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高三模拟考试试题
理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分.考试用时120分钟，考试结束后，将试卷和答题卡一并上交.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1在复平面内，复数i
i
-25的对应点位于（ ）
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
2已知集合}05|{2<-=x x x M ，}6|{<<=x p x N ，则}2|{q x x N M <<= ，则q p +等于( )
A 6
B 7
C 8
D 9 3设命题:p 函数x y 2sin =的最小正周期为2
π
；函数:q 函数x y cos =的图象关于直线2
π
=
x 对称.则下列的判断正确的是( )
A p 为真
B q ?为假
C q p ∧为假
D q p ∨为真
4已知P 是圆122=+y x 上的动点，则P 点到直线022:=-+y x l 的距离的最小值为（ ） A 1 B 2 C 2 D 22
5某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名“献爱心”志愿者，抽到高一男生的概率是0.2，先用分层抽样的方法在全校抽取100名志愿者，则在高二抽取的学生人数为（ ） A 40 B 60 C 20 D 30 6某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则a 等于（ ） A 0 B 1 C 2 D 3
7已知ABC ?的面积为2，在ABC ?所在的平面内有两点P 、Q ，满足
0=+PC PA ,BQ QA 2=,则APQ ?的面积为（ ）
A
2
1 B
3
2 C 1 D 2
8在同一个坐标系中画出函数x
a y =，ax y sin =的部分图象，其中0>a 且1≠a ，则下列所给图象中可能正确的是（ ）
9一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A 9
B 10
C 11 D
2
23
10设定义在R 上的奇函数)(x f y =，满足对任意R t ∈都有)1()(t f t f -=，且]21,0[∈x 时，2
)(x x f -=，则)2
3()3(-+f f 的值
等于（ ） A 2
1-
B 3
1-
C 4
1-
D 5
1-
11数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知5
11=a ，且对任意正整数m ，n ，都有n m n m a a a ?=+，若
t S n <恒成立，则实数t 的最小值为（ ）
A
4
1 B
4
3 C
3
4 D 4
12在区间]5,1[和]6,2[内分别取一个数，记为a 和b ，则方程)(12
22
2b a b
y a
x <=-
表示离心率小
于5的双曲线的概率为（ ） A 2
1 B
32
15 C
32
17 D
32
31
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13已知抛物线y x 42
=上一点P 到焦点F 的距离是5，则点P 的横坐标是________.
14若函数??
?
??<
≤<≤-+=20,cos 0
1,1)(πx x x x x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为a ，则62)(x a x -
的展开式中各项系数和为________（用数字作答）. 15观察下列不等式：①
12
1<；②
26
12
1<+
；③
312
16
12
1<+
+
；...请写出第
n 个不等式_____________.
16下列结论：
①直线a ，b 为异面直线的充要条件是直线a ，b 不相交；
②函数x
x x f 1lg )(-
=的零点所在的区间是)10,1(；
③已知随机变量X 服从正态分布)1,0(N ,且m X P =≤≤-)11(，则m X P -=-<1)1(； ④已知函数x x x f -+=22)(，则)2(-=x f y 的图象关于直线2=x 对称. 三、解答题:本大题共6个小题，共74分 17.（本小题满分12分） 已知向量))2
sin(
),(sin(A B A m --=π
,)sin 2,1(B n =
,C n m 2sin -=? ,其中C B A ,,分别为
ABC ?的三边c b a ,,所对的角.
(Ⅰ)求角C 的大小；
(Ⅱ)若C B A sin 2sin sin =+,且3=ABC S ?，求边c 的长.
18.（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面⊥ADNM 平面ABCD ，
60=∠DAB ,2=AD ,1=AM ,E 为AB 的中点.
(Ⅰ)求证：AN //平面MEC ；
(Ⅱ)在线段AM 上是否存在点P ，使二面角D EC P --的大小为6π
？若存在，求出AP 的长h ；若不存在，请说明理由.
19.（本小题满分12分）
在一个盒子中，放有大小相同的红、白、黄三个小球，从中任意摸出一球，若是红球记1分，白球记2分，黄球记3分.现从这个盒子中，有放回．．．地先后摸得两球，所得分数分别记为x 、y ，设O 为坐标原点，点P 的坐标为),2(y x x --，记2||OP =ξ. (Ⅰ)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率； (Ⅱ)求随机变量ξ的分布列和数学期望.
20.（本小题满分12分）
设数列}{n a 的前n 项和为n S ，点),(n n S a 在直线12
3-=x y 上.
(Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式；
(Ⅱ)在n a 与1+n a 之间插入n 个数，使这2+n 个数组成公差为n d 的等差数列，求数列}1{
n
d 的前
n 项和n T ，并求使
27
403
55
81
≤
?+
-n n n T 成立的正整数n 的最小值.
21.（本小题满分13分） 已知椭圆)10(13
:
2
2
2>
=+
a y
a
x C 的右焦点F 在圆1)2(:2
2=+-y x D 上，直线
3:+=my x l )0(≠m 交椭圆于M 、N 两点.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若ON OM ⊥(O 为坐标原点），求m 的值；
(Ⅲ)设点N 关于x 轴的对称点为1N (1N 与点M 不重合)，且直线M N 1与x 轴交于点P ，试问
PMN ?的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
22.（本小题满分13分）
已知函数x a x g ln )2()(-=，2ln )(ax x x h +=)(R a ∈，令)()()('x h x g x f +=. (Ⅰ)当0=a 时，求)(x f 的极值； (Ⅱ)当0 (Ⅲ)当23-<<-a 时，若对存在]3,1[,21∈λλ，使得3ln 2)3ln (|)()(|21-+>-a m f f λλ恒成立，求m 的取值范围.
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