牛顿插值法在处理磁化曲线和铁损曲线
中的应用
指导老师：李国霞
院系：物理工程学院
专业：物理电子学
姓名：夏委委
学号：201112131526
一、牛顿插值法简介
在科学研究与其他领域中所遇到的许多实际问题中，经常会出现函数不便于处理或计算的情形。有时候函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实验数据或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值；有时候函数虽有明显的解析表达式，但是使用很不方便。因此，在实际应用中，往往需要对实际使用的函数建立一个简单的便于处理和计算的近似表达式，即用一个简单的函数表达式来近似替代原来复杂的函数。与用近似数代替准确值一样，这也是计算法中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近。用多项式逼近列表函数的问题即为多项式插值问题。根据函数)(x f 已有的数据表格来计算函数)(x f 在一些新的点x 处的函数值，这就是插值法所要解决的问题。因此，所谓的插值法就是在所给定的函数表格中间在插入一些所需要的新的点上的函数值。
插值法的基本思想：首先设法根据表格中已有的函数值来构造一个简单的函数)(x y 作为)(x f 的近似表达式，然后再用)(x y 来计算新的点上的函数值作为
)(x f 的近似值。通常可以选用多项式函数作为近似函数)(x y ，因为多项式具有
各阶的导数，求值比较方便。用代数多项式作为工具研究插值问题，通常称为代数插值。
代数插值法问题的完整提法如下：设函数)(x f y =在区间[]b a ,上是连续的，且已知)(x f 在区间[]b a ,上1+n 个互异点处的函数值，即n i x f y i i ,......1,0),(== 其中，)(j i x x j i ≠≠。寻找一个次数不高于
n
的多项式
0111)(a x a x a x a x P n n n n n +++=-- 使满足条件n i x f x P i i n ,,1,0),()( ==称)(x P n 为)(x f 的插值多项式，),,1,0(n i x i =称为插值结点，[]b a ,称为插值区间。 牛顿(Newton)插值是数值逼近中的一个重要部分,它向前继承了拉格朗日(Lagrange)插值,向后引出了埃尔米特(Hermite)插值,可以看作对多项式插值作了一个简单的统一。牛顿插值公式具有形式简单,便于计算等优点。因此,在插值中得到广泛的应用。牛顿插值公式为)()()(x R x P x f n n +=，其中)(x P n 是牛顿插值多项式，)(x R n 为牛顿插值余项，)(x P n 和)(x R n 的表达式如下式所示：
[][][][])()(,))((,,)(,)(1010102100100---++--+-+=n n n x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x P ∏=+-+=n
i i n n x x n f x R 0)1()()!1()()(ξ可以看出牛顿插值公式余项更具有一般性，它对于列表函数或)(x f 导数不存在的情形也同样适用。
大多数给出的函数表，或是全区间是等距的，或者虽然全区间不等距而子区间是等距的。上式适用于等距和不等据节点的计算。当节点等距分布时，用差分代替差商从而可以避免多次除法便于计算。因而导出了牛顿前插公式和后插公式。在实际运作时，究竟要采用哪一个公式，视插值点在插值区间的位置而定。 牛顿前差公式及其余项公式如下：
00200!)1()1(!)1()1(!2)1()(f k k t t t f n n t t t f t t f t f x N k
n
k n n ?+--=?+--++?-+?+=∑= []n n n n n x x h n t t t n f th x R x R ,)()1()!1()
()()(01)1(0∈--+=+=++ξξ，
牛顿后差公式及其余项公式如下：
n
f k
n k k k t t t k n f n n n t t t n n f t t n f t n f x n N ?∑=+---=?+---+-?-+
?-=0!
)1()1()1(!)1()1()1(2!2)1()( []n n n n n n n x x h n t t t n f th x R x R ,,)1)(()1()!
