（一）复习
把下列多项式因式分解
(1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n)
(3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y)
（二）新课讲解
1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？
分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有：
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)
利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。
说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。
练习：
把下列各式分解因式
(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)
2．应用举例
例1．把a2-ab+ac-bc分解因式
分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。
解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)
例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式
分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx）
=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)
提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式
(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz
(5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n
(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2
四、课外作业把下列各式分解因式
1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b)
3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b)
5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b)
7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx
9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by
⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2
⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay
⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy
（一）复习
1．提问：什么是分组分解法？分组时有什么要求？
2．用分组分解法因式分解：
(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny (3)ab+ac-b2-bc
(4)2x-4y-xy+2y2 (5)5am-a+b-5bm (6)x3-x2-4x+4
（二）新课讲解
1．例题分析
例3：把3ax+4by+4ay+3bx分解因式
分析：如果象上节课一样，分别把前后两项分别分成两组，则无法继续分解，但把一、三两项和二、四两项分别分成两组，是可以分解下去的。
解：3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3bx+4by 加法交换律
=(3ax+4ay)+(3bx+4by) 分组
=a(3x+4y)+b(3x+4y) 提公因式
=(3x+4y)(a+b) 再提公因式
练习:用分组分解法因式分解：
(1)ac+2b+2a+bc (2)ad-bc+ab-cd
(3)5ax+6by+5ay+6bx (4)ab-4xy+4ay-bx
例4：把m2+5n-mn-5m分解因式
分析：如果把前后两项分别分成两组，虽然后两项有公因式，但前后两组之间却没有公因式，不好继续分解。如果把一、四两项和二、三两项分成两组，就可以继续分解了。
解：m2+5n-mn-5m=m2-5m+5n-mn=(m2-5m)+(5n-mn)
=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)
练习：把下列各式分解因式
(1)x2+y-xy-x (2)5ax2-b2-b2x+5ax
(3)x2+yz-xy-xz (4)4x2+3z-3xz-4x
(5)5am+b-a-5bm (6)x2-yz+xy-xz
四、课外作业把下列各式分解因式
1．mn＋m－n－1 2．3mx＋4ny＋4my＋3nx
3．m3－m2＋m－1 4．m3＋m2－m－1
5．a2－2b＋ab－2a 6．ax＋by＋ay＋bx
7．xy－z＋y－xz 8．a2x＋by－ay－abx
9．mx3－mx2－mx＋m 10．a2b－a2c＋a3－abc
（一）复习
1．什么是分组分解法？
2．把下列各式分解因式
(1)ac-ad+bc-bd (2)ay2-ax+bx-by2
(3)5ax+6by+10ay+3bx (4)5x2+7a-7ax-5x
3.填空(1)a2-b2=__________ (2)a2+2ab+b2=__________ (3)a2-2ab+b2=___________
（二）新课讲解
1．例题与练习例5：把x2-y2+ax+ay分解因式
分析：显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解，是不是无法分解呢？不是。由于第一、二两项满足平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y),而三、四两项有公因式a,而ax+ay=a(x+y).这时可以看出(x+y)(x-y)与a(x+y)有公因式(x+y)。
解：x2-y2+ax+ay=(x2-y2)+(ax+ay）=(x+y)(x-y)+a(x+y)
=(x+y)+[(x-y)+a]=(x+y)(x-y+a)
练习：把下列各式分解因式
(1)4a2-b2+6a-3b (2)9m2-6m+2n-n2
(3)x2y2-4+xy2-2y (4)a2b2-c2+abd+cd
例6：把a2-2ab+b2-c2分解因式
分析：用刚才的方法不能见效。我们发现a2-2ab+b2是完全平方式(a-b)2,此时，原式就变为(a-b)2- c2，再用平方差公式。
解：a2-2ab+b2-c2=( a2-2ab+b2)- c2 分组
=( a-b)2- c2 运用完全平方公式
=[(a-b)+c][(a-b)-c]运用平方差公式
=(a-b+c)(a-b-c)
练习：把下列各式分解因式
