高中数学必修四正弦函数与余弦函数的性质学案

1.4正弦函数与余弦函数的图像与性质

知识概括

归纳性质完成下表：

函数 x y sin =

x y cos =

图像

定义域 值域 奇偶性 周期性

单调性

在区间 上单调增；在区间 上单调减。

在区间 上单调增；在区

间

上单调减。

最值

当=x 时，有最大值

1max =y ；当=x 时，有最

小值1min -=y 。

当=x 时，有最大值

1max =y ；当=x 时，有最小值

1min -=y 。

对称性

对称轴： 对称中心：

对称轴： 对称轴：

课前检测

1.函数)6

sin()(π

+=x x f 的一个减区间是（ ）

A.]2,2[π

π-

B.]0,[π-

C. ]32,32[ππ- C.]3

2,2[π

π 2.比较大小：)18

sin(π

-

)10

sin(π

-

； 3cos 2cos

3.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少。 （1）R x x y ∈=sin 2 (2) R x x

y ∈-=3

cos

2

4.判断下列函数奇偶性

（1）x x f cos 1)(-= （2）x x x f sin )(-=

例题解析

例1.求下列函数的最大值及取得最大值时x 的集合 (1)3cos x y = (2)x y 2sin 2-= (3) ??? ?

?

+=6sin 3πx y

变式1 ：(1) 若??

?

???∈=34,0sin 3πx x y 呢？ (2) 若[]ππ2,0)

6sin(3∈+=x x y 呢？

例2. 判断下列函数的奇偶性：

(1)x x x f cos |sin |)(?=： ；(2)x x x f cos )(+=： .

例3.（1）求)3

2cos(π

+

=x y 的单调增区间； （2）求)3

2sin(π

+

-=x y 的单调增区间。

课堂练习

1.函数x 2sin 2y =

的奇偶性为 （ ）

A. 奇函数

B. 偶函数 C ．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 2.在],[ππ-上是增函数，又是奇函数的是 （ ） A.2sin

x y = B.x y 21cos = C.4

sin x

y -= D.x y 2sin = 3.函数]2

,0[),6cos(π

π

∈+

=x x y 的值域是 （ ）

A.]21,23[-

B.]23,21[-

C.]1,23[

D.]1,2

1

[

课后作业

1.在△ABC ，则△ABC 必是 （ ） A.等边三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.锐角三角形

2.已知角α终边上一点)5,4(-P ，则)

2

sin(-4sin )sin(2cos απ

απαπαπ+--???

??+）（的值为 （ ）

A.45-

B. 4

5

C. 41415

D.41414-

3．将函数sin y x =的图象向左平移

2

π

个单位，得到函数()y f x =的函数图象，则下列说法正确的是（ ） A.()y f x =是奇函数 B.()y f x =的周期是π C.()3y f x =的图像关于直线2

x π

=

对称 D.()y f x = 的图像关于02π??

-

???

，对称 4.下列函数中，周期为π且在???

???2,4ππ上为减函数的是 （ ）

A.)2

2sin(π

+=x y B. )2

sin(π

+

=x y C. )2

2cos(π

+

=x y D. )2

cos(π

+

=x y

5.函数y = sin(2x+

25π

)的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．x = －2π B ．x =－4π C ．x = 8π D ．x =45π

6.函数x x y sin cos 2

-=的值域是 （ ）

A.[]1,1-

B.??

????45,1

C.[]2,0

D.??

???

?-45,1

7.函数sin 22y x π??

=-

???

，x R ∈是 （ ） A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为

2π

的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2

π

的偶函数

8.已知函数x y cos 1-=，则其单调增区间是 ；单调减区间是 。 9．设函数())3

2sin(3π

+=x x f ，给出四个命题：①它的周期是π；②它的图象关于直线12

π

=

x 成轴对称；

③它的图象关于点???

??0,12π成中心对称；④它在区间???

??

?-12,125ππ上是增函数．其中正确命题的序号是 10.求下列函数的值域： （1）??

?