1()
()()(011)1(∈---+=-=+++ξξ
在实际应用中，如果插值点x 离0x 比较近，则一般使用牛顿前差公式；如果插值点x 离0x 比较远，则一般使用牛顿后差公式。但对于同一个插值点x 来说，不管用牛顿前差公式还是用牛顿后差公式，得到的结果是一样的，这两种插值公式只是形式上的差别。
二、利用牛顿插值法处理磁化曲线和铁损曲线
数值分析是用计算机来处理数学问题的方法。在其所涵盖的领域里,插值的地位十分重要。插值公式不仅能用于计算插值表以外的函数值,而且插值理论还是数值微分、积分、常微分方程初值问题数值解和非线性方程求根的理论基础。牛顿插值法是根据一组已知的插值节点{}i i f x ,来构造牛顿插值多项式：
[][][][]
)
1()0(1,0)1)(0(2,1,0)0(1,00)(---+--+-+=n x x x x n x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x n N
满足i i n f x N =)( n i ,1,0=其余项（误差）为[]∏=-=n
j j n n x x x x x x f x R 0
2,10)(,)(
因为)(x R n 中含有)(x f 的1+n 阶差商[]n x x x x f 210,,，所以当)(x f 是次数不超过n 的多项式时，0)(=x R n 。
武钢公司在1998年3月向用户发布了新的晶粒取向磁化钢带(片)的磁化曲线和铁损曲线。对于设计人员来讲,查曲线是一件麻烦的事情,不但要拿尺子打准坐标,还要进行估算。尤其是单位铁损曲线,是每次设计都要查的。这样不仅工作量大,而且容易出错。因此,有必要对磁化曲线和铁损曲线进行一些数值处理,让使用者可以根据硅钢片的型号和磁感应强度,方便地找到磁场强度或单位铁损。为此,本文采用了数值分析方法中的牛顿插值法对磁化曲线和铁损曲线作了一些处理,在实际应用中取得了较好的效果,大大提高了工作效率。
根据磁化曲线和铁损曲线的实际情况，采用分段的二次牛顿插值多项式来处理它，在实际应用中完全可以满足工程精度的要求。
首先,对于原始曲线,均匀地采集其插值出节点并输入计算机;然后程序采用三点分段插值的办法来构造二次牛顿插值多项式)(2x N ,并根据此计算出所需数据；然后将结果输出。 源程序如下： #include ″stdio.h ″ #include ″iostream.h ″ #include ″math.h ″ void main() {
int n,i ,j ,k,z;
float y[20] ,x[20] ,d[20] ,q[20] ,p,t ,v char chl;
printf(“请输入节点个数n! \ n n ”) ; scanf(″%d,″&n) ;
printf(″请输入各节点值! \ n ”) ;
for(i =0;i < =n- 1;i + +)
{
scanf(″%f , %f ,″&q[i] ,&d[i]) ;
}
for(k=1;k< =20;k+ +)
{
printf(″请输入插入点! \ n″) ;
scanf(″%f ,″&t) ;
for(i =0;i < =n-1;i + +)
{x[i] =q[i] ;y[i] =d[i] ;}
for(i =0;i < =n- 1;i + +)
/ /根据插入点选择合适的节点
{
if(x[i] - t >0)
break;
}
z=i-1
for(i =1;i < =2;i + +)
{x[i] =x[z] ;y[i] =y[z] ;z=z+1;}
for(i =1;i < =2;i + +)
{
for(j =2;j > =i;j-- )
{
y[j] =(y[j] - y[j - 1])/ (x[j] - x[j - 1]) ; ∥求插商}
}
printf(″磁感应强度(T)| 铁损(W/ kg) \ n″) ; V=x[0] ;
for(j =1;j <21;j + +)/ /输出三节点间插值
{
p=y[2] ;
for(i =1;i > =0;i - - ) P=y[i] +(v-x[i])*p;
printf(″%f| ″%f \ n ″,v,p) ; v=v+0.01;/ /步距为0.01 }
cout < <″退出?y/ n\ n ″; cin> >ch1;
if(ch1= =′y ′)break; } }
此程序用于处理铁损曲线，若需要处理磁化曲线，只需要改动表头汉字，其余步骤均相同。
对于该程序的应用,以30Q130型硅钢片铁损曲线为例,其过程如下: 首先,输入插值节点数据,…1.50,1.51…1.61,然后程序将构造出)(2x N 并计算出所需数据,最后将结果输出。
对于30Q130型硅钢片的数据,我们将人工查找插值计算的两组结果进行比较(见下表)：
磁感应强度（T ）
....... 1.50 1.51 1.52 1.53 铁损 人工查找
....... 0.87 0.88 0.90 0.91 （w/kg ）(插值计算) ....... 0.870 0.884 0.898 0.913 1.54 1.55 1.56 1.57 1.58 1.59 1.60 1.61 0.93 0.94 0.96 0.98 0.99 1.01 1.03 1.05 0.928 0.944 0.960 0.977 0.994 1.012 1.030 1.046 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.08 1.10 1.12 1.14 1.16 1.19 1.19 1.24 1.081
1.101
1.121
1.143
1.165
1.189
1.189
1.240
从中可以发现,插值结果具有良好的收敛性。这是因为实际曲线在一定区间内具有较好的线性特征,所以分段的二次牛顿插值能够达到足够的精度,完全符合实际生产的需要。
利用牛顿插值法处理磁化曲线和铁损曲线的优点：
(1)用分段的二次牛顿插值法处理磁化曲线和铁损曲线完全可以满足工程精度的要求。
(2)此法能大大提高工作效率,把设计人员从繁复的查曲线工作中解放出来。
(3)此法具有普遍性。对于其他国家生产的硅钢片,若提供曲线,可同样照此处理。
三、牛顿插值法的应用前景
目前，牛顿插值法已经运用到了工程上的各个领域，并解决了许多实际工程中遇到的问题，如物体加热时间的分析、计算；加药量自动标定；智能气体体积分数测量；自动确定支持度阈值；漏磁探测；电力系统采样；凸轮曲线的修正设计等。有时根据实际情况也会使用局部牛顿插值法，如运用局部牛顿插值法提高多狭缝自准直仪准确度。