(1)4a2+4ab+b2-1 (2)c2-a2-2ab-b2
(3)x2-4y2+12yz-9z2 (4)a2b2-c2+2ab+1
四、课外作业把下列各式分解因式
⒈4x2－y2－4x＋2y ⒉b2－a2＋ax＋bx
⒊m－2n＋m2－4n2⒋p＋3q－9q2＋p2
⒌s2－t2＋3s－3t⒍x2－2x＋2y－y2
⒎4a2－b2－2a－b⒏9a2－6a＋2b－b2
⒐x2－2x＋1－y2⒑m2＋2mn＋n2－p2
⒒4x2－4xy＋y2－16z2⒓a2－b2－2bc－c2
⒔x2－4y2＋4y－1⒕x2－y2－z2－2yz
（一）复习
把下列各式分解因式
(1)a2-2a+2b-b2 (2)4m2-9n2+3n-2m (3)m2-2mn+n2-4c2 (4)a2-b2+2bc- c2
提问：什么样的多项式可以用分组后运用公式法？
（二）新课讲解
1．例题与练习
例7把下列各式分解因式
(1)(x2-4y2)+(4y-1) (2)(x2+y2-z2)2-4x2y2
分析：在第（1）题分好的两组中，虽然第一组可用平方差公式，但与第二组却无公因式，因此无法分解。如果将括号去掉，再重新分组，得x2-（4y2-4y+1) ,此题可用分组后直接用公式法分解因式。
在第（2）题中，先用平方差公式分解，再用分组分解法。注意：必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
解：(1)(x2-4y2)+(4y-1)= x2-4y2+4y-1= x2-（4y2-4y+1)
= x2–(2y-1)2=[x+(2y-1)][x-(2y-1)]
=(x+2y-1)(x-2y+1)
(2) (x2+y2-z2)2-4x2y2=(x2+y2-z2)2-(2xy)2
=[(x2+y2-z2)+2xy][(x2+y2-z2)-2xy]
=(x2+y2-z2+2xy)(x2+y2-z2-2xy)
=[(x2+y2 +2xy)-z2][(x2+y2-2xy)-z2]
=[(x+y)2-z2][(x-y)2-z2]
=[(x+y)+z][(x+y)-z][(x-y)+z][(x-y)-z]
=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)
练习：把下列各式分解因式
(1) (2ab-a2)+(c2-b2) (2) (ax+by)2+(bx-ay)2
(3) 4a2b2-(a2+b2-c2)2
例8：把下列多项式分解因式
(1) x3+x2y-xy2-y3 (2)a3-ab2+4abc-4ac2
解：(1)x3+x2y-xy2-y3=(x3+x2y)-(xy2+y3) 分组
=x2(x+y)-y2(x+y) 分别提公因式
=(x+y)(x2-y2) 提公因式
=(x+y)[(x+y)(x-y)] 运用平方差公式
=(x+y)2(x-y) 相同因式写成幂的形式
提问：还有其他解法吗？
(2) a3-ab2+4abc-4ac2=a(a2-b2+4bc-4c2) 先提公因式
=a[a2-(b2-4bc+4c2)] 分组
=a[a2-(b-2c)2] 运用完全平方公式
=a[a+(b-2c)][a-(b-2c)] 运用平方差公式
=a(a+b-2c)(a-b+2c) 整理
练习：把下列各式分解因式
(1)a2b2+x2y2-a2x2-b2y2 (2)x3-x2y-xy2+y3
(3)x2y-y3-2xyz+yz2 (4)a3+a2-a-1
3．作业：把下列各式分解因式
(1)x3y3-x2y2-xy+1 (2)(2xy-a2)+(x2+y2) (3)(x2-y2+z2)2-4x2z2
四、课外作业
把下列各式分解因式
⒈3ax＋5ay－6bx－10by ⒉a2－b2－4a－4b ⒊m2－4mn＋4n2－4
⒋4－x2－2xy－y2⒌ax2－ay2＋a2x－a2y ⒍a3＋2a2b＋ab2－a
⒎a2b2－a2－2ab－b2 ⒏x3－x2y＋xy2－y39.（ax－by）2＋（bx＋ay）2 10．（m2－4n2）＋（4n－1）11．（a2－m2－n2）2－4m2n2
分组分解法（第五教时）
（一）复习
1.什么是分组分解法？怎样才是正确的分组？
2.把下列多项式分解因式
(1)x2+2x+nx+2n (2)x2-y2+2yz-z2 (3)x2+px+qx+pq
（二）新课讲解
1.引入
（1）把x2+(p+q)x+pq分解因式
分析
此式不好直接用已学的知识来分解因式，可以把式子展开为x2+px+qx+pq。这时，可以用分组分解法。
x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)
=(x+p)(x+q)
另外：我们知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2+(p+q)x+pq,于是有
x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)
（2）特点
式子x2+(p+q)x+pq的特点为：
（1）二次项的系数是1。
（2）常数项是两个数之积。
（3）一次项系数是常数项的两个因数之和。
说明：根据上面的结果，可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。
2.应用举例
例：把下列各式分解因式
(1)x2+3x+2 (2)x2-7x+6 (3)x2+x-2 (4)x2-2x-15
分析:（1）x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2。这是一个x2+(p+q)x+pq 型式子。
（2）x2-7x+6的二次项系数是1，常数项6=(-1)×(-6)，一次项系数-7=(-1)+(-6)。这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。
（3）x2+x-2的二次项系数是1，常数项-2=(-1)×2，一次项系数1=(-1)+2。这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。
（4）x2-2x-15的二次项系数是1，常数项-15=(-5)×3，一次项系数-2=(-5)+3，这也是一个x2+(p+q)x+pq型式子。
解：(1)因为2=1×2，并且3=1+2，所以
x2+3x+2=(x+1)(x+2)
(2) 因为6=(-1)×(-6)，并且-7=(-1)+(-6)，所以
x2-7x+6=(x-1)(x-6)
（3）因为-2=(-1)×2，并且1=(-1)+2，所以
x2+x-2=(x-1)(x+2)
（4）因为-15=(-5)×3，并且-2=(-5)+3，所以
x2-2x-15=(x-5)(x+3)
3.归纳与小结
(1)常数项是正数时，它分解成两个___号因数，它们和一次项系数符号____。
(2)常数项是负数时，它分解成两个___号因数，其中绝对值较___的因数的符号和一次项系数的符号相同。
思考题把x4-5x2+4因式分解
四、课外作业
一、根据公式x2＋（p＋q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q），填空：
⑴若x2＋ax－6＝(x＋3)(x－2), 则a＝＿＿＿
⑵若x2－5x＋a＝（x－6）（x＋1），则a＝＿＿＿
⑶若x2－mx＋n＝（x－4）（x－2），则m＝＿＿＿n＝＿＿＿
⑷若x2＋mx－n＝（x＋5）（x－3），则m＝＿＿＿n＝＿＿＿
