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高等数学强化课笔记-武忠祥老师的强化班课程

21高等数学强化课●武忠祥老师的强化班课程笔记●武忠祥老师的强化班课程

●函数极限连续

●函数

●基本要素：定义域，对应规则

●函数形态

●单调性判定

●定义

●导数，

●单调性应用

●根的个数

●证明不等式

●奇偶性判定

●定义

●可导

●原函数奇函数>导函数偶函数

●原函数偶函数>导函数奇函数

●连续

●周期性判定

●定义

●可导的周期函数其导函数是周期函数

●周期函数的原函数不一定为周期函数

●f(x)连续且以T为周期

●周期函数的原函数是周期函数的充要条件是在一个周期上的积分为0

●有界性判定

●定义

●闭区间连续

●开区间连续，左端点右极限和右端点左极限存在

●导数

●极限

●概念

●数列极限

●极限值等于多少与数列前有限项无关

●与项数无关

●函数极限

●趋于无穷

●趋于有限值

●极限存在与该点无关，只与该点的去心领域有关

●分左右极限求

●分段函数在分段处极限，两侧极限不一样

●特殊函数

●2

●性质

●局部有界性

●保号性注意等号

●与无穷小之间的关系

●极限存在准则

●夹逼

●单调有界

●单调有界函数一定有极限，单增上有界、单减下有界●无穷小

●比较

●性质

●无穷大

●常用无穷大比较指幂对（大到小）

●无穷大与无界变量

●与无穷小互为倒数

●求极限方法

●有理运算法则

●基本极限

●等价无穷小

●常用

●积分情况

●代换原则

●乘除直接换

●加减有条件减不为正 1 ，加不为－1

●洛必达

●泰勒公式

●常用

●夹逼

●积分定义：先提取可爱因子再确定被积函数和积分区间

●单调有界

●函数极限题型

●0/0 0比0型

●拉格朗日中值定理

●加减 x 来凑常用等价无穷小

●无穷 / 无穷

●洛必达

●分子分母同时除以分子分母各项中最高阶的无穷大

●无穷—无穷

●0 · 无穷

●1 的无穷次方

●无穷的0次方，0的无穷次方

●数列极限

●不定式

●和求函数极限式一样，但是不可以直接使用洛必达法则，在可以使用洛必达的地方，将数

列极限写成函数极限，再使用洛必达极限

●n 项和的数列极限

●夹逼定理

●定积分定义

●级数求和

●常用结论

●n 项连乘的数列极限

●夹逼

●取对数化为n项和

●递推关系

●数列存在单调性

●收敛（单调有界准则） > 令极限取A > 带回递推关系取极限得到A

●数列不具有单调性或者单调性很难判定

●先令极限为A，带回递推关系得到A的值，最后再证明极限为A

●单调性判定（直接，比值，函数）

●无穷小量阶的比较

●洛必达

●等价无穷小

●泰勒公式

●常用结论及举例

●连续

●间断点

●连续函数的性质

●连续题型

●讨论连续性及间断点类型

●函数连续不代表可以取到整个实域的所有值

●如果题目中间是抽象函数，只给了条件，没给具体函数，可以将函数令为简单的函数来排

除选项，如函数等于1，|x|等

●间断点多为使得分母为0的点，分段函数的分界点，多注意无穷（正负），0点

●介值定理，最值定理，零点定理证明

●一元函数微分

●导数微分

●导数定义

●等价形式

●注意分段函数

●微分定义

●连续、可导、可微之间的关系

●求导公式

●求导法则

●有理运算法则

●复合函数求导

●隐函数求导

●反函数求导

●参数方程求导

●高阶导数

●对数求导法则

●多个因式的乘除、乘幂构成，或者幂指函数的形式，可以先取对数再求导

●

●题型：导数与微分的概念

●利用导数定义求极限

●利用导数定义求导数

●分段函数在分界点处的导数一般都要用定义求

●利用导数定义判定可导性

●导数几何意义

●导数与微分计算

●复合函数求导

●导数与奇偶性

●复合函数在一点的导数值

●乘积的极限不一定等于极限的乘积，当两个极限都存在的时候才可以

●高阶导数

●公式

●一阶二阶之后归纳

