初三数学第一轮总复习
第5课时：因式分解
主备：韩俊元 王 静 王 洪 班级 姓名 学号 【中考要求】
1、理解因式分解的意义及其与整式乘法的区别和联系，会用提公因式法和公式法两种基本方法进行因式分解；
2、能根据题目的形式和特征选择恰当的方法进行因式分解，以提高综合解题的能力. 【典型例题】
知识点一、因式分解的意义
因式分解与整式的乘法在意义上正好相反，结果的特征是 ，抓住这一特征，就不容易混淆因式分解和整式的乘法. 问题1、（1）下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A 、a ab a b a a +-=+-2)1(
B 、2)1(22--=--a a a a
C 、)32)(32(9422b a b a b a ++-=+-
D 、9)2(5422--=--x x x （2）下列因式分解中，结果正确的是（ ） A 、)2)(2(42-+=-x x x
B 、)3)(1()2(12++=+-x x x
C 、)4(2822232n m n n n m -=-
D 、)4111(4
12
2
2
x
x
x x x +
-
=+-
知识点二、因式分解的方法
（1）提公因式法： ；（2）公式法： . 问题2、把下列各式因式分解
（1）x x 823- （2）3322
+-x x （3）3652
--x x
（4）14-x （5）a a a +-2344 （6）)3(9)3(2
---a a a
知识点三、选用恰当的方法因式分解
注意：（1）在运用公式法因式分解时要先提净公因式；（2）一定要分解到底；（3）结果是积的形式.
问题3、把下列各式因式分解
（1）()22
2164x x -+ （2）)32()23()1(2
x x x -+-- （3）2
2
)3()49(b a b a --+
（4）1
1
8146-++-n n n x
x x （5）()112
+--x x （6）2
2244z y xy x -+-
知识点四、因式分解的应用
问题4、（1）2223274627+?-= ；200799101200722?-?= . （2）若,1,2007=-=+b a b a 则22b a -=___________. （3）若012=++a a ，那么199920002001a a a ++＝ .
（4）若22169y mxy x ++是一个完全平方式，那么m 的值是 .
（5）如果二次三项式12-+ax x 可分解为()()b x x +-2，则b a +的值为 . （6）若542=-x ，则161642+-x x 的值是________.若1=+y x ，那么2
2
2
12
1y
xy x +
+的值为__________. （7）m 、n 满足042=-+
+n m ，分解因式)()(2
2
n mxy y x +-+＝ .
（8）一个长方形的面积为)1(22>-+m m m ，其长为m+1，则宽为__________.
问题5、（1）在生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，原理是：如果对于多项式44y x -，因式分解的结果是))()((22y x y x y x ++-，若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：162)(,18)(,0)(22=+=+=-y x y x y x ，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式234xy x -，取10,10==y x 时，用上述方法产生的密码是：______________.（写出一个即可）
（2）从边长为a 的正方形内去掉一个边长为b （b ＜a ）的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个矩形，上述操作能验证的等式是（ ）
A 、))((2
2
b a b a b a -+=- B 、2
2
2
2)(b ab a b a +-=-
C 、2
2
2
2)(b ab a b a ++=+ D 、)(2
b a a ab a +=+ （3）计算：??? ??-??? ?
?
-?????? ??-??? ??
-
2
2221011911311211
（4）计算：2
22
2
2
2
2
121998
1999
2000
2001
2002-+??????-+-+-
（5）如果二次三项式82
--ax x （a 为整数）在整数范围内可以分解因式，那么a 可以取
那些值？
【课外作业】 1、计算2007
2006
)
2()
2(-+-的结果为（ ）
A 、20062-
B 、20062
C 、2
D 、－2
2、把)2()2(2a m a m -+-分解因式得（ ）
A 、))(2(2m m a --
B 、)1)(2(+-m a m
C 、)1)(2(--m a m
D 、以上答案都不对 3、下列各式中，不能用公式法分解的是（ ） A 、4
12+
+x x B 、22y x +- C 、2244b ab a -- D 、224b a -
4、下列各式中，是完全平方式的是（ ） A 、4a 2-4ab+b 2
B 、x 2+xy+
22
1y C 、x 2-2xy-y 2
D 、a 2-2
9
13
1b ab +
5、若多项式k x x x +--522
3
因式分解后，有一个因式为)2(-x ，则k 的值为（ ） A 、2
B 、－2
C 、6
D 、－6
6、已知1248-可以被在60～70之间的两个整数整除，则这两个数是（ ） A 、61、63 B 、61、65 C 、61、67 D 、63、65
8、分解因式：a 3
－a=_________.
9、若)2)(3(2+-=+-x x q px x ，则p=__________,q=__________. 10、已知x=10，x －2y=4，则3x 2－6xy 2的值为____________.
11、若4x 2
+mx+9是完全平方式，则m 的值是_________.
12、如果（2a+2b+1）(2a+2b －1)=63，那么a+b 的值是_________.
13、已知正方形的面积是4x 2+4x+1(x>0)，则正方形的周长是___________. 14、若|m －1|+0)
25(2
=-n ，此时将mx 2－ny 2
分解因式得________________.
15、若点P （a+b, －5）与点Q （1，3a －b ）关于原点对称，则关于x 的二次三项式x 2
－2ax －
2
b 可以分解为__________.
