C. A B ?
D. 1)(=B p [ B ] 22. 设A ﹑B 是两个随机事件, 且21)(=A p , 3
1
)(=-B A p , 求概率)(A B p 解: 6
1)()()(=
--=B A p A p AB p , 3
1
)()()(==
A p A
B p A B p .
23. 设A ﹑B 是两个随机事件, 且41)(=A p ,21)(=A B p , 4
1
)(=B A p , 求概率)(B p 解: 8
1)()()(==A p A B p AB p ,
2
1
)()()(==
B p AB p B A p . 24. 有两箱同种类的零件, 第一箱装50只, 其中10只一等品; 第二箱装30只, 其中10只一等品. 今从两箱中任取
一箱, 然后从该箱中取零件两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 求(1)第一次取到一等品的概率; (2)在第一次取到一等品的条件下, 第二次取到一等品的概率.
解: 设用i A 表示”第i 次取到一等品” )2 , 1(=i , 用i B 表示”第i 箱被取到”)2 , 1(=i , 则21)(1=
B p , 2
1)(2=B p , 51)(11=
B A p , 3
1
)(21=B A p . (1) 15
421312151)()()()()(2211111=?+?=+=B p B A p B p B A p A p .
(2). )
()
()(12112A p A A p A A p =
)
()
()()()(122211121A p B p B A A p B p B A A p +=
284274715
421212
30210250
210=?+?=A A A A .
25. 有两箱同种类的零件, 第一箱装50只, 其中10只一等品; 第二箱装30只, 其中18只一等品. 今从两箱中任取一箱, 然后从该箱中取一个零件. (1) 求该零件是一等品概率. (2)若该零件是一等品, 求该零件是从第二箱中取出的概率.
解: 设用A 表示”取到的零件是一等品”, 用i B 表示”第i 箱被取到”)2 , 1(=i , 则21)(1=
B p , 2
1)(2=B p , 51)(1=
B A p , 5
3
)(2=B A p . (1) 5
2
21532151)()()()()(2211=?+?=
+=B p B A p B p B A p A p . (2) 43
5
221
53)()()()(222=?==
A p
B P B A p A B p .
26. 设一箱产品60件, 其中次品6件, 现有一顾客从中随机买走10件, 则下一顾客买走一件产品买到次品的概率为
10
1 .
27. 设随机事件A ﹑B 相互独立, 且3.0)(=A p , 4.0)(=B p , 则=)(B A p 7.0 . 28. 设A ﹑B 是两个随机事件, 则下列中不正确的是
A. A ﹑B 相互独立时, )()()(B p A p AB p =
B. 0)(≠A p 时, )()()(A B p A p AB p =
C. A ﹑B 互不相容时, )()()(B p A p AB p =
D. 0)(≠B p 时, )()()(B A p B p AB p = [ C ]
29. 甲﹑乙两人对飞机进行射击, 两人击中飞机的概率分别为, , 飞机被一人击中而被击落的概率为, 飞机被两人击中而被击落的概率为. 假设甲﹑乙两人射击是相互独立的, 求飞机被击落的概率.
解: 设用A 表示“飞机被击落”, 用1B 表示“甲击中飞机”, 用2B 表示“乙击中飞机”.
5.0)(1=B p , 8.0)(2=B p , 4.0)(21=B B A p , 4.0)(21=B B A p ,
6.0)(21=B B A p , 0)(21=B B A p .
)()()()()()()()()(2121212121212121B B p B B A p B B p B B A p B B p B B A p B B p B B A p A p +++=
)(0)()(6.0)()](1[4.0)](1)[(4.021212121B B p B p B p B p B p B p B p ++-+-=
8.05.06.08.05.04.02.05.04.0??+??+??= 44.0=.
30. 设随机变量X 的分布律为
C 35
12 3522 2 1 0 p X , 则常数=C 35
1 .
31. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布, 且}5{2}4{===X p X p , 则=λ 2
5 .
32. 设随机变量X 的分布律为15}{k K X p == 5) , 4 , 3 , 2 , 1(=k , 则=<<}5.25.0{X p 5
1 .
