高考数学高三模拟考试试卷压轴题综合法与分析法
一、教学目标
知识与技能:结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法:分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点。
过程与方法: 多让学生举命题的例子,培养他们的辨析能力;以及培养他们的分析问题和解决问题的能力;
情感、态度与价值观:通过学生的参与,激发学生学习数学的兴趣。
二、教学重点:了解分析法和综合法的思考过程、特点
教学难点:分析法和综合法的思考过程、特点。
三、教学设想:分析法和综合法的思考过程、特点. “变形”是解题的关键,是最重一步。因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法。
课时安排:一课时
四、教学过程:
学生探究过程:证明的方法
(1)、分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中,分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发,经过逐步的逻辑推理,最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说,分析法表现为执果索因,综合法表现为由果导因,它们是寻求解题思路的两种基本思考方法,应用十分广泛。
(2)、例1.设a、b是两个正实数,且a≠b,求证:
a3+b3>a2b+ab2.
证明:(用分析法思路书写)
要证 a3+b3>a2b+ab2成立,
只需证(a+b)(a2ab+b2)>ab(a+b)成立,
即需证a2ab+b2>ab成立。(∵a+b>0)
只需证a22ab+b2>0成立,
即需证(ab)2>0成立。
而由已知条件可知,a≠b,有ab≠0,所以(ab)2>0显然
成立,由此命题得证。
(以下用综合法思路书写)
∵a≠b,∴ab≠0,∴(ab)2>0,即a22ab+b2>0
亦即a2ab+b2>ab
由题设条件知,a+b>0,∴(a+b)(a2ab+b2)>(a+b)ab
即a3+b3>a2b+ab2,由此命题得证
例
2、若实数
1≠x ,求证:
.)1()1(32242x x x x ++>++
证明:采用差值比较法:
∴
,
0]4
3
)21[()1(222>++-x x ∴
.)1()1(32242x x x x ++>++
例3、已知,,+∈R b a 求证
.a b b a b a b a ≥ 本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明:1) 差值比较法:注意到要证的不等式关于
b a ,对称,不妨设.0>≥b a
0)(0
≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ,从而
原不等式得证。
2)商值比较法:设,0>≥b a
,0,1≥-≥b a b a .
1)(≥=∴-b a a b b a b a
b a b a 故原
不等式得证。
注:比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号。
讨论:若题设中去掉1≠x 这一限制条件,要求证的结论如何变换? 五回顾小结: 巩固练习: 课后作业:
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案)(8)
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)函数f (x )=cos (2x ﹣
)的最小正周期是( )
A. B.π C.2π D.4π
2.(5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()
A.[0,1]
B.[0,1)
C.(0,1]
D.(0,1)
3.(5分)定积分(2x+ex)dx的值为()
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
4.(5分)根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是()
A.an=2n
B.an=2(n﹣1)
C.an=2n
D.an=2n﹣1
5.(5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为()
A. B.4π C.2π D.
6.(5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()
A. B. C. D.
7.(5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()
A.f(x)=x
B.f(x)=x3
C.f(x)=()x
D.f(x)=3x
8.(5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()
A.真,假,真
B.假,假,真
C.真,真,假
D.假,假,假
9.(5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为()
A.1+a,4
B.1+a,4+a
C.1,4
D.1,4+a
10.(5分)如图,某飞行器在4千米高空飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()
A.y=﹣x
B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x
D.y=﹣x3+x
二、填空题(考生注意:请在15、16、17三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)已知4a=2,lgx=a,则x=.
12.(5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为.
13.(5分)设0<θ<,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),若∥,则tanθ=.
14.(5分)观察分析下表中的数据:
棱数(E)
多面体面数(F)顶点数
(V)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是.
(不等式选做题)
15.(5分)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.
(几何证明选做题)
16.如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,若AC=2AE,则EF=.
(坐标系与参数方程选做题)
17.在极坐标系中,点(2,)到直线的距离是.
三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤(共6小题,满分75分)
18.(12分)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
19.(12分)如图1,四面体ABCD及其三视图(如图2所示),过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
(Ⅰ)证明:四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P (x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(Ⅰ)若++=,求||;
(Ⅱ)设=m +n(m,n∈R),用x,y表示m﹣n,并求m﹣n的最大值.