在插值问题中，要求插值多项式通过给定的数据点，但实际上所谓给定的数据本身是有误差的，而且即使插值多项式通过了给定的数据点，在这些给定数据点上的误差很小，但在其他点上的误差可能会很大，这是插值问题的缺点。在实际应用中，可以采用与曲线拟合结合等方法来达到更好的效果。
“牛顿迭代法”最新进展文献综述牛顿法是一种重要的迭代法，它是逐步线性化的方法的典型代表。牛顿迭代法又称为牛顿-拉夫逊方法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。另外该方法广泛用于计算机编程中。 介绍一下牛顿迭代法研究的前沿进展，1992年南京邮电学院基础课部的夏又生写的一篇题名一类代数方程组反问题的牛顿迭代法，对一类代数方程组反问题提出了一个可行的迭代解法。从算法上看,它是一种解正问题—迭代—解正问题迭代改善的求解过程。湖南师范大学的吴专保;徐大发表的题名堆浸工艺中浸润面的非线性问题牛顿迭代方法，为了研究堆浸工艺的机理,用牛顿迭代公式寻求浸润面的非线性方程的数值解,经过14次迭代的误差达到了,说明此算法收敛有效。浙江大学电机系的林友仰发表的牛顿迭代法在非线性电磁场解算中的限制对非线性电磁场解算中的限制做了分析，求解非线性方程组时迭代法是不可避免的。牛顿—拉斐森迭代法由于它的收敛速度快常被优先考虑。应用这个方法的主要问题是求雅可比矩阵。因为雅可比矩阵元素的计算非常费时。然而,本文要说明的是当利用以三角形为单元的有限元法求解非线性方程组时,应用牛顿法其雅可比矩阵容易求得,并且它保持了原系数的对称性和稀疏性,因而节省了时间。与此相反,若在差分法中应用牛顿迭代,并且按习惯用矩形网格进行剖分,则雅可比阵的计算很费时,而且不再保持原有对称性,这就使得存贮量和计算时间大为增加。南株洲工学院信息与计算科学系的吕勇;刘兴国发表的题名为牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式，主要内容牛顿迭代法是求解非线性方程的一种重要的数值计算方法,在通常情况下,它具有至少平方收敛。本文利用文献[4]所建立的迭代格式xn+1=xn-αf(xfn)(x+n)f′(xn),对迭代格式中的参数α的讨论,实现了牛顿迭代法加速收敛的一种修正格式。
Newton 插值 Newton 插值函数 Newton 插值函数是用差商作为系数，对于01,,,n x x x …这1n +个点，其一般形式为： 00100120101011()[][,]()[,,]()()[,,,]()()() n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x ?=+?+??++???…………对于011,,,n x x x ?…这n 个点， 100100120101012()[][,]()[,,]()()[,,,]()()() n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x f x x x x x x x x x ??=+?+??++???…………差商的定义 若已知函数()f x 在点(0,1,2,,)i x i n =???处的函数值()i f x 。则称： 00[]()f x f x =为函数()f x 在点0x 的0阶差商； 100110 [][] [,]f x f x f x x x x ?= ?为函数()f x 关于01,x x 的1阶差商； 120101220 [,][,] [,,]f x x f x x f x x x x x ?= ?为函数()f x 过点012,,x x x 的2阶差商； 依此类推，一般地称 121012101210 [,,,,][,,,,] [,,,,,]k k k k k k k f x x x x f x x x x f x x x x x x x ??????????????= ?为函数()f x 关于01,,,k x x x ???的 k 阶差商。 表1 差商表 i x ()i f x 1阶差商 2阶差商 3阶差商 4阶差商 0x 1x 2x 3x 4x …… 0()f x 1()f x 2()f x 3()f x 4() f x …… 01[,]f x x 12[,]f x x 23[,]f x x 34[,]f x x …… 012[,,]f x x x 123[,,]f x x x 234[,,] f x x x …… 0123[,,,]f x x x x 1234[,,,] f x x x x …… 01234[,,,,]f x x x x x …… 根据Newton 插值函数编写的C 语言编程 根据Newton 插值函数并对照上面的差商表，可编写出Newton 插值法的C 语言程序如下： #include
GIS空间插值（局部插值方法）实习记录 一、空间插值的概念和原理 当我们需要做一幅某个区域的专题地图，或是对该区域进行详细研究的时候，必须具备研究区任一点的属性值，也就是连续的属性值。但是，由于各种属性数据（如降水量、气温等）很难实施地面无缝观测，所以，我们能获取的往往是离散的属性数据。例如本例，我们现有一幅山东省等降雨量图，但是最终目标是得到山东省降水量专题图（覆盖全省，统计完成后，各地均具有自己的降雨量属性）。 空间插值是指利用研究区已知数据来估算未知数据的过程，即将离散点的测量数据转换为连续的数据曲面。利用空间插值，我们就可以通过离散的等降雨量线，来推算出山东省各地的降雨量了。 二、空间插值的几种方法及本次实习采用的原理和方法 –整体插值方法 ?边界内插方法 ?趋势面分析 ?变换函数插值 –局部分块插值方法 ?自然邻域法 ?移动平均插值方法：反距离权重插值 ?样条函数插值法（薄板样条和张力样条法） ?空间自协方差最佳插值方法：克里金插值 ■局部插值方法的控制点个数与控制点选择问题 局部插值方法用一组已知数据点（我们将其称为控制点）样本来估算待插值点（未知点）的值，因此控制点对该方法十分重要。 为此，第一要注意的是控制点的个数。控制点的个数与估算结果精确程度的关系取决于控制点的分布与待插值点的关系以及控制点的空间自相关程度。为了获取更精确的插值结果，我们需要着重考虑上述两点因素（横线所示）。 第二需要注意的是怎样选择控制点。一种方法是用离估算点最近的点作为控制点；另一种方法是通过半径来选择控制点，半径的大小必须根据控制点的分布来调整。 S6、按照不同方法进行空间插值，并比较各自优劣 打开ArcToolbox——Spatial Analyst 工具——插值，打开插值方法列表，如下图：
牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法：
牛顿插值法 插值法是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值。如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，这在实际计算中很不方便。为了克服这一缺点，提出了牛顿插值。牛顿插值通过求各阶差商，递推得到的一个公式： f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0 )...(x-xn-1)+Rn(x)。 插值函数 插值函数的概念及相关性质[1] 定义：设连续函数y-f(x) 在区间[a,b]上有定义，已知在n+1个互异的点 x0,x1,…xn上取值分别为y0,y1,…yn （设a≤ x1≤x2……≤xn≤b)。若在函数类中存在以简单函数P(x) ，使得P(xi)=yi,则称P(x) 为f(x)的插值函数. 称x1,x2,…xn 为插值节点，称[a,b]为插值区间。 定理：n次代数插值问题的解存在且唯一。
牛顿插值法C程序 程序框图#include 常见的插值方法及其原理 这一节无可避免要接触一些数学知识，为了让本文通俗易懂，我们尽量绕开讨厌的公式等。为了进一步的简化难度，我们把讨论从二维图像降到一维上。 首先来看看最简单的‘最临近像素插值’。 A,B是原图上已经有的点，现在我们要知道其中间X位置处的像素值。我们找出X位置和A,B位置之间的距离d1,d2，如图，d2要小于d1,所以我们就认为X处像素值的大小就等于B处像素值的大小。 显然，这种方法是非常苯的，同时会带来明显的失真。在A,B中点处的像素值会突然出现一个跳跃，这就是为什么会出现马赛克和锯齿等明显走样的原因。最临近插值法唯一的优点就是速度快。 图10，最临近法插值原理 接下来是稍微复杂点的‘线性插值’（Linear） 线性插值也很好理解，AB两点的像素值之间，我们认为是直线变化的，要求X点处的值，只需要找到对应位置直线上的一点即可。换句话说，A,B间任意一点的值只跟A,B有关。由于插值的结果是连续的，所以视觉上会比最小临近法要好一些。线性插值速度稍微要慢一点，但是效果要好不少。如果讲究速度，这是个不错的折衷。 图11，线性插值原理 其他插值方法 立方插值，样条插值等等，他们的目的是试图让插值的曲线显得更平滑，为了达到这个目的，他们不得不利用到周围若干范围内的点，这里的数学原理就不再详述了。 图12，高级的插值原理 如图，要求B,C之间X的值，需要利用B,C周围A,B,C,D四个点的像素值，通过某种计算，得到光滑的曲线，从而算出X的值来。计算量显然要比前两种大许多。 好了，以上就是基本知识。所谓两次线性和两次立方实际上就是把刚才的分析拓展到二维空间上，在宽和高方向上作两次插值的意思。在以上的基础上，有的软件还发展了更复杂的改进的插值方式譬如S-SPline, Turbo Photo等。他们的目的是使边缘的表现更完美。 牛顿插值法的分析与应用 学生： 班级： 学号： ： 指导教师： 成绩： 一．定义 )(x f 关于i x 的零阶差商 )(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商 i j i j j i x x x f x f x x f --= ][][],[ 依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商 i k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --= +-+++++] ,,[],,[],,,[111 二. 牛顿插值多项式 设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件 )()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 = 的n 次多项式 )()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N 为Newton 插值多项式，称 ],[,)(],,,[)()()(0 10b a x x x x x x f x N x f x E n j j n n ∈-=-=∏= 为插值余项。 三.算法 步骤1：输入节点（xj ，yj ），精度ξ，计值点xx ，f0→p ，1→T ，1→i ； 步骤2：对k=1，2，……，i 依次计算k 阶均差 f[xi-k,xi-k+1,…,xi] = (f[xi-k+1,…,xi]- f[xi-k,…,xi])/( xi -xi-k ) 步骤3：（1）、若| f[x1,…,xi]- f[x0,…,xi-1]|< ξ，则p 为最终结果Ni-1(x)，余项Ri-1= f[x0,…,xi](xx-xi-1)T 。 （2）、否则(xx-xi-1)*T →T ，p+ f[x0,…,xi]*T →p ，转步骤4。 步骤4：若i 基于牛顿迭代法的圆形断面临界水深直接计算 学院：建筑工程学院学号：2111206052 姓名：王瑞峰 一、问题来源 圆形断面由于具有受力条件好、适应地形能力强、水力条件好等优点，已成为农田灌溉、城市给水排水等工程较常采用的断面形式。而临界水深的计算则是进行圆形断面水力计算的关键，但其计算较繁杂，要求解高次隐函数方程，且未知量包含在三角函数中，求解难度大。自20世纪90年代，对圆形断面临界水深的计算进行了大量研究，获得了较多成果。鉴此，本文应用牛顿迭代算法，得到一种较简洁且可提供高精度算法程序的近似计算公式。 二、数学模型 相应于断面单位能量最小值的水深称为临界水深，其计算公式为： 需满足的临界流方程为： 其中 式中，d为洞径；为临界水深对应的圆心角，rad；n为流速分布不均匀系数(不特殊说明时取1.0)；Q为流量，m3Is；g为重力加速度(通常取9.81 m/s2)；分别为临界流对应的过水断面面积和水面宽度。 