、掌握运用完全平方公式分解因式的方
把下列各式分解因式：
（
发现学生易错点，及时纠正）
解因式
多项式分解因式的方法叫做运用公式法
2-2
是完全平方式，则m的值是（
3
初三代数教案 第十二章：一元二次方程 第12课时：二次三项式的因式分解（用公式法）（一） 教学目标： 1、使学生理解二次三项式的意义； 2、了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系； 3、使学生会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式； 4、通过本节课的教学，提高学生研究问题的能力。 教学重点： 用公式法将二次三项式因式分解． 教学难点： 一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系． 教学过程： 二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法． 一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力． 一、新课引入： （1）写出关于x的二次三项式？ （2）将下列二次三项式在实数范围因式分解． ①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1． 由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题． 二、新课讲解： ．①由新课引入观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系． ①x2-2x+1=0； 解：原式变形为（x-1）（x-1）=0． ∴ x1=x2=1， ②x2-5x+6=0； 解原方程可变为
《因式分解》(说课稿) 尊敬的各位领导、各位评委： 大家好！ 我今天说课的课题是人教版义务教育课程标准实验教科书八年级数学上册第十五章第五节《因式分解》第一课时“因式分解的意义”。下面我从：教材的分析、教法与学法及教学手段、教学过程、板书设计四部分来说这一节课，其中，教学过程分为：导入新课、新课讲解、小结作业三部分；整个过程是先由实际问题引入新课，然后再回到实际问题中，解决实际问题。 一、教材分析 1、教材地位与作用。 因式分解是代数式的一种重要恒等变形。.它是学习分式的基础,又在代数式的运算、解方程、函数中有广泛的应用,.就本节课而言，着重阐述了两个方面，一是因式分解的概念，二是与整式乘法的互逆关系。它是继整式乘法的基础上来讨论因式分解概念，继而，通过探究与整式乘法的关系，来寻求因式分解的原理。这一思想实质贯穿后继学习的各种因式分解方法。通过本节课的学习，不仅使学生掌握因式分解的概念和原理，而且又为后面学习因式分解作好了充分的准备。因此，它起到了承上启下作用。 2、教学目标。 根据因式分解这一节课的内容，对于掌握各种因式分解的方法，乃至整个代数教学中的地位和作用，我制定了以下教学目标： （一）知识目标： ①理解因式分解的概念； ②掌握从整式乘法得出因式分解的方法。 （二）能力目标： ①培养分工协作及合作能力，锻炼学生的语言表达及用数学语言的能力。 ②培养学生观察、分析、归纳的能力，并向学生渗透对比、类比的数学思想方法。（三）情感目标： ①培养学生积极主动参与的意识，使学生形成自主学习、合作学习的良好的学习习惯。 ②体会事物之间互相转化的辨证思想，从而初步接受对立统一观点。 3、教学重点与难点。 本节课理解因式分解的概念及意义是学习本节因式分解的关键，而学生由乘法到因分解的变形是一个逆向思维。在前一节整式乘法的较长时间的学习，造成思维定势，学生容易产生“倒摄抑制”作用，阻碍学生新概念的形成。因此我将本课的学习重点、难点确定为： 重点：因式分解的概念 难点：认识因式分解与整式乘法的关系，并能灵活运用因式分解的各种问题。 4、教法与学法及教学手段。
用因式分解法解一元二次方程 课时教学目标 1.掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤. 2.2.会用因式分解法解一元二次方程. 3.教学设想 4.教学重点：用因式分解法解一元二次方程. 5.教学难点：例3方程中含有无理系数，需将常数项2看成（2）2，才能分解因式，是本节教学的难点. 一，复习引入教学程序与策略 1、将下列各式分解因式：(1)y2-3y (2)4x2-9 (3)(3x-4)2-(4x-3)2 教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解. 2、你能利用因式分解解下列方程吗？ (1)y2-3y=0 (2)4x2=9 请中等学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（板书课题） 二.新课学习1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤： 教师首先指出：当方程的一边为0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书） ①若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零； ②将方程的左边分解因式； ③根据若M2N=0，则M=0或N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。 