第一节 二重积分的概念与性质
一、内容要点
1、引例
例1曲顶柱体的体积
例2平面薄片的质量
通过两个实际意义不同的例子，引出所求量可归结为同一形式的和式的极限，进而一般地抽象出二重积分的定义。
2、二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。
3、二重积分的性质1-6，注意将其与定积分性质加以比较。
例3关于估值定理的应用
例4关于中值定理的应用
4、二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积。
二、教学要求和注意点
理解二重积分，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。
第二节 二重积分的计算法
一、内容要点
利用直角坐标计算二重积分
1、从几何入手，利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为二次积分：
①若D 为X —型区域：{}b x a x y x y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则
????=D x x b a dy y x f dx d y x f )()(21),(),(??σ
②若D 为Y —型区域：{}d y c y x y y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则
????=D y y d c dx y x f dy d y x f )()(21),(),(??σ
③若D 既非X —型，又非Y —型区域，则将D 划分为若干子区域，使每一个子区域为X —型或Y —型。
2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。
例1化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。
例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。
例3关于利用对称性计算二重积分的例子。
例4被积函数为绝对值函数、符号函数，取最大值或最小值等函数的例子。
利用极坐标计算二重积分
1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。
2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D 的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。
3、确定积分上下限的办法。
例1将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分
例2利用二重积分计算概率积分 dx e x 2
0-+∞? 例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分
例4利用极坐标计算二重积分
二、教学要求和注意点
1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法
2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。
3、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。
第四节 三重积分
一、内容要点
1、三重积分的概念，存在性及性质
2、三重积分在直角坐标系下的计算
①先单积分后二重积分
②先二重积分后单积分
3、更换积分次序
例1将三重积分化为三次积分
例2更换积分次序
例3先二重积分后单积分
4、柱面坐标系下三重积分的计算。
5、何时选用柱面坐标——当Ω是柱形，锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子)(22y x +?等时，常用柱面坐标计算。
6、球面坐标系下三重积分的计算。
7、何时选用球面坐标——当Ω是球体或其部分，或被积函数含有式子)(222z y x ++?
时，常用球面坐标计算。
例1化三重积分为柱面坐标系下的三次积分。
例2化三重积分为球面坐标系下的三次积分。
例3利用三重积分求体积或质量。
二、教学要求和注意点
1、在直角坐标系中，当用“先一后二”法计算三重积分时，如何恰当选择第一次单积分的积分变量颇为关键，一般方法是：先把围成Ω的各边界曲面通过显式方程表出，如果x ，y ，z 中的某个变量恰好出现在两个显式方程的左端，并且不出现于任一方程的右端，则可选该变量作为第一次单积分的积分变量。
2、在重积分的计算中，换元法也是强有力的手段。
第四节 重积分的应用——元素法
一、内容要点
1、曲面面积：σd z z A y x D xy 221++=
??
2、物体的质量：
平面薄片质量 ??=D d y x M σμ),(
空间物体质量 dv z y x M ),,(μ???Ω
=
3、物体重心： 平面薄片的重心：???????==????D
D d y x y M y d y x x M x σ
μσμ),(1),(1 空间物体的重心： ???????????===?????????Ω
ΩΩdv z y x z M z dv z y x y M y dv z y x x M x ),,(1),,(1),,(1μμμ 4、转动惯量：
平面薄片对坐标轴及原点的转动惯量：
??=D
x d y x y I σμ),(2
??=D
y d y x x I σμ),(2
??+=D
d y x y x I σμ),()(220
空间物体对于坐标面、坐标轴及原点的转动惯量：
dv z y x z I xy ),,(2μ???Ω
=
dv z y x z y I x ),,()(22μ+=???Ω
dv z y x z y x I ),,()(2220μ++=???Ω
5、引力： dv r
x x z y x G F x 30))(,,(-=???Ωμ 例1求曲面面积
例2求物体的重心
例3求转动惯量
二、教学要求和注意点
1、掌握三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）的算法。
2、用元素法解决实际问题
