谈谈对函数性质教学的认识
1抓住函数概念核心，加强概念形成的教学
理解概念是一切数学活动的基础，学生的概念理解不清就无法进一步学习相关内容。对于函数概念教学的重要性要有充分的认识，要舍得花时间、花力气
函数是反映客观世界变化规律的一种数学模型，反映的是什么样的规律呢？这也就是函数概念的核心的问题。纵观300年来函数概念的发展，从早期几何观念下的函数，到十八世纪代数观念下的函数，到十九世纪对应关系下的函数，再到现代的集合论下的函数，众多数学家从几何、代数、直至对应、集合的角度，不断赋予函数概念以新的思想，逐渐形成了现代函数的定义形式。而在初中学段引入的函数概念，是从运动变化的观点出发，用“变量”来描述函数：“在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，则称x为自变量，y为x的函数”。分析这个定义对函数概念内涵的文字描述，可以发现，它强调了近代函数定义中的“对应”，并且明确了“y对x是单值对应”，这又是吸收了现代函数概念中对“映射”的要求，但是没有从“集合”角度描述函数。因此可以认为，初中数学中的函数概念的核心，是函数概念三要素中的对应关系，并且明确其为“单值对应”关系。这主要包括了两层含义：第一，两个变量是互相联系的，一个变量变化时，另一个变量也发生变化；第二，函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数的值是唯一确定的。
函数概念具有内容的概括性、符号的抽象性、形式的多样性等特点。学生初次接触函数概念时，涉及到很多复杂的层次，包括：（1）在一个“变化”过程中；（2）存在“两个”变量；（3）这两个变量具有一定的“联系”；（4）一个变量的变化会引起另一个变量也“随之”变化；（5）两个变量存在“单值对应”的关系。这将直接导致学生在概括函数概念时出现障碍。另外，学生在学习函数概念之前，接触的基本上是常量数学的内容，是静态的数学知识。而函数研究的是变量与变量之间的关系，其特征是变化的、发展的、处于两个量的相互联系之中的。因此，函数概念形成中的抽象与概括以及对“单值对应”的理解也就成为函数概念教学的难点。
2、加强研究函数的一般方法的引导
概念教学的几个基本环节：
概念的引入（从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入）
概念的形成（提供典型丰富的具体例证，概括其本质属性）
概念的明确（准确的数学语言描述概念的内涵与外延）
概念的表示（用数学符号表示，这是数学概念的特色）
概念的巩固和应用（以实例（正例、反例）为载体分析关键词的含义，应用概念作判断）。实际上，相关的函数概念的教学都要经历这样的几个过程。因此在教学过程中，适时地给他们一些“先行组织者”，加以研究方法的引导，对于学生理解相关概念是大有裨益的，可以起到事半功倍的效果。
再如，对于几种特殊函数性质的讨论，也有很多研究方法的联系。无论是对于正比例函数，还是一次函数、反比例函数、二次函数，都要研究以下问题：
研究的内容：自变量取值范围、函数的图象、函数的增减性等；
研究的方法：“三步曲”——画函数图象，观察归纳特征，数学语言描述性质；
相关的问题：图象与坐标轴的交点、何时函数值大于零或小于零等。
这些内容，反映了我们研究函数问题的“基本套路”。在开始对特殊函数的研究中，需要教师遵循这个套路，并能适时归纳和总结。在后续对其他函数的研究中，这个先行组织者就能起到“导游图”的作用，为将要学习的内容提供了一个框架或线索，使学生对学习进程心中有数，
有助于学生完成后续内容的学习。
3．注意函数思想的渗透，用函数观点统领相关内容
客观世界的事物是运动变化的、相互制约的，相互之间既有联系又有矛盾，从而推动着事物向前发展。这种关系在数学中集中反映在函数和函数思想上。在中学阶段的数学教学要突出函数的内容，是数学家们长期实践后得出的结论。克莱因在为中学数学教学起草的《米兰大纲》（1905）中明确提出：“应将养成函数思想和空间观察能力作为数学教学的基础”；在其著作《高观点下的初等数学》中，他进一步强调用近代数学的观点来改造传统的中学数学内容，主张加强函数和微积分的教学，改革和充实代数的内容。
函数描写运动，刻画一个变量随着另一个变量的变化，给出一个数集到另一个数集的对应关系。变化与对应是函数思想的核心内容，而变量思想是函数思想的基础。在数学思维的发展过程中，由“常量”到“变量”是一个质的转变，发展学生对变量概念的理解需要一个较长的过程。这就要求教师在教学中要挖掘知识中蕴含的函数思想，有意识、有计划、有目的地进行函数思想方法的培养，潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的函数思想方法。
最后，还要借助几何画版和多媒体教学。这样，既注重知识的形成、发展过程，又使学生主动将知识融入已构建的知识结构。