2、讲解例2. （1）解下列一元二次方程：(1)(x-5)(3x-2)=10; (2)x-2=x(x-2）; (3)(3x-4)2=(4x-3)2. 教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把x-2及3x-4和4x-3看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要用“或”，而不能用“且。 （2）想一想：将第（1），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？ （3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型： ①先变形成一般形式，再因式分解：
14.3.2 公式法因式分解 班级： 姓名： 学号： 学习目标： 1、熟练掌握公式法，并能灵活选择平方差公式进行因式分解。 2、通过独立思考、小组讨论,进一步体验“整体的 思想”。 3、培养主动参与学习、认真严谨的学习态度。 学习重点:用公式法进行因式分解 学习难点:对平方差公式结构的理解以及灵活运用公式。 学习过程： 一、复习反馈 1、什么叫因式分解？ 。 2、计算：①(x+2)(x-2)=_________。把等号左右两边互换得 。 ②(y+5)(y-5)=_________。把等号左右两边互换得 。 思考:你能将多项式2x - 4与多项式2y -25分解因式吗？这两个多项式有什么共同的特点吗? 二、引导探究 平方差公式 22b -a b -a )(b a =+） （ 把等号两边互换位置变形平方差公式得 语言描述：即两个数的 ,等于这两个数的 与这两个数的 的积。 平方差公式进行因式分解：2a - 2b =(a+b)(a-b) 1、因式分解。 ① 2x -1=________ 。 ② 9 - 2t =________。
2、下列多项式能用平方差公式因式分解吗？ ①2x+2y②2x-2y ③-2x+2y④-2x-2y 思考：能用平方差公式因式分解的多项式有何特征？ 三、巩固精炼 例3 分解因式: (1) 42x–9 (2) 2 （+ x q） x–2 p） （+ 你能仿照例3完成下面的题目吗？ 练习：比一比，看谁做得快！ 2、把下列各式分解因式。 (1)2m-4 (2) 2 4x-25 (3) -2y4+ 2x(4) 22） x-9 （+
3、课堂升华 例4 分解因式: (1)4x -4y (2) b a 3 – ab 练习：我能行！（小组合作比赛） 4、分解因式。 （1）2a - 2b 25 1 ; (2) 29a -24b ; (3)4y -y x 2; (4) 4a - +16. 四、课外拓展 1、用平方差公式进行简便计算: （1）1022-22 （ 2） 992-12
14．3因式分解 第1课时提公因式法 教学目标 1．了解因式分解公因式等相关的概念及与整式乘法的关系． 2．能找出多项式的公因式，会用提公因式法分解简单的多项式． 教学重点 会用提公因式法分解因式． 教学难点 正确理解因式分解的概念，准确找出公因式． 教学设计一师一优课一课一名师(设计者：) 教学过程设计 一、创设情景，明确目标 同学们，我们先来看下面两个问题： 1．630能被哪些数整除，说说你是怎么想的？ (2，3，5，7，9，10等) 2．当a＝101，b＝99时，求a2－b2的值． 对于问题1我们必须对630进行质因数分解，对于问题2，虽然可以直接代值进行计算，但有没有简单的方法使计算变得简单呢？这就是我们这节课要解决的问题． 二、自主学习，指向目标 自学教材第114页至115页，思考下列问题： 1．把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解 2．因式分解与整式的乘法之间的关系是互逆变形的关系． 3．公因式确定的方法是：①系数是各项系数的最大公约数，②因式的字母取各项都含有的字母；③因式的指数取最低次数． 三、合作探究，达成目标 探究点一因式分解的定义 活动一：填空并观察： (1)计算： x(x＋1)＝________； (x＋1)(x－1)＝________. (2)请你将下列各式写成乘积的形式： ①x2＋x＝________； ②x2－1＝________； ③am＋bm＋cm＝________. 展示点评：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫
做把这个多项式分解因式． 小组讨论：因式分解与整式乘法有什么关系？ 反思小结：因式分解是由一个多项式到几个整式积的变形，整式乘法是几个整式的积到一个多项式的变形，它们之间是互逆变形． 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点二公因式 活动二：填空： ①6与9的最大公约数是________； ②多项式ma＋mb＋mc的公因式是________． 展示点评：公因式的定义：组成多项式的各项都有一个公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式． 小组讨论：归纳确定公因式的方法 【反思小结】确定公因式的方法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数；(2)因式取各项相同的因式；(3)因式的指数取次数最低的 针对训练：见《学生用书》相应部分 探究点三提取公因式法分解因式 活动三：1.把多项式ma＋mb＋mc写成两个整式积的形式是： ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)，其中m是组成多项式各项的公因式，另一个因式a＋b＋c是ma＋mb＋mc除以m所得的商2．一般的，如果多项式的各项都有公因式，可以先把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式积的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法．3．分解因式： (1)8a3b2＋12ab3c； (2) 2a(b＋c)－3(b＋c) 小组讨论：应用提取公因式法分解因式时，其关键是什么？另一个因式如何确定？ 展示点评：关键是确定公因式；另一个因式就是所要分解的多项式除以公因式所得的商解答过程见课本P115例1，例2 【反思小结】(1)应特别强调确定公因式的三个条件，以免漏取，即系数、所有相同的字母、指数；(2)当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提取公因式后剩下的应是1，1作为项的系数时可以省略，但如果单独成一项时不能漏掉．提取公因式后的项数应与原多项式的项数相等，这样可以检查是否漏项．(3)提取公因式时应先观察第一项系数的符号，或是负号时应用添括号法则提出负号，此时一定要把每一项都变号，然后再提取公因式． 针对训练：见《学生用书》相应部分 四、总结梳理，内化目标 1．因式分解与整式乘法之间的关系：整式乘法互逆变形因式分解； 2．确定公因式的方法． 3．提取公因式法分解因式应注意：①找公因式，提公因式，注意符号及不要漏项；②分解结果到每个因式不能再分解为止． 五、达标检测，反思目标 1．下列各式从左到右的变形为因式分解的是( C ) A．(a－2)(a＋2)＝a2－4 B．m2－1＋n2＝(m＋1)(n－1) C．8x－8＝8(x－1) D．x2－2x＋1＝x(x－2)＋1 2．多项式8a3b2－12ab3c＋16ab的公因式是__4ab__．
因式分解教案 二界岭中心学校（初中部）许立 【教学目标】 知识技能目标： 1、理解因式分解的含义，能判断一个式子的变形是否为因式分解。 2、熟练运用提取公因式法分解因式。 过程与方法目标： 在教学过程中，体会类比思想逐步形成独立思考，主动探索的习惯。 情感与态度目标: 通过现实情景，让学生认识到数学的应用价值，并提高学生关注生存环境的环保意识。 【教学重点与难点】 重点:理解因式分解的含义及运用提取公因式法分解因式。 难点：合理分组，运用提取公因式法分解因式。 【教学方法与手段】 教法：类比、探究式教学方法 学法：自主、合作、探索的学习方法 【教具准备】 多媒体展示 【教学过程】 一、创设情景 组织学生先观看一段有关沙尘暴的视频（或图片）资料，并请学生谈谈看后
有何感想。（2至3人） 二、 提出问题 近年来，我国土地沙漠化严重，很多城市受到沙尘暴的侵袭，但狂沙埋不住希望，有一些青年志愿者向沙漠宣战，组织了一次植树造林活动。 如图，在沙漠边上开垦荒地植树造林。共开了三块，从左到右，它们的长分别是a ﹑b ﹑c,宽是m ，那么一共开垦荒地的面积是？ 方法一得： mc mb ma ++ 方法二得： ()c b a m ++ 总结：因此mc mb ma ++=()c b a m ++ 利用整式乘法验证： ()c b a m ++=mc mb ma ++ 我们把mc mb ma ++=()c b a m ++这一变换过程称作因式分解。 出示课题：因式分解 概念：像这样把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，称作因式分解。 对象：多项式 结果：整式的乘积形式 学生举例：（说明什么是因式分解） 思考：整式的乘法与因式分解的关系 1 因式分解 整式的乘法 2、利用整式的乘法检验因式分解的正确性。 辩一辩：判断下列各式是不是因式分解，为什么？ ⑴ 12x 3y 2=3x 3·4y 2 ⑵ 5x-5y+5z=5(x-y+z) ⑶ax+bxy-xy=ax+xy(b-1) ⑷a 2-b 2=(a-b) ·(a+b) 说明：1、等式左边是多项式，右边是整式的乘积形式; 2、因式分解一般分解到不能再分解为止。 三、 引入新知