16、用简便方法计算：（1）57×99+44×99－99 （2）1032－972
17、把下列各式因式分解
（1）)()(2
y x y x x --- （2）2
1222
-
+-a a （3）a b a b a 321622
23+-
（4）x 4(a-2b)+x 2y 2(2b-a) （5）(x 2-4y 2)-(x+2y) （6）3a(b 2+9)2-108ab 2
（7）16(a-2b)2-25(a+2b)2 （8）(x 2-y 2)(x+y)-(x-y)3 （9）3a(x 2+4)2-48ax 2
18、（1）已知x 和y 满足方程组???=-=+3
464
23y x y x ，求代数式2249y x -的值.
（2）已知0258622=+++-y y x x ，求y x 32-的值。
（3）计算：2
22
22
2
1297
9899
100-+???+-+-
19、老师在黑板上写出三个算式：278315,4879,2835222222?=-?=-?=-，王华接着又写了两个具有同样规律的算式： ,228715,1285112222?=-?=- （1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式 . （2）用文字写出反映上述算式的规律 . （3）试说明这个规律的正确性.
20、阅读下题的解题过程：
已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且满足4
4
2
2
2
2
b a
c b c a -=-，试判断△ABC 的形状.
解：4
42222b a c b c a -=-
（A ）
))(()(2
2
2
2
2
2
2
b a b a b a
c -+=-∴ （B ）
2
2
2
b a
c +=∴
（C ） ABC ?∴是直角三角形
（D ）
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号___________. （2）错误的原因为____________________________________________________. （3）本题正确的结论是________________________________________________. 21、现有边长分别为a 、b 的正方形纸片若干和边长为a 、b 的长方形纸片若干，你能利用这
些纸片用拼图的方法验证等式2
2252)2)(2(b ab a b a b a ++=++吗？画出你所拼成的图形.
b
b
b
《因式分解》 一、教学分析 1．教学内容分析 因式分解是人教版初中《数学》八年级第15章的第4节。因式分解与上一节整式的乘除和下一章分式联系极为密切，它是因数分解的延伸和推广，是多项式乘法的逆运算，在分式通分和约分，一元二次方程和函数中有广泛的应用．本节的提公因式法是最常用，最基本也是最重要的分解方法之一，是后继学习其他分解方法的基础。因此，本节起着承上启下的作用。 2、教学对象分析 学生已有整式的乘除、因数分解等知识的基础，通过观察类比得到因式分解意义，通过与电子白板的整合教学，相互合作交流，归纳确定公因式的步骤及提公因式的分解方法。在积极倡导下，学生通过动脑、动手、动口，亲身经历体验数学学习的过程。根据由具体到一般的思维方式，符合学生的认知规律。 3、教学环境分析 充分地运用媒体、加大了一堂课的教学容量，极大提高了学生的学习兴趣，提高教学效率。通过与电子白板的整合，可以很好地体现教师在教学过程中的思路和策略。 二、教学目标 （1）初步了解因式分解的意义，知道因式分解与整式乘法是相反方向的变形. （2）会找公因式. （3）会用提取公因式法分解因式. （4）体会数学知识之间是相互联系的，是可以相互转化的. （5）进一步培养学生观察、分析、归纳的能力.并向学生渗透对比的数学思想方法． 三、教学重点、难点 重点：因式分解的概念，提公因式法. 难点：因式分解与整式乘法的相互关系，确定公因式. 理由是理解因式分解的概念的本质属性是学习整节因式分解的灵魂，提公因式法是因式分解最基本最常用的方法。难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，利用它们之间的关系进行因式分解的思想。理由是学生由乘法到因式分解的变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍新概念的形成。公因式的确定，学生往往不能正确确定公因式，数应取各项系数的最大公约数，字母应取各项都有的字母，并取它们的最低次幂。
9.6 乘法公式再认识——因式分解（二）（第一课时） 一、教学目标： 1、使学生了解运用公式来分解因式的意义。 2、使学生理解平方差公式的意义，弄清平方差公式的形式和特点；使学生知道把乘法公式反过来就可以得到相应的因式分解。 3、掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式 4、培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力，感悟换元的思想方法。 二、教学重难点： 重点：运用平方差公式分解因式，提高运用公式的熟练性和运算的准确性。 难点：掌握分解因式与整式的乘法的区别。 三、教学方法： 对比发现法，讲练结合，探索交流。 四、教学过程： （一）创设情境，感悟新知 提问 992-1是100的倍数吗？你是怎么想的？请说说你的想法。 （学生或许还有其他不同的解决方法，直接计算出结果，应予以给予充分的肯定）（二）探索活动，揭示新知 问题一为什么992-1可以写成（99+1）（99-1）？依据是什么？ 问题二判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？ 如：12是3的整数倍吗？（学生知道就是把12分解因数。） 问题三类似地要判断992－1是100的整数倍呢？（可以想到尝试分解。）992-1还可以是哪些正整数的倍数？ 问题四我们已能把“992-1”化成几个因数的积的形式，9992－1可以吗？你能把“a2-1”化成几个整式的积的形式吗？ （让学生能实现从数到式的过渡，培养学生类比“992-1”与“a2-1”）
问题五你能把“a2-4”“a2-b2”“9a2-b2”化成几个整式的积的形式吗？ 问题六计算图中的阴影部分面积（用a、b的代数式表示） 1、整体计算可以怎样表示？ 2、分割成如图两部分可以怎样计算？ 3、比较两种计算的结果你有什么发现？ (a+b)(a－b)=a2－b2或 a2－b2=(a+b)(a－b) 做一做让学生比较练习一和练习二的区别与联系，教师并总结： 事实上，把乘法公式 （a+b）（a-b）=a2-b2 反过来，就得到 a2-b2=（a+b）（a-b） （两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系。） 像这样，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做多项式的因式分解。 总结平方差公式的特点： （1）左边特征是：二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反。 （2）右边特征是：两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差。 （3）在乘法公式中，平方差是指计算的结果，在分解因式时，平方差是指要分解的多项式。 （三）例题分析，领悟新知 例1 把下列多项式分解因式： （1）36－25x2（2）16a2－9b2 分析：观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x2、16a2、9b2改写成62、(5x)2、(4a)2和(3b)2形式，能否准确的改写是本题的关键。 运用平方差公式因式分解的一般步骤是：
§5 因式分解定理 一、不可约多项式 C on i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2() 2)(2)(2() 2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 1．定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式 (irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的 乘积. 2．注：1）、根据定义，一次多项式总是不可约多项式； 2）、一个多项式是否可约是依赖于系数域的； 3）、零多项式与零次多项式不说可约或不可约； 4）、不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数（0c ≠） 与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了。 反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的 证：若1)(=?x f ，结论显然成立。 1)(>?x f ，假设)(x f 可约， 则)()(),()( ),()()(x f x h x f x g x h x g x f ?
