第一讲极限、无穷小与连续性
一、知识网络图
二、重点考核点
这部分的重点是：
①掌握求极限的各种方法．
②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法．
③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）．
④复合函数、分段函数及函数记号的运算．
§1 极限的重要性质
1．不等式性质
设B y A x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，
，且A ＞B ，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞y n ． 设B y A x n n n n ==∞
→∞
→lim lim ，
，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥y n ，则A ≥B ． 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设A x n n =∞
→lim ，且A ＞0，则存在自然数N ，使
得当n ＞N 时有x n ＞0．设A x n n =∞
→lim ，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥0，则A ≥0．
对各种函数极限有类似的性质．例如：设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，
，且A ＞B ，则存在δ＞0，使得当0
0 <
x x -＜δ有f （x ）＞g （x ）．设
B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，，且存在δ＞0，使得
当0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）≥g （x ），则A ≥B ．
2．有界或局部有界性性质
设A x n n =∞
→lim ，则数列｛x n ｝有界，即存在M ＞0，使得｜x n ｜≤M （n = 1，2，3，…）．
设，A x f x x =→)(lim 0
则函数f （x ）在x = x 0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M ＞0，使得
当0＜｜x －x 0｜＜δ时有｜f （x ）｜≤M ．对其他类型的函数极限也有类似的结论．
§2 求极限的方法
1．极限的四则运算法则及其推广 设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，，则
；B A x g x f x
x ±=±→)]()([lim 0
；AB x g x f x x =→)()(lim 0
．)0()()(lim 0
≠=→B B
A x g x f x x 只要设)(g lim )(lim 0
x x f x x x x →→，
存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“0
”，“
∞
∞
”，“02∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设B x x f x x x x =∞=→→)(g lim )(lim 00，
，则∞=±→)]()([lim 0x g x f x x .∞=→)
()(lim 0x g x f x x （()0g x ≠）又B ≠0，则∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．2°设∞=→)(lim 0
x f x x ，
当x →x 0时()g x 局部有界，（即0,0M δ?>>，使得00x x δ<-<时()g x M <），则 ∞=+→)]()([lim 0
x g x f x x ．
设∞=→)(lim 0
x f x x ，当x →x 0时｜g （x ）｜局部有正下界，（即?δ＞0，b ＞0使得0＜｜x － x 0｜
＜δ时｜g （x ）｜≥b ＞0），则 ∞=→)]()([lim 0
x g x f x x ．
3°设∞=→)(lim 0
x f x x ，∞=→)(lim 0
x g x x ，则()∞=→)()(lim 0
x g x f x x ，又?δ＞0使得0＜｜x －
x 0｜＜δ时f （x ）g （x ）＞0，则 ∞=+→)]()([lim 0
x g x f x x ．
4°设0)(lim 0
=→x f x x ，x →x 0时g （x ）局部有界，则()0)()(lim 0
=→x g x f x x （无穷小量与有界
变量之积为无穷小．）
2．幂指函数的极限及其推广
设．A x f B x g A x f B x g x x x x x x ===→→→)
()(lim )(lim ＞0)(lim 0
则，
lim ()ln ()
()
()ln ()
ln (lim ()
lim )x x g x f x g x g x f x B A B x x x x f x e
e
e A →→→====
只要设0
lim ()lim ()x x x x f x g x →→，存在或是无穷大量,上面的结果可以推广到除“1∞
”，“00”及“∞0”三种未定式以外的各种情形．这是因为仅在这三个情况下)(ln )(lim 0
x f x g x x →是“02∞”型未定
式．
1°设)(lim 0
x f x x → = 0（0＜｜x －0x ｜＜δ时f （x ）＞0），0)(lim 0
≠=→B x g x x ，则
()0
(0)lim ()(0)
g x x x
B f x B →>?=?
+∞
2°设)(lim 0
x f x x → = A ＞0，A ≠1，)(lim 0
x g x x → = + ∞，则 0
()
0(0<1)
lim ()
(1)g x x x A f x A →
+∞>?
3°设)(lim 0
x f x x → = + ∞，0)(lim 0
≠=→B x g x x ，则 ??
?∞
+=→＞0)
()
＜0(0
)(lim )
(0
B B x f x g x
x
【例1】 设．，则，又________)(lim 0)(g lim )
()
(lim
000
===→→→x f x A x g x f x x x x x x
【分析】 ．＝00))()
()
((
lim )(lim 0
=?=?→→A x g x g x f x f x x x x 【例2】设｛a n ｝，｛b n ｝，｛c n ｝均为非负数列，且，，，∞===+∞
→∞
→∞
→n n n n n n c b a lim 1lim 0lim 则必有
（A ）a n ＜b n 对任意n 成立． （B ）b n ＜c n 对任意n 成立．
（C ）极限n n n c a ∞
→lim 不存在． （D ）n n n c b ∞
→lim 不存在．
用相消法求
00或∞
∞
型极限 【例1】求)
cos 1(sin 1tan 1lim
x x x
x I x -+-+=→
【解】作恒等变形，分子、分母同乘得x x sin 1tan 1+++
x I →= x
x x x x x x x sin 1tan 11
lim
)cos 1()cos 1(tan lim
00+++--=→→21211==?． 【例2
】求lim
x I →-=
【解】作恒等变形，分子、分母同除)0＜(2x x x -=得
1x I →===
利用洛必达法则求极限
【例1】设f （x ）在x = 0有连续导数，又 2)(s i n
l i m 20=???
??+=→x x f x
x I x 求(0)(0)f f '与．
【例2】求)
1ln()cos 1(1
cos
sin 2lim
20x x x x x x +++→．
【例3】求x
x I x
x e
)1(lim
1
0-+=→．
【例4】求x
x I x
x x sin e e lim sin 0--=→．
【例5】若306sin ()lim
0x x xf x x →+=，则
__________)
(6lim 2
0=+→x x f x ． 【例6】求)
1ln(0)
(tan lim x x x I -+
→=．
【例7】设α＞0，β≠0为常数且1
22lim [()]a
a a
x I x
x x β→+∞
=+-=，则（α，β） = __________．
【分析】∞－∞型极限．
210121)1(lim 1t ]1)[(1lim t
t x x x I a
a t a a x -+=-+=+→-+∞→t t a t a a a
a t 2)1(1lim 111
0--+→?+= ???????∞
+==+=--+→?)
2＜＜0()2(21)＞2(0)1(2
1lim 2
11
0a a a t t a a
a t 因此（α，β） = )2
1
2(，．
分别求左、右极限的情形，分别求n n n n x x 212lim lim +∞
→-+∞
→与的情形
【例1】设||sin e
1e 2)
(41x x x f x
x +
++，求0lim ()x f x →．【例2】求n
n n I n )1(1lim -+∞→??
?
??+=
利用函数极限求数列极限 【例1】求)1＞(lim
a a
n I n
n +∞
→=．【例2】求2
1lim (tan )n n I n n
→+∞=．
【解1】)11
tan (11tan 12)11tan
(1lim --+∞
→??
? ??
-+=n n n n
n n n n I
转化为求223
002
1tan
1
1
tan 1
1
tan lim (tan
1)lim
lim lim
1n n x x n x
x x n
x n n n
x x n +→+∞
→+∞→+→----=== 1
23201cos 1
lim e 33
x x I x +
→-==?= 【解2】用求指数型极限的一般方法．
n
n
n n I 1tan ln
2
e
lim +∞
→= 转化为求
20
2
1tan tan 1ln
lim ln
lim
1n x n
x
x n
x n →+∞
→=201
tan lim x
x x x -=→（等价无穷小因子替换），余下同前． §3 无穷小和它的阶
1．无穷小、极限、无穷大及其联系
（1）无穷小与无穷大的定义
（2）极限与无穷小，无穷小与无穷大的关系
l i m ()()()x x f x
A f x A x α→=?=+ 其中
0lim ()0(()(1)).x x x f x A o x x α→==+→，
o （1）表示无穷小量．
在同一个极限过程中，u 是无穷小量（u ≠0）?
u 1是无穷大量．反之若u 是无穷大量，则u
1
是无穷小量．
2．无穷小阶的概念
（1）定义 同一极限过程中，α（x ），β（x ）为无穷小，
设 0()()1()()()lim ()~()()()0()()()(())()
l x x l x x x l x x x l x x x o x αβαβααββαβαβ≠??
=??=?
