1.4.2《正弦函数﹑余弦函数的性质》导学案

【学习目标】

1﹑通过学习，理解正﹑余弦函数的周期性﹑奇偶性，并能准确的熟练运用.

2﹑能利用图像确定相应的对称轴﹑对称中心，能利用三角函数的周期性﹑奇偶性解决实际问题.

【重点难点】

▲重点：正﹑余弦函数的周期性﹑奇偶性﹑对称性及利用换元法解题.

▲难点：正﹑余弦函数的周期性﹑对称轴及对称中心.

【知识链接】

1﹑下列函数图像相同的是（ ）.

A ﹑x y sin =与)sin(π+=x y

B ﹑x y cos =与)2sin(x y -=π

C ﹑x y sin =与)sin(x y -=

D ﹑)2sin(x y +-=π与x y sin =

2﹑用“五点法”作函数的图像时，应取得五个关键点是 .

3﹑根据正弦函数和余弦函数的图像，你能说出它们具有哪些性质？

【学习过程】

阅读课本第34页至35页的内容，尝试回答以下问题：

知识点1: 正﹑余弦函数的周期性

问题1﹑从正﹑余弦函数的周期性可看到从正﹑余弦函数值具有“周而复始”的性质，怎样用数学知识描述这种性质呢？

问题2﹑什么是周期性？什么是周期函数？什么是最小正周期？

问题4﹑函数)sin(?+=wx A y 及)cos(?+=wx A y ，)0(>w 的周期是什么？它们的周期与解析式中的那些量有关？

温馨提示：

①0

π2. ②若函数)(x f y =的周期是T ，则函数)(wx f y =，0≠w 的周期是

W T . 阅读课本第37页的内容，尝试回答以下问题：

知识点2: 正﹑余弦函数的奇偶性与图像的对称性

问题1﹑R x ∈时，

三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总

一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿

（答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）

正弦函数余弦函数的性质

正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________．

解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题．

正余弦函数的图像与性质(周期性)

第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x =的图象，进而画出 y cos x =的图象；会用“五点法”画y sin x =和y cos x =在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数[]x 0,2 蝡的图象，用“五点法”画y sin x =和 y cos x =在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规 教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？ 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像

三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总

课题三角函数的图像及性质 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式( π2/±α , π的±正α弦、余弦、正切) 教学目标 2.利用单位圆中的三角函数线作出y sin x,x R的图象，明确图象的形状； 3.根据关系cosx sin(x ) ，作出y cosx,x R的图象； 2 4.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 重点、难点 1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 2、作余弦函数的图象。 教学内容 、正弦函数和余弦函数的图象： -1 正弦函数y sin x 和余弦函数y cos x图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，, ,3 ,2 22 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数y sin x(x R) 、余弦函数y cosx(x R) 的性质： ( 1)定义域：都是R。 (2)值域： 1、都是1,1 ， 2、y sinx ，当x 2k k 2 3、y cosx ，当x 2k k Z 例： ( 1)若函数y a bsin(3 x Z 时，y 取最大值1 ；当x 时，y 取最大值1，当x 2k ) 的最大值为3，最小值为 62 3 2k 3 k Z 时，y 取最小值－1； 2 k Z 时，y 取最小值－ 1 。 1，则 a __， b ＿ 2 3 y -2 1 y=cosx -3 -5 -32 -4 -7 -2 -3 22

1 答： a 1 2,b 1或b 1)； ⑵ 函数 y=-2sinx+10 取最小值时，自变量 x 的集合是 3）周期性 ： （正（余）弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线，对称中心为图象与 x 轴的交 点）。 5）单调性 ： 别忘了 k Z ！ ⑴函数 y=sin2x 的单调减区间是（ ① y sin x 、 y cos x 的最小正周期都是 2 ； ② f ( x) A sin( x )和 f (x) Acos( 2 x ） 的最小正周期都是 T 2 sin 3x ，则 f （1） f （2） ⑵．下列函数中，最小正周期为 例： (1)若 f (x) f (3) L 的是（ A. y cos 4x B. y sin 2x C.y f (2003) ＝ 答： 0）； x sin 2 D.y x cos 4 （ 4）奇偶性与对称性 ： 1、正弦函数 y sin x （ x R ） 是奇函 数， 对称中心是 k ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z ； 2 2、余弦函数 y cosx （x R ） 是偶函数， 对称中心是 k 2 ,0 k Z ，对称轴是直线 x k k Z 5 例：（1） 函数 y sin 5 2 2x 的奇偶性是 答：偶函数）； 2）已知函数 f （ x ） a x bsin 3 x 1( a,b 为常数)， 且 f (5 ) 7， 则 f ( 5) 答：－ 5）； y sin x 在 2k , 2k 2 k Z 上单调递增，在 2k , 2k 2 3 k Z 单调递减； 2 y cosx 在 2k ,2 k Z 上单调递减，在 2k ,2k k Z 上单调递增。 特别提醒 ，