第五节 《因式分解》课例分析 该节主要讨论问题： 1. 如何设计概念的注意要点？ 2. 如何划分题组层次？ 《因式分解》是人教版教材八年级上册第十五章第四节的第一课时。前一节主要学了整式乘法、乘法公式等内容。该节有两个知识点：1、因式分解概念，2、提公因式法。课程标准对该节的教学要求是：能用提公因式法进行因式分解。以下描述的两节课，均由一位熟手女教师郑老师执教。郑老师在一所省会城市普通中学任教，教学业绩在年级名列前茅。郑老师曾在一所省城著名私立初中校任教多年。第一次课由郑老师自己备课，上课。上课后与研究者简要讨论后，简单修改教学设计，第二天在另一个班继续上课。 以下是第一次课的描述。第一次课分为四个环节。分别是复习、讲授因式分解概念、讲授提公因式法、练习。在复习环节，郑老师引导学生复习了乘法公式（平方差公式和完全平方公式）、添括号和约分。约分以221==6233 ? 为例，郑老师强调，对分数进行约分必须对分子或者分母写成的乘积的形式，然后进行约分。 在讲授因式分解概念环节，郑老师分成了两项学习活动。首先是讲授因式分解概念。郑老师这样讲：“初中我们已经学习了多项式，同样我们要把多项式写成一种乘积的形式，为我们下一个章节做准备。举个例子：22211(1)(1)x x x x -=-=+-，这是我们之前学过的平方差公式，21x -可以写成(1)x +与(1)x -)的乘积。像这样子，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。21(1)(1)x x x -=+-左边到右边的这种变形叫做因式分解，从右边到左边的变形叫做是整式乘法。”第二项学习活动是概念辨析，郑老师出了四个辨析题，题目如下：判断下列各式从左到右是否为因式分解？ （1）()()2 314312153x x x x -+=+- （2）111a a a ?? ??++ ?= （3）()24161441x x x x +-=++ （4）111()333 ax bx x a b +=+ 通过与学生讨论这四道题，郑老师强调了因式分解概念的三个注意要点：左边是多项式、右边是乘积的形式、整式的乘积。节录1展示了师生的探索对话。 节录1 师：第一个是不是？ 生1：不是。 师：为什么不是？ 生1：写反过来了。 师：那这样写是我们之前学过的什么？
14．3因式分解（14.3.1提公因式法）引入： 师：前几节课，我们学习了单项式乘以多项式；以及多项式乘以多项式的运算。请你快速地写出来。 生： 1．m a b ma mb； 2． a b p q ap aq bp bq； 师：看屏幕，你写对了吗？ 师：我们知道，单项式和多项式统称为整式！因此，这两个运算公式，我们可以统称为整式的乘法！同意吗？ 【环节一】：因式分解与整式乘法是互逆的变形 师：现在，老师把这两个公式倒过来，得到： 3．ma mb m a b ； 4．ap aq bp bq
a b p q ； 师：如果1和2式称为整式的乘法，那么请问，3和4称为什么运算呢？这种运算又是如何展开的呢？ ——这就是我们这节课要学习的知识！ （板书：14.3因式分解） 师：回到刚才的问题：如果1和2式称为整式的乘法，那么请问，3和4称为什么运算呢？ 生：因式分解！ 师：正确！这也正是我想告诉你们的！ 师：关于因式分解，现在我提出第一个问题：请你告诉我因式分解跟整式乘法的关系。 生：互逆关系！ 师：好，大家认同吗？ 师：本节课的第一个大问题已经解决，写一下： 3．ma mb m a b ；（在箭头上写因式分解，箭头下写整式乘法） 4．ap aq bp bq a b p q
；（在箭头上写因式分解，箭头下写整式乘法）——设计意图：关于因式分解的定义我认为有两大需要学生深入理解的：一是定义本身，二是因式分解这种运算跟其他运算之间的关系。先讲运算关系更加自然，同时也遵循由浅入深的认知规律。 【环节二】：因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 师：通过这个阶段的学习，我们知道了因式分解跟整式乘法是互逆的两种运算，那么，什么叫做因式分解呢？ 请你观察3和4这两式子，看看等号的左右两边的多项式有什么共同特征？生：等号的左边一个多项式，右边是两个多项式的乘积！ 师：对！用一句话就是：“把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。” 师：这就是因式分解的定义！ 板书：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 xx！ 课堂练习一、判断下列计算是不是因式分解： 1．6x4y32x3y3xy2 ； 2．x21x x 1 ；
（一）复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习： 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例 例1．把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。 解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b) 3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b) 5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b) 7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx 9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2 ⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay ⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy
《因式分解》(说课稿) 尊敬的各位领导、各位评委： 大家好！ 我今天说课的课题是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十五章第五节《因式分解》第一课时“因式分解的意义”。下面我从：教材的分析、教法与学法及教学手段、教学过程、板书设计四部分来说这一节课，其中，教学过程分为：导入新课、新课讲解、小结作业三部分；整个过程是先由实际问题引入新课，然后再回到实际问题中，解决实际问题。 一、教材分析 1、教材地位与作用。 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。.它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的互逆关系。它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下作用。 2、教学目标。 根据因式分解这一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，我制定了以下教学目标： （一）知识目标： ①理解因式分解的概念； ②掌握从整式乘法得出因式分解的方法。 （二）能力目标： ①培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。 ②培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。（三）情感目标： ①培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 ②体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点。 3、教学重点与难点。 本节课理解因式分解的概念及意义是学习本节因式分解的关键，而学生由乘法到因分解的变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。因此我将本课的学习重点、难点确定为： 重点：因式分解的概念 难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能灵活运用因式分解的各种问题。 4、教法与学法及教学手段。
第五课时 教学内容: 小结与复习(P19) 教学目标 回顾思考本章内容，进一步了解因式分解的意义和因式分解的方法，同时掌握因式分解的基本要求，并会对简单的多项式进行分解。 教学重点和难点 教学重点：梳理所学内容，形成知识间的联系。 教学难点：形成因式分解的一般理论，会对多项式熟练地进行因式分解。 教学手段 幻灯片。 教学过程 一、知识回顾 （出示投影１） 思考： １、举例说明什么是因式分解？ ２、如何确定多项式中各项的公因式？ ３、公式法分解因式的依据是什么？
4、因式分解的一般步骤与要求是什么？分解时应注意些什么事项？ 针对以上问题，让学生逐个思考，并与同伴展开充充分分讨论，老师针对讨论情况补充归纳。 二、归纳知识 （出示投影２） 1、提公因式法的关键是找出各项的公因式，步骤如下： ①、公因式的系数，如果多项式的系数是整数，则取各项系的绝对值的最大公因数作为公因数，如果原灭多项式的第一项系数为负则把负号提出，此时括号内的各项要变号。 ②、公因式含的字母是各项中相同的字母，字母的指数取各项中次数最低的。 ③、公因式含的式子是各项中相同的式子，该式子的指数取各项中次数最低的。 ２、公式法分解因式，可依据平方差、完全平方公式从右到左地使用，就可以把某些多项式因式分解。即按公式a2－b 2＝(a＋b) (a－b)和a 2± 2ab＋b 2＝(a±b) 2进行。 ３、因式分解的步骤及要求： ①、常常先提公呃再用公式法进行因式分解； ②、因式分解一定要进行到每一个因式不能再分为此；
③、多项式因式分解结果中常用小括号括号出现，因式不含中括号； ④、多项式第一项为负数系数常先提出负号使分解后一因式的第一项系数为正。 ４、因式分解必须进行到每一个因式都不能再分解为此。三、深化知识 （出示投影３） 例１、分解因式１－a2－b2＋2ab。 （出示投影４） 例２、已知a、b、c是ΔABC的三边长，且满足a2＋b2＋c2－ab－bc－ac，试判断ΔABC的形状。 四、随堂练习 Ｐ２０Ａ组第１题。 五、课堂小结 本节课复习了本章内容，要求同学们回顾学习中存在的问题及收获，认真总结，逐步提高因式分解等数学能力。主要巩固了非负数的应用及平面直角坐标系中点的坐标等知识，要求灵活运用所学知识解决问题。 六、布置作业 P２０Ａ组练习第２题。
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
第5节因式分解同步练习题 一、选择题（共6小题） 1．下列各式从左到右的变形属于因式分解的是 A．B． C．D． 2．多项式各项的公因式是 A．B．C．D．3．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是 A．B．C．D．4．若，则值为 A．B．或13C．11或D．11 5．若可以用完全平方公式进行因式分解，则的值为A．B．1C．，1D．，3 6．若长和宽分别是，的长方形的周长为10，面积为4，则的值为A．14B．16C．20D．40二．填空题（共12小题） 7．分解因式：． 8．因式分解：． 9．分解因式：．
10．把因式分解的结果是． 11．多项式与多项式的公因式是． 12．若，则． 13．与互为相反数，则． 14．已知，，则． 15．若多项式能因式分解为，则． 16．若多项式可分解为．则的值为． 17．已知为自然数，且与都是一个自然数的平方，则的值为． 18．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是：对于多项式，因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，用上述方法产生的密码是（写出一个即可）． 三．解答题（共7小题） 19．分解因式：． 20．分解因式：． 21．因式分解：． 22．已知，，求的值． 23．已知，，求下列式子的值： （1）；
