第十章 界面现象
主要内容 1.界面与表面
(1)定义：两相的接触面称为界面；与气体接触的界面称为表面。 (2)界面（表面）的种类：
2.液体的表面张力、表面功、表面吉布斯函数
(1)表面张力是引起液体表面收缩的单位长度上的力，单位：N.m -1。表面张力作用方向对于平液面是沿着液面并与液面平行，对于弯曲液面则与液面相切。
2F l γ＝/
(2)表面张力是使液体增加单位表面时环境所需做的可逆功，单位：J.m -2。
r s δ/d W A γ=
(3)表面张力是系统增加单位面积时所增加的吉布斯函数变，单位：J.m -2。
,s (
)T p G A γ?=?
3.界面热力学公式
只有一个相界面时：
d U = T d S - p d V + γ d A s + ∑μB d n B d H = T d S + V d p + γ d A s + ∑μB d n B d A =-S d T - p d V + γ d A s + ∑μB d n B d G =-S d T + V d p + γ d A s + ∑μB d n B
在定温、定压、定组成下：s d d G A γ= 则当系统内有多个界面时：
s s i i
i
G A γ=∑
4.界面张力的影响因素：
界面张力取决于界面的性质，凡能影响物质性质的因素，对界面张力皆有影
响。
(1)物质的本性：不同的物质，分子之间的作用力不同，对界面上分子的影响不同。一般化学键越强，表面张力越大。
γ金属键>γ离子键>γ极性共价键>γ非极性共价键
两种液态物质之间的表面张力一般介于两液体表面张力之间。 (2)温度：同一种物质的界面张力一般随温度的升高而减小。 (3)压力：一般压力升高表面张力下降。
5.弯曲液面的性质
(1) 附加压力及毛细管现象：
弯曲液面存在附加压力。将弯曲液面内外压力差△P 称为附加压力。附加压力? p 总是指向球面的球心（或曲面的曲心)。
2/p r γ?=
式中r 为弯曲液面的半径。
此式即为Laplace 方程，适于计算小液滴和液体中的小气泡的附加压力。
将毛细管插入液面后，会发生液面沿毛细管上升(或下降)的现象，称为毛细管现象。产生这种现象的原因是毛细管内的弯曲液面上存在附加压力?p 。 液体在毛细管内上升(或)下降的高度：
2cos h gr γθ=
ρ
(2) 弯曲液面的饱和蒸气压：
①曲率半径为r 的液滴，其饱和蒸气压与曲率半径r 的关系为：
2r p M RT p r γ=
ρln
此式称为开尔文公式。
其中：p ，p r 分别为平液面及曲率半径为r 的液滴的饱和蒸气压；
②对毛细管中曲率半径为r 的凹液面，其饱和蒸气压与曲率半径r 的关系为：
2r p M RT p r γ=ρln
其中：p ，p 分别为平液面及曲率半径为r 的毛细管中的凹面液体的饱和蒸气压； 因此：p r (凸液面)>p (平液面)>p r (毛细管中凹液面)
6.亚稳状态及新相的生成：
亚稳状态包括过饱和蒸气、过饱和溶液、过热液体、过冷液体。过饱和蒸气之所以存在，是因为新生成的极微小的液滴（新相）的蒸气压大于平液面上的饱和蒸气压。过热液体的存在主要是因为液体在沸腾时，液体内部要自动地生成极微小的气泡（新相），但由于弯曲液面上的附加压力，使气泡难以生成。过冷液体的存在是因为在一定温度下，小晶体的饱和蒸气压大于普通晶体的饱和蒸气压。过饱和溶液的存在是因为在同样温度下，小颗粒晶体的溶解度大于普通晶体的溶解度。
总之，它们的存在是因为新相难于生成，最初生成的新相的颗粒是及其微小的，其比表面积和表明吉布斯函数都很大，因此在系统中要产生新相极为困难。
7.吸附有关概念及其分类：
在相界面上某种物质的浓度不同于体相浓度的现象称为吸附。吸附剂是起吸附作用的固体物质。吸附质是被吸附的物质。
按吸附剂与吸附质作用本质的不同，可将吸附区分为物理吸附和化学吸附。
101.325KPa）所占有的体积V来表示。
def a n
n
m
def
a
V V
m
单位分别为mol.Kg-1或m3.Kg-1。
吸附等温线是在等温下，描述吸附量与吸附平衡压力间关系的曲线。
8.弗罗因得利希吸附等温式：
n V kp =a
其中：n 、k 是两经验常数，此式适于单分子层等温吸附、中压范围。
9.朗缪尔单分子层吸附理论及吸附等温式：
(1)朗缪尔单分子层吸附理论基本假设如下：
(i)固体表面对气体的吸附是单分子层的(即固体表面上每个吸附位只能吸附一个分子，气体分子只有碰撞到固体的空白表面上才能被吸附)； (ii)固体表面是均匀的(即表面上所有部位的吸附能力相同)；
(iii)被吸附在固体表明上的气体分子间无相互作用力(即吸附或解吸的难易与邻近有无吸附分子无关)；
(iV)吸附平衡是动态平衡(即达吸附平衡时，吸附和脱附过程同时进行，不过速率相同)。
(2)由此推出朗缪尔吸附等温式：
1bp bp
θ=
+ 其中 1-1k b k = θ=被吸附质覆盖的固体表面积
固体总的表面积
b 称为吸附平衡常数， k 1 和 k -1 分别代表吸附与解吸速率常数。 对朗缪尔吸附等温式进行讨论得：
①当压力很低或吸附较弱时，bp <<1，得θ＝bp ，覆盖率与压力成正比； ②当压力很高或吸附较弱时，bp >>1，得θ＝1，说明表面已全部被覆盖，吸附达到饱和状态，吸附量达最大值。
若：
a a
m /V V θ=，则朗缪尔吸附等温式可改写为： a a
m
1bp V V bp =+
其中V a 为覆盖率为θ时的平衡吸附量；V m a 为吸附剂被盖满一层、θ趋于1时的吸附量，即饱和吸附量。
10.接触角与杨氏方程：
当一液滴在固体表面不完全展开时，在气、液、固三相会合点O 沿液—气界面的切线OP 与固—液界面的水平线ON 间的通过液体内部的夹角θ 称为接触角。
当固体表面是光滑的水平面，即在水平方向上无其它力时，且当液体对固体润湿达平衡时，则在O 点处必有：