正、余弦函数的图象和性质

xx －xx 学年度下学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（6）—正、余弦函数的图象和性质 一、选择题（每小题5分，共60分，请将正确答案填在题后的括号内） 1．函数)4 sin(π +=x y 在闭区间（ ）上为增函数. （ ） A ．]4 ,43[ππ- B ．]0,[π- C ．]4 3 ,4[ππ- D ．]2 ,2[π π- 2．函数)4 2sin(log 2 1π + =x y 的单调减区间为 （ ） A ．)(],4(Z k k k ∈- ππ π B ．)(]8,8(Z k k k ∈+- π πππ C ．)(] 8 ,83(Z k k k ∈+-π πππ D ．)(]8 3 ,8(Z k k k ∈++ππππ 3．设a 为常数，且π20,1≤≤>x a ，则函数1sin 2cos )(2 -+=x a x x f 的最大值为 （ ） A ．12+a B ．12-a C ．12--a D ．2 a 4．函数)2 5 2sin(π+=x y 的图象的一条对称轴方程是 （ ） A ．2 π - =x B ．4 π - =x C ．8π=x D ．π4 5=x 5．方程x x lg sin =的实根有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个 6．下列函数中，以π为周期的偶函数是 （ ） A ．|sin |x y = B ．||sin x y = C ．)32sin(π + =x y D ．)2 sin(π +=x y 7．已知)20(cos π≤≤=x x y 的图象和直线y=1围成一个封闭的平面图形，该图形的面积 是 （ ） A ．4π B ．2π C ．8 D ．4 8．下列四个函数中为周期函数的是 （ ）

正余弦函数的性质

第一章三角函数1.4.2(2)正弦、余弦函数的性质(二) 学习目的： 要求学生能理解三角函数的奇、偶性和单调性； 掌握正、余弦函数的奇、偶性的判断，并能求出正、余弦函数的单调区间。 学习重点：正、余弦函数的奇、偶性和单调性； 学习难点：正、余弦函数奇、偶性和单调性的理解与应用 课堂探究： 1.奇偶性 请同学们观察正、余弦函数的图形，说出函数图象有怎样的对称性？其特点是什么？ (1)余弦函数的图形 当自变量取一对相反数时，函数y 取同一值。 例如： f (-3π)=21,f (3π)=21 ,即f (-3π)=f (3 π)；…… 由于cos(－x)=cosx ∴f (-x)= f (x). 以上情况反映在图象上就是：如果点（x,y ）是函数y=cosx 的图象上的任一点,那么,与它关于y 轴的对称点(-x,y)也在函数y=cosx 的图象上，这时，我们说函数y=cosx 是偶函数。 定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有f (-x)= f (x)，那么函数f (x)就叫做偶函数。 例如：函数f (x)=x 2+1, f (x)=x 4-2等都是偶函数。 (2)正弦函数的图形 观察函数y=sinx 的图象，当自变量取一对相反数时，它们对应的函数值有什么关系？ 这个事实反映在图象上，说明函数的图象有怎样的对称性呢？函数的图象关于原点对称。 也就是说，如果点（x,y ）是函数y=sinx 的图象上任一点，那么与它关于原点对称的点（-x,-y ）也在函数y=sinx 的图象上，这时，我们说函数y=sinx 是奇函数。 定义：一般地，如果对于函数f (x)的定义域内任意一个x ，都有 f(－x)=－f(x) ，那么函数f (x)就叫做奇函数。 例如：函数y=x, y=x 1 都是奇函数。 如果函数f (x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f (x)具有奇偶性。 注意：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称； （2）f (-x)= f (x)或f (-x)=- f (x)必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时。