第一节 二重积分的概念与性质 一、内容要点 1、引例 例1曲顶柱体的体积 例2平面薄片的质量 通过两个实际意义不同的例子，引出所求量可归结为同一形式的和式的极限，进而一般地抽象出二重积分的定义。 2、二重积分的概念：注意讲清楚定义中两个“任意性”及和式极限中各符号的意义。 3、二重积分的性质1-6，注意将其与定积分性质加以比较。 例3关于估值定理的应用 例4关于中值定理的应用 4、二重积分的几何意义——曲顶柱体的体积。 二、教学要求和注意点 理解二重积分，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理。 第二节 二重积分的计算法 一、内容要点 利用直角坐标计算二重积分 1、从几何入手，利用计算“平行截面面积为已知的立体的体积”方法，将二重分化为二次积分： ①若D 为X —型区域：{}b x a x y x y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D x x b a dy y x f dx d y x f )()(21),(),(??σ ②若D 为Y —型区域：{}d y c y x y y x ≤≤≤≤),()(),(21?? 则 ????=D y y d c dx y x f dy d y x f )()(21),(),(??σ ③若D 既非X —型，又非Y —型区域，则将D 划分为若干子区域，使每一个子区域为X —型或Y —型。 2、介绍“对称性”在二重积分计算中的应用。 例1化二重积分为二次积分并求值，通过例子说明确定积分限的方法。 例2更换积分次序并计算，通过该例说明选择积分次序的重要性。
例3关于利用对称性计算二重积分的例子。 例4被积函数为绝对值函数、符号函数，取最大值或最小值等函数的例子。 利用极坐标计算二重积分 1、介绍极坐标下二重积分的换元公式。 2、何时选用极坐标进行计算，一般说来，当积分域D 的边界曲线用极坐标方程表示比较简单或被积函数用极坐标表示比较简单，可考虑用积坐标计算。 3、确定积分上下限的办法。 例1将直角坐标系下的二次积分化为极坐标系下的二次积分 例2利用二重积分计算概率积分 dx e x 2 0-+∞? 例3将极坐标系下的二次积分化为直角坐标系下的二次积分 例4利用极坐标计算二重积分 二、教学要求和注意点 1、掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法 2、将重积分化为累次积分计算时，积分限的确定要保持每个单积分的下限小于上限，因此在交换二次积分次序时应注意符号问题。 3、在二重积分的计算时应尽量利用区域和被积函数的对称性以简化计算。 第四节 三重积分 一、内容要点 1、三重积分的概念，存在性及性质 2、三重积分在直角坐标系下的计算 ①先单积分后二重积分 ②先二重积分后单积分 3、更换积分次序 例1将三重积分化为三次积分 例2更换积分次序 例3先二重积分后单积分 4、柱面坐标系下三重积分的计算。 5、何时选用柱面坐标——当Ω是柱形，锥形或旋转体且在坐标面上的投影是圆域或其部分，或者被积函数含有式子)(22y x +?等时，常用柱面坐标计算。 6、球面坐标系下三重积分的计算。 7、何时选用球面坐标——当Ω是球体或其部分，或被积函数含有式子)(222z y x ++?
二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。 二重积分的定义 设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数： (1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）； (2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积； (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 (4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作: 即：= 其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域. 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。 二重积分的性质 (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末: ≤ (5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使 其中σ是区域(σ)的面积. 二重积分的计算法 直角坐标系中的计算方法 这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。为此我们有积分公式，如下：
高等数学论文 《二重积分学习总结》 ：徐琛豪 班级：安全工程02班 学号：1201050221 完成时间：2013年6月2日
二重积分 【本章学习目标】 ⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值围。 ⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系下重积分的计算方法。 ⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。 1 二重积分的概念与性质 1．二重积分定义 为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。 在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一是将区域D 成n 个小区域12,,,n σσσ???的分法要任意，二是在每个 小区域i σ?上的点(,)i i i ξησ∈?的取法也要任意。有了这两个“任意”， 如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0λ→时总有同一个极限，才能称二元函数(,)f x y 在区域D 上的二重积分存在。 2．明确二重积分的几何意义。 (1) 若在D 上(,)f x y ≥0，则(,)d D f x y σ??表示以区域D 为底，以 (,)f x y 为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)f x y ＝1时，(,)d D f x y σ ??表示平面区域D 的面积。
7.1二重积分的基本概念（教案） 主讲人：孙杰华 教学目的：理解二重积分的概念、性质 教学重难点：二重积分的概念、二重积分的几何意义. 教学方法：讲授为主 教学内容： 一、二重积分的概念 1．曲顶柱体的体积 设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面(.)z f x y =，称这种立体为曲顶柱体. 与求曲边梯形的面积的方法类似，我们可以这样来求曲顶柱体的体积V : (1)用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?， ，n σ?，以这些小区 域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω， ，n ?Ω. （假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值.)，从而1 n i i V ==?Ω∑． 图7.1 (2)由于(,)f x y 连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大．因此,可以将小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是