按照党员标准严格要求自己 要求入党的同志，从提出入党申请那天起，就应当努力实践自己的入党志愿，按照共产党员标准严格要求自己，在改革开放和社会主义现代化建设中以实际行动争取入党。 一、正确认识和对待党员标准 党章第一、二、三、四条对党员标准作出了明确的规定。申请入党的同志争 取入党，不仅需要全面了解和掌握党章规定的党员标准，而且应该明确，党员标准既不能降低，也不是高不可攀，只要自己认真对照党员标准找出差距，并尽快缩小这些差距，就能达到合格党员的要求。 1.要明确共产党员的标准不能降低。有的同志提出，既然现在我们国家还处于社会主义初级阶段，那么共产党员的标准是不是可以适当降低?对这一问题， 我们应当毫不含糊地回答：不能降低。因为，明确我国处于什么样的历史阶段与确定党员标准，这是两个不同的问题。党员标准是根据党的性质、宗旨和任务来确定的，而我国目前还处于社会主义初级阶段，是由我国走上社会主义道路的历史背景和我国社会发展的实际状况确定的。明确我国正处于社会主义初级阶段，是为了正确认识我国的基本国情，以制定正确的路线、方针和政策，决不能作为降低党员标准的理由。不论我国处于新民主主义阶段，还是处于社会主义阶段，作为工人阶级的先锋战士枣共产党员，都要有共产主义觉悟，共产党员的这个根本标准是绝对不能降低的。当然，在不同的历史阶段，对共产党员应当提出适应于该历史阶段具体任务的不同要求，但这决不意味着降低标准。江泽民同志在党的十五大报告中明确指出，在新的历史条件下，共产党员保持先进性，要体现时代的要求，并根据新的形势任务，明确地提出了四个方面的要求。这四项要求既体现了党章规定的党员标准，又有鲜明的时代特征。既是新时期对党员的严格要求，也是申请入党的同志努力的方向。申请入党的同志够不够党员条件，只能按照党章规定的党员标准来衡量，决不能降低标准或另立标准。每一个要求入党的同志都应当把努力方向统一到党章规定的党员标准和党的十五大提出的时代要 求上来。只有这样，才能使自己更快地进步，早日成为合格的共产党员。 2.要明确党员标准并非高不可攀。新时期的党员标准这样严格，是不是高不可攀呢?不是的。党章对党员的严格要求来自实践，只要经过认真的努力，是完 全可以做到的。要求入党的同志不应丧失信心和勇气。党的大门是随时向着忠诚于党的事业的优秀分子敞开的。我们党从建党初期的几十名党员，发展到今天拥 有的6000多万名党员的大党，而且党员队伍中，普通工人、农民占有相当比例， 这就充分说明，党员标准并不是高不可攀的。应当看到，现在争取入党，有许多接受教育和经受锻炼的机会。我们所进行的改革开放和现代化建设，是空前伟大而艰巨的事业，全党和全国各族人民正在为这一宏伟事业艰苦奋斗，这就为我们创造了难得的在实践中奋发进取的好机会。同时，改革开放以来，我们党在思想、
学习-----好资料 § 142正弦函数、余弦函数的性质导学案 般结论：函数y = As in （，x亠门）及函数y=Acos（?x亠仃）,x?二R的 周期T = 2： 【学习目标】 1、掌握正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期。 2、掌握正弦函数，余弦函数的奇偶性、单调性。 3、会比较三角函数值的大小，会求三角函数的单调区间。 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：作出函数y=sinx与y=cosx , x€ R的图象，图象的分布有什么特点？（二）自主探究：（预习教材P34-P40） 1、 ___________________________________________________ 正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是，最小正周期是 _________________________________________ 。 2、由诱导公式 _______________________________ 可知正弦函数是奇函数；由诱导公式 __________________________ 可知，余弦函数是偶函数。 3、正弦函数图象关于直线 _______________ 轴对称，关于点 _________________ 中心对称；余弦函数图象关于直线 ________________ 轴对称，关于点 _________________ 中心对称。 4、正弦函数在每一个闭区间 __________________ 上都是增函数，其值从一1增大到1 ;在每一个闭区 间 _________________ 上都是减函数，其值从1减少到一1。 5、余弦函数在每一个闭区间 __________________ 上都是增函数，其值从一1增大到1 ;在每一个闭区 间 ______________ 上都是减函数，其值从1减少到一1。 6、正弦函数当且仅当x = ____________ 时，取得最大值1,当且仅当x= ___________________ 时取得最小值—1。 7、余弦函数当且仅当x = ________________ 时取得最大值1;当且仅当x= _________________ 时取得最小值—1。 二、合作探究 1 2兀 1 兀 1、求下列函数的周期：（1）y sin（3x ）, （2）y = 2cos（ x ） 2 5 2 6 2、求出下列函数的最大值、最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合。 (1) y=1 sin 2x (2) y = -3cos 2x 3、禾U用三角函数的单调性，比较下列各组中两个三角函数值的大 小: ① sin( 54' ： 7 )与sin( 63 二 8 ②cos举与cos理 8 9 1 7T 4、求函数y = 2sin（― x '）的单调区间。 2 3 更多精品文档