正余弦函数的性质

正、余弦函数的性质说课稿 一：教材分析： 1、教材的地位与作用：本节课要讲的是正、余弦函数的性质，它是历年高考的重点内容之一，在高考中常以选择题、填空题的形式出现。有时与其它三角变换、函数的一般性质综合。考查灵活，常有创新性。这就要求我们注意运用三角函数的性质培养学生善于运用三角函数的性质解决问题。因此，学好这节课不仅可以为我们今后学习正切、余切函数的性质打下基础，还可以进一步提高学生分析问题和解决问题的能力，它对知识起到了承上启下的作用。 2、教学目标的确定：根据教参及教学大纲的要求，依据教学目的以及学生的实际情况，制定如下的教学目标： （1）知识目标：正、余弦函数的性质及应用（定义域、值域、最大、最小值、奇偶性、单调性） （2）能力目标：a:掌握正、余弦函数的性质；b:灵活利用正、余弦函数的性质 （3）德育目标：a:渗透数形结合的思想 b:培养联合变化的观点 c:提高数学素质 3、教学重点和难点的确定及依据； 由于正、余弦函数的主要性质在本节中有着重要的地位。因此，成为本节课的重点，在教学中，单调性、奇偶性和周期性是学生第一次接触的三个概念，而函数的单调性、奇偶性以及周期函数，周期，最小正周期的意义是本节教学中学生第一次接触的内容。这在学生的基础上理解有一定的难度。因此成为本节课的难点。那么克服本节课的难点的关键在于复习好正、余弦函数图象的意义，充分利用图形讲清正、余弦函数的特点，梳理好讲解顺序，使学生通过适当的练习正确理解概念、图象、特性、实现教学目标和进一步提高学生的学习探索能力，充分发挥学生的主体作用。 二：教材处理： 正、余弦函数的性质，其中定义域、值域、最大值、最小值，学生以前已接触过，所以只需简单提示。但是单调性，奇偶性，周期性是学生第一次接触到的，考虑到学生的基础参差不齐，接受能力不同，因此在教学中要顾全局，耐心讲解，并通过适当的教具启发调动学生的主观能动性。 三、教学方法和手段； 1、教学方法：启发诱导式教学方法，为增强图象的形象直观性，增大教学内容，提高效率。我利用计算机软件，在此基础上，学生运用观察法、发现法、学习法、归纳法以及练习法进行学习，在教学过程中，首先我以习提问形式引入课题，意义使学生利用类比思想，认识到研究三角函数的方向所在，减少盲目性。为了有利于学生正确了解正、余弦图形的性质，我又指导了学生复习正、余弦函数的图象。再从介绍图象的特点让学生观察、发现、归纳函数的

正弦函数余弦函数的性质

正弦函数、余弦函数的性质 【学习目标】 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义； 2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)。 【要点梳理】 要点 一：周期函数的定义 函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期. 要点诠释： 1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足 )()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期. 2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期. 要点 二：正弦函数、余弦函数的图象和性质 要点诠释： （1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。 （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求

sin()y x =-的单调递增区间时，应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解， 相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先 求定义域。 要点 三：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的性质。 函数sin()y A x ω?=+与函数cos()y A x ω?=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R （2）值域：[],A A - （3）单调区间：求形如sin()y A x ω?=+与函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ω?+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间。比如：由 )(2 22 2Z k k x k ∈+ ≤+≤- π π?ωπ π解出x 的范围所得区间即为增区间，由 )(2 3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππ?ωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间。 （4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>不一定具备奇偶性。对于函数sin()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为奇函数，当()2 k k z π ?π=±∈时为偶函数； 对于函数cos()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为偶函数，当()2 k k z π ?π=±∈时为奇函数。 要点诠释： 判断函数sin()y A x ω?=+，cos()y A x ω?=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件。 （5）周期：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π ω = 。 （6）对称轴和对称中心 与正弦函数sin y x =比较可知，当()2 x k k z π ω?π+=± ∈时，函数sin()y A x ω?=+取得最大值（或 最小值），因此函数sin()y A x ω?=+的对称轴由()2 x k k z π ω?π+=± ∈解出，其对称中心的横坐标 ()x k k z ω?π+=∈，即对称中心为,0()k k z π?ω-?? ∈ ??? 。同理，cos()y A x ω?=+的对称轴由