无压流圆形断面的水力要素见图1 将式(1)、(3)、(4)代入式(2)得： 将式(5)整理即得临界水深的非线形方程： 由此可知．式(6)为临界水深h。的高次隐函数方程，且未知量包含在三角函数中。 即圆形断面临界水深的求解即为式(6)的求根问题。在现行工程实际中计算临界水深时均采用近似公式或试算法，所得结果精度不高且效率较低。 三、方法选择 牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。 解非线性方程f(x)=0的牛顿法是把非线性方程线性化的一种近似方法。把f(x)在x0点 附近展开成泰勒级数f(x) = f(x0)+(x－x0)f'(x0)+(x－x0)^2*f''(x0)/2! +… 取其线性部分，作为非线性方程f(x) = 0的近似方程，即泰勒展开的前两项，则有f(x0)+f'(x0)(x－ x0)=f(x)=0 设f'(x0)≠0则其解为x1=x0－f(x0)/f'(x0) 这样，得到牛顿法的一个迭代序列：x(n+1)=x(n)－f(x(n))/f'(x(n))。 在对式(6)的求解方法中，应首选牛顿迭代法，因为牛顿迭代法可快速求解出其他方法求不出或难以求出的解。 引入无量纲参数k： 将式(7)代入式(6)得： 的一阶、二阶导函数分别为： 由牛顿迭代法可得： 式中，=0，1，2…为迭代次数；为的初值。 将式(8)、(9)代入式(10)，可得相应于式(6)临界水深对应中心角的牛顿迭代公式： 由式(11)迭代计算出临界水深对应的中心角后，代入式(1)即可得临界水深。 根据文献，为避免渡状水面有可能接触洞顶引起水流封顶现象。洞内水面线以上的空间不宜小于隧洞断面面积的15％，且高度不小于0.4m。可得临界水深对应的中心角的最大值一般不超过4.692，相应可得无量纲参数值的上限为0.5044。故取值范围为[O.000 0,0.504 4]。 查阅文献与的近似公式： 若将式(12)视为初值函数，代入式(11)进行一次迭代计算，不仅得到了直接计算的公式，且提高了计算结果的精度。 其中 将式(13)代入式(1)即得圆形断面临界水深。 计算实例： 某引水式电站输水隧洞为圆形断面，已知洞径d=3.0 m，试确定设计流量Q=8.0m3/s时的临界水深。 四、编程实现 本文采用Fortran软件求解，程序的代码如下： CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告 非线性方程组的牛顿迭代法的应用 一、问题背景 非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱，非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的。道遥咏计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解。从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别。本文主要介绍的是非线性方程组的牛顿迭代法的数值解法。 二、数学模型 对于方程()0=x f ，如果()x f 湿陷性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将线性方程()0=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程()0=x f 有近似根k x （假定()0'≠k x f ），将函数()x f 在点k x 展开，有 ()()()()k k k x x x f x f x f -+≈'， 于是方程()0=x f 可近似地表示为 ()()()0'=-+k k k x x x f x f 这是个线性方程，记其根为1+k x ，则1+k x 的计算公式 ()() k k k k x f x f x x ' 1- =+， ,1,0=k 这就是牛顿法。 三、算法及流程 对于非线性方程 ()()()???? ????????=n n n n x L x x f M x L x x f x L x x f f ,,,,,,,,,2 1212211 在()k x 处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到 用牛顿迭代法求近似根 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第四题 题目：用Newton 法求方程在 74 28140x x -+= （0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）. 解：此题是用牛顿迭代法求解近似根的问题 1. Newton 迭代法的算法公式及应用条件： 设函数在有限区间[a,b]上二阶导数存在，且满足条件 ⅰ. ()()0f a f b <; ⅱ. ()''f x 在区间[a,b]上不变号； ⅲ. ()'0f x ≠; ⅳ. ()()'f c f c b a ≤-，其中c 是a,b 中使()()''min(,)f a f b 达到的一个. 则对任意初始近似值0[,]x a b ∈，由Newton 迭代过程 ()()() 1'k k k k k f x x x x f x +=Φ=-，k=0，1，2… 所生成的迭代序列{ k x }平方收敛于方程()0f x =在区间[a,b]上的唯一解а. 对本题： )9.1()9.1(0 )8(4233642)(0 )16(71127)(0 )9.1(,0)1.0(,1428)(3225333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f Θ 故以1.9为起点 ?? ???='-=+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 2. 程序编写 #include 插值方法在图像处理中的应用 作者： 专业姓名学号 控制工程陈龙斌 控制工程陈少峰 控制工程殷文龙 摘要 本文介绍了插值方法在图像处理中的应用。介绍了典型的最近邻插值、双线性插值、双三次插值、双信道插值、分形插值的原理。以分形插值为重点，在图像放大领域用MATLAB进行仿真，并与其它方法的结果做了比对。指出了各种方法的利弊，期待更进一步的研究拓展新的算法以及改进现有算法。 