s ls l cos =+γγγθ
此式称为杨氏(Young)方程。
11.润湿现象：
润湿是指固体表面上的气体被液体取代的现象。按润湿的程度将润湿分三类：沾湿，浸湿，铺展。
(1)沾湿是气－固和气－液界面消失，形成液－固界面的过程；单位面积上沾湿过程的吉布斯函数变?G a ＝ γl s －γl － γs ；它的逆过程所需的粘湿功W a ’=- △G a 。 (2)浸湿气－固界面完全被液－固界面取代的过程；单位面积上浸湿过程的吉布斯函数变?G i ＝ γls －γs ；它的逆过程所需的浸湿功W i’=- △G i 。
(3)铺展是少量液体在固体表面自动展开形成一层薄膜的过程；单位面积上铺展
过程的吉布斯函数变?G s ＝γls + γl － γs ；铺展系数S 定义为：
s ls l s def
S G -?=γ-γ-γ。
若s ≥0，则液体可自行铺展于固体表面，s 越大，铺展性越好。
①如某一润湿过程可自发进行，则其△G <0，这时接触角一定满足以下条件： 粘湿： θ<180°；浸湿： θ<90°；铺展： θ=0°或不存在
②如润湿角一定，可能发生的润湿过程一定满足以下条件：
0°<θ<90°，粘湿和浸湿；90°<θ<180°，粘湿；θ=0°或不存在时，粘湿、浸湿和铺展 。
12.溶液表面吸附及其表面张力的变化：
溶质在表面层（或表面相）中的浓度与在溶液本体（或体相）中浓度不同的现象称为溶液表面的吸附。溶质的浓度对溶液表面张力的影响大致可分为三类：(1)随着溶液浓度的增加，溶液的表面张力稍有升高；(2)随着溶液浓度的增加，溶液的表面张力缓慢地下降；(3)在水中加入少量的溶质后溶液的表面张力急剧下降，至某一程度后溶液的表面张力几乎不随溶液浓度的上升而变化。
溶质在表面的浓度高于本体浓度的现象称为正吸附，发生正吸附时溶液浓度
增加其表面张力降低；溶质在表面层的浓度低于本体浓度的现象称为负吸附，发生负吸附时溶液浓度增加其表面张力增大。
13.表面过剩及吉布斯吸附等温式：
(1)定义：在单位面积的表面层中，所含溶质的物质的量与同量溶剂在溶液本体中所含物质的量的差值，称为溶质的表面过剩或表面吸附量，以Γ表示，其单
位为mol.m -2
。
s n /A σ
Γ= (2)对理想稀溶液：
c ΓRT c γ
=-
d d
14.表面活性剂：
(1)定义：加入少量就能显著降低液体表面张力的物质称为表面活性剂。 (2)结构：一般表面活性剂分子都是由亲水性的极性基团(亲水基)和憎水(亲油)性的非极性基团(憎水基或亲油基)两部分所构成。
分散在水中的表面活性剂分子以其非极性部位自相结合，形成憎水基向里、亲水基朝外的多分子聚集体，称为胶束。表面活性剂分子开始形成缔合胶体的最低浓度称作临界胶束浓度(CMC)。 (3)表面活性剂的分类
表面活性剂分为离子型表面活性剂和非离子型表面活性剂（如聚乙二醇类 HOCH 2[CH 2OCH 2]n CH 2OH ）；其中离子型表面活性剂又可分为阴离子表面活性剂（如肥皂RCOONa ）；阳离子表面活性剂（如胺盐C 18H 37NH 3+Cl -）；两性表面活性剂（如氨基酸型R-NH-CH 2COOH 。
重要公式
P r γ?=
2
2c o s h gr γθ=ρ ln 2γ=ρr p M p r RT a a
m
1bp
V V bp =+ c d ΓRT dc γ=-
线面角的求法总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII
线面角的三种求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι
其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 A 1 C 1 D 1 H 4 C 1 2 3 B A D 图2 ∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cos θ2 （如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， B α O A C 图3
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π θ∈； （2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 【典型例题】 例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 （2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 （3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。 （5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。 （I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1； （II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。 例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P