?=??=?为有限数，称与
为同阶无穷小时，称与
为等价无穷小，记为极限过程时，是比高阶的无穷小，记为
极限过程
定义 设在同一极限过程中α（x ），β（x ）均为无穷小，α（x ）为基本无穷小，若存在正数k 与常数l 使得0)()(lim
≠=l x x k αβ 称β（x ）是α（x ）的k 阶无穷小，特别有0)
()
(lim 00
≠=-→l x x x k x x β，称x →x 0时β（x ）是（x －x 0）的k 阶无穷小．
（2）重要的等价无穷小
x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，㏑（1 + x ） ~ x ，e x －1 ~ x ； a x －1 ~ x ln a ，arcsi nx ~ x ，
arctan x ~ x ；（1 + x ）a ―1 ~ ax ，1―cos x ~ 2
2
1x ． （3）等价无穷小的重要性质 在同一个极限过程中 1°若α ~ β，β ~ γ?α ~ γ． 2° α ~ β?α = β + o （β） 3°在求“
”型与“02∞”型极限过程中等价无穷小因子可以替换 【例1】 求???
?
????-???
??+=→13cos 21
lim 3
0x x x x
I ． 【例2】设__________)(lim 513]
2sin )(1ln[lim
200
==-+
→→x
x f x x f x x x ，则． 【分析】 由已知条件及
02sin )
(lim 0)2sin )(1ln(lim 0)13(lim 000=?=+
?=-→→→x x f x
x f x x x x ．又在x = 0某空心邻域f （x ）
≠0?()()()
ln(1)~~(0)sin 2sin 22f x f x f x x x x x
+
→，又3x －1 ~x ln 3．于是 22000()/2()()lim lim 5lim 10ln 3ln 3
2ln 3x x x f x x f x f x x x x →→→==?=． 【例3】 设x → a 时α（x ），β（x ）分别是x － a 的n 阶与m 阶无穷小，又0)(lim ≠=→A x h a
x ，
则x → a 时
（1）α（x ）h （x ）是x － a 的__________阶无穷小． （2）α（x ）β（x ）是x － a 的__________阶无穷小．
（3）n ＜m 时，α（x ）±β（x ）是x － a 的__________阶无穷小． （4）n ＞m 时
)
()
(x x βα是x － a 的__________阶无穷小． （5）k 是正整数时，αk 是x － a 的__________阶无穷小．
以上结论容易按定义证明。例如，已知0)()
(lim
≠=-→A a x x f n
a x ，
()()()()()
lim
0lim lim 0()()()()m n m n m
x a x a x a g x f x g x f x g x B A B x a x a x a x a +→→→=≠?==≠----???f （
x ）g （x ）是x － a 的n + m 阶无穷小．
【例4】设f （x ）连续，x → a 时f （x ）是x － a 的n 阶无穷小，求证：?
x
a
dt t f )(是x －
a 的n + 1阶无穷小．
【例5】x → 0时，2
31)1(x
x x ++是x 的________阶无穷小；332x x -是x 的_________阶无穷小；)
1ln(sin 3x x +是x 的_________阶无穷小，?x dt t 02
sin 是x 的_________阶无穷小．
【例6】x → 0时，下列无穷小中（ ）比其他三个的阶高，
（A ）x 2 （B ）1－c os x （C ）112--x （D ）x － tan x 【例7】当x → 0时，?
=
x
dt t x f sin 0
2sin )(与43)(x x x g +=比较是（ ）的无穷小．
（A ）等价 （B ）同阶非等价
（C ）高阶 （D ）低阶
§4 连续性及其判断
1．连续性概念 （1）连续的定义：
函数f （x ）满足)()(lim 00
x f x f x x =→，则称f （x ）在点x = x 0处连续；f （x ）满足0
0lim ()()
x x f x f x +→=（或))()(lim 00
x f x f x x =-→，则称f （x ）在x = x 0处右（或左）连续．
若f （x ）在（a ，b ）内每一点连续，则称f （x ）在（a ，b ）内连续；若f （x ）在（a ，b ）内连续，且在x = a 处右连续，在点x = b 处左连续，则称f （x ）在[a ，b ]上连续． （2）单双侧连续性
f （x ）在x = x 0处连续 ? f （x ）在x = x 0处既左连续，又右连续． （3）间断点的分类：
设f （x ）在点x = x 0的某一空心邻域内有定义，且x 0是f （x ）的间断点．
若f （x ）在点x = x 0处的左、右极限f （x 0－0）与f （x 0 + 0）存在并相等，但不等于函数值f （x 0）或f （x ）在x 0无定义，则称点x 0是可去间断点；若f （x ）在点x = x 0处的左、右极限f （x 0
－0）与f （x 0 + 0）存在但不等，则称点x 0是跳跃间断点：它们统称为第一类间断点．
若f （x ）在点x = x 0处的左、右极限f （x 0－0）与f （x 0 + 0）至少有一个不存在，则称点x 0为第二类间断点．
2．函数连续性与间断点类型的判断：
若f （x ）为初等函数，则f （x ）在其定义域区间D 上连续，即当开区间（a ，b ）? D ，则f （x ）在（a ，b ）内连续；当闭区间[c ，d ] ? D ，则f （x ）在[c ，d ]上连续．若f （x ）是非初等函数或不清楚它是否为初等函数，则用连续的定义和连续性运算法则（四则运算，反函数运算与复合运算）来判断．当f （x ）为分段函数时，在其分界点处则需按定义或分别判断左、右连续性． 判断f （x ）的间断点的类型，就是求极限00
lim ()x x f x →±．
3．有界闭区间[a ，b ]上连续函数的性质：
最大值和最小值定理：设f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续，则存在ξ和η∈[a ，b ]，使得 f （ξ）≤f （x ）≤f （η），（a ≤x ≤b ）
有界性定理：设f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续，则存在M ＞0，使得 ｜f （x ）｜≤M ，（a ≤x ≤b ）
介值定理：设函数f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续，且f （a ）≠f （b ），则对f （a ）与f （b ）之间的任意一个数c ，在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得 f （ξ） = c 推论1（零值定理）：设f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续，且f （a ）f （b ）＜0，则在（a ，b ）内至少存在一点ξ，使得 f （ξ） = 0
推论2：设f （x ）在闭区间[a ，b ]上连续，且m 和M 分别是f （x ）在[a ，b ]上最小值和最大值，若m ＜M ，则f （x ）在[a ，b ]上的值域为[m ，M ]． 【例1】 函数2
)
2)(1()
2sin(||)(---=
x x x x x x f 在下列哪个区间内有界． （A ）（－1，0）． （B ）（0，1）． （C ）（1，2）． （D ）（2，3）． 【分析一】这里
||x x 有界．只须考察2
)2)(1()
2sin()(---=x x x x g ，g (x ）是初等函数，它在定义域（x ≠1，x ≠2）上连续，有界闭区间上连续函数有界，[－1，0] ?定义域，g (x ）在[－1，0]有
界，选（A ）． 【分析二】设h (x ）定义在（a ，b ）上，若∞=+→)(lim 0
x h a x 或∞=-→)(lim 0
x h b x ，则h (x ）在（a ，
b ）无界．因∞=→)(lim 1
x f x ，∞=→)(lim 2
x f x ? ()f x 在（0，1），（1，2），（2，3）均无界．选（A ）．
【例2】设??
?-=1＞11)(2x x
x x x f ≤，??
?
??+-=x
x x x x x x g ＜53
5＜2)1(22)(≤≤，
讨论y = f （g （x ））的连续性，若有间断点并指出类型．
【分析与解法1】先求f （g （x ））的表达式．
2()(()1)(())1()
(())1)g x g x f g x g x g x ?=?
->?≤??????
?
?+----=)
＜5()
3(1)5＜2()
1(21)
2＜1(1)1())((2x x x x x x
x x x g f ≤≤≤
在（－∞，1），（1，2），（2，5），（5， +∞），f （g (x ））分别与初等函数相同，故连续．x = 2或5时可添加等号，左、右连接起来，即左连续又右连续? f （g (x ））在x = 2或5连续．x = 1时
1
lim ))((lim 0
)1(lim ))((lim 2
10
10
101===-=-→-→+→+→x x g f x x g f x x x x ? x = 1是f （g （x ））的第一类间断点（跳跃间断点）．
【分析与解法2】 不必求出f （g （x ））的表达式．
g (x ）的表达式中，x = 2或5处可添加等号，左、右连接起来?g (x ）在（－∞， +∞）处处连续．
??
