《高等数学》（下）——说课稿
说课教师：方政蕊（经济与数学系）
各位评委、老师：大家好!
我是经济与数学系的数学教师方政蕊，很荣幸能够参加此次的说课活动，希望各位评委、老师对我的说课内容提出宝贵意见。
下面我将就本学期我所担任的《高等数学》这门课程所使用的教材、该课程的地位作用、教学方法的选择、学生学法的指导和教学过程的设计等几个方面来向大家做一简要介绍。
一、教材介绍
这门课所使用的教材是同济大学出版社出版的面向21世纪普通高等教育规划教材《高等数学》的下册，该教材内容符合教学大纲的要求，知识系统、体系结构清晰、例题丰富、语言通俗易懂，讲解透彻难度适中，在上册一元函数微积分的基础上进一步较系统地介绍多元函数微分学，多元函数积分学，无穷级数和微分方程等高等数学的知识。
二、课程介绍
1、地位和作用
高等数学在当今社会的各个领域都有广泛的应用，因而“高等数学”是理工类本科教学重要基础课之一，通过本课程的教学，旨在使学生掌握该课程的基本概念、基本理论和方法，提高学生应用数学知识解决实际问题的意识和能力，为学生继续学习后续相关专业课奠定必要的数学基础。
2、教学目标
（1）、理解多元函数的概念、会求二元函数的偏导数和全微分
（2）、能将多元函数应用到几何上，会求极值
（3）、理解多元函数的概念、性质，掌握二重积分的计算方法
（4）、掌握三重积分、曲线积分和曲面积分的计算方法
（5）、理解无穷级数的概念、性质，掌握判别级数收敛性的方法
（6）、会将函数展开成幂级数或傅里叶级数
（7）、理解微分方程的概念，掌握求微分方程的解的方法
3、教学重点和难点
（1）、求二元函数的偏导数、极值
（2）、求二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分
（3）、无穷级数的收敛性判别、将函数展开成幂级数或傅里叶级数
（4）、解微分方程
二、教学方法
科学合理的教学方法能使教学效果事半功倍，达到教与学的和谐完美统一。数学是本科教学中的重要基础课，是一门培养和发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”而且要使学生“知其所以然”。
根据教学内容、教学目标和学生的认知水平，我主要采取教师启发讲授、适当点拨和学生探究学习的教学方法。教学过程中，教师可以系统的传授知识，充分发挥教师的主导作用，根据教材提供的线索，安排适当的教学情境，让学生展
示相应的数学思维过程，使学生有机会经历数学概念抽象的各个阶段，引导学生独立自主地开展思维活动，深入探究，在思考中体会数学图象变换过程中所蕴涵的数学方法，使之获得内心感受，特别是通过多媒体课件的演示，直观展示函数图象的变化过程，激发学生的兴趣，从而创造性地解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力，突出学生的主体地位．
除使用常规的教学手段外，还将使用多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识。
三、学生学法指导
我们常说：“授人以鱼不如授人以渔”，因而在教学中要特别重视学法的指导。转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。
我以教学大纲和课程标准为指导，辅以多媒体手段，结合师生共同讨论、归纳，着重引导学生学会探索研究的学习方法。探究式学习法的好处是学生主动参与知识的发生、发展过程，在探究的过程中激发学生的好奇心和创新意识，在探究过程中学习科学研究的方法,在探究过程中培养坚韧不拔的精神。学生掌握了这种学习方法后，对学生终生学习都有积极意义。
四、教学过程的设计
为完成本门课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为六个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握求法，适当延展；适当练习，巩固新课；归纳小结，提高认识；作业布置，巩固提高。具体过程如下：1、创设情境，引入课题
在学生原有的知识体系上,通过类比逐步引导学生从一元函数的极限、连续、求导和积分到多元函数的的极限、连续、求导和积分过渡,发现两者之间的内在联系,这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中。2、归纳探索，形成概念
由引例得出新课的知识点，如在讲多元函数积分的概念上，由两个引例求曲顶柱体的体积和平面薄片的质量的讲解，归纳总结出多元函数积分的概念。
3、掌握求法，适当延展
通过例题的讲解，让学生掌握多元函数微积分的计算方法。在讲解例题时，不仅在于怎样解，更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。在课本例题的基础上，适当将题目引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。
4、适当练习，巩固新课
针对学生素质的差异进行分层训练，既使学生掌握基础知识，又使学有余力的学生有所提高，从而达到拔尖和“减负”的目的，具体做法是课堂提问和让学生到黑板上解题。
5、归纳小结，提高认识
知识性内容的小结，可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质；数学思想方法的小结，可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用，并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标。
6、作业布置，巩固提高：根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择
“二重积分”的教学方案的设计
经济与数学系方政蕊
二重积分是《高等数学》下册第六章第一节的内容。在此之前，学生已学习了定积分,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容在高等数学中，占据着重要地位，以及为其他学科和今后专业课程的学习打下基础。本着课程标准，在吃透教材的基础上，我确立了如下的教学目标、教学重点和教学难点:
一、教学目标：1、理解二重积分的概念与性质
2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分
二、教学重点与难点：二重积分的计算
三、教学准备：1、教师：查看参考书、编写教案或课件制作
2、学生：课前预习
四、教学时间：2课时
五、教学方案设计
为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学环节设计为四个阶段：创设情境，引入课题；归纳探索，形成概念；掌握求法，适当延展；归纳小结，提高认识，具体过程如下：
1、创设情境，引入课题
长期以来，我们的学生为什么对数学不感兴趣，甚至害怕数学，其中的一个重要因素就是数学离学生的生活实际太远了。事实上，数学学习应该与学生的生活融合起来，从学生的生活经验和已有的知识背景出发，让他们在生活中去发现数学、探究数学、认识并掌握数学。
概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括，只有学生对学习对象有了丰富具体经验以后，才能使学生对学习对象进行主动的、充分的理解，因此在本节的教学中，我从具体的两个实例引出概念：
（1）、曲顶柱体的体积
先用两分钟时间，让学生回忆学习定积分时求曲边梯形面积的方法，再利用类比的方法讲解求曲顶柱体的体积。
（2）、平面薄片的质量
用同样的方法求出平面薄片的质量
2、归纳探索，形成概念
把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步，以上两个实例可以抽象地给出二重积分的定义，从而引出二重积分的概念。
（1）、对概念作进一步解释，并与定积分的概念作比较，加深学生的印象，最后强调几个要点。
（2）、给出二重积分的性质，使学生能更深刻地理解二重积分。
3、掌握求法，适当延展
（1）、直角坐标系下二重积分的求法
在讲二重积分的计算前，先让学生回顾定积分的基本公式和计算方法，提问两位学生，得出结论。再重点介绍二重积分的计算方法，对于不同的区域要用不同的积分次序进行积分，详细讲解两种区域的特点，推导出计算二重积分的公式。（2）、讲解例题
选择典型而具有代表性的例题3个，一个的积分区域是X-型，一个既是X-型又是Y-型，一个既不是X-型也不是Y-型，使学生掌握不同积分区域的二重积分的计算，并及时对解题方法和规律进行概括，有利于发展学生的思维能力。（3）、极坐标下二重积分的求法
