1．设 A 、B 为随机事件，P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8.则P(B )A 0.7 . 2. 三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为1/5、1/4、1/3，此密码能被译出的概率是= 3/5 .
3. 设随机变量2(,)X μσN ，X
Y e =，则Y 的分布密度函数为 . 4. 设随机变量2(,)X μσN ，且二次方程240y y X ++=无实根的概率等于0.5， 则
μ= .
5. 设()16,()25D X D Y ==，0.3X Y ρ=，则()D X Y += 43.7 .
6. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 n/2 .
7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两. 则100
个该型号螺丝钉重量不超过
10.2
斤的概率近似为
（答案用标准正态分布函数表示）.
8. 设1
,,X X X 是来自总体(0,1)X N 的简单随机样本，统计量12()~()C X X t n +，则常数C = ,自由度n = .
1.（10分）设袋中有m 只正品硬币，n 只次品硬币(次品硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币，将它投掷r 次，已知每次都得到国徽.问这只硬币是正品的概率是多少？
2.（10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）X 服从指数分布，其概率密度函数为
/5
(1/5)0()0
x e x f x -?>=?
?其它
某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，他就离开. 他一个月到银行5次.以Y 表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y 的分布律，并求{1}P Y ≥.
3.（10分）设二维随机变量(,)X Y 在边长为a 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：
(1) 求随机变量X ,Y 的边缘概率密度； (2) 求条件概率密度|(|)X Y f x y . .
4.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2
(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
5.（10分）某车间生产的圆盘其直径在区间(,)a b 服从均匀分布, 试求圆盘面积的数学期望.
三. （10分）设12,,n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为
1,(;,)0,x e
x f x μ
θ
μθμθ
--?>?=???
其它
其中,0μθ>是未知参数，12,,,n x x x 是一组样本值，求： （1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.
四. （8分）假设?θ是θ的无偏估计，且有?()0D θ
>试证2
?θ2?()θ=不是2
θ的无偏估计.
五. （8分）设112,,,n X X X 是来自总体211~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y 是来自
总体222~(,)Y N μσ的一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为22
12,S S ，且设221212
,,,μμσσ均为未知. 欲检验假设22
012:H σσ=，22112:H σσ<，显著性水平α事先给定. 试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.
1．设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则
=)(A B P .
2. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 .
3. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，则该射手的命中率为 .
4. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 .
5. 设随机变量22~()n χχ，则2()E χ ，2()D χ .
6. 设()3D X =，31Y X =+，则,||X Y ρ= .
7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两.则100
个该型号螺丝钉重量不超过
10.2
斤的概率近似为
（答案用标准正态分布函数表示）.
8. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体2(0,2)N 的样本，令221234()(),Y X X X X =++-则当C = 时,CY ～2(2)χ.
1．将一枚均匀硬币掷四次，则四次中恰好出现两次正面朝上的概率为 。
2． 已知
41
)(,21)|(,31)(=
==B P A B P A P ，则=)|(B A P _________________。
3.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若
4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为_________ 。
4.设随机变量X 的数学期望EX=4,方差DX=20,则EX 2
＝ 。
5.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
，y x x y x f 其他,
10,0,6),(≤≤≤??
?= 则=≤+}1{Y X P _________ 。
1.（10分）已知男人中有5%是色盲，女人中有0.25%是色盲. 今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？
2.（10分）一篮球运动员的投篮命准率为45%，以X 表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X 的分布律，并计算X 取偶数的概率.
3.（10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从2(160,20)N 分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.
4.（10分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为
2211(,)0
x y f x y π
?+≤?
=???其它
(1) 求随机变量X ,Y 的边缘密度及,X Y 的相关系数,X Y ρ；
(2) 判定,X Y 是否相关是否独立.
5.（10分） 假定一条生产流水线一天内发生故障的概率为0.1，流水线发生故障时全天停止工作. 若一周5个工作日中无故障这条生产线可产生利润20万元，一周内如果发生一次故障仍可产生利润6万元，发生两次或两次以上故障就要亏损两万元，求一周内这条流水线产生利润的数学期望.
三. （10分）设12,,n X X X 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为.
1,(;,)0,x e
x f x μθ
μθμθ
--?>?=???
其它
其中,0μθ>是未知参数， 12,,,n x x x 是一组样本值，求： （1）,μθ的矩法估计； （2）,μθ的极大似然估计.
四. （8分）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从参数为0λ>的泊松(Poisson)分布，证明X Y +仍服从泊松分布，参数为2λ.
五. （8分）设112,,,n X X X 是来自总体211~(,)X N μσ的一组样本，212,,,n Y Y Y 是来自总体222~(,)Y N μσ的
一组样本，两组样本独立. 其样本方差分别为22
12,S S ，且设2
2
1212,,,μμσσ均为未知. 欲检验
假设22012:H σσ=，22
112:H σσ>，显著性水平α事先给定. 试构造适当检验统计量并给出
拒绝域（临界点由分位点给出）.
六、盒子中有4个红球，2个白球。
（1） 从中任取3个，至少一个白球的概率。
（2） 有放回地取3次，每次取一球，以X 表示取出的白球数，求X 的概率分布以及
期望EX 和方差DX 。（10分）
1．设P(A)=0.8, P(B)=0.7, P(A|B)=0.8，则下列结论正确的是( )。
A. 事件A 与B 相互独立
B. 事件A 与B 互斥 C ．B A D. P(A+B)=P(A)+P(B)
2. 一批产品共50个,其中45个是合格品，5个是次品，从这些产品中任取3个,其中有次
品的概率有( )。 A
350
35C C B 3
50
35
350C C C - C 350
345C C D 3
50
345
350C C C -
3．若随机变量X 的概率密度为2
4
4221)(-+-=
x X e
x f π
, 则E(X)=( )。
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
4. 设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N （0，1）和N （1，1），则以下结论成立的是( )。
A. 1{0}2P X Y +≤=
； B. 1{1}2P X Y +≤= C. 1{0}2P X Y -≤= D. 1
{1}2
P X Y -≤=
5. 对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立 B. X 和Y 不独立 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y)
1．设A,B,C 是三个随机事件，事件：“A,B,C 中至少有两个发生”，可以用A,B,C 表示为 .