正确认识党内不正之风五 正确认识党内不正之风做自觉端正党风的模范 2001年9月26日中国共产党第十五届中央委员会第六次全体会议通过了《中共中央关于加强和改进党的作风建设的决定》（以下简称《决定》）对加强和改进党的作风建设问题作出了十五个方面的决定。《决定》中阐明：作风建设是党的建设的重要组成部分。我们党历来高度重视作风建设在长期革命和建设的实践中形成并坚持发扬了理论联系实际、紧密联系群众、批评与自我批评等优良作风。执政党的党风关系党的形象关系人心背向关系党和国家的生死存亡。这是党的工人阶级先锋队性质和全心全意为人民服务宗旨的体现是中国共产党区别于其他政党的显著标志也是党千锤百炼更加坚强的重要原因。 《决定》中指出：党的作风总的是好的。十一届三中全会以来我们党重新确立了解放思想、实事求是的思想线形成了社会主义初级阶段的基本线制订了一系列符合我国国情和人民利益的大政方针党的精神面貌焕然一新。广大党员积极投身建设有中国特色社会主义的伟大事业在发扬党的优良传统的基础上立足国情、面向世界、锐意改革、致力发展发扬民主、依法办事给作风建设注入新的活力。我国改革开放和现代化建设取得举世瞩目的成就同广大党员为党和人民的事业发挥忘我奋斗和无私奉献的先锋模范作用是密不可分的。
但是党的作风方面也存在一些亟待解决的问题主要是：在一些地方、部门和领导干部中教条主义、本本主义滋长形式主义、官僚主义盛行弄虚作假、虚报浮夸严重独断专行、软弱涣散问题突出以权谋私、贪图享乐现象蔓延。这些问题归根结底都是脱离实际、脱离群众的其消极影响和后果不可低估。历史和现实一再告诉我们执政党不注重作风建设听任不正之风侵蚀党的肌体就会损坏党群关系和干群关系甚至失去民心丧失政权。 《决定》还辨证的指出：对党的作风状况要有清醒的全面的估计看不到主流悲观失望是错误的；看不到问题的严重性丧失警惕不下大力气加紧解决是危险的。以下笔者将从四个方面谈谈学习《决定》的心得体会。 一、党风的含义和实质 党风是党的作风的简称。党风体现着党的性质和宗旨。党风是指一个政党及其组织和党员的作风包括思想、政治、工作、生活等各方面的作风。党风是由世界观决定的。一个政党有什么样的世界观就必然有这样的世界观决定的作风。中国共产党的理论联系实际、密切联系群众、批评与自我批评三大优良作风就是 马克思主义世界观在党的实践活动中的具体表现。评价一个党的党风归根结底是看这个党在全部实践中表现出来的态度和行为。同样评价
2019-2020学年高中数学 1.4.2正弦、余弦函数的性质（2）导学案新人教版必 修4 【学习目标】 知识目标：要求学生能理解三角函数的单调性和对称性； 能力目标：能求出正、余弦函数的单调区间及对称轴、对称中心。 德育目标：激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神 【重点、难点】 教学重点：正、余弦函数的对称性和单调性； 教学难点：正、余弦函数对称性和单调性的理解与应用。 【知识梳理】 5.单调性 （１）y ＝sinx 的单调增区间是 ，单调减区间是 （２）y=cosx 的单调增区间是 ，单调减区间是 6.对称性：对称轴、对称中心 (1) y ＝sinx 取最大值时ｘ取值构成的集合是 ，取最小值时ｘ取值构成的集合是 . (2)y ＝sinx 取最大值时ｘ取值构成的集合是 ，取最小值时ｘ取值构成的集合是 . （3）y=sinx 的对称轴是_______________， y=cosx 的对称轴是 。 （4）y=sinx 的对称中心是_____________，y=cosx 的对称中心是____________。 习题练习： 1. 求函数)321sin( 2π+=x y 的单调区间 变式．（1）求函数)3 x 21(2sin y π--=的单调区间 （2）求函数)42x (cos y π- =的单调区间 2.有下列命题：①sin y x =的递增区间是[2,2]();2 k k k πππ+∈Z ②sin y x =在第一象限是增函数；③ sin y x =在[,]22 ππ-上是增函数.其中正确的个数是 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 3.函数2sin y x =-的最大值为____，取得最大值时x 值的集合为______.