第一节 二重积分的概念与性质 一、内容要点 1、引例 例1曲顶柱体的体积 例2平面薄片的质量 通过两个实际意义不同的例子，引出所求量可归结为同一形式的和式的极限，进而一般地抽象出二重积分的定义。 2、二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。 3、二重积分的性质1-6，注意将其与定积分性质加以比较。 例3关于估值定理的应用 例4关于中值定理的应用 4、二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积。 二、教学要求和注意点 理解二重积分，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 第二节 二重积分的计算法 一、内容要点 利用直角坐标计算二重积分 1、从几何入手，利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为二次积分： ①若D 为X —型区域：{}b x a x y x y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D x x b a dy y x f dx d y x f )()(21),(),(??σ ②若D 为Y —型区域：{}d y c y x y y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D y y d c dx y x f dy d y x f )()(21),(),(??σ ③若D 既非X —型，又非Y —型区域，则将D 划分为若干子区域，使每一个子区域为X —型或Y —型。 2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。 例1化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。 例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。
例3关于利用对称性计算二重积分的例子。 例4被积函数为绝对值函数、符号函数，取最大值或最小值等函数的例子。 利用极坐标计算二重积分 1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。 2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D 的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。 3、确定积分上下限的办法。 例1将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分 例2利用二重积分计算概率积分 dx e x 2 0-+∞? 例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分 例4利用极坐标计算二重积分 二、教学要求和注意点 1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法 2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。 3、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。 第四节 三重积分 一、内容要点 1、三重积分的概念，存在性及性质 2、三重积分在直角坐标系下的计算 ①先单积分后二重积分 ②先二重积分后单积分 3、更换积分次序 例1将三重积分化为三次积分 例2更换积分次序 例3先二重积分后单积分 4、柱面坐标系下三重积分的计算。 5、何时选用柱面坐标——当Ω是柱形，锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子)(22y x +?等时，常用柱面坐标计算。 6、球面坐标系下三重积分的计算。 7、何时选用球面坐标——当Ω是球体或其部分，或被积函数含有式子)(222z y x ++?
★线面所成角的求法：［。勺 1?作图一一证明一一计算 求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影。一般地通过斜线上某个特殊点 作出平面的垂线来找角。角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有 关的三角形中，从而把空间的计算转变为平面图形内的解直角三角形或斜三角形的 边长相等，则AB i 与侧面ACC i A i 所成角的正弦值等于 A 亞 B 血 C 边 A. 4 B. 4 C. 2 4.如图，在长方体 ABCD — A i B i C i D i 中，AB = BC = 2, 7 僅― A a 问题。 A i D
n 与BC i所成的角为2,则BC i与平面BB I D I D所成角的正弦值为()代￡B? C.^5 D￥ 5..正四棱锥S-ABCD中，0为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO =0D，则直线BC与平面PAC所成的角是 _____________ . 6. 如图，已知点P在正万体ABC B A B‘ C D的对角线BD上，/ PDA F60° . (1)求DP与CC所成角的大小； ⑵求DP与平面AA D D所成角的大小. 1 7. 已知三棱锥P-ABC中，PA丄平面ABC, AB丄AC，PA= AC= qAB, N为 AB上一点，AB = 4AN，M，S分别为PB、BC的中点. “ (1)证明：CM丄SN; ⑵求SN与平面CMN所成角的大小. ' ； 8 如图，在五棱锥P-ABCDE中，PA丄平面ABCDE，AB - // CD， AC// ED，AE // BC，/ ABC = 45°, AB = 2迈，BC = 2AE = 4,三角形FAB 是等腰三角形. (1)求证：平面PCD丄平面PAC; ⑵求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)求四棱锥P-ACDE的体积.