33. 将3个球随机地放入4个杯子, 求杯子中球的个数最大值的分布律.
解: 设用X 表示“杯子中球的个数最大值”.
8
34
234}1{3
=??==X p , 169
4
34}2{3
23=??==C X p , 1614
4}3{3===X p .
34. 设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布, 则必有
A. X 取整数值
B. 2
}0{-==e
X p
C. }1{}0{===X p X p
D. 2
2}1{-=≤e X p [ B ]
35. 设随机变量X 的概率密度为??
?<≤+=,
, 02
0 , 1)(其它x k x f 则常数=k 21 -. 36. 设随机变量X 的分布函数为??
?
??≥<≤<= , , 1 1 , ln 1
, 0)(e x e x x x x F 则=<)2(X p 2ln . 37. 设随机变量X 的概率密度为??
?
??<-=, , 01 , 1)(2其它x x k x f 则常数=k 1 π.
38. 设随机变量X 的概率密度为???≤≤--=,
, 01
1 ,)(2其它x bx a x f 其中0>b , 且概率3227)21(=≤X p , 求常数a ,b
的值.
解: 一方面
b a dx bx a dx x f 322)()(1
12
-=-=??
-∞
∞
-, 另一方面1)(=?∞
∞-dx x f , 所以13
22=-b a .
一方面b a dx bx a dx x f X p 24923)()()21(21
1221-=-==≤??-∞-, 另一方面32
27)21(=≤X p , 所以32
2724923=-b a . 得方程组?????=-=-
, 32272492
31
3
22b a b a
解得4
3==b a .
39. 设随机变量X 的概率密度为???
??<<-=,
, 0b
, 1)(其它x a a b x f 则概率=+=}2{b a X p 0 , 概率
=+>}2
{b a X p 5.0 .
40. 设随机变量) , (~2
σμN X , 且}{}{c X p c X p >=≤, 则c 的值为 A.
μ. B. 0. C. μ-. D. σ. [ A ]
41. 设随机变量) , (~2
σμN X , 则概率}{μ≤X p 的值
A. 与μ有关, 但与σ无关.
B. 与μ无关, 但与σ有关.
C. 与μ和σ均有关.
D. 与μ和σ均无关. [ D ]
42. 设随机变量)1 , 0(~N X , 对于给定的)1 , 0(∈α, 数αμ满足αμα=>}{X p . 若α=<}{x X p , 则x 等于
A. 2
αμ. B. 2
1αμ-.
C. 2
1α
μ
-. D. αμ-1. [ B ]
43. 设随机变量) , 2(~2
σU X , 且3.0}42{=<解: 由于) , 2(~2
σU X , 所以)1 , 0(~2N X σ
-. 设其分布函数为)(x Φ.
}24222{}42{σ
σσ-<-<-=<)0()24(Φ--Φ=σ
5.0)24(--Φ=σ
,
由于3.0}42{=<.
}22{}0{σ
σ-<-=)2(σ
-Φ=
)2(1σ
Φ-=
2.0=.
44. 设随机变量X 服从指数分布, 且01.0}1000{=>X p . 求概率}500{解: 由于X 服从指数分布. 所以其分布函数为?????>-=- . 00 1)( 其它，
，x e x F x θ )1000(1}1000{F X p -=>
θ
1000
-=e
.
由于01.0}1000{=>X p , 所以01.01000
=-θ
e .
)500(}500{F X p =< θ
500
1--=e
θ
1000
1--=e
9.0=.
45. 设随机变量)2 , 0(~U X , 现对X 进行5次独立观测, 设Y 表示: 在5次观测中, X 的值大于1的次数. 试求Y 的分布律.
解: 由于)2 , 0(~U X , 所以其分布函数为???????>≤≤<= . 2 120 20 , 0)(x x x
x x F ，
， }1{>=X p p )1(1F -=
5.0= .