学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名zym 论文题目凸函数的性质与应用 指导教师555职称副教授成绩 2011 年06月10日
目录 摘要 (2) 关键词 (2) Abstract (2) Keywords (2) 前言 (2) 1 凸函数的定义 (2) 2 凸函数的性质 (4) 2.1f为I上凸函数的充要条件 (4) 2.2 f为区间I上的可导函数的相关等价论断 (4) 3凸函数的应用 (6) 参考文献 (7)
函数的性质与应用 学生姓名: *** 学号: 20095031390 数学与信息科学学院 数学与应用数学 指导教师: *** 职称: 副教授 摘 要：本文从凸函数的定义出发,总结了凸函数的性质与应用 关键词：凸函数;性质;应用 The properties and application of convex function Abstract: From the definition of convex function, summarizes the convex function of the properties and application. Key word: the definition of convex function; properties; application 前言 我们已经熟悉函数()2f x x =和()f x =的图象,它们不同的特点是:曲线 2y x =上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方;而曲线y 则相反,任意两点间的弧段总在这两点连线的下方.我们把具有前一种特性的曲线称为凸的,相应的函数称为凸函数;后一种曲线称为凹的,相应的函数称为凹函数.下面通过一些例子来讨论凸函数的性质及应用,利用凸函数判断不等式的大小. 1 凸函数的定义 定义 1 设f 为定义在区间I 上的函数,若对I 上任意两点1x ,2x 和任意实数 ()0,1λ∈总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≤+-， ()1 则称f 为I 上的凸函数.反之,如果总有 ()()()()()121211f x x f x f x λλλλ+-≥+-, ()2 则称f 为I 上的凹函数. 如果若()1、()2中不等式改为严格不等式,则相应的函数称为严格凸函数和严格
§1.4.2 正弦函数、余弦函数的 周期性 1.了解周期函数及最小正周期的概念. 2.会求一些简单三角函数的周期 . 一、课前准备 （预习教材P 34~ P 36，找出疑惑之处） 自然界存在许多周而复始的现象，如地球自转和公转，物理学中的单摆运动和弹簧振动，圆周运动等.数学中从正弦函数，余弦函数的定义知，角α的终边每转一周又会与原来的终边重合，也具有周而复始的变化规律，为定量描述这种变化规律，引入一个新的数学概念——函数周期性. 二、新课导学 ※ 探索新知 问题1：观察下列图表从中发现什么规律？是否具有周期性？ 问题1：.如何给周期函数下定义？ 问题2：判断下列问题： （1）对于函数y=sinx x ∈R 有4sin )24sin( πππ=+成立，能说2 π是正弦函数y=sinx 的周期？
（2）2 )(x x f =是周期函数吗？为什么？ （3）若T 为)(x f 的周期，则对于非零整数)(,Z k kT k ∈也是 )(x f 的周期吗？ 问题3：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？ 问题4：最小正周期的含义；求,sin )(x x f =x x f cos )(=的最小正周期？ ※ 典型例题 例1: 求下列函数的周期： （1）x x f 2cos )(=； （2）)62sin( 2)(π-=x x g 变式训练:1. ⑴求)2cos()(x x f -= ⑵)62sin(2)(π-- =x x g 的周期 2.已知10 cos )(kx x f =，其中0≠k ，当自变量x 在任何两个整数间（包括整数本身）变化时，至少含有一个周期，求最小正整数k 的值.