《公式法因式分解》教学设计 永年县第八中学——胡平亮 一、教学内容：冀教版七年级数学第十一章公式法分解因式 二、教学目标： 知识与技能 1、经历逆用平方差公式的过程． 2、会运用平方差公式，并能运用公式进行简单的分解因式． 过程与方法 1、在逆用平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力． 2、培养学生观察、归纳、概括的能力． 情感与价值观要求： 在分解过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美；让学生在合作探究的学习过程中体验成功的喜悦；培养学生敢于挑战；勇于探索的精神和善于观察、大胆创新的思维品质。 三、教学重点： 利用平方差公式进行分解因式 四、教学难点： 领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性。 五、教学准备： 深研课标和教材，分析学情，制作课件 六、教学过程； 一、知识回顾 1、根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？ （1）、(2x-1)2=4x2-4x+1 否 （2）、 3x2＋9xy－3x＝3x(x＋3y－1) 是 （3）、4x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 否 2、把下列各式进行因式分解
（1）. a3b3-a2b-ab （2）(3x+y)(3x-y) （3）、（x+5)(x-5) 利用一组整式的乘法运算复习平方差公式，为探究运用平方差公式进行分解因式打下基础。 二、导入新课： 你能把多项式：x2 -25、9x2 -y2分解因式吗？ 利用一组运用平方差公式分解因式的习题，引导学生利用逆向思维去探究如何分解 a2- b2类的二次二项式。学生从对比整式的乘法去探索分解因式方法，可以感受到这种互逆变形以及它们之间的联系。 三、探究与交流 a2- b2=(a+b)(a-b) （1）用语言怎样叙述公式？ （2）公式有什么结构特征？ （3）公式中的字母a、b可以表示什么？引导学生观察平方差公式的结构特征， 学生在互动交流中，既形成了对知识的全面认识，又培养了观察、分析能力以及合作交流的能力。 判断：下列多项式能不能运用平方差公式分解因式？ (1) m2－1 (2)4m2－9 （3）(3)4m2+9 （4）(4)x2－25y + (5) －x2－25y2 (6) －x2－25y2 通过这一组判断，使学生加深理解和掌握平方差公式的结构特征，既突出了重点，也培养了学生的应用意识。 四、体验新知： （A）通过自学例1: 分解因式(1)25-16x2 (2)9a2 -1/4b2 引导学生得出分解因式的一般步骤，向学生渗透“化归”思想。 要让学生明确： （1）要先确定公式中的a和b； （2）学习规范的步骤书写。 （B）例2、分解因式9(m+n)2-(m-n)2
案例研习：因式分解 一、案例背景 设计者：尹振强，衢州学院教师教育学院数学与应用数学 学生：衢州市新星初中八年级一班 45人 教材：人教版八年级上册因式分解 二、学情分析 教学对象是八年级学生，在学习本节前，学生已经掌握了整式乘法运算，对乘法分配律有了一定的认识；虽然对整式的运算比较熟悉，对互逆过程也有一定的感知,但因式分解一直是初中数学教学的一个难点，原因在于分解因式的方法很多，变化技巧较高，且没有一种一般有效的方法。教学中要注意把握教学要求，防止随意拓宽内容和加深题目的难度。教科书对于因式分解这部分内容要求仅限于因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，教学中则应让学生牢固地掌握。 三、知识分析 。提公因式法因式分解是义务教育课程标准实验教科书（人教版）《数学》八年级上册第十五章第四单元第一节内容，是在学生已经学习了整式乘法运算的基础上引入的，本教科书安排了多项式因式分解比较基本的知识和方法，它包括因式分解的有关概念，整式乘法与因式分解的区别与联系，因式分解的两种基本方法，即提公因式法和公式法，共3课时，其中提公因式法1课时，公式法2课时。因式分解是解析式的一种恒等变形，学习分解因式一是为解高次方程作准备，二是学习对于代数式变形的能力，从中体会分解的思想、逆向思考的作用。它不仅是现阶段学生学习的重点内容，而且也是学生后续学习的重要基础。本教材是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，事实上，它是整式乘法的逆向运用，与整式乘法运算有密切的联系．分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，而且也是解决后续——分式化简、解方程、恒等变形等学习的基础，为数学交流提供了有效的途径．分解因式在整个教材中起到了承上启下的作用综上所述，本节课无论是在知识传承，还是在对学生数学思维训练、能力培养上都有举足轻重的作用。 四、学习目标 知识与技能：理解因式分解与整式乘法的区别；懂得寻找公因式，正确运用提公因式法因式分解 过程与方法：（1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察、对比等手段，发现因式分解与整式乘法的区别，确定多项式各项的公因式的方法，加强学生的直觉思维，渗透化归的思想方法，培养学生的观察能力； （ 2）由乘法分配律的逆运算过渡到因数分解，再由单项式与多项式的乘法运算过渡到因式分解，进一步发展学生的类比思想； （3）寻找出确定多项式各项的公因式的一般方法，培养学生的初步归纳能力。 情感态度与价值观：通过引例问题情境的创设，诱发学生的求知欲，进一步认识数学与生活的密切联系；通过观察、对比等手段，培养学生善于类比归纳，发展学生的数学探究能力，通过有一定梯次的变式训练，锻炼其克服困难的意志，发展学生合作交流的良好品质。 教学重点：因式分解的概念及用提公因式法提公因式。
