2017届数学理科模拟试卷（三）
考试说明：
1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题），试题分值：150分.考试时间120分钟. 2．所有答案均要答在答题卷上，否则无效.考试结束后只交答题卷.
第I 卷 选择题（共50分）
一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项符合题意.请把正确答案填在
答题卷的答题栏内.） 1. 已知全集U ＝R
，集合{
,A x y ==
集合{}
2,x B y y x R ==∈，则()R C A B = （ ）
A.{}
2x x > B.{}01x x <≤ C. {}12x x ≤＜ D ．{}
0x x < 2.曲线sin ,cos 2
y x y x π
==和直线x=0,x=
所围成的平面区域的面积为（ ）
()20
.
sin cos A x x dx π
-? ()40
.2sin cos B x x dx π
-?
()20
.cos sin C x x dx π-? ()40
.2cos sin D x x dx π
-?
3.下列4个命题:（1）命题“若a b <，则22
am bm <”；
（2）“2a ≤”是“对任意的实数x ，11x x a ++-≥成立”的充要条件； （3）设随机变量ξ服从正态分布N （0，1），若1
(1),(10)2
P p P p ξξ>=-<<=-则； （4）命题“x R ?∈，02
>-x x ”的否定是：“x R ?∈，02
<-x x ”
其中正确的命题个数是（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D.4
4．如图1，正方体ABCD-A'B'C'D'中，M 、E 是AB 的三等分点，G 、N 是CD 的三等分点，F 、H 分别是BC ，MN 的中点，则四棱锥A'-EFGH 的侧视图 为
5．下列框图中，若输出的结果为9
19
，则①中应填入（ ）
A ．i ≥9
B ．i ≥10
C ．i ≤9
D ．i ≤10
6. 已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥??
+-≥??+-≤?
若目标函数)0(>+=a ay x z 恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取
值范围为 ( )
A. 3
10<
B.31≥ a C . 3 1 >a D . 210< ７．已知数列｛a n ｝为等差数列，若1110 1a a <-，且它们的前n 项和为S n 有最大值，则使得S n ＜0的n 的 最小值为（ ） A ．11 B ．19 C ．20 D ．21 ８．若2 *31(1)()()n x x x n N x +++∈的展开式中没有常数项，则n 的可能取值是（ ） A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 ９．已知F 1、F 2是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点，过F 1的直线与左支交于A 、B 两点，若 220,4||3||AB AF AB AF ?== ，则该双曲线的离心率是为（ ） A ． 3 B ． 3 C ． 2 D ． 2 10．已知矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，动点P 在以点C 为圆心，1为半径的圆上，若 (,)AP AB AD R λμλμ=+∈ ，则2λμ+的取值范围是（ ） A ．[3 B ．[322- + C ．[31010 - + D ．[31010 -+ 第II 卷（非选择题 共100分） 二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案写在答卷上.） 11．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验． 根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归方程 ． 现发现表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为 ． 12．复数1i 2i a +-（,i a R ∈为虚数单位）为纯虚数,则复数i z a =+的模为 ． 13．已知点)0,3(),0,3(N M -,圆)0()()1(:2 22>=-+-a a a y x C ,过N M ,与圆C 相切的两直线相交于 点P ,则点P 的轨迹方程为____________. 14． 设定义域为R 的函数0 x ,lg 0 x ,2x - 2{)(>≤-=x x x f , 若关于x 的函数 1)(2)(22++=x bf x f y 有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是___▲ ． 三、选做题（请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分） 15．（1）在极坐标系中(,)(02)ρθθπ≤<中，曲线2s i n c o s 1ρθρθ==-与的交点的极坐标为 。 （2）对于任意实数(0)a a ≠和b ，不等式|||||||1|a b a b a x ++-≥-恒成立，则实数x 的取值范围是 四、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本小题满分12分） 已知向量2(cos ,1),,cos )222x x x m n =-= ，设函数()f x m n =? ＋1 （1）若[0,]2 x π∈， 11 ()10 f x =,求cos x 的值； （2）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是,,a b c ，且满足2cos 2b A c ≤，求()f x 的取值范围． 17．（本小题满分12分） 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球），3个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2个球，用完后放回． （1）设第一次训练时取到的新球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望； （2）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率． 18．（本题满分12分） 如图，正方形ABCD 所在平面与圆O 所在平面相交于CD ，线段CD 为圆O 的弦，AE 垂直于圆O 所在平面，垂足E 是圆O 上异于C 、D 的点，3AE =，圆O 的直径为9。 （1）求证：平面ABCD ⊥平面ADE ； （2）求二面角D BC E --的平面角的正切值。 19.（本小题满分12分）已知函数 2 1()2ln (2)2 f x x a x a x = -+-，a ∈R ． (1）当 1a = 时，求函数 ()f x 的最小值； (2）当 0a ≤ 时，讨论函数 ()f x 的单调性； (3）是否存在实数a ，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有 2121 ()() f x f x a x x ->-,恒成立，若存 在求出a 的取值范围，若不存在，说明理由。 20. （本小题满分13分）如图，过点(0,2)D -作抛物线 22(0)x py p =>的切线l ，切点A 在第二象限. (1)求切点A 的纵坐标; (2)若离心率为2 3 的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 恰好经 过切点A ，设切线l 交椭圆的另一点为B ，记切线l ，OA ， OB 的斜率分别为k k k k k k 42,,,2121=+若，求椭圆方程． 21．（本题满分14分） 顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过点0(1,1)A ，过点0A 作抛物线的切线交x 轴于点B 1，过点B 1 第18题图 （2）设11111n n n a x x += ++-，数列{ a n }的前n 项和为T n ．求证：1 22 n T n >-； （3）设21log n n b y =-，若对于任意正整数n ，不等式1211(1)(1)b b + + (1) (1)n b + ≥数a 的取值范围． 2017届数学理科模拟试卷（三）答案 1．A 2.D 3.B 4.C 5.C 6.C 7.C 8.C 9.A 10 .B 11.68 12. 5 13. )0(192 2 22>=--x a y a x 14. 223-<<-b 15.（1）)4 3, 2(π （2）31≤≤-x 21cos 161()cos cos 11 22222 111cos sin()2262 x x x x f x x x x x π+=-+=-+=-+=-+、解：（） ……………………3分 ∵11()10f x = ,∴3sin()65x π-=；又∵[0,]2x π∈，∴[,]663x πππ-∈-，即4 cos()65 x π-= 3 cos cos[()]cos()cos sin()sin 66666610 x x x x ππππππ∴=-+=---=- …………………………6分 22bcosA 2c 2sin cos 2sin 2sin cos 2sin()2sin cos 2[sin cos cos sin ]2sin cos cos (0,]6 B A c A B A A B A B A A B A B A A B A B B π ≤≤?≤+?≤+-?≥?≥ ?∈（）由－得： ………………10分 ∴1sin()(,0]62B π - ∈-，即11 ()sin()()(0,]622 f B B f B π=-+?∈…………12分 17.解：（1）ξ的所有可能取值为0，1.2． ………………………………………1分 设“第一次训练时取到i 个新球（即i =ξ）”为事件i A （=i 0，1，2）．因为集训前共有6个篮球，其中3个是新球，3个是旧球，所以 5 1 )0()(26230====C C P A P ξ， ………………………………………3分 5 3 )1()(2613131====C C C P A P ξ， ………………………………………5分 5 1 )2()(26232====C C P A P ξ． ………………………………………7分 所以ξ的分布列为（注：不列表，不扣分） ξ的数学期望为15 25150=?+?+?=ξE ． ……………………………………8分 （2）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++． 