2. 已知事件A,B 相互独立且互不相容，{}min P(A),P(B)= .
3. 设随机变量ξ服从泊松分布，且(1)(2),p p ξξ===则(4)p ξ= .
4. 设二维随机变量(,)ξη的联合分布函数为(,)F x y ，概率(,)p a b d ξη≤<<可以用
(,)F x y 表示为 .
5. 掷硬币n 次，正面出现次数的数学期望为 .
6. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两。则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 （答案用标准正态分布函数表示）.
1.（8分）设有甲乙两袋，甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球.今从甲袋中任取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球.问从乙袋中取到白球的概率是多少？
2.（8分）二维随机变量),(ηξ的联合分布律为
22
(,)(1)2,3,,
1,2,1,01
j P i j p p j i j p ξη-===-==-<<
（1）.求边际分布律i P 和P j ；（2）.求条件分布律ξ|ηP (|)i j
3.（8分）设(,)ξη的联合密度函数为
1
,
01,02(,)2
0,
x y f x y ?≤≤≤≤?=???
求（1）ξ与η中至少有一个小于1/2的概率；（2）ξη+大于1的概率.
4.（8分）设随机变量),X N μσ 2（,),Y N μσ 2（,且设X 与Y 相互独立，试求
1Z X Y αβ=+与2Z X Y αβ=-的相关系数（其中α、β是不为零的常数）.
5.（8分）某商品一周的需要量是一个随机变量,其概率密度为
,0()0,
x e x f x x λλ-?≥=?
设各周的需要量是相互独立的，试求两周需要量的密度函数.
三. （15分）设总体X 的分布密度为
1,
0(,)0,
x f x θθθ
?≤≤?=???其它
其中0θ>是未知参数， 12(,,,)n X X X =X 是来自总体X 的样本，求：
（1）θ的矩法估计量1
?θ； （2）验证 1θ、2?[(1)/]n n M θ=+都是θ的无偏估计量(其中1max{,}n M X X = )； （3）比较 1θ、2
?θ两个无偏估计量的有效性.
四. （7分）假设总体的分布密度为
2222exp(),
0(;)00
x x x f x x θθθ
?->?=??≤?
其中0θ>是未知参数，试求参数θ的极大似然估计量.
五. （8分）设总体20~(,)X N μσ分布， 12(,,,)n X X X =X 为一组样本。欲检验假设
00:H μμ=，10:H μμ≠，显著性水平α事先给定，(,)μ∈-∞+∞未知，200σ>已知. 试
构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）.
六、某公司在第一和第二个厂生产电视机显象管，每周产量共3000个，其中第一厂生产1800个有1%为次品，第二厂生产1200个有2%为次品。现从每周生产的产品中任选一个，求下列事件的概率：（1）选出的产品为次品；（2）已知选出的产品为次品，它是第一厂生产的概率。（10分）
一、填空题（本大题共6小题，每小题3分，总计18分）
1. 设,A B 为随机事件,()()0.7P A P B +=,()0.3P AB =,则()()
P AB P AB += 2．10件产品中有4件次品,从中任意取2件,则第2件为次品的概率为 3．设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,则2
Y X =的概率密度函数为
4．设随机变量X 的期望()3E X =,方差()5D X =,则期望()2
4E X ??+=??
5. 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得
{}
22P X -≥≤ .
6. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本,则当a = 时,
()()2
2
123422Y a X X a X X =++-~()22χ.
三、甲袋中3个球的编号分别为1，2，3，乙袋中3个球的编号分别为4，5，6， 今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，问该球为偶数号球的 概率为多少？
四 设随机变量X 与Y 的联合概率密度为
()2221,0
,0
x y y f x y π
?+<>?
=???其它
试证：随机变量X 与Y 不独立，而且X 与Y 不相关。
（10分）
五．设二维随机变量Y 与X 的联合分布密度???<<<<=其它,
01
0,,6),(2x x y x y x f
分别求关于X 与关于Y 的边缘密度函数。
六．设连续型随即变量X 的概率密度??
?
??<≤-<≤-+=其它,01
0,10
1,1)(x x x x x f ，
求E(X ),D(X )
七．设甲乙两人加工同一种零件，其零件的直径分别为随机变量为X,Y,且
),(~),,(~2
22211σμσμN Y N X ，今从它们的产品中分别抽取若干进行检测，测得数据如下：397.4,50.21,7,216.2,93.20,82222111======s y n s x n
试比较两人加工精度（方差）在显著性水平05.0=α 下有无显著差异。 （查表：12.5)7,6(,70.5)6,7(025.0025.0==F F ）
八． 设随机变量X 与Y 独立，且X 服从（0，1）上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数
分布，求：
（1）2Z X Y =+的概率密度；
（2）max(,)M X Y =的概率密度。（10分）
六. 设X 在（0，1）上服从均匀分布，Y 服从参数为1的指数分布，又设X 和Y 相互独立，试求Z=X+Y 的密度函数。（10分）
七．袋中有2只白球，3只黑球，现在进行无放回模球，定义：
???=，第一次摸出黑球第一次摸出白球0,1X ??