很多学生没有学过极坐标，所以先对极坐标作简单的介绍，再讲解用极坐标求二重积分，通过直角坐标与极坐标的变换得出公式，并强调在什么情况下选择用极坐标求二重积分。
（4）、讲解例题
选择例题2个，一个是既可以用直角坐标计算又可以用极坐标计算，另一个是只能用极坐标计算的例子，经过对比，使学生了解有时用极坐标计算二重积分会减少很多计算量。
（5）、能力训练
为了使学生达到对知识的深化理解，从而达到巩固提高的效果，我特地设计了一组即时训练题，并且把课本的例题熔入即时训练题中，随机抽两位学生到黑板上做课堂练习，再作评讲，使学生能巩固所学知识与解题思想方法。
（6）、变式延伸，进行重构
重视课本例题，适当对题目进行引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工，从而达到举一反三的效果。
4、归纳小结，提高认识
提出问题：这节课你们学到了什么？
鼓励学生积极回答，答不完整的没有关系，其它同学补充。以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。
5、布置作业根据学生的不同层次分为必做和选做,由学生自主选择。
六、板书设计
好的板书就像一份微型教案，此板书力图全面而简明的将授课内容传递给学生，清晰直观，便于学生理解和记忆，理清文章脉络。
我在上这节课时较注重板书的设计，将定义、性质和计算方法写在黑板的左边，例题和讲解写在黑板的右边，特别是有的例题没有马上擦去，保留到下一个例子讲完，这样就可以进行对比。
下面附上板书设计与详细教案：
附1：板书设计
附2：教案
第一节 二重积分
教学目标：1、理解二重积分的概念与性质
2、掌握利用直角坐标系和极坐标计算二重积分 教学重点与难点：二重积分的计算 一、二重积分的概念 1. 引例1：曲顶柱体的体积
设有一空间立体Ω,它的底是xoy 面上的有界区域D ,它的侧面是以D 的边界曲线为准线,而母线平行于z 轴的柱面,它的顶是曲面),(y x f z =(0),(≥y x f )，称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积V 可以这样来计算:
(1) 用任意一组曲线网将区域D 分成n 个小区域1σ?，2σ?， ，n σ?，以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于z 轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体Ω分划成n 个小曲顶柱体1?Ω，2?Ω， ，n ?Ω。
（假设i σ?所对应的小曲顶柱体为i ?Ω,这里i σ?既代表第i 个小区域,又表示它的面积值, i ?Ω既代表第i 个小曲顶柱体,又代表它的体积值）。
从而
∑=?Ω=n
i i
V 1 图
9-1-1
(2) 由于),(y x f 连续,对于同一个小
区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将第i 个小曲顶柱体近似地看作小平顶柱体,于是
i i i i f σηξ?≈?Ω),(，)),(i i i σηξ?∈ 整个曲顶柱体的体积近似值为
∑=?≈n
i i i i f V 1),(σηξ
(3) 为得到V 的精确值,只需让这n 个小区域越来越小,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。 所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。 设n 个小区域直径中的最大者为λ,定义
∑=→?=n
i i i i f V 10
),(lim σηξλ
2.引例2：平面薄片的质量
设有一平面薄片占有xoy 面上的区域D , 它在),(y x 处的面密度为),(y x ρ（0),(>y x ρ）,现计算该平面薄片的质量M 。
(1)将D 分成n 个小区域
1σ?，2σ?， ，
n σ?，i σ?既代表第i 个小区域又代表它的
面积。
(2)第i 小平面薄片的质量可近似为 图
9-1-2
i i i i M σηξρ?≈?),(，)),(i i i σηξ?∈
整个平面薄片的质量的近似值为 ∑=?≈n
i i i i M 1),(σηξρ
(3)记i λ为i σ?的直径，},,,max{21n λλλλ =, 整个平面薄片的质量定义为
∑=→?=n
i i i i M 10
),(lim σηξρλ
综上，两种实际意义完全不同的问题, 都归结同一形式的极限。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景, 给出一个更广泛、更抽象的数学概念,即二重积分。
3. 二重积分的定义
定义 设),(y x f 是闭区域D 上的有界函数。 (1) 将区域D 任意分成n 个小区域
1σ?，2σ?， ，n σ?其中, i σ?既表示第i 个小区域, 也表示它的面积。
(2) 在第i 个小区域i σ?上任取一点),(i i ηξ，作乘积 i i i f σηξ?),(，
),,2,1(n i =，作和
∑=?n
i i i i f 1
),(σηξ
(3) 记i λ为i σ?的直径，},,,max{21n λλλλ =，若极限 ∑=→?n
i i i i f 10
),(lim σηξλ
存在，则称此极限值为函数),(y x f 在区域D 上的二重积分,记作 ??D
d y x f σ),(，
即
∑??=→?=n
i i i i D
f d y x f 1
),(lim ),(σηξσλ
其中: ),(y x f 称为被积函数, σd y x f ),(称为被积表达式,σd 称为面积元素,y x ,称为积分变量, D 称为积分区域, ∑=?n
i i i i f 1),(σηξ称为积分和式。
4. 几点说明：
(1) 极限 ∑=→?n
i i i i f 10
),(lim σηξλ的存在性不依赖区域D 的分割，也不依赖
),(i i ηξ的取法。
(2) 二重积分的存在性定理：若),(y x f 在闭区域D 上连续, 则),(y x f 在D 上的二重积分存在。
(3) ??D
d y x f σ),(中的面积元素σd 象征着积分和式中的i σ?。
由于二重积分的定义中对区域D 的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域D ,因此,可以将σd 记作dxdy (dxdy 为直角坐标系
下的面积元素 ) 二重积分也可表示成为
??D
d y x f σ
),(。 图9-1-3
(4) 若(),0f x y ≥,二重积分表示以),(y x f z =为曲顶,以D 为底的曲顶柱体的体积，即
??∑=?==→D
n
i i i i d y x f f V σσηξλ),(),(lim 1
二、二重积分的性质 1. 线性性质
??????+=+D
D
D
d y x g d y x f d y x g y x f σβσασβα),(),(]),(),([
其中:βα,是常数。 2. 对区域的可加性
若区域D 分为两个部分区域1D ,2D 则
??????+=2
1
),(),(),(D D D
d y x f d y x f d y x f σσσ
3. 若在D 上, 1),(≡y x f ,σ表示区域D 的面积,则
σσσσ=?=??????D
D
D
d d d y x f 1),(
4. 若在D 上, ),(),(y x y x f ?≤,则有不等式
????≤D
D
d y x d y x f σ?σ),(),(
特别地,由于|),(|),(|),(|y x f y x f y x f ≤≤-，有
??
??≤D
D
d y x f d y x f σσ),(),(
5. 估值不等式
设M 与m 分别是),(y x f 在闭区域D 上最大值和最小值,σ是区域D 的面积,则
σσσM d y x f m D
≤≤??),(
6. 二重积分的中值定理
设函数),(y x f 在闭区域D 上连续, σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点),(ηξ,使得
σηξσ),(),(f d y x f D
=??
证明：由于),(y x f 在闭区域D 上连续，故),(y x f 在闭区域D 上取得其最大值M 和最小值m 。由性质5，得
σσσM d y x f m D
≤≤??),(
显然0≠σ，因此有M d y x f m D
≤≤
??σσ
),(1
再由二元函数的介值性质知道，至少存在一点D ∈),(ηξ，
使得),(),(1
ηξσσ
f d y x f D =?? 即σηξσ),(),(f d y x f D
=??