随机变量Y 是服从5=n ,5.0=p 的二项分布:
5
5)5.0(}{k C k Y p == )5 , 4 , 3 , 2 , 1(=k
46. 设随机变量)2 , 0(~U X , 求①X 的分布函数; ②函数X Y 31-=的概率密度; ③概率}15{≤≤-X p 与
}40{≤≤Y p .
解: 由于)2 , 0(~U X , 所以X 的概率密度函数为???
??<<= .
, 020 , 21)(其它x x f X
①???????≤<<≤==??∞-
1 , 120 , 21
0 , 0)()(x 0
x x dt x dx x f x F x X X
????
???≤<<≤=
. 1 , 120 , 20 , 0x x x x ②}3
1{}31{}{)(y
X p y X p y Y p y F Y -≥
=≤-=≤= )3
1(1y
F X --=
y X y y Y y
F y F y f ])3
1(1[])([)('--='=
y X y y F )31()31('-?-'-=
)3
1(31y
f X -=
?????<<-= .
, 015 , 61其它y
③2121)(}15{1
015===
≤≤-??
-dx dx x f X p X .
6
161)(}40{1
040===≤≤??dy dy y f Y p Y .
47. 设随机变量X 的概率密度为?????≤>=
, 1 , 01
, 1)(2
x x x x f 求函数X Y ln =的概率密度.
解: }{}{ln }{)(y
Y e X p y X p y Y p y F ≤=≤=≤=)(y
X e F =
y y X y y Y e F y F y f ])([])([)('='= y y
y X
e e F )()('?'= )(y
X y
e f e =
?????≤>= 1 , 01
, 1y y y
e e e
?????≤>=
. 0 , 00
, 1y y e y
48. 二维连续型随机变量) , (Y X 的联合概率密度函数为??
?<<<<-= ,
, 01
0 , 11 , ) , (其它y x A y x f 则常数
2
1 =A .
49. 二维连续型随机变量) , (Y X 的联合分布函数为
???>>= ,
, 0
0 , 0 , arctan arctan ) , (其它y x y x A y x F
则 4
2
π
=A . 50. 称ij j i p y Y x X p ===} , { ) , 2 , 1 , ( =j i 为二维离散型随机变量) , (Y X 的
A. 联合分布律
B. 联合分布函数
C. 概率密度 D 联合概率密度 [ A ]
51. 在一箱子中装有12只开关, 其中2只是次品, 在箱中任取两只开关, 每次任取一只, 取后不放回. 定义随机变量X , Y 如下:
???= 1 0，若第一次取出的是次品，若第一次取出的是正品，X ?
??= 1 0，若第二次取出的是次品，若第二次取出的是正品，Y
求X , Y 的联合分布律.
解: 由题所述得知) , (Y X 的所有可能取值为)0 , 0(, )1 , 0(,)0 , 1(,)1 , 1(. 22
151191210}0 , 0{=?===Y X p ,
3351121210}1 , 0{=?===Y X p ,
33
51110122}0 , 1{=?===Y X p ,
66
1111122}0 , 0{=?===Y X p ,
所以X , Y 的联合分布律为
52. 二维连续型随机变量) , (Y X 的联合概率密度函数为
???<<<<= ,
, 0 10 , 10 , ) , (2其它y x Axy y x f
求常数A .
解:
6) , (1
0210A dy y xdx A dxdy y x f =?=????∞∞-∞∞-.
由于1) , (=??∞∞-∞
∞-dxdy y x f , 所以16
=A , 得6=A .
53. 二维连续型随机变量) , (Y X 的联合概率密度函数为
?????≤≤≤≤+=
, , 0
20 , 10 , 3) , (2其它y x xy
x y x f
求概率}1{≥+Y X p .
解: 记}20 , 10 , 1) , {(≤≤≤≤≥+=y x y x y x D , D 的图形如右图(略) ????
-+
==
≥+2
1210
)3
() , (}1{x
D
dy xy
x dx d y x f Y X p σ ?-+=1
02
122
]6[dx xy y x x
?++=1
023)213465(dx x x x 72
65=. 54. 二维连续型随机变量) , (Y X 的联合概率密度函数为
??