B 1 D 1 A D C 1 B C A 1 线线角与线面角习题 新泰一中 闫辉 一、复习目标 1.理解异面直线所成角的概念,并掌握求异面直线所成角的常用方法． 2.理解直线与平面所成角的概念，并掌握求线面角常用方法． 3.掌握求角的计算题步骤是“一作、二证、三计算”,思想方法是将空间图形转化为平面图形即“降维”的思想方法. 二、课前预习 1.在空间四边形ABCD 中，AD=BC=2, E 、F 分别为AB 、CD 的中点且EF=3，AD 、BC 所成的角为 . 2.如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中 ，B 1C 和C 1D 与底面所成的角分别为60ο和45ο ，则异面直线B 1C 和C 1D 所成角的余弦值为 ( ) (A). 4 6 (B). 36 (C).62 (D).6 3 3.平面α与直线a 所成的角为 3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的取值范围是 ． 4.如图,ABCD 是正方形,PD ⊥平面ABCD,PD=AD,则PA 与BD 所成的角的度数为 (A).30ο (B).45ο (C).60ο (D).90ο 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο ,BC 是贴于桌面上, 当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值 是 ． 三、典型例题 例1.(96·全国) 如图,正方形ABCD 所在平面与正方形 ABEF 所在平面成60ο 角,求异面直线AD 与BF 所成角的余弦值. 备课说明:1.求异面直线所成的角常作出所成角的平面图形.作法有: ①平移法:在异面直线的一条上选择“特殊点”,作另一条直线平行线 或利用中位线.②补形法:把空间图形补成熟悉的几何体,其目的在于容 易发现两条异面直线的关系.2.解立几计算题要先作出所求的角,并要 有严格的推理论证过程,还要有合理的步骤. 例2.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 备课说明:求直线与平面所成角的关键是找直线在此平面上的射影,为此必须在这条直线上找一点作平面的垂线. 作垂线的方法常采用:①利用平面垂直的性质找平面的垂线.②点的射影在面内的特殊位置. A C B A D C 1D 1 A 1 B 1C B D B P C D A C B F E
第九章 界面现象 讲解：日常生活和生产中，有很多现象和界面有关。如：水在玻璃细管中会上升，这叫毛细现象；水可以在桌面上铺开，水银却成球状等。通常把气液和气固界面成为表面。 第一节 表面张力和表面吉布斯函数 一、表面现象及其本质 1.界面层的定义 界面的5种类型：g-l,g-s,l-l,l-s,s-s. 其中g-l 和g-s 界面也叫表面。 界面分子和内部分子的区别：内部分子受力对称，界面分子受力不对称，不均匀。 液体自发使表面积缩小。 讲解：测定液体蒸气压，不能有空气存在，液体表面指纯液体与其纯蒸气之间的过渡层，只有几个分子厚。日常生活中讲的液体表面，是指液体与空气之间的界面，其中空气被液体蒸气饱和。 2.系统的比表面（分散度） 单位质量具有的表面积，或单位体积具有的表面积。 def def S S m V A A A A m V ==质量表面积体积表面积 例：一个边长为0.01米的立方体表面积是多少？把这个立方体分成10-9m 的小立方体，求其总面积。 解：边长为0.01米的立方体表面积 2-421=60.01=610m A ?? () 3 213 90.011010-=小立方体的个数为 -92213226(10)10610m A =??=?小立方体总面积 物体被分散后的体积变化，请看358页表9.1。 二、表面张力、表面功、表面吉布斯函数 在等温等压条件下者3个概念是一回事。 讲解：吉布斯函数变就是等温等压条件下可逆过程得体积功。 :γ等温等压下可逆地增加单位表面积所需的功。 B ,,S T p n G A γ?? ?= ? ??? 表面张力就是表面功 表面张力F:表面上，每米长度所受的收缩力，垂直于表面切线方向。 -2-2-1 J m N m m N m ?=??=?单位： 表面功 表面张力
线面角与线线角 【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0, ]2 π θ∈； （2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 3、一些常见模型中的角之间的关系。 【典型例题】 例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 答案：D 。解析：A 1C 1与AD 成45°，D 1C 1与AB 平行，AC 1与DC 所成角的正切为 2 2 。 （2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 答案：B 。解析：平面A 1ACC 1，平面BB 1D 1D ，平面ABC 1D 1，平面A 1D 1CC 1。 （3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o 答案：B 。解析将BC 1平移到E 1F 即可。 （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。 答案：AC ⊥BD 。解析：过A 作AH ⊥平面BCD ，垂足为H ，因为CD ⊥AB ，BC ⊥AD ，所以CD ⊥BH ，BC ⊥DH ，故H 为△BCD 的垂心，从而BD ⊥CH ，可得BD ⊥AC 。 （5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 答案：16或64。解析：分A 、B 在平面α的同侧和异侧进行讨论。 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1 ＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。 （I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1； （II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。