对数性凸函数的性质及应用 王传坚 (楚雄师范学院数学系2003级1班) 指导老师郎开禄 摘要:在本文中，得到了对数性凸函数的四个性质，并讨论了对数性凸函数的性质的应用。 关键词:凸函数;.对数性凸函数; 基本性质; 应用. The research and application on some properties of logarithmatic convex function Wang Chuanjian (Department of Math, Chu Xiong Normal University, Chu Xiong,Yun Nan ,675000) Abstract: In this paper, the author gives some properties of logarithmatic convex function by studying the fundamental properties, and give some application about the properties of logarithmatic. Key Words:Convex Function; Logarithmatic Convex Function; Fundamental Property; Application. 导师评语： 凸函数是一类重要的函数,它有许多很好的性质,并有广泛的应用.在文[1]( [1] 刘芳园，田宏 根. 对数性凸函数的一些性质[J].《新疆师范大学学报》，2006,25(3):22-25.)中,刘芳园，田宏根 引入对数性凸函数的概念,研究获得了对数性凸函数的若干基本性质,并讨论了对数性凸函数基本性 质的一些应用. 受文[1]的启发,在文[1]的基础上,王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性性质及其应用>>进一步研究了对数性凸函数性质,获得了对数性凸函数的两个性质(推论1,推论2)和四个基本结果(定理3, 定理4, 定理5, 定理6),并讨论了对数性凸函数的性质及其应用. 王传坚同学的毕业论文<<对数性凸函数的性质及其应用>>选题具有理论与实 际意义,通过研究所获结果具有理论与实际意义.该论文的完成需要较好的数学分析基础,主要结果 的证明有一定的技巧,论文的完成有一定的难度,是一篇创新型的毕业论文.论文语言流畅,打印行文 规范.该同学在撰写论文过程中,悟性好,独立性强.
特征函数的概念及意义 目录： 一．特征函数的定义。 二．常用分布的特征函数。 三．特征函数的应用。 四．绪论。 一．特征函数的定义 设X 是一个随机变量，称 ()() itX e t E =?, +∞<<∞-t , 为X 的特征函数. 因为＝１Ｘit e ，所以() itX e E 总是存在的，即任一随机变量的特征函数总是存在的. 当离散随机变量X 的分布列为() ,3,2,1,P p k ===k x X k ，则X 的特征函数为 ()∑+∞ ==1k k itx p e t k ?, +∞<<∞-t . 当连续随机变量X 的密度函数为()x p ,则X 的特征函数为 ()()?+∞ ∞-=dx x p e t k itx ?, +∞<<∞-t . 与随机变量的数学期望，方差及各阶矩阵一样，特征函数只依赖于随机变量的分布，分布相同则特征函数也相同，所以我们也常称为某分布的特征函数. 二．常用分布的特征函数 1、单点分布：().1P ==a X 其特征函数为 ().e t it a =?
2、10-分布：()(),10x p 1p x X P x 1x =-==-，，其特征函数为 ()q pe t it +=?，其中p 1q -=. 3、泊松分布()λP ：()λλ-= =e k k X P k ！ ，k=0,1， ，其特征函数为 ()()∑+∞ =---===0k 1e e k ikt it it e e e e k e t λλλλλ?！ . 4、均匀分布()b a U ,：因为密度函数为 ()?????<<-=.;, 0, 1其他b x a a b x p 所以特征函数为 ()() ? --= -=b a iat ibt itx a b it e e dx a b e x ?. 5、标准正态分布()1,0N ：因为密度函数为 ()2 221x e x p -= π ， +∞<<∞-x . 所以特征函数为 ()() ? ?∞+∞-∞+∞ ---- - ∞== dx it x t x itx e e dx e x 22 22 222121 π ? =? -∞+-∞--- - =it it t t t e dz e e 2 2 2 22221π . 其中 ? -∞+-∞-- =it it x dz e π22 2 . 三．特征函数的应用 1、在求数字特征上的应用 求() 2N σμ，分布的数学期望和方差. 由于()2N σμ，的分布的特征函数为()2 t i 2 2e t σμ ?=,
§1.4.2正弦函数余弦函数的性质 【教材分析】 《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。 【教学目标】 1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数 c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域 2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． 3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 【教学重点难点】 教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。 教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域 【学情分析】 知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。 心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。 【教学方法】 1．学案导学：见后面的学案。 2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。 2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 【课时安排】1课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 （一）问题情境 复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？ 生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？ 生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等 提出本节课学习目标——定义域与值域
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 https://www.doczj.com/doc/4711383190.html,work Information Technology Company.2020YEAR
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式 最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which makes it necessary to study convex functions.We discuss definition, lemma, theorem and the nature of some commonly used discriminant methods of the convex function and the logarithmic convex function in this paper(According to known theorems, definitions, nature, Jensen inequality and other methods of convex function and the logarithmic convex function to recognize whether the function is a convex function); In this paper we also try to discuss the equivalent definition and nature of the convex function and the issue of its application in demonstration inequalities of convex function in order to have a better understanding of the nature and role of the convex function in proving inequalities; we also try to discuss some applications of convex function in proving inequalities(Convex function and the use of these convex function theorem, definition, nature, Jensen inequality to prove Inequality).