正弦函数、余弦函数的性质

正弦函数、余弦函数的性质 1．下列结论错误的是（ ） A ．正弦函数与函数3cos 2y x π??=+ ???是同一函数 B ．向左、右平移2π个单位，图象都不变的函数一定是正弦函数 C ．直线32x π=-是正弦函数图象的一条对称轴 D ．点,02π??- ??? 是余弦函数图象的一个对称中心 2.函数sin(2)(0)y x ??π=+≤≤是R 上的偶函数，则?的值是( ) A.0 B.4π C.2 π D.π 3.函数5sin()2 y x π=+的图象的一条对称轴方程是( ) A.2π -=x B.2x π = C .x π= D.32 x π= 4．函数2sin cos 36y x x ππ????=--+ ? ????? （x ∈R ）的最小值等于（ ） A ．―3 B ．―2 C ．―1 D ． 5．定义在R 上的函数()f x 既是偶函数，又是周期函数，若()f x 的最小正周期为π，且当0,2x π??∈???? 时()sin f x x =，则53 f π??= ???（ ） A ．12- B ．12 C ．2- D ．2 6． x x y sin sin -=的值域是( ) A.]0,1[- B.]1,0[ C.]1,1[- D.]0,2[- 7．已知函数()sin((0))f x x π=+>3 ωω的最小正周期为π，则该函数的图象（ ）. A. 关于点(0)π3，对称 B. 关于直线x π=4 对称 C. 关于点(0)π4，对称 D. 关于直线x π=3 对称

8．函数ln cos 22y x x ππ??=-<< ???的图象是下图中的（ ） 9．设定义在R 上的函数()f x 满足()(2)13f x f x ?+=，若f （1）=2，则f （2011）=________ ． 10．若f （x ）具有性质：①()f x 为偶函数；②对于任意x ∈R ，都有44f x f x ππ? ???-=+ ? ????? ；③24F π??=- ??? ．则()f x 的解析式可以是________（写出一个即可）． 11.设0ω>，若函数()2sin f x x ω=在[,]34ππ- 上单调递增，则ω的取值范围是________. 12．函数()3sin(2)3 f x x π=-的图象为C ，以下结论中正确的是________．（写出所有正确结论的编号） ①图象C 关于直线1112x π=对称； ②图象C 关于点2,03π?? ???对称； ③函数()f x 在区间5,1212ππ??- ???内是增函数； ④由y=3sin2x 的图象向右平移 3π个单位长度可以得到图象C ． 13．已知函数()2cos()32 x f x π=- (1)求)(x f 的单调递增区间；(2)若,x ππ????∈-，求f(x)的最大值和最小值.

正余弦函数的图像与性质

正余弦函数的图像与性质 例题1.值域最值: 三角函数最值问题的解题技巧 三角函数的最值问题,是三角函数基础知识的综合应用,它与二次函数、三角函数的单调性、三角函数的图像等知识联系在一起,该问题综合性强,解题方法也多样化.解这类问题是运算能力、分析问题和解决问题能力的综合体现,有一定的难度,要注意灵活选用方法.下面介绍解三角函数最值问题的常见方法. 1、形如sin y a x b =+型的函数的最值 例题:1)求函数2sin3y x =-的最 x 的集合 2)函数32sin(2),,334y x x πππ?? =-∈???? 的值域是____

练习:1)求函数1)3 2sin(2++ =π x y 的最值,并求出相应自变量x 的取值范围 2)已知函数)32sin(2)(π- =x x f ,若]2 ,4[π π∈x ,求函数)(x f y =的最值以及相应自变量x 的值. 2、形如x b x a y cos sin +=型的函数的最值. 例题: 1)求函数x x x x f sin )cos (sin )(?-=的最值 2)已知(1,2sin )a x = ，,cos )b x x =- ,设函数()f x ＝a ·b .若[],0x ∈-π,求)(x f y =的 最大值、最小值并求出对应的x 值 3) 当- ≤≤ =+π π 2 2 3x y x x 时，函数的（）sin cos A.最大值为1,最小值为-1 B.最大值为1,最小值为- 1 2 C.最大值为2,最小值为-2 D.最大值为2,最小值为-1 4)已知函数x x x f 2cos 3)4(sin 2)(2 -+=π ,若不等式2)(≥-m x f 在]2 ,4[π π∈x 上恒成立.求m 的取值范围.)2|)((|≤-m x f 2、形如c x b x a y ++=sin sin 2)0(≠a 型的函数的最值. 这类问题最后化为二次函数的三角最值问题,利用三角函数的有界性1)(cos sin 1≤≤-x x ,并结 合二次函数的性质求得结论.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值,并且最大值、最小值又一定在极值点或区间端点处获得. 例题:求函数1sin sin 2++=x x y ,6sin 4cos 42+--=x x y 的最值. 练习:1)函数22sin 2cos 3y x x =+-的最值 2)求函数x x y sin cos 2+=在区间[,]44 ππ - 上的最小值. 3)求函数6sin 42cos 4+--=x x y 的最值. 4）已知函数(x)f 2 2cos 2sin 4cos x x x =+-。求(x)f 的最大值和最小值。 3、含有x x x x cos sin ,cos sin +的函数的最值问题. 通常方法是换元法:令)22(cos sin ≤≤-+=t x x t ,将x x cos sin 转化为t 的关系式,从而使问题转化为二次函数的最值问题.但要注意换元后变量的取值范围. 例题:求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值. 练习:函数x x x x x f cos sin 1cos sin )(++= 的值域为______________. 由以上几种形式,可以归纳出解三角函数最值问题的基本方法:一是应用正弦、余弦函数的有界性来求；二是利用二次函数闭区间内求最大值、最小值的方法；三是利用重要不等式或利用数形结合的方法来解决. 4、形如d x c b x a y ++= sin sin 或b x a y +=sin (了解内容) 例题:求函数x x y sin 2cos 2+-=练习:1)求函数x x y cos 232sin -+=求函数2sin sin +=x x y 的最值 说明: 个定点与动点的直线斜率的最值问题. 例题2.周期性