二、如果a＋b＝5，ab＝4，那么关于x的二次三项式x2－abx－（a＋b）分解因式的结果（）A．（x－1）（x－4）B．（x－5）（x＋1）C．（x＋5）（x－1）D．（x＋1）（x＋4）
三、把下列各式分解因式
⒈x2＋px＋qx＋pq ⒉x2＋4x＋3
⒊y2－5y－6 ⒋m2－7m＋6
⒌p2＋9p－10 ⒍n2－5n－36
⒎x2＋7x＋10 ⒏y2＋y－20
⒐m2－11m＋28 ⒑－x2－3x－2 ⒒a2b2－6ab－16
《因式分解-分组分解与十字相乘法》知 识点归纳 ★★ 知识体系梳理 ◆ 分组分解法： 用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式。 、分组后能提公因式； 2、分组后能运用公式 ◆ 十字相乘法： 、型的二次三项式因式分解： （其中，） 、二次三项式的分解： 如果二次项系数分解成、，常数项分解成、；并且等于一次项系数，那么二次三项式： 借助于画十字交叉线排列如下：
◆ 因式分解的一般步骤：一提二代三分组 ①、如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式； ②、提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法； ③、对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④、用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法。 ◆ 因式分解几点注意与说明： ①、因式分解要进行到不能再分解为止； ②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键。 ★★ 典型例题、解法导航 ◆ 考点一：十字相乘法 、型三项式的分解 【例1】计算：
（1） （2） （3） （4） 运用上面的结果分解因式： ①、 ②、 ③、 ④、 方法点金：型三项式关键是把常数分解为两个数之积（），而这两个数的和正好等于一次项的系数（）。 ◎变式议练一： 、 2、已知能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条的整数的个数为（ ） 、个 、个 、个 、个 3、把下列各式分解因式： ①、
分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式分解因式，所得的结果为（） 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 例2. 分解因式 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把，分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 2. 在几何学中的应用 例：已知三条线段长分别为a、b、c，且满足 证明：以a、b、c为三边能构成三角形 分析：构成三角形的条件，即三边关系定理，是“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边” 证明： 3. 在方程中的应用 例：求方程的整数解
分析：这是一道求不定方程的整数解问题，直接求解有困难，因等式两边都含有x与y，故可考虑借助因式分解求解 4、中考点拨 例1.分解因式：_____________。 说明：观察此题是四项式，应采用分组分解法，中间两项虽符合平方差公式，但搭配在一起不能分解到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。 例2．分解因式：____________ 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。 例3. 分解因式：____________ 说明：分组的目的是能够继续分解。 5、题型展示： 例1. 分解因式： 说明：观察此题，直接分解比较困难，不妨先去括号，再分组，把4mn分成2mn和2mn，配成完全平方和平方差公式。 例2. 已知：，求ab+cd的值。
9.16 分组分解法 上海市民办中芯学校 张莉莉 教学目标： 1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义． 2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理 的分组方案． 3．能综合运用各种方法完成因式分解． 教学重点： 理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点： 筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解 教学过程： 一 复习引入 1.什么是因式分解？ 2.学过几种因式分解的方法？ 3.思考：如何将多项式 by bx ay ax +++)1(分解因式？ 二 新知探究 环节1 内容 ：因式分解 by bx ay ax +++)1( 教师：提出问题 指导学生一题多解 引入定义 学生：思考 回答 板书练习 意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思维 2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。 3. 探索 讨论 总结分组的原则 要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过的基本方法都无法直接达到分解的目的．但如果分组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有没有公因式，就可以创造整体分解的机会． 试一试：分解因式（1） 22-+-y x xy （2）1+++ab b a （4）y x y x 242 2-+- （4）b a b a ---3922 环节2 如何将多项式12)2(2 2-++b ab a 分解因式？ 教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？ 学生：尝试 探索 总结 意图：拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组？ 要点：组和组之间存在平方差的联系 巩固练习： （1）y x y xy x 5251022-++- （2）b ab a a 332+-- （3）a a x x 222 2--- 三 课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何合理分组，教师点
（一）复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习： 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例 例1．把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。 解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b) 3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b) 5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b) 7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx 9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2 ⒔x3－2x2y－4xy2＋8y3 ⒕3m－3y－ma＋ay ⒖4x3＋4x2y－9xy2－9y3⒗x3y－3x2－2x2y2＋6xy