●泰勒公式和泰勒级数

●导数应用

●微分中值定理

●罗尔定理

●拉格朗日定理 ---建立函数在区间上的变化与该区间内一点导数的关系

●柯西定理

●泰勒定理（拉格朗日余项）

●极值最值

●极值的必要条件

●极值的充分条件

●第一充分条件

●第二充分条件

●第三充分条件

●凹向拐点

●判定

●必要条件

●充分条件

●渐近线

●水平渐近线

●垂直渐近线

●斜渐近线

●方程的根的存在性及个数

●方法

●注意把函数化到一边来求零点

●将含有参数的式子参数分离出来

●罗尔定理

●证明函数不等式

●方式方法

●单调性

●最大最小值

●拉格朗日定理

●泰勒公式

●凹凸性

●注意以及常用基本不等式

●不等式

●微分中值定理有关的证明题

●证明存在一个点

●构造辅助函数 P 82

●证明存在两个中值点 p 85

●方法

●证明存在一个中值点 p 87

●带拉格朗日余项的泰勒公式

●一元函数积分

●不定积分

●原函数

●原函数的存在性

●f（x）在区间连续，有原函数

●有第一类间断点，f（x）没有原函数

●基本公式

●公式

●积分法

●第一类换元法

高等数学笔记

第1章函数 §1 函数的概念一、区间、邻域自然数集N整数集Z有理数集Q实数集R 建立数轴后：建立某一实数集A与数轴上某一区间对应区间：设有数a,b,a0)，则称实数集{x|a?δ

a称为N(a,δ)的中心，δ>0称为邻域N(a,δ)的半径。去心邻域：把N(a,δ)的中心点a去掉，称为点a的去心邻域，记为N(a^,δ)={x|0<|x?a|<δ}=N(a,δ)?{a} 注：其中，?{a}表示去掉由a这一个数组成的数集。二、函数概念例1. 设圆的半径为x(x>0)，它的面积A=πx2，当x在(0,+∞)内任取一个数值（记为?x∈(0,+∞)）时，由关系式A=πx2就可以确定A的对应数值。文章来源：https://www.doczj.com/doc/429718392.html,/ 例2. 设有半径为r的圆，作圆的内接正n边形，每一边对应的圆心角α=2πn，周长S n=n?2r sinπn，当边数n在自然数集N(n≥3)任取一个数，通过关系式S n=2nr sinπn就有一个S n对应确定数值。函数定义：设有数集X,Y，f是一个确定的对应法则，对?x∈X，通过对应法则f都有唯一的y∈Y与x对应，记为x→f y，或f(x)=y，则称f为定义在X上的函数。其中X称为f的定义域，常记为D f。 X——自变量，Y——因变量。当X遍取X中的一切数时，那么与之对应的y值构成一个数集V f={y|y=f(x),x∈X}，称V f为函数f的值域。文章来源：https://www.doczj.com/doc/429718392.html,/ 注意：（1）一个函数是由x,y的对应法则f与x的取值范围X所确定的。把“对应法则f”、“定义域”称为函数定义的两个要素。例如，y=arcsin(x2+2)这个式子，由于x2+2>2，而只有当|x2+2|≤1时，arcsin才有意义，因此这个式子不构成函数关系。又例如，y=ln x2与y=2ln x不是同一个函数，因为定义域不同。而y=ln x2与y=2ln|x|是同一个函数，因为定义域相同。（2）函数的值域是定义域和对应法则共同确定的。（3）确定函数定义域时，注意：若函数有实际意义，需依据实际问题是否有意义来确定。若函数不表示某实际问题，则定义域为自变量所能取得的使函数y=f(x)成立的一切实数所组成的数值。函数的几何意义：设函数y=f(x)定义域为D f，?x∈D f，对应函数值y=f(x)在XOY平面上得到点(x,y)，当x遍取D f中一切实数时，就得到点集P={(x,y)|y=f(x),x∈D f}。点集P称为函数y=f(x)的图形。文章来源：https://www.doczj.com/doc/429718392.html,/ 三、函数的几个简单性质 1. 函数的有界性若?M>0,s.t.|f(x)|≤M,x∈I，则称y=f(x)在区间I上有界。否则称f(x)在I上无界。注：s.t.是“使得，满足于”的意思，I表示某个区间。