（2）． 24．阅读下列材料：已知，求的值． 解： 根据上述材料的做法，完成下列各小题： （1）已知，求的值． （2）已知，求代数式的值． 25．利用我们学过的知识，可以得出下面这个形式优美的等式： ，该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你检验这个等式的正确性； （2）若，，，你能很快求出的值吗？（3）若，，，求的值．
14.3.2公式法教案（第2课时） 教学目标：1．理解并掌握完全平方公式法分解因式的意义，灵活用完全平方公式进行因式分解。 2．了解运用完全平方公式因式分解的一般步骤。 3．在导出完全平方公式及对其特点进行辨析的过程中，培养学生观察、归纳和逆向思维的能力,通过综合运用提公因式法、完全平方公式法分解因式，进一步培养学生的观察和联想能力。 教学重点：运用完全平方公式法分解因式。 教学难点：完全平方式的特点、识别及运用完全平方公式法分解因式。 教学方法：采用“情境——探究”教学方法，让学生掌握完全平方公式法因式分解。 教学过程： 一、创设情境导入新课 上节课我们利用整式的乘法与因式分解互逆的关系得到了因式分解的平方差公式， 即 x2–y 2 =(x+y)(x-y)。 利用平方差公式分解因式要注意多项式是否符合平方差公式的特点（即：多项式一定是两项，并且是 两个数的平方的差的形式）。 1、【做一做】把下列各式分解因式： （1）x2－9 （2）x3－x （3）9a－ab2（4）(a+b)3－4(a+b) 请同学们独立完成上面两题，完成后互相校对你们的结果。在上面的因式分解中，你都用了哪些 因式分解的方法？并且你认为还要注意什么？ 从上面的第（4）题我们知道公式中的a,b可以是单项式也可以是多项式。 2、请大家思考：你会分解多项式a2+2a+1吗？这就是我们这节课所要研究的内容 二、探索新知： 你能否类似上面的平方差公式写出因式分解中的完全平方公式呢？ a2+2ab+b2=（a+b）2； a2－2ab+b2=（a－b）2. 一般地形如a2+2ab+b2和a2－2ab+b2的式子称为完全平方公式因式分解，完全平方式具备什么特点呢？ 学生小组内合作交流：（代表发言） （1）这个多项式都有三项；（2）三项中都有两数的平方和，加或减这两个数的乘积的2倍。 多项式x2–4xy+4y2是完全平方式吗？ x2 - 2 x (2y) + (2y)2 a2 - 2 a b + b2 是一个完全平方式。 1、【做一做】1.下列哪些式子是完全平方式？ （1）x 2 +4xy–4y 2（2）4m2–6mn+9n 2（3）m2 +6mn+9n 2 2、在下面的空线上填上一项，使之构成一个完全平方式。 (1)4x 2–_____+9y 2 (2) x 2 +_____+4 3、（1）例5、利用完全平方公式分解因式： （1）16x2 +24x+9 （2）- x2 +4xy -4y2 分析：在（1）中，16x2=（4x）2 9=32 24x=2·4x·3所以16x2 +24x+9是一个完全平方公式，即：
§5 因式分解定理 §6 重因式 教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积 教学重点：不可约多项式 重因式 课时：4 教学方式：讲授式 教学内容： 一、不可约多项式 1、定义：数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为不可约多项式，如果)(x p 不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 低的多项式的乘积。 问：为什么一定要强调数域P 呢 例： 上不可分了 在复数域上不可分了在实数域上不可分了 在有理数域C i x i x x x R x x x Q x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=- 注：1、不可约多项式)(x p ，的因式只有非零常数c 与自身的非零常数倍。 2、)(x p 与任意多项式)(x f 之间的关系只可能有两种关系：或者)(|)(x f x p ，或者1))(),((=x f x p 。事实上，若)())(),((x d x f x p =，那么)(|)(x p x d ，所以1)(=x d 或者)()(x cp x d =。 2、重要性质（定理5）： （1）)()()()(),()()(],[)(),(,)(x g x p x f x p x g x f x p x P x g x f x p 或则若对不可约若∈? （2）{}s i x f x p x f x f x f x p x p i s ,,2,1,)()(),()()()(,)(21 ∈对某个则若不可约 二、因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式)(x f 均可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果)(x f 有两个分解式 )()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==
教学案例：初中八年级代数 课题：13．5 因式分解（1） 教材：华师大出版社义务教育课程标准实验教科书 八年级第一学期第十三章第五节 授课教师：德化县第六中学林荣辉 【教学目标】 1．能区分整式的乘法与因式分解，会根据因式分解的意义来判定一个等式从左到右的变形是否为因式分解；会运用提公因式法分解因式．2．通过与算术中的因数分解相比较，渗透类比的数学思想方法；通过与多项式的乘法相比较，发展逆向思维能力。 3．通过因式分解在简化计算中的作用等，培养“用数学”的意识，增强求知欲和学好数学的自信心。 【教学重点与难点】 重点：提公因式法分解因式 难点：多项式因式分解和整式乘法的关系 【教学方法与教学手段】 教学方法：采用“引导类比讨论发现”的教学方法 教学手段：多媒体辅助教学 【教学过程】