线面角的三种求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ ,则sin θ =h ／AB=4／5
279 界面现象 1. 表面张力、表面功及表面吉布斯函数 表面张力γ：引起液体或固体表面收缩的单位长度上的力，单位为N·m -1。 表面功：'δ/d r s W A ，使系统增加单位表面所需的可逆功，单位为J·m -2。 表面吉布斯函数：B ,,()(/)s T p n G A α??，恒温恒压下系统增加单位表面时所增加的吉布斯 函数，单位为J·m -2。 表面吉布斯函数的广义定义： B()B()B()B(),,,,,,,,( )()()()S V n S p n T V n T p n s s s s U H A G A A A A ααααγ????====???? ',r s T p s W dA dG dA γδ== 表面张力是从力的角度描述系统表面的某强度性质，而表面功及表面吉布斯函数则是从能量角度和热力学角度描述系统表面的某一性质。三者虽为不同的物理量，但它们的数值及量纲等同的，均可化为N·m -1。 在一定温度、压力下，若系统有多个界面，其总界面吉布斯函数： s i i s i G A γ=∑ 2. 弯曲液面的附加压力、拉普拉斯方程 附加压力：Δp =p 内-p 外 拉普拉斯方程：2p r γ?= 规定弯曲液面凹面一侧压力位p 内，凸面一侧压力位p 外；γ为表面张力；r 为弯曲液面的曲率半径，△p 一律取正值；附加压力方向总指向凹面曲率半径中心。 3. 毛细现象 毛细管内液体上升或下降的高度 2cos h r g γθρ= 式中：γ为表面张力；ρ为液体密度；g 为重力加速度；θ为接触角；r 为毛细管半径。当液体不能润湿管壁，θ>90°即0cos θ<时，h 为负值，表示管内凸液体下降的深度。 4. 微小液滴的饱和蒸汽压——开尔文公式
求线面角的三种常见思路方法 舒云水 本文以 2009年湖南卷理 18 题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒ 如图 1，在正三棱柱ABC A1B1C1中，AB 2AA1，点 D是A1B1的中点，点 E 在A1C1上，且DE⊥ AE． （I）证明：平面ADE 平面ACC1A1 ； （ II ）求直线 AD和平面ABC1所成角的正弦值． （Ⅰ）证明略．下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒思路 1：直接作出线面角求解﹒ 分析：因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点 D 在特殊位置上——线段A1B1的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图 2，取AB的中点F ，连结DF ，DC1 ， C1F ，则面DFC1 面ABC1，过D作DH C1F于H ，则DH 面ABC1 ，连结AH，则HAD是AD和平面ABC1 所成的角﹒
解法 1 如图 2，设 F 是 AB 的中点，连结 DF ， DC 1 ， C 1F ．由正 三棱柱 ABC A 1B 1C 1的性质及 D 是A 1B 1的中点知， A 1B 1 ⊥ C 1D ，A 1B 1⊥ DF ． 又C 1D DF D ，所以 A 1B 1 ⊥平面C 1DF ． 而 AB ∥ A 1B 1， 所以 AB⊥平面C 1DF ．又 AB 平面ABC 1 ，故 平面 ABC 1 ⊥平面C 1DF ． 过点 D 作DH 垂直C 1F 于点 H ， 则 DH ⊥ 平面 ABC 1 ． 连结 AH ，则 HAD 是直线 AD 和平面 ABC 1 所成的角． 由已知 AB 2AA 1，不妨设 AA 1 2，则 AB 2，DF 2， DC 1 3， 所以 sin HAD D A H D 15 思路 2：用等体积法求出点 D 到面 ABC 1的距离h ，A h D 为所求线 面 C 1F 5， AD AA 12 A 1D 2 3， DF ·DC 1 2 3 30 DH C 1F 55 即直线 AD 和平面 ABC 1所成角的正弦值为 10 ．
《高等数学》（下）——说课稿 说课教师：方政蕊（经济与数学系） 各位评委、老师：大家好! 我是经济与数学系的数学教师方政蕊，很荣幸能够参加此次的说课活动，希望各位评委、老师对我的说课内容提出宝贵意见。 下面我将就本学期我所担任的《高等数学》这门课程所使用的教材、该课程的地位作用、教学方法的选择、学生学法的指导和教学过程的设计等几个方面来向大家做一简要介绍。 一、教材介绍 这门课所使用的教材是同济大学出版社出版的面向21世纪普通高等教育规划教材《高等数学》的下册，该教材内容符合教学大纲的要求，知识系统、体系结构清晰、例题丰富、语言通俗易懂，讲解透彻难度适中，在上册一元函数微积分的基础上进一步较系统地介绍多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数和微分方程等高等数学的知识。 二、课程介绍 1、地位和作用 高等数学在当今社会的各个领域都有广泛的应用，因而“高等数学”是理工类本科教学重要基础课之一，通过本课程的教学，旨在使学生掌握该课程的基本概念、基本理论和方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力，为学生继续学习后续相关专业课奠定必要的数学基础。 