考研数学强化班高等数学讲义-汤家凤

第一讲极限与连续主要内容概括（略）重点题型讲解一、极限问题类型一：连加或连乘的求极限问题 1．求下列极限：（1）???? ? ?+-++?+?∞→)12)(12(1 531311lim n n n Λ；（2）1 1 lim 332+-=∞→k k n k n π；（3）∑=∞ →+n k n n k k 1]) 1(1 [ lim ； 2．求下列极限：（1）???? ??++++++∞→n n n n n 22241 2411 41lim Λ； 3．求下列极限：（1）??? ? ??++++++∞→2222221 211 1lim n n n n n Λ；（2）n n n n !lim ∞ →；（3）∑ =∞ →++ n i n n i n 1 2 11 lim 。类型二：利用重要极限求极限的问题 1．求下列极限：（1）)0(2 cos 2cos 2cos lim 2≠∞→x x x x n n Λ；（2）n n n n n n 1sin )1(lim 1+∞→+； 2．求下列极限：（1）( ) x x x cos 11 20 sin 1lim -→+；（3）) 21ln(103 sin 1tan 1lim x x x x x +→?? ? ??++；（4）2 1cos lim x x x ?? ? ?? ∞ →；类型三：利用等价无穷小和麦克劳林公式求极限的问题 1．求下列极限：（1）) cos 1(sin 1tan 1lim 0x x x x x -+-+→；（2）)cos 1(lim tan 0x x e e x x x --→；（3）]1)3cos 2[(1lim 30 -+→x x x x ；（4）)tan 1 1(lim 220x x x -→；

高等数学学习笔记

第一章代数运算与自然数主要内容： 1、集合与映射的概念 2、映射及其运算 3、代数系统 4、自然数及其他相关定义 5、归纳法原理与反归纳法的运用重点掌握 1、由A →B 的单映射σ的定义为：设2121,,,:a a A a A a B A ≠∈∈→若由σ，就推出)()21a a σσ≠（，则称σ为从A 到B 的单映射。 2、由A →B 的满映射σ的定义为：设B ran B A =→)(,:σσ若，则称σ为从A 到B 的满映射。 3、给出一个由整数集合Z 到自然数集合N 的双射：可考虑分段映射，即将定义域分为小于0、等于0、大于0的整数三部分分别给出其象 4、若集合|A|=n ，则集合A →A 的映射共有n n 种。 5、皮阿罗公理中没有前元的元素为1。 6、自然数a 与b 加法的定义中两个条件为①：'1a a =+②：)'('b a b a +=+. 7、自然数a 与b 相乘的定义中两个条件为: ①：a a =?1;②：a b a b a +?=?' 8、自然数a>b 的定义为:如果给定的两个自然数a 与b 存在一个数k,使得a=b+k ，则称a 大于b,b 小于a,记为a>b 或b

12、若A 是有限集合，则A →A 的不同映射个数为：||||A A 。 13、从整数集合Z 到自然数集合N 存在一个单映射。 14、若A 是有限集合，则不存在A 到其真子集合的单映射。 15、若A 为无限集合，则存在A 的真子集合B 使其与A 等价。 16、存在从自然数集合N 到整数集合Z 的一个满映射，但不是单映射。可考虑将定义域分成奇数、偶数两部分，定义一个与n )1(-有关的映射 17、存在从自然数N 到整数集合Z 的双射。可考虑分段映射 18、代数系统(+R ,?)与代数系统(R,+)是同构的，其中+R 表示正实数集合，R 表示实数集合，?与+就是通常的实数乘法与加法。根据同构定义，只需找到一个从(+R ,?)到(R,+)的一一映射，例如lgx 就可以证明上述论述。 19、令+Q 为正有理数集合，若规定 2 b a b a +=⊕，ab b a =? 则：（1）{+Q ,⊕}构成代数体系，但不满足结合律。（2）{+Q ,?}不构成代数体系，但满足结合律。根据代数体系和结合律的定义可得上述论述成立。 20、若在实数集合中规定b a ⊕=a+b-a ×b ，其中+与×是通常的加法与乘法，则⊕满足结合律。只需证明等式（b a ⊕）⊕c=)(c b a ⊕⊕成立 21、分别利用归纳法与反归纳法可以证明n 个数的算术平均值大于等于这n 个数的几何平均值。归纳法根据定义易证，在运用反归纳法证明时可先证n=2,4,…,n 2都成立，假设命题对n=k 成立，令,...21k a a a S k k +++= 1 ...1211-+++=--k a a a S k k ，利用12111...---≥k k k a a a S 证之成立