?-=1
＞11
)(2
u u
u u u f ≤，u ≠1时连续． u = g （x ） = 1?x = 1
因此，x ≠1时由连续函数的复合函数是连续的?f （g （x ））连续.x = 1时
1
lim )(lim ))((lim 0
)1(lim )(lim ))((lim 2
10
10
10
10
101====-==-→-→-→+→+→+→x x f x g f x x f x g f x x x x x x
? x = 1是f （g （x ））的第一类间断点．
第二讲一元函数微分学的概念、计算及简单应用
一、知识网络图
二、重点考核点
这部分的重点是
①导数与微分的定义、几何意义，讨论函数的可导性及导函数的连续性，特别是分段函数，可导与连续的关系．
②按定义或微分法则求各种类型函数的一、二阶导数或微分（包括：初等函数，幂指数函数，反函数，隐函数，变限积分函数，参数式，分段函数及带抽象函数记号的复合函数），求n阶导数表达式．
③求平面曲线的切线与法线，描述某些物理量的变化率． ④导数在经济领域的应用如“弹性”，“边际”等（只对数三，数四）．
§1 一元函数微分学中的基本概念及其联系
1．可导与可微的定义及其联系
2．几何意义与力学意义
)(0x f '是曲线y = f （x ）在点（
x 0，f (x 0））处切线的斜率． x x f x df x x ?'==)()
(00
是相应于?x 该切线上纵坐标的增量．
质点作直线运动，t 时刻质点的坐标为x = x (t ），)(0t x '是t = t 0时刻的速度．
3．单侧导数与双侧导数
f （x ）在x = x 0可导''
00)()f x f x +-?，均存在且相等． 此时 ''000()()()f x f x f x +-'== '
0000
()()()lim x f x x f x f x x +
+?→+?-=?，-'0000()()
()lim .x f x x f x f x x
-?→+?-=?
【例1】 说明下列事实的几何意义（1）．x g x f x g x f )()()()(0000'='=，
()f x x x =在连续
（2）f (x )，g (x )在x = x 0处有连续二阶导数，''0000()()()()f x g x f x g x ==，，
．x g x f 0)()(00≠''=''
（3）f (x ）在x = x 0处存在''00()()f x f x +-，，但''00()()f x f x +-≠.
（4）y = f (x ）在x = x 0处连续且000
()()
lim .x x f x f x x x →-=∞-
【例2】()()()g x f x h x ?=?? 00
00x x x x x x -?<<<+?
≤，δ＞0为某常数．设'000()(),(),g x h x g x -='0()
h x +均存在且''00()()g x h x -+=.求证：
''0000()()()()f x f x g x h x -+''==存在且.
【例3】请回答下列问题：
（1）设y = f （x ）在x = x 0可导，相应于?x 有
?y = f （x 0 + ?x ）－f （x 0），x x f dy ?'=)(0
?x →0时它们均是无穷小．试比较下列无穷小：
?y 是?x 的__________无穷小；?y －dy 是?x 的________无穷小； 0)(0≠'x f 时?y 与dy 是________无穷小．
（2）du 与?u 是否相等？
【例4】设f （x ）连续，试讨论)(0x f '的存在性与0
|)(|x x x f ='
的存在性之间的关系．
（1）考察下列两个函数图形，由导数的几何意义来分析)(0x f '存在与0
|)(|x x x f ='存在之
间的关系．
（2）f （x 0）≠0时，求证：)(0x f '存在?0
|)(|x x x f ='
存在．
【证明】 因0()f x ≠0，由连续性，??δ＞0，使得当｜x －x 0｜＜δ时有f （x ）＞0或f （x ）＜0，于是在x 0该邻域内必有｜f （x ）｜= f (x ）或｜f （x ）｜= －f (x ）之一成立，故在点x = x 0处两个函数的可导性是等价的．
（3）f （x 0） = 0时，求证：0
|)(|0)(0x x x f x f ='
?='存在．
【证明】 设f （x 0） = 0． 0
|)(|x x x f ='
存在x x f x x f x x f x x f x x ?-?+=?-?+?-→?+→?|
)(||)(|lim |)(||)(|lim
000000
0000|()||()|
lim
(0)lim (0)x x f x x f x x x x
?→+?→-+?+??≥=≤??
0|
)(|lim |)(|lim
0000=??+=??+?-→?+→?x
x x f x x x f x x
．x f x
x f x x f x 0)(0)
()(lim
0000
='?=?-?+?→?
综合可得，题目中结论（2）和（3）成立．也可以概括为：点x = x 0是可导函数()f x 的绝对值函数｜()f x ｜的不可导点的充分必要条件是它使得f （x 0）= 0但0)(0≠'x f ． 【评注】 论证中用到显然的事实：lim ()0lim |()|0x a
x a
f x f x →→=?=．
【例5】 设函数f (x ）连续，且(0)0f '>，则存在δ ＞0，使得
（A ）()f x 在（0，δ）内单调增加． （B ）()f x 在（－δ，0）内单调减少．
（C ）对任意的x ∈（0，δ）有()f x ＞f （0）．（D ）对任意的x ∈（－δ，0）有()f x ＞f （0）．
§2 一元函数求导法
反函数求导法：
设f （x ）在区间I x 可导，()0f x '≠，值域区间为I y ，则它的反函数x =?（y ）在I y 可导且
()
1
d 1()d ()d d x y x y y f x y x ??=??
?'== ?' ?
?
? 【例】 设y =y （x ）满足x
y e 2='，求它的反函数的二阶导数22d d y
x
．
【解】x
x x y x x y x x y y x 222e 4
1d d e 21d d d d e 21)(1d d ---=??? ??=='=，
变限积分求导法：
设函数f （x ）在[a ，b ]上连续，则?
=
x
a
t t f x F d )()(在[a ，b ]上可导，且
()()F x f x '=，（a ≤x ≤b ）
设()f x 在[c ，d ]上连续，当x ∈ [a ，b ]时函数u （x ），v （x ）可导，且()()u x v x 和的值域不超出[c ，d ]，则?
=
)
()
(d )()(x u x v t t f x F 在[a ，b ]上可导，且
)())(()())(()(x u x v f x u x u f x F '-'='，（a ≤x ≤b ） 【例1】 设f （x ）在（－∞，+ ∞）连续且10
()(s )d x
n n n Φx s f x s -=-?
，求)(x Φ'．
【例2】设f （x ）在（－∞，+∞）连续，又?-=
x t t f t x x Φ02
d )()(2
1)(，求)()(x Φ，x Φ'''． 【例3】设y t t
t x Φy x
d )d 1sin ()(2
2
2
?
?+=
，求)(x Φ''． 【例4】设f （x ）为连续函数，??
=
t t
y
x x f y t F 1
d )(d )(，则)2(F '等于
（A ）2f （2）． （B ）f （2）． （C ）－f （2）． （D ）0． 【分析一】先用分部积分法将F （t ）化为定积分． 1
1
1
()(()d )d (()d )
d(()d )t t t
t t
y t y y
y
y
F t f x x y y f x x y f x x ===
=-??
???
?
??-=+-
=t
t t
x x f x y y yf x x f 1
1
1
d )()1(d )(d )(
?，，)2()2()()1()(f F t f t t F ='-='选（B ）．
【分析二】转化为可以用变限积分求导公式的情形． ?
??????-+=+=t
t t
y
t t y
x x f t y x x f y x x f y x x f t F 1
1
1
11
1
1d )()1(d )d )((d )d )((d )d )(()(
? ?
?-=-++=
'1
1
)()1()()1(d )(d )()(t
t
t f t t f t x x f x x f t F
)2()2(f F ='．选（B ）．
【分析三】交换积分顺序化为定积分．
分顺序交换积????=D
x
t
y x f x y
x x f t F 1
1
d )(d d d )()(
?-=
t
x x f x 1
d )()1(
【分析四】特殊选取法．取f （x ）= 1（满足条件）
? ?
????
-=
--=-===
=t
t
y t
t
t
y t
y
t y t y y t x y x x f y t F 1
121
2
1)1(2
1
)(2
1
d )(d 1d d )(d )( ．f F t t F )2(1)2(1)(=='-='，选（B ）． 隐函数求导法：
【例1】y = y （x ）由0e )sin(222=-++xy y x x 所确定，则
．x
y
________d d = 【例2】y = y （x ）由下列方程确定，求．x
y
x y 22d d d d ，
（1）x + arctan y = y ； 【解】对x 求导y y y
'='++
?2
11
1， 解出211y y y +=''得．再对x 求导得5
23)
1(22y
y y y y +-='-=''． （2）y y f e x =)
(e
，其中1)()(≠'''x f x f 存在，．
【解】对x 求导得 y e y y f x y y f y f '=''+)(e e )()(
利用方程化简得
))
(1(1)(1y f x y y y y f x '-=''=''+，
再将y '的方程对x 求导得y y y f y y f x
''='''+'''+-
)()(12
2
解出y ''，并代入y '表达式? 3
22
))(1())(1()(y f x y f y f y '-'--''=''
若先取对数得ln x + f （y ）=y 然后再求导，可简化计算．
【例3】设y = y （x ）由方程y －x e y
= 1确定，求0
2
2d d =x x
y
的值．
【解】原方程中令x = 0 ? y （0）=1．将方程对x 求导得 0e e ='--'y x y y
y 令e )0(0='?=y x ．将上述方程两边再对x 求导得
2e 2)0(0)(e 2=''?=''-'-''y y e x y y x y y
分段函数求导法：
【例1】设f （x ）= x 2｜x ｜，则使()
()n f
x 处处存在的最高阶数n 为________．
【例2】设????