例1 比较积分??+D
d y x σ)ln(与??+D
d y x σ2)][ln(，其中D 是三顶点为)0,1(，
)1,1(和)0,2(的三角形。
例2 估计积分值
??++=D
d y x I σ)1(
其中}20,10|),({≤≤≤≤=y x y x D 三、二重积分的计算法 1、利用直角坐标计算二重积分
根据二重积分的几何意义可知, 当0),(≥y x f 时，??D
d y x f σ),(的值等于以D
为底,以曲面),(y x f z =为顶的曲顶柱体的体积。 在区间],[b a 上任意取定一个点0x , 作平行于yoz 面的平面0x ,这平面截曲
顶柱体所得截面是一个以区间
)](,)([0201x x ??为底,
),(0y x f z =为曲边的曲边梯形,其面 积为
?
=)
()
(000201),()(x x dy y x f x A ??
一般地,过区间],[b a 上任一点x 且平行于yoz 面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
?
=)
()
(21),()(x x dy y x f x A ??
利用计算平行截面面积为已知的立体的体积的方法,该曲顶柱体的体积为
dx dy y x f dx x A V b
a
x x b
a
]),([)()
()
(21??
?==??
从而有
dx dy y x f d y x f b
a
x x D
]),([),()
()
(21????=??
σ
这也称为先对y , 后对x 的二次积分，也常记作
??
??
=b
a
x x D
dy y x f dx d y x f )
()
(21),(),(??σ
其中：积分区域D 为})()(,|),({21x y x b x a y x ??≤≤≤≤。
如果积分区域D 为
})()(,|),({21y x y d y c y x ψψ≤≤≤≤， 则二重积分也可化为
?
?
??=d
c
y y D
dx y x f dy d y x f )
()
(21),(),(ψψσ
例1 计算 σd x I D
)1(2??-=，其中
}0,10|),({x y x y x D ≤≤≤≤=
解：由二重积分的计算方法，得
[]
4142
)1( )1( )1()1(1
0421
020
21
00
210
2=
??????-=-=-=-=-=??????x x dx x x y
x dx dy
x dx d x I x
x
D
σ
例2 σd y x y I D
221-+=??，其中D 是由直线x y =、1-=x 和1=y 所围成
的闭区域。
解：由于积分区域}1,11|),({≤≤≤≤-=y x x y x D ，得
2
1)1(32)1||(31 )1(31 11103113
1
11
2
3221
221
1
22=
--=--=??????-+-=-+=-+=???????---dx x dx x dx y x dy
y x y dx d y x y I x x
D
σ
例3计算 σd xy I D
??=，其中D 是由抛物线x y =2、2-=x y 所围成的闭区
域。
解：由与积分区域可表为}2,21|),({2+≤≤≤≤-=y x y y y x D ， 用先对x 后对y 的积分次序，得
8
45
6234421 ])2([2
1 2 2
162
34215
22
12
2
22122
=
?
?????-++=-+=
???
???===---++-???
???y y y y dy y y y dy
y x xydx
dy d xy I y y y y D
σ
如果用先对y 后对x 的积分次序，积分区域分成两个区域，即
},10|),({1x y x x y x D ≤≤-≤≤=
}2,41|),({2x y x x y x D ≤≤-≤≤= 因此
?
??
???????--+=+==x x x x
D D D
dy
xy dx dy xy dx d xy d xy d xy I 2
4
1
10
1
1
σ
σσ
3
13
168R V V =
= 2、利用极坐标计算二重积分
直角坐标),(y x 与极坐标),(θρ的变换关系为
θρcos =x ，θρsin =y
在极坐标),(θρ下，面积元素为
θρρσd d d =
因此有
????=D
D
d d f d y x f θρρθρθρσ)sin ,cos (),(
如果积分区域为
},)()(|),({21βθαθ?ρθ?θρ≤≤≤≤=D
则
??
?
???
==βα
θ?θ?θ?θ?β
αρ
ρθρθρθθ
ρρθρθρθρρθρθρd f d d d f d d f D
)sin ,cos ( ])sin ,cos ([)sin ,cos ()
()
()
()
(2121
如果积分区域为
},)(0|),({βθαθ?ρθρ≤≤≤≤=D 则
??
?
???==βα
θ?θ?βαρ
ρθρθρθθ
ρρθρθρθρρθρθρd f d d d f d d f D
)sin ,cos ( ])sin ,cos ([)sin ,cos ()
(0
)
(0
如果积分区域为
}20,)(0|),({πθθ?ρθρ≤≤≤≤=D 则
??
?
???
==πθ?θ?πρ
ρθρθρθθ
ρρθρθρθρρθρθρ20
)
(0
)
(0
20)sin ,cos ( ])sin ,cos ([)sin ,cos (d f d d d f d d f D
例4计算??--D
y x
dxdy e 2
2
，其中D 是中心在原点、半径为a 的圆周围成的区域。
解：在极坐标下，D 可表示为πθρ20,0≤≤≤≤a ，因此
)
1()1(2
1 21- ][2
222
2
2
2
2002020
0a a a
a
D
D
y x e d e d e d d e d d e dxdy e --------=-=???
???===????????πθθ
θ
ρρθρρππ
ρπρρ 例5 求球体22224a z y x ≤++被圆柱面ax y x 222=+所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。
解：由对称性
dxdy y x a V D
??--=22244
其中D 为半圆周22x ax y -=与x 轴所围成的区域，即
}20,20|),({2x ax y a x y x D -≤≤≤≤=
利用极坐标计算，得
ρ
ρρθθ
ρρρθπ
d a d d d a dxdy y x a V a D
D
?
?????-=-=--=cos 20
2220
2222244 4444
)3
2
2(332)sin 1(33232033-=-=?πθθπ
a d a
作业：P88 P89
授课题目定积分的概念 课时数1课时 教学目标理解定积分的基本思想和概念的形成过程，掌握解决积分学问题的“四步曲”。 重点与难点重点：定积分的基本思想方法，定积分的概念形成过程。难点：定积分概念的理解。 学情分析我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基 于这些特点，结合教学内容，我以板书教学为主，多媒 体教学为辅，把概念较强的课本知识直观化、形象化， 引导学生探索性学习。 教材分析本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概念后的学习，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺 垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体 现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变 代变”的基本思想。所以无论从内容还是数学思想方面， 本次课在教材中都处于重要的地位。 教学方法根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲 解为主，同时充分调动学生学习的主动性和思考问题的 积极性。
教学手段 传统教学与多媒体资源相结合。 课程资源 同济大学《高等数学》（第七版）上册 教学内容与过程 一、定积分问题举例 1、曲边梯形的面积 设)(x f y =在区间],[b a 上非负连续。由)(,0,,x f y y b x a x ====所围成的图形称为曲边梯形（见下图），求其面积A ，具体计算步骤如下： （1）分割：在区间],[b a 中任意插入1-n 个分点 b x x x x x a n n =<<<<<=-1210Λ 把],[b a 分成n 个小区间 ],[,],,[],,[12110n n x x x x x x -Λ 它们的长度依次为：n x x x ???,,,21Λ （2）近似代替：区间],[1i i x x -对应的第i 个小曲边梯形面积,)(i i i x f A ?≈?ξ ]).,[(1i i i x x -∈?ξ （3）求和：曲边梯形面积∑∑==?≈?=n i i i n i i x f A A 1 1 )(ξ （4）取极限：曲边梯形面积,)(lim 10∑=→?=n i i i x f A ξλ其中 }.,,m ax {1n x x ??=Λλ 2、变速直线运动路程 设物体做直线运动，已知速度)(t v v =是时间间隔],[21T T 上的非负连续函数，计算这段时间内物体经过的路程s ，具体计算步骤与上相似 x a b y o 1x i x 1-i x i ξ
1.5.3定积分的概念 教学目标 能用定积分的定义求简单的定积分； 理解掌握定积分的几何意义； 重点 定积分的概念、定积分法求简单的定积分、 定积分的几何意义 难点 定积分的概念、定积分的几何意义 复习： 1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点． 新课讲授 1．定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?=）， 在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式： 1 1 ()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-= ?= ∑ ∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数 S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为： ()b a S f x dx = ? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 说明：（1）定积分()b a f x dx ?是一个常数，即n S 无限趋近的常数S
（n →+∞时）称为()b a f x dx ? ，而不是n S ． （2）用定义求定积分的一般方法是： ①分割：n 等分区间[],a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈； ③求和：1()n i i b a f n ξ=-∑ ； ④取极限：() 1 ()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞ =-=∑ ? （3）曲边图形面积：()b a S f x dx =?；变速运动路程2 1 ()t t S v t dt =?； 变力做功 ()b a W F r dr = ? 2．定积分的几何意义 如果在区间[,]a b 上函数连 续且恒有 ()0 f x ≥，那么定积分 ()b a f x dx ? 表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线() y f x = 所围成的 曲边梯形的面积。 例1．计算定积分2 1 (1)x dx +? 分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为5 2 。 即：2 1 5(1)2 x dx += ? 思考：若改为计算定积分 22 (1)x dx -+? 呢？ 改变了积分上、下限，被积函数在 [2,2]-上出现了负值如何解决呢？ （后面解决的问题） 练习 计算下列定积分 1．50(24)x dx -? 解：5 0(24)945x dx -=-=? 2．1 1x dx -? 解：11 111111122 x dx -= ??+ ??=?