21.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如表:
300 500
作物产量
(kg)
概率0.5 0.5
6 10
作物市场
价格(元
/kg)
概率0.4 0.6
(Ⅰ)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
22.(13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=﹣x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为. (Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
23.(14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n﹣f(n)的大小,并加以证明.
高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷(理科)(附详细答案) (8)
参考答案与试题解析
一、选择题,在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求(共10小题,每小题5分,满分50分)
1.(5分)函数f(x)=cos(2x ﹣)的最小正周期是()
A. B.π C.2π D.4π
【分析】由题意得ω=2,再代入复合三角函数的周期公式求解.
【解答】解:根据复合三角函数的周期公式得,
函数f(x)=cos(2x﹣)的最小正周期是π,
故选:B.
【点评】本题考查了三角函数的周期性,以及复合三角函数的周期公式应用,属于基础题.
2.(5分)设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()
A.[0,1]
B.[0,1)
C.(0,1]
D.(0,1)
【分析】先解出集合N,再求两集合的交即可得出正确选项.
【解答】解:∵M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R}={x|﹣1<x<1,x∈R},
∴M∩N=[0,1).
故选:B.
【点评】本题考查交集的运算,理解好交集的定义是解答的关键.
3.(5分)定积分(2x+ex)dx的值为()
A.e+2
B.e+1
C.e
D.e﹣1
【分析】根据微积分基本定理计算即可.
【解答】解:(2x+ex)dx=(x2+ex)|=(1+e)﹣(0+e0)=e.
故选:C.
【点评】本题主要考查了微积分基本定理,关键是求出原函数.
4.(5分)根据如图所示的框图,对大于2的整数N,输出的数列的通项公式是()
A.an=2n
B.an=2(n﹣1)
C.an=2n
D.an=2n﹣1
【分析】根据框图的流程判断递推关系式,根据递推关系式与首项求出数列的通项公式. 【解答】解:由程序框图知:ai+1=2ai,a1=2,
∴数列为公比为2的等比数列,∴an=2n.
故选:C.
【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程判断递推关系式是解答
本题的关键.
5.(5分)已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一球面上,则该球的体积为()
A. B.4π C.2π D.
【分析】由长方体的对角线公式,算出正四棱柱体对角线的长,从而得到球直径长,得球半径R=1,最后根据球的体积公式,可算出此球的体积.
【解答】解:∵正四棱柱的底面边长为1,侧棱长为,
∴正四棱柱体对角线的长为=2
又∵正四棱柱的顶点在同一球面上,
∴正四棱柱体对角线恰好是球的一条直径,得球半径R=1
根据球的体积公式,得此球的体积为V=πR3=π.
故选:D.
【点评】本题给出球内接正四棱柱的底面边长和侧棱长,求该球的体积,考查了正四棱柱的性质、长方体对角线公式和球的体积公式等知识,属于基础题.
6.(5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()
A. B. C. D.
【分析】设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,即可得出结论.
【解答】解:设正方形边长为1,则从正方形四个顶点及其中心这5个点中任取2个点,共有10条线段,4条长度为1,4条长度为,两条长度为,
∴所求概率为=.
故选:C.
【点评】本题考查概率的计算,列举基本事件是关键.
7.(5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是()
A.f(x)=x
B.f(x)=x3
C.f(x)=()x
D.f(x)=3x
【分析】对选项一一加以判断,先判断是否满足f(x+y)=f(x)f(y),然后考虑函数的
单调性,即可得到答案.
【解答】解:A.f(x)=,f(y)=,f(x+y)=,不满足f(x+y)=f(x)f (y),故A错;
B.f(x)=x3,f(y)=y3,f(x+y)=(x+y)3,不满足f(x+y)=f(x)f(y),故B错;
C.f(x)=,f(y)=,f(x+y)=,满足f(x+y)=f(x)f(y),但f (x)在R上是单调减函数,故C错.
D.f(x)=3x,f(y)=3y,f(x+y)=3x+y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(x)在R上是单调增函数,故D正确;
故选:D.
【点评】本题主要考查抽象函数的具体模型,同时考查幂函数和指数函数的单调性,是一道基础题.
8.(5分)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是()
A.真,假,真
B.假,假,真
C.真,真,假
D.假,假,假
【分析】根据共轭复数的定义判断命题的真假,根据逆命题的定义写出逆命题并判断真假,再利用四种命题的真假关系判断否命题与逆否命题的真假.