《高等数学》读书笔记

类型课程学习名称：高等数学 1 时间：2006.7.7 体裁：说明文知识内容与结构备注一.课程目录 1函数 2极限和连续 3一元函数的导数和微分 4微分中值定理和导数的应用 5一元函数积分学 6多元函数微积分二.知识层次分解2.3说明：函数 1.预备知识 1)集合及其运算 1>概念集合：元素 2>绝对值及其基本性质

>区间和邻域 2.函数 3.基本特性 4.反函数 5.复合函数 6.初等数学 7.简单函数关系的建立极限和连续 1数列极限 2数列级数的基本概念 3函数的极限 4极限的运算法则 5无穷小（量）和无穷大（量）6两个重要的极限 7函数的连续性和连续函数 8函数的间断点一元函数的导数和微分 1导数的概念 2求导法则

基本求导公式 4高阶导数 5函数的微分 6导数和微分在经济学中的简单应用微分中值定理和导数的应用 1微分中值定理 2洛必达法则 3 函数的单调性 4 曲线的凹凸性和拐点 5函数的极值与最值一元函数积分学 1原函数和不定积分的概念 2基本积分公式 3换元积分法 4分部积分法 5微分方程初步 6定积分的概念及其基本性质 7 微积分基本公式 8 定积分的换元积分法和分部积分法 9 无穷限反常积分 10 定积分的应用

1空间解析几何 2多元函数的基本概念 3偏导数 4全微分 5多元复合函数的求导法则 6隐函数及其求导法则 7二元函数的极值 8二重积分注： 1标识符：红色已领会理解橙色已弄懂粉色已记住绿色已会用蓝色已掌握黑色增删修内容 2 说明：凡属课程都属说明文。要掌握其整体结构和层次内容和最后一层次的说明内容的意思 3 步骤：1 填写结构 2 对照课程阅读，理解弄懂

考研高等数学145分高手整理完整经典笔记(考研必备免费下载)

最新下载(https://www.doczj.com/doc/429718392.html,) 中国最大、最专业的学习资料下载站转载请保留本信息数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合与映射 §1.集合 §2.映射与函数本章教学要求：理解集合的概念与映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法与函数的一些基本性质。第二章数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念与定义，掌握并会应用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。第三章函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限与数列极限的关系，无穷小量与无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。第四章微分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分与高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导与求微分的方法。第五章微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L＇Hospital法则 §3.插值多项式和Taylor公式 §4.函数的Taylor公式及其应用 §5.应用举例

§6.函数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式，并应用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练应用微分于求解函数的极值问题与函数作图问题。第六章不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用本章教学要求：掌握不定积分的概念与运算法则，熟练应用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。第七章定积分（§1 —§3） §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理第七章定积分（§4 —§6） §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算本章教学要求：理解定积分的概念，牢固掌握微积分基本定理：牛顿—莱布尼兹公式，熟练定积分的计算，熟练运用微元法解决几何，物理与实际应用中的问题，初步掌握定积分的数值计算。第八章反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法本章教学要求：掌握反常积分的概念，熟练掌握反常积分的收敛判别法与反常积分的计算。第九章数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积本章教学要求：掌握数项级数敛散性的概念，理解数列上级限与下极限的概念，熟练运用各种判别法判别正项级数，任意项级数与无穷乘积的敛散性。第十章函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 §2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数

高数读书笔记

高等数学读书笔记

——定积分与不定积分马燕妮四川农业大学经济学院经济学中国成都 611130 【摘要】本文首先介绍了不定积分与定积分的基本定义，而后主要探究几种比较重要的积分法。定积分是微积分学中的主要概念之一，它是从各种各样的积累中抽象出来的数学概念，它是函数的一种特定结构和式的极限。不定积分又与定积分进行对比记忆，对不定积分的计算进行系统整理。【关键字】定积分；不定积分；面积；凑微分法；分部积分法；换元积分法；有理函数不定积分【Abstract 】 This paper first introduces the basic definition of indefinite integral and defin ite integral, and then explores several of the more important integral method. D efinite integral is one of the major concepts of calculus, it comes from the a ccumulation of various of abstracting mathematical concept, it is the function of the limit of a particular structure with type. Comparing the indefinite integra l and definite integral memory, calculation of indefinite integral system. 【Key words 】Definite integral ；Indefinite integral ；Area ；differentiation division integral method ；Integral method in yuan ；The indefinite integral rational function 一、不定积分与定积分的定义（一）、定积分的定义：设f 是定义在[a,b]上的一个函数，对于[a,b]的一个分割T={ 1,? 2?……n ?}，任