???∈+

=2,0),6cos(ππ

x x y ； （2）5cos 4cos 2+-=x x y

高中数学正弦函数的性质

正弦函数的性质 一、 教学目标： 1、 知识与技能 （1）进一步熟悉单位圆中的正弦线；（2）理解正弦诱导公式的推导过程；（3）掌握正弦诱导公式的运用；（4）能了解诱导公式之间的关系，能相互推导；（5）理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大（小）值、单调性、奇偶性；（6）能熟练运用正弦函数的性质解题。 2、 过程与方法 通过正弦线表示α,－α,π－α,π＋α,2π－α,从而体会各正弦线之间的关系；或从正弦函数的图像中找出α,－α,π－α,π＋α,2π－α，让学生从中发现正弦函数的诱导公式；通过正弦函数在R 上的图像，让学生探索出正弦函数的性质；讲解例题，总结方法，巩固练习。 3、 情感态度与价值观 通过本节的学习，培养学生创新能力、探索归纳能力；让学生体验自身探索成功的喜悦感，培养学生的自信心；使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的有效途经；培养学生形成实事求是的科学态度和锲而不舍的钻研精神。 二、教学重、难点 重点: 正弦函数的诱导公式，正弦函数的性质。 难点: 诱导公式的灵活运用，正弦函数的性质应用。 三、学法与教学用具 在上一节课的基础上，运用单位圆中正弦线或正弦函数图像中角的关系，引发学生探索出正弦函数的诱导公式；通过例题和练习掌握诱导公式在解题中的作用；在正弦函数的图像中，直观判断出正弦函数的性质，并能上升到理性认识；理解掌握正弦函数的性质；以学生的自主学习和合作探究式学习为主。 教学用具:投影机、三角板 第一课时 正弦函数诱导公式 一、教学思路 【创设情境，揭示课题】 在上一节课中，我们已经学习了任意角的正弦函数定义，以及终边相同的角的正弦函数值也相等，即sin(2k π＋α)＝sin α (k∈Z)，这一公式体现了求任意角的正弦函数值转化为求0°～360°的角的正弦函数值。如果还能把0°～360°间的角转化为锐角的正弦函数，那么任意角的正弦函数就可以查表求出。这就是我们这一节课要解决的问题。 【探究新知】 1． 复习：（公式1）sin(360?k +α) = sin α 2． 对于任一0?到360?的角，有四种可能（其中α为不大于90?的非负角） [ [ [ ??????β∈βα-β∈βα+β∈βα-β∈βα=β为第四象限角 ），当为第三象限角）， 当为第二象限角 ）， 当为第一象限角，当οοοοο ο οο οοο36027036027018018018090180) 900 （以下设α为任意角） 3． 公式2： 设α的终边与单位圆交于点P(x ,y )，则180?+α终边与单位圆交于点P’(-x ,-y )，由正弦线可知： sin(180?+α) = -sin α 4．公式3： 同样可得： P (,-y )

高中数学必修4三角函数教案

任意角的三角函数 一、教学目标 1、知识目标：借助单位圆理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，根据定义探讨出三角函数值在各个象限的符号，掌握同一个角的不同三角函数之间的关系。 2、能力目标：能应用任意角的三角函数定义求任意角的三角函数值。 3、情感目标：培养数形结合的思想。 二、教材分析 1、教学重点：理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。 2、教学难点：从函数角度理解三角函数。 3、教学关键：利用数形结合的思想。 三、教学形式：讲练结合法 四、课时计划：2节课 五、教具：圆规、尺子 六、教学过程 (一)引入 我们已经学过锐角三角函数，知道他们都是以锐角为自变量，以比值 为函数值的函数，你能用直角坐标系中的终边上点的坐标来表示锐角 三角函数吗？ 设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，那么它 的终边在第一象限，在α的终边上任取一点P （a,b ）,它与原点的距离 r=22b a +>0.根据初中学过的三角函数定义，我们有αsin =r b , r a αcos =

a b αtan =,取r=1,则a b tan αa,cos αb,αsin ===，引入单位圆概念。 （二）新课 1、设α是以任意角，它的终边与单位圆交于P （x,y ）,那么： （1） y 叫做α的正弦，记作αsin , 即y αsin =； （2） x 叫做α的余弦，记作αcos ，即x αcos =； （3） x y 叫做α的正切，记作αtan ，即x y αtan =)0(≠x . 注：用单位圆定义的好处就在于r=1,点的横坐标表示余弦值，纵坐标 表示正弦值。 2、根据任意角的三角函数定义，得到三种函数值在各象限的符号。 通过观察发现：第一象限全为正，第二象限只有正弦为正，第三象限只有正切为正，第四象限只有余弦为正。总结出一条法则：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 注：这有利于培养学生观察和思考的能力，以方便记忆。 3、利用勾股定理可以推出：1cos sin 22=+αα，根据三角函数定义，当)(2z k k ∈+≠π πα时，有αα αtan cos sin =。这就是说同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切。 4、例题 例1求 3 5π的正弦、余弦和正切值。 解:在直角坐标系中，作3π5=∠AOB ,易知AOB ∠的终边与单位圆的交点 坐标为)2 3,21 (-，所以