???==+=?0
＜d sin 10)(000＞1sin )1ln(1)(2
03
x t t x
x x f ，x x x x x x f x ，处在则，，
（A ）不连续 （B ）连续，但不可导 （C ）可导但导函数不连续 （D ）可导且导函数连续 【分析】先按定义讨论f （x ）在x = 0的可导性问题． '
3200()(0)11
(0)lim
lim ln(1)sin 0x x f x f f x x x x
+→+
→+-==+= 2
2'20
000()(0)1s i n
2(0)
l i m l i m s i n d
l i m 0
2x x x x f x f x x f t t x x x
-→-→-→-
-====??
? ''(0)(0)0(0)0f f f +-'==?=． 进一步考察)(x f '在x = 0的连续性． 当x ＞0时，
x x x x x x x x x x x
x x x f 1c o s
)1l n (1s i n )1(31s i n )1l n ()1
s i n )1l n (1()(3
332233+-+++-='
+='
由此可知， )()(lim 0x f x f x '??'+
→不在x = 0不连续． 因此，选（C ）．
【例3】求常数a ，b 使函数???+=3
＜3
)(2x b ，ax x x x f ≥处处可导，并求出导数．
【分析与求解】对?常数a ，b ，x ≠3时f （x ）均可导．现要确定a ，b 使)3(f '存在．f （x ）在x = 3必须连续且(3)(3)f f +-''=，由这两个条件求出a 与b ．
由 b a b ax x f x x f x x x x +=+===-→-→+→+→3)(lim )(lim 9lim )(lim 0
30
32
30
3，
f （x ）在x = 3连续，a ，b 满足 f （3 + 0）= f （3－0）= f （3）即 3a + b =9
在此条件下，2
3()3
x x f x ax b
x ?=?
+
? ()2(3),()(3)f x x x f x a x ''=>=< 3
(3)26,(3)x f x
f a -+=''===
(3)(3)(3)f f f +-'''??=即a = 6 代入3a + b = 9 ? b = －9．
因此，仅当a = 6，b = －9时 f （x ）处处可导且 ??
?=')
3＜(6
)
3(2)(x x x x f ≥
【评注】求解此类问题常犯以下错误
1°没说明对?常数a ，b ，x ≠3时f （x ）均可导．
2°先由x = 3处可导求出a 值，再由连续性求出b 值．请看以下错误表达： “因 3
3
(3)26(3)()x x f x
f ax b a +-=='''
===+=，
由(3)(3)f f +-''=得a = 6．再由连续性 f （3 + 0） = f （3－0） 即 9 = 3a + b ，b =－9”
错误在于①当3a + b ≠9时(3)f -'不存在，也不可能有3
(3)()x f ax b -=''
=+．
②f （3 + 0）= f （3－0）不能保证f （x ）在x = 3连续．仅当f （3 + 0） = f （3－0）= f （3）时才能保证x = 3连续．
必须先由连续性定出3a + b = 9，在此条件下就可得 (3)f a -'= 高阶导数与n 阶导数的求法
常见的五个函数的n 阶导数公式： b ax n n b ax a ++=e )e ()( )2π
s i n ())
(sin()
(n b ax a b ax n n +
+=+ )2
π
c o s ())(cos()
(n b ax a b ax n n ++=+
1()
(1)(1)!(ln ||)
()n n
n n
n a ax b ax b ---+=
+ ()
(())
(1)(1)()n n n ax b n a ax b βββββ-+=--++
§3 一元函数导数（微分）概念的简单应用
【例1】 设n x x f =)(,在点()1,1处的切线与x 轴的交点为(),0n ξ，则l
i m ()_______.n n f ξ→∞
=
【例2】若周期为4的函数f （x ）可导且12)
1()1(lim
-=--→x
x f f x
则曲线y = f （x ）在点（5，f （5））处的切线斜率k = ________．
【例3】设y = f （x ）由方程e 2x +y －cos （xy ）= e －1所确定，则曲线y = f （x ）在点（0，1）处的法线方程为________．
【例4】已知曲线Γ的极坐标方程为ρ = 2sin θ，点M 0的极坐标为（1，6
π
），则点M 0处Γ的切线的直角坐标方程为________．
【分析一】（数学一，二）点M 0在Γ上，直角坐标为：
0π(1)6
cos x ρθ
==
，2
1sin )6
π1(0=
=，θρy ． Γ的参数方程为?
??-====θθθθ
θθ2cos 1sin sin 22sin cos sin 2y x ，
Γ在M 0点处的切线的斜率：
33
π
tan
2cos 22sin 2d d 6
π6
π====
=
θθθ
θx
y
Γ在M 0处的切线方程 13)2
3(321-=-+=
x y x y ，即． 【分析二】Γ的方程可化为ρ2 =2sin ρθ ，于是Γ的隐式方程为x 2 + y 2 = 2y ．由隐函数求导法，得 y
x
y y y y x -=
''='+1222，． 3)2
3
()2123(
)(00='=y y x 代入得，，，于是切线方程为
112y x y =
=即．
第三讲一元函数积分学一、知识网络图
高等数学基础 高等数学基础课程的学习内容微积分学，它是创建于十七世纪的一门数学学科，创始人是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼茨（Leibniz ）。用著名学者的话来形容“微积分、或者数学分析，是人类思维的伟大成果之一。它处于自然科学与人文科学之间的地位，使它成为高等教育的一种特别有效的工具”。“微积分的创立，与其说是数学史上，不如说是人类历史上的一件大事。时至今日，它对工程技术的重要性就像望远镜之于天文学，显微镜之于生物学一样。 第1讲 函数 1.2 函数 要知道什么是函数，需要先了解几个相关的概念。 一、常量与变量 先看几个例子： 圆的面积公式 2πr S = 自由活体的下落距离 202 1gt t v s + = 在上述讨论的问题中，g v ,,π0是常量，t s r S ,,,是变量。变量可以视为实属集合（不止一个元素）。 二、函数的定义 定义1.1 设D 是一个非空数集。如果有一个对应规则f ，使得对每一D x ∈，都能对应于唯一的一个数y ，则此对应规则f 称为定义在集合D 上的一个函数，并把数x 与对应的数y 之间的对应关系记为 )(x f y = 并称x 为该函数的自变量，y 为函数值或因变量，D 为定义域。 实数集合 },)(;{D x x f y y Z ∈== 称为函数f 的值域。 看看下面几个例子中哪些是函数： }6,3,1{=X f
}9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，6)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,6,2{=Z ，一般地Y Z ?。 }7,6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 是函数，且 2)1(=f ，8)3(=f ，8)6(=f 定义域}6,3,1{=D ，值域}8,2{=Z 。 }6,3,1{=X }9,8,6,2{=Y f 不是函数。 由函数定义可以得出，函数的对应规则和定义域是确定函数的两个要素，用解析法表示的函数的对应规则就是由表达式确定的，而定义域就是使表达式有意义的所有x 轴上的点。 例1 求函数x y -=1的定义域。 解 在实数范围内要使等式有意义，有 01≥-x 即 f f f
经验谈双非跨考清华金融，努力你也行 自我情况：本科双非，物流专业，辅修金融，跨考清华大学经济管理学院金融专业，初试报名凯程飞翔集训班（全程网课+暑期集训），复试报名凯程特录班（10天集训，包括面试礼仪课、复试笔试指导课、简历修改、口语一对一以及6次模拟面试） 一、院校和专业选择 1、专业选择：本科物流专业，辅修金融，相当于这是职业规划最基本的两个方向。我觉得物流专业和自己未来真正希望的就业方向和领域契合点比较少，而我本身对于金融也更感兴趣一些。所以我觉得未来可以在金融领域有所建树。 2、院校选择：最开始有很多院校可以选择，比如清华大学、中央财经大学、中央民族大学……它们的专业课大纲基本一致。当时老师和我说，先按照清华这样的最高标准去学，到时候看自己的能力，觉得自己能行，就报清华；觉得自己有所欠缺，就报稍低一点。当然，我也好好去学习了，在报考志愿的时候，我也想了很久，学了这么长时间清华的专业课，而且自己和其他同学相比又不差什么，虽然本科院校一般，但我还是希望闯一闯、试一试，于是我填报了清华经管。 二、初试 1、数学：本科阶段学习过微积分、线性代数和概率论，但是学习的内容比较浅显，所以对于考研的帮助比较小。真正着手复习是在过年回校以后，那个时候只是单纯的把微积分课本过了一遍，其实数三的学习不建议看课本，更多的应该的看视频-做题-复习这样一个过程。基础阶段：从3月初开始，我选择看的书目是高数：张宇18讲、凯程基础班教材；线性代数：凯程基础班教材；概率论：方浩的概率论与数理统计必修8课。同时，搭配看的视频有凯程网课视频（李东红老师主讲，题型覆盖比较全面，添加了一些技巧性元素）。基本的模式是：看凯程视频——做对应习题——复习该章。平均一章1—3周，根据章节大小确定。在学习的过程中，你会发现一个问题，制定的计划永远都完不成，这是很正常的。因为每个人理解能力不一样，况且我们可能还会被一些其他的事情所干扰。但是不要灰心，一定要按部就班地去学习，基础扎实了，后面会很轻松，真的是这样！在7月中旬暑期集训前，高数、概率论基本完成，但线性代数的题目却没有做完。但那个时候，我能够相信，我的高数和概率论的基础已经很好了。 强化阶段：主要是指暑期集训的50天，由于是全封闭学习，而且我们班都是和我考一个学校、一个专业的同学，所以干劲很足、效率也比较高，这一点凯程的设计非常好。天天都能看到自己的竞争对手，哪敢有一刻松懈。暑期集训让我的数三提升了一大步。高数是方浩老师讲的，他风趣幽默，注重技巧性，善于把 同一类型的题目一起讲解，虽然讲义很薄，但是收获真的很大。尤其是幂级数那一章，他的方法非常好，很多题目都不用太计算就可以得出结果。线性代数是戴老师讲解，他注重基础，而且题目很有针对性，把各个章节都串起来，很有逻辑。概率论是李老师讲解，他也非常注重基础，当你知道怎么来的，自然也就知道怎么做了。在凯程这50天里，有4—6次的模拟