教学反思：初中八年级代数 课题：13．5 因式分解（1） 教材：华师大出版社义务教育课程标准实验教科书 八年级第一学期第十三章第五节 授课教师：德化县第六中学林荣辉 【教学反思】 因式分解共二个课时，本节课为第一课时。为了更有效地突出重点，突破难点，按照学生的认知规律，遵循教师为主导，学生为主体的指导思想，本节课以类比发现法为主，直观演示法、设疑诱导法为辅，并运用电教媒体化静为动，激发学生探究知识的欲望，逐步推导归纳得出结论，使学生始终处于主动探索问题的积极状态，从而培养学生的思维能力。 1．在数学过程设计中，从学生身边的生活情景引入，从生活场景中提炼数学知识，设置疑问，使学生带着问题学习新知识，最后又运用新知解决疑问和生活中的问题。这样，体现了“数学源于生活，又为生活服务。” 2．设计问题化、发现化的“概念形成”、“探究新知”，通过“做一做”、“想一想”、“练一练”、“议一议”等活动，为学生提供充分从事数学活动的机会。利用数学情境，激发学生学习的积极性，鼓励学生参与探究、合作交流，让学生自我思考归纳总结，体会数学的价值。 3．现代教学理论认为：学习并非学生对于教师所授予知识的被动接受，而是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构，强调学生学习的主动性、社会性和情景性。由此，本课组织学习因式分解概念与提公因式法时，让学生通过已学过的因数分解及整式乘法相类比，进行探索新知，自我小结归纳，再给出一系列辨析题。在最后的环节中，将学生可能会出现的错误问题全部展现，为学生提供经验与教训，让学生能更透彻地理解本节课的重点和化解难点。 4．本课教学流程图： 情境激趣 复旧孕新 自主小结
第4课时 因式分解法 教学目标 【知识与技能】 1.正确理解因式分解法的实质. 2.熟练掌握运用因式分解法解一元二次方程. 【过程与方法】 通过新方法的学习，培养学生分析问题解决问题的能力及探索精神. 【情感态度】 通过因式分解法的学习使学生树立转化的思想. 【教学重点】 用因式分解法解一元二次方程. 【教学难点】 正确理解AB ＝0←→A ＝0或B ＝0. 教学过程 一、复习提问，导入新课 1.把下列各式因式分解 (1)2x 2－x ； (2)x 2－16y 2； (3)9a 2－24ab ＋16b 2. 2.解下列方程. (1)2x 2＋x ＝0(用配方法)； (2)3x 2＋6x ＝0(用公式法). 【教学说明】 (1)配方法将方程两边同除以2后，x 前面的系数应为12，12的一半 应为14，因此，应加上(14)2，同时减去(14)2. (2)直接用公式求解. 复习因式分解的基本方法和前面学过的一元二次方程的几种解法，为进入新课的学习做准备. 二、合作探究，探索新知 1.提问：怎样解方程x 2－x ＝0更简单？ 2.在解方程x 2－x ＝0时，将方程的左边因式分解，得到x (x －1)＝0， 而因式x 和x －1中必有一个为0，即x ＝0或x －1＝0 解得x 1＝0，x 2＝1.
3.小结：这样，解x 2－x ＝0就转化为解x ＝0或x －1＝0，从而达到降次的目的，同时也体现了数学中的转化思想.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 4.能用因式分解法解的一元二次方程须满足这样的条件： (1)方程的一边为0； (2)另一边能分解成两个一次因式的积. 【教学说明】 教师引导学生将方程左边的式子进行因式分解，从而将一元二次方程转化为两个一元一次方程，求得方程的解，然后总结方法，形成相应的知识点. 三、示例讲解，掌握新知 【例1】解方程：x 2－5x ＋6＝0 解：把方程左边分解因式，得 (x －2)(x －3)＝0. 因此，有x －2＝0或x －3＝0 解方程，得x 1＝2，x 2＝3. 【教学说明】 可以让学生尝试完成，体会用因式分解法解一元二次方程的一般步骤. 【例2】解方程：(x ＋4)(x －1)＝6 解：将原方程化为标准形式，得 x 2＋3x －10＝0 把方程左边分解因式，得 (x ＋5)(x －2)＝0 ∴x ＋5＝0或x －2＝0.解方程，得x 1＝－5，x 2＝2. 【教学说明】 提醒学生先化为一般形式，再考虑使用因式分解法解方程. 四、练习反馈，巩固提高 1.(1)方程x (x ＋2)＝2(x ＋2)的根是__x 1＝2，x 2＝－2__. (2)方程x 2－2x －3＝0的根是__x 1＝3，x 2＝－1__. 2.如果a 2－5ab －14b 2＝0，求2a ＋3b 5b 的值. 解：∵a 2－5ab －14b 2＝0， ∴(a －7b )(a ＋2b )＝0， ∴a ＝7b 或a ＝－2b . ∴2a ＋3b 5b ＝175或2a ＋3b 5b ＝－15
高等代数II 第一章多项式 第5节.因式分解定理 教学大纲 .素因子的个数 小学算术就学了正整数的因子分解，学了质数合数.初中学了多项式的因式 分解.因子分解是你们熟悉的.很多人就认为因式分解很容易，就凭那三招(提取 公因子，用乘法公式，分组分解法)就可以纵横天下。 其实，正整数的因子分解都是世界难题。多项式就更不可能容易。 先别去碰难题。还有些入门的小儿科都没有搞清楚。 比如,1不能分解,为什么不是质数？ 学了负整数,2=(-2)(-1)可以分解,2还是质数吗？ -6的分解式是 3冬-2)还是(-3)X2还是(-1) X 3X 2 2X+4在有理系数范围内能不能分解？ 2x+4=2(x+2)不就分解了吗？ 还有一个被忽略的问题：书上要求因式分解到底。你分到不知道怎么分就结 束了。为什么不想一下，你不知道怎么分，不能断定它就不能分。有可能是它还能 分，你水平不够没有发现它的分解式。 因此，不但应该有方法教你怎样分，还应该教你判别分到什么时候就到底了。 最简单的情况：全部因式都是一次，肯定到底了。大部分时候不能分到一次，怎 么知道它到底没有。比如 x 10+x 5+1, x 12+x 9+x 6+x 3 +1在有理数范围内能不能分？ 1. 正整数的分解： 不能分解的正整数叫做 质数(也叫素数)，能分解的叫合数. 1是质数还是合数？ 1不能分解，是质数. 1既不是合数，也不是质数. 既不是合数，也不是质数，是什么呢？ 它就是1. 为什么不说“ 2既不是合数，也不是质数，它就是2”？ 例1. 学生 老师 学生 老师 点评