根式函数b ax y += 2的性质及其应用 摘要： 关键词： 1、 引言 高考题中经常会出现含根式函数b ax y +=2的相关试题，根据试题的条件和结论的内在联系，抓住关键的结构特征，借助其图象和性质，即可快速准确地解决试题. 下面，我们对形如)0,(2>+=b a b ax y 的根式函数的性质进行归纳，以期抛砖引玉. 2、 性质归纳 性质1（定义域） R 性质2（ 值域 ） ),[+∞b 性质3（单调性） 在()0,∞-上单调递减，在()+∞,0上单调递增 性质4（奇偶性） 偶函数 性质5（对称性） 关于y 轴对称 将根式函数)0,(2>+=b a b ax y 变形为),0,(22b y b a b ax y ≥>=-，得 性质6（特殊性） ① 该函数的图象是焦点在y 轴上的双曲线的上支 ② 有两条渐近线，方程为x a y ±= ③ 该函数是R 上的凹函数 有了性质作辅助，遇题便有章可依. 3、 典例分析 例1 已知+∈R b a ,，且1=+b a ，求证：22141422≥+++b a 证明：设函数14)(2 +=x x f ，它的图象是双曲线14 12 2 =-x y 的上支(如右图)
)(x f 是R 上的凹函数， ∴ )2 (2)()(b a f b f a f +≥+ ∴ 124214142 22+?? ? ??+≥+++b a b a 即得2214142 2≥+++b a 证毕. 推广： 若),,2,1(n i R x i i =∈，且11 =∑=n i i x ，则有21 2bn a b ax n i i +≥+∑= 例2 已知R b a ∈,，求证：||2|1414|22b a b a -≤+-+ 证明：① 若b a =，显然成立. ② 若b a ≠，原不等式等价于2|1 414|22≤-+-+b a b a 设函数14)(2 +=x x f ，则b a b a -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()14,2+a a P ，() 14,2+b b Q ()b a ≠连线的斜率， 即转化为求导函数)('x f 的值域问题. 1 44)(2'+= x x x f ，∴ 2| |2| |41 4||4|)(|2'<< += x x x x x f ∴ 2|1 414| 22≤-+-+b a b a . 综上所述，||2|1414|22b a b a -≤+-+ 点拨：本题的实质是考查双曲线上支上任意两点连线的斜率必介于两渐近线的斜率2-与2之间. 例3 当b a <<0时，求证：()14414142 22+-> +-+a a b a a b 证明：原不等式等价于 1 441 4142 22+>-+-+a a a b a b 设函数14)(2 +=x x f ，则a b a b -+-+1 41422可看作函数)(x f 图象上任意两点 ()()a f a P ,，()()b f b Q ,连线的斜率.由高等数学中的拉格朗日中值定理可知，在 ()b a ,上存在一点ξ，使得 )() ()('ξf a b a f b f =--.
