指导教师：叶丽芳盛裕杰福州十九中指导教师：卓燕春刘思皓福州屏东中学指导教师：李继宏许俊豪福州屏东中学指导教师：陈慧灵苏江鹏连江树德中学指导教师：孙云飞何叶晗福清文光中学指导教师：钟祖风张晟博福州三中金山校区指导教师：周彩虾杨晨福州三牧中学指导教师：杨彩丹
解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17
将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34
2012届数学二轮复习专题十 考试范围：解析几何（直线与圆、椭圆、双曲线和抛物线） 一、选择题（本大题共10小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．直线07 tan =+y x π 的倾斜角是 （ ） A ．7 π - B ． 7π C ．75π D ．7 6π 2．直线01:1=+-y x l 关于直线2:=x l 对称的直线2l 方程为 （ ） A ．012=--y x B ．072=-+y x C ．042=--y x D ．05=-+y x 3．“2-=a ”是直线()021:1=-++y x a l 与直线()0122:2=+++y a ax l 互相垂直的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．直线0=+++b a by ax 与圆222=+y x 的位置关系为 （ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．相交或相切 5．已知点P 在圆074422=+--+y x y x 上，点Q 在直线上kx y =上，若PQ 的最小值为122-，则k = （ ） A ．1 B ．1- C ．0 D ．2 6．若椭圆122=+my x 的离心率??? ? ??∈22, 33e ，则m 的取值范围是 （ ） A ．?? ? ??32,21 B ．()2,1 C ．()2,132,21 ?? ? ?? D ．??? ??2,21 7．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线的一条渐近线方程为03=-y x ，则该双曲线的离心率为 （ ） A ． 3 3 2 B ． 3 C ．2或3 3 2 D ． 3 3 2或3 8．M 是抛物线x y 42 =上一点，且在x 轴上方，F 是抛物线的焦点，以x 轴的正半轴为始边，FM 为终边构成的最 小的角为60°，则=FM （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 9．设抛物线x y 82 =的准线经过中心在原点，焦点在坐标轴上且离心率为 2 1 的椭圆的一个顶点，则此椭圆的方程为 （ ） A ．1161222=+y x 或112 1622=+y x B ．1644822=+y x 或1486422=+y x C ．112 162 2=+y x 或 143 1622=+x y D ．13 422=+y x 或143 1622=+x y 10．已知定点()0,21-F 、()0,22F ，动点N 满足1=ON （O 为坐标原点），NM M F 21=，()R MF MP ∈=λλ2，01=?PN M F ， 则点P 的轨迹是 （ ） A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线 D ．圆 二、填空题（本大题共5小题；每小题5分，共25分.将答案填在题中的横线上） 11．以点()2,1-为圆心且与直线1-=x y 相切的圆的标准方程是 ． 12．圆06442 2=++-+y x y x 上到直线05=--y x 的距离等于 2 2 的点有 个． 13．若点P 在直线03:1=++my x l 上，过点P 的直线2l 与曲线()165:2 2=+-y x C 只有一个公共点M ，且PM 的最小值为4，则=m ．
福州华伦中学小升初招生面试题2013 1. 佘（shé）、区（ōu）、华（huà）、仇（qiú），姓的读音 2.小丽看到某同学衣服非常漂亮，应该怎样说？(大概意思） A.这件衣服还算漂亮。 B.这件衣服不漂亮吗？ C.这件衣服漂亮过头了。 D.这件衣服真漂亮啊！ 3. 求梯形面积来源 求梯形面积的那个，因为两个三角形的底角是45°，所以就是等腰三角形，而两个等腰三角形腰相加刚好是6cm，梯形的上底+下底就是两个等腰三角形的腰相加，而S梯形=（上底+下底）×高÷2，所以就是6×6÷2=18 家小的同学是第一场的，据说第一场这题高是8cm，那就是8×8÷2=32 来源 4. “2”、“3”、“4”、“5”、“6”，从这些数中随机抽中偶数的概率是多少？ A. 60% B.80% C.20 D.40% 5.机器人那个第二场的题目是：周四周五说真话，周二说假话，每天问它的名字，前六天的回答分别是：小明小白小明小白小强小白。问第七天会说什么？ A.小明 B.小白 C.小强 D.机器人 6. 哪个不能算出24的是？ a.5,4,1,6 b.2,4,6,8 c.9,6,9,6 d.3,8,3,8 7. She dose likes( ) A:play the piano B:playing the piano C:playing piano 8.【卷1】一个长20厘米，宽16厘米的长方形，剪去一个长10厘米，宽6厘米的长方形，剪完以后，周长最大是多少？ 【卷2】一个长20厘米，宽16厘米的长方形，剪去一个长10厘米，宽8厘米的长方形，剪完以后，周长最大是多少？ 9. （A卷）2013个2013相乘，个位数是多少。 A.9 B.7 C.1 D.3