“分组分解”教学案例 用分组分解法分解因式，是初中数学的一个教学难点。每年教学到这个地方，我都特别重视，特别下劲。尽管我为此付出了很多，但是教学效果始终不尽人意，总有个别学生不能够灵活运用这种方法。 为了攻破这一教学难点，我除了反思自己的教学外，还积极到计算机网络上检索同仁们的教学录像，借鉴他们的教学方法，对我启发很大。 教学过程如下： 师：到现在为止，我们学习了哪两种因式分解的方法？生：提取公因式法，利用公式法。 师：怎样分解因式a(m＋n)＋b(m＋n)? 生：提取公因式（m＋n）得(a＋b)(m＋n)。 师：怎样分解下面这个因式？请同学们思考一下。 am＋an＋bm＋bn。 师：（少顿。做思考状）如果我们能够把它转化成a(m＋n)＋b(m＋n)，那么问题就迎刃而解了。而要达到这一目的，首先要做什么？谁能够勇敢地站起来说一说？ 学生甲：先把它分成两组,再提取公因式am＋an＋bm＋bn= (am＋an)＋(bm ＋bn)= a(m＋n)＋b(m＋n)。 师：说得很完整。到了这一步，再提取公因式(m＋n)，就得到了因式分解的最终结果(a＋b)(m＋n)。 （教师指着解题过程，面对学生，提高音量）这种先对因式分组，再进行分解的方法，就是我们这一节要研究的因式分解方法。（板书课题《分组分解法》）
师：谁能够根据我们刚才的因式分解过程，给分组分解法下一个定义？请同学们思考1分钟。 教师从众多举手的学生中，指定一位站起来回答，自己板书定义：用分组来分解因式的方法，叫做分组分解法。 师：我们刚才为什么要把am＋an＋bm＋bn分成(am＋an)和(bm＋bn)呢？而没有分成其他组呢？这里有什么潜规则？（少顿）这就涉及到分组的原则问题。（板书“原则：”）请同学们观察分成的两个组，看它们有什么特点？我要指定学生回答。 学生乙：每个组都有公因式。 师：对。分解后，每个组都有可以提取的公因式。因为我们的目的是进行因式分解。如果所分的组没有公因式可提取，那么分解将无法进行，也就失去了分组的意义。所以，大家一定要记住，所分的组里要有公因式。（板书：原则1：分解后，每个组都有可以提取的公因式。） 师：看一看，想一想，分的组还有什么特点？ 生：组与组之间还有公因式。 师：只有当组与组之间还有公因式可提，分解因式的工作才能继续进行。所以，分组的第二个原则是“组与组之间还有公因式”（板书：原则2：组与组之间还有公因式。）请同学们用1分钟时间把这两个原则熟记下来。教师指定学生读这两个原则，指定不同程度的学生不看黑板叙述这两个原则。指出，今后用分组分解法分解因式的时候，首先要用这两个原则衡量自己的分组。所分的组符合这两个原则，分组的方法基本上是对的；所分的组违背了这两条原则，因式分解无法继续，要重新分组。 板书两道例题： 1、－ab＋ac－bc 2、2ax－10ay＋5by－bx 指定一个学生到黑板上做第一题，其他学生在自己的位置上做。
分组分解法教案
9.16 分组分解法 上海市民办中芯学校张莉莉 教学目标： 1．理解分组分解法在因式分解中的重要意义． 2．在运用分组分解法分解因式时，会筛选合理的分组方案． 3．能综合运用各种方法完成因式分解． 教学重点：理解分组分解法的概念.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 教学难点：筛选合理的分组方案和综合运用各种方法完成因式分解 教学过程： 一复习引入 1.什么是因式分解？ 2.学过几种因式分解的方法？ 3.思考：如何将多项式by + )1(分解因式？ + bx ay ax+ 二新知探究 环节1 内容：因式分解by + )1( + ax+ ay bx 教师：提出问题指导学生一题多解引入定义 学生：思考回答板书练习 意图：1.通过一题多解，培养学生的发散思维 2.使学生整体感悟因式分解的方法，再局部的把握知识。 3. 探索讨论总结分组的原则
要点：对于四项式的各项没有共同的公因式，而且也没有 供四项式作分解的公式可用，所以用我们前面学过 的基本方法都无法直接达到分解的目的．但如果分 组后在局部分别分解，然后在组与组直接再看看有 没有公因式，就可以创造整体分解的机会． 试一试：分解因式（1） 22-+-y x xy （2）1+++ab b a （4）y x y x 2422-+- （4）b a b a ---3922 环节2 如何将多项式12)2(22-++b ab a 分解因式？ 教师：提出问题：两两分组可行吗？多项式有什么特征？ 学生：尝试 探索 总结 意图：拓展学生的思维 再一次认识如何合理分组？ 要点：组和组之间存在平方差的联系 巩固练习： （1）y x y xy x 5251022-++- （2）b ab a a 332+-- （3）a a x x 2222--- 三 课堂小结：引导学生从知识，技能，方法，整体等方面自主小结如何 合理分组，教师点评，总结 四 作业布置：练习册：9.16 补充思考题：
初二因式分解解读之六：编制人：平生曜曜 因式分解中的“分组分解法” 分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。 不废话！开始上菜，入席就吃。只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！ （1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑： 第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。 解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y） = x（a2 －b2）－ y（a2 －b2） = （a2 －b2）（x －y） =（a + b）（a－b）（x －y） 第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。 解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y） = a2（x － y ）－b2（x －y） =（x －y）（a2 －b2） = （x －y）（a－b）（a + b） （2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。