§5正弦函数的图像与性质 5．1正弦函数的图像 2．在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，
? ????π2，1，(π，0)，? ???? 3π2，－1，(2π，0)．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图． 思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？ [提示] 列表、描点、连线． 1．对于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．向左、右无限延展 B ．与y ＝－sin x 的图像形状相同，只是位置不同
C．与x轴有无数个交点 D．关于y轴对称 D[y＝sin x为奇函数，关于原点对称，故D错误．] 2．y＝sin x的图像的大致形状为() [答案]B 3．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________． 5π[0＋π 2 ＋π＋3π 2 ＋2π＝5π.] 4．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．
???? ?? π2，3π2 1 [由正弦函数的图像(图略)可知．] 【例1】 [解] (1)列表： (2)描点、连线，图像如图．
1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x取0，π 2，π，3π 2，2π， 然后相应求出y值，再作出图像． 2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．
摘要 高等数学的重点研究对象凸函数是数学学科中的一个最基本的概念。凸函数的许多良好性质在数学中都有着非常重要的作用。凸函数在数学，对策论，运筹学，经济学以及最优控制论等学科都有非常广泛的应用，现在已经成为了这些学科的重要理论基础和强有力的工具。 同时，凸函数也有一些局限性，因为在实际的运用中大量的函数并不是凸函数的形式，这给凸函数的运用造成了不便。为了突破其局限性并加强凸函数在实际中的运用，于是在60年代中期便产生了凸分析。 本文主要是研究凸函数在数学和经济学方面的应用，在数学方面，文主要探究了不等式的证明，看看它与传统方法比较哪个更为简洁；在经济学方面，主要介绍了凸函数的一些新的发展，即最优问题，该问题在投资决策中起到了非常重要的作用；最后简单的介绍了一下经济学中的有关Arrow-pratt风险厌恶度量的知识。 关键词：凸函数；不等式；经济学；最优化问题
Abstract Convex function, the main study object of higher mathematics, is one of the most fundamental concepts in mathematics. Many good properties of convex function have a very important role in mathematics. Convex function has a very wide range of applications in mathematics, game theory, operations research, economics and optimal control theory, and now has become the most important theoretical basis and the most powerful tool of these disciplines. Convex function has some limitations at the same time, because large numbers of functions are not convex functions in the practical application, which has caused inconvenience to the use of convex functions. In order to break its limitations and strengthen the use of convex function in practice, convex analysis was produced in the mid 60's. The paper is mainly study the applications of convex function in mathematics and economics. In mathematics, the paper mainly discusses the poof of inequality to see which is more simple compared with the traditional method. In the aspect of economics, the paper mainly introduces some new developments of convex functions, namely, optimal problems, which play an important role in the investment decision. Finally, the paper introduces the related knowledge of the Arrow-pratt risk aversion measure in economics simply. Key words：Convex function；Inequality；Economics；Optimization problem
凸函数的性质及其在证明不等式中的应用 数学计算机科学学院 摘要：凸函数是一类重要的函数.凸函数在不等式的研究中尤为重要,而不等式最终归结为研究函数的特性，这就需要来研究凸函数了.本篇文章论述了凸函数、对数凸函数的定义、引理、定理和性质及其常用的一些判别方法（根据凸函数，对数凸函数的已知的定理、定义、性质，Jensen不等式等一些方法来判断函数是否是凸函数）；本文还试就凸函数的等价定义、性质和在证明不等式中的应用等问题作一初步的探讨，以便进一步了解凸函数的性质及其在证明不等式时的作用；并浅谈了一下凸函数在不等式证明中的一些应用（如上述利用凸函数以及对数凸函数的定理，定义，性质，Jensen不等式来证明一些不等式），推广并证明了一些不等式（三角不等式，Jensen不等式等），得到了新的结果. 关键词：凸函数；对数凸函数；Jensen不等式；Hadamard不等式；应用 Nature of Convex Function and its Application in Proving Inequalities Chen Huifei, College of Mathematics and Computer Science Abstract : Convex function is a kind of important function. Convex function is particularly important in the study of the inequality, and the study of the inequality is reduced to study the characteristics of the convex function，which