【解答】解:根据共轭复数的定义,原命题“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”是真命题;
其逆命题是:“若|z1|=|z2|,则z1,z2互为共轭复数”,例|1|=|﹣1|,而1与﹣1不是互为共轭复数,
∴原命题的逆命题是假命题;
根据原命题与其逆否命题同真同假,否命题与逆命题互为逆否命题,同真同假,
∴命题的否命题是假命题,逆否命题是真命题.
故选:B.
【点评】本题考查了四种命题的定义及真假关系,考查了共轭复数的定义,熟练掌握四种命题的真假关系是解题的关键.
9.(5分)设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若yi=xi+a(a为非零常数,i=1,2,…,10),则y1,y2,…,y10的均值和方差分别为()
A.1+a,4
B.1+a,4+a
C.1,4
D.1,4+a
【分析】方法1:根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.
方法2:根据均值和方差的公式计算即可得到结论.
【解答】解:方法1:∵yi=xi+a,
∴E(yi)=E(xi)+E(a)=1+a,
方差D(yi)=D(xi)+E(a)=4.
方法2:由题意知yi=xi+a,
则=(x1+x2+…+x10+10×a)=(x1+x2+…+x10)=+a=1+a,
方差s2=[(x1+a﹣(+a)2+(x2+a﹣(+a)2+…+(x10+a﹣(+a)2]=[(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(x10﹣)2]=s2=4.
故选:A.
【点评】本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,若变量y=ax+b,则Ey=aEx+b,Dy=a2Dx,利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算.
10.(5分)如图,某飞行器在4千米高空飞行,从距着陆点A的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为()
A.y=﹣x
B.y=x3﹣x
C.y=x3﹣x
D.y=﹣x3+x
【分析】分别求出四个选项中的导数,验证在x=±5处的导数为0成立与否,即可得出函数的解析式.
【解答】解:由题意可得出,此三次函数在x=±5处的导数为0,依次特征寻找正确选项:A选项,导数为,令其为0,解得x=±5,故A正确;
B选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故B错误;
C选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故C错误;
D选项,导数为,令其为0,x=±5不成立,故D错误.
故选:A.
【点评】本题考查导数的几何意义,导数几何意义是导数的重要应用.
二、填空题(考生注意:请在15、16、17三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分,共4小题,每小题5分,满分20分)
11.(5分)已知4a=2,lgx=a,则x=.
【分析】化指数式为对数式求得a,代入lgx=a后由对数的运算性质求得x的值.
【解答】解:由4a=2,得,
再由lgx=a=,
得x=.
故答案为:.
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化,考查了对数的运算性质,是基础题.
12.(5分)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为 x2+(y﹣1)2=1 .
【分析】利用点(a,b)关于直线y=x±k的对称点为(b,a),求出圆心,再根据半径求得圆的方程.
【解答】解:圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,可得圆心为(0,1),再根据半径等于1,
可得所求的圆的方程为x2+(y﹣1)2=1,
故答案为:x2+(y﹣1)2=1.
【点评】本题主要考查求圆的标准方程,利用了点(a,b)关于直线y=x±k的对称点为(b,a),属于基础题.
13.(5分)设0<θ<,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),若∥,则tanθ=.
【分析】利用向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式即可得出.
【解答】解:∵∥,向量=(sin2θ,cosθ),=(cosθ,1),
∴sin2θ﹣cos2θ=0,
∴2sinθcosθ=cos2θ,
∵0<θ<,∴cosθ≠0.
∴2tanθ=1,
∴tanθ=.
故答案为:.
【点评】本题考查了向量共线定理、倍角公式、同角三角函数基本关系式,属于基础题. 14.(5分)观察分析下表中的数据:
棱数(E)
多面体面数(F)顶点数
(V)
三棱柱 5 6 9
五棱锥 6 6 10
立方体 6 8 12
猜想一般凸多面体中F,V,E所满足的等式是 F+V﹣E=2 .
【分析】通过正方体、三棱柱、三棱锥的面数F、顶点数V和棱数E,得到规律:F+V﹣E=2,进而发现此公式对任意凸多面体都成立,由此得到本题的答案.