解析几何解答题 1、椭圆G ：)0(122 22>>=+b a b y a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知 F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25 （1）求此时椭圆G 的方程； （2）设斜率为k （k ≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于 过点P （0， 3 3）、Q 的直线对称若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由． ; 2、已知双曲线221x y -=的左、右顶点分别为12A A 、，动直线:l y kx m =+与圆22 1x y +=相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为111222(,),(,)P x y P x y . （Ⅰ）求k 的取值范围，并求21x x -的最小值； （Ⅱ）记直线11P A 的斜率为1k ，直线22P A 的斜率为2k ，那么，12k k ?是定值吗证明你的结论. @ [
3、已知抛物线2 :C y ax =的焦点为F ，点(1,0)K -为直线l 与抛物线C 准线的交点，直线l 与抛物线C 相交于A 、 B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ． （1）求抛物线 C 的方程。 ~ （2）证明：点F 在直线BD 上； （3）设8 9 FA FB ?=，求BDK ?的面积。． { — 4、已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，离心率为1 2 ，点P （2，3）、A B 、在该椭圆上，线段AB 的中点T 在直线OP 上，且A O B 、、三点不共线． (I)求椭圆的方程及直线AB 的斜率； (Ⅱ)求PAB ?面积的最大值． - 、
第九章解析几何 第一节直线和圆 第一部分三年高考荟萃 2010年高考题 一、选择题 2 2 1.（ 2010江西理）8.直线y = kx ?3与圆x-3 y-2 4相交于 M,N 两点，若 MN _2,3，贝U k 的取值范围是 【答案】A 【解析】考查直线与圆的位置关系、点到直线距离公式，重点考察 数形结合的运用. 解法1:圆心的坐标为（3. , 2）,且圆与y 轴相切.当| MN A 2 ...3时, 3 由点到直线距离公式，解得 [,0]； 4 解法2:数形结合，如图由垂径定理得夹在两直线之间即可, 间不对称，排除 C,利用斜率估值，选 A 2. （ 2010安徽文）（4）过点（1, 0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 (A ) x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 【答案】A 【解析】设直线方程为x-2y ，c=0，又经过（1,0），故c =-1，所求方程为x-2y-1 = 0. 【方法技巧】因为所求直线与与直线x-2y-2=0 平行，所以设平行直线系方程为 x - 2y ? c = 0，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程 .也可以用验证 法，判断四个选项中方程哪一个过点（ 1, 0）且与直线x-2y-2=0平行. _L x = 2 cos 71, _ _ 3. （2010重庆文）（8）若直线y =x -b 与曲线 （▼ [0,2二））有两个不同 B. C. 不取，排除B,考虑区 (D ) x+2y-1=0
=si n# 的公共点，则实数b的取值范围为
(A) (2「2,1) (C) (—：：,2 _、、2)u (2 ? J2,=) 【答案】D 「x=2+cosT, 2 2 解析： 化为普通方程（x-2）2 ? y=1，表示圆, 讨二s inr 故:: =4 7： 3 5. ( 2010广东文) (B ) [2「2,2 .2] (D ) (2 -：.2,2 ,2) 因为直线与圆有两个不同的交点，所以 法2:利用数形结合进行分析得 AC 同理分析，可知 2 - 2小：：：2?2 4. （ 2010 重庆理）（8） 直 y= 3 x 2与圆心为 D 的 3 A 、 B 两点，则直线 AD 与BD 的倾斜角之和为 人 7 A. 6 【答案】C B. 解析：数形结合 三2 =30 二 由圆的性质可知 圆 线 D. 5 二 C. 4 二