铁厂中学高效课堂数学教学设计 4.1 因式分解 铁厂中学李兴林 一．教材分析： 因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理 数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数 式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意 义． 本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生 体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。 二．学情分析： 学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算， 因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维 对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具 体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点。 三．教学目标： 1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念。 2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形）。 3.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养变形与化归的能力。 4.培养学生认识矛盾的对立统一，勇于探索的精神和实事求是的学习态度。 四．教学重点：因式分解的概念。 教学难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系。 五．教学过程： 本节课设计了五个教学环节：复习回顾（整式乘法），自主探究概念，小组合作学习， 检测巩固，小结。 （一）复习回顾 1.整式乘法有几种形式? (1)单项式乘以单项式：3a?4ab= (2)单项式乘以多项式： a(m+n)=_______ (3)多项式乘以多项式: (a+b)(m+n)=_____________ 千教万教，教人求真
第二章 分解因式 1．分解因式 教学目标： （一）知识与技能： （1）使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念． （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系，并能运用这种关系寻求因式分解的方法． （二）过程与方法： （1）由学生自主探索解题途径，在此过程中，通过观察 、类比等手段，寻求因式分解与因数分解之间的关系，培养学生的观察能力，进一步发展学生的类比思想． （2）由整式乘法的逆运算过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力． （3）通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，培养学生的分析问题能力与综合应用能力． （三）情感与态度： 让学生初步感受对立统一的辨证观点以及实事求是的科学态度． 教学重点：理解因式分解的概念. 教学难点：因式分解与整式乘法的相互关系 教学方法：探索、归纳 教学过程 一、 问题 用简便方法计算： （1）29 7 6971397?+?-?= （2）-2.67×132+25×2.67+7×2.67= （3）992–1= ． 注意：学生对于（1）（2）两小题逆向利用乘法的分配律进行运算的方法是很熟悉，对于第（3）小题的逆向利用平方差公式的运算则有一定的困难，因此，有必要引导学生复习七年级所学过的整式的乘法运算中的平方差公式，帮助他们顺利地逆向运用平方差公式． 二 、探究
提问：993–99能被100整除吗？你是怎么得出来的？ 注意：由于有了第一环节的铺垫，学生对于本环节问题的理解则显得比较轻松，学生能回答出993–99能被100、99、98整除，有的同学还回答出能被33、50、200等整除，此时，教师应有意识地引导，使学生逐渐明白解决这些问题的关键是——把一个多项式化为积的形式． 看谁算得准 计算下列式子： （1）3x(x-1)= ； （2）m(a+b+c)= ； （3）（m+4）(m-4)= ； （4）（y-3）2= ； （5）a(a+1)(a-1)= ． 根据上面的算式填空： （1）ma+mb+mc= ； （2）3x2-3x= ； （3）m2-16= ； （4）a3-a= ； （5）y2-6y+9= ． 三、梳理 比较以下两种运算的联系与区别： （1）a(a+1)(a-1)= a3-a （2）a3-a= a(a+1)(a-1) 在第三环节的运算中还有其它类似的例子吗？除此之外，你还能找到类似的例子吗？结论：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．辨一辨：下列变形是因式分解吗？为什么？ （1）a+b=b+a（2）4x2y–8xy2+1=4xy(x–y)+1 （3）a(ab)=a2–ab（4）a2–2ab+b2=(a–b)2 通过学生的讨论，使学生更清楚以下事实：