正余弦转换公式

诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα·tanβ) tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2α sin3α＝3sinα－4sin^3α

高中数学：(一)正弦定理

课时达标训练(一) 正 弦 定 理 [即时达标对点练] 题组1 利用正弦定理解三角形 1．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得4sin 45°＝b sin 60°，所以b ＝26，故选C. 2．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B ＝( ) A ．45°或135° B ．60° C ．45° D ．135° 解析：选C 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得sin B ＝b sin A a ＝2sin 60°3＝2 2. ∵a >b ，∴A >B ， ∴B ＝45°. 3．在△ABC 中，cos A a ＝sin B b ，则A ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 解析：选B ∵sin A a ＝sin B b ，又cos A a ＝sin B b ， ∴cos A a ＝sin A a ， ∴sin A ＝cos A ，tan A ＝1. 又0°

5．已知在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 解析：∵A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，∴A ＝30°，B ＝60°，C ＝90°. ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝1 sin 30°＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，c ＝2sin C . ∴ a －2 b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2. ★答案★：2 6．已知b ＝10，c ＝56，C ＝60°，解三角形． 解：∵sin B ＝ b sin C c ＝10·sin 60°56 ＝2 2， 且b ＝10，c ＝56，b 0，∴cos A ＝0，即A ＝π 2 ，∴△ABC 为直角三角形． ★答案★：直角三角形 8．在△ABC 中，a cos ????π2－A ＝b cos ????π 2－B ，判断△ABC 的形状． 解：法一：∵a cos ????π2－A ＝b ·cos ????π2－B ， ∴a sin A ＝b sin B ．由正弦定理，得a ·a 2R ＝b ·b 2R ， ∴a 2＝b 2，∴a ＝b ， ∴△ABC 为等腰三角形． 法二：∵a cos ????π2－A ＝b cos ????π 2－B ， ∴a sin A ＝b sin B . 由正弦定理，得2R sin 2A ＝2R sin 2B ， 即sin A ＝sin B ，

高三数学复习教案：指数与指数函数教案

第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程

（1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。

高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质

π??

据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))； (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))． 以题试法 1． (1)函数y ＝ 2＋log 1 2 x ＋tan x 的定义域为________． (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间??????0，π2上的值域为( ) A.??????－32，32 B.??????－32，3 C.??????－332，332 D.???? ??－332，3 解析：(1)要使函数有意义 则????? 2＋log 1 2 x ≥0， x >0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 ，k ∈Z ?? ???? 0

正弦余弦公式总结

正弦余弦公式总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=[tan(a)+tan(b)]/[1-tan(a)tan(b)] tan(a-b)=[tan(a)-tan(b)]/[1+tan(a)tan(b)] 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2) sin(a)sin(b)=2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2)

cos(a)+cos(b)=2cos((a+b)/2)cos((a-b)/2) cos(a)-cos(b)=-2sin((a+b)/2)sin((a-b)/2) 4.积化和差公式 (上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-1/2* [cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=1/2* [cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=1/2* [sin(a+b)+sin(a-b)] cos(a)sin(b)=1/2* [sin(a+b)-sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1-2sin2(a) 6.半角公式 2sin2(a/2)=1-cos(a) 2cos2(a/2)=1+cos(a) tan(a/2)=[1-cos(a)]/sin(a)=sina/[1+cos(a)] tan2(a/2)= [1-cos(a)]/[1+cos(a)] 7.万能公式 sin(a)=2tan(a/2)/[1+tan2(a/2)] cos(a)=[1-tan2(a/2)]/[1+tan2(a/2)] tan(a)=2tan(a/2)/[1-tan2(a/2)] 8.其它公式(推导出来的) a*sin(a)+b*cos(a)=2+b2其中 tan(c)=b/a a*sin(a)-b*cos(a)= √a2+b2cos(a-c) 其中 tan(c)=a/b