?>>=+- ,
, 0
0 , 0 , 12) , ()43(其它y x e y x f y x 求两个边缘概率密度.
解: ?????>==??∞
+-∞∞
-
, 0 0 , 12) , ()(0)43(其它x dy e
dy y x f x f y x X
??
?>-=∞
+- , 0 0 , ]3[0)43(其它x e y x ??
?>=- .
, 0
0 , 33其它x e x ????
?>==??∞
+-∞
∞
-
, 0 0 , 12) , ()(0)43(其它y dx e
dx y x f y f y x Y ???>-=∞
+- , 0 0 , ]4[0)43(其它y e y x ?
?
?>=- . , 0
0 , 43其它y e y 55. 二维连续型随机变量) , (Y X 的联合概率密度函数为
??
?≤≤= ,
, 0
1 , ) , (22其它y x y cx y x f ①试确定常数c . ②求两个边缘概率密度.
解: ①214)22() , (1
16
21
2
1
12c dx x x c ydy x dx c dxdy y x f x =-==?????--∞
∞-∞
∞-.
由于1) , (=??∞∞-∞
∞-dxdy y x f , 所以1214=c , 得4
21=c .
② ?????≤≤-==??∞∞
-
, 0
11 , 421) , ()(1
22其它x ydy x dy y x f x f x X
?????≤≤-=
, 0 11 , ]821[1222其它x y x x ?????≤≤--=.
, 0 11 , )1(82142其它x x x ???
??≤≤==??∞
∞
-
, 0 10 , 421) , ()(-2其它y ydx x dx y x f y f y y Y
?????≤≤=- , 0 10 , ]47[3其它y y x y y ?????≤≤=.
, 0 10 , 2725
其它y y
56. 设二维连续型随机变量) , (Y X 的联合分布函数为) , (y x F , 则关于X 的边缘分布函数)(x F X 是 A. ) , (lim y x F y -∞
→ B. ) , (lim y x F y ∞
→ C. )0 , (x F D. ) , 0(x F [ B ]
57. 甲、乙两人独立地投篮, 投中的概率分别为、, 每个人分别投2次, 求两人投中次数相等的概率.
解: 设用X 表示”甲投中的次数”, 用Y 表示”乙投中的次数”.
}2 , 2{}1 , 1{}0 , 0{}{==+==+====Y X p Y X p Y X p Y X p
}2{ }2{}1{}1{}0{}0{=?=+=?=+=?==Y X p Y X p Y X p (X 与Y 相互独立) 2222)8.0()6.0(8.0)8.01(26.0)6.01(2)8.01()6.01(?+?-??-+-?-=
3904.0=.
58. 设随机变量X 与Y 相互独立, X 在)2.0 , 0(上服从均匀分布, Y 的概率密度为
???>=- ,
, 0
0 , 5)(5其它y e y f y Y
①求X 和Y 的联合概率密度. ②求}{Y X p ≥.
解: ① 由于X 在)2.0 , 0(上服从均匀分布, 所以X 的概率密度为
??
?<<=
. , 0
2.00 , 5)(其它x x f X
由于X 与Y 相互独立, 所以X 和Y 的联合概率密度为
???><<=?=- .
, 0
0 , 2.00 , 25)()() , (5其它y x e y f x f y x f y Y X
②令}0 , 2.00 , ) , ({><<≥=y x y x y x D .
????-==≥x
y D
dy e dx d y x f Y X p 0
50.20
25 ) , (}{σ
?+-=-0.2
55)5( dx e x
2
.005]5[x e x +=-
e
1=.
59. 设随机变量X 与Y 相互独立, 下表给出二维随机变量X 与Y 的联合分布律以及关于X 和关于Y 的边缘分布律
的部分值, 试将其余数值填入表中空白处.
解:
60. 设二维连续型随机变量) , (Y X 的联合概率密度函数为
??
?>>=-- ,
, 0
0 , 0 , 2) , (2其它y x e y x f y x ①试判定X 与Y 是否相互独立. ②求}{Y X p <.