3.3 公式法 用平方差公式--因式分解 江兆希 教学内容 课本第63～64页． 教学目标 1. 理解整式乘法和因式分解是互逆的，培养逆向思维能力。 2. 使学生掌握用平方差公式分解因式； 3 理解多项式中如果有多重因式分解要分解彻底; 4.体会换元法、类比法、整体思想和转化思想。 重点、难点 重点：用平方差公式分解因式。 难点：当公式中的字母取多项式时的因式分解和多重因式分解。 教学过程 一 创设情境，导入新课 1 复习检查： 1）.还记得学过的两个最基本的乘法公式吗？ 平方差公式: 完全平方公式: 2）.什么叫因式分解？我们学过的因式分解的方法是什么? 3）.因式分解与整式乘法有什么关系？ 2 故事引入： 张老汉向地主租了一块 “十字型”土地，换成长方形土地的宽和长各为多少呢？ 二 合作交流，探究新知。1.公式探究：把平方差公式: 掉头 （22 a b -=（a+b ） (a-b )，运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解的方法叫公式法。 这节课我们来学习用平方差公式来分解因式。板书 ()()22 b a b a b a -=-+()2222b ab a b a +±=±()()2 2b a b a b a -=-+
2 探究平方差公式的结构特点 1、左边有二项，是两个数的平方差的形式 2、右边是左边平方项的底数的和与差的积 语言:两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 练习 议一议：下列多项式哪些可用平方差公式进行因式分解？为什么？ 三 应用迁移，巩固提高 1 用平方差公式分解因式 [ 例1分解因式。 （1）解： （2） 归纳: 利用 平方差公式分解因式的步骤: 1. 改装 2.找a,b 3 .套公式 2 综合运用平方差公式和提公因式法分解因式。 练一练：学生练习因式分解基本题型（分组积分竞赛制） 例2 分解因式: 4 4)1(y x - 巩固练习：学生练习因式分解基本题型（分组积分竞赛制） 四、能力提升 智力竞赛游戏环节 五、反思小结 我们有什么收获? 注意： 1、分解因式的步骤是首先提公因式，然后考虑用公式 2、因式分解进行到每一个多项式的因式不能再分解为止。 3、计算中运用因式分解，可使计算简便 4、公式中的字母可以是单项式，也可以是多项式，运用了整体思想、转化思想。 22 22 254525252x y x y x y x y ()()()() -=-=+-()()[]()()[]y x y x y x y x --+-++=原式解 :()()xy y x y x y x y x y x 422=?=+-+-++=22x y x y （）（）+--
初二数学因式分解辅导教案 因式分解的常用方法 第一部分：方法介绍
多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍． 一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c) 二、运用公式法. 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如： (1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)； (2 ) (a±b)2 = a2±2ab+b2 ———a2±2ab+b2=(a±b)2； (3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------ a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)； (4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)． 下面再补充两个常用的公式： (5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2； (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)； 例.已知 是 的三边，且
，则 的形状是（） A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形 解： 三、分组分解法. （一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式： 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。 解：原式= = 每组之间还有公因式！ = 例2、分解因式：
《17.2.3一元二次方程地解法-因式分解法》一、教学目标 知识与技能目标 1、是学生了解因式分解地意义，理解因式分解与整式乘法地联系与区别． 2、掌握运用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式，及形如x2+（p+q）x+pq地多项式因式分解，培养学生应用因式分解解决问题地能力． 过程与方法目标 1、通过了解因式分解地意义及其与整式地乘法之间地关系，从中体事物之间可以相互转化地辩证思想． 2、经历探索因式分解方法地过程，培养学生研讨问题地方法，通过猜测、推理、验证、归纳等步骤， 得出因式分解地方法． 3、培养学生全面观察问题、分析问题和逆向思维地能力． 情感与态度目标