【解答】解:凸多面体的面数为F、顶点数为V和棱数为E,
①正方体:F=6,V=8,E=12,得F+V﹣E=8+6﹣12=2;
②三棱柱:F=5,V=6,E=9,得F+V﹣E=5+6﹣9=2;
③三棱锥:F=4,V=4,E=6,得F+V﹣E=4+4﹣6=2.
根据以上几个例子,猜想:凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E满足如下关系:F+V﹣E=2
再通过举四棱锥、六棱柱、…等等,发现上述公式都成立.
因此归纳出一般结论:F+V﹣E=2
故答案为:F+V﹣E=2
【点评】本题由几个特殊多面体,观察它们的顶点数、面数和棱数,归纳出一般结论,得到欧拉公式,着重考查了归纳推理和凸多面体的性质等知识,属于基础题.
(不等式选做题)
15.(5分)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为.
【分析】根据柯西不等式(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2当且仅当ad=bc取等号,问题即可解决.
【解答】解:由柯西不等式得,
(ma+nb)2≤(m2+n2)(a2+b2)
∵a2+b2=5,ma+nb=5,
∴(m2+n2)≥5
∴的最小值为
故答案为:
【点评】本题主要考查了柯西不等式,解题关键在于清楚等号成立的条件,属于中档题. (几何证明选做题)
16.如图,△ABC中,BC=6,以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,若AC=2AE,则EF= 3 .
【分析】证明△AEF∽△ACB,可得,即可得出结论.
【解答】解:由题意,∵以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点E、F,
∴∠AEF=∠C,
∵∠EAF=∠CAB,
∴△AEF∽△ACB,
∴,
∵BC=6,AC=2AE,
∴EF=3.
故答案为:3.
【点评】本题考查三角形相似的判定与运用,考查学生的计算能力,属于基础题.
(坐标系与参数方程选做题)
17.在极坐标系中,点(2,)到直线的距离是 1 .
【分析】把极坐标化为直角坐标,再利用点到直线的距离公式即可得出.
【解答】解:点P(2,)化为=,y=2=1,∴P.
直线展开化为:=1,化为直角坐标方程为:,即=0.
∴点P到直线的距离d==1.
故答案为:1.
【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标的公式、点到直线的距离公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、解答题:解答题应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤(共6小题,满分75分)
18.(12分)△ABC的内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.
(Ⅰ)若a,b,c成等差数列,证明:sinA+sinC=2sin(A+C);
(Ⅱ)若a,b,c成等比数列,求cosB的最小值.
【分析】(Ⅰ)由a,b,c成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,利用正弦定理化简,再利用诱导公式变形即可得证;
(Ⅱ)由a,bc成等比数列,利用等比数列的性质列出关系式,再利用余弦定理表示出cosB,将得出的关系式代入,并利用基本不等式变形即可确定出cosB的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)∵a,b,c成等差数列,
∴2b=a+c,
利用正弦定理化简得:2sinB=sinA+sinC,
∵sinB=sin[π﹣(A+C)]=sin(A+C),
∴sinA+sinC=2sinB=2sin(A+C);
(Ⅱ)∵a,b,c成等比数列,
∴b2=ac,
∴cosB==≥=,
当且仅当a=c时等号成立,
∴cosB的最小值为.
【点评】此题考查了正弦、余弦定理,等差、等比数列的性质,以及基本不等式的运用,熟练掌握定理是解本题的关键.
19.(12分)如图1,四面体ABCD及其三视图(如图2所示),过棱AB的中点E作平行于AD,BC的平面分别交四面体的棱BD,DC,CA于点F,G,H.
(Ⅰ)证明:四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【分析】(Ⅰ)由三视图得到四面体ABCD的具体形状,然后利用线面平行的性质得到四边形EFGH的两组对边平行,即可得四边形为平行四边形,再由线面垂直的判断和性质得到AD⊥BC,结合异面直线所成角的概念得到EF⊥EH,从而证得结论;
(Ⅱ)分别以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,求出所用点的坐标,求出及平面EFGH的一个法向量,用与所成角的余弦值的绝对值得直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值.
【解答】(Ⅰ)证明:由三视图可知,四面体ABCD的底面BDC是以∠BDC为直角的等腰直角三角形,
且侧棱AD⊥底面BDC.
如图,∵AD∥平面EFGH,平面ADB∩平面EFGH=EF,AD?平面ABD,
∴AD∥EF.