2、教学目标 （1）、理解多元函数的概念、会求二元函数的偏导数和全微分 （2）、能将多元函数应用到几何上，会求极值 （3）、理解多元函数的概念、性质，掌握二重积分的计算方法 （4）、掌握三重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法 （5）、理解无穷级数的概念、性质，掌握判别级数收敛性的方法 （6）、会将函数展开成幂级数或傅里叶级数 （7）、理解微分方程的概念，掌握求微分方程的解的方法 3、教学重点和难点 （1）、求二元函数的偏导数、极值 （2）、求二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分 （3）、无穷级数的收敛性判别、将函数展开成幂级数或傅里叶级数 （4）、解微分方程 二、教学方法 科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。数学是本科教学中的重要基础课，是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。 根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，我主要采取教师启发讲授、适当点拨和学生探究学习的教学方法。教学过程中，教师可以系统的传授知识，充分发挥教师的主导作用，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展
第十二章 界面现象复习题解答 1、 为什么气泡、液滴、肥皂泡等等都呈圆形？玻璃管口加热后会变的光滑并缩小（俗称圆口），这些现象的本质是什么？ 答：这些现象的本质是：表面层分子总是受到本体内部分子的拉力，有进入本体内部的趋势，即总是使表面积缩小到最小的趋势，因为相同体积的球形表面积最小，所以都成球形，而玻璃管口加热后变为圆口也是减小曲率半径（（缩小表面积）。 2、 用学到的关于界面现象的知识解释以下几种做法或现象的基本原理：（1）人工降雨，（2）有机蒸馏中加沸石，（3）毛细凝聚，（4）过饱和溶液、过饱和蒸汽、过冷液体等过饱和现象，（5）重量分析中的“陈化”过程，（6）喷洒农药时为何常常要在药液中加少量表面活性剂。 答：都用开尔文公式RTlnP/P 0=2 r m/ρR’或RTlnP 1/P 2=（2 r m/ρ）*（1/R 1′-1/ R 2′）或RTlnS/S 0=2 r m/ρR’或RTlnS 1/S 2=（2 r m/ρ）*（1/R 1′-1/ R 2′）来解释。 3、如图所示，在三通活塞的两端涂上肥皂液，关断右端通路，在左端吹一个大泡；然后关闭左端，在右端吹一个小泡，最后让左右两端相通，试问接通后两泡的大小有何变化？到何时达到平衡？讲出变化的原因及平衡时两泡的曲率半径的比值。 答：接通后小泡变小，大泡变大，即小气泡的附加压力Ps 大于大气泡的附加压力，当达平衡时两气泡的曲率半径相等。 4、因吉布斯自由能越低，体系越稳定，所以物体总有降低本身表面吉布斯自由能的趋势。请说说纯液体、溶液、固体是如何降低自己的表面吉布斯自由能的。 答：纯液体通过缩小表面积来降低表面吉布斯自由能。溶液通过减小表面积和表面吸附两种途径来降低表面吉布斯自由能，对表面活性剂产生正吸附（Pi= -a i /RT （dr/da i ），对非表面活性剂产生负吸附。固体通过吸附气体分子或液体分子来降低体系吉布斯自由能。 5、为什么小晶粒的熔点比大块的固体的熔点略低而溶解度却比大晶粒大？ 答：根据开尔文公式RTlnS 1/S 2=2 r m/ρR’说明小晶粒的溶解度大于大块固体的溶解度（因为相同质量的小晶粒的表面吉布斯自由能大于大晶体的表面吉布斯自由能。因为熔点是三相平衡点 ， ∵RTlnP 小/P 大=（2 r m/ρ）*（1/R 小-1/ R 大），小晶体的蒸汽压大于大晶体的蒸汽压，所以小晶体
第二十一章 二重积分 §1 二重积分概念 教学目的 掌握二重积分的定义和性质． 教学内容 二重积分的定义和性质． (1) 基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性． (2) 较高要求：平面点集可求面积的充要条件． 教学建议 (1) 要求学生必须掌握二重积分的定义和性质，知道有界闭区域上的连续函数必可积．由于二元函数可积的充要条件与定积分类似，这方面的内容可作简略介绍． (2) 对较好学生可详细讲述二元函数可积的充要条件的证明，并布置有关习题． 教学程序 一、平面图形的面积 （一）、内、外面积（约当，黎曼外内测度）的概念 直线网T 分割平面图形P ，T 的网眼中小闭矩形i ?的分类： （ⅰ）i ?含的全是P 的内点, （ⅱ）i ?含的全是P 的外点（不含P 的点）, （ⅲ）i ?内含有P 的边界点, 记()T s P 为T 的第ⅰ类i ?的面积的和． 记()T S P 为T 的第ⅰ和第三类i ?的面积的和． 记P I =(){}T s P T sup ，称为P 的内面积． 记P I = (){}T S P T inf ，称为P 的外面积． 定义1 若平面图形P 的内面积P I 等于它的外面积P I ，则称P 为可求面积，并称其共同值P I =P I =P I 为P 的面积（约当，黎曼测度）
定理21.1 平面有界图形P 可求面积的充要条件是：对任给的0>ε，总存在直线网T ，使得 ()()ε<-T s T S P P . （2） 证明 [必要性]设平面有界图形P 的面积为P I ．由定义1，有P I =P I =P I ．对任给的ε，由P I 及P I 的定义知道，分别存在直线网1T 与2T ，使得 (),21ε->P P I T s ()22ε +
P P I T s ()2ε +