?=，第二次摸出黑球第二次摸出白球0,1Y
试求：（1）（X,Y ）的联合概率分布;(2) X 与Y 的边际分布。 （3）问X 与Y 是否独立？（10分）
八．设一个系统由两个相互独立的灯泡连接而成，两个灯泡的寿命分别为X 和Y ，且都服从参数为1的指数分布，求：（1）当这两个灯泡并联时，系统的寿命的概率密度；（2）当这两个灯泡串联时，系统的寿命的概率密度。（10分） 九．设随机变量服从拉普拉斯分布，其密度函数为∞<<-∞=
-x e x f x
,2
1)( 试求：（1）求E （X ）和D （X ）；（2）求X 与x 的协方差，并问X 与x 是否不相关？（3）问X 与x 是否独立？（10分）
1．设(|)1P B A = ，则下列命题成立的是＿＿＿＿＿
A ．
B A ? B ． A B ? Ｃ.A B -=Φ Ｄ．0)(=-B A P
2．设随机变量的概率密度21()01x x f x x -?T >=?≤?
，则T=（ ）。
(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2
3．设连续型随机变量的分布函数和密度函数分别为()F x 、()f x ，则下列选项中正确的是＿＿＿＿＿
A ． 0()1F x ≤≤
B ．0()1f x ≤≤ Ｃ．{}()P X x F x ==
Ｄ．{}()P X
x f x ==
4．设1
X ，2
X 独立，i
1{0}2P X
==
，i 1
{1},(i 1,2)2
P X ===，下列结论正确的是
＿＿＿＿＿ Ａ．1
X
=2
X B ．1
{P X
=2
}1X = C ．1{P X
=
21}2
X = D ．以上都不对
5设 ()2~,X N μσ，其中μ已知,2σ未知,1234,,,X X X X 为其样本， 下列各项不是统
计量的是＿＿＿＿
Ａ．4114i i X X ==∑ Ｂ．142X X μ+- Ｃ．4
22
1
1
()i
i K X
X σ==-∑
Ｄ．4
2
1
1()3i i S X X ==-∑
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，总计15分
1 .设A 、B 、C 、是三个随机事件。用A 、B 、C 表示事件“A 、B 、C 至少有一个发生”
2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是 3．设随机变量X 与Y 相互独立，()()~1,2,~0,1,X N Y N 则随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数
4．已知()
2
~2,0.4,X N -则()2
3E X +=
5.设()~,4X N μ，容量9n =，均值 4.2X =，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为 (查表0.025 1.96Z =)
三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分）
1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？
2．设连续型随机变量X 的密度为 ?
??≤>=-.0,00
,)(5x x Me x f x
(1)确定常数M (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x).
3、设二维随机变量(X,Y) 的协方差矩阵为
9444-?? ?-??
而且()()1,2E X E Y ==，试求()()22
23,367D X Y E X Y XY -+--
（10分）
4. 设1,,n X X 是取自总体X 的一个样本，X 的密度函数为
()()1010x x f x θ
θ?+<>=?
?
其它
其中0θ
>未知，求θ的矩估计和最大似然估计。 （10分）
5．设样本1
21,,,,=n n X X X X 来自总体），（2
~σμN X ，∑==n
i I X 1
n 1X
∑=-=n i i
X X S 12
2
)(1-n 1 ，试证：)1(~1
S
1-+-=+n t n n
X X t n 。 （10分） 6．设12n X ,X ,X ?,为总体X 的一个样本，X 的密度函数()1,01
0,
x x f x ββ-?<<=??其他，
0β>.求参数β的矩估计量和极大似然估计量。
四、证明题（本大题共2小题，共10分）
1. 设三个事件,,A B C 满足AB C ?,试证明:()()()1P A P B P C +≤+
2. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立
一 填空题（每题3分，共15分）
1．从含有6个红球，4个白球和5个蓝球的盒子里随机地摸取一个球，则取到的是红球的事件的概率等于 。
2．若()()520,0
,0x y Ae
x y x y ?-+?>>?=?
??
其它
为随机变量(),ξη的联合概率密度，则常数
A=________________。
3. 设(),X R a b ，则()2D X =
4. 当()
2
,X N μσ 时，Y kX c =+
，其中,0k c k ≠为常数，且。
5.
设),,,(21n Y Y Y 是来自总体Y 的样本,Y 的分布密度为
?
?
??<<=-)1,0(01
0),(1x x x x f θθθ则参数θ的矩法估计为θ=.
______,,
二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共6
个小题，每小题3分，总计18分）
1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( )
(A) ()|P A B ; (B) ()|P B A ; (C) ()
|P A B ; (D) ()P AB
2. 设随机变量X ~()1,1N ,概率密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( )
(A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 3. 设()f x 是随机变量X 的概率密度,则一定成立的是( )
(A) ()f x 定义域为[0,1]; (B) ()f x 非负; (C) ()f x 的值域为[0,1]; (D) ()f x 连续
4. 设4{1,1}9P X Y ≤≤=
,5
{1}{1}9
P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( ) (A) 23; (B) 2081; (C) 49; (D) 13
5. 设随机变量(),X Y 的方差()4D X =,()1D Y =,相关系数0.6XY ρ=,则方差
()32D X Y -= ( )
(A) 40; (B) 34; (C) 17.6; (D) 25.6
6. 设12,,,n X X X 是正态总体X ~()
2
,N μσ的样本,其中σ已知,μ未知,则下列不是统计
量的是( )
(A) 1max k k n
X ≤≤; (B) 1min k k n
X ≤≤; (C) X μ-; (D)
1
n
k
k X σ
=∑
三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，共计60分）
1．甲乙丙三个同学同时独立参加考试,不及格的概率分别为: 0.2 ,0.3,0.4,
(1) 求恰有2位同学不及格的概率；
(2) 若已知3位同学中有2位不及格,求其中1位是同学乙的概率.