1、通过因式分解地学习，使学生体会数学美，体会 成功地自信和团结合作精神，并体会整体数学思想 和转化地数学思想． 2、培养学生接受矛盾地对立统一观点，独立思考， 勇于探索地精神和实事求是地科学态度以及创新意 识． 二、教学重点、难点 教学重点：因式分解地概念与目地；用提公因式法 和公式法分解因式 （学生习惯依葫芦画瓢，作题有时不理解题目要求，常常把分解因式地题做成多项式地乘法．让学生理 解因式分解地目地是很重要地．讲讲因式分解地作 用可以帮助学生理解因式分解地目地．） 教学难点： 因式分解地方法，特别是公式法；分组分解法和形 如x2+（p+q）x+pq地多项式地因式分解． （在以往地教学中发现，学生在使用公式法分解因 2
式时不够灵活，易出错．原因是不能理解公式中a、b是变量，可以变成其它地式子，单项式或多项式； 两个公式只是两种计算规律．学生地思维往往被公 式中a、b这两个字母迷惑．） 关键点： 对公式地结构特征应做出具体分析，掌握公式地特 点，加深理解，并培养学生在多变地情况运用公式．三、教学过程 （一）设置问题，以趣激情 兴趣是最好地老师，可以激发情感，唤起某种动机， 从而引导学生成为学习地主人．若能利用短短几分 钟时间，在刚开始就激发学生地兴趣，这正是老师 追求地一个目标．所以我设置以下地问题： 手工课上，老师给小王同学发下一张如左图形状地 纸张，要求他在恰好不浪费纸张地前提下剪拼成右 图形状地长方形，作为一幅精美剪纸地衬底，请问 你，你能帮助小王同学解决这个问题吗？
第四章因式分解 4.1 分解因式 备课时间：2015年11月授课时间：2015年11月 教学目标: 知识与技能：经历探索因式分解方法的过程，体会数学知识之间的整体联系（整式乘法与因式分解）。 过程与方法：了解因式分解的意义，以及它与整式乘法的关系。 情感态度与价值观：感受整式乘法在解决问题中的作用。 教学重难点： 探索因式分解方法的过程，了解因式分解的意义。 教学过程： 创设情景，导出问题： 首先教师进行章首导图教学，指出本章将要学习和探索的对象.教师进行情景的多媒体演示。 章首图力图通过一幅形象的图画——对开的两量列车和有对比性的两个式子，向大家展现了本章要学习的主要内容，并渗透本章的重要思想方法——类比思想，让学生体会因式分解与整式乘法之间的互逆关系。 993-99能被100整除吗？你能把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 探索交流，概括概念： 想一想：993-99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流。 小明是这样做的：
（1）小明在判断993-99能否被100整除时是怎么做的？ （2）993-99还能被哪些正整数整除。 答案：（1）小明将993-99通过分解因数的方法，说明993-99是100的倍数，故993-99能被100整除。 （2）还能被98，99，49，11等正整数整除。 归纳：在这里，解决问题的关键是把一个数化成几个数积的乘积。 议一议：现在你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗？ 鼓励学生类比数的分解将a3-a分解。 做一做：计算下列各式： （1）（m+4）（m-4）= ; （2）（y-3）2= ； （3）3x（x-1）= ； （4）m（a+b+c）= . 根据上面的算式填空： （1）3x2-3x=（）（） （2）m2-16=（）（）
人教版八年级上册整式的乘法与因式分解教案 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
人教版八年级上册整式的乘法与因式分解教案 一、教学内容及授课目的 §教学内容：（1）整式的加减（2）整式的乘法（3）乘法公式与整式的除法 （4）因式分解 ◆教学目标：（1）掌握单项式与多项式的加减，并能够熟练对整式进行化简； （2）熟练运用整式的乘除法公式，掌握整式乘除法的运算步骤 （3）正确理解因式分解的意义，熟练十字相乘法的应用，能够将其应用在因式分解中。 ◆重难点：1.整式的乘除法与公式的应用 2．用十字相乘等方法将题目进行因式分解 二、授课提纲 整式的乘除： 1、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项. 例如：_______3=-a a ；________22=+a a ；________8253=+-+b a b a 2、同底数幂的乘法法则：a m ·a n =a m+n (m ，n 是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例如：________3=?a a ；________32=??a a a 3、幂的乘方法则：(a m )n =a mn (m ，n 是正整数).幂的乘方，底数不变，指数相乘. 例如：_________)(32=a ；_________)(25=x ；()334)()(a a = 4、积的乘方的法则：(a b)m =a m b m (m 是正整数).