高等数学(张宇)_-_笔记_PDF

目录第一讲极限一极限定义 (3) 二极限性质 (4) 三函数极限基本计算 (8) 四综合计算 (11) 五数列极限计算 (14) 六函数连续与间断 (16) 第二讲一元函数微积分一概念 (17) 1. 导数 (18) 2. 微分 (20) 3. 不定积分 (21) 4. 定积分 (23) 5. 变限积分 (28) 6. 反常积分 (29) 二计算 (29) 1. 求导 (29) 2. 求积 (33) 三应用 (40) 1. 微分应用 (40) 2. 积分应用 (43) 四逻辑推理 (43) 1. 中值定理 (49) 2. 等式证明 (50) 3. 不等式证明 (51) 第三讲多元函数的微分学（公共部分）一概念 (51) 1. 极限的存在性 (51) 2. 极限的连续性 (52) 3. 偏导数的存在性 (52) 4. 可微性 (53) 5. 偏导数的连续性 (54) 二计算 (54) 三应用 (56) 第四讲二重积分（公共部分）

一概念与性质 (59) 二计算 (60) 1. 基础题 (60) 2. 技术题 (61) 三综合计算 (62) 第五讲微分方程一概念及其应用 (63) 二一阶方程的求解 (64) 三高阶方程的求解 (66) 第六讲无穷级数一数项级数的判敛 (67) 二幂级数求收敛域 (69) 三展开与求和 (69) 四傅里叶级数 (71) 第七讲多元函数微分学一基础知识 (73) 二应用 (75) 第八讲多元函数积分学一三重积分 (76) 二第一型曲线、曲面积分 (78) 1. 一线 (78) 2. 一面 (79) 三第二型曲线、曲面积分 (80) 1. 二线 (81) 2. 二面 (83)

高数笔记大全

第一章函数、极限和连续 §1.1 函数一、主要内容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=2 1) ()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1 (x), D(f -1 )=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

[整理]考研数学高数定积分公开课讲义(汤家凤)

课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高数中值定理及定积分公开课（汤家凤） 2、课程内容此课程为2013年考研数学高数部分的公开课，主要讲授定积分部分。 3、主讲师资汤家凤——主讲高等数学、线性代数。著名考研辅导专家，南京大学博士，南京工业大学教授，江苏省大学生数学竞赛优秀指导教师。凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。 4、讲义： 6页（电子版）文都网校 2011年5月27日

公开课二：定积分理论一、实际应用背景 1、运动问题—设物体运动速度为)(t v v =，求],[b a t ∈上物体走过的路程。（1）取b t t t a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n t t t t t t b a -???= ，其中)1(1n i t t t i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i t f S ?≈ ∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f S ?=∑=→)(lim 1 ξλ 2、曲边梯形的面积—设曲线)(0)(:b x a x f y L ≤≤≥=，由b x a x L ==,,及x 轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，i n i i x f A ?≈ ∑=)(1ξ；（3）取}{max 1i n i x ?=≤≤λ，则i n i i x f A ?=∑=→)(lim 1 ξλ。二、定积分理论（一）定积分的定义—设)(x f 为],[b a 上的有界函数，（1）取b x x x a n =<<<= 10，],[],[],[],[12110n n x x x x x x b a -???= ，其中)1(1n i x x x i i i ≤≤-=?-；（2）任取)1](,[1n i x x i i i ≤≤∈-ξ，作 i n i i x f ?∑=)(1 ξ；（3）取}{m a x 1i n i x ?=≤≤λ，若i n i i x f ?∑=→)(lim 1 ξλ存在，称)(x f 在],[b a 上可积，极限称为) (x f 在],[b a 上的定积分，记 ? b a dx x f )(，即?b a dx x f )(i n i i x f ?=∑=→)(lim 1 ξλ。