2．已知连续型随机变量X 的分布函数为2
20,
0(),0
x x F x A Be x -≤??
=??+>?, 求: (1) 常数,A B 的值; (2) 随机变量X 的密度函数()f x
;(3) )
2P X <<
3．设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为:
,
()0,
0x X e x f x x -?>=?
≤?,1,01
()0,Y y f y <
其他,
求随机变量Z X Y =+的概率密度
4．设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：,02,(,)0,
A x y x
f x y ?<<<=?
?其他
（1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；
（3）X 和Y 是否独立?
5 . 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数：3,0,01
(,)0,
y x y y f x y <<<
?其他
求（1）数学期望()E X 与()E Y ；（2）X 与Y 的协方差(),Cov X Y
6 . 设总体X 概率密度为()1,01()0,
x x f x θθ?+<<=??其他，1θ>-未知，12,,n X X X 为来
自总体的一个样本. 求参数θ的矩估计量和极大似然估计量.
四、证明题（本大题共1小题，每小题4分，共4分）
1. 设,,A B C 任意三个事件,试证明:()()()()P AB P BC P B P AC +-≤
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）
1. 设,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B = ,则()|P A B =
2．设10把钥匙中有2把能打开门, 现任意取两把, 能打开门的概率是
3．设X ~(10,3),N Y ~(1,2)N , 且X 与Y 相互独立, 则(32)D X Y -= 4．设随机变量[0,6]X 在区间上服从均匀分布,则关于未知量x 的方程2
210x Xx ++=有
实根的概率为_________
5. 设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得
{}212P X <<≥ .
二、选择题（在各小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5个小题，每小题4分，总计20分）
1．设事件,A B 相互独立,且()0P A >,()0P B >,，则有
(A) ()|0P B A =; (B) ()()|P A B P A =; (C) ()|0P A B =; (D) ()()P AB P A = 2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+
(A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小
3. 设1{0,0}5P X Y ≥≥=
,2
{0}{0}5
P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= (A) 15; (B) 25; (C) 35; (D) 45
4．设,X Y 相互独立，X 服从()0,2上的均匀分布，Y 的概率密度函数为
,0
()0,0y Y e y f y y -?≥=?
，则{}1P X Y +≥=＿＿＿＿ (A) 11e --; (B) 2
1e --; (C) 212e --; (D) 110.5e -- 5. 设总体X ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ
的无偏估计量的是
(A) X ; (B) 123X X X +-; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D)
1
n
i
i X
=∑
三、计算题（本大题共5小题，每小题10分，共计50分）
1．某产品整箱出售，每一箱中20件产品，若各箱中次品数为0件，1件，2件的概率分别
为80％，10％，10％，现在从中任取一箱，顾客随意抽查4件，如果无次品，则买下该箱产品，如果有次品，则退货，求: (1) 顾客买下该箱产品的概率；(2) 在顾客买下的一箱产品中，确实无次品的概率.
2．已知随机变量X 的密度为,01
()0,ax b x f x +<
其它,且{1/2}5/8P x >=,
求: (1) 常数,a b 的值; (2) 随机变量X 的分布函数()F x
3．设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：21
,01,02;
(,)3
0,
x xy x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他 （1）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（2）求条件密度()()|||,|X Y Y X f x y f y x ；
（3）求概率{}P X Y >.
4 . 设随机变量,X Y 独立同分布，都服从参数为λ的泊松分布，设
2U X Y =+,2V X Y =-, 求随机变量U 与V 的相关系数UV ρ
5 . 设总体X ~(100,)b p 为二项分布，01p <<未知，12,,n X X X 为来自总体的一个样
本. 求参数p 的矩估计量和极大似然估计量。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）
1. 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立
2. 设总体为X , 期望()E X μ=,方差()2
D X σ=,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样
本, 样本均值11n i i X X n ==∑,样本方差()22
1
11n i
i S X X n ==--∑,证明:2S 是参数2σ的无偏估计量
一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题
共5小题，每小题3分，总计15分）
1．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现奇数点的条件下出现3点的概率为（ ）。
(A)1/3 (B)2/3 (C)1/6 (D)3/6
2．设随机变量的概率密度?