∵AD∥平面EFGH,平面ADC∩平面EFGH=GH,AD?平面ADC,
∴AD∥GH.
由平行公理可得EF∥GH.
∵BC∥平面EFGH,平面DBC∩平面EFGH=FG,BC?平面BDC,
∴BC∥FG.
∵BC∥平面EFGH,平面ABC∩平面EFGH=EH,BC?平面ABC,
∴BC∥EH.
由平行公理可得FG∥EH.
∴四边形EFGH为平行四边形.
又AD⊥平面BDC,BC?平面BDC,
∴AD⊥BC,则EF⊥EH.
∴四边形EFGH是矩形;
(Ⅱ)解:
解法一:取AD的中点M,连结,显然ME∥BD,MH∥CD,MF∥AB,且ME=MH=1,平面MEH⊥平面EFGH,取EH的中点N,连结MN,则MN⊥EH,
∴MN⊥平面EFGH,则∠MFN就是MF(即AB)与平面EFGH所成的角θ,
∵△MEH是等腰直角三角形,
∴MN=,又MF=AB=,
∴sin∠AFN==,即直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值是.
解法二:分别以DB,DC,DA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
由三视图可知DB=DC=2,DA=1.
又E为AB中点,
∴F,G分别为DB,DC中点.
∴A(0,0,1),B(2,0,0),F(1,0,0),E(1,0,),G(0,1,0).
则.
设平面EFGH的一个法向量为.
由,得,取y=1,得x=1.
∴.
则sinθ=|cos<>|===.
【点评】本题考查了空间中的直线与直线的位置关系,考查了直线和平面所成的角,训练了利用空间直角坐标系求线面角,解答此题的关键在于建立正确的空间右手系,是中档题.
20.(12分)在直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2),点P (x,y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上.
(Ⅰ)若++=,求||;
(Ⅱ)设=m+n(m,n∈R),用x,y表示m﹣n,并求m﹣n的最大值.
【分析】(Ⅰ)先根据++=,以及各点的坐标,求出点p的坐标,再根据向量模的公式,问题得以解决;
(Ⅱ)利用向量的坐标运算,先求出,,再根据=m+n,表示出m﹣n=y﹣x,最后结合图形,求出m﹣n的最小值.
【解答】解:(Ⅰ)∵A(1,1),B(2,3),C(3,2),++=,
∴(1﹣x,1﹣y)+(2﹣x,3﹣y)+(3﹣x,2﹣y)=0
∴3x﹣6=0,3y﹣6=0
∴x=2,y=2,
即=(2,2)
∴
(Ⅱ)∵A(1,1),B(2,3),C(3,2),
∴,
∵=m +n,
∴(x,y)=(m+2n,2m+n)
∴x=m+2n,y=2m+n
∴m﹣n=y﹣x,
令y﹣x=t,由图知,当直线y=x+t过点B(2,3)时,t取得最大值1,
故m﹣n的最大值为1.
【点评】本题考查了向量的坐标运算,关键在于审清题意,属于中档题,
21.(12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如表:
300 500
作物产量
(kg)
概率0.5 0.5
6 10
作物市场
价格(元
/kg)
概率0.4 0.6
(Ⅰ)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(Ⅱ)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率.
【分析】(Ⅰ)分别求出对应的概率,即可求X的分布列;
(Ⅱ)分别求出3季中有2季的利润不少于2000元的概率和3季中利润不少于2000元的概率,利用概率相加即可得到结论.
【解答】解:(Ⅰ)设A表示事件“作物产量为300kg”,B表示事件“作物市场价格为6元/kg”,
则P(A)=0.5,P(B)=0.4,
∵利润=产量×市场价格﹣成本,
∴X的所有值为:
500×10﹣1000=4000,500×6﹣1000=2000,
300×10﹣1000=2000,300×6﹣1000=800,
则P(X=4000)=P ()P ()=(1﹣0.5)×(1﹣0.4)=0.3,
P(X=2000)=P()P(B)+P(A)P()=(1﹣0.5)×0.4+0.5(1﹣0.4)=0.5,
P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2,
则X的分布列为:
X 4000 2000 800
P 0.3 0.5 0.2
(Ⅱ)设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”(i=1,2,3),
则C1,C2,C3相互独立,
由(Ⅰ)知,P(Ci)=P(X=4000)+P(X=2000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3),
3季的利润均不少于2000的概率为P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512,
3季的利润有2季不少于2000的概率为P(C2C3)+P(C1C3)+P(C1C2)=3×0.82×0.2=0.384,
综上:这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为:0.512+0.384=0.896.