(,),((,))i i i i i i i f ξησξησ?Ω≈??∈?. (3)整个曲顶柱体的体积近似值为 1 (,)n i i i i V f ξησ=≈?∑. (4)为得到的精确值,只需让这个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩．为此,我们引入区域直径的概念: 一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者. 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零. 设n 个小区域直径中的最大者为λ,则 1 lim (,),(,)n i i i i i i i V f λξησξησ→==??∈?∑. 2．二重积分的定义 设(),f x y 是闭区域D 上的有界函数, 将区域D 分成个小区域 12,,,,n σσσ??? 其中,i σ?既表示第i 个小区域,也表示它的面积, i λ表示它的直径. 1max{}(,)i i i i i n λλξησ≤≤=?∈?， 作乘积(,)(1,2 ,)i i i f i n ξησ?=， 作和式 1 (,)n i i i i f ξησ =?∑， 若极限()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑存在,则称此极限值为函数(),f x y 在区域D 上的二重积分,记 作 (),D f x y d σ??.即 (),D f x y d σ=??()0 1 lim ,n i i i i f λξησ →=?∑． 其中:(),f x y 称之为被积函数,(),f x y d σ称之为被积表达式,d σ称之为面积元素, ,x y 称之为积分变量,D 称之为积分区域. V n
第九章 重积分 第一节 二重积分的概念及性质 一．二重积分的概念 1．引例 引例1 曲顶柱体的体积 设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z = 所表示的曲面， 如图9—1所示， 这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。 图9—1 图9—2 图9—3 解 对于平柱体的体积底面积高?=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下 (1)分割 把区域D 任意划分成n 个小闭区域n σσσ???,,,2 1 ，其中i σ?表示第i 个小闭区域， 也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。 (2)近似 在每一个小闭区域i σ?上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，i σ?为底的平顶柱体 的体积i i i f σηξ?),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。
i i i f V σηξ?≈?),( (3)求和 这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值 ∑=?≈?=n i i i i f V V 1),(σηξ (4)取极限 将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。即 ∑=→?=n i i i i f V 10 ),(lim σηξλ 其中λ表示这n 个小闭区域i σ?直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区 域中任意两点间的距离）。 引例2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数 ),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。 解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度?=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下 (1)分割 将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片n σσσ???,,,2 1 ，其中i σ?表示第i 个 小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。 (2)近似 在每一个小薄片i σ?上任取一点),(i i ηξ，以),(i i ηξρ为其密度，当i σ?很小时，认 为小薄片是均匀的，则i i i σηξρ?),(近似代替第i 个小薄片的质量。即 i i i m σηξρ?≈?),( (3)求和 这n 个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值
第十章 重积分 第一节 二重积分的概念与性质 一、填空题 1. 二重积分的定义是对 有界闭 区域上的 有界 函数而说的，当和式的极限0lim λ→()1,n i i i i f ξησ=Δ∑存在时，二重积分存在，对于 闭 区域上的 连续 _函数， 二重积分一定存在. 2. 设曲顶柱体的顶部曲面函数(,)z f x y =，它的底部区域为，则曲顶柱体的体积表示 D 为(,)d σ∫∫D f x y . 3. 设{}22(,)1D x y x y =+≤，则d D σ=∫∫π. 4. 由二重积分几何意义，d D x y =3π6a .（为D 222x y a +≤，）. 0,0,0x y a ≥≥≥提示：当时， (,)0f x y ≥(,)d D f x y σ∫∫表示以为底，以曲面D (,)z f x y =为顶的曲顶柱 体的体积 5. 设一平面薄片在xoy 面内占的区域为，且其密度函数D 221(,)()2u x y x y = +，则此薄 片的质量表示为221()d 2D x y σ+∫∫ 二、单项选择题 1．()01(,)d lim ,n i i i i D f x y f λσξησ→==Δ∑∫∫中λ是 D . A. 最大小区间长 B. 小区域最大面积 C. 小区域直径 D. 小区域最大直径 61