《微积分基本定理》（说课稿） 一、教材分析 1、教材的地位及作用 我所选用的教材是科学出版社出版的高等教育“十一五”规划教材《经济数学基础》，由宋劲松老师主编。微积分基本定理是第四章第二节内容，本节内容共设计两个课时，这节课的主要内容是微积分基本公式的导出以及用它求定积分。 本节课是学生学习了不定积分和定积分这两个概念后的继续，它不仅揭示了不定积分和定积分之间的内在联系，同时也提供计算定积分的一种有效方法，为后面的学习奠定了基础。因此它在教材中处于极其重要的地位，起到了承上启下的作用，不仅如此，它甚至给微积分学的发展带来了深远的影响，是微积分学中最重要最辉煌的成果。 二、教学目标及重点、难点 1、教学目标 根据学生的认知结构特征以及教材内容的特点，依据新课程标准要求，确定本节课的教学目标如下： （1）知识与技能目标：通过本节的学习，使学生了解变上限的定积分的定义及相关定理，掌握牛顿—莱布尼兹公式，通过例题及练习，使学生在增加对牛顿—莱布尼兹公式感性认识的基础上，熟练掌握求定积分的方法，从而能够熟练计算定积分. （2）能力目标：本节所讲数学知识主要是为学生学习专业课做准备。要逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力、提高综合运用所学知识分析和解决实际问题的能力。 （3）德育目标：通过微积分基本定理的学习，体会事物间的相互转化、对立统一的辩证关系，培养学生辩证唯物主义观点，提高理性思维能力。 2、教学重点、难点 根据教材内容特点及教学目标的要求确定本节重点为通过探究变上限定积分与原函数的关系，使学生直观了解微积分基本定理的含义，并能正确运用基本定理计算简单的定积分. 根据学生的年龄结构特征和心理认知特点确定本节难点：了解微积分基本定理的含义. ——以学生现有的知识水平对于微积分基本定理的严密证明是存在着一定难度的，而突破难点的关键在于让学生主动去探索，体会微积分基本公式的导出以及利用它来计算简单的定积分，这样才能从真正意义上把握该定理的含义，提高学生的能力，体现学生的主体地位. 三、教法和学法 1、教法： 素质教育理论明确要求：教师是主导，学生是主体，只有教师在教学过程中注重引导，才能充分发挥学生的主观能动性，有利于学生创造性思维的培养和能力的提高，根据本节的教学内容及教学目标和学生的认识规律，我采用类比、启发、引导、探索式相结合的方法，启发、引导学生积极思考本节课所遇到的问题，引导学生联想旧知识来解决和探索新知识，从而使学生产生浓厚的学习兴趣和求知欲，体现了学生的主体地位。 2、学法：
定积分的概念教案
人教A版必修一教材 教材内容分析微积分的出现和发展，极大的推动了数学的发展，同时也推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。本节课是定积分概念的第一节课，教材借助求曲边梯形的面积和物理中变速直线运动的路程，通过直观具体的实例引入到定积分的学习中，为定积分概念构建认知基础，为理解定积分概念及几何意义起到了铺垫作用，同时也为今后进一步学习微积分打下基础。 学生情况分析 本节课的教学对象是本校实验班学生，学生思维比较活跃，理解能力、运算能力和学习交流能力较强。学生前面已经学习了导数，并利用导数研究函数的单调性、极值及生活中的优化问题等，渗透了微分思想。从学生的思维特点看，比较容易把刘徽的“割圆术”与本节课知识联系到一起，能够初步了解到“以直代曲”和“无限逼近”的重要数学思想，但是在具体的“以直代曲”过程中，如何选择适当的直边图形来代替曲边梯形会有一些困难。在对“极限”和“无限逼近”的理解，即理解为什么将直边图形面积和取极限正好是曲边梯形面积的精确值及在对定积分定义的归纳中符号的理解上也会有一些困难。 教学目标 1．从物理问题情境中了解定积分概念的实际背景，初步掌握求曲边梯形的面积的方法和步骤：分割、近似代替、求和、取极限； 2．经历求曲变梯形面积的过程，借助几何直观体会“以直代曲”和“逼近”的思想，学习归纳、类比的推理方式，体验从特殊到一般、从具体到抽象、化归与转化的数学思想； 3．认同“有限与无限的对立统一”的辩证观点,感受数学的简单、简洁之美． 教学重点直观体会定积分的基本思想方法：“以直代曲”、“无限逼近”的思想； 初步掌握求曲边梯形面积的方法步骤——“四步曲”（即：分割、近似代替、求和、取 极限） 教学难点对“以直代曲”、“逼近” 思想的形成过程的理解． 教学方式教师适时引导和学生自主探究发现相结合． 辅助工具投影展台，几何画板． 教学过程 引入新课问题：汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为 S vt =．如果汽车作变速直线运动，在时刻t的速度为()2 v t t=（单 位：km/h），那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程S （单位：km）是多少？ 创设情境，引入 这节课所要研究的 问题. 类比探究，形成方法如图，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线() y f x =的一 段，我们把由直线,(),0 x a x b a b y ==≠=和曲线() y f x =所围 成的图形称为曲边梯形． 如何计算这个曲边梯形的面积？ （1）温故知新，铺垫思想 问题1：我们在以前的学习经历中有没有用直边 图形的面积计算曲边图形面积这样的例子？ 问题2：在割圆术中为什么用正多边形的面积计算圆的面积？为什么 要逐次加倍正多边形的边数？ （2）类比迁移，分组探究 问题3：能不能类比割圆术的思想和操作方法把曲边梯形的面积问题 转化为直边图形的面积问题？ 学生活动：学生进行分组讨论、探究。 （3）汇报比较，形成方法 学生需要用原有的 知识与经验去同化 或顺应当前要学习 的新知识，所以问 题1引导学生回忆 割圆术的作法，通 过问题2引导学生 思考割圆术中的思 想方法----“以直代 曲”，和“无限逼 近”。 通过问题3激 发学生探索的愿 望，明确解决问题 的方向。
定积分的概念说课稿 华洪涛（河南科技学院） 尊敬的各位评委老师大家好，我是来自河南科技学院的教师华洪涛，我今天说课的题目是“高等数学第五章第一节定积分的概念”。 一、教材分析 1、课程定位：高等数学在理工院校的教学计划中是一门重要的公共基础理论课。通过本课程的学习，使学生获得的微积分、向量代数及空间解析几何的基本知识和常用的运算方法，为后续课程，特别是专业课程的学习和进一步扩展数学知识奠定必要的基础。 2、地位与作用 第五章第一节定积分的概念，是高等数学中最主要的经典理论，是学生进入“积分”世界必须跨过的第一道门槛。这节课上承极限的运算、导数、不定积分，下接定积分的性质、计算，以及定积分在几何、物理、经济、电工学等其他学科中的应用。正确理解定积分的概念及几何意义有助于进一步讨论定积分的性质与计算方法。 3、教学重点、难点，及学情分析 教学重点：定积分的基本思想方法，定积分概念的形成过程。 教学难点：定积分概念的理解，关键是理解定积分定义的“四步曲”及定积分的几何意义。 学生情况分析：学生已经学习过极限和微分，接受了近似值转化为精确值和以直代曲的数学事实。但是对于概念性知识的理解，特别是将概念性的知识运用于实践还比较欠缺。 二、教学目标 1、知识目标：理解定积分的定义与几何意义，掌握可积性条件，会用定义与几何意义 计算简单函数的定积分。 2、能力目标：逐步培养学生的辨证思维能力和知识迁移的能力，提高学生的抽象思维 能力、探索能力和高等数学语言表达能力。 3、情感目标：引导学生进一步体会“以直代曲”的数学思想，渗透“化整为零零积整” 的辨证唯物观，培养学生勇于探索新知的科学态度，克服畏难心理。 三、教法学法 定积分的概念比较抽象，本节课以学生自主探索和教师的引导相结合的方式。在教学中采用黑板和多媒体相结合，激发学生的学习兴趣，并加深对积分四步曲（大化小、常代变、近似和、取极限）的理解。在教学中由曲边梯形的面积和变速直线运动的路程引出定积分的定义，实际探索方案如下： 教法：引导探究法与讲解法（把曲边梯形面积问题转化为小规则图形面积问题） 1、曲边梯形的面积→若干小曲边梯形的面积→若干小矩形的面积。 2、曲边梯形的面积可近似用若干小矩形的面积和来近似。 3、取和式的极限，引出定积分的定义。 4、对定积分的概念提出四个注意点。 学法：实践法观察法协作法(自主学习分组讨论归纳总结) 5、通过学生分组讨论和归纳总结，得出函数可积的充分条件。 6、请学生用图形直观地揭示定积分的本质。 7、请学生通过定义寻找可积的必要条件。 四、教学过程 根据定积分的概念及知识结构，加上自己对概念的理解，我将整个教学过程分成引导