【点评】本题主要考查随机变量的分布列及其概率的计算,考查学生的计算能力.
23.(14分)设函数f(x)=ln(1+x),g(x)=xf′(x),x≥0,其中f′(x)是f(x)的导函数.
(Ⅰ)令g1(x)=g(x),gn+1(x)=g(gn(x)),n∈N+,求gn(x)的表达式;(Ⅱ)若f(x)≥ag(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设n∈N+,比较g(1)+g(2)+…+g(n)与n﹣f(n)的大小,并加以证明.
【分析】(Ⅰ)由已知,,…可得用数学归纳法加以证明;
(Ⅱ)由已知得到ln(1+x)≥恒成立构造函数φ(x)=ln(1+x)﹣(x≥0),利用导数求出函数的最小值即可;
(Ⅲ)在(Ⅱ)中取a=1,可得,令则,n依次取1,2,3…,然后各式相加即得到不等式.
【解答】解:由题设得,
(Ⅰ)由已知,
,
…
可得
下面用数学归纳法证明.①当n=1时,,结论成立.
②假设n=k时结论成立,即,
那么n=k+1时,=即结论成立.
由①②可知,结论对n∈N+成立.
(Ⅱ)已知f(x)≥ag(x)恒成立,即ln(1+x)≥恒成立.
设φ(x)=ln(1+x)﹣(x≥0),则φ′(x)=,
当a≤1时,φ′(x)≥0(仅当x=0,a=1时取等号成立),
∴φ(x)在[0,+∞)上单调递增,
又φ(0)=0,
∴φ(x)≥0在[0,+∞)上恒成立.
∴当a≤1时,ln(1+x)≥恒成立,(仅当x=0时等号成立)
当a>1时,对x∈(0,a﹣1]有φ′(x)<0,∴φ(x)在∈(0,a﹣1]上单调递减,∴φ(a﹣1)<φ(0)=0
即当a>1时存在x>0使φ(x)<0,
故知ln(1+x)≥不恒成立,
综上可知,实数a的取值范围是(﹣∞,1].
(Ⅲ)由题设知,g(1)+g(2)+…+g(n)=,
n﹣f(n)=n﹣ln(n+1),
比较结果为g(1)+g(2)+…+g(n)>n﹣ln(n+1)
证明如下:上述不等式等价于,
在(Ⅱ)中取a=1,可得,
令则
故有,
ln3﹣ln2,…
,
上述各式相加可得结论得证.
【点评】本题考查数学归纳法;考查构造函数解决不等式问题;考查利用导数求函数的最值,证明不等式,属于一道综合题.
22.(13分)如图,曲线C由上半椭圆C1:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=﹣x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为. (Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
【分析】(Ⅰ)在C1、C2的方程中,令y=0,即得b=1,设C1:的半焦距为c,由=
及a2﹣c2=b2=1得a=2;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0),设其方程为y=k(x﹣1)(k≠0),代入C1的方程,整理得(k2+4)x2﹣2k2x+k2﹣4=0.(*)设点P(xp,yp),依题意,可求得点P的坐标为(,);同理可得点Q的坐标为(﹣k﹣1,﹣k2﹣2k),利用?=0,可求得k的值,从而可得答案.
【解答】解:(Ⅰ)在C1、C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(﹣1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左右顶点.
设C1:的半焦距为c,由=及a2﹣c2=b2=1得a=2.
∴a=2,b=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x﹣1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得:
(k2+4)x2﹣2k2x+k2﹣4=0.(*)
设点P(xp,yp),
∵直线l过点B,
∴x=1是方程(*)的一个根,
由求根公式,得xp=,从而yp=,
∴点P的坐标为(,).
同理,由得点Q的坐标为(﹣k﹣1,﹣k2﹣2k),
∴=(k,﹣4),=﹣k(1,k+2),
∵AP⊥AQ,∴?=0,即[k﹣4(k+2)]=0,
∵k≠0,∴k﹣4(k+2)=0,解得k=﹣.