1和2都不能分解，它们有什么区别？ 例2.如下正整数是多少个素因子的乘积？ (1)24; (2) 24 X 2X 1X 3X(3)1;24 2 1 3 1; (4) 23X32; (5) 210 210。 解.⑴24=2 X 2X,X个素因子。 (2)24X 2X 1X 2X214, 含4 个素因子, 乘2 乘3 各增加一个素因子变成6 个. 乘1 不变, 素因子不增加, 仍是6 个. (3)24 2 3, 24 含4 个素因子,除以2,3 能够整除,各减少一个素因子变成2 个. 除以1 不变, 素因子不减少, 仍是6 个. (4)23X32，3 个素因子乘2 个素因子，共5 个素因子。 (5)210 210, 10 个素因子除以10 个素因子，减少10 个,变成0 个素因子. 因此规定 210 210 =210-10=20=1 点评：两个整数相乘, 素因子个数相加. 相除，素因子个数相减. 乘1 不增加, 除以1 不减少, 说明1 是0 个素因子。 素数幕p n自己除以自己等于1,素因子个数n-n=0,说明P°=1, 也说明1 是0 个 素因子。 结论. 1 个素因子叫做素数, 2 个或更多个素因子的乘积叫做合数. 0 个素因子的乘积是1 ．这种分类言之成理了. 如果将1也规定为素因子,2=2 X 1X1XX 1X的分解就永远分不完了。 2.整数的分解：整数包括正整数、0、负整数. 0 不能作因子，只考虑正负整数. 例3. 如下整数是几个素因子的乘积. (1)-1; (2) 1; (3) -2; (4) 6; (5) - 6. 解. (1) -1=(-1)(-1)(-1)=(-1)5=(-1)2019. -1 是不是素因子？ 如果是, 它也是3 个,5个,2019个, 任意奇数个素因子的乘积. 显然不合理。 (2)1=(-1)(-1)=(-1)2020。 1 是2 个-1 的乘积,也是2020个-1 的乘积. 既然1 是0 个素因子个数为0, - 1 的素因子个数就是0 2 = 0 2020 = 0。 (3)-2=(-1)X2 的素因子个数= 0+1=1 。素因子个数为1 的, 自己就应该是素数。但是-2=(-1)X2 可以分解,能够称为素数吗？ 2=2X1=(-2)(-1) 也可以分解, 是素数吗？ 如果说前一种分解2X1 的因子是2 自己和1,不算是分解。 后一种分解的因子-2,-1 既不是2 自己也不是1,算不算分解？ 如果也算分解，每个素数p=(- p)(- 1) 都可以分解为既非p 也非1的因子的乘积，就都不是素数，就没有素数了。p=(- p)(-1)2k+1的因子个数2k+2可以任意大。 就永远分不完了。 由此可见，整数P因子分解p=bc的因子b,c不但不应该是1,也不应该是1 的因子-1.
因式分解之分组分解法 探索尝试 1.分解因式：a x ＋ay ＋bx ＋by ，还能直接运用提取公因式法吗？ 分组分解法分解因式的意义： 我们把被分解的多项式分成若干组，分别按“基本方法”即提取公因式法和运用公式法进行分解，然后，综合起来，再从总体上按“基本方法”继续进行分解，直到分解出最后结果。这种分解因式的方法叫做分组分解法。 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法。通过对多项式进行适当的分组，把多项式转化为可以应用基本方法分解的结构形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而达到可以利用基本方法进行分解因式的目的。 我们有目的地将多项式的某些项组成一组，从局部考虑，使每组能够分解，从而达到整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要具体问题具体分析，但分组时要有预见性，要统筹思考，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进行。通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧。 例题：把下列多项式分解因式： 1. 按字母特征分组 （1）1a b ab +++ （2） a 2－ab ＋ac －bc 2. 按系数特征分组 （1）27321x y xy x +++ （2）263ac ad bc bd -+- 3. 按指数特点分组 （1）22926a b a b -+- （2）2242x x y y +--
4.按公式特点分组 （1）a 2－2ab ＋b 2－c 2 （2）2229124c bc b a -+- 总结规律： 1.合理分组（2+2型）； 2.组内分解（提公因式、平方差公式） 3.组间再分解（整体提因式） 4. 如果一个多项式中有三项是一个完全平方式或通过提取负号是一个完全平方式，一般就选用“三一分组”的方法进行分组分解。因此在分组分解过程中要特别注意符号的变化. 练习巩固 1．用分组分解法把ab －c ＋b －ac 分解因式分组的方法有（ ） A ．1种 B .2种 C .3种 D .4种 2. 用分组分解a 2－b 2－c 2＋2bc 的因式，分组正确的是 （ ） 3．填空： （1）ax ＋ay －bx －by =(ax ＋ay )－ ( ) =( ) ( ) （2）x 2－2y －4y 2＋x = ( )＋( ) =( ) ( ) （3）4a 2－b 2－4c 2＋4bc = ( )－( ) =( ) ( ) 4．把下列各式分解因式 （4）9m 2－6m ＋2n －n 2 （5）4x 2－4xy －a 2＋y 2 （6）1―m 2―n 2＋2mn （7）b b a a b a 623223--+ （8）162234-+-x x x （9）2 2414y x xy --+ （10）2333x x x +++ )2().() 2().(222222bc c b a C bc b c a A ------) 2(.2).(222222bc c b a D bc c b a B -+-+--xy x y x 21565)1(2--+1243)3(22--+a x ax b a ab a 3217)2(2--+