第一讲 极限与连续 主要内容概括（略） 重点题型讲解 一、极限问题 类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限： （1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ； （2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π； （3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限： （1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限： （1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ； （2）n n n n !lim ∞ →； （3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。 类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限： （1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ； （2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限： （1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+； （3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++； （4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →； 类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限： （1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→； （2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→； （3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ； （4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；
标题：考研人的故事|一战六个月考取清华金融专硕，时间规划与备考经验分享作者：凯程集训营Z同学 个人信息：本科财经大学金融学专业，一战考取清华金融专硕，备考时报名凯程半年特录班（包含从暑期到复试全程线下教学和网课回看）。 报考原因：首先，自己非常喜欢清华大学，而考研到清华大学是相对高考来说稍微简单的选择。其次，清华大学无论数学三还是金融学综合，都以计算为主，需要背诵的内容较少，我认为较为适合我。最后，自己本科学习金融学专业，对金融学并不反感，并且清华专业课在本科期间全部学过，因此选择了考研金融专硕。 初试准备：我从寒假决定考研，上半年主要工作为进行考研择校，考研资料收集，考研时间规划等等，真正学习的内容很少。七月到凯程考研正式开始准备，相对很多人来说备考时间较短。每天早上七点前起床，中午午休一个小时，晚上十二点睡觉，到考前一直坚持下来，比较规律。暑假集训期间每周休息半天，用来睡觉、逛街、看电影等等。暑期集训结束之后在学校休息了四五天，几乎是完全放松的状态。百日集训期间每两周休息一天或半天，基本上是一直高度集中精力学习的。 下面我将具体讲一下我的考研科目备考方法。 政治： 推荐资料：凯程考研政治讲义《肖秀荣精讲精练》《肖秀荣1000题》《肖秀荣知识点提要》《肖秀荣四套卷》《肖秀荣八套卷》《肖秀荣形势与政策热点》《高教社大纲解析》 备考过程：我是理科生八月开始学习政治，个人感觉八月开始是比较合理的，太早复习政治记不下来，太晚复习后期会很慌。每天学习两个小时左右，一般安排在早上，晚上睡前会顺便看一些知识点。课程只听了凯程考研的张鑫老师和卢营老师的暑期课，打下了不错的基础。因为马原很难理解，张鑫老师讲的很专业，
第一部分函数极限连续
历年试题分类统计及考点分布 本部分常见的题型 1.求分段函数的复合函数。 2.求数列极限和函数极限。 3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。 4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数 例1 (1988, 5分) 设2 (),[()]1x f x e f x x ?==-且()0x ?≥,求()x ?及其定义 域。 解: 由2 ()x f x e =知2 () [()]1x f x e x ? ?==-,又()0x ?≥, 则()0 x x ?= ≤. 例2 (1990, 3分) 设函数 1,1 ()0,1 x f x x ?≤?=?>??,则[()]f f x =1. 练习题: (1)设 1,1, ()0,1,(),1,1, x x f x x g x e x ??求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这 两个函数的图形。 (2) 设 20,0,0,0, ()(), ,0,,0, x x f x g x x x x x ≤≤??==??>->??求 [()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x . 二、 求数列的极限 方法一 利用收敛数列的常用性质 一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。 性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。 性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。 性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞ =,且0a >(或0a <),那么存在 0n N + ∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <). 性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,, lim lim n n n n x a y b →∞ →∞ ==那么 (1)()lim n n n x y a b →∞ ±=±; (2)lim n n n x y a b →∞ ?=?; (3)当0()n y n N + ≠∈且0 b ≠时,lim n n n x a y b →∞ = .
从五道口转战浙大金专，告诉你400+的秘诀 大家好，我是2020级考研的学生，报考的是浙江大学金融专硕，已拟录取。我本身是来自于一所双非学校，本次考试的成绩总分是400＋，专业课115＋，数学三130＋，英语一75＋，政治75＋。非常庆幸可以上岸！接下来我想说一下我自己在这半年的一些经验和感悟。 择校 我一开始想考的是清华五道口，也报了凯程的半年集训班。后来在学习过程中，觉得自己跨专业还是比较吃力的，于是在和班主任的沟通之下，于9月换了学校，选择浙大。选择浙大主要原因有：第一，浙大的综合排名在全国很高，我有一定的名校情结。第二，浙大金融的难度是要略次于清北复交，并且复试非常的公平，对双非考生一视同仁。据我所知，本届考研中不乏有双非的学生和三本学院的学生考上浙大。也曾经有段子说，浙大本科在复试过程中被刷掉。所以综合考虑多个因素原因，我觉得浙大金融是性价比很高的。现在想想，当时的选择还是很机智的。浙大金融在今年多招收了一个国际学院，扩招名额为40人，预计2021年应该会继续招生。在如今金融招生越来越紧缩的情况下，这是个重大利好信息。在此，我非常感谢凯程的班主任老师，在择校上给我提出了很好的建议。 分科目经验分享 431金融学综合 首先是专业课，专业课我看了凯程的基础强化课程。不得不说，集训营讲专业课的老师真的很厉害，他讲的宏观课程，我在基础阶段，强化阶段甚至最后复试前都观看了一遍。每次看都有新收获，在这里，我得向所有的金融考生强烈推荐。然后值得注意的是在2020年，专业课新增了一本投资学。因为2020年是第一次考投资学，所以内容和难度都不是很大。 但我觉得之后的考生就要非常注意投资学的学习。然后，黄达的金融学的话，如果没有时间就直接看精简版，有时间的话那肯定看那本厚的，可以对知识点有一个更好的掌握程度。公司理财的话就只需要看前19章。并且，专业课一定要注意历年真题，我当时把历年真题全部看了一下，找到一些重点和出题的规律，比如说货银的央行商行，货币政策，货币传导机制，货币供给和需求。公司理财的OCF,CAPM,APT和MM定理，资本结构和股利分配这几个部分。也就是说专业课一定要合理利用自己身边的所有资源。第一个凯程的老师、课程讲义以及学长学姐，第二个的话就是参考书，第三个就是历年的真题。值得注意的是，如果是一些跨专业的考生，一定要提前做好准备。这样的话，后期的压力就会小一点，我当时到后期就练手忙脚乱，甚至有点想弃考了。现在才5月份，大家开始准备其实都很都还来得及，同时也不能放弃，保持一个努力向上的积极态度。 然后专业课学习顺序是： 一轮课本：课本的学习最好以凯程基础课程搭配《公司理财》，黄达《金融学》配米什金《货币金融学》，博迪《投资学》，时间充裕再加《国际金融学》课本。第一遍看书应当以理解书中内容为主，此轮复习最好结合之前学长的笔记进行以找到复习的重点。本轮复习