ε，存在直线网T ，使得（2）式成立．但 ()()T S I I T s P P P P ≤≤≤， 所以 ()()ε<-≤-T s T S I I P P P P ， 由ε的任意性，因此P I =P I ，因而平面图形P 可求面积． 推论 平面有界图形P 的面积为零的充要条件是它的外面积0=P I ，即对任给的0>ε，存在直线网T ，使得， ()ε 1液滴会自动成球形，固体表面有吸附作用，溶液的表面也会有吸附现象，请给予热力学解释。 答：在一定的T、p下，系统的吉布斯函数越低越稳定。G =σ A 液滴自动呈球形是因为相同体积时，液滴的表面积最小。固体表面和液体表面有吸附作用是因为可通过吸附作用来降低表面的不对称性，降低表面张力，使吉布斯函数降低。 2工业上常用喷雾干燥法处理物料。 答：根据开尔文公式可知，微小液滴的饱和蒸气压比普通平液面的饱和蒸气压的大，因此在同样温度下更易挥发，使物料达到干燥的目的。 3用同一滴管在同一条件下分别滴下同体积的三种液体，水、硫酸水溶液、丁醇水溶液，则它们的滴数最多的是哪一个，最少的是哪一个？ 答：把水的表面张力看为定值，加入硫酸后硫酸水溶液的表面张力增大，加入丁醇后丁醇水溶液的表面张力减小，表面张力越大越易形成球状。所以硫酸的滴数最少，丁醇滴数最多。 4、解释下列各种现象及其产生原因 （1）均匀混合的油水系统经静止后会自动分层； （2）自由液滴或气泡通常呈球型； （3）粉尘大的工厂或矿山容易发生爆炸事故。 答：（1）均匀混合的油水系统静止后分层是液体自动缩小界面积的现象。均匀混合的油水系统是多相分散体系，相与相之间的界面积很大，界面能很高，处于不稳定状态，因而会自动缩小界面积而使系统趋于稳定。 2）自由液滴或气泡也是液体自动缩小界面积的现象。一方面由于体积一定时，球型液滴表面积最小，另一方面若形成凸凹不平的不规则表面，在凸凹处分别受到相反方向附加压力的作用，在这些不平衡力的作用下，必然会形成球型表面，各处压力均衡，系统才处于稳定状态。 3）粉尘是细小的固体颗粒分散在空气中形成的分散系统，颗粒越小，表面积越大，表面能越高，因处于极不稳定的状态。当遇到明火、撞击等不安全因素时，就会导致系统的燃烧甚至爆炸。 5、纯水和矿泉水注满玻璃杯时，哪一个的液面会更高于杯口？ 答：矿泉水中含有无机盐离子，可使水的表面张力增大，进而增大了水于玻璃杯壁的接触角，所以矿泉水的液面会更高于杯口 6、气、固相反应CaCO3（s）——CaO（s）+ CO2（g）已达平衡。在其他条件不变的情况下，若把CaCO3（s）的颗粒度变的极小，则平衡如何移动？ 答：正向移动。微小晶体的蒸汽压比普通晶体的大，其化学势也高 7、在一定温度和压力下,为什么物理吸附都是放热过程？ 答：因为物理吸附基本上相当于气体的凝聚过程，而这个过程是要放出液化热的。另外，从吸附热力学上看吸附过程是一个自动进行的过程，因此在恒温、恒压下随着吸附的进行，系统的吉布斯函数是减小的，即ΔT,pG<0。再者气体分子吸附在固体表面上是气体分子由在三维空间运动转移到二维空间上运动，分子的平动受到了制约，从宏观上看表现为熵减的过程，即吸附过程为ΔS<0的过程。在恒温、恒压下，存在 ΔT,pG=ΔH-TΔS 因为ΔG<0，ΔS<0，所以吸附焓必然小于零。严格讲这一结论只对物理吸附才成立 1、晴朗的白天看天空为什么呈蔚蓝色，而晚霞却呈红色？ 白天看到的是太阳光在空气中的散射光，晚霞是看到的透射光。 2、在两块光滑的玻璃之间放些水后叠合在一起，若使之上下分开为什么要很费力？ C1 C1 B 一、平面与平面的垂直关系 1．判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 例1．在空间四边形ABCD 中，AB=CB ，AD=CD ，E 、F 、G 分别是AD 、DC 、CA 的中点。 求证：BEF BDG ^平面平面。 例2．AB BCD BC CD ^=平面，，90BCD °?，E 、F 分别是AC 、AD 的中点。 求证：BEF ABC ^平面平面 。 2．性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。 例3．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角.。 二、二面角的基本求法 1．定义法：在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直。 例4．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， 求（1）二面角11A B C A --的大小； （2）平面11A DC 与平面11ADD A 所成角的正切值。 练习：过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ， 求二面角B PC D --的大小。 2．三垂线法 例5．ABCD ABEF ABCD ^平面平面，是正方形，ABEF 是矩形且AF=1 2 AD=a ，G 是EF 的中点， （1）求证：AGC BGC ^平面平面； （2）求GB 与平面AGC 所成角的正弦值； （3）求二面角B AC G --的大小。 例6．点P 在平面ABC 外，ABC 是等腰直角三角形，90ABC °?，PAB 是正三角形，PA BC ^。 （1）求证：^平面PA B 平面A BC ； （2）求二面角P AC B --的大小。 练习：正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，P 是AD 的中点，求二面角1A BD P --的大小。 B1 3．垂面法 例7．SA ABC AB BC SA AB BC ^^==平面，，， （1）求证：SB BC ^； （2）求二面角C SA B --的大小； （3）求异面直线SC 与AB 所成角的余弦值。 4．无棱二面角的处理方法 （1）找棱 例8．