??≤>=-101
)(2x x Bx x f ，则B=（ ）。
(A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 3．对于任意随机变量Y X ,，若)()()(Y E X E XY E =，则（ ）。 (A) )()()(Y D X D XY D = （B ）)()()(Y D X D Y X D +=+ (C) Y X ,一定独立 （D ）Y X ,不独立
4．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2221,χχ独立，则~2
221χχ+（ ）
。 (A) )(~
22
221n χχχ+ （B ）~2
2
21χχ+)1(2-n χ (C) ~2221χχ+t(n) （D ）~2221χχ+)(212n n +χ
5．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．设A 、B 为互不相容的随机事件,5.0)(,2.0)(==B P A P 则=?)(B A P （ ）。 2．设有9件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ ）。 3．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 01 0, 1)(x x f 则{}=>3.0X P （ ）。 4．设D(X)=9, D(Y)=16, 5.0=xy ρ，则D(x+y)=（ ）。 5．设),(~2σμN X ，则 ~n X σμ -（ ） 。 三、计算题（本大题共6小题，每小题10分，总计60分） 1．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％，又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ 2．设连续型随机变量X 的密度为 ? ??≤>=-.0,00 ,)(5x x Me x f x (1)确定常数M (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x). 3．设二维随机变量Y 与X 的联合分布密度???<<<<=其它, 01 0,,6),(2x x y x y x f 分别求关于X 与关于Y 的边缘密度函数。 4．设连续型随即变量X 的概率密度?? ? ??<≤-<≤-+=其它,01 0,10 1,1)(x x x x x f ， 求E(X ),D(X ) 5．设甲乙两人加工同一种零件，其零件的直径分别为随机变量为X,Y,且 ),(~),,(~2 22211σμσμN Y N X ，今从它们的产品中分别抽取若干进行检测，测得数据如 下：397.4,50.21,7,216.2,93.20,82 222111======s y n s x n 试比较两人加工精度（方差）在显著性水平05.0=α 下有无显著差异。 （查表：12.5)7,6(,70.5)6,7(025.0025.0==F F ） 6．在上题的基础上，求21μμ-的置信度为90％的置信区间。)7709.1)13((05.0=t 四．证明题（本大题共2小题，总计10分） 1．设t ?是参数t 的无偏估计，且0)?(>t D ，证明: 2 ?t 不是2 t 的无偏估计量。 2．设 ,,,,21n ξξξ是独立随机变量序列，对它成立中心极限定理，试证对它成立大数定 理的充要条件为)()(221n o D n =+++ξξξ 。 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中，本大题 共5小题，每小题3分，总计15分） 1．设随机变量的概率密度???≤>=-10 1.)(2x x x x f θ，则θ=（ ）。 (A)1/2 (B)1 (C)-1 (D)3/2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现2点的概率为（ ）。 (A) 3/6 (B)2/3 (C)1/6 (D) 1/3 3．设)(~),(~ 22221221n n χχχχ，2221,χχ独立，则~2 221χχ+（ ）。 (A) )(~ 22 22 1n χχχ+ （B ）~2 2 21χχ+)1(2-n χ (C) ~2 22 1χχ+t(n) （D ）~2 22 1χχ+)(212n n +χ 4．对于任意随机变量z ,y ，若)z ()y ()yz (E E E =，则（ ）。 (A) )z ()y ()yz (D D D = （B ）)z ()y ()z y (D D D +=+ (C) z ,y 一定独立 （D ）z ,y 不独立 5．设)4,1(~N X ，且6179.0)3.0(=Φ，6915.0)5.0(=Φ，则P{0 二、填空题（在每个小题填入一个正确答案，填在题末的括号中，本大题共5小题，每小题3分，总计15分） 1．设有5件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率为（ ）。 2．设A 、B 为互不相容的随机事件,5.0)(,3.0)(==B P A P 则=?)(B A P （ ）。 3．设D(X)=4, D(Y)=9, 5.0=xy ρ，则D(x+y)=（ ）。 4．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 01 0,1)(x x f 则{}=>2.0X P （ ）。 5．设),(~2σμN X ，则 ~n X σμ -（ ） 。 三、计算题（本大题共6小题，每小题12分，总计60分） 1．设连续型随机变量X 的密度为 ???≤>=-.0, 00 ,B )(5x x e x f x (1)确定常数B (2)求}2.0{>X P (3)求分布函数F(x). 2．某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的40％，35％，25％， 又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ 3．设连续型随机变量X 的概率密度?? ? ??≤≤-<≤-+=其它,01 0,101,1)(x x x x x f ， 求E(x),D(x) 4．设二维随机变量（X, Y ）的分布密度???<<<<=其它, 01 0,,6),(2x x y x y x f 求关于X 和关于Y 的边缘密度函数。 5．有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值503.75x =克，样本方差 6.2022S =。求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。（0.05α=，查表 ()0.02515 2.1315 t =） 6.某厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布() 2 ,N μσ,μ=40cm/s, 2/cm s σ=。现在用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n =只，测得燃烧率的样本 均值为41.25/x cm s =。设在新方法下总体均方差仍为2cm/s ，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？取显著性水平0.05α=。（查表 0.05 1.645Z =） 四．