解: ①?????>==??∞
--∞
∞
-
, 0 0 , 2) , ()(02其它x dy e
dy y x f x f y x X
???>=-
. , 0
0 , 其它x e x ????
?>==??∞
--∞
∞
-
, 0 0 , 2) , ()(02其它y dx e
dx y x f y f y x Y ???>=- .
, 0
0 , 22其它y e y
由于
???>>==?-- ,
, 0
0 , 0 , 2) , ()()(2其它y x e y x f y f x f y x Y X
所以X 与Y 是相互独立.
②令}0 , 0 , ) , ({>><=y x y x y x D .
????∞
--∞==y x D
dy e dx d y x f Y X p 20
2) , (}{σ
?
∞
-=
3dx e x
∞--=03]3
1[x e
3
1=. 61. 设随机变量X 与Y 相互独立, 且21}1{}1{=-==-=Y p X p , 2
1}1{}1{====Y p X p , 求}{Y X p =
解: 由题意可知, X 与Y 的取值为都是1-, 1.
}1 , 1{}1 , 1{}{==+-=-===Y X p Y X p Y X p
}1{}1{}1{}1{=?=+-=?-==Y X p Y X p
21212121?+?= 2
1=.
62. 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且3
1}{==i X p )3 , 2 , 1(=i , 求) , max(Y X U =的分布律.
解: }1 , 1{}1{====Y X p U p
}1{}1{=?==Y p X p
3131?= 9
1=. }2 , 1{}2 ,2{}1 ,2{}2{==+==+====Y X p Y X p Y X p U p
}2{}1{}2{}2{}1{}2{=?=+=?=+=?==Y p X p Y p X p Y p X p
313131313131?+?+?= 3
1=, }3 , 2{}3 , 1{}3 , 3{}2 , 3{}1 , 3{}3{==+==+==+==+====Y X p Y X p Y X p Y X p Y X p U p
}3{}2{}3{}1{}3{}3{}2{}3{}1{}3{=?=+=?=+=?=+=?=+=?==Y p X p Y p X p Y p X p Y p X p Y p X p
31313131313131313131?+?+?+?+?= 9
5=.
63. 设随机变量X 与Y 独立同分布, 且X 的概率密度为
???>=- .
, 0
1 , )(1其它x e x f x X
求Y X Z +=的概率密度.
解: 由于X 与Y 同分布, 所以Y 的概率密度为
??
?>=- . , 0 1 , )(1其它y e x f y Y ??
?-<=--- . , 0
1 , )()(1其它z x e x z f x z Y
??
?>-<=-?- . , 0
1 , 1 , )()(2其它x z x e x z f x f z Y X
????
?>=-???--∞
∞- . , 0
2 , )()(1
12其它x dx e dx x z f x f z z Y X ??
?>-=- . , 0 2 , )2(2其它x z e z
64. 设离散型随机变量X 的分布律为k k p x X p ==}{ ) , 2 , 1( =k , 称∑∞
=1
k k k
p x
为X 的数学期望, 如果下列条件
成立:
A.
∑∞
=1
k k k
p x
收敛 B. ∑∞
=1
k k k p x 收敛 C. }{k x 为有界数集 D. 0lim =∞
→k k k p x [ B ]
65. 设随机变量X 的概率密度为
???
??≤≤= ,
, 0
0 , sin 21)(其它πx x x f
则函数求X Y -=2
π的数学期望为 12
-π.
66. 设随机变量X 的概率密度为
???≥=- ,
, 0
0 , )(其它x e x f x
则=-)(2X
e
E 3
1
. 67. 设二维随机变量) , (Y X 的联合分布律为
求数学期望)(2
Y X E .
解:
4
2512127611212191218612411610)(2=?+?+?+?+?+?+?=Y X E .
68. 设随机变量X 的方差为3，则根据契比雪夫不等式有估计≤≥-}3)({X E X p 3
1 .
69. 设随机变量X 满足1)(-=X E , 3)(=X D , 则=-)]2(3[2
X E 6 .
70. 设随机变量)02.0 , 5(~b X , 则=)(X E 10 .