定积分的概念 教学目标： 知识目标：掌握定积分的含义，理解定积分的几何意义。 能力目标： 1、理解定积分概念中归纳思维的运用； 2、掌握例题求解过程中对比思维的运用。 素质目标：提升分析与解决问题的能力 教学重点和难点： 教学重点 ：定积分的概念和思想 教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想 教学方法： 1、直观法：让抽象的数学与具体的生活结合。 2、归纳法：让严整的数学定义与休闲的娱乐生活结合。 3、类比法：让例题求解过程与社会事例结合。 4、总结法：数学学习中培养的能力贯穿生活、社会、科学等各方面。 教学过程： 一、引入新课 我们已经学过规则平面图形的面积：三角形 四边形 梯形 圆等，那么不规则平面图形的面积该怎么求呢？ 二、讲解新课 实例1曲边梯形的面积 曲边梯形:若图形的三条边是直线段，其中有两条垂直 于第三条底边，而其第四条边是曲线，这样的图形称为曲边梯形，如左下图所示. 曲边梯形面积的确定步骤： 推 广 为 y O M P Q N B x C A A 曲边梯形面积的确定方法：把该曲边梯形沿着 y 轴方向切割成许多窄窄的长条，把每个长条近似看作一个矩形，用长乘宽求得小矩形面积，加起来就是曲边梯形面积的近似值，分割越细，误差越小，于是当所有的长条宽度趋于零时，这个阶梯形面积的极限就成为曲边梯形面积的精确值了.如下图所示： O x y y = f (x )
(1)分割 任取分点b x x x x x a n n =<<<<<=-1210 ,把底边[a ,b ]分成n 个小区间 []21,x x ,(),,2,1n i =.小区间长度记为 ); ,,2,1(1n i x x x i i i =-=?- (2) 取近似 在每个小区间[i i x x ,1-]上任取一点i ξ竖起高线)(i f ξ,则得小长条面积 i A ?的近似值为 i i i x f A ?≈?)(ξ (n i ,,2,1 =); (3) 求和 把n 个小矩形面积相加(即阶梯形面积)就得到曲边梯形面积A 的近似值 i n i i n n x f x f x f x f ?=?++?+?∑=)()()()(1 2211ξξξξ ; (4) 取极限 令小区间长度的最大值{}i n i x ?=≤≤1max λ 趋于零,则和式 i n i i x f ?∑=)(1ξ的 极限就是曲边梯形面积A 的精确值，即 i n i i x f A ?=∑=→1 )(lim ξλ 实例2 路程问题 解决变速运动的路程的基本思路： 把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程的近似值,再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值． （1）分割 （2）近似 （3）求和 （4）取极限 路程的精确值 2、归纳总结曲边梯形的面积和变速运动的路程得出定积分的概念。 3、定积分的概念 定义 3.1 设函数)(x f y =在[b a ,]上有定义，任取分点 <<<=321x x x a n n x x <<-1b =,分],[b a 为n 个小区间],[1i i x x -),,2,1(n i =. 记 {}i n i i i i x n i x x x ?==-=?≤≤-11max ),,,2,1(λ , 212101T t t t t t T n n =<<<<<=- 1--=?i i i t t t i i i t v s ?≈?)(τi i n i t v s ?≈∑ =)(1τ0},,,m ax {21→???=n t t t λi n i i t v s ?=∑=→)(lim 1 0τλ
定积分在几何中的应用 【教学目标】 1．会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教法指导】 本节学习重点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 本节学习难点：会应用定积分求两条或多条曲线围成的图形的面积． 【教学过程】 ☆探索新知☆ 探究点一 求不分割型图形的面积 思考 怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ 答 求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可． 例1 计算由曲线y 2＝x ，y ＝x 2所围图形的面积S . 因此，所求图形的面积为 S ＝S 曲边梯形OABC —S 曲边梯形OABD ＝?10x d x －?10x 2d x ＝23x 32|10－13x 3|10＝23－13＝13 . 反思与感悟 求由曲线围成图形面积的一般步骤： (1)根据题意画出图形； (2)找出范围，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)将面积用定积分表示； (5)用微积分基本定理计算定积分，求出结果． 跟踪训练1 求由抛物线y ＝x 2 －4与直线y ＝－x ＋2所围成图形的面积．
解 由? ???? y ＝x 2－4y ＝－x ＋2 得????? x ＝－3y ＝5或????? x ＝2y ＝0， 所以直线y ＝－x ＋2与抛物线y ＝x 2－4的交点为(－3,5)和(2,0)，设所求图形面积为S ， 根据图形可得S ＝?2－3(－x ＋2)d x －?2－3(x 2 －4)d x ＝(2x －12x 2)|2－3－(13x 3－4x )|2－3＝252－(－253)＝1256 . 探究点二 分割型图形面积的求解 思考 由两条或两条以上的曲线围成的较为复杂的图形，在不同的区间位于上方和下方的曲线不同时，这种图形的面积如何求呢？ 例2 计算由直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 以及x 轴所围图形的面积S . 解 方法一 作出直线y ＝x －4，曲线y ＝2x 的草图． 解方程组??? y ＝2x ， y ＝x －4 得直线y ＝x －4与曲线y ＝2x 交点的坐标为(8,4)． 直线y ＝x －4与x 轴的交点为(4,0)． 因此，所求图形的面积为 S ＝S 1＋S 2 ＝?402x d x ＋[]? 842x d x －? 84x －4d x ＝22332x |40＋22332x |84－12 (x －4)2|84 ＝403 .