三、解答题 1. 利用二重积分性质估计积分()222d d D I x y x = ++∫∫y 的值，其中1x y +≤. 解：∵01x y ≤+≤，∴2221x y xy ++≤，即2212x y x +≤?y ， ∴2222323 x y xy ≤++≤?≤，2242 2d 3d 36D D I σσ==≤≤==∫∫∫∫， ∴即 46I ≤≤. 2. 根据二重积分的性质，比较2()d D x y σ+∫∫与3()d D x y σ+∫∫的大小，其中由圆周 D 22(2)(1)x y ?+?=22)围成. 解：，即22(2)(1)x y ?+?≤∵22 (1)22(x y x ?++≤+y ， ∴22(1)11()2x y x y ?+≤+≤23()+，()y x y +≤+，故23()d ()d D D x y x y σσ+≤+∫∫∫∫. x 62
习题9-1，9-2 二重积分的概念及计算法（一） 1．填空题： （1）由二重积分的几何意义得 ∫∫≤+=??122221y x d y x σ . （2）根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： ① ，其中是三角形区域，三顶点为（1,0），（1,1），（2,0），则 ∫∫+=D d y x I σ)ln(1∫∫ +=D d y x I σ22)][ln(D 1I 2I . ②，，其中是由∫∫++=D d y x I σ21)1(∫∫ ++=D d y x I σ32)1(D x 轴与直线围成的区域，则 1,0?==+x y x 1I 2I . （3）化二重积分为两种不同次序下的二次积分，其中是直线D 2,==x x y 及双曲线)0(1f x x y =所围成的闭区域，= ∫∫d y x f σ),(D = （4）①交换积分次序： ∫∫??=22221),(x x x dy y x f dx ②交换积分次序： ∫∫∫∫?=+y y dx y x f dy dx y x f dy 20313010),(),( 2．利用二重积分的性质，估计积分的值： ∫∫++=D d y x I σ)94(22，其中是圆形闭区域：. D 422≤+y x 3．计算下列二重积分： （1）∫∫+= D d x x y I σ2)1(cos ，其中是顶点分别为（0,0）,(1,0),(1,2)和（0,1）的梯形闭区域. D （2），其中是由∫∫+=D y x d e I σD 1≤+y x 所确定的闭区域. 4．计算二次积分∫∫101dx e dy y x y . 5．交换积分次序，证明： ∫∫∫???=a y a x a m x a m dx x f e x a dx x f e dy 000)()()()()(. 6．设平面薄片所占的闭区域是由直线D x y y x ==+,2和x 轴所围成，它的面密度
1．利用二重积分定义证明： (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????。 【证明】由二重积分定义 1 (,)lim (,)n i i i i D f x y d f λ σξησ→==?∑??，得 1 (,)lim (,)n i i i i D kf x y d kf λ σξησ→==?∑??0 1 lim (,)n i i i i k f λξησ→==?∑ 1 lim (,)n i i i i k f λξησ→==?∑(,)D k f x y d σ=??， 证毕。 2．利用二重积分的几何意义说明：D kd k σσ=?? （k R ∈为常数，σ为积分区域D 的面积）。 【说明】二重积分的几何意义，就是说，二重积分(,)D f x y d σ??就是以(,)z f x y =为曲顶 的柱体体积， 于是知，二重积分 D kd σ??表示以平面z k =为顶的柱体体积， 而以平面z k =为顶的柱体体积，等于其底面积乘上其高z k =， 但该柱体的底面积就是积分区域D 的面积σ， 从而得， D kd k σσ=??。 3．利用二重积分的性质估计下列积分的值： ⑴ ()D xy x y d σ+??，其中积分区域{}(,)01,01D x y x y =≤≤≤≤； 【解】由于区域{} (,)01,01D x y x y =≤≤≤≤，可知区域D 的面积为 111D d σ=?=??， 而由于01x ≤≤，01y ≤≤，可得01xy ≤≤，02x y ≤+≤， 从而有0()2xy x y ≤+≤， 由二重积分性质6.7.5（估值不等式）即得 0()2D D D d xy x y d d σσσ≤+≤?????? 亦即为 0()2D xy x y d σ≤+≤??。 ⑵ (1)D x y d σ++??，其中积分区域{}(,)01,02D x y x y =≤≤≤≤； 【解】由于区域{} (,)01,02D x y x y =≤≤≤≤，可知区域D 的面积为 122D d σ=?=??，
第九章重积分 第一节二重积分的概念及性质 重积分的概念 1 ?引例 引例1曲顶柱体的体积 设有一立体的底是xy面上的有界闭区域D，侧面是以D的边界曲线为准线、母线 平行于z轴的柱面，顶是有二元非负连续函数z f(x,y)所表示的曲面，如图9—1所示, 这个立体称为D上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。 图9—1 图9—2 图9 —3 解对于平柱体的体积V高底面积，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下 (1)分割 把区域D任意划分成n个小闭区域，，，，其中表示第i个小闭区域， 1 2 n i 也表示它的面积。在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z轴的柱面，如图9—2所示。这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体。 ⑵近似 在每一个小闭区域上任取一点(，)，以f ( i , i)为高，为底的平顶柱体 i I / i 的体积f( i, i) i近似代替第i个小曲顶柱体的体积