福州市华伦中学物理电功率（篇）（Word 版 含解析） 一、初三物理 电功率 易错压轴题（难） 1．22L L (0.25A)14Ω=0.875W P I R ==?额 安安和康康在“测量小灯泡的电功率”实验中，所选小灯泡的额定电压为2.5V 。 (1)图甲是测量小灯泡的电功率的电路图。在检查仪器时，康康发现电流表的指针位置如图乙所示，老师提示他电流表没有损坏，他稍作思考，判断出现问题的原因是电流表______； (2)纠正问题后，他连接的电路如图所示，他将滑片P 移到______（选填“A ”或“B ”）端后，闭合开关开始实验。在移动滑片P 位置时他发现灯泡亮度、电流表的示数均发生变化，只有电压表的指针一直指在一个较大的示数不发生改变。检查电路连接后，他发现有一根导线连接出现了错误，请你在这根错误的导线上打“×”，再用笔画线代替导线在图中改正过来（导线不允许交叉）______； (3)纠正错误后，他重新开始实验，移动滑片P 直到电压表示数为2.5V ，此时电流表示数如图所示，则小灯泡的额定功率为______W ； (4)安安的电流表坏了，老师给她一个已知阻值的定值电阻0R 、若干开关和导线，安安重新设计了电路如图所示，并正确测出小灯泡的额定功率。具体实验步骤如下：闭合开关S 、1S ，断开2S ，调节滑片P 使电压表读数为U 额，此时小灯泡正常发光；不改变滑动变阻器
滑片P的位置，闭合开关S 、 2 S，断开 1 S，记录电压表此时读数为U。请用 R、U 额 、U 写出小灯泡额定功率的表达式：P= 额 ______。 【答案】没有调零A或 0.65 () U U U R - 额额 【解析】 【分析】 【详解】 (1)[1]从图乙可以看到，指针往左偏了，电流表没有电流流过，也没有损坏，那问题应该是电流表没有调零。 (2)[2]滑动变阻器接入电路时，为了防止电路的电流太大，电阻值应该调到最大，所以从图中可以看到，电流从B端流入，D端流出，那么滑片P应该移到A端。 [3]从图中可以看到，电压表测的是变阻器和灯泡的电压之和，可以在电压表负接线柱和电流表负接线柱的接线去掉，改为电压表负接线柱与灯泡左端相连接；也可以改为电压表负接线柱与变阻器B端相连；这两种修改都可以让电压表只测量灯泡的电压，如下图所示。
专题09 解析几何 第二十四讲 抛物线 2019年 1.（2019全国II 文9）若抛物线y 2 =2px （p >0）的焦点是椭圆 22 13x y p p +=的一个焦点，则p = A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2019浙江21）如图，已知点(10)F ，为抛物线2 2(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S . （1）求p 的值及抛物线的准线方程； （2）求 1 2 S S 的最小值及此时点G 的坐标. 3.(2019全国III 文21）已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条 切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程. 2015-2018年 一、选择题 1．（2017新课标Ⅱ）过抛物线C ：2 4y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M (M
在x 轴上方)，l 为C 的准线，点N 在l 上且MN ⊥l ，则M 到直线NF 的距离为 A B ． C ． D ．2．（2016年全国II 卷）设F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，曲线y = k x （k >0）与C 交于点P ，PF ⊥x 轴，则k = A ． 12 B ．1 C ．3 2 D ．2 3．（2015陕西）已知抛物线2 2y px =(0p >)的准线经过点(1,1)-，则该抛物线的焦点坐 标为 A ．(－1，0) B ．(1，0) C ．(0，－1) D ．(0，1) 4．（2015四川）设直线l 与抛物线2 4y x =相交于,A B 两点，与圆2 2 2 (5)(0)x y r r -+=>相切于点M ，且M 为线段AB 的中点．若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是 A ．()13， B ．()14， C ．()23， D ．()24， 二、填空题 5．(2018北京)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴，若l 被抛物线2 4y ax =截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_________． 6．（2015陕西）若抛物线2 2(0)y px p =>的准线经过双曲线2 2 1x y -=的一个焦点，则p = 三、解答题 7．（2018全国卷Ⅱ）设抛物线2 4=：C y x 的焦点为F ，过F 且斜率为(0)>k k 的直线l 与 C 交于A ，B 两点，||8=AB ． (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． 8．（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：2 4y x =上存在 不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．