证明题（本大题共1小题，总计10分） 设}{k X 为相互独立且同分布的随机变量序列，并且k X 的概率分布为P{k X =2i-2lni }=2-i (i=1,2,…), 试证}{k X 服从大数定理。 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 《概率论与数理统计》复习题一答案 一、是非题 1、对事件A 与B , 一定成立等式()A B B A -=. (错) 2、对事件A 和B , 若()()1P A P B +>, 则这两个事件一定不是互不相容的. (对) 3、设1, ,n X X 是来自总体2 ~(,)X N μσ的简单样本, 则统计量1 1n i i X X n ==∑和 21 ()n i i X X =-∑不独立. (错) 4、若事件A 的概率()0P A =, 则该事件一定不发生. (错) 5、设总体X 的期望()E X μ=存在, 但未知, 那么1 1n i i X n =∑为参数μ的相合估计量. (对) 二、填空题 6、已知随机事件A 和B 的概率分别为()0.7P A =和()0.5P B =, 且()0.15P B A -=,那么, (|)P B A = ()()()0.50.15 0.5()()0.7 P AB P B P B A P A P A ---===. 7、设随机变量X 服从区间[1,1]-上的均匀分布, 随机变量2 Y X =, 则它们的协方差系数cov(,)X Y = ()()()0 E X E Y E XY -=; 事件12Y ? ? ≤ ???? 的概率12P Y ? ?≤= ??? ?12dx =?. 8、甲乙两人独立抛掷一枚均匀硬币各两次, 则甲抛出的正面次数不少于乙的概率为 11 16 . 9、如果1,,n X X 是来自总体~(1,)X b p (服从01-分布)的简单样本, 而1,,n x x 是 其样本观测值. 那么最大似然函数为1 1 (1) n n i i i i x n x p p ==- ∑ ∑-. 三、选择题 10、随机变量X 以概率1取值为零, Y 服从(1,)b p (01-分布), 则正确的是 ★编号：重科院（ ）考字第（ ）号 第 1 页 复习题一 一、选择题 1．设随机变量X 的概率密度21 ()0 1x x f x x θ-?>=?≤?，则θ=（ ）。 A ．1 Ｂ. 12 C. -1 Ｄ. 3 2 2．掷一枚质地均匀的骰子，则在出现偶数点的条件下出现4点的概率为（ ）。 A ．12 Ｂ. 23 C. 16 Ｄ. 13 3．设)(~),(~22221221n n χχχχ，2 221,χχ独立，则~2221χχ+（ ）。 A ．)(~22221n χχχ+ Ｂ. ~2 221χχ+)1(2 -n χ C. 2212~()t n χχ+ Ｄ. ~2221χχ+)(212 n n +χ 4．若随机变量12Y X X =+，且12,X X 相互独立。~(0,1)i X N （1,2i =），则（ ）。 A ．~(0,1)Y N Ｂ. ~(0,2)Y N C. Y 不服从正态分布 Ｄ. ~(1,1)Y N 5．设)4,1(~N X ，则{0 1.6}P X <<=（ ）。 A ．0.3094 Ｂ. 0.1457 C. 0.3541 Ｄ. 0.2543 二、填空题 1．设有5个元件，其中有2件次品，今从中任取出1件为次品的概率为 2．设,A B 为互不相容的随机事件，()0.1,()0.7,P A P B ==则()P A B =U 3．设()D X =5, ()D Y =8,,X Y 相互独立。则()D X Y += 4．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 010, 1)(x x f 则{}0.2P X >= 三、计算题 1．设某种灯泡的寿命是随机变量X ，其概率密度函数为 5,0 ()0, 0x Be x f x x -?>=?≤? (1)确定常数B (2)求{0.2}P X > (3)求分布函数()F x 。 2．甲、乙、丙三个工厂生产同一种产品，每个厂的产量分别占总产量的40％，35％， 25％，这三个厂的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。现从三个厂生产的一批产品中任取 苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013年8月 习题1-1 样本空间与随机事件 1．选择题 （1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）AB AC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C （2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ） A {}123T T T t ++> B {}123TT T t > C {}{}123min ,,T T T t > D {}{} 123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。 解：{},18543 ，，，＝Ω ；{} 18,,12,11 ＝A 。 （2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。 解：{ } ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。 （3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量 长度与规格的误差不超过0.1。 。 3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ， B ， C 都发生：解： ABC ； （2） A ， B ，C （3） A 发生， B 与 C （4） A ， B ， C 中至少有一个发生：解：C B A ?? （5） A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示 下列各事件： （1）只有一个是次品； ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）； 9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题 概率统计复习题 （同济大学浙江学院） 一、知识要点 1.古典概率计算公式 设Ω为样本空间，A 为事件，则事件A 发生的概率为 ().A A n P A n ?? = ? ?Ω?? 概率公式 ⑴和的概率公式 ()( )() ().P A B P A P B P A B =+- 当,A B 互不相容时()A B ?=? ()()().P A B P A P B =+ 当,A B 独立时()()()()P AB P A P B ?= ()()() ()().P A B P A P B P A P B =+- ⑵条件概率公式 ()() () |.P AB P A B P B = ⑶乘法公式 ()()()|.P AB P A B P A = ⑷全概率公式及逆概率公式 设12,,,n A A A 为完备事件组，B 为任意一事件，则 ()()()1|;n i i i P B P A P B A ==∑ ()() () (|)|.i i i P B A P A P A B P B = 2.6个常用分布和数字特征 名称 分布形式 期望 方差 ()2E X 01- p ()1p p - p 二项分布 ()() 1n k k k n P X k C p p -==- np ()1np p - np 泊松分布 ()e ! k P X k k λλ-== λ λ 2λλ+ 均匀分布 ()1 , ,0, else. a x b f x b a ?