一、引言 人类通过感觉器官从客观世界获取信息，而其中一半以上的信息都是通过视觉获得的。图像作为人类视觉信息传递的主要媒介，具有声音、语言、文字等形式无法比拟的优势，给人以具体、直观的物体形象。在数字化信息时代，图像处理已经成为重要的数据处理类型。数字图像比之传统的模拟图像处理有着不可比拟的优势。一般采用计算机处理或者硬件处理，处理的内容丰富，精度高，变通能力强，可进行非线性处理。但是处理速度就会有所不足。图像处理的主要内容有：几何处理、算术处理、图像增强、图像复原、图像重建、图像编码、图像识别、图像理解等。以上这些图像处理大体上可分为图像的像质改善、图像分析和图像重建三大部分。 日常生活中，越来越多的领域需要高分辨率图像，采用图像插值技术来提高数字图像的分辨率和清晰度，从软件方面进行改进就具有十分重要的实用价值。多媒体通信在现代网络传输中扮演重要角色，因此插值放大提高图像分辨率是一个非常重要的问题。此外，图像变换被广泛用于遥感图像的几何校正、医学成像以及电影、电视和媒体广告等影像特技处理中。在进行图像的一些几何变换时，通常都会出现输出像素坐标和输入栅格不重合的现象，也必须要用到图像插值。图像插值是图像处理中图像重采样过程中的重要组成部分，而重采样过程广泛应用于改善图像质量、进行有损压缩等，因而研究图像插值具有十分重要的理论意义和实用价值。 图像插值是一个数据再生过程。由原始图像数据再生出具有更高分辨率的图像数据。分为图像内插值和图像间插值。前者指将一幅较低分辨率的图像再生出一幅较高分辨率的图像。后者指在若干幅图像之间再生出几幅新的图像。插值过程就是确定某个函数在两个采样点之间的数值时采用的运算过程．通常是利用曲线拟合的方法进行插值算法，通过离散的输入采样点建立一个连续函数，用这个重建的函数求出任意位置处的函数值，这个过程可看作是采样的逆过程。 20世纪40年代末，香农提出了信息论，根据采样定理，若对采样值用sinc函数进行插值，则可准确地恢复原函数，于是sinc函数被接受为插值函数，也称为理想插值函数。理想插值函数有两个缺点： （1）它虽然对带限信号可以进行无错插值，但实际中带限信号只是一小部分信号。 （2）sinc函数的支撑是无限的，而没有函数既是带限的，又是紧支撑的。 为了解决这个问题，经典的办法是刚窗函数截断sinc函数，这个窗函数必须在0剑l 之间为正数，在l到2之间为负数。sinc函数对应的是无限冲激响应，不适于有限冲激相应来进行局部插值。对数字图像来说，对图像进行插值也称为图像的重采样。它分为两个步骤：将离散图像插值为连续图像以及对插值结果图像进行采样。 经典的图像插值算法是利用邻近像素点灰度值的加权平均值来计算未知像素点处的灰度值，而这种加权平均一般表现表现为信号的离散采样值与插值基函数之间的二维卷积。这种基于模型的加权平均的图像插值方法统称为线性方法。经典的插值方法有：最近邻域法，双线性插值，双三次B样条插值，双三次样条插值，sinc函数等。线性方法，它们一个共同点就是，所有这些基函数均是低通滤波器，对数据中的高频信息都具有滤除和抑制效应，因 . 牛顿插值法一、实验目的：学会牛顿插值法，并应用算法于实际问题。 x?x)f(二、实验内容：给定函数，已知： 4832401.2)?.?1449138f(2.f.f(20)?1.414214(2.1) 549193.)?1f(2.4516575(f2.3)?1. 三、实验要求：以此作为函数2.15插值多项式在处的值，用牛顿插值法求4 次Newton（ 1）2.15?N(2.15)。在MATLAB中用内部函数ezplot绘制出的近似值4次Newton插值多项式的函数图形。 （2）在MATLAB中用内部函数ezplot可直接绘制出以上函数的图形，并与作出的4次Newton插值多项式的图形进行比较。 四、实验过程： 1、编写主函数。打开Editor编辑器，输入Newton插值法主程序语句： function [y,L]=newdscg(X,Y,x) n=length(X); z=x; A=zeros(n,n);A(:,1)=Y';s=0.0; p=1.0; for j=2:n for i=j:n A(i,j)=(A(i,j-1)- A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)); end end C=A(n,n); for k=(n-1):-1:1 C=conv(C,poly(X(k))); d=length(C);C(d)=C(d)+A(k,k); end y(k)= polyval(C, z); L(k,:)=poly2sym(C); 0 / 3 . %%%%%%%%%%%%%%%%%% t=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; fx=sqrt(t); wucha=fx-Y; 以文件名newdscg.m保存。 2、运行程序。 （1）在MATLAB命令窗口输入： >> X=[2,2.1,2.2,2.3,2.4]; Y =[1.414214,1.449138,1.483240,1.516575,1.549193]; x=2.15;[y,P]=newdscg(X,Y,x) 回车得到： 《财务管理》教学中插值法的快速理解和掌握 摘要在时间价值及内部报酬率计算时常用到插入法，但初学者对该方法并不是很容易理解和掌握。本文根据不同情况分门别类。利用相似三角形原理推导出插入法计算用公式。并将其归纳为两类：加法公式和减法公式，简单易懂、理解准确、便于记忆、推导快捷。 关键词插入法；近似直边三角形；相似三角形 时间价值原理正确地揭示了不同时点上资金之间的换算。是财务决策的基本依据。为此，财务人员必须了解时间价值的概念和计算方法。但在教学过程中。笔者发现大多数教材插值法(也叫插入法)是用下述方法来进行的。如高等教育出版社2000年出版的《财务管理学》P62对贴现期的。 事实上，这样计算的结果是错误的。最直观的判断是：系数与期数成正向关系。而4.000更接近于3.791。那么最后的期数n应该更接近于5，而不是6。正确结果是：n=6-0.6=5.4(年)。由此可见，这种插入法比较麻烦，不小心时还容易出现上述错误。 笔者在教学实践中用公式法来进行插值法演算，效果很好，现分以下几种情况介绍其原理。 一、已知系数F和计息期n。求利息率i 这里的系数F不外乎是现值系数(如：复利现值系数PVIF年金现值系数PVIFA)和终值系数(如：复利终值系数FVIF、年金终值系数FVIFA)。 (一)已知的是现值系数 那么系数与利息率(也即贴现率)之间是反向关系：贴现率越大系数反而越小，可用图1表示。 图1中。F表示根据题意计算出来的年金现值系数(复利现值系数的图示略有不同，在于i可以等于0，此时纵轴上的系数F等于1)，F为在相应系数表中查到的略大于F的那个系数，F对应的利息率即为i。查表所得的另一个比F略小的系数记作F，其对应的利息率为i。 编号 毕业设计（论文）题目 Newton Raphson 算法及其应用 二级学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 班级108010101 学生姓名侯杰学号10801010106 指导教师职称 时间 目录 摘要 (3) Abstract (3) 一、绪论 (4) 1.1 选题的背景和意义 (4) 1.2 牛顿迭代法的优点及缺点 (4) 二、Newton Raphson 算法的基本原理 (5) 2.1 Newton Raphsn算法 (5) 2.2 一种修正的Newton Raphsn算法 (7) 2.3 另外一种Newton Raphsn算法的修正 (11) 三、Newton Raphson 算法在计算方程中的应用 (18) 四、利用牛顿迭代法计算附息国债的实时收益率 (21) 4.1附息国债实时收益率的理论计算公式 (22) 4.2附息国债实时收益率的实际计算方法 (22) 4.3利用牛顿迭代法计算 (23) 五、结论 (26) 致谢 (27) 参考文献 (28) 摘要 牛顿在17世纪提出的一种近似求解方程的方法，即牛顿拉夫森迭代法.迭代法是一种不断的用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或被称为一次解法，即一次性解决的问题.迭代法又分为精确迭代以及近似迭代.“牛顿迭代法”就属于近似迭代法，本文主要讨论的就是牛顿迭代法，方法本身的发现到演变到修正的过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，以及用牛顿迭代法解方程，利用牛顿迭代法计算国债的实时收益率。 关键词：Newton Raphson迭代算法；近似解；收益率； Abstract In the 17th century，Newton raised by an approximate method of solving equations，that is Newton Iteration，a process of recursion new value constantly with the old value of variable. Correspond with the iterative method is a direct method or as a solution，that is a one-time problem solving. Iteration is divided into exact iterative and approximate iterative. "Newton Iterative Method" are approximate iterative method. This article mainly focuses on the Newton Iteration. The main contents of this article include the discovery，evolution and amendment process of this methods; an improve of avoiding calculating Newton Iteration with second-order derivative; Newton Raphson iterative method of solving equations and Calculating the real-time yield of government bonds. Keywords: Newton Iterative Algorithm; approximate solution; Yield； 牛顿插值法在处理磁化曲线和铁损曲线 中的应用 指导老师：李国霞 院系：物理工程学院 专业：物理电子学 姓名：夏委委 学号：201112131526 一、牛顿插值法简介 在科学研究与其他领域中所遇到的许多实际问题中，经常会出现函数不便于处理或计算的情形。有时候函数关系没有明显的解析表达式，需要根据实验数据或其他方法来确定与自变量的某些值相对应的函数值；有时候函数虽有明显的解析表达式，但是使用很不方便。因此，在实际应用中，往往需要对实际使用的函数建立一个简单的便于处理和计算的近似表达式，即用一个简单的函数表达式来近似替代原来复杂的函数。与用近似数代替准确值一样，这也是计算法中最基本的概念和方法之一。近似代替又称为逼近。用多项式逼近列表函数的问题即为多项式插值问题。根据函数)(x f 已有的数据表格来计算函数)(x f 在一些新的点x 处的函数值，这就是插值法所要解决的问题。因此，所谓的插值法就是在所给定的函数表格中间在插入一些所需要的新的点上的函数值。 插值法的基本思想：首先设法根据表格中已有的函数值来构造一个简单的函数)(x y 作为)(x f 的近似表达式，然后再用)(x y 来计算新的点上的函数值作为 )(x f 的近似值。通常可以选用多项式函数作为近似函数)(x y ，因为多项式具有 各阶的导数，求值比较方便。用代数多项式作为工具研究插值问题，通常称为代数插值。 代数插值法问题的完整提法如下：设函数)(x f y =在区间[]b a ,上是连续的，且已知)(x f 在区间[]b a ,上1+n 个互异点处的函数值，即n i x f y i i ,......1,0),(== 其中，)(j i x x j i ≠≠。寻找一个次数不高于 n 的多项式 0111)(a x a x a x a x P n n n n n +++=-- 使满足条件n i x f x P i i n ,,1,0),()( ==称)(x P n 为)(x f 的插值多项式，),,1,0(n i x i =称为插值结点，[]b a ,称为插值区间。 