余式定理 1公式 整系数多项式f(x)除以(x-a)商为q(x)，余式为r，则f(x)=(x-a)q(x)+r。 如果多项式r=0，那么多项式f(x)必定含有因式(x-a)。反过来，如果f(x)含有因式(x-a)，那么，r=0。 2概念 当一个多项式f(x) 除以(x –a) 时，所得的余数等于f(a)。 例如：当f(x)=x^2+x+2 除以(x –1) 时，则余数=f(1)=1^2+1+2=4。 3推论 当一个多项式f(x) 除以(mx –n) 时，所得的余数等于f(n/m)。 例如：求当9x^2+6x–7 除以(3x + 1) 时所得的余数。 设f(x) = 9x^2 + 6x –7，则余数f(-1/3)=1–2–7=-8。 4例题 （全国港澳台华侨联合招生考试题型） 设f(x)以(x-1)除之，余式为8，以(x2+x+1)除之的余式为(7x+16)，求(x^3-1)除之的余式为多少? 解：根据题意，得f(1)=8，f(x)=(x^2+x+1)g(x)+7x+16。 因为x^3-1=(x-1)(x^2+x+1) 所以f(x)=(x-1)(x^2+x+1)g(x)+a(x^2+x+1)+7x+16 （其中a(x2+x+1)+7x+16为余式）又f(1)=8 所以f(1)=3a+7+16=8 所以a=-5，因此余式为-5x^2+2x+11 因式定理 1定义 为余式定理的推论之一：如果多项式f(a)=0，那么多项式f(x)必定含有因式x-a。反过来，如果f(x)含有因式x-a，那么，f(a)=0。 2例题 如图， 此题可以利用完全立方公式解答，但较为繁琐。 仔细观察不难发现，当x=y时，原式的值为0。 根据因式定理可知：原式必有因式x-y同样的， 可以得到原式必有因式y-z和z-x（也可以由原式 为对称多项式直接得到） 然后再用待定系数法（结合赋值法）求出待定系 数即可 3意义
人教版八年级数学讲练稿 编号 日期 主备 彭丽华 审核 课题 15.4因式分解 课型 新授 班级 预习 学生姓名 目标 提公因式法，公式法 重点 提公因式法分解因式，用完全平方公式平方差公式分解因式 难点 用完全平方公式平方差公式分解因式 一．问题：把下列多项式写成整式的乘积的形式 （1）x 2+x=_________ （2）x 2-1=_________ （3）am+bm+cm=_ _ 把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解 是整式乘法的相反方向的变形 找出公因式：①c ab ab b a 3222834+- ②532)32(21)32(14)32(7y x y x y x -+--- ③xz xy x -+- 2212 ④yz x z xy z y x 2 23323153510+-- 因式分解： ⑴2a （b+c ）-3（b+c ） ⑵3x 3 -6xy+x ⑶-4a 3+16a 2 -18a ⑷ 6（x-2）+x （2-x ） 二．如果多项式是两数差的形式，并且这两个数又都可以写成平方的形式，那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式． 因式分解 （1）x 4-y 4 （2）a 3b-ab （3） 36（x+y ）2-49（x-y ）2 （4）（x-1）+b 2 （1-x ） 三．把整式乘法的完全平方公式反过来写即分解因式的完全平方公式． a 2+2ab+b 2=（a+b ）2， a 2-2ab+b 2（a-b ）2 ． 两个数的平方和，加上（或减去）这两数的积的2倍，?等于这两个数的和（或差）的平方． 分解因式： （1）3ax 2+6axy+3ay 2 （2）（a+b ）2-12（a+b ）+36 （3）6a-a 2-9 （4）-8ab-16a 2-b 2 四．常用公式法： 一、直接法 例1:分解因式⑴x 2－9;⑵x 2＋4x ＋4;⑶x 2－4xy ＋4y 2. 析解:⑴此题是两项式,符合平方差公式的条件,从而x 2－9＝(x ＋3)(x －3);⑵⑶题是三项式,符合完全平方公式的条件,从而有x 2＋4x ＋4＝(x ＋2)2,x 2－4xy ＋4y 2＝(x －2y)2. [归纳小结]形式上符合平方差公式及完全平方公式的多项式,可以直接运用公式分解因式. 二、先提后用法 例2:分解因式⑴x 3－x;⑵x 3y －2x 2y ＋xy. 析解:⑴先提取公因式x,再运用平方差公式,所以x 3－x ＝x(x 2－1)＝x(x ＋1)(x －!).⑵提取公因式xy,再运用完全平方公式,所以x 3y －2x 2y ＋xy ＝xy(x 2－2x ＋1)＝xy(x －1)2. [归纳小结]对于含有公因式的多项式,首先提取公因式,然后运用公式分解因式. 三、先化后用法 例3:分解因式(a ＋b)2－4ab. 析解:先化简合并后运用公式,所以(a ＋b)2－4ab ＝a 2＋2ab ＋b 2－4ab ＝a 2－2ab ＋b 2＝(a －b)2. [归纳小结]对于不能直接运用公式的多项式,先化简合并后运用公式. 四、整体法 例4:分解因式(a ＋2b)2－(2b ＋1)2. 析解:若把a ＋2b 和2b ＋1看作一个整体,符合平方差公式的条件,所以(a ＋2b)2－(2b ＋1)2.＝[(a ＋2b)＋(2b ＋1)][(a ＋2b)－(2b ＋1)]＝(a ＋4b ＋1)(a －1). [归纳小结]对于多项式中的有些部分看作一个整体时,符合公式的条件,就可以采用整体法进行分解. 五、连续运用公式法 例5:分解因式81－x 4. 析解:将x 4看成是(x 2)2,则可运用平方差公式分解后继续运用平方差公式,所以81－x 4＝(9＋x 2)(9－x 2)＝(9＋x 2)(3＋x)(3－x). [归纳小结]把多项式适当变形后,可以连续运用公式法进行分解.