, =)(X D 0980 .. 71. 设随机变量) , 10(~p b X , 且8)(=X E , 则=p 80 ..
72. 设随机变量X 的数学期望为10, 方差为4，则根据契比雪夫不等式有估计≤≥-}310{X p 9
4 .
73. 设随机变量X 与Y 相互独立且都服从正态分布)2 , 1(N , 则在下列随机变量中, 服从标准正态分布的是
A. 2Y X -
B. 2
Y X + C. Y X - D. Y X + [ A ]
74. 设随机变量X 的数学期望为10, 方差为15, 则根据契比雪夫不等式, 有估计}155{<A. 53≤
B. 53≥
C. 52≤
D. 5
2≥ [ D ]
75. 设随机变量X 与Y 相互独立, 且)4 , 2(~N X , )1
, 3(~N Y , 则随机变量232+-=Y X Z 服从 A. )5 , 3(-N B. )7 , 3(-N C. )52 , 3(N D. )52 , 3(-N [ D ] 76. 对于任意两个随机变量X 和Y , 若)()()(Y D X D Y X D +=+, 则
A. )()()(Y D X D XY D =
B. )()()(Y E X E XY E =
C. X 与Y 相互独立
D. X 与Y 不相互独立 [ B ] 77. 已知随机变量X 服从二项分布) , (p n B , 且4.2)(=X E , 44.1)(=X D , 则
A. 6.0 , 4==p n
B. 4.0 , 6==p n
C. 3.0 , 8==p n
D. 8.0 , 3==p n [ B ] 78. 设随机变量X 的数学期望与方差都是1, 则X 不可能服从
A.二项分布
B.泊松分布
C.指数分布
D.正态分布 [ A ] 79. 设两种水稻的产量分别为随机变量X 和Y , 认为品种X 不次于品种Y , 如果有
A. )()(Y E X E ≤
B. )()(Y D X D ≤
C. )()( , )()(Y D X D Y E X E ≤≥
D. )()( , )()(Y D X D Y E X E ≥≥ [ C ] 80. 设随机变量X 的数学期望与方差分别为1)(=X E 、1)2
(=X D , 求)32(2
-X E .
解: 由于)(41)2(X D X D =, 而1)2
(=X D , 所以4)(=X D .
73)14(23})]([)({23)(2)32(2222=-+=-+=-=-X E X D X E X E .
81 .某种型号灯泡的寿命X 服从指数分布, 其平均寿命为5000小时, 求3个这种型号的灯泡使用了1000小时后至少有2个仍可继续使用的概率.
解: 设用Y 表示” 3个这种型号的灯泡使用了1000小时后仍可继续使用的个数”, 则) , 3(~p b Y . 由于灯泡的寿命X 服从指数分布, 所以X 的分布函数为
????
?>-=-. 00
, 1)(其他，
x e x F x θ 又由于灯泡的平均寿命为5000小时, 所以5000)(==θX E . 故
2.05000
1000
11)1000(---=-==e e
F p .
4.06.04.02.06.0321)1(31}1{}0{1}2{------+=---==-=-=≥e e e e e Y p Y p Y p .
82. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布, 已知1)]2)(1[(=--X X E , 求参数λ. 解: 由于X 服从参数为λ的泊松分布, 所以λ==)()(X D X E . 一方面,
2)(3)()23()]2)(1[(2
2
+-=+-=--X E X E X X E X X E
2)(3)]([)(2+-+=X E X E X D
232+-+=λλλ 222+-=λλ,
另一方面, 1)]2)(1[(=--X X E , 所以1222
=+-λλ, 得1=λ.
83. 设随机变量X 与Y 相互独立, 且1)()(==Y E X E , 2)(=X D , 4)(=Y D , 求2
)(Y X E +.
解: 由于X 与Y 相互独立, 所以6)()()(=+=+Y D X D Y X D .
222)]()([6)]([)()(Y E X E Y X E Y X D Y X E ++=+++=+
2
)11(6++=
10=.