正弦、余弦函数的性质(一)

1.4.2正弦、余弦函数的性质(一) 教学目的： 知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义； 能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发 学生学数学的兴趣。 教学重点：正、余弦函数的周期性 教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 教学过程： 一、复习引入： 1．问题：（1）今天是星期一，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 值sin x 0101-0101- – – π 2 π 2 π -2π5ππ- 2π - 5π -O x y 1 1-

正弦函数()sin f x x =性质如下： （观察图象） 1? 正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； 2? 规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重 复出现） 3? 这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、讲解新课： 1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 问题：（1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin()sin 6 36π ππ+ =，能否说23 π 是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？ （2k π，k Z ∈且0k ≠） （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2、说明：1?周期函数x ∈定义域M ，则必有x+T ∈M, 且若T>0则定义域无上界；T<0则定义域无下界；

三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总

[ 键入文字 ] 课 题 三角函数的图像及性质 1.借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（ π /2 ±α , 的π±α正弦、余弦、正切） 2.利用单位圆中的三角函数线作出 y sin x, x R 的图象，明确图象的形状； 教学目标 3.根据关系 cos x sin( x ) ，作出 y cos x, x R 的图象； 2 重点、难点 4.用“五点法”作出正弦函数、余弦函数的简图，并利用图象解决一些有关问题； 1、正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值 2、作余弦函数的图象。 教学内容 一、正弦函数和余弦函数的图象 ： y=sinx y -5 - 2 1 2 -7 o -4 -3 -2 -3 - 2 -1 2 3 7 2 2 2 5 3 4 2 2 x y=cosx y -5 - 2 1 -32 - -4 -7 -2 -3 o 2 2 -1 3 3 7 2 2 2 5 4 2 2 x 正弦函数 y sin x 和余弦函数 y cos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0，,, 3 , 2 2 2 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数 y sin x(x R) 、余弦函数 y cos x(x R) 的性质 ： （ 1）定义域 ：都是 R 。 （ 2）值域 ： 1、都是 1,1 ， 2、 y sin x ，当 x 2k k Z 时， y 取最大值 1；当 x 2k 3 Z 时， y 取最小值－ 1； k 2 2 3、 y cos x ，当 x 2k k Z 时， y 取最大值 1，当 x 2k k Z 时， y 取最小值－ 1。 例：（ 1）若函数 y a bsin(3 x ) 的最大值为 3 ，最小值为 1 ，则 a __， b ＿ 1 ,b 1 或 b 6 2 2 （答： a 1）； 2

正弦函数余弦函数的性质(教学设计)

1.4.2（1）正弦、余弦函数的性质(教学设计) 教学目的： 知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义； 能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。 德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思 想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。 教学重点：正、余弦函数的周期性 教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程： 一、创设情境,导入新课： 1．现实生活中的“周而复始”现象： （1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）现在下午2点30，那么每过24小时候是几点？ （3）路口的红绿灯（贯穿法律意识） 2．数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律 正弦函数()sin f x x =性质如下： （观察图象） 1?正弦函数的图象是有规律不断重复出现的； – – π 2π 2π- π 5π π- 2π- 5π- O x y 1 1-

2?规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3?这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明 结论：象这样一种函数叫做周期函数。 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、师生互动，新课讲解： 1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 问题： （1）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）余弦函数呢？ （2）观察等式 4 sin )2 4 sin(π ππ=+是否成立？如果成立，能不能说2 π 是y=sinx 的周期？ （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+） 2.最小正周期：T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期） y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期） 从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； 3、例题讲解 例1（课本P35例2） 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =（3）12sin()2 6y x π =-，x R ∈． 解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=， ∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现，

正、余弦函数的图象与性质

正、余弦函数的图象与性质 [知识回顾] ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正， 第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT ．