对数论有重大影响的一位名人小传-------高斯小传
高斯曾说过：“数学是科学的皇后。”可见他对数学的热爱与崇敬.爱因斯坦说:“高斯对于相对论的数学基础所做的贡献，其重要性是超越一切，无与伦比的。”可见高斯在数学上的成就非凡。
人物简介
卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，并有数学王子的美誉。
生平经历
在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使"我们失去了一位天才"。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠.
在数学史上，很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲. 罗捷雅真地希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极
为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友W.波尔约（非欧几何创立者之一J.波尔约之父）问道：高斯将来会有出息吗？W.波尔约说她的儿子将是"欧洲最伟大的数学家"，为此她激动得热泪盈眶。
1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班次，数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。
1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。
1792年高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克，正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时─虽然他的博士论文顺利通过了，已被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。
1804年被选为英国皇家学会会员。从1807年到1855年逝世，一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台长。
主要贡献
卡尔·弗里德里希·高斯18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，
并成功得到高斯钟形曲线（正态分布曲线)。其函数被命名为标准正态分布（或高斯分布），并在概率计算中大量使用。在高斯19岁时，仅用尺规便构造出了17边形。希腊时代的数学家已经知道如何用尺规作出正2m×3n×5p 边形，其中m 是正整数，而n 和p 只能是0或1。但是对於正七、九、十一边形的尺规作图法，两千年来都没有人知道。而高斯证明了：一个正n 边形可以尺规作图若且唯若n 是以下两种形式之一：1、n = 2k，k = 2, 3,... 2、n = 2k × (几个不同“费马质数”的乘积)，k = 0,1,2,... 费马质数是形如Fk = 22k 的质数。像F0 = 3，F1 = 5，F2 = 17，F3 = 257，F4= 65537，都是质数 .为流传了2000年的欧氏几何提供了自古希腊时代以来的第一次重要补充。
高斯计算的谷神星轨迹，高斯总结了复数的应用，并且严格证明了每一个n阶的代数方程必有n个实数或者复数解。在他的第一本著名的著作《数论》中，作出了二次互反律的证明，成为数论继续发展的重要基础。在这部著作的第一章，导出了三角形全等定理的概念。日光反射仪由于要解决如何用椭圆在球面上的正形投影理论解决大地测量问题，高斯亦在这段时间从事曲面和投影的理论，这成了微分几何的重要基础
卡尔·弗里德里希·高斯高斯和韦伯19世纪的30年代，高斯发明了磁强计，辞去了天文台的工作，而转向物理研究.
高斯的肖像已经被印在从1989年至2001年流通的10德国货币－－马克的纸币上。
主要著作
1799年:关于代数基本定理的博士论文
1801年:代数论
1809年:天体运动论
1827:曲面的一般研究
1843/44年:高等大地测量学理论（上）
1846/47年:高等大地测量学理论（下）
研究领域
高斯的数学研究几乎遍及所有领域，在数论、代数学、非欧几何、复变函数和微分几何等方面都做出了开创性的贡献。
高斯对代数学的重要贡献是证明了代数基本定理，他的存在性证明开创了数学研究的新途径。
1828年高斯出版了《关于曲面的一般研究》，全面系统地阐述了空间曲面的微分几何学，并提出内蕴曲面理论。高斯的曲面理论后来由黎曼发展。
他的《天体运动理论》二册，第一册包含了微分方程、圆椎截痕和椭圆轨道，第二册他展示了如何估计行星的轨道。
人物信仰
高斯的信仰是基于寻求真理的。它相信“精神个性上的不朽，像是个人在死后的持久性，还有最后命令的东西，以及永恒的、正义的、无所不知和无所不能的上帝。”高斯也坚持宗教的宽容，他相信打扰其他正处在他们自己和平信念中的人是不对的。
启示:
我们最熟悉的高斯故事就是，他用很短的时间计算出了小学老师布置的任务：对自然数从1到100的求和。他所使用的方法是：对50对构造成和101的数列求和（1+100，2+99，3+98……），同时得到结果：5050。可见，高斯小时候就很聪明。一个人的成功，也与其自身的条件有关。
高斯的成功，离不开其母亲与舅舅的支持。可见，成功也需要家人的支持。
高斯的成功，离不开公爵的帮助。可见，成功需要贵人的帮助。
但是，最重要的是，高斯自身的能力与意志。特别是，遇到困难时，无所畏惧和永不退缩的精神，并且充分发挥和运用自己已有的知识和技能。
总之，成功需要内在因素与外在因素相结合，内在因素起决定作用。
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
初等数论《完全平方数》习题集(1) 一完全平方数 自然数 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 …完全平方数 N2 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 … 二完全平方数的特征 1 末位数字为：0、1、4、5、6、9的，可能是完全平方数，如 100 81 64 225 36 169等等。但有的不是完全平方数，如 200 181 464 325 56 189 等等。 2 末位数为：2、3、7、8的整数，肯定不是完全平方数。如22222、12 3 167 38 等等， 3 偶数的平方是4N型的偶数。个位数字是偶数0、 4 、6，十位数字有奇有偶。 它们只能是 00 04 24 44 64 84、16 36 56 76 96 4 奇数的平方是4N+1型的奇数。个位数字是奇数1、9 ，十位数字有奇有偶。即只能是 01 21 41 81 09 29 49 69 89 5 尾数为25的数，可能是完全平方数。如225 625等等， 但有的不是完全平方数，如125 325 7125等等。 6 3k或3k+1型的数，可能是完全平方数。如144=3×48 、121=3×40+1等， 但有的不是完全平方数，如156 =52×3、244=81×3+1等等。
7 完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。数字和是2,3,5,6,8的，肯定不是 完全平方数。 8 如果质数p能整除A，但p的平方不能整除A，则A不是完全平方数。如： 7︱196 49︱ 196 A=196 是完全平方数 7︱119 49ト119 A=119 不是完全平方数 9 相邻整数的平方数之间，不可能有别的平方数。如72=49、82=64之间，不 可能有别的平方数。 总之，以上的判别法，只判别可能是完全平方数，但不能肯定是完全平方数。 实质上只适合判别非完全平方数。 10 判别完全平方数的必要充份条件是：因数一定是偶次方，因数个数一定是奇 数。最直接的方法是质因数分解。例如144=122=24×32 11 平方差公式：X2-Y2=（X-Y）（X+Y） 12 完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2 13 完全平方差公式：（X-Y）2= X2-2XY+Y2 14 p=4n+1型的素数，都能表示为两个整数的平方和，如n=7时，p=29=22+52等等 p=4n+3型的素数，不能表示为两个整数的平方和，如n=7时，p=31≠x2+y2等等 15 两个奇数的平方和，一定不是完全平方数。如32+52=34≠y2、92+152=306≠y2等等 15 两个质数的平方和，一定不是完全平方数。如22+32=13≠x2 、 32+52=34≠y2等等 可见，两个质数的平方和，可能是质数，也可能是合数，但肯定不是完全平方数。 17拉格朗日四平方和定理：任何一个正整数都可以表示为不超过四个整数的平方之和。
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
名人小传50则 1鲁肃：三分天下有子敬 三分天下，大智慧也！然诸葛先生独专版权，无乃太过乎？鲁肃《塌上策》，不让诸葛《隆中对》矣！ 劝谏孙权，汉室不可复兴，曹操不可岁除，当与曹操、袁绍分享天下。 赤壁之战，联刘而抗曹。力排众议，借荆州而安刘，再铸三分之势。 历史不是演义，刘备大军压境虎视眈眈，单刀赴会者，鲁肃也！不动刀枪，讨回荆州荆州南部三郡者，鲁肃也！ 多年后，孙权称帝，大会百官时，感慨地说：“昔日鲁子敬就说过会有这一天，看来子敬真是有远见呀！” 鲁肃（172～214）字子敬。三国时临淮东城（今定远）人。 2蔡文姬：胡笳声声断人肠 漫漫十二年，你度日如年，望断南飞雁，多少次梦回故国，多少次泪湿衣枕！ 终于，你等来一个意外的惊喜——可以南归了！那一刻，来得太突然了，你怀疑仍是一场梦。大儿死死扯着你的衣襟，小儿死死拉着你的手…… 是走？还是留？…… 熟悉的那座毡房在视线中渐渐走远，耳畔犹闻两个儿子那扯心扯肺的哭喊，你猛然拿起那把陪伴自己度过十二年孤寂生活的老胡琴。 大漠。夕阳。悲风。 《胡笳十八拍》那无边秋意在汹涌。 3西施：肩起社稷的重量 在青山秀水环绕的诸暨苎萝村畔，一位浣纱的绝代佳人，正对着清清溪流中的倩影出神，水中幻现着某个英俊后生的模糊面影。 一阵急促的马蹄声将她那玫瑰色的白日梦击碎。 山一重。水一重。故国雾朦胧。 吴宫深深锁幽梦。我是谁？谁是我？我为谁？谁为我？我柔弱的肩头啊，怎能肩起江山社稷的重量？ 泪眼问花花不语。 花开花又谢。春去春又来。
那天，吴宫外突然四面越歌。你默默地坐在梳妆镜前，泪悄无声息地滑落。 西施:名夷光，春秋战国时期出生于浙江诸暨苎萝村。 4薛涛:浣花溪畔著女冠 能让古代男子赞叹的女子不简单,能让古代目下无人的才子们服膺的歌妓尤其不简单！ 谁能做到呢？你，薛涛，做到了! 成都。某座后花园。团扇。秋千。追流莺。逐彩蝶…… 父逝大厦倾，母女对青灯。 我本良家女，一朝坠红尘。纵有那欢歌笑语，灯红酒绿，诗琴书画，才子倾心，到底意难平！ 乐莫乐兮生相知，悲莫悲兮生别离。元稹啊，为何梦里总闪现你的面影？ 去也，去也！ 拣尽寒枝无处栖，浣花溪畔著女冠。 薛涛:唐代名妓和女诗人，字洪度，约生于唐大历五年（公元770年），祖籍长安，出生于成都。 5辛弃疾:中原北望气如山 北地起狼烟，汴京陷，山河裂，天下兴亡，匹夫有责。 万军之中擒叛虏，英雄本色！举义帜，归故国，重整山河。 奈何！奈何！奸佞当道，空负了一腔热血！ 落日楼头，断鸿声里，中原北望胡尘舞。 遥想当年，壮岁旌旗拥万夫，锦襜突骑渡江初，烈气如山！ 俱往矣？志犹在！醉里挑灯看剑，梦回吹角连营。 都言道词坛豪放，曰苏曰辛，谁知晓内心凄凉？ 漂泊江南的游子啊，把吴勾看了，栏干拍遍，无人会，登临意! 辛弃疾(1140-1207),南宋词人。字幼安,号稼轩,历城(今山东济南)人。 6王维:栖心山水
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
论初等数论与小学数学的关系 ——“同余”在小学数学教学中的应用姓名：胡燕尔班级：070214 学号：15 刚翻开人教版大学本科小学教育专业教材《初等数论》的目录，许多在校本科小学教育专业的学生，包括我都存在这样的感觉，那就是觉得这些是再简单不过的内容：整除、质数与合数、最大公约数与最小公倍数、同余等等，这些内容在我们读小学的时候都已经学习过，似乎觉得没有必要再去研究，直到接触学习了这门课程，才扭转了我们的看法。 初等数论是小学教育专业，尤其是理科方向学生的必修专业课程，也是从事小学数学教学的老师的进修课程。其中包括整数的整除性、同余、同余方程、不定方程、不定方程、简单连分数几方面的知识。这些方面的内容在符合了小学数学教师应具有的教学思维外，也有利于学习者积累从事小学数学教育工作必备的能力与知识。 有人说：“数学是思维的体操，科学的王冠，数论是王冠上的明珠。”这颗明珠在小学数学中早已是熠熠闪光——我们小学所学习到的数论内容主要包含以下几类： 整除问题：（1）整除的性质；（2）数的整除特征（小升初常考内容） 余数问题：（1）带余除式的运用被除数=除数×商+余数.（余数总比除数小）（2）同余的性质和运用 奇偶问题：（1）奇偶与加减运算；（2）奇偶与乘除运算 质数合数：重点是质因数的分解 约数倍数：（1）最大公约最小公倍两大定理（2）约数个数决定法则可见，初等数论的应用与小学数学教育事业是息息相关的。对于初等数论，我学到的也只是九牛一毛，谈不上有什么有建设性的问题，只能粗略地谈谈初等数论中的核心内容——同余，并通过其在初等数论在小学数学中的应用来说明两者的关系。 同余是由德国数学家高斯首先提出并系统地进行研究的，它是初等数论的核心部分。其中蕴含大量的数论所特有的思想、概念和方法，它的出现使数论成为一个独立的数学分支的标志。在这一内容中包括其性质，剩余类与剩余系，欧拉
明清王氏名人小传 始祖王兴，字起明，江南滁州人。洪武初起，从龙定鼎，屡有战功，封武略将。战殁于山西大同，褒以世袭千户之职。妣乐氏，诰封宜人。生子一，义。 二世祖王义，字宜风。洪武十七年袭父职：任永平卫。其后征大同、东昌、夹河、襄城、齐眉山、金川门等处地方，冲锋破敌，立有奇勋，封武略将军。永乐初调迁镇番，任本卫印务，遂家焉。妣戈氏，诰封宜人，生子一，刚。合葬城北五里许新茔立祖。此茔壬山丙向，己亥分金。对联曰：“福荫三槐徵厚德，功垂百世兆佳城” 横额：含宏光大。 三世祖王刚，字圣冀。以祖军功，由指挥荫世袭正千户。宣德十年，贼首阿鲁台率众寇边，刚同千户王雄跃马当先，拒敌阵亡，正统元年，御赐祭葬，赠武德将军，配享苏公。妣张氏，诰封恭人，二十八岁守节。奉旨建坊，双表夫忠妇节。入节孝祠。合葬于城北五许祖茔二派。生子三：贤、德、斌。 四世祖王贤，字建官，行一。年十五袭父职。天顺六年，以战功攫指挥佥事，旋擢本卫掌印守备。修卫开学。有功民社。封明威将军。妣刘氏，诰封淑人，合葬于城北五许祖茔三派。生子二。铭、录。 王德，字动天，行二：举足为法，吐词为经。虽未袭乎祖
职，亦分爵于朝廷。子子孙孙，继续绳绳。昭乌衣于奕叶，而益以振千万载之家声。妣□氏，生子九。 五世祖王铭，字列子。四世贤祖长子。成化二十一年，由袭职授本卫守备，擢都指挥佥事。从征凉州尖塔儿有功，擢都指挥同知，封奉国将军。妣皮氏，诰封淑人。合葬于城北祖茔四派。生子一，深。 王录，字书军。四世贤祖次子。由生员（秀才）同千户孟清、参将李恺，御虏柳条湾（今民勤夹河乡境内）阵亡，赠百户。封怀运将军，配享苏公。娠盛氏，诰封淑人，合葬于城北祖茔四派。生子一，爵。 六世祖王深，字雪窗。五世铭祖子。嘉靖四年，由指挥佥事授镇夷操守。封明威将军。妣吴氏，诰封恭人，合葬于城北祖茔。生子一，允亨。 王爵，字天叙。五世录祖子，袭指挥使职。历升参将。封骠骑将军。妣万氏，诰封夫人。生子三：允恭、允奏、允言。 七世祖王允亨，字平泉。六世深祖子。嘉靖十二年。由生员袭指挥佥事，为都督前锋，出征河煌等处，所遇辄捷，以威勇闻于时，历副参十七任，官至兰州副总兵，为肃府仪宾，敦诗说礼，有儒将风。以子国柱贵，诰封光禄大夫、河东总兵。妣李氏，诰封夫人。合葬于南茔立祖。生子二：国柱、国均。
一、判断题（对的写A ，错的写B ，3'1030?=） 1.12,,,k a a a 两两互素可以推出12,,,k a a a 互素，反之亦真。 （ ） 2.设10n n N a a a -=是整数N 的十进制表示，则0 1111(1)n i i i N a =?-∑。 （ ） 3.设,,a b m 是整数，(,)1a m =，若x 通过模m 的简化剩余系，则ax b +也通过模m 的简化剩余系。 （ ） 4.对于正整数k ，Euler 函数()k ?的值等于模k 简化剩余系中元素的个数。 （ ） 5.形如65n +的素数有无穷多个。 （ ） 6.32514805112133=????是51480的标准分解式。 （ ） 7. 已知(,,)x y z 是不定方程222x y z +=满足(,)1x y =的正整数解，则,x y 有不同的奇偶性。 （ ） 8.同余方程322310(mod5)x x x -+-≡的解数小于3。 （ ） 9. 3,5,9(mod14)x ≡是模14的全部原根。 （ ） 10.设,x y 是任意实数，则[][][]x y x y +=+。 （ ） 二、填空（3'1030?=） 1.159313被7除的余数是 。 2.使12347！被35k 整除的最大的k = 。 3.用(,)a b ，[,]a b 分别表示整数,a b 的最大公约数和最小公倍数，则[,](,)a b a b ＝ 。 4.设n 是正整数，12,,,k p p p 是它的全部素因数，则 ()n ?＝ 。 5.同余方程2 1(mod61)x ≡-的解数是 。 6.设,a b 是整数，0(mod )a m ≠，则同余方程(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。若有解，则恰有 个解，mod m 。 7.模11的所有二次剩余是 。
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
初等数论 初等数论从表面意义来讲，就是作为一门研究数的相关性质的数学学科。准确地按照潘承洞、潘承彪两位数论大师的说法：初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。它不仅是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等相关专业所需的课程。纵观数论发展过程，我国出现了许许多多的数论大师，如：华罗庚的早期研究方向、陈景润、潘承洞等。 第一部分：整除 初接触初等数论，经过《初等数论》课本知整除理论是初等数论的基础。整除理论首先涉及整除。现向上延伸则想到整除的对象，即自然数、整数。从小学、中学再到大学，我们从接触最初的1、2、3再到后来的有理数、无理数、实数再到复数，可谓种类繁多。但数论中的整除运算仅仅局限于自然数及其整数等相关范围内。首先大学数学中绝大多数数学定义中的自然数不包括0 ，这似乎与中学有一点差别，当然整数的定义改变就相对少得多。另外，自然数、整数的相关基本性质需懂得及灵活利用，如分配律、交换律、反对称性等。在初等代数中曾系统地介绍了自然数的起源问题：自然数源于经验，自然数的本质属性是由归纳原理刻画的，它是自然数公理化定义的核心。自然数集合严格的抽象定义是由Peano定理给出的，他刻画了自然数的本质属性，并导出有关自然数的有关性质。 Peano定理：设N是一个非空集合，满足以下条件： （ⅰ）对每一个n∈N，一定有唯一的一个N中的元素与之对应，这个元素记作n+,称为是n的后继元素（或后继）； （ⅱ）有元素e∈N，他不是N中任意元素的后继； （ⅲ）N中的任意一个元素至多是一个元素的后继，即从a+=b+ 一定可以推出a=b; (ⅳ)(归纳原理)设S是N的一个子集合，e∈S, 如果n∈S则必有n+ ∈S,那么，S=N. 这样的集合N称为自然数集合，它的元素叫做自然数。 其中的归纳原理是我们常用的数学归纳法的基础。数学归纳法在中学已属重点内容，此处就不作介绍。主要描述一下推广状态下的第二种数学归纳法：（第二种数学归纳法）设P(n)是关于自然数n的一种性质或命题。如果 （1）当n=1时，P(1)不成立； （2）设n>1,若对所有的自然数m 名家小传三则 主干知识 1.给下列加点的字注音。 讣告（）韬奋（）失怙（）奠基（） 熏陶（）仕途（）言辞（）奖券（） 2.根据拼音写汉字。 缺hàn___ 赞yù___ è____要hú___口qí___岖wù___农出bǎn___ 散suì___ 3.解释句中加点的词语。 ⑴我便义不容辞的写了这一篇简而短的自述，聊尽抛砖引玉的任务。 抛砖引玉： ⑵幼读“三百千”，不求甚解。 不求甚解： ⑶因无衣锦还乡之欲，便没“无颜见江东父老”之愧。 衣锦还乡： 4.文学常识填空。 邹韬奋，现代著名______,______,_______. 5.读了三位作家的自传，向你的朋友、同学口头介绍一下他们吧。 点击思维 1.注意“怙”不要拼写成“gǔ”；“券”不要拼成“juàn”。 2.注意“赞誉”不要误写为“赞语”，“出版”不要写成了“出板”。 3.要结合词语所在文中的具体语境推测揣摩，不能只看字面意思，如“抛砖引玉”这里是比喻用粗浅的，不成熟的意见引出别人高明的，成熟的意见。 4. 1928年开始，邹韬奋正式用“韬奋”这个笔名发表文章。他说――韬是韬光养晦的韬， 奋是奋斗的奋。一方面要韬光养晦，一方面要奋斗。 5.初步阅读课文，从整体上把握文章所写的主要内容。 名师导学 1.理清结构： 开篇直述写这篇小传的原因 表明自己写传的态度 介绍自己工作生活的简要经历 介绍家庭情况和自己的性格特点 生活经历 忠厚善良幽默不功利 写作成果 介绍了自己的名字 介绍了家庭境况 介绍家乡的情况和自己的志趣 介绍了经历和著作情况 2.语言特色： 《著者略历》语言特点：朴实而且富有幽默感。“志学之年，帝王不存，可谓无君。无父无 君，特别孝爱老母。布尔乔亚之仁未能一扫空也。”《贾平凹小传》语言特点：朴实、深沉， 具有醇厚的风俗气息。“五谷都长而不丰，山高水长却清秀，离家十年季季归里；因无衣锦 还乡之欲，便没‘无颜见江东父老’之愧。”这三篇文的共同特点都是言志，表现作者的“潇洒机智幽默”，区别在于《韬奋自述》带有隐讳，如“性急，牛性发时容易得罪人”隐1936年曾因进行抗日救亡运动被国民党逮捕入狱；《著者略历》中“不求甚解”“往往吃亏，亦不 后悔”“甘于寒贱”等表现作者温厚幽默；《贾平凹小传》中“祖孙三代平民百姓，我辈哪能 显贵发达？”等体现醇厚的风俗气息。 3.把握重点： ⑴自传：自述生平的文章叫自传。其核心在于“自述”，而不是别人写的。自传的作用在于 让别人了解自己所走过的生活道路。为达此目的，作者就要把自己的经历系统而又有重点地 介绍出来。 ⑵小传：小传即人物小传，就是人物的传略，它是再现人物的生平事迹和个性的一种简短的 传记。它既可以写自己，也可以传他人。 ⑶《韬奋自述》中作者其人 文中第三段说自己还是个孩子，能感觉到作者的一种自嘲，一种看待自己的机智。“目前被推任本店经理，也是出乎意料”，袒露不慕功名的平常心态。最后一段写到自己性急，牛性 发作时容易得罪人，体现他不屈的气节。 4.攻克难点： 老舍的《著者略历》讲到自己的读书生平：“幼读三百千，不求甚解，继学师范，遂奠教书 匠之基。,,二十七岁，发愤著书，科学哲学无所懂，故写小说，博大家一笑，没什么了不 得。,,书无所不读，全无所获，并不着急。教书做事，均甚认真，往往吃亏，亦不后悔。”这段文字，形象地概括了老舍的读书经历。他七岁读塾，十岁入市立小学。旧式的教学使他 厌恶，敬而远之。后来。他进中学念书，只读了半年，因为付不起学费，转考免费的北京师 范学校，毕业后当上了教书先生。如果按常规走下去，他终究只是个人云亦云的教书匠罢了。 但老舍不！他从传统的文化模式中跳了出来，用他那支生花之笔刻划出多少栩栩如生的人物， 多么斑斓纷纭的社会风情。这依赖于他独特的读书方式。首先，广读，泛读。凡是他觉得有 用的知识，都尽量广泛地涉猎。正象他说的，“借着什么，买着什么，遇着什么，就读什么。 不懂的放下，使我糊涂的放下，没趣味的放下，不客气。我不能叫书管着我。”其次，快读，跳读。老舍读书常“读得很快，而不记住。”这实际是一种适应短期吞吐大量信息的快速读 书法。对此，他曾幽默地说：“读得快，因为我有时候跳过几页去。不合我的意，我就练习 跳远。,,看侦探小说的时候，我先看最后的几页，省事。”再次，广读，泛读，快读，跳读，并不意味着不细读，精读。他曾把但丁《神曲》的几种英译本，无论是韵文还是散文， 都仔仔细细地读过一遍。不光读原著，还读评论，并且搜集了许多关于但丁的论著。他顺藤 摸瓜，读过名家的一本名著，便又找来他的另一部，一直追寻下去。除读书外，老舍还十分 注重向社会学习，“熟读社会人生”，从社会中获得各种直接的经验与知识。他的名著《骆驼祥子》，就是他深入人力车夫中体验生活，直接从小茶馆与大杂院，以及车厂汲取原材料， 从而创作出的作品。 5.质询疑点： 《韬奋自述》《著者略历》这两篇文化名人的自传有何异同点？ 《韬奋自述》《著者略历》这两篇文化名人的自传，有共同的特点，即以非常俭省的文字， 概括自己的人生经历和著述情况。两文也各有自己的风格，前者写得严肃，后者写得幽默； 前者注重把个人的经历放在更为广阔的时代背景之下，在冷静的叙述中含蓄地表达自己的思 想感情；后者不仅写自己40年的人生经验，还写到自己的生活态度、思想抱负和性格爱好。 初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； < Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± （ 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ 摘要 求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。 当然再用近似值代替真实值时，误差精度是我们需要考虑因素，但是除了误差精度以外，还可以用代数精度来判断其精度的高低。已知n+1点的Newton-Cotes型积分公式，当n为奇数时，其代数精度为n；当n为偶数时，其代数精度达到n+1。若对随机选取的n+1个节点作插值型积分公式也仅有n次代数精度。 如何选取适当的节点，能使代数精度提高？Gauss型积分公式可是实现这一点，但是Gauss型求积公式，需要被积函数满足的条件是正交，这一条件比较苛刻。因此本实验将针对三种常用的Gauss型积分公式进行讨论并编程实现。 关键词：Newton-Cotes型积分公式正交多项式代数精度 1、实验目的 1)通过本次实验体会并学习Gauss型积分公式，在解决如何取节点能提 高代数精度这一问题中的思想方法。 2)通过对Gauss型积分公式的三种常见类型进行编程实现，提高自己的 编程能力。 3)用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。 2、算法流程 下面介绍三种常见的Gauss型积分公式 1)高斯-勒让德（Gauss-Legendre）积分公式 勒让德（Legendre）多项式 如下定义的多项式 称作勒让德多项式。由于是次多项式，所以是n次多项式，其最高次幂的系数与多项式 的系数相同。也就是说n次勒让德多项式具有正交性即勒让德多项式 是在上带的n次正交多项式，而且 这时Gauss型积分公式的节点就取为上述多项式的零点，相应的Gauss型积分公式为 此积分公式即成为高斯-勒让德积分公式。 其中Gauss-Legendre求积公式的系数 人物小传作文800字 要使传记真实可信，首先必须全面搜集、占有丰富翔实的资料，使传记所反映的人物生平事迹准确无误，完整无缺。这些资料一般包括五个基本方面的内容： （1）人物的姓名、性别、籍贯、民族。 （2）人物的生卒年月。 （3）人物的学历、简历、党派、职务。 （4）人物的贡献功绩、科技成果、著作。 （5）能反映人物思想风貌本质特征的典型事件。 一要选材典型。 二要叙行录言。 三要讲究文采。 人物传虽不能偏向华丽的辞藻，繁琐的描写，多余的形容，曲折的情节。但语言生动形象，用词精当贴切，句子流畅，层次分明，布局合理，一句话，文采还是必须讲究的。 父亲小传 1968年6月17日，父亲出生于一个贫苦的农民家庭。自懂事起，他便会帮着爷爷奶奶干活。记得父亲说过，当年他若是学习再认真一点，便不会只是现在的成就。所以，他把希望寄托在他的一双儿女身上。 1976年，父亲开始上小学。听他说，每到考试，他也是个“临时抱佛脚”的主儿。课余时间，父亲便会去田里捉泥鳅，捡田螺，然后 做过几个小时，拿到镇上去卖。卖来的钱为自己添置双新鞋或买几寸布，多余的便会交给奶奶保管。每当父亲说起这些事，脸上总是洋溢着自豪。他说农村的孩子不容易，才会早早当家。 1980年7月，父亲从小学毕业后，又读了三年初中。1984年，父亲便开始自力更生了。这一年里，他帮助爷爷奶奶务农。勤勤恳恳，毫无怨言。 1984年，父亲和爷爷一起开始捕鱼。挣来的钱全部交给奶奶。这样的生活，四年后才终结。四年的积蓄，奶奶用它造了一幢楼房。 1988年，父亲开始在一家小工厂拜师学艺。一年复一年，七年的时光，就在师傅的教导，父亲的学习与工作中过去了。 28岁，是父亲生命中最重要的时候。1995年的初春，父亲与母亲结婚了。同年11月，母亲生下了我。 1996年3月18日，父亲离开了那家小工厂，一个人开始跑销售。他曾说过，那是他记忆中最难熬的日子。同年的6月18日，父亲与叔叔合作正式开办了一家机械密封件厂。直到1999年10月5日，父亲终于独立门户，开了一家公司。 八年级语文第1页（共4页） 直到现在，父亲一人坚守着当初的梦想，把梦想变为现实。 这就是我的父亲，也许平凡，但绝不平庸。 “喂，老爸，过来一下！”我在房里大喊大叫，“马上就到，殿下。”俺爸就是这样一个人，脾气随和，还挺有幽默感，是我家响当当的户主兼大厨，对我的学习（特别是作文）还挺关心。 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(m od m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(m od 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求 ??? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间 3度6度带高斯投影详解 选择投影的目的在于使所选投影的性质、特点适合于地图的用途，同时考虑地图在图廓范围内变形较小而且变形分布均匀。海域使用的地图多采用保角投影，因其能保持方位角度的正确。 我国的基本比例尺地形图(1:5千，1:1万，1:2.5万，1:5万，1:10万，1:25万，1:50万，1:100万)中，大于等于50万的均采用高斯-克吕格投影(Gauss-Kruger)，这是一个等角横切椭圆柱投影，又叫横轴墨卡托投影(Transverse Mercator)；小于50万的地形图采用等角正轴割园锥投影，又叫兰勃特投影(Lambert Conformal Conic)；海上小于50万的地形图多用等角正轴圆柱投影，又叫墨卡托投影(Mercator)。一般应该采用与我国基本比例尺地形图系列一致的地图投影系统。 地图坐标系由大地基准面和地图投影确定，大地基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近，因此每个国家或地区均有各自的大地基准面，我们通常称谓的北京54坐标系、西安80坐标系实际上指的是我国的两个大地基准面。我国参照前苏联从1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)椭球体建立了我国的北京54坐标系，1978年采用国际大地测量协会推荐的IAG 75地球椭球体建立了我国新的大地坐标系--西安80坐标系，目前GPS定位所得出的结果都属于WGS84坐标系统，WGS84基准面采用WGS84椭球体，它是一地心坐标系，即以地心作为椭球体中心的坐标系。因此相对同一地理位置，不同的大地基准面，它们的经纬度坐标是有差异的。 采用的3个椭球体参数如下（源自“全球定位系统测量规范GB/T 8314-2001”）： 椭球体与大地基准面之间的关系是一对多的关系，也就是基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面，如前苏联的Pulkovo 1942、非洲索马里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky椭球体，但它们的大地基准面显然是不同的。在目前的GIS 商用软件中，大地基准面都通过当地基准面向WGS84的转换7参数来定义， 对数论有重大影响的一位名人小传-------高斯小传 高斯曾说过：“数学是科学的皇后。”可见他对数学的热爱与崇敬.爱因斯坦说:“高斯对于相对论的数学基础所做的贡献，其重要性是超越一切，无与伦比的。”可见高斯在数学上的成就非凡。 人物简介 卡尔·弗里德里希·高斯（Johann Carl Friedrich Gauss）（1777年4月30日—1855年2月23日），生于不伦瑞克，卒于哥廷根，德国著名数学家、物理学家、天文学家、大地测量学家。高斯被认为是最重要的数学家，并有数学王子的美誉。 生平经历 在成长过程中，幼年的高斯主要得力于母亲和舅舅：高斯的母亲罗捷雅、舅舅弗利德里希。他发现姐姐的儿子聪明伶利，因此他就把一部分精力花在这位小天才身上，用生动活泼的方式开发高斯的智力。若干年后，已成年并成就显赫的高斯回想起舅舅为他所做的一切，深感对他成才之重要，他想到舅舅多产的思想，不无伤感地说，舅舅去世使"我们失去了一位天才"。正是由于弗利德里希慧眼识英才，经常劝导姐夫让孩子向学者方面发展，才使得高斯没有成为园丁或者泥瓦匠. 在数学史上，很少有人象高斯一样很幸运地有一位鼎力支持他成才的母亲. 罗捷雅真地希望儿子能干出一番伟大的事业，对高斯的才华极 为珍视。然而，她也不敢轻易地让儿子投入当时尚不能养家糊口的数学研究中。在高斯19岁那年，尽管他已做出了许多伟大的数学成就，但她仍向数学界的朋友W.波尔约（非欧几何创立者之一J.波尔约之父）问道：高斯将来会有出息吗？W.波尔约说她的儿子将是"欧洲最伟大的数学家"，为此她激动得热泪盈眶。 1787年高斯10岁，他进入了学习数学的班次，数学教师是布特纳，他对高斯的成长也起了一定作用。 1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。 1792年高斯进入布伦兹维克的卡罗琳学院继续学习。1795年，公爵又为他支付各种费用，送他入德国著名的哥丁根大学，这样就使得高斯得以按照自己的理想，勤奋地学习和开始进行创造性的研究。1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克，正当他为自己的前途、生计担忧而病倒时─虽然他的博士论文顺利通过了，已被授予博士学位，同时获得了讲师职位，但他没有能成功地吸引学生，因此只能回老家-又是公爵伸手救援他。 1804年被选为英国皇家学会会员。从1807年到1855年逝世，一直担任格丁根大学教授兼格丁根天文台长。 主要贡献 卡尔·弗里德里希·高斯18岁的高斯发现了质数分布定理和最小二乘法。通过对足够多的测量数据的处理后，可以得到一个新的、概率性质的测量结果。在这些基础之上，高斯随后专注于曲面与曲线的计算，语文：第12课《名家小传三则》课文精讲(北京课改版七年级下)
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