而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥， 所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++． 由条件概率公式，得 253535151|()()(261 313 000=?=?==C C C A B P A P B A P ）， …………………………………9分 258 1585353|()()(261 412111= ?=?==C C C A B P A P B A P ）， …………………………………10分 15 1315151|()()(261 511 222=?=?==C C C A B P A P B A P ）． …………………………………11分 所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为 75 38151258253)(210＝++= ++B A B A B A P ． …………………………………12分 18.（1)证明：∵AE 垂直于圆O 所在平面，CD 在圆O 所在平面上， ∴AE ⊥CD 。 在正方形ABCD 中，CD AD ⊥， ∵AD AE A = ，∴CD ⊥平面ADE ．∵CD ?平面ABCD ， ∴平面ABCD ⊥平面ADE 。 ……………………………………………6分 （2）解法1：∵CD ⊥平面ADE ，DE ?平面ADE ， ∴CD DE ⊥。 ∴CE 为圆O 的直径，即9CE =． 设正方形 ABCD 的边长为a ， 在Rt △CDE 中，2 2 2 2 81DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，2 2 2 2 9DE AD AE a =-=-， 由2 2 819a a -=-，解得，a = ∴6DE =。 过点E 作EF AD ⊥于点F ，作AB FG //交BC 于点G ，连结GE ， 由于AB ⊥平面ADE ，EF ?平面ADE ，∴EF AB ⊥。∵AD AB A = ， ∴EF ⊥平面ABCD 。∵BC ?平面ABCD ， ∴BC EF ⊥。∵BC FG ⊥，EF FG F = ， ∴BC ⊥平面EFG 。∵EG ?平面EFG ，∴BC EG ⊥。 ∴FGE ∠是二面角D BC E --的平面角。…………………………………10分 G F 在Rt △ADE 中，AD =3AE =，6DE =， ∵AD EF AE DE ?=? ，∴AE DE EF AD ?= == 。 在Rt △EFG 中，FG AB ==2 tan 5 EF EGF FG ∠==。 故二面角D BC E --的平面角的正切值为 2 5 。 …………………………12分 解法2：∵CD ⊥平面ADE ，DE ?平面ADE ， ∴CD DE ⊥。∴CE 为圆O 的直径，即9CE =。 设正方形ABCD 的边长为a ，在Rt △CDE 中， 222281DE CE CD a =-=-， 在Rt △ADE 中，2 2 2 2 9DE AD AE a =-=-， 由2 2 819a a -=- ，解得，a = 6DE ==。 以D 为坐标原点，分别以ED 、CD 所在的直线为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ， ()6,0,0E - ，() 0,C -， ()6,0,3A -， ()6,B --。……………8分 设平面ABCD 的法向量为()1111,,x y z =n ， 则?????=?=?→→→ →0011DC n DA n 即111630,0.x z -+=???-=? ? 取11x =，则()11,0,2=n 是平面ABCD 的一个法向量。…………9分 设平面BCE 的法向量为()2222,,x y z =n ，则?????=?=?→→→ →0022EC n EB n 即222230, 60.z x ?-+=??-=? ? 取22y = ，则22,= n 是平面ABCD 的一个法向量。…………10分 x y z 29 520 45401)52,2,5()2,0,1(,cos 2 12121= ++?++?= ??= → → → →→ →n n n n n n ,29 2,sin 21= ∴→ →n n . ∴5 2,tan 21= ∴→ →n n 故二面角D BC E --的平面角的正切值为 2 5 。………………………………12分 19.解；（1）显然函数()f x 的定义域为()0,+∞， ....................1分 当22(2)(1) 1,()x x x x a f x x x ---+'===时． ....................2分 ∴ 当()0,2,()0x f x '∈<时，()2,,()0x f x '∈+∞>． ∴()f x 在2x =时取得最小值，其最小值为 (2)2ln 2f =-． ............ 4分 （2）∵22(2)2(2)()()(2)a x a x a x x a f x x a x x x +---+'=-+-==， ....5分 ∴（1）当20a -<≤时，若()0,,()0,()x a f x f x '∈->时为增函数； (),2,()0,()x a f x f x '∈-<时为减函数；()2,,()0,()x f x f x '∈+∞>时为增函数． (2)当2a =-时,(0,)x ∈+∞时,()f x 为增函数; （3）当2a <-时，()0,2,()0,()x f x f x '∈>时为增函数； ()2,,()0,()x a f x f x '∈-<时为减函数； (),,()0,()x a f x f x '∈-+∞>时为增函数． ............ 9分 （3）假设存在实数a 使得对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有 2121 ()() f x f x a x x ->-,恒成立，不妨 设120x x <<，只要 2121 ()() f x f x a x x ->-，即：()()2211f x ax f x ax ->- 令()()g x f x ax =-，只要 ()g x 在()0,+∞为增函数 又函数2 1()2ln 22 g x x a x x = --． 考查函数()22222(1)122a x x a x a g x x x x x -----'=--== ............10分 要使()0g x '≥在()0,+∞恒成立，只要1 120,2 a a --≥≤- 即 ， 故存在实数a 1(,]2 ∈-∞ -时，对任意的 ()12,0,x x ∈+∞，且12x x ≠，有2121 ()() f x f x a x x ->-,恒成立， (12) 20. （本小题满分13分） 解：(Ⅰ)设切点),(00y x A ，且p x y 22 00=， 由切线l 的斜率为p x k 0 = ， 得l 的方程为p x x p x y 22 00-=，又点)2,0(-D 在l 上， 222 =∴p x ，即点A 的纵坐标=0y 2．…………5分 (Ⅱ)由(Ⅰ) 得)2,2(p A -，切线斜率p k 2- =， 设),(11y x B ，切线方程为2-=kx y ，由2 3= e ，得2 24b a =，…………7分 所以椭圆方程为142222=+b y b x ，且过)2,2(p A -，42 +=∴p b …………9分 由041616)41(4422 222 22=-+-+????=+-=b kx x k b y x kx y ， ??? ???? +-=+=+∴22 10210414164116k b x x k k x x ，…………………11分 ∴1 00 1 101001101001110021423)2(2)2(222x x x x k x x kx x kx x x x y x y x x y x y k k +-=-+-=+=+= + k b k p k k k b p k k k x x x x x k 4416)41(4323414164413232)(232 22 2210001=-+--=+--+-=++-= 将p k 2- =，42+=p b 代入得：32=p ，所以144,3622==a b ， ∴椭圆方程为 136 1442 2=+y x ．………………13分 OB 的斜率分别为k k k k k k 42,,,2121=+若，求椭圆方程． 21．（1）由已知得抛物线方程为2,2y x y x '==． ………………………………………2分 则设过点(,)n n n A x y 的切线为22()n n n y x x x x -=-． 令0,2n x y x == ，故12 n n x x +=． 又01x =，所以12n n x = ，1 4 n n y =． ……………………………………………4分 （II ）由（1）知1()2 n n x =． 所以1 1111221121211()1() 22 n n n n n n n a +++=+=+ +-+- 21121n n +-=++1121121n n ++-+-1121n =-++1+11 21 n +- 12( 21n =-- +11 21 n +-) ．……………………………………………6分 由11212n n <+，1111 212n n ++> -， 得 121n -+1121n +-1 2 n <-112n +． 所以n a 12( 21n =--+1121n +-)12(2n >-- 1 1 2n +)．…………………………7分 从而1222311 11111[2()][2()][2()]222222 n n n n T a a a +=+++>-- +--++-- 2231 1 111112[()()]()]222222n n n +=--+-++- 1 111 2()2222 n n n +=-->-， 即n T >1 22 n -．…………………………………………………………………9分 （III ）由于1 4n n y = ，故21n b n =+． 对任意正整数n ，不等式1 2 111(1)(1)(1)n b b b +++ ≥成立， 即a 12111 (1)(1)(1)n b b b +++ 恒成立． 设()f n 12111(1)(1)(1)n b b b +++ ，………………………………10分 则(1)f n += 1211111(1)(1)(1)(1)n n b b b b +++++ ． 故 (1)()f n f n +=1 1(1)n b ++ 2423n n ++ 1> 所以(1)()f n f n +>，故()f n 递增．…………………………………………12分 则min 4()(1)3f n f == =． 故0a < ≤ ．…………………………………………………………………14分
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