〈分析〉：原式由“①：x2”、“②：－4”、“③： +y2”和“④：－2xy”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”若组合在一起，就可以暂时先用提取公因式法，或者运用公式法，来作第一步分解，所以值得尝试： 第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。 解：原式=（x2 －4）+（y2 －2x y） = （x － 2 ）（x + 2）－y（y －2x） 此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！ 第二种分组方式：①、③、④合为一组，②单独为另一组。 解：原式=（x2 + y2 －2x y ）+（－4） =（x － y）2 －（2）2 =（x － y + 2）（x － y － 2） （3）、分解因式：x2 + 3x －y2 －3y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉： 第一种情况：尝试①、②合为一组，③、④合为另一组： 解：原式=（x2 + 3x ）+（－y2 －3y） = x（x + 3）－ y（y + 3） 此法不能完成最终的分解任务，所以要另行分组，进行微调、重组！ 第二种情况：尝试①、③合为一组，②、④合为另一组： 解：原式=（x2 －y2）+（3x－3y） =（x + y）（x － y）+ 3（x － y） =（x － y）（x + y + 3） 〈总结技巧之一〉：形如“平方和”的项，宜与“相应的交叉项”暂时凑成一组，然
9.16分组分解法 教材解读： 本章主要介绍提公因式法、公式法、二次项系数为1的十字相乘法和分组分解法四种最简单、最常用的分解因式的方法。本节内容分组分解法是为前面三种方法的运用创造条件，即把多项式各项适当分组，使之能够应用以上三种方法。分组的目的不仅要使各组“局部”能分解因式，而且要能对整体进一步进行因式分解。因式分解和整式的乘法运算都是整式的一种恒等变形，因式分解是整式乘法的一种逆向变形，也是今后学习分式的基础。课程标准要求：在因式分解中，所涉及的多项式不超过四项；不涉及添项、拆项等偏重技巧性的要求。用公式法分解因式时，只涉及平方差公式和完全平方公式。不要求掌握用十字相乘法对二次项系数不等于1的二次三项式进行因式分解；关于一般的二次三项式的因式分解，将通过后续学习主要掌握求根公式法。由于因式分解需要学生有较高的观察能力、分析能力和应用能力，因此要关注学生不同的思维方式，鼓励、引导学生积极思考，勇于探索，培养学生潜在的思维能力和创新能力。 教学目标： 1.理解分组分解法的概念. 2.掌握用分组分解法分解含有四项的多项式. 3.经历分组分解法分解含有四项的多项式的过程，体会因式分解的基本方法之间的联系和区别，提高观察、分析和解决综合问题的能力? 重点：分组分解法分解含有四项的多项式难点:选择适当的分组方法，继续因式分解教学过程： 一.复习 师：我们已经学习了因式分解的哪几种基本方法？ 生：提公因式法、公式法、十字相乘法。 师：好，下面让我们试一试用这些基本方法来因式分解吧！ 分解因式，并归纳解题模块： 6a2 -6b2 归纳解题模块： 两项式的因式分解的解题模块：1?“提”取公因式2.“套”平方差公式 2 2 2a 4ab 2b 3a2-15a 18 归纳解题模块： 三项式的因式分解的解题模块：1?“提”取公因式 2.“套”完全平方公式或十字相乘法 设计意图：通过三道题目的练习，引导学生归纳出两项式和三项式因式分解的解题模块，训练学生的归纳能力。 二、新课探索 师：同学们已经掌握用提公因式法、公式法、十字相乘法这些解题工具来解二项式与三项式的因式分解的题目，那么还有哪些未知的题目有待我们去研究呢？问题一：
§9.16 分组分解法 教学目标：1、理解分组分解法的概念，能用分组分解的方法分解含四项的多项式； 2、经历探索含四项的多项式分组分解的过程，进一步树立勇于尝试，不怕失败的 精神，并且体验善于归纳、善于总结的方法。 教学重点：归纳含四项的多项式分组分解的方法和规律 教学难点：正确合理地分组，解决含四项的多项式因式分解的问题。 教学过程： 复习： 1、什么是因式分解？ 我们学过哪些因式分解的方法？ 2、快速口答： 因式分解：1、 2、 3、+2ab+ 4、 5、 【设计意图：通过简单的5道分解因式，不仅让同学们复习所学过的几种分解因式的方法，还利用上面的1、2、3这三道题目通过变式引出思考】 3、归纳：分解一个多项式的一般步骤 二、新授：
变式思考：观察，和，你会分解吗？ 分析1：这三个多项式能否直接用我们前面所学过的三种方法分解因式？它们有什么特征？ 共同点：这几个多项式都是四项式，并且它们各项没有公因式。那么你们能否开动脑筋、想办法把它们分解因式？ 分析2：观察多项式，可见前面两项有公因式a，后面两项有公因式b； 所以我们把多项式分成与两组。前一组提取a，得到另一个因式(x+y)，后一组提取b，得到另一个因式也是(x+y)，然后继续提取公因式（x+y）。这样就可以把这个多项式分解因式。 即：=a(x+y)+b(x+y)=(x+y)(a+b) 问：还没有没其它分组方法？ 我们把多项式分成与两组。前一组提取x，得到另一个因式(a+b)，后一组提取y，得到另一个因式也是(a+b)，然后继续提取公因式（a+b）。这样就可以把这个多项式因式分解。 注意：分组的目的是获得新的公因式 概念：利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 分析3：观察，我们再使用两两分组行吗？ 前面三项为完全平方式，所以我们把多项式分成与两组，然后再用平方差公式进行分解。 即：
9.16 分组分解法 一、教学目标 理解分组分解法的意义；进一步理解因式分解的意义；初步掌握分组后能直接提公因式分解因式的方法。尝试中获得合作的成功，感受一下成功的喜悦。 二、教学重点、难点 掌握分组分解法的分组原则；如何分组才能达到因式分解的目的；选择分组方法。 三、教学流程设计 四、教学过程
（一）复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入 提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明： 如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习： 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) (三)．应用举例 例1．把a2-ab+ac-bc分解因式
分析 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。 解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析： 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可以继续提公因式。 解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问： 这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？ (四)、练习： 把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n
2019-2020年八年级数学分组分解法教案(I)新课标人教版 教学目的： 1.使学生掌握分组分解法中，分组后运用公式把多项式分解因式。 2.通过一题多解，培养学生探索和创新能力。 教学重点：熟练掌握把四项式进行适当分组，并运用公式法分解因式。 教学难点：掌握分组的原则，使其能够在组内或在组与组之间用公式法分解因式。 教学过程： 一、复习提问： 1.通过讲评作业，复习运用分组分解法进行因式分解。 2.强调：我们在利用分组分解时，在分组时要预先观察和想到分组后两组各有的公因式，而且两组之间还能继续提取公因式。分组不是最后的目的，而是通过分组后把问题转化到两组之间还可以再分解因式，这样选择分组方法是分组分解法的关键。 二、讲解新课： 1.例1：把分解因式。 分析：引导学生观察分析，如果把前两两项分成一组，虽然没有公因式，但可以运用平方差公式分解因式，其中有一个因式是，后两项分成一组，通过提取公因式，也有一个因式是，这样两组之间可再通过提取公因式进行因式分解。这就是分组后能直接运用公式进行因式分解。