经检验,k=﹣符合题意,
故直线l的方程为y=﹣(x﹣1),即8x+3y﹣8=0.
【点评】本题考查椭圆与抛物线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查设点法、数形结合思想、函数与方程思想,属于难题.
高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n Λ (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科(四) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 1.已知集合{}2,101,, -=A ,{} 2≥=x x B ,则A B =I A .{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A .第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A .2x y = B .y x = C .y x = D .2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )-sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 ( ) A .命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B .“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C .若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D .若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A .80 B .40 C .31 D .-31 7.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为 A .π16+ B .π416+ C .π8+ D .π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中,常数项为 A .64 B .30 C . 15 D .1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A .(1,2) B .(2,)e C . (,3)e D .(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图,若0.9p =,则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==, S p 是 输入p 结束 输出n 12n S S =+ 否 1n n =+ 1 2 1 2 2 1 主视图 左视图 俯视图
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;
高考数学压轴选择题 _________班______号姓名_________________ 一、2007年以来广东高考数学压轴选择题的基本情况 1、(2007广东8)设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a b S ∈,,对于有序元素对(a b ,),在S 中有唯一确定的元素*a b 与之对应).若 对任意的a b S ∈,,有()**a b a b =,则对任意的a b S ∈,,下列等式中不恒成立的是( ) A .()**a b a a = B .[()]()****a b a a b a = C .()**b b b b = D .()[()]****a b b a b b = 2、(2008广东8)在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC =a ,BD =b ,则AF =( ) A . 1142+a b B .2133+a b C .11 24 +a b D .1 233 + a b 3、(2009广东8)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线〈假定为直线)行驶.甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和(如图2所示).那么对于图中给定的01t t 和,下列判断中一定正确的是( ) A .在1t 时刻,甲车在乙车前面 B .1t 时刻后,甲车在乙车后面 C .在0t 时刻,两车的位置相同 D .0t 时刻后,乙车在甲车前面 4、(2010广东8)为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定。每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同,记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁。在每个闪烁中,每秒钟有且只有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。如果要实现所有不同的闪烁,那么需要的时间至少是 ( ) A .1205秒 B .1200秒 C .1195秒 D .1190秒 5、(2011广东) 8.,,,,.,,.,,,,,,,.:( ) A. T,V B.T,V C. T,V S Z a b S ab S S T V Z T V Z a b c T abc T x y z V xyz V ?∈∈=?∈∈?∈∈设是整数集的非空子集如果有则称关于数的乘法是封闭的若是的两个不相交的非空子集且有有则下列结论恒成立的是中至少有一个关于乘法是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中有且只有一个关于乘法是封闭 D.T,V 中每一个关于乘法是封闭
放缩技巧 (高考数学备考资料) 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累 : (1) ?? ? ??+--=-<=1211212144441222n n n n n (2) ) 1(1)1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-+ +?+?++<+n n n n (5) n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(1 2)12(12 13211 221 ?+-?+= ???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1!1!)1(+- =+n n n n (11) 2 12121 21222)1212(21-++ = -++= --+
F D C B A 2019年高考数学模拟试题(理科) 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回。 一.选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1.已知集合}032{2>--=x x x A ,}4,3,2{=B ,则B A C R ?)(= A .}3,2{ B .}4,3,2{ C .}2{ D .φ 2.已知i 是虚数单位,i z += 31 ,则z z ?= A .5 B .10 C . 10 1 D . 5 1 3.执行如图所示的程序框图,若输入的点为(1,1)P ,则输出的n 值为 A .3 B .4 C .5 D .6 (第3题) (第4题) 4.如图,ABCD 是边长为8的正方形,若1 3 DE EC =,且F 为BC 的中点,则EA EF ?=
A .10 B .12 C .16 D .20 5.若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ,则y x z 82?=的最大值是 A .4 B .8 C .16 D .32 6.一个棱锥的三视图如右图,则该棱锥的表面积为 A .3228516++ B .32532+ C .32216+ D .32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0,1,2,3,4,若从这5张卡片中随机取出2张,则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A . 101 B .51 C .103 D .5 4 8.设n S 是数列}{n a 的前n 项和,且11-=a ,11++?=n n n S S a ,则5a = A . 301 B .031- C .021 D .20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8,若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ,则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是