高中数学教案必修四：正弦定理

课 题 1.1.1 正弦定理 授课人 雷 娜 授课时间 5月 日 年 级 高 一 班 次 1321、1322 教学目标 知识与技能： 通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的 内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法： 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中， 边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到 一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。 情感、态度、价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形 函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 内容分析 重 点： 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 难 点： 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 关 键： 掌握正弦定理的内容并能够灵活应用 教学方法 探究式教学 教 学 过 程 一、课题导入： 如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。 能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ 二、新课探究 在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c C c ==, 则sin sin sin a b c c A B C === A B C B A C

高中数学三角函数教案

高中数学三角函数教案 一、教学目标 1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义包括定义域、正负符号判断;了解任意 角的余切、正割、余割函数的定义. 2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概 念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验. 3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的 辩证唯物主义世界观. 4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度. 二、重点、难点、关键 重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、正负符号判断法. 难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数. 关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性α确定,比值也随之确定与依赖性比值随着α的变化而变化. 三、教学理念和方法 教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模 仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程. 根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、 讲练结合”的方法组织教学. 四、教学过程 [执教线索: 回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义锐角三角形边角关系——问题情境:能推广 到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系为何?——优化认知:用直角坐标系研究锐角三 角函数——探索发展:对任意角研究六个比值与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数 定义吗?——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析对应法则、定义域、值域与正负符号判定——例题与练习——回顾小结——布置作业]

正余弦定理及面积公式

正余弦定理及面积公式 一，,知识点回顾： 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin === 余弦定理：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 。 面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21 sin 21sin 21 ===? 三角形内角和 π=++C B A ) tan(tan )sin(sin ) cos()cos(cos C B A C B A C B C B A +-=+=+-=--=π 二，基础训练： 1,在?ABC 中，已知23=a ，62=+c ， 45=∠B ，求b 及A ； 2,在?ABC 中，已知134.6=a cm ，87.8=b cm ，161.7=c cm ，解三角形 3,在?ABC 中,53 cos ,135 cos =-=B A , （1）求C sin 的值;（2）设BC=5，求?ABC 的面积 4，设锐角?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c, 且A b a sin 2= （1）求B ∠的大小 （2）若b c a 求,5,33== 5，在?ABC 中，已知54 cos ,3,2-===A a b （1）求B sin 的值 （2）求)62sin(π +B 的值 6，在?ABC 中，53 tan ,41 tan ==B A （1）求C ∠的大小 （2）若AB 的边长为17，求BC 边的长 7，设?ABC 的内角 Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 3,3,1π =∠==c c a ，则A ∠ 的值 8，设?ABC 的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+ （1）求边长AB 的长 （2）若?ABC 的面积为C sin 61 ，求角C 9，在?ABC 中，Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为a,b,c,若 55 22cos ,4,2==∠=B C a π，求?ABC 的面积。

人教版高中数学,正弦定理(一)

人教版高中数学同步练习 第一章 解三角形 §1.1 正弦定理和余弦定理 1．1.1 正弦定理(一) 课时目标 1．熟记正弦定理的内容； 2．能够初步运用正弦定理解斜三角形． 1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2 . 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c ＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形． 4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，这个比值是三角形外接圆的直径2R . 一、选择题 1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．2∶3∶4 C ．3∶4∶5 D ．1∶3∶2 答案 D 2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1 C ．2 6 D ．2＋2 3 答案 C 解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ， 得4sin 45°＝b sin 60° ，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形 答案 A 解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ?(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形． 4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( ) A ．A > B B ．A sin B ?2R sin A >2R sin B ?a >b ?A >B . 5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．60°

高中数学人教A版(2019)必修第一册第四章4.2《指数函数 》教 案

《指数函数及其性质》 教材分析 本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想（指数幂运算律的推广）、类比的思想、逼近的思想（有理数指数幂逼近无理数指数幂）、数形结合的思想（用指数函数的图像研究指数函数的性质）等，同时，编写时充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用价值． 根据本节内容的特点，教学中要注意发挥信息技术的力量，尽量利用计算器和计算机创设教学情景，为学生的数学探究与数学思维提供支持． 教学目标 1．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图像，掌握指数函数的性质． 2．采用具体到一般、数形结合的思想方法，体会研究具体函数的性质． 3．使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实其他学科的联系；感受探究未知世界的乐趣，从而培养学生对数学的热爱情感． 教学重难点 【教学重点】 掌握指数函数的概念和性质． 【教学难点】 用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质． 课前准备 引导学生通过实际问题了解指数函数的实际背景，通过本节课导学案的使用和预习，初步理解指数函数的概念和意义，根据图像理解指数函数的性质，带着问题学习． 教学过程