解： )())((y x a y x y x ++-+= 2. 例2：把分解因式。 分析：引导学生观察分析，用两种方法进行因式分解。总结出解题思路：无论采取哪一种分组的方法，最后两组之间一定要能再分解才行。最后相同因式相乘要写成乘方的形式。 解法一： )()(3 223y xy y x x --++= 解法二： )()(3 223y y x xy x -+-= )()(2222y x y y x x -+-= 3. 练习：P30练习1，2，4。 4. 例3：把分解因式。 分析：引导学生观察讨论，此题若按前面二二分组的方法进行分组，能否分解？若不行，怎么办？进一步观察分析这个多项式的特征，前三项是一个完全平方式，它与第四项组成平方差公式，可以继续分解因式。这种分组的方法叫“三一分组”，三项是完全平方式，两组
4、用分组分解法进行因式分解 【知识精读】 分组分解法的原则是分组后可以直接提公因式，或者可以直接运用公式。使用这种方法的关键在于分组适当，而在分组时，必须有预见性。能预见到下一步能继续分解。而“预见”源于细致的“观察”，分析多项式的特点，恰当的分组是分组分解法的关键。 应用分组分解法因式分解，不仅可以考察提公因式法，公式法，同时它在代数式的化简，求值及一元二次方程，函数等学习中也有重要作用。 下面我们就来学习用分组分解法进行因式分解。 【分类解析】 1. 在数学计算、化简、证明题中的应用 例1. 把多项式211242a a a a a ()+++++分解因式，所得的结果为（ ） A a a B a a C a a D a a .().().().()22 2222221111+--+++-- 分析：先去括号，合并同类项，然后分组搭配，继续用公式法分解彻底。 解：原式=+++++211242a a a a a (() =++++=+++++=++++=++a a a a a a a a a a a a a a a 4324322222222321 2221 21 1()()()()() 故选择C 例2. 分解因式x x x x x 54321-+-+- 分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把x x x x x 54321-+-+-和分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；此题也可把x x 54-，x x x 321--和分别看作一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。 解法1： 原式=-+--+=--+=-++-+()() ()() ()()()x x x x x x x x x x x x x 54323222111111 解法2：
分组分解法（第一教时） （一）复习 把下列多项式因式分解 (1)2x2+10x (2)a(m+n)+b(m+n) (3)2a(x-5y)+4b(5y-x) (4)(x+y)2-2(x+y) （二）新课讲解 1．引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？ 分析：很显然，多项式am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n),而a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).这样就有： am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b) 利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法。 说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。 练习： 把下列各式分解因式 (1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q) (3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n) 2．应用举例 例1．把a2-ab+ac-bc分解因式 分析:把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a与c后，另一个因式正好都是a-b，这样就可以继续提公因式。 解：a2-ab+ac-bc=（a2-ab）+（ac-bc）=a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c) 例2：把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x的降幂排列，然后从两组中分别提出公因式2a与-b，这时另一个因式正好都是x-5y，这样就可继续提公因式。解：2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay）+（5by-bx） =2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b) 提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能，请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式 (1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx (4)xy-y2-yz+xz (5)2x3+x2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n (9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb2 四、课外作业把下列各式分解因式 1．a(m＋n)－b(m＋n) ⒉xy(a－b)＋x(a－b) 3．n(x＋y)＋x＋y ⒋a－b－q(a－b) 5．p(m－n)－m＋n ⒍2a－4b－m(a－2b) 7．a2＋ac－ab－bc ⒏3a－6b－ax＋2bx 9．2x3－x2＋6x－3 ⒑2ax＋6bx＋7ay＋21by ⒒xy＋x－y－1 ⒓ax2＋bx2 －ay2－by2