定积分的概念 【教学目标】 1．了解定积分的概念，会用定义求定积分． 2．理解定积分的几何意义． 3．掌握定积分的基本性质． 【教法指导】 本节学习重点：掌握定积分的基本性质． 本节学习难点：理解定积分的几何意义． 【教学过程】 ☆复习引入☆ 任何一个平面图形都有面积，其中矩形、正方形、三角形、平行四边形、梯形等平面多边形的面积，可以利用相关公式进行计算．如图所示的平面图形，是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的，称之为曲边梯形，如何计算这个曲边梯形的面积呢？ 解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之. ☆探索新知☆ 探究点一定积分的概念 思考1 分析求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，找一下它们的共同点． 答两个问题均可以通过“分割、近似代替、求和、取极限”解决，都可以归结为一个特定形式和的极限．思考2 怎样正确认识定积分?b a f(x)d x? (2)定积分就是和的极限lim n→∞∑n i＝1 (ξi)·Δx，而?b a f(x)d x只是这种极限的一种记号，读作“函数f(x)从a到b 的定积分”． (3)函数f(x)在区间[a，b]上连续这一条件是不能忽视的，它保证了和的极限(定积分)的存在(实际上，函数连续是定积分存在的充分条件，而不是必要条件)． 例1 利用定积分的定义，计算?10x3d x的值． 解令f(x)＝x3.
(1)分割 在区间[0,1]上等间隔地插入n －1个分点，把区间[0,1]等分成n 个小区间[i －1n ，i n ](i ＝1,2，…，n )，每个小区间的长度为Δx ＝i n － i －1n ＝1n . (2)近似代替、求和 取ξi ＝i n (i ＝1,2，…，n )，则 ?10x 3 d x ≈S n ＝∑n i ＝1f (i n )·Δx ＝∑n i ＝1 (i n )3·1n ＝1 n 4∑n i ＝1i 3＝1n 4·14n 2(n ＋1)2＝14(1＋1n )2. (3)取极限 ?10x 3d x ＝lim n →∞S n ＝lim n →∞ 14(1＋1n )2＝14 . 反思与感悟 (1)利用定积分定义求定积分的数值仍然是“分割、近似代替、求和、取极值”这一过程，需要注意的是在本题中将近似代替、求和一起作为步骤(2)，从而省略了解题步骤． (2)从过程来看，当f (x )≥0时，定积分就是区间对应曲边梯形的面积． 跟踪训练1 用定义计算?2 1(1＋x )d x . 2＋i －1n ，从而得∑n i ＝1f (ξi )Δx ＝∑n i ＝1(2＋i －1n )·1n ＝∑n i ＝1? ?? ??2n ＋i －1n 2 ＝2n ·n ＋1n 2[0＋1＋2＋…＋(n －1)] ＝2＋1n 2·n n －12＝2＋n －12n . (3)取极限：S ＝lim n →∞ ? ????2＋n －12n ＝2＋12＝52 . 因此?21(1＋x )d x ＝52 . 探究点二 定积分的几何意义 思考1 从几何上看，如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有f (x )≥0，那么?b a f (x )d x 表示什么？
定积分在物理中的应用 教材分析 本节内容是求变速直线运动物体的路程和求变力作功等问题，解决这些问题的关键是将它们化归为定积分的问题．通过本节的学习，使学生了解应用定积分解决实际问题的基本思想方法，知道求变速直线运动物体的路程和求变力所作的功时，定积分是一种普遍适用的方法，初步了解定积分具有广泛的应用．同时，在解决问题的过程中，通过数形结合、化归的思想方法，加深对定积分几何意义的理解． 课时分配 1课时． 教学目标 知识与技能目标 1．应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题； 2．学会将实际问题化归为定积分的问题． 过程与方法目标 能够初步掌握应用定积分解决实际问题的基本思想和方法，强化化归思想的应用．情感、态度与价值观 培养将数学知识应用于生活的意识． 重点难点 重点：应用定积分解决变速直线运动的路程和变力作功问题，使学生在解决问题过程中体验定积分的价值． 难点：将实际问题化归为定积分问题． 教学过程 引入新课 提出问题：作变速直线运动的物体其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)，在时间区间[a，b]上所经过的路程s如何用积分表示？ 活动设计：以提问的形式让学生回答． 设计意图 让学生认识到定积分在物理学中有着广泛应用．
探究新知 提出问题1：一辆汽车的速度—时间曲线如图所示．求汽车在这1 min 行驶的路程． 活动设计：学生独立完成，再将一学生的做题步骤进行投影，然后共同分析． 活动结果：由速度—时间曲线可知： v(t)＝????? 3t ，0≤t ≤10，30，10≤t ≤40，－1.5t ＋90，40≤t ≤60. 因此汽车在这1 min 行驶的路程是 s ＝∫1003tdt ＋∫401030dt ＋∫6040(－1.5t ＋90)dt ＝32t 2|100＋30t|4010＋(－34 t 2＋90t)|6040＝1 350(m)． 答：汽车在这1 min 行驶的路程是1 350 m. 设计意图 通过物理学中“求变速直线运动的路程”这个实例，不但加强学生对之前所学知识的进一步理解，又让学生掌握了如何将实际问题化归为定积分的问题并加以解决的方法． 提出问题2：此问题还可以如何解决？ 活动设计：学生先自己思考，然后相互交流． 活动成果：由变速直线运动的路程公式和定积分的几何意义，可知路程即为图中的梯形 OABC 的面积，故有S ＝(30＋60)×302 ＝1 350(m)． 设计意图 使学生进一步从数形结合的角度理解定积分的概念，并解决问题． 理解新知 提出问题1：一物体在恒力F(单位：N)的作用下作直线运动，如果物体沿着与F 相同的方向移动了s(单位：m)，则力F 所作的功为W ＝F·s.那么，如果物体在变力F(x)的作用下作直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x ＝a 移动到x ＝b(a 定积分的简单应用 【学习目标】 1.会用定积分求平面图形的面积。 2.会用定积分求变速直线运动的路程 3.会用定积分求变力作功问题。 【要点梳理】 要点一、应用定积分求曲边梯形的面积 1. 如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线()y f x =(()0f x ≥)围成的曲边梯形的面积： ()[()()]b b a a S f x dx f x g x dx ==-?? 2.如图，由三条直线x a =，x b =()a b <，x 轴（即直线()0y g x ==）及一条曲线 ()y f x =(0)(≤x f )围成的曲边梯形的面积： ()()[()()]b b b a a a S f x dx f x dx g x f x dx = =-=-? ?? 3．由三条直线,(),x a x b a c b x ==<<轴及一条曲线()y f x =（不妨设在区间[,]a c 上 ()0f x ≤，在区间[,]c b 上()0f x ≥）围成的图形的面积： ()c a S f x dx = + ? ()b c f x dx ? ＝()c a f x dx -?＋()b c f x dx ?. 4. 如图，由曲线11()y f x =22()y f x =12()()f x f x ≥及直线x a =，x b =()a b <围成图形的面积： 1212[()()]()()b b b a a a S f x f x dx f x dx f x dx =-=-??? 