<=?? 1 λ 2 1λ 2 2λ 正态分布 ()()2 2 21 e 2πx f x μσσ -- = μ 2σ 22σμ+ 3.正态分布概率计算 ⑴若()2,X N μσ ，则().b a P a X b μμσσ--???? <<=Φ-Φ ? ????? ⑵若()2,,,X N Y aX b μσ=+ 则()22,.Y N a b a μσ+ 4.二维连续型随机变量的边缘密度函数 设(),X Y 为二维连续型随机变量，(),f x y 为其联合密度函数，则边缘密度函数分别为 ()()()(),d ,,d .X Y f x f x y y f y f x y x ∞∞ -∞ -∞ ==?? 随机变量(),X Y 是独立的()()(),.X Y f x y f x f y ?= 5.数字特征 ⑴数学期望 ①离散型 ()1.n i i i E X x p ==∑ ②连续型 ()()d .E X xf x x ∞ -∞ =? ③函数的期望 离散型，设X 是离散型随机变量，()Y g X =为随机变量的函数，则 ()()1.n i i i E Y g x p ==∑ 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 考试的形式、试卷结构 1. 考试形式为闭卷、笔试。满分100分，考试时间为120分钟。 2. 试卷内容比例：第一、二、三章约占27%，第四章约占29%，第六章约占14%，第七章约 占16%，第八、九、十章约占14%。 3. 试卷题型比例：填空题占15%，选择题占15%，计算题占49%，综合题占21%. 题型示例与答案 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 1．在随机事件A ，B ，C 中至多有一个发生的事件可表示为_________________； 2．设随机事件A 与B 互斥，则P(AB)等于___________； 3．设随机变量X 的数学期望E(X)=a ，则E(2X+5)等于______________________； 4．设随机变量X 的方差D(X)=b, 则D(2X+5)等于______________________； 5．设随机变量X 服从正态分布N(μ，σ2), 则其密度函数f(x)=_______ __________。 二、单选题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。） 1. A 与B 是两个随机事件，若AB ≠φ，则A 与B 关系是（ ）。 (A) 对立； (B) 独立； (C)互斥； (D) 相容 2. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p ，则在成功2次之前已经失败3 次的概率为： A ．32)1(4p p - B ．3)1(4p p - C ．32)1(10p p - D ．3 2)1(p p - 3. 设F(x)是随机变量X 的分布函数，则F(x)具有性质( )。 x x x x A F x 1B F x 1C F x 0D F x →+∞ →-∞ →+∞ →+∞ ====+∞()lim (),()lim (),()lim (),()lim (). 4. 设随机变量X 服从分布N(μ，σ2)，其数学期望和标准差分别是( )。 (A) μ，σ； (B) μ，σ 2； (C) σ, μ； (D)σ2，μ 5. 设?θ 是总体参数θ的无偏估计量，则有( )。 (A)D θ =θ?()； (B)E θ=θ?()； (C)θ=θ?； (D)2D θ =θ?() 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分。要求解题有过程） 1.设两事件A 与B 互斥，且()()0.3,0.8P A P A B ==，求()P B 。 2.袋内装有4个白球，5个黑球，今从中任取两个球，求两个球均为白球的概率； 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 第一章 1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6 1_______. 2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4 1_____. 3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. 5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________. 6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______． 7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________． 8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同 颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 第七章课后习题答案 7.2 设总体12~(12,4),,,,n X N X X X L 为简单随机样本,求样本均值与总体均值之 差的绝对值大于1的概率. 解:由于~(12,4)X N , ~(0,1)X N 7.3 设总体~(0,0.09),X N 从中抽取10n =的简单随机样本，求1021 1.44i i P X =?? >???? ∑. 解：由于~(0,0.09),X N 所以~(0,0.09),i X N 故 ~(0,1)0.3 i i X X N σ --= 所以 10 2 21 () ~(10)0.3i i X χ=∑ 所以{}1010222 11 1.441.44()160.10.3 0.09i i i i X P X P P χ==????>=>=>=????????∑∑ 7.4 设总体2 ~(,),X N μσ12,,,n X X X L 为简单随机样本, X 为样本均值，2 S 为样 本方差，问2 X U n μσ?? -= ??? 服从什么分布？ 解： 2 22X X X U n μσ????-=== ???,由于2 ~(,)X N μσ， ~(0,1)X N ，故2 2 ~(1)X U χ??=。 7.6 设总体2~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立，从,X Y 中分别抽取 1210,15n n ==的简单随机样本，它们的样本方差分别为22 12,S S ，求2212(40)P S S ->。 解： 22 22211 2 1 2 22(40)(4)4S P S S P S S P S ?? ->=>=> ??? 由于2~(,),X N μσ2 ~(,)Y N μσ且相互独立 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布， D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。 概率论和数理统计真题讲解 （一）单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设随机事件A与B互不相容，且P（A）＞0,P（B）＞0，则（） A.P（B|A）＝0 B.P（A|B）＞0 C.P（A|B）＝P（A） D.P（AB）＝P（A）P（B） 『正确答案』分析：本题考察事件互不相容、相互独立及条件概率。 