因式分解的十二种方法 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解.因式分解的方法多种多样,现总结如下： 1、提公因法 如果一个多项式的各项都含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式. 例1、分解因式x -2x -x(2003淮安市中考题) x -2x -x=x(x -2x-1) 2、应用公式法 由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系,如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式. 例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考题) a +4ab+4 b =（a+2b） 3、分组分解法 要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前两项分成一组,并提出公因式a,把它后两项分成一组,并提出公因式b,从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n) 例3、分解因式m +5n-mn-5m m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = (m -5m )+(-mn+5n) =m(m-5)-n(m-5) =(m-5)(m-n) 4、十字相乘法 对于mx +px+q形式的多项式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c) 例4、分解因式7x -19x-6 分析：1 -3 7 2 2-21=-19 7x -19x-6=（7x+2）(x-3) 5、配方法 对于那些不能利用公式法的多项式,有的可以利用将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解. 例5、分解因式x +3x-40 解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40 =(x+ ) -( ) =(x+ + )(x+ - ) =(x+8)(x-5) 6、拆、添项法 可以把多项式拆成若干部分,再用进行因式分解. 例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b) bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b) =c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
数学教案－分组分解法 教学目标1。使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式；2。通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力。教学重点和难点重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用。难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法。教学过程设计一、复习把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法。(1)a2－ab+3b－3a； (2)x2－6xy+9y2－1；(3)am－an－m2+n2； (4)2ab－a2－b2+c2。解 (1) a2－ab+3b－3a =(a2－ab)－(3a －3b)=a(a－b)－3(a－b)=(a－b)(a－3); (2)x2－6xy+9y2－1 =(x－3y) 2－1 =(x－3y+1)(x－3y－1); (3)am－an－m2+n2 =(am－an)－(m2－n2) =a(m－n)－(m+n)(m－n)=(m－n)(a－m－n); (4)2ab－a2－b2+c2 =c2－(a2+b2－2ab) =c2－(a－ b) 2 =(c+a－b)(c－a+b)。第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式。第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式继续分解因式。第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式。第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式
分解因式，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式。把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运用提公因式或分式法进行因式分解。在添括号时，要注意符号的变化。这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式。二、新课例1 把分解因式。问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的? 答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法。解方法一方法二；例2 把分解因式。问：观察这个多项式有什么特点?是否可以直接运用分组法进行因式分解? 答：这个多项式的各项都有公式因ab，可以先提取这个公因式，再设法运用分组法继续分解因式。解：= = = = 例3 把45m2－20ax2+20axy－5ay2分解因式。分析：这个多项式的各项有公因式5a，先提取公因式，再观察余下的因式，可以按：一、三”分组原则进行分组，然后运用公式法分解因式。解45m2－20ax2+20axy－5ay2=5a(9m2－4x2+4xy－y2) =5a[9m2－(4x2－4xy+y2)] =5a[(3m2)－(2x－y) 2] =5a(3m+2x －y)(3m－2x+y)。例4 把2(a2－3mn)+a(4m－3n)分解因式。分析：如果去掉多项式的括号，再恰当分组，就可用分组分解法分解因式了。解 2(a2－3mn)+a(4m－
解读因式分解系列之三编制人：平生曜曜 因式分解中的“分组分解法” 分组分解法的运用最能体现同学们对基础知识掌握程度，如何分组并非漫无目标地轮换重组，这需要讲究一些“可以掌控的”技巧，而技巧从懵懂到明晰都有待于通过解题训练与归纳总结去养成。 不废话！开始上菜，入席就吃。只要肯用心吃，终有一天会吃胖的！ （1）、分解因式：a2 x －b2 x －a2 y + b2 y …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉：原式由“①、a2 x，②、－b2 x，③、+ a2 y，④、+ b2 y”这四部分组成，其中没有任何公因式可提取，但我们发现，其中个别“成员”间有公因式，所以可考虑： 第一种分组方式：①和②分为一组，③和④分为另一组。 解：原式=（a2 x －b2 x）+（－a2 y + b2 y） = x（a2 －b2）－ y（a2 －b2） = （a2 －b2）（x －y） =（a + b）（a－b）（x －y） 第二种分组方式：①和③分为一组，②和④分为另一组。 解：原式=（a2 x －a2 y）+（－b2 x + b2 y） = a2（x － y ）－b2（x －y） =（x －y）（a2 －b2） = （x －y）（a－b）（a + b） （2）、分解因式：x2 －4 + y2－2xy …………先………写………出………你………的………答………案………… 你的答案：______________________________________。 〈分析〉：原式由“①：x2”、“②：－4”、“③： +y2”和“④：－2xy”这四部分组成，