要点诠释： 研究定积分在平面几何中的应用，其实质就是全面理解定积分的几何意义： ① 当平面图形的曲边在x 轴上方时，容易转化为定积分求其面积； ② 当平面图形的一部分在x 轴下方时，其在x 轴下的部分对应的定积分为负值，应取其相反数（或绝对值）； 要点二、求由两条曲线围成的平面图形的面积的解题步骤 （1）画出图形； （2）确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标，定出积分上、下限； （3）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的上、下位置； （4）写出平面图形面积的定积分表达式； （5）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积。 要点三、定积分在物理中的应用 ① 速直线运动的路程 作变速直线运动的物体所经过的路程S ，等于其速度函数()(()0)v v t v t =≥在时间区间 [,]a b 上的定积分，即()b a S v t dt =?. ②变力作功 物体在变力()F x 的作用下做直线运动，并且物体沿着与()F x 相同的方向从x a =移动到x b =()a b <，那么变力()F x 所作的功W = ()b a F x dx ? . 要点诠释： 1. 利用定积分解决运动路程问题，分清运动过程中的变化情 况是解决问题的关键。应注意的是加速度的定积分是速度，速度的定积分是路程。 2. 求变力作功问题，要注意找准积分变量与积分区间。 【典型例题】 类型一、求平面图形的面积 【高清课堂：定积分的简单应用 385155 例1】 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如检查/() 《定积分的概念》说课稿 湖北大学数学系吴正艳 课程性质：本内容选自《高等数学》，《高等数学》是高等院校工科类和经管类专业的必修公共基础课。 我将从教学内容分析、学情分析、教学方法、教学过程和板书设计谈谈自己的理解和认识。 一、教学内容分析 1.教学内容的地位和作用： 本节课选自同济版《高等数学》第五章第一节《定积分的概念与性质》，在此之前学生已学习了导数，不定积分等知识，这为本章的学习打下了基础。“定积分的概念”是学生学习积分的必由之路，其“分割，近似，求和，取极限”的思想是本节课的精髓，这一思想的理解直接关系到应用定积分思想解决现实问题的能力。定积分在几何、物理、工程技术、经济学等诸多领域都有广泛应用。2.教学目标： （1）知识目标：掌握定积分的概念和几何意义。 （2）能力目标：理解“分割，近似，求和，取极限”的思想方法，培养学生的逻辑思维能力和进行知识迁移的能力。 （3）思想目标：激发学习热情，强化参与意识，培养严谨的学习态度。 3.教学重难点： 定积分是新的知识点，需要用新的思维方式来学习，第一次接触难免有困难。定积分的性质在证明时依赖于定积分的概念，所以概念是关键点，而概念是通过曲边梯形的面积引入的，因此，我将重难点确立为： 重点：理解定积分的概念和思想。 难点：掌握“以直代曲”和“渐进逼近”的思想形成过程。 解决办法：案例引入概念，以问题驱动，淡化理论，借助多媒体，结合图形教学，遵循循序渐进的认知规律。 二、学情分析 因刚进入大学不久，学生对大学的学习生活还在适应中，学生数学基础参差不齐，整体对数学的理解力有待提高，排斥过多的理论知识，但对新概念新内容 有强烈的求知欲。 三、教学方法 1.传统的教学方法与多媒体相结合，取长补短。 设计意图：求曲边梯形面积时，用多媒体演示成倍增加小矩形的个数时，小矩形的面积和越来越接近曲边梯形的面积的极限过程，这有利于抽象问题具体化；具体推导过程用黑板展示有利于学生按节奏思考和理解。 2.通过逐步提问，小组讨论法掌握新知。 设计意图：提问可以激发学生的求知欲，小组讨论调动学生的积极性，讨论过程加深对知识的理解。 四、教学过程 根据定积分的概念和知识结构，我将教学过程分为：引导探究→答疑精讲→巩固练习→课堂小结→布置作业五个环节，现分述如下： （一）引导探究 复习引入：回顾以前学过的规则平面几何图形并说出其面积公式，有两类：1（直线型）.三角形，矩形，梯形等，2 (曲线型).圆，椭圆。对于一个图形中有直线和曲线（用PPT展示出曲边梯形），结合图形给出曲边梯形的定义，提出问题：如何求曲边梯形的面积？ 引导探究：（以逐步提问引导的形式进行） 关键点：曲边梯形面积的难点在于如何处理这条曲线，而这条曲线是连续的，引导学生回顾连续函数的定义，从而得知曲边梯形的高f(x)在很小一段区间上变化很小，近似于不变，引出思路：曲边梯形→若干窄曲边梯形→若干窄矩形近似代替。（也就是我们说的分割→近似→求和） 设计过程中体现了数学中常用的以简单的图形逼近复杂的图形的思想。 但是，既然是近似值就会用误差，用什么方法可以使误差尽量减小？ 问题：用多媒体同时展示两幅图对比：一幅将曲边梯形分成5个小矩形，另一幅图将梯形分成11个小矩形，然后追问哪种分法更好？由此受到什么启发？多媒体动态展示分割越多，越接近真实值的过程，从而引出极限的思想。最终得出了整个思路：“分割→近似→求和→取极限”。 设计意图：以问题形式引入，激发学生的求知欲，通过多媒体动态演示，将抽象 定积分的概念 教学目标： 1. 了解曲边梯形面积与变速直线运动的共同特征. 2. 理解定积分及几何意义. 3. 掌握定积分的基本性质及其计算 教学重点与难点： 1. 定积分的概念及几何意义 2. 定积分的基本性质及运算 教学过程： 1. 定积分的定义： 2. 怎样用定积分表示： x =0，x =1，y =0及f (x )=x 2所围成图形的面积？ t =0，t =1，v =0及v =-t 2-1所围成图形的面积？ 31)(102 1 01??===dx x dx x f S 35)2()(102102??=+-==dt t dt t v S 3. 你能说说定积分的几何意义吗？例如 ?b a dx x f )(的几何意义是什么? 梯形的面积 所围成的曲边和曲线，，是直线定积分)(0)()(x f y y b a b x a x dx x f b a ==≠==? 4.4. 根据定积分的几何意义，你能用定积分表示下图中阴影部分的面积吗？ 思考：试用定积分的几何意义说明 1.?-2 024dx x 的大小 由直线x =0，x =2，y =0及24x y -=所围成的曲边梯形的面积，即圆x2+y2=22的面积的41，.4202π=-∴? dx x 2. 011 3=?-dx x 5. 例：利用定积分的定义，计算01 03=?dx x 的值. 6.由定积分的定义可得到哪些性质？ 常数与积分的关系 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( 和差的积分 推广到有限个也成立 ???±=±b a b a b a dx x f dx x f dx x f x f )()()]()([2121 区间和的积分等于各段积分和 )()()()(b c a dx x f dx x f dx x f b c c a b a <<+=???其中 7练习：计算下列定积分?-3 12)2(dx x x 定积分的简单应用 一：教学目标 知识与技能目标 1、 进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方法； 2、 让学生深刻理解定积分的几何意义以及微积分的基本定理； 3、 初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法； 4、 体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）。 过程与方法 情感态度与价值观 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程： 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x x y x ?=??