1．4.2正弦函数、余弦函数的性质 【课标要求】 1.了解三角函数的周期性，会求一些三角函数的周期． 2.借助图象理解正弦函数、余弦函数的性质，会讨论一些简单三角函数的奇偶性、单调性、最值等 问题． 【考纲要求】 【学习目标叙写】 1.通过自主学习，会求一些三角函数的周期 2.通过合作交流，会讨论一些简单三角函数的奇偶性、单调性、最值等问题． 【使用说明及方法指导】 1.限时10—15分钟，独立完成预习案内容，书写规范。 2.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑。 【预习案】 1．sin(α＋2kπ)＝______，cos(α＋2kπ)＝_______.(k∈Z) 2．正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的五个关键点为 ___________________________________． 3．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的五个关键点为 【探究案】 探究一：正、余弦函数的周期性 研究正、余弦函数的周期性，可根据定义f(x＋T)＝f(x)，T一般为最小正周期 例一求下列函数的周期： (1)y＝sin 2x＋3； (2)y＝2cos( 1 3 x－ π 4 )； (3)y＝|sin x|. 探究二：正、余弦函数的奇偶性 正、余弦函数的奇偶性，要根据奇偶函数的定义、性质和三角诱导公式来判定． 例二 判断下列函数的奇偶性： (1)y＝sin x＋tan x；(2)f(x)＝sin( 3x 4＋ 3π 2)；
(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2 x 1＋sin x ； (4)f (x )＝1－cos x ＋cos x －1. 【拓展1】 若本例(4)改为f (x )＝1－cos x ，其奇偶性如何？ 探究三：正、余弦函数的单调性 要结合正、余弦函数的图象和周期性，求解单调区间． 例三 求函数y ＝2sin(π 4 －x )的单调区间． 【拓展1】 求函数y ＝2sin(x ＋π 4 )的单调区间． 探究四：正、余弦函数的定义域、值域及最值 此类问题主要利用它们的有界性：|sin x |≤1，|cos x |≤1(x ∈R)． 例四 (1)求函数y ＝2sin(x ＋π3)，x ∈[π6，π 2 ]的值域； (2)求函数y ＝1 1＋sin x 的定义域、值域和最值． 【拓展1】 求函数y ＝cos2x ＋2sin x －2，x ∈R 的值域． 【二次备课】
本科毕业论文 题目凸函数及其在证明不等式中的应用 系别数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 指导教师吴开腾 评阅教师 班级 2004级2班 姓名冀学本 学号 064 2008 年５月２７日
目录 摘要 .............................................................. 错误!未定义书签。Abstract......................................................... 错误!未定义书签。1引言 ............................................................ 错误!未定义书签。 2 凸函数的等价定义 ........................................... 错误!未定义书签。凸函数三种定义的等价性的讨论.................................. 错误!未定义书签。 定义1?定义2................................................. 错误!未定义书签。 定义1?定义3................................................. 错误!未定义书签。判定定理与JESEN不等式.......................................... 错误!未定义书签。3．性质 .......................................................... 错误!未定义书签。4凸函数在不等式证明中的应用 .............................. 错误!未定义书签。利用凸函数定义证明不等式....................................... 错误!未定义书签。 利用凸函数性质证明不等式...................................... 错误!未定义书签。结束语............................................................ 错误!未定义书签。参考文献......................................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................................. 错误!未定义书签。
“双勾函数”的性质及应用 问题引入 ：求函数2y = 的最小值． 问题分析 ：将问题采用分离常数法处理得，2y = =，此时 如果利用均值不等式， 即2y = ，等式成立的条件 为 = 显然无实数解，所以“=”不成立，因而最小值 不是2，遇到这种问题应如何处理呢？这种形式的函数又具有何特征呢？是否与我们所熟知的函数具有相似的性质呢?带着种种疑问，我们来探究一下这种特殊类型函数的相关性质． 一、利用“二次函数”的性质研究“双勾函数”的性质 1．“双勾函数”的定义 我们把形如()k f x x x =+ （k 为常数，0k >）的函数称为“双勾函数”．因为函数()k f x x x =+ （k 为常数，0k >）在第一象限的图像如“√”，而该函数为奇函数，其图像关于原点成中心对称，故此而得名． 2．类比“二次函数”与“双勾函数”的图像 3．类比“二次函数”的性质探究“双勾函数”的性质 （1）“二次函数”的性质 ①当0a >时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随着x 二次函数图像 “双勾函数”图像
的增大而增大；当2b x a =-时，函数y 有最小值2 44ac b a - ． ②当0a <时，在对称轴的左侧，y 随着x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随着x 的增大而减小．当2b x a =-时，函数y 有最大值2 44ac b a -． （2）“双勾函数”性质的探究 ①当0x > 时，在x =y 随着x 的增大而减小；在x =y 随着x 的增大而增大；当x = y 有最小值． ②当0x <时， 在x =y 随着x 的增大而增大； 在x =y 随着x 的增大而减小．当x =y 有最大值-． 综上知，函数()f x 在(,-∞ 和)+∞ 上单调递增，在[ 和上单调递减． 下面对“双勾函数”的性质作一证明． 证明：定义法．设12,x x ∈R ，且12x x <，则 1212121212121212 ()()()()()(1)x x x x k a k k f x f x x x x x x x x x x x ---=+ --==-- ． 以下我们怎样找到增减区间的分界点呢？ 首先0x ≠，∴0x =就是一个分界点，另外我们用“相等分界法”，令120x x x ==， 2 010k x - = 可得到x = 因此又找到两个分界点 这样就把()f x 的定义域 分为(,-∞ ，[ ， ，)+∞四个区间，再讨论它的单调性． 设120x x <<120x x -<，120x x >，120x x k <<， ∴120x x k -<． ∴121212121212 ()()()()0x x x x k k k f x f x x x x x x x ---=+ --=> ，即12()()f x f x >． ∴()f x 在上单调递减． 同理可得，()f x 在)+∞ 上单调递增；在(,-∞ 上单调递增；在[上