因式分解得16种方法 因式分解没有普遍得方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项与添减项法,分组分解法与十字相乘法,待定系数法，双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法，长除法,除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正(例如：) 分解因式技巧 1、分解因式与整式乘法就就是互为逆变形。 2、分解因式技巧掌握: ①等式左边必须就就是多项式;②分解因式得结果必须就就是以乘积得形式表示; ③每个因式必须就就是整式,且每个因式得次数都必须低于原来多项式得次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注:分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数与因式两个方面考虑。 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有得公共得因式叫做这个多项式各项得公因式。 如果一个多项式得各项有公因式，可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积得形式,这种分解因式得方法叫做提公因式法。 具体方法:当各项系数都就就是整数时,公因式得系数应取各项系数得最大公约数;字母取各项得相同得字母,而且各字母得指数取次数最低得;取相同得多项式,多项式得次数取最低得。 如果多项式得第一项就就是负得,一般要提出“-”号,使括号内得第一项得系数成为正数。提出“-”号时,多项式得各项都要变号。 提公因式法基本步骤: (1)找出公因式； (2)提公因式并确定另一个因式: ①第一步找公因式可按照确定公因式得方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得得商即就就是提公因式后剩下得 一个因式,也可用公因式分别除去原多项式得每一项,求得剩下得另一个因式； ③提完公因式后,另一因式得项数与原多项式得项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形瞧奇偶。 例如:-am+bm+ｃm＝－ｍ(a－ｂ-ｃ）; a(x-y）+b(y-ｘ)=ａ(x-y）－b(x－y）=(x－y)(a－b)。 注意:把2 ＋变成2（+)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。 平方差公式：=（a+b)(a-b); 完全平方公式:±２aｂ＋= 注意:能运用完全平方公式分解因式得多项式必须就就是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)得平方与得形式,另一项就就是这两个数（或式)得积得２倍。
分组分解法 教学目标 1.使学生掌握分组后能运用提公因式和公式法把多项式分解因式； 2.通过因式分解的综合题的教学，提高学生综合运用知识的能力. 教学重点和难点 重点：在分组分解法中，提公因式法和分式法的综合运用. 难点：灵活运用已学过的因式分解的各种方法. 教学过程设计 一、复习 把下列各式分解因式，并说明运用了分组分解法中的什么方法. (1)a2－ab+3b－3a；(2)x2－6xy+9y2－1； (3)am－an－m2+n2；(4)2ab－a2－b2+c2. 解 (1) a2－ab+3b－3a =(a2－ab)－(3a－3b) =a(a－b)－3(a－b) =(a－b)(a－3); (2)x2－6xy+9y2－1 =(x－3y) 2－1 =(x－3y+1)(x－3y－1); (3)am－an－m2+n2 =(am－an)－(m2－n2)
=a(m－n)－(m+n)(m－n) =(m－n)(a－m－n); (4)2ab－a2－b2+c2 =c2－(a2+b2－2ab) =c2－(a－b) 2 =(c+a－b)(c－a+b). 第(1)题分组后，两组各提取公因式，两组之间继续提取公因式. 第(2)题把前三项分为一组，利用完全平方公式分解因式，再与第四项运用平方差公式 继续分解因式. 第(3)题把前两项分为一组，提取公因式，后两项分为一组，用平方差公式分解因式，然后两组之间再提取公因式. 第(4)题把第一、二、三项分为一组，提出一个“－”号，利用完全平方公式分解因式 ，第四项与这一组再运用平方差公式分解因式. 把含有四项的多项式进行因式分解时，先根据所给的多项式的特点恰当分解，再运 用提公因式或分式法进行因式分解.在添括号时，要注意符号的变化. 这节课我们就来讨论应用所学过的各种因式分解的方法把一个多项式分解因式. 二、新课 例1 把分解因式. 问：根据这个多项式的特点怎样分组才能达到因式分解的目的? 答：这个多项式共有四项，可以把其中的两项分为一组，所以有两种分解因式的方法. 解方法一
因式分解-----十字相乘法 1．认识二次三项式 多项式c bx ax ++2，称为字母x 的二次三项式，其中2ax 称为二次项，bx 为一次项，c 为常数项．例如，322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式． 在多项式2286y xy x +-中，如果把y 看作常数，就是关于x 的二次三项式；如果把x 看作常数，就是关于y 的二次三项式． 在多项式37222+-ab b a 中，把ab 看作一个整体，即3)(7)(22+-ab ab ，就是关于ab 的二次 三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把x ＋y 看作一个整体，就是关于x ＋y 的二次三项式． 十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法． 2．十字相乘法的依据和具体内容 利用十字相乘法分解因式，实质上是逆用(ax ＋b )(cx ＋d )竖式乘法法则．它的一般规律是： （1）对于二次项系数为1的二次三项式q px x ++2 ，如果能把常数项q 分解成两个因数a ，b 的积，并且a ＋b 为一次项系数p ，那么它就可以运用公式 ))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++ 分解因式．这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项”．公式中的x 可以表示单项式，也可以表示多项式，当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同． （2）对于二次项系数不是1的二次三项式c bx ax ++2 (a ，b ，c 都是整数且a ≠0)来说，如果存在四个整数2121,,,c c a a ，使a a a =?21，c c c =?21，且b c a c a =+1221， 那么c bx ax ++2))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++=它的特征是“拆两头，凑中间”，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助“画十字交叉线”的办法来确定．学习时要注意符号的规律．为了减少尝试次数，使符号问题简单化，当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．用十字相乘法分解因式，还要注