（一）创设情景，揭示课题 1．对任意实数x，3x的值存在吗？（-3）x的值存在吗？1x的值存在吗？ 2．y=3x是函数吗？若是，这是什么类型的函数？ 3．（备选引例） （1）思考1：用清水漂洗含1个质量单位污垢的衣服，若每次能洗去残留污垢的，则漂洗x次后，衣服上的残留污垢y与x的函数关系是什么？ （2）（合作讨论）人口问题是全球性问题，由于全球人口迅猛增加，已引起全世界关注．世界人口2000年大约是60亿，而且以每年1．3%的增长率增长，按照这种增长速度，到2050年世界人口将达到100多亿，大有“人口爆炸”的趋势．为此，全球范围内敲起了人口警钟，并把每年的7月11日定为“世界人口日”，呼吁各国要控制人口增长． ○1按照上述材料中的1．3%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？ ○2到2050年我国的人口将达到多少？ ○3你认为人口的过快增长会给社会的发展带来什么样的影响？ （3）上一节中GDP问题中时间x与GDP值y的对应关系y=1．073x（x∈N*，x≤20）能否构成函数？ （4）一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84%，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？ 提出问题：上面的几个函数有什么共同特征？ （二）研探新知 1．指数函数的概念

高中数学任意角的三角函数教案

§1.2.1 任意角的三角函数 教学目标 <一> 知识目标 1、掌握任意角的三角函数的定义。 2、已知角α终边上一点,会求角α的各三角函数值。 3、记住三角函数的定义域和诱导公式（一）。 <二> 能力目标 1、理解并掌握任意角的三角函数的定义。 2、树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。 3、通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力。 <三> 德育目标 1、使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式。 2、学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神。 教学重难点 任意角的正弦、余弦、正切的定义 （包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），以及这三种函数的第一组诱导公式。 教学过程 问题1：你能回忆一下初中里学过的锐角三角函数（正弦，余弦，正切）的定义吗？ 锐角三角函数定义

问题2：在终边上移动点P的位置,这三个比值会改变吗? 在直角坐标系中,以原点O为圆心,以单位长度为半径的圆叫单位圆 即：锐角三角函数可以用单位圆上的点的坐标来表示 推广: 我们也可以利用单位圆定义任意角三角函数(正弦,余弦,正切) 任意角的三角函数定义: 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y)，则: 正弦,余弦,正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数. (由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,因此三角函数可以看成是自变量为实数的函数.)

所以三角函数可以记为: 我们把角X的正弦、余弦、正切统称为三角函数 问题3:如何求α角的三角函数值? 求α角的三角函数值即求α终边与单位圆交点的纵、横坐标或坐标的比值。例1： 解： 例2： 事实上: 三角函数也可定义为: 设α是一个任意角,它的终边经过点P(x,y),则

正余弦公式

1.诱导公式 sin(-a)=-sin(a) cos(-a)=cos(a) sin(2π-a)=cos(a) cos(2π-a)=sin(a) sin(2π+a)=cos(a) cos(2π+a)=-sin(a) sin(π-a)=sin(a) cos(π-a)=-cos(a) sin(π+a)=-sin(a) cos(π+a)=-cos(a) tgA=tanA=sinAcosA 2.两角和与差的三角函数 sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(α)sin(b) cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b) cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b) tan(a+b)=tan(a)+tan(b)1-tan(a)tan(b) tan(a-b)=tan(a)-tan(b)1+tan(a)tan(b) 3.和差化积公式 sin(a)+sin(b)=2sin(a+b2)cos(a-b2) sin(a)?sin(b)=2cos(a+b2)sin(a-b2)

cos(a)+cos(b)=2cos(a+b2)cos(a-b2) cos(a)-cos(b)=-2sin(a+b2)sin(a-b2) 4.积化和差公式(上面公式反过来就得到了) sin(a)sin(b)=-12?[cos(a+b)-cos(a-b)] cos(a)cos(b)=12?[cos(a+b)+cos(a-b)] sin(a)cos(b)=12?[sin(a+b)+sin(a-b)] 5.二倍角公式 sin(2a)=2sin(a)cos(a) cos(2a)=cos2(a)-sin2(a)=2cos2(a)-1=1 -2sin2(a) 6.半角公式 sin2(a2)=1-cos(a)2 cos2(a2)=1+cos(a)2 tan(a2)=1-cos(a)sin(a)=sina1+cos(a) 7.万能公式 sin(a)=2tan(a2)1+tan2(a2) cos(a)=1-tan2(a2)1+tan2(a2) tan(a)=2tan(a2)1-tan2(a2) 8.其它公式(推导出来的) a?sin(a)+b?cos(a)=a2+b2sin(a+c) 其中tan(c)=ba