牛顿(Newton)插值是数值逼近中的一个重要部分,它向前继承了拉格朗日(Lagrange)插值,向后引出了埃尔米特(Hermite)插值,可以看作对多项式插值作了一个简单的统一。牛顿插值公式具有形式简单,便于计算等优点。因此,在插值中得到广泛的应用。牛顿插值公式为)()()(x R x P x f n n +=，其中)(x P n 是牛顿插值多项式，)(x R n 为牛顿插值余项，)(x P n 和)(x R n 的表达式如下式所示： #include 非线性方程组的牛顿迭代法的应用 CENTRAL SOUTH UNIVERSITY 数值分析实验报告 非线性方程组的牛顿迭代法的应用 一、问题背景 非线性是实际问题中经常出现的，并且在科学与工程计算中的地位越来越重要，很多我们熟悉的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化的，为得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性科学，它是21世纪科学技术发展的重要支柱，非线性问题的数学模型有无限维的如微分方程，也有有限维的。道遥咏计算机进行科学计算都要转化为非线性的单个方程或方程组的求解。从线性到非线性是一个质的变化，方程的性质有本质不同，求解方法也有很大差别。本文主要介绍的是非线性方程组的牛顿迭代法的数值解法。 二、数学模型 对于方程()0=x f ，如果()x f 湿陷性函数，则它的求根是容易的。牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将线性方程()0=x f 逐步归结为某种线性方程来求解。 设已知方程()0=x f 有近似根k x （假定()0'≠k x f ），将函数()x f 在点k x 展开，有 ()()()()k k k x x x f x f x f -+≈'， 于是方程()0=x f 可近似地表示为 ()()()0'=-+k k k x x x f x f 这是个线性方程，记其根为1+k x ，则1+k x 的计算公式 () () k k k k x f x f x x ' 1- =+， ,1,0=k 这就是牛顿法。 三、算法及流程 对于非线性方程 ()()()???? ????????=n n n n x L x x f M x L x x f x L x x f f ,,,,,,,,,2 12 12211 在()k x 处按照多元函数的泰勒展开，并取线性项得到 (){} 2 1 ()(11),5,10,20: 1252 1()1,(0,1,2,,)()2,(0,1,2,,)() ()2 35,20:1100 (i i i i n n k k k Newton f x x n x f x x i i n f x n x y i n Newton N x S x n x k y f x = -≤≤=+=-+====-+ = 题目：插值多项式和三次样条插值多项式。已知对作、计算函数在点处的值；、求插值数据点 的插值多项式和三次样条插值多项式；、对计算和相应的函数值),()() (1,2,,99)4:()max ()()max ()n k n k n k n k n k n k k k N x S x k E N y N x E S y S x ==-=- 和； 、计算，； 解释你所得到的结果。 算法组织: 本题在算法上需要解决的问题主要是：求出第二问中的Newton 插值多项式 )(x N n 和三次样条插值多项式()n S x 。如此，则第三、四问则迎刃而解。计算两 种插值多项式的算法如下： 一、求Newton 插值多项式)(x N n ，算法组织如下： Newton 插值多项式的表达式如下： )())(()()(110010--???--+???+-+=n n n x x x x x x c x x c c x N 其中每一项的系数c i 的表达式如下： 1102110) ,,,(),,,(),,,(x x x x x f x x x f x x x f c i i i i i -???-???= ???=- 根据i c 以上公式，计算的步骤如下： ?? ??? ?? ?????+??????? ???????????----) ,,,,(1) ,,,(),,,,(),(,),,(2)(,),(),(11101111011010n n n n n n n n x x x x f n x x x f x x x f n x x f x x f x f x f x f 、计算、计算、计算、计算 二、求三次样条插值多项式)(x S n ，算法组织如下： 线性方程组的迭代法应用及牛顿迭代法的改进 摘要: 迭代解法就是通过逐次迭代逼近来得到近似解的方法。由于从不同 的问题而导出的线性代数方程组的系数矩阵不同，因此对于大型稀疏矩阵所对应线性代数方程组，用迭代法求解。本文论述了Jacobi 法，Gauss-Seidel 法，逐次超松弛法这三种迭代法，并在此基础上对牛顿型的方法进行了改进，从而使算法更为精确方便。 关键词:线性方程组，牛顿迭代法，Jacobi 法，Gauss-Seidel 法，逐次超松弛 法 1.线性方程组迭代法 1.1线性方程组的迭代解法的基本思想 迭代法求解基本思想:从某一初始向量X （0）=[x 1(0) ,x 2(0) ,……………x n (0) ]出发，按某种迭代规则，不断地对前一次近似值进行修改，形成近似解的向量{X (k)}。当近似解X (k) =[x 1(k) ,x 2(k) ,……………x n (k) ]收敛于方程组的精确解向量X* =[x 1*,x 2*,……………x n *]时，满足给定精度要求的近似解向量X (k)可作为X*的数值解。 1.2 线性方程组的迭代法主要研究的三个问题 (1) 如何构造迭代公式 (2) 向量数列{X (k)}的收敛条件 (3) 迭代的结束和误差估计 解线性方程组的迭代解法主要有简单迭代法、 Gauss-Seidel 法和SOR 法。简单迭代法又称同时代换法或Jacobi 法，是最简单的解线性方程组的迭代解法也是其他解法的基础。 1.3Jacobi 迭代法 设方程组点系数矩阵n n j A ai R ???=∈??满足条件0ii a ≠，i=0,1,2, …n 。把A 分解为 A=D+L+U常见的插值方法及其原理
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