高等数学在概率论中的作用 [摘要]以下是凯程考研辅导名师特为大家整理总结的高等数学在概率论中的作用，供大家参考！祝愿各位考生都能在强化复习阶段顺利，考研成功！ 高等数学是数学的基础，而概率论是数学中很重要的一部分，往往使用高等数学中的微积分的基本方法去解决一些概率问题，甚至可以说这种方法基本上是贯穿始终的。高等数学在概率论发展过程中对概率论的渗透与推动，反映了概率论与高等数学的关系。高等数学和概率论这两门课是理科专业的两门非常重要的基础课，同时也是本科生考研的两门必备课，特别是概率统计，它具有实践性强、设计内容广、学习难度大等特点，如何教好、学好的一个重要途径就是发挥好高等数学在概率论中的理论和工具作用。高等数学中的极限、导数、积分和级数在概率论中均有应用。高等数学在概率论中具有很重要的理论应用：1.随机事件的研究方法是将集合赋予了概率论的含义，事件之间的运算其实是集合之间的运算，运用最广泛也是最重要的一种运算律——德摩根公式;2.连续型随机变量的概率密度与分布函数间的关系以及部分相关性质将变上限积分的求导问题、偏导数的概念、极限等知识发挥的特别充分;3.随机变量的数字特征中，期望的定义是由级数的绝对收敛性和反常积分的绝对收敛得来的，并且不管是一维的还是二维的随机变量，它们的方差、协方差、相关系数等，最终都是要转化为期望来计算的;4.大数定律与中心极限定理中定理本身和定理的证明都将极限的作用发挥的淋漓尽致。高等数学的知识在概率论中也具有非常重要的实际应用。 考研数学中，概率论与数理统计部分在数学一、三中均占22%的比重，共考34分，考试题目具体为选择题(7)、(8)题，填空题(14)题以及简答题的(22)、(23)题，简答题目的知识点主要有：二维连续型随机变量的分布函数和概率、参数估计部分的矩估计和极大似然估计，下面我们看下概率论部分的几道真题。 2013年数学一中一道分值为11分的简答题真题： 概率论与数理统计在每年的真题中仅考两道简答题，通过以上两道真题的解答过程，我们可以很清晰直观的看到解答过程完全依赖于高等数学中积分、求导的知识，即便是我们知道这类题目的正确解题思路，但是不能够正确的计算函数的积分、求导，那么对于这类题目，我们也是毫无把握的，概率论与数理统计每年考34分，两道简答题的分值已达到了22分，因此想要在概率部分得高分，首要任务就是要掌握好高数中积分、求导部分计算工具的正确使用，由此我们也可以无需言传的看到高等数学在概率论与数理统计中的重要性，高等数学中的几个重要知识点在研究概率论时起着重要的作用，使概率论可以用系统的数学分析来解决随机变量的问题。概率论就是用高等数学的知识作为基础和工具来解决问题的一门学科，特别是定积分、反常积分、二重积分等知识的熟练应用，能大大提高我们学习概率论的效率。
课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容 此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资 汤家凤——主讲高等数学、线性代数。 著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版） 文都网校 2011年5月27日
公开课二：定积分理论 一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。 （1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ， 其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。 （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ； （3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。 二、定积分理论 （一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数， （1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ， 其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-； （2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ； （3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ， 若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。
人大金融硕士考研专业 课经验 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-MG129]
【经典资料，ＷＯＲＤ文档，可编辑修改】【经典考试资料，答案附后，看后必过，ＷＯＲＤ文档，可修改】 2015年人大金融硕士考研专业课经验 一、396经济类联考综合的难度两年来似乎都不大，但为了安全起见，还是要在复习的时候适当深入一些： 1.数学——《同济高数》《李永乐线性代数讲义》《经济应用数学基础三概率论与数理统计袁荫棠》 教材不重要，主要是知识点，因为几乎所有的数学类教材都会覆盖这些知识点的。对照大纲把知识点圈出来就可以看了，为了防止难度加深，适当的扩展几个知识点并稍微加大一点难度。数学主要就是多做题，由于考试时数学的内容相对来说确实简单，所以没必要太深究，基本教科书的课后题水平就足够了，然后整理一下需要的公式，最后不要忘了把数学三中的经济数学问题看一看。总体来说，数学考察的是应用，即作为一种基本工具的使用，所以很多定理的证明与推导可以少看。 “考金融，选凯程”！凯程人大金融硕士考研保录班战绩辉煌,在2014年考研中,10人被人大金融硕士录取,6人为人大金融硕士北京录取,4人被人大金融硕士苏州校区录取, 经过凯程保录班初试和复试的全程培训,顺利考入人大. 2016年人大金融硕士保录班开始报名了,同学可以咨询凯程老师. 2.逻辑与写作——向MBA的难度看齐 这两科的复习最好能够和MBA难度差不多，因为MBA联考的难度肯定大于396的难度，同时MBA联考的参考书籍也有很多。逻辑的话，我听得是陈慕泽的公开课，在网上免费下载的，好像是叫鲤鱼网之类的，听完后就把历年MBA
考研人的故事 一战六个月考取清华金融，时间规划与备考经验分享 1、个人信息 本科财经大学金融学专业，一战考取清华金融专硕，备考时报名凯程半年特录班（包含从暑期到复试全程线下教学和网课回看）。 2、报考原因 首先，自己非常喜欢清华大学，而考研到清华大学是相对高考来说稍微简单的选择。其次，清华大学无论数学三还是金融学综合，都以计算为主，需要背诵的内容较少，我认为较为适合我。最后，自己本科学习金融学专业，对金融学并不反感，并且清华专业课在本科期间全部学过，因此选择了考研金融专硕。 3、初试准备 我从寒假决定考研，上半年主要工作为进行考研择校，考研资料收集，考研时间规划等等，真正学习的内容很少。七月到凯程考研正式开始准备，相对很多人来说备考时间较短。每天早上七点前起床，中午午休一个小时，晚上十二点睡觉，到考前一直坚持下来，比较规律。暑假集训期间每周休息半天，用来睡觉、逛街、看电影等等。暑期集训结束之后在学校休息了四五天，几乎是完全放松的状态。百日集训期间每两周休息一天或半天，基本上是一直高度集中精力学习的。 下面我将具体讲一下我的考研科目备考方法。
（1）政治 推荐资料：凯程考研政治讲义《肖秀荣精讲精练》《肖秀荣1000题》《肖秀荣知识点提要》《肖秀荣四套卷》《肖秀荣八套卷》《肖秀荣形势与政策热点》《高教社大纲解析》 备考过程：我是理科生八月开始学习政治，个人感觉八月开始是比较合理的，太早复习政治记不下来，太晚复习后期会很慌。每天学习两个小时左右，一般安排在早上，晚上睡前会顺便看一些知识点。课程只听了凯程考研的张鑫老师和卢营老师的暑期课，打下了不错的基础。因为马原很难理解，张鑫老师讲的很专业，对我帮助非常大。练习题只做了肖秀荣老师的所有题。 我的政治学习主要有三轮： 第一轮：看视频课。我比较习惯1.5倍速看政治视频课，看完一章做1000题中对应的部分，仔细理解答案的意思。同时可以参考肖秀荣精讲精练，以查漏补缺。形式与政策的小册子出来之后，每天也会看一部分。 第二轮：回顾1000题的错题与形式政策热点问题，同时背诵知识点提要，把重点的部分勾画出来。看历年真题，把握主观题答题思路与常考知识点。凯程考研也会发一些知识点背诵，可以结合着一起看。 第三轮：做肖四肖八，多次滚动背诵知识点提要，背诵肖四大题。 经验：政治学习首先对知识点一定要很清晰，在这个基础上去查漏补缺，做选择题才能心中有数。政治是一个越学越薄的课程，一开始可能看到精讲精练（或其他讲义）非常厚一本很害怕，但是背到最后真的没多少。建议大家一定要提前把肖四背熟，到进考场前保证每道题都心中有数。在考场上，主观题要字迹工整，因为