==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积S=1 1 20 xdx x dx = -? ?，所以 ?1 20S =(x -x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =-，曲线2y x =以及x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯 2 x y =y x A B C D O 定积分的概念说课稿 一、教材分析 1、教材的地位和作用 本节课选自二十一世纪普通高等教育系列教材《高等数学》第三章第二节定积分的概念与性质，是上承导数、不定积分，下接定积分在水力学、电工学、采油等其他学科中的应用。定积分的应用在高职院校理工类各专业课程中十分普遍。 2、教学目标 根据教材内容及教学大纲要求，参照学生现有的知识水平和理解能力，确定本节课的教学目标为： （1）知识目标：掌握定积分的概念，几何意义和性质 （2）能力目标：掌握“分割、近似代替、求和、取极限”的方法，培养逻辑思维能力和进行知识迁移的能力，培养创新能力。 （3）思想目标：激发学习热情，强化参与意识，培养严谨的学习态度。 3、教学重点和难点 教学重点：定积分的概念和思想 教学难点：理解定积分的概念，领会定积分的思想 二、 学情分析 一般来说，学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的接受很快，有的接受很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，综合教材内容，我以板书教学为主，多媒体课件为辅，把概念性较强的课本知识直观化、形象化，引导学生探究性学习。 三、教法和学法 1、教法方面 以讲授为主：案例教学法（引入概念）问题驱动法（加深理解）练习法（巩固知识）直观性教学法（变抽象为具体） 2、学法方面： 板书教学为主，多媒体课件为辅（化解难点、保证重点） （1）发现法解决第一个案例 （2）模仿法解决第二个案例 （3）归纳法总结出概念 （4）练习法巩固加深理解 四、教学程序 1、组织教学 2、导入新课： 我们前面刚刚学习了不定积分的一些基本知识，我们知道不定积分的概念、几何意义和性质，今天我们要学习定积分的概念、几何意义和性质。 3、讲授新课（分为三个时段） 第一时段讲授 概念： 案例1：曲边梯形的面积如何求？ 首先用多媒体演示一个曲边梯形，然后提出问题 （1）什么是曲边梯形？ （2）有关历史：简单介绍割圆术及微积分背景 （3）探究：提出几个问题（注意启发与探究） 定积分典型例题精讲 定积分典型例题 例1 求21lim n n →∞L ． 分析 将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限． 解 将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1 i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞L =1lim n n →∞L =34 =?． 例2 0?=_________． 解法1 由定积分的几何意义知，0?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0?= 2 π． 解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t ππ -≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 比较12x e dx ?，2 12x e dx ?，1 2(1)x dx +?． 分析 对于定积分的大小比较，可以先算出定积分的值再比较大小，而在无法求出积分值时则只能利用定积分的性质通过比较被积函数之间的大小来确定积分值的大小． 解法1 在[1,2]上，有2 x x e e ≤．而令()(1)x f x e x =-+，则()1x f x e '=-．当 0x >时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，从而()(0)f x f >，可知在[1,2] 上，有1x e x >+．又 1 22 1 ()()f x dx f x dx =-? ?，从而有2 111 2 2 2 (1)x x x dx e dx e dx +>>???． 我的说课稿（分部积分法） 各位评委:下午好～ 我叫于兴甲,是辽宁建筑职业技术学院基础部的教师，我所教授的课程是《高等数学》。今天我说课的课题是《分部积分法》，是本书第四章第四节的内容。下面我将围绕本节课来对教材、学情，教法与学法、教学过程四方面方面逐一加以分析和说明。 (一) 教材分析 我们选定的教材是《高等数学》，《高等数学》是里工科院校学生必修的一门课程，是学习其他专业课的基础和前提。 本教材共分为十章，含函数极限，一元微积分，多元微积分，空间解析几何及级数相关知识。对于不同的专业，侧重点不同，大体上都是以微积分的计算及应用为重点，根据专业不同有选择性的介绍多元微积分和级数相关知识，难点在于利用微积分的知识应用到具体学科中。本课时是第四章不定积分中的第四节，介绍的是利用分部积分法求函数的不定积分，分部积分法是求函数不定积分的基本方法之一，一方面为函数的积分运算加深理解，另一方面对下一章定积分的学习打下基础。 本课的教学目标是加深学生的积分的计算能力，掌握函数的分部积分法，培养学生的运算能力。 (二) 学情分析 《高等数学》面向的是大一的学生，此时学生已经习惯了高中的“做题思维”，而大学的学习重在理解和应用，和高中数学相比，大学数学抽象，理解起来有一定的难度，所以，要让学生学好这门课程，既要让学生掌握正确的学习方法，同时也要在讲授上深入浅出，结合学生熟知的知识，加深对新知识的理解。 通过前一阶段的学习，学生对函数积分运算有了一定的基础，并且对于一些简单的函数的积分，利用公式或者是换元积分法直接求得，但是对于某些函数，仅凭这些方法是求不出不定积分，所以引入新的方法，学生对积分法有了更大的扩充，由此调动了学生的学习兴趣。 (三) 教法与学法 教法讲练结合为主，辅之以其他形式。本节课学习的是函数的分部积分法，首先介绍的是分部积分法定理，利用学过的导数的知识推导分部积分法定理。本节课的重点在于利用分部积分法求一般函数的不定积分，所以在选取例题上应具有典型性和代表性，目的是说明如何利用分部积分公式计算简单的函数的不定积分，过程要详细，务必使学生理解法则的应用，这样便于学生从基本入手，由浅入深，更好的理解运算法则。本节课的难点在于利用分部积分法求较为复杂的函数的不定积分，这样的函数往往不能直接利用分部积分法求积分，而是需要对函数进行适当的变形或是根据函数的性质来决定如何用分部积分法，这样的学习有助于加深对分部积分法的理解，使学生不拘泥于形式，更加灵活变通。练习题较例题难度略深，但是原理不变，目的是加深学生对分部积分公式的理解和应用，使学生掌握的不是一两道题，而是一种做法。在教学过程中，可以以提问、学生示范等方式来提高学生的进取心和学习兴趣。 学法倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生分析和解决问题的能力，以理论为指导，多媒体为辅，重在启发学生的数学思维和应用能力。课堂训练上，把题交给学生自己处理，简单题作为示范，难题一起探讨，教师以引导为主，从而活跃气氛，体现师生互动，助于学生对知识的学习。 (四) 教学过程 1 组织教学 2 复习提问:第一类换元积分法和第二类换元积分法定积分的简单应用 说课稿 教案 教学设计
高中数学定积分知识点说课材料
定积分说课稿
定积分的概念 说课稿 教案 教学设计
定积分在物理中的应用 说课稿 教案 教学设计
定积分概念说课稿
定积分典型例题精讲说课材料
我的说课稿(分部积分法)
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