高中数学全套讲义 必修4 正弦型函数图像与性质 中等教师版

目录 正弦型函数的图像与性质 (2) 模块一：正弦型函数图像与性质 (2) 考点1：正弦型函数性质 (3) 考点2：五点法作正弦型函数图像 (6) 考点3：求正弦型函数解析式 (7) 课后作业： (10)

正弦型函数的图像与性质模块一：正弦型函数图像与性质1．正弦函数sin =． y x 2

3．函数()sin y A x ω?=+的性质 ⑴ 周期性：函数()sin y A x ω?=+（其中A ω?，，为常数，且00A ω≠>，）的周期仅与自变量的系数有关．最小正周期为2π T ω =． ⑵ 值域：[]A A -， ⑶ 奇偶性：当()π k k ?=∈Z 时，函数()sin y A x ω?=+为奇函数； 当()π π 2 k k ?= +∈Z 时，函数()sin y A x ω?=+为偶函数． ⑷ 单调区间：求形如()sin y A ωx φ=+或()cos y A ωx φ=+（其中0A ≠，0ω>）的函数 的单调区间可以通过图象的直观性求解，或根据解不等式的方法去解答，列不等式的原则是：①把“()0ωx φω+> 视为一个“整体 ．②0A >()0A <时， 所列不等式的方向与()sin y x x =∈R 、()cos y x x =∈R 的单调区间对应的不等式的方向相同（反）． ⑸ 对称轴方程：0x x =，其中()0π π 2 x k k ω?+= +∈Z ． ⑹ 对称中心：()00x ， ，其中()0π x k k ω?+=∈Z ． 考点1：正弦型函数性质 例1.（1）（2019春?南平期末）已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线3 x π = 对称，则 ?可能取值是( ) A ． 2 π B ．12 π - C ． 6 π D ．6 π - 解：函数 故选：D ． （2）（2019春?娄底期末）函数5()3cos(4)6 f x x π =+ 图象的一个对称中心是( )

高一数学三角函数教案

高一数学三角函数教案 高一数学《三角函数》教案如下： 已知三角函数值求角反正弦，反余弦函数 目的：要求学生初步了解理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。 过程： 一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。 由 1在R上无反函数。 2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单 在上，的反函数称作反正弦函数， 记作，奇函数。 同理，由 在上，的反函数称作反余弦函数， 记作 二、已知三角函数求角 首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。 已知三角函数值求角是多值的。 例一、1、已知，求x 解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个 ∴ 即 2、已知 解：，是第一或第二象限角。 即。 3、已知

解： x是第三或第四象限角。 即或 这里用到是奇函数。 例二、1、已知，求 解：在上余弦函数是单调递减的， 且符合条件的角只有一个 2、已知，且，求x的值。 解：， x是第二或第三象限角。 3、已知，求x的值。 解：由上题：。 介绍：∵ ∴上题 例三、见课本P74-P75略。 三、小结：求角的多值性 法则：1、先决定角的象限。 2、如果函数值是正值，则先求出对应的锐角x; 如果函数值是负值，则先求出与其绝对值对应的锐角x， 3、由诱导公式，求出符合条件的其它象限的角。 四、作业：P76-77 练习 3 习题4.11 1，2，3，4中有关部分。 高一数学《三角函数的周期性》教案如下： 一、学习目标与自我评估 1 掌握利用单位圆的几何方法作函数的图象 2 结合的图象及函数周期性的定义了解三角函数的周期性，及最小正周期 3 会用代数方法求等函数的周期