第一讲极限、无穷小与连续性一、知识网络图 二、重点考核点 这部分的重点是： ①掌握求极限的各种方法． 1 ()) n n x f x + =
②掌握无穷小阶的比较及确定无穷小阶的方法． ③判断函数是否连续及确定间断点的类型（本质上是求极限）． ④复合函数、分段函数及函数记号的运算． §1 极限的重要性质 1．不等式性质 设B y A x n n n n ==∞ →∞ →lim lim ，，且A ＞B ，则存在自然数N ，使得当n ＞N 时有x n ＞y n ． 设B y A x n n n n ==∞ →∞ →lim lim ，，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥y n ，则A ≥B ． 作为上述性质的推论，有如下的保号性质：设A x n n =∞ →lim ，且A ＞0，则存在自然数N ，使 得当n ＞N 时有x n ＞0．设A x n n =∞ →lim ，且存在自然数N ，当n ＞N 时有x n ≥0，则A ≥0． 对各种函数极限有类似的性质．例如：设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0 ，，且A ＞B ，则存在δ＞ 0，使得当0 0 < x x -＜δ有f （x ）＞g （x ）．设 B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0 ，，且存在δ＞0，使得 当0＜｜x －x 0｜＜δ时f （x ）≥g （x ），则A ≥B ． 2．有界或局部有界性性质 设A x n n =∞ →lim ，则数列｛x n ｝有界，即存在M ＞0，使得｜x n ｜≤M （n = 1，2，3，…）． 设，A x f x x =→)(lim 0 则函数f （x ）在x = x 0的某空心邻域中有界，即存在δ＞0和M ＞0，使得 当0＜｜x －x 0｜＜δ时有｜f （x ）｜≤M ．对其他类型的函数极限也有类似的结论． §2 求极限的方法 更多考研公共课资料，关注微信公众号：kaoyanyun 1．极限的四则运算法则及其推广 设B x g A x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0 ，，则 ；B A x g x f x x ±=±→)]()([lim 0 ；AB x g x f x x =→)()(lim 0 ． )0()()(lim 0 ≠=→B B A x g x f x x 只要设)(g lim )(lim 0 x x f x x x x →→， 存在或是无穷大量，上面的四则运算法则可以推广到除“0 ”，“ ∞ ∞ ”，“0·∞”，“∞－∞”四种未定式以外的各种情形．即： 1°设B x x f x x x x =∞=→→)(g lim )(lim 00， ，则∞=±→)]()([lim 0x g x f x x .∞=→) ()(lim 0x g x f x x （()0g x ≠）又B ≠0，则∞=→)]()([lim 0x g x f x x ．2°设
考研数学：概率论与数理统计考试大纲地深度解析 年月日由教育部考试中心地发布地年硕士研究生入学统一考试大纲已经与大家见面，考生最关心地考试大纲当中地概率论与数理统计部分考试内容与考试要求没有任何变化.基本包含随机事件与概率、一维随机变量及其分布、二维随机变量及其分布、随机变量地数字特征、大数定律与中心极限定理、数理统计地基本概念、参数估计和假设检验等七章内容.概率与数理统计这门课程从试卷本身地难度地话，在三门课程中应该算最低地，但是从每年得分地角度来说，这门课程是三门课中得分率最低地.这主要是由三方面造成地：一方面是时间不充裕，概率解答题位于试卷地最后，学生即使会，也来不及解答；另一方面是概率本身学科地特点，导致很多学生觉得概率非常难，第三方面是学生对概率统计这门学科不够重视，给予地复习时间少. 一概率与数理统计学科地特点： 、研究对象是随机现象.高数是研究确定地现象，而概率研究地是不确定地，是随机现象.对于不确定地，大家感觉比较头疼.个人收集整理勿做商业用途 、题型比较固定，解法比较单一，数学三计算技巧要求低一些，数学一稍微高一点点.比如概率地解答题基本上就围绕在随机变量函数地分布，二维随机变量，随机变量地数字特征，特别是统计量地数字特征包括几个重要地感念，例如无偏性，有效性，相合性等，参数地矩估计和最大似然估计这几块.个人收集整理勿做商业用途 、高数和概率相结合. 求随机变量地分布和数字特征运用到高数地理论与方法，这也是考研所要求考生所具备地解决问题地综合能力.很多考生因为积分计算不过关，导致概率失分.所以考生应该加强自己地积分计算能力.在复习概率与数理统计地过程中，把握住这门课程地特点，并且能够结合历年考试试题规律，概率一定能取得好成绩.下面，我通过各章节来给大家具体分析.个人收集整理勿做商业用途 二概率与数理统计学科地命题特点： 、随机事件和概率 “随机事件”与“概率”是概率论中两个最基本地概念.“独立性”与“条件概率”是概率论中特有地概念.条件概率在不具有独立性地场合扮演了一个重要角色，它是一种概率.正确地理解并会应用这个概念是学好概率论地基础.对于公式，家要熟练掌握并能准确运算.而大家比较头疼地古典概型与几何概型地计算问题，考纲只要求掌握一些简单地概率计算，特别是抽样问题.事件、概率与独立性是本章给出地概率论中最基本、最重要地三个概念.事件关系及其运算是本章地重点和难点，概率计算是本章地重点.注意事件与概率之间地关系.本章主要考查随机事件地关系和运算，概率地性质、条件概率和五大公式，注意事件地独立性.近几年单独考查本章地试题相对较少，但是大多数考题中将本章地内容作为基本知识点来考查.相当一部分考生对本章中地古典概型感到困难.大纲只要求对古典概率和几何概率会计算一般难度地题型就可以.考生不必可以去做这方面地难题，因为古典型概率和几何型概率毕竟不是重点.应该将本章重点中地有关基本概念、基本理论和基本方法彻底理解和熟练掌握.个人收集整理勿做商业用途 、随机变量及其分布. 将随机事件给以数量标识，即用随机变量描述随机现象是近代概率论中最重要地方法.本章地重点是随机变量分布函数地概念和性质、分布律和概率密度，随机变量地函数地分布，一些常见地分布.近几年单独考核本章内容不太多，主要考一些常见分布及其应用、随机变量函数地分布.随机变量函数地分布是重点，这种题型是比较固定地，方法也是固定地，没有难点.例如，求离散型随机变量函数地分布律分为三步曲：定取值，求概率，验证.个人收集整理勿做商业用途 、多维随机变量地分布
清华五道口金融学院考研经验 ——双非跨考清华金融，努力你也行 自我情况：本科双非，物流专业，辅修金融，跨考清华大学经济管理学院金融专业，初试报名凯程飞翔集训班（全程网课+暑期集训），复试报名凯程特录班（10天集训，包括面试礼仪课、复试笔试指导课、简历修改、口语一对一以及6次模拟面试） 一、院校和专业选择 1、专业选择 本科物流专业，辅修金融，相当于这是职业规划最基本的两个方向。我觉得物流专业和自己未来真正希望的就业方向和领域契合点比较少，而我本身对于金融也更感兴趣一些。所以我觉得未来可以在金融领域有所建树。 2、院校选择 最开始有很多院校可以选择，比如清华大学、中央财经大学、中央民族大学……它们的专业课大纲基本一致。当时老师和我说，先按照清华这样的最高标准去学，到时候看自己的能力，觉得自己能行，就报清华；觉得自己有所欠缺，就报稍低一点。当然，我也好好去学习了，在报考志愿的时候，我也想了很久，学了这么长时间清华的专业课，而且自己和其他同学相比又不差什么，虽然本科院校一般，但我还是希望闯一闯、试一试，于是我填报了清华经管。 二、初试 1、数学 本科阶段学习过微积分、线性代数和概率论，但是学习的内容比较浅显，所以对于考研的帮助比较小。真正着手复习是在过年回校以后，那个时候只是单纯的把微积分课本过了一遍，其实数三的学习不建议看课本，更多的应该的看视频-做题-复习这样一个过程。 基础阶段：从3月初开始，我选择看的书目是高数：张宇18讲、凯程基础班教材；线性代数：凯程基础班教材；概率论：方浩的概率论与数理统计必修8课。同时，搭配看的视频有凯程网课视频（李东红老师主讲，题型覆盖比较全面，添加了一些技巧性元素）。基本的模式是：看凯程视频——做对应习题——复习该章。平均一章1—3周，根据章节大小确定。在学习的过程中，你会发现一个问题，制定的计划永远都完不成，这是很正常的。因为每个人理解能力不一样，况且我们可能还会被一些其他的事情所干扰。但是不要灰心，一定要按