解析：A：，因为A与B互不相容，，P（AB）＝0，正确； 显然，B，C不正确；D：A与B相互独立。 故选择A。 提示：① 注意区别两个概念：事件互不相容与事件相互独立； ② 条件概率的计算公式：P（A）＞0时，。 2.设随机变量X～N（1，4），F（x）为X的分布函数，Φ（x）为标准正态分布函数，则F（3）＝（） A.Φ（0.5） B.Φ（0.75） C.Φ（1） D.Φ（3） 『正确答案』分析：本题考察正态分布的标准化。 解析：， 故选择C。 提示：正态分布的标准化是非常重要的方法，必须熟练掌握。 3.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则P{0≤X≤}＝（） 『正确答案』分析：本题考察由一维随机变量概率密度求事件概率的方法。第33页 解析：， 故选择A。 提示：概率题目经常用到“积分的区间可加性”计算积分的方法。 4.设随机变量X的概率密度为f（x）＝则常数c＝（） A.－3 B.－1 C.－ D.1 『正确答案』分析：本题考察概率密度的性质。 解析：1＝，所以c＝－1， 故选择B。 提示：概率密度的性质： 1.f（x）≥0； 4.在f（x）的连续点x，有F′（X）＝f（x）；F（x）是分布函数。课本第38页 5.设下列函数的定义域均为（－∞，＋∞），则其中可作为概率密度的是（） A.f（x）＝－e－x B. f（x）＝e－x C. f（x）＝ D.f（x）＝ 『正确答案』分析：本题考察概率密度的判定方法。 解析：① 非负性：A不正确；② 验证：B：发散； C：，正确；D：显然不正确。 故选择C。 提示：判定方法：若f（x）≥0，且满足，则f（x）是某个随机变量的概率密度。 6.设二维随机变量（X，Y）～N（μ1,μ2，），则Y ～（） 『正确答案』分析：本题考察二维正态分布的表示方法。 解析：显然，选择D。 概率与数理统计期末复习题一一、填空题 1．设随机变量X的概率密度为 ? ? ? ? ? ≤ > = - .0 ,0 , 3 1 ) ( 3 1 x x e x f x ，则数学期 = +-) (X e X E 。 2．设随机变量X，Y相互独立，且服从正态分布N（-1，1），则Z=2X-Y的概率密度。 3．进行三次独立试验，在每次试验中事件A出现的概率相等，已知A至少出现一次的概率等于64 37 ，则事件A在一次试验 中出现的概率P(A)= . 4.设X,Y是随机变量,D(X)=9,D(Y)=16,相关系数 2 1 = XY ρ ,则D(X+Y)= . 5. 口袋中装有2个白球,3个红球,从中随机地一次取出3个球，则取出的3个球中至多有2个红球的概率为 . 6. 已知随机变量X服从参数为λ的泊松分布,且 2 1 }0 {= = X P , = <}2 {X P . 二、已知随机变量X的概率密度为 ? ? ?< < = 其他 ,0 1 , 2 ) ( x x x f .求Y= 3lnX的分布函数. 三、玻璃杯成箱出售,每箱装有10只玻璃杯.假设各箱含0只,1只和2只次品的概率分别为0.9,0.06,0.04.一顾客要买一箱玻璃杯,售货员随意取出一箱,顾客开箱随机取出3只,若这3只都不是次品,则买下该箱杯子,否则退回.求(1)该顾客买下该箱玻璃杯的概率;(2)在顾客已买下的一箱中,确实没有次品的概率. 四、设随机变量(X,Y)的概率密度为 ?? ? ? ? - ≤ ≤ ≤ ≤ = 其他 ,0 6 6 0,1 , 3 1 ) , ( x y x y x f , 求 ( 1)边缘密度 ) ( ), (y f x f Y X; (2)协方差cov(X,Y),并问X 与Y 是否不相关? 五、已知一批产品的某一数量指标X服从正态分布 ) 6.0, (2 μ N ,问样本容量n为多少,才能使样本均值与总体均值的差的 绝对值小于0.1的概率达到0.95. [ 96 .1 ) 975 .0(Φ= ， 6456 .1 ) 95 .0(Φ= ， 29 .1 ) 90 .0(Φ= ]。 六、使用归工艺生产的机械零件,从中抽查25个,测量其直径,计算得直径的样本方差为6.27.现改用新工艺生产, 从中抽查25个零件,测量其直径,计算得直径的样本方差为 4.40. 设两种工艺条件下生产的零件直径都服从正态分布,问新工艺生产的零 件直径的方差是否比旧工艺生产的零件直径的方差显著地小( 05 .0 =α)? 七、设总体X的的概率密度为 ?? ? ? ? < < - =- - 其它 ,0 1 0, 1 1 ) ; (1 2 x x x fθ θ θ θ 其中 1 > θ,是未知参数,) , , , ( 2 1n x x x 是总体X的样本观察值. 求(1) θ的矩估计量; (2) θ的极大似然估计量Lθ ,并问L θ 是 θ的无偏估计吗? 八、设随机向量(X,Y)的概率密度为 ? ? ?≤ ≤ ≤ ≤ = 其它 ,0 1 0,1 , 8 ) ; ( y x y xy y x f 概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度. 习题一 （A ） 1.写出下列随机试验的样本空间： （1）一枚硬币连抛三次；（2）两枚骰子的点数和；（3）100粒种子的出苗数；（4）一只灯泡的寿命。 2. 记三事件为C B A ,,。试表示下列事件： （1）C B A ,,都发生或都不发生；（2）C B A ,,中不多于一个发生；（3）C B A ,,中只有一个发生；（4）C B A ,,中至少有一个发生； （5）C B A ,,中不多于两个发生；（6）C B A ,,中恰有两个发生；（7）C B A ,,中至少有两个发生。 3.指出下列事件A 与B 之间的关系： （1）检查两件产品，事件A =“至少有一件合格品”，B =“两件都是合格品”； （2）设T 表示某电子管的寿命，事件A ={T >2000h }，B ={T >2500h }。 4.请叙述下列事件的互逆事件： （1）A =“抛掷一枚骰子两次，点数之和大于7”； （2）B =“数学考试中全班至少有3名同学没通过”； （3）C =“射击三次，至少中一次”； （4）D =“加工四个零件，至少有两个合格品”。 5.从一批由47件正品,3件次品组成的产品中,任取一件产品,求取得正品的概率。 6.电话号码由7个数字组成,每个数字可以是9,,1,0 中的任一个,求：（1）电话号码由完全不相同的数字组成的概率；（2）电话号码中不含数字0和2的概率；（3）电话号码中4至少出现两次的概率。 7.从0,1,2,3这四个数字中任取三个进行排列,求“取得的三个数字排成的数是三位数且是偶数”的概率。 8.从一箱装有40个合格品,10个次品的苹果中任意抽取10个,试求：（1）所抽取的10个苹果中恰有2个次品的概率；（2）所抽取的10个苹果中没有次品的概率。 9.设A ,B 为任意二事件,且知4.0)()(==B p A p ,28.0)(=B A p ,求)(B A p ?；)(A B p 。 10.已知41)(=A p ，31)(=A B p ，2 1)(=B A p ，求)(B A p ?。 11.一批产品共有10个正品和4个次品,每次抽取一个,抽取后不放回,任意抽取两次,求第二次抽出的是次品的概率。 12.已知一批玉米种子的出苗率为0.9,现每穴种两粒,问一粒出苗一粒不出苗的概率是多少？ 13.一批零件共100个,次品率为10%,每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回,求第三次才取得正品的概率。概率论与数理统计期末考试题及答案
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