正余弦定理、三角形的一些公式

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R c C R b B R a A C R c B R b A R a R R C c B b A a 2sin 2sin 2sin sin 2sin 2sin 2)(2sin sin sin = = = ======变形有：为外接圆的半径 三角形的面积公式： A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21=== ? 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 ab c b a C ac b c a B bc a c b A C ab b a c B ac c a b A bc c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 22222 222 22222222222-+= -+= -+= -+=-+=-+=变形有： 判断三角形的形状： 为锐角三角形 ，为直角角三角形 为钝角三角形 ABC b a c c a b c b a ABC c b a ABC c b a ?+<+<+2222222222 222 22,, 三角形中有： 形为正三角形 成等比数列，则该三角、、成等差数列，、、）若（）（中c b a C B A C B A C B A C B A ABC 2tan )tan(cos )cos(sin )sin(1-=+-=+=+? 两角和差的正余弦公式及两角和差正切公式 ()βαβαβαsin cos cos sin sin -=- ()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()c o s c o s c o s s i n s i n αβα βαβ+=- ()βαβαβαt a n t a n 1t a n t a n t a n +-=- ()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- 二倍角公式： α α ααβ β ααααα2 22 2 2t a n 1t a n 22t a n 1 c o s 2s i n 21s i n c o s 2c o s c o s s i n 22s i n -= -=-=-== 半角公式：

(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法

(经典)高中数学正弦定理的五种全证明方法

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高中数学正弦定理的五种证明方法 ——王彦文 青铜峡一中 1.利用三角形的高证明正弦定理 （1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据锐角三角函数的定义，有=sin CD a B ,sin CD b A =。 由此，得 sin sin a b A B = ，同理可得 sin sin c b C B = ， 故有 sin sin a b A B = sin c C = .从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高，交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义，有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = 。由此，得 = ∠sin sin a b A ABC ，同理可得 = ∠sin sin c b C ABC 故有 = ∠sin sin a b A ABC sin c C = . 由(1)(2)可知，在?ABC 中， sin sin a b A B = sin c C = 成立. 从而得到：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即 sin sin a b A B = sin c C = . 2.利用三角形面积证明正弦定理 已知△ABC,设BC ＝a, CA ＝b,AB ＝c,作AD⊥BC,垂足为D 则Rt△ADB 中,AB AD B =sin ∴S △ABC =B ac AD a sin 2121=?同理,可证 S △ABC =A bc C ab sin 21 sin 21= ∴ S △ABC =B ac A bc C ab sin 2 1 sin 21sin 21== 在等式两端同除以ABC,可得b B a A c C sin sin sin ==即C c B b A a sin sin sin ==. 3.向量法证明正弦定理 (1)△ABC 为锐角三角形,过点A 作单位向量j 垂直于AC ,则j 与AB 的夹角为90°-A ,j 与 CB 的夹角为90°-C 由向量的加法原则可得 AB CB AC =+ a b D A B C A B C D b a D C B A

高一数学必修1《指数函数》教案

高一数学必修1《指数函数》教案 教学目标： 1、知识目标：使学生理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图像和性质。 2、能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。 3、情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。 教学重点、难点： 1、重点：指数函数的图像和性质 2、难点：底数a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体动感显示，通过颜色的区别，加深其感性认识。 教学方法：引导发现教学法、比较法、讨论法 教学过程： 一、事例引入 T：上节课我们学习了指数的运算性质，今天我们来学习与指数有关的函数。什么是函数? S：-------- T：主要是体现两个变量的关系。我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对非典应该并不陌生，它与其它的传染病一样，有一定的潜伏期，这段时间里病原体在机体内不断地繁殖，病原体的繁殖方式有很多种，分裂就是其中的一种。我们来看一种球菌的分裂过程： C：动画演示(某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------。一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的函数关系式是：y = 2 x ) S，T：(讨论) 这是球菌个数y 关于分裂次数x 的函数，该函数是什么样的形式(指数形式)， 从函数特征分析：底数2 是一个不等于1 的正数，是常量，而指数x 却是变量，我们称这种函数为指数函数点题。 二、指数函数的定义

C：定义：函数y = a x (a 0且a 1)叫做指数函数，x R.。 问题1：为何要规定a 0 且a 1? S：(讨论) C：(1)当a 0 时，a x 有时会没有意义，如a=﹣3 时，当x= 就没有意义; (2)当a=0时，a x 有时会没有意义，如x= - 2时， (3)当a = 1 时，函数值y 恒等于1，没有研究的必要。 巩固练习1： 下列函数哪一项是指数函数( ) A、y=x 2 B、y=2x 2 C、y= 2 x D、y= -2 x