84. 设随机变量) , (Y X 服从二维正态分布)0 , 1 , 1 , 0 , 0(N ,则=-)23(Y X D 13 . 85. 对于二维随机变量) , (Y X , 称=ρ )
() , (
Y D D(X)Y X Cov 为随机变量X 与Y 的相关系数.
86. 设随机变量X 与Y 满足)()()(Y E X E XY E =, 则X 与Y
A. 相关
B. 不相关
C. 相互独立
D. 不相互独立 [ B ] 87. 对于任意两个随机变量X 、Y , 若0) , (=Y X Cov , 则 A. )()()(Y D X D XY D = B. )()()(Y D X D Y X D +=+
C. X 与Y 相互独立
D. )()()(Y D X D Y X D -=+ [ B ] 88. 设随机变量) , (Y X 服从二维正态分布)2
1 , 1 , 1 , 0 , 0(N , 求)23(Y X D -.
解: 由于) , (Y X 服从二维正态分布)2
1 , 1 , 1 , 0 , 0(N , 所以1)(=X D , 1)(=Y D ,
2
1=ρ.
)2 , 3(2)2()3()23(Y X Cov Y D X D Y X D -+-+=-
) , (12)(4)(9Y X Cov Y D X D -+=
)()(1249Y D X D ??-+=ρ 613-=
7=.
89. 设n X X X , , , 21 是来自总体) , (~2
σμN X 的样本, 2
S 是样本方差, 则
2
2
)1(σ
S n ?-服从的分布是
)1( 2-n χ.
90. 设总体) , (~2
σμN X , 其中μ已知, σ未知, 且21 , X X 是来自总体X 的样本, 则不能作为统计量的是. A. 21X X + B. μ-+21X X C.
σ
2
1X X + D. 2
221X X + [ C ]
91. 设n X X X , , , 21 是来自总体) , (~2
σμN X 的样本, X 是样本均值, 则X 服从的分布是
) , ( 2n
N σμ.
92. 设n X X X , , , 21 是来自总体X 的样本, 则∑=--n
i i X X n 1
2
)(11是
A.样本矩
B.二阶原点矩
C.二阶中心矩
D.统计量 [ D ]
93. 设总体X 服从参数θ )0(>θ的指数分布, n X X X , , , 21 是来自总体X 的一个样本, X 、2
S 分别为样本均
值和样本方差, 则=)(X E θ, =)(2S E 2
θ.
94. 设总体)9 , 0(~N X , 1521 , , , X X X 是来自总体X 的一个样本, 则)
(22
152122112
10
2221X X X X X X ++++++ 服从的分布是 A. )5 , 10(F B. )10 , 5(F C. )10(2χ D. )51(2
χ [ A ]
95. 设)(~2
m X χ, )(~2
n Y χ, 且X 与Y 相互独立, 则随机变量n
Y
m X
F =
服从的分布是 A. ) , (n m F B. )1 , 1(--n m F C. ) , (m n F D. )1 , 1(--m n F [ A ]
96. 设总体X 服从参数λ )0(>λ的泊松分布, n X X X , , , 21 是来自总体X 的一个样本, X 、2
S 分别为样本均
值和样本方差, 则=)(X E λ, =)(X D n
λ.
97. 设随机变量) , (~n m F X , 则~1X
) , ( m n F .
98. 设总体)(~2n X χ, n X X X , , , 21 是来自总体X 的一个样本, 2
S 是样本方差, 则)(2
S E
A. n
B. n 2
C. 2n
D. 2
2n [ B ]
99. 设总体X 的概率密度为
???>=+- ,
, 0 , , )()1(其它c x x c x f θθθ
其中1>θ为未知参数, 且n X X X , , , 21 是来自总体X 的一个样本, 求θ的矩估计量. 解:
1]1[)()(1-=
-====∞-∞
-∞
∞
-?
?θθθθθμθ
θ
θ
θ
c x c dx x c
dx x xf X E c c
, 得c -=μμθ, 所以θ的矩估计量为c X X -=θ?. 100. 设总体X 的概率密度为
?????>=+ ,
, 0
, 1 , )(1其它x x
x f ββ
其中1>β为未知参数, 且n X X X , , , 21 是来自总体X 的一个样本, 求β的矩估计量. 解: 1]1[)()(111
-=-====∞-∞
-∞
∞
-?