一战上岸央财金专，我为梦想努力的日子 考研结束了，很幸运我能够被中央财经大学金融学院录取。下面我谈一下我的考研经验吧，希望对大家有所帮助。我也想提前说一下，我的经验不适用于所有人，大家要根据自己的情况采纳我的建议。 个人情况 本人毕业于湖南某985大学财经类专业。考研初试分数：政治70+、英语一80+、数学三130+、专业课100+。初试分数、复试分数以及总分都在前几名。 选择中央财经大学的原因 第一，报考这里因为我对于北京和中央财经大学十分向往。 第二，选择这里也是基于我对于个人能力的一个预估。之前在学校学的课程中，一些数学课程学的也还可以。因为中央财经大学考英语一，相对来说我会稍有优势。 第三，我也是一定程度参考了本科其他同学的去向。本科的往届学长学姐，甚至有放弃保研，去考取中央财经大学并成功考上。在同一届的同学中，能考上中央财经大学，也是非常不错的去向。 对于辅导班的看法 各科或多或少都会听一些课，网课或者面授课。对于自制能力不是很强的、找不到很好的学习环境的同学，我觉得可以考虑那种住宿式的辅导班。自制能力比较强、有良好学习环境的同学可以考虑网课。个人不建议报非住宿的面授课，因为通勤很耽误时间。 我个人报了凯程辅导班。据我了解，在金融考研方面，凯程十分有经验，成绩斐然。当初选择凯程，一是因为考研信息和资料实在太多，报名之后可以减少自己收集资料的时间成本，同时减少信息不对等可能带来的损失。二是凯程针对某学校某专业的课程，有具体的讲解和答疑，非常给力，公共课的讲解也比较到位。三是可以选择听网课和面授课，平时有自己的自习室，提供给我一个非常好的学习环境。有时候，不是每节课都要面授跟进，当自己进度更快或者更慢时，可以在自习室听网课，适应自己的学习进度。同时，上课也不是越多越好，更重要的还是自己的思考与练习。此时，自习室的重要性就凸显出来了。 个人建议，对于比较追求稳妥的同学，可以选择报一个辅导班。同时我也想说，辅导班也只是一个辅助性的工具，分数高低还是得靠自己。不要指望这报个班就能比别人有多大的优势，不要认为报个“不过退钱”的班就能绝对考上。 参考书选择 数学：凯程方浩强化课、复习全书（高数部分）、李永乐《线代讲义》、王式安《概率讲义》、660题、880题、1800题、6套卷、4套卷、真题大全解；
接下来我们就开始学习高等数学了，也许在学习的过程中我们会感到枯燥无味，但是我相信只要我们努力，我们一定能达到成功的彼岸。 常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化，我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则 把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名 区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称 闭区间a≤x≤b[a，b] 开区间a＜x＜b （a，b） 半开区间a＜x≤b或a≤x＜b （a，b]或[a，b） 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a， +∞)：表示不小于 a 的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (- ∞，b)：表示小于 b 的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数 x 的全体称为点α 的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量 x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量y 按照一定的法则总有确定的数 值与它对应，则称 y 是x 的函数。变量 x 的变化范围叫做这个函数的定义域。通常 x 叫做自变量，y 叫做因变量。 注：为了表明 y 是x 的函数，我们用记号 y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F" 表示 y 与 x 之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这 种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的表示
2017考研数学：真题中概率论考点解析 一、关于考研数学一中的高等数学： 同济六版高等数学中除了第七章微分方程考带*号的欧拉方程，伯努利方程外，其余带*号的都不考;所有“近似”的问题都不考;第四章不定积分不考积分表的使用;第九章第五节不考方程组的情形;第十二章第五节不考欧拉公式; 2017考研数学一基础复习指导" /> 二、关于线性代数： 数学一用的教材是同济五版线性代数1-5章：行列式、矩阵及其运算、矩阵的初等变换及其方程组、向量组的线性相关性、相似矩阵及二次型。其中向量组的线性相关性中数一考向量空间，线性方程组跟空间解析几何结合数一也要考; 三、概率与数理统计的内容包括： 1、概率论的基本概念 2、随机变量及其分布 3、多维随机变量及其分布 4、随机变量的数字特征 5、大数定律及中心极限定理 6、样本及抽样分布 7、参数估计 8、假设检验基础薄弱的同学，春季，也就是现在就可以投入复习了。建议大家报数学春季基础班，可以初步建立自己的复习思路，为自己的复习起一个好头。一般来说复习分为四个阶段：第一个是基础复习阶段，这一阶段的任务是主攻教材和课本，达到基础知识的了解和掌握;第二个阶段是强化训练阶段，顾名思义这一阶段的主要任务是全书阶段，全面地掌握各类知识点，并且详细地做笔记，对常考的题型做大量的练习;第三个阶段是巩固提高阶段，这一阶段是通过真题和模拟题的训练和分析来完成将数学的整体框架结构搭建起来;最后一个阶段是冲刺阶段，这一阶段的时间一般较短，主要是做一些题目来达到稳固水平的目的，并且再次地强化之前所记忆的知识点。 如何选择复习资料呢? 数学资料有两类，一类是复习教科书，一类是考研辅导专家针对考研而编写的资料。教科书应是深广度适当，叙述详略得当，通俗易懂，便于自学，如同济六版的《高等数学》，浙大版的《概率论与数理统计》，同济版的《线性代数》;辅导书的选择应该严格按照考试大纲进行，选择的资料要紧扣考纲，不要购买含大量超纲内容的考研辅导资料。考生应根据需要选择适合自己的资料。老师提醒考生，资料不在多，关键在看透、掌握。找准复习重心，有了明确的学习重心，有了完整的复习主干，有了良好的复习方法，接下来就是要考察考生自己的学习能力了。这里值得一提的是，不要在复习开始的阶段就拿大量的试题来做，做题虽然是数学学习的重点，但是如果连基本的数学知识，包括基本的概念公式定理等都没有掌握好的话，做题肯定是达不到效果的，而且只能是倍受打击。老师提醒考生，在数学复习的这个阶段，也就是强化期，大家万万不可只用眼看，一定要亲手进行推导。当时认识自己看的很明白了，但是过不了多长时间，你就会忘得一干二净。参考书就是你这个阶段复习的重要武器，按着顺序慢慢来，一点一点来，一章一章的复习，先掌握知识，再在试题中检验自己。 基础是提高的前提，打好基础的目的就是为了提高。考生要明白基础与提高的辩证关系，根据自身情况合理安排复习进度，处理好打基础和提高能力两者的关系。一般来说，基础与提高是交插和分段进行的，现阶段应该以基础为主，基础扎实了，再行提高。考生在这个过
经验贴 1.择校择专业经过 本科某985理工科，金融是热门跨考专业，并且喜欢理工科背景的学生，所以选择了跨考金融。在择校方面，只考虑了清华和北大，并且纠结了很久很久。从初试来看，清华选择题较多，考的东西太细，还有一道热点论述题要准备，并且信息不透明导致信息不对称。并且五道口的大题算错就得不到分，很大程度的拉开了分差（一题15分），粗心的同学慎选；相比清华经管改卷松很多，分数线基本一样，但是在深圳，并不想去深圳。而北大经院和光华都是全部计算题，适合数理能力较强的同学，光华考英语一。从复试来看，五道口有无领导小组面试以及随机问问题的面试，而北大经院是抽专业题目。 最后选择了北大经院因为本人从小偏科，数学较好，文科奇差，而且面试能力极差，大学也没有参加过什么比赛科研，简历一般。相比抽题目面试较好准备。四六级均400多飘过，对光华的英语一没有信心，容易被拉分，而英语二基本上都是80多，分差不大。综合考虑，选择了北大经院。建议同学根据自己的能力来选择学校，如果面试能力强、能说会道、大学经历丰富的同学，可以选择五道口，因为五道口复试比重很大，初试只要过线基本上一视同仁了。而且考北大经院的人数学普遍很好，根据18年的情况来看，如果20考研数学很难的话，我认为北大经院的数学均分是肯定会比五道口高的，远高于北大汇丰。 2.初试复习经过 本人报的凯程半年班，全程跟着凯程复习的。 政治： 政治从9月开始复习，马原看的张鑫老师，其他几门跟的徐涛老师，做了两遍1000题，也做了张鑫老师的900题，最后冲刺卷基本上能买的都买来做了，但是，只有肖四肖八比较好，其他的卷子选择题出的也太差了。其他冲刺卷中稍微好一点的就是腿姐的、徐涛的、张鑫的。政治的时政热点一定要好好看！！！不止只有四个选择一个大题，很多毛中特的选择都是和时政结合的。 最后大题背的肖四，背的滚瓜烂熟上考场不至于会想不起来，本人自我发挥能力较差，所以建议文科不好的同学背熟一些，到考场上才能多写一点，不会大脑一片空白无从下手。记忆力好的同学可以选择多背一些其他老师的，据说今年腿姐大题好像压中了肖老没押到的。还有徐涛的小黄书，内容特别多，可以挑着看看。如果记忆力不太好的，建议就把肖四背的滚瓜烂熟就好了，其他的背了没背特别熟考场上也是一个字都想不起来的。肖四大题可以拿一个平均分了，主要开始选择题多得分。很多人不看重政治，其实政治也是很拉分的。如果政治考到70+可以拉大部分人许多分了。本人政治花的时间较多，但最后也只有60多分。 英语： 英语最重要的就是背单词了，个人认为英语一真题和模拟题的用处不大，英语一出题思路不一样，比英语二难很多，模拟题出的都不太好。最重要的就是背单词，本人四六级400多均飘过，背了三遍考研单词，分别用扇贝、百词斩、知米背单词APP各背了一遍，比较喜欢扇贝和知米，百词斩很多都是图片，也可以加深你的记忆，三个软件可以互补。然后把英语二真题做一遍，我觉得就够了，我在凯程听了孙浩老师讲的阅读，英语二考的主要就是同义替换，所有题目的答案都能在文章中找到原话，差别就是单词换一下，意思