V f ( i, i) (3) 求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值n V V f ( i, i) i i1 (4) 取极限 将区域D无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲 顶柱体的体积。即 n V lim0 f ( i, i ) i i1 其中表示这n 个小闭区域直径中最大值的直径(有界闭区域的直径是指区 i 域中任意两点间的距离) 。 引例2 平面薄片的质量 设有一平面薄片占有 xy面上的有界闭区域D，它的密度为D上的连续函数 z (x, y) ，试求平面薄片的质量。 解对于均匀平面薄片的质量m 密度薄片面积，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下 (1)分割 将薄片(即区域D )任意划分成n个小薄片，其中表示第i个 1 2 n i 小小薄片，也表示它的面积，如图9—3 所示。 (2)近似 在每一个小薄片」上任取一点(「丿，以(i, J为其密度，当i很小时，认 为小薄片是均匀的，则(i, i) i近似代替第i个小薄片的质量。即 m ( i , i) i (3)求和 这n个小薄片的质量之和即为薄片的质量的近似值
第 1 页 第九章 重积分 Chapter 9 Multiple Integrals 9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals) 定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用 (1,2,)i i n σ?=L 表示。在每个(1,2,)i i n σ=L 上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)n i i i i f ξησ=?∑。假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)n i i i i f I ξησε=?-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。这样就称f 在D 上可积， I 称为f 在D 上的二重积分，记作(,)D f x y d I σ=??或01(,)lim (,)λσξησ→==?∑??n i i i i D f x y d f Definition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧 1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregions i σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ?=L Choose arbitrarily a point (,)i i ξη in (1,2,)i i n σ=L and then form the sum 1(,)n i i i i f ξησ=?∑。Suppose that there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a 0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregions i σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)n i i i i f I ξησε=?-<∑， no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ=L Then f is said to be integrable over D and I is the double integral of f over D ,written (,)D f x y d I σ=??,or 01(,)lim (,)λσξησ→==?∑?? n i i i i D f x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals) 性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即 ((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±??????. Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is ((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±?????? 性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=????,若k 为常数。 Property 2 The constant factor in the integrand function can
第一节二重积分的概念与性质 学习指导 １．教学目的：使读者理解二重积分的概念与性质。 ２．基本练习：熟悉二重积分的几何、物理背景。熟悉二重积分的性质。 3．应注意的事项： 二重积分是二元函数乘积和式的极限，是定积分的推广，因此从引例到研究方法，从定义到性质都是类似的，读者要善于比较，触类旁通，温故而知新。 第一节二重积分的概念与性质 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 （1）曲顶柱体 （2）曲顶柱体的体积 现在我们来讨论如何定义并计算上述曲顶柱体的体积V。 平顶柱体的体积 2. 平面薄片的质量 (1) 问题的提出 (2) 均匀薄片的质量
(3) 非均匀薄片质量的计算方法 (4) 二重积分的定义 上面两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同一形式的和的极限。在物理、力学、几何和工程技术中，有许多物理量或几何量都可以归结为这一形式的和的极限。因此我们要一般的研究这种和的极限，并抽象出下述二重积分的定义。 定义设是有界闭区域上的有界函数.将闭区域任意分成个小闭区域 。 其中 表示第个小闭区域，也表示它的面积。再每个上任取一点，作乘积 ，并作和。如果当个小闭区域的直径中最大值 趋于零时，这和的极限总存在。则称此极限为函数在闭区域上的二重积分，记 作，即 。（1） 叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做面积元素，与叫 其中 积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。 (5) 直角坐标系中的面积元素 在二重积分的定义中对闭区域的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的 直线网来划分，那么除了包含边界点的一些小闭区域外，其余的小闭区域都是矩形闭区域。 设矩形闭区域的边长为和，则。因此在直角坐标系中，有 时也把面积元素记作。而把二重积分记作 。 其中叫做直角坐标系中的面积元素。