?
βββββμββ
x dx x dx x xf X E , 得1-=μμβ, 所以β的矩估计量为1?-=X X β
.
101. 设总体X 的概率密度为
?????>=-
, , 0 , 0 , 1)(其它x e x f x
θ
θ
其中0>θ为未知参数, 且n x x x , , , 21 是来自总体X 的一组样本观测值, 求θ的最大似然估计值.
解: 似然函数∑===-=-∏n
i i
i
x n n
i x n e e x x x L 1
1
1
2111) , , , , (θθθ
θ
θ , 取对数得
x n n x n L n
i i θ
θθθ--=∑--==ln 1ln ln 1,
求导数得 x n n d L d 2ln θ
θθ
+-=,
令0ln 2=+-=x n n d L d θ
θθ
, 得θ的最大似然估计值为x =θ
?. 102. 设总体X 的分布律为
其中10<<θ为未知参数. 现有一组样本值1 , 2 , 1321===x x x , 求θ的矩估计值.
解: θθθθθμ23)1(3)1(2212
-=-?+-?+?=, 解得)3(2
1μθ-=, 所以θ的矩估计值为)3(2
1?x -=θ
. 由于34)121(31)(31321=++=++=x x x x , 所以6
5)343(21?=-=θ
. 103. 设总体X 的分布律为
其中10<<θ为未知参数. 现有一组样本值1 , 2 , 1321===x x x , 求θ的最大似然估计值.
解: 似然函数
}1{}2{}1{}{3211
======∏=X p X p X p x X p L n
i i i
22)1(2θθθθ?-?= )1(25θθ-=,
取对数得
)1ln(ln 52ln ln θθ-++=L ,
求导数得 θ
θθ--=115ln d L d ,
令0115ln =--=θθθ
d L d , 得θ的最大似然估计值为6
5?=θ
. 104. 设总体X 服从参数λ )0(>λ的泊松分布, n X X X , , , 21 是来自总体X 的一个样本, 求}0{=X p 的最大似然估计值.
解: 总体X 的分布律为λ
λ-==e
x x X p x
!}{ ) , 2 , 1 , 0( =x 似然函数
∏∏=-=-∑===n
i i x n n
i i x x e
e x L n
i i
i
1
1
!
!
1
λ
λλλ,
取对数得
)!ln(ln )(ln 1
1
∏∑==-+-=n
i i n
i i x x n L λλ,
求导数得 λ
θ∑=+-=n
i i
x
n d L d 1
ln ,
令0ln 1=+-=∑=λθn
i i
x
n d L d , 得λ的最大似然估计值为x x n n
i i
==∑=1
1?λ, 所以}0{=X p 的最大似然估计值为x e e X p --===λλ!
0}0{0
.
105. 若未知参数θ的估计量θ
?满足θθ=)?(E , 则估计量θ?称为θ的 无偏 估计. 106. 设n X X X , , , 21 是来自总体X 的样本, 则下列不是总体期望μ的无偏估计量为
A. ∑=n
i i X n 1
1 B. 3213.05.02.0X X X ++ C. 21X X + D. 321X X X +- [ B ] 107. 设4321 , , , X X X X 是来自均值为θ的指数分布总体X 的样本, 其中θ未知, 设有估计量, 问那个较有效 A. )(3
1)(6143211X X X X T +++= B. 543243212X X X X T +++=
C. 4
4
3213X X X X T +++=
[ D ]
第六章习题课
1.设),,,(21n X X X 是来自总体)1,0(~N X 的样本，X 是样本均值，则下列结论正确的是【 C 】 A . )1,0(~N X B . )1,0(~N X n C .
)(~21
2
n X
n
i i
χ∑= D . )1(~-n t X
2.设),,,(4321X X X X 是来自总体)2,0(~N X 的样本，X 是样本均值，2
S 是样本方差，则S
X
Y 2=
服从的分布是【 C 】