直线和圆的方程 ●考点阐释 解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科．在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究． 学习解析几何，要特别重视以下几方面： （1）熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用； （2）与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用． ●试题类编 一、选择题 1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax +by +c =0（abc ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为|a |，|b |，|c |的三角形（ ） A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy 中，已知△AOB 三边所在直线的方程分别为x =0，y =0，2x +3y =30，则△AOB 内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ） A.95 B.91 C.88 D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A.x －y =0 B.x +y =0 C.|x |－y =0 D.|x |－|y |=0 4.（2002京皖春理，8）圆2x 2＋2y 2＝1与直线x sin θ＋y －1＝0（θ∈R ,θ≠ 2 ＋k π， k ∈Z ）的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的 5.（2002全国文）若直线（1+a ）x +y +1=0与圆x 2＋y 2－2x ＝0相切，则a 的值为（ ） A.1，－1 B.2，－2 C.1 D.－1
解析几何 直线与圆检测题 及答案 一、选择题： 1. 已知过()a A ,1-、()8,a B 两点的直线与直线012=+-y x 平行，则a 的值为（ ） A. -10 B. 2 C.5 D.17 2. 设直线0=++n my x 的倾角为θ，则它关于x 轴对称的直线的倾角是（ ） Ａ.θ B. θπ+2 C.θπ- D. θπ-2 3. 已知过)4,(),,2(m B m A -两点的直线与直线x y 2 1 = 垂直，则m 的值（ ） A.4 B.-8 C.2 D.-1 4. 若点(,0)P m 到点(3,2)A -及(2,8)B 的距离之和最小，则m 的值为（ ） A. 2- B. 1 C. 2 D. 1- 5. 不论k 为何值，直线0)4()2()12(=+----k y k x k 恒过的一个定点是（ ） A.(0,0) B.(2,3) C.(3,2) D.(-2,3) 6. 圆8)2()1(2 2 =+++y x 上与直线01=++y x 的距离等于2的点共有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3 个 D ．4个 7. 在Rt △ABC 中, ∠A ＝90°, ∠B ＝60°, AB=1, 若圆O 的圆心在直角边AC 上, 且与 AB 和BC 所在的直线都相切, 则圆O 的半径是（ ） A. 32 B.2 1 C.23 D.33 8. 圆2 2 2210x y x y +--+=上的点到直线2=-y x 的距离的最大值是（ ） A.2 B. 12．2 22 + 122+9. 过圆042 2 =+-+my x y x 上一点)1,1(P 的圆的切线方程为（ ） A.032=-+y x B. 012=--y x C. 012=--y x D. 012=+-y x 10. 已知点),(b a P )0(≠ab 是圆O ：2 2 2 r y x =+内一点，直线m 是以P 为中点的弦所 在的直线，若直线n 的方程为2 r by ax =+，则（ ） A ．m ∥n 且n 与圆O 相离 B ．m ∥n 且n 与圆O 相交 C ．m 与n 重合且n 与圆O 相离 D ．m ⊥n 且n 与圆O 相离 二、填空题： 11. 若直线l 沿x 轴正方向平移2个单位，再沿y 轴负方向平移1个单位，又回到原来的位
第十九届“希望杯”全国数学邀请赛 福州赛区获奖名单 各县（市）区进修校，市属中学、县（市）区属中学，各私立学校： 第十九届“希望杯”全国数学邀请赛决赛于4月13日进行，经评选，共评出，七年级：一等奖3名、二等奖24名、三等奖277名，共304名；高一年：一等奖1名、二等奖9名、三等奖105名，共115名。特此表彰。 附件：获奖名单 福州教育学院二○○八年六月十二日附件： 获奖名单 七年级 一等奖 学校学生姓名指导教师学校学生姓名指导教师闽清天儒中学 福州十八中学林坚黄祥凤三中金山校区 林煌翔韩振卿刘甫晟林如二等奖 闽清天儒中学 福州延安中学何常强黄运杰闽清天儒中学黄拔炜黄祥凤周立康周惠艳福州教院附中余毅锟刘宏图福州十九中学 罗源第三中学 闽清城关中学 罗源第三中学 福州三牧中学 罗源第三中学
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