积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘. 例如：________)(3=ab ；________)2(32=-b a ；________)5(223=-b a 5、同底数幂的除法法则：a m ÷a n =a m-n (a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m ＞n). 同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定：10=a 例如：________3=÷a a ；________210=÷a a ；________55=÷a a 6、单项式乘法法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 7、单项式除法法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 8、单项式与多项式相乘的乘法法则： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 9、多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多 项式的每一项，再把所得的积相加. 10、多项式除以单项式的除法法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一 项除以这个单项式，再把所得的商相加. ()x x xy ÷+56；()()a ab a 4482-÷- 11、整式乘法的平方差公式：(a +b)(a -b)=a 2-b 2. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 例如：（4a －1）（4a+1）=___________；（3a －2b ）（2b+3a ） =___________； ()()11-+mn mn =；=--+-)3)(3(x x ；
《用因式分解法解一元二次方程》教案 【学习目标】 1．会用因式分解法解某些一元二次方程． 2．能够根据方程的特征，灵活运用一元二次方程的各种解法求方程的根． 【主体知识归纳】 1．因式分解法 若一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，x 2－9＝0， 这个方程可变形为(x ＋3)(x －3)＝0，要(x ＋3)(x －3)等于0，必须并且只需(x ＋3)等于0或(x －3)等于0，因此，解方程(x ＋3)(x －3)＝0就相当于解方程x ＋3＝0或x －3＝0了，通过解这两个一次方程就可得到原方程的解．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法． 2．因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程．其理论根据是：若A ·B ＝0A ＝0或B ＝0． 【基础知识讲解】 1．只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法． 2．在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时，一般不用配方法．而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法． 【例题精讲】 例1：用因式分解法解下列方程： (1)y 2＋7y ＋6＝0； (2)t (2t －1)＝3(2t －1)； (3)(2x －1)(x －1)＝1． 解：(1)方程可变形为(y ＋1)(y ＋6)＝0，y ＋1＝0或y ＋6＝0，∴y 1＝－1，y 2＝－6． (2)方程可变形为t (2t －1)－3(2t －1)＝0，(2t －1)(t －3)＝0，2t －1＝0或t －3＝0，∴t 1＝2 1，t 2＝3． (3)方程可变形为2x 2－3x ＝0．x (2x －3)＝0，x ＝0或2x －3＝0． ∴x 1＝0，x 2＝2 3． 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把方程整理为一般式，如果左边的代数式能够分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了． (2)应用因式分解法解形如(x －a )(x －b )＝c 的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所以应转化为形如(x －e )(x －f )＝0的形式，这时才有x 1＝e ，x 2＝f ，否则会产生错误，如(3)可能产生如下的错解： 原方程变形为：2x －1＝1或x －1＝1．∴x 1＝1，x 2＝2． (3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t －1)，请同学们思考？ 例2：用适当方法解下列方程： (1)3(1－x )2＝27；(2)x 2－6x －19＝0；(3)3x 2＝4x ＋1；(4)y 2 －15＝2y ；(5)5x (x －3)－(x －3)(x ＋1)＝0； (6)4(3x ＋1)2＝25(x －2)2． 剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了． 解：(1)(1－x )2＝9，(x －1)2＝3，x －1＝±3，∴x 1＝1＋3，x 2＝1－3． (2)移项，得x 2－6x ＝19，配方，得x 2－6x ＋(－3)2＝19＋(－3)2，(x －3)2＝28，x －3＝±27， ∴x 1＝3＋27，x 2＝3－27． (3)移项，得3x 2－4x －1＝0， ∵a ＝3，b ＝－4，c ＝－1， ∴x ＝3 7232)1(34)4()4(2±=?-??--±--，
22.2.3 因式分解法解一元二次方程 教学目标： 1.通过学生自学探究掌握运用因式分解法及其基本思想； 2.能用因式分解法解一些一元二次方程。 教学重点：因式分解法解一些一元二次方程. 教学难点：能够正确选择因式分解的方法. 教学过程： 一、出示学习目标： 1.通过自学理解因式分解法及其基本思想； 2.能用因式分解法解一些一元二次方程。 二、自学指导：（阅读课本P38-39页，思考下列问题） 1.通过阅读问题掌握因式分解法； 2.阅读P39例题思考能用因式分解法的题目有多少种类型及解题步骤； 3.模仿例题解答P40练习1。 三、效果检测： 1、由中下层学生尝试分析10x-4.9x2=0的解题过程，从而总结出因式分解法的基本思想：把方程化为两个一次式的积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次。 3.由上层学生小结：因式分解的方法主要有哪几种？ (1)提公因式法;(注意整体思想） (2)公式法:a2－b2=(a+b)(a－b)、a2±2ab+b2=(a±b)2 (3) 十字相乘法：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 4.归纳因式分解法解一元二次方程的解题步骤：（由中下层学生归纳） （1）将方程右边为零的形式； （2）将方程的左边分解因式； （3）令每个因式为0，得到两个一元一次方程； （4）解每个一元一次方程，即得到一元二次方程的解。 四、当堂训练：
1.填空： （1）方程x 2+x=0的根是____ ；x 1=0, x 2=-1 （2）x 2－25=0的根是 ____ ； x 1=5, x 2=-5 （3）x 2－6x=－9 的根是 ____ 。 x 1=x 2=3 2.解下列方程：（当堂在暗线本中完成并及时给予评价） 2222)34()43)(3(4 324125)2(0 2)2()1(-=-+-=- -=-+-x x x x x x x x x