过正方形ABCD 的顶点A 作PA ABCD ^平面，设PA=AB=a ， 求平面PAB 与平面PCD 所成二面角的大小。 界面现象 界面：密切接触的两相之间的过渡区（约几个分子的厚度）称为界面，有五类界面，其中一相是气体时也可称为表面。 处于表面的分子和处于体相的分子的差异使界面表现出一些独特的性质，在前边的体系的讨论中，由于界面的物质的量和体相比较，微乎其微，所以表面性质的差异对整个体系性质的影响也微不足道，可以不予考虑。但在下面将要研究的体系中,当分散程度增大时，表面性质对体系将起一定的作用，有必要进行专门的讨论。 界面科学是化学物理生物材料和信息等学科之间相互交叉和渗透的一门重要的边缘科学，是当前三大科学技术（生命科学，材料科学和信息科学）前沿领域的桥梁。界面化学是在原子或分子尺度上探讨两相界面上发生的化学过程以及化学前驱的一些物理过程。 分散程度和表面积的关系。 由于在界面上分子的处境特殊，有许多特殊的物理化学和化学性质，随着表面张力，毛细现象和润湿现象等逐渐被发现，并赋予了科学的解释。随着工业生产的发展，与界面现象有关的应用也越来越多，从而建立了界面化学（或表面化学）这一学科分支。表面化学是一门既有广泛实际应用又与多门学科密切联系的交叉学科，它既有传统，唯象的，比较成熟的规律和理论，又有现代分子水平的研究方法和不断出现的新发现。 1.液体表面张力存在的两个实验： （1）金属园环内肥皂膜的破裂过程。 （2）U 型框架皂膜的扩大过程。 在皂膜的边缘，存在着一种力，趋向使表面收缩的力，称为表面 张力γ（单位：1-?m N 。表面张力：作用于表面的边缘，并且和边缘相切， 使表面收缩的力。 表面张力是体系的性质，和体相的种类，温度，压力，组成以及与其共存的另一相的性质有关。当共存的加一相是非气相时，称为界面张力。 第9节线面角及二面角的求法 【基础知识】 求线面角、二面角的常用方法: (1) 线面角的求法，找出斜线在平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，要把线面角转化到一个三角形中求解. (2) 二面角的大小求法，二面角的大小用它的平面角来度量. :] 【规律技巧】 平面角的作法常见的有①定义法；②垂面法?注意利用等腰、等边三角形的性质. 【典例讲解】 【例1】如图，在四棱锥 P-ABCD中，FA丄底面ABCD , AB⊥ AD , AC⊥ CD, ∠ ABC =60 ° , PA = AB = BC, E 是 PC 的中点. P (1)求PB和平面PAD所成的角的大小； ⑵证明：AE丄平面PCD ; ⑶求二面角 A — PD — C的正弦值. (1)解在四棱锥P — ABCD中， 因FA丄底面 ABCD , AB?平面 ABCD , 故PA⊥ AB.又AB⊥ AD , FA ∩ AD = A, 从而AB丄平面PAD, 故PB在平面PAD内的射影为FA, 从而∠ APB为PB和平面PAD所成的角. 在Rt△ PAB 中,AB= FA,故∠ APB = 45° 所以PB和平面PAD所成的角的大小为 45 ⑵证明在四棱锥P— ABCD中， 因FA丄底面 ABCD, CD?平面ABCD, 故CD丄FA.由条件 CD丄AC , PA ∩ AC= A , ??? CD丄平面PAC. 又 AE?平面 FAC,??? AE丄CD. 由FA= AB = BC,∠ ABC = 60° ,可得 AC = PA. ??? E 是 PC 的中点，???AE⊥ PC. 又PC∩ CD = C,综上得AE⊥平面PCD. 【变式探究】如图所示，在四棱锥P — ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱 PD丄底 面ABCD , PD = DC.E是PC的中点，作 EF丄PB交PB于点F. ⑴证明PA//平面EDB ; ⑵证明PB⊥平面EFD ; (3) 求二面角 C — PB— D的大小. ⑴证明如图所示，连接 AC, AC交BD于0,连接EO. ???底面ABCD是正方形， ?点0是AC的中点. 在厶PAC中，EO是中位线， ? PA // E0. 而E0?平面EDB且PA?平面EDB , ? PA //平面 EDB. 【针对训练】 1.如图，四棱锥 P — ABCD中，底面 ABCD为菱形，PA丄底面ABCD , AC = 2,2, FA =2, E 是PC 上的一点，PE= 2EC. (1)证明：PC⊥平面BED ; ⑵设二面角A — PB-C为90°,求PD与平面PBC所成角的大小. 线面角的三种求法 河北 王学会 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂 线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1 ·AB，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5 A 1C 1D 1 H 4 C B 12 3B A D 图2 ∴AB 与面AB 1C 1D 所成的角为arcsin 4／5 3. 利用公式cos θ=cos θ1·cosθ2 （如图3） 若 OA 为平面的一条斜线，O 为斜足，OB 为OA 在面α内的射影，OC 为面α内的 一条直线，其中θ为OA 与OC 所成的角， B αO A C 图3 θ1为OA 与OB 所成的角，即线面角，θ2为OB 与OC 所成的角，那么 cos θ=cos θ1·cosθ2 （同学们可自己证明），它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理） 例3（如图4） 已知直线OA,OB,OC 两两所成的角为60°, ，求直线OA 与 面OBC 所成界面现象问答题【自己整理
面角的基本求法例题及练习
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