18．在图示结构中，AB与CD两梁的抗弯刚度皆为，拉杆BF的抗拉刚度为。试求在下列不同情况下拉杆的轴力和点B的位移：
（ 1 ）梁CD和杆BF都是刚性的；
（ 2 ）梁CD是刚性的，杆BF是弹性的；
22．图示两悬臂梁的抗弯刚度EI 均为常数，已知（a ）图B 点的挠度与转角为EI
ql w B 84
=，EI ql B 6=θ，
第七章弯曲变形 一、是非题 1 梁内弯矩为零的横截面其挠度也为零。 （ ） 2 梁的最大挠度处横截面转角一定等于零。 （ ） 3梁的最大挠度必然发生在梁的最大弯矩处。（ ） 4若两梁的抗弯刚度相同，弯矩方程也相同，则两梁的挠曲线形状完全相同。（ ） 5 绘制挠曲线的大致形状，既要根据梁的弯矩图，也要考虑梁的支承条件。（ ） 6 静不定梁的基本静定系必须是静定的和几何不变的。 （ ） 二、选择或填空 1 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率最大发生在（ ）处。 A. 挠度最大 B. 转角最大 C. 剪力最大 D. 弯矩最大 2 将桥式起重机的主钢梁设计成两端外伸的外伸梁较简支梁有利，其理由是（ ）。 A. 减小了梁的最大弯矩值 B. 减小了梁的最大剪力值 C. 减小了梁的最大挠度值 D. 增加了梁的抗弯刚度值 3 图示两梁的抗弯刚度EI相同，载荷q相同， 则下列结论中正确的是（ ）。 A. 两梁对应点的内力和位移相同 B. 两梁对应点的内力和位移不相同 C. 内力相同，位移不同 D. 内力不同，位移相同 4 为提高梁的抗弯刚度，可通过（ ）来实现。 A. 选择优质材料 B. 合理安排梁的支座，减小梁的跨长 C. 减少梁上作用的载荷 D. 选择合理截面形状 三计算题 1 图示梁，弯曲刚度EI为常数。试绘制挠曲轴的大致形状，并用积分法计算截面C的转角。
2 图示简支梁，左右端各作用一个力偶矩分别为M1和M2的力偶，欲使挠曲轴拐点位于离左端l/3处，则M1和M2应保持何种关系。 3图示梁，弯曲刚度EI为常数。试用叠加法计算截面B的转角和截面C的挠度。
4 图示电磁开关，由铜片AB与电磁铁S组成。为使端点A与触点C接触，试求磁铁S所需吸力的最小值F以及间距a的尺寸。铜片横截面的惯性矩I z=0.18×10-12m4，弹性模量E=101GPa。
第四章弯曲工艺及弯曲模具设计 一、填空题(每空1分，共分) 1．将各种金属坯料沿直线弯成一定角度和曲率,从而得到一定形状和零件尺寸的冲压工序称为弯曲。（4-1） 2．窄板弯曲后其横截面呈扇形形状。（4-1） 3．在弯曲变形区内，内缘金属切向受压而缩短，外缘金属切向受拉而伸长，中性层则保持不变。（4-1） 4．弯曲时外侧材料受拉伸,当外侧的拉伸应力超过材料的抗拉强度以后,在板料的外侧将产生裂纹,此中现象称为弯裂。（4-2） 5．在外荷作用下,材料产生塑性变形的同时,伴随弹性变形,当外荷去掉以后,弹性变形恢复,使制件的形状和尺寸都发生了变化,这种现象称为回弹。（4-2） 6．在弯曲过程中，坯料沿凹模边缘滑动时受到摩擦阻力的作用，当坯料各边受到摩擦阻力不等时，坯料会沿其长度方向产生滑移，从而使弯曲后的零件两直边长度不符合图样要求，这种现象称之为偏移。（4-2） 7．最小弯曲半径的影响因素有材料力学性能、弯曲线的方向、材料热处理状况、弯曲中心角。（4-2） 8．轧制钢板具有纤维组织，平行于纤维方向的塑性指标高于垂直于纤维方向的塑性指标。（4-2） 9．为了提高弯曲极限变形程度，对于经冷变形硬化的材料，可采用热处理以恢复塑性。（4-2） 10．为了提高弯曲极限变形程度，对于侧面毛刺大的工件，应先去毛刺，当毛刺较小时，也可以使毛刺的一面处于弯曲受压的内缘，以免产生应力集中而开裂。（4-2）11．弯曲时，为防止出现偏移，可采用压料和定位两种方法解决。（4-2）12．弯曲时，板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯曲半径称为最小弯曲半径。（4-2）13．弯曲变形的回弹现象的表现形式有曲率减小、弯曲中心角减小两个方面。（4-2） 14．在弯曲工艺方面，减小回弹最适当的措施是采用校正弯曲。（4-3）15．常见的弯曲模类型有：单工序弯曲模、级进弯曲模、复合弯曲模、通用弯曲模。（4-6） 16．对于小批量生产和试制生产的弯曲件，因为生产量小，品种多，尺寸经常改变，采用常用的弯曲模成本高，周期长，采用手工时强度大，精度不易保证，所有生产中常采用通用弯曲模。（4-6） 17．凹模圆角半径的大小对弯曲变形力、模具寿命、弯曲件质量等均有影响。（4-6）二、判断题（每小题分，共分） 1．（×）弯曲中性层就是弯曲件的中心层。（4-1） 2．（×）板料的弯曲半径与其厚度的比值称为最小弯曲半径。（4-2） 3．（×）弯曲件的回弹主要是因为冲件弯曲变形程度很大所致。（4-2） 4．（√）校正弯曲可以减少回弹。（4-2） 5．（×）弯曲线的方向与板料的轧制方向垂直有利于减少回弹。（4-2） 6．（×）弯曲时，模具间隙越大，回弹角越小。（4-2） 6．（×）一般弯曲U形件时比V形件的回弹角大。（4-2） 7．（√）弯曲件的精度受坯料定位、偏移、回弹，翘曲等因素影响。（4-3）
第8章 弯曲变形 本章要点 【概念】平面弯曲，剪力、弯矩符号规定，纯弯曲，中性轴，曲率，挠度，转角。 剪力、弯矩与荷载集度的关系；弯曲正应力的适用条件；提高梁的弯曲强度的措施；运用叠加法求弯曲变形的前提条件；截面上正应力分布规律、切应力分布规律。 【公式】 1. 弯曲正应力 变形几何关系：y ερ = 物理关系：E y σρ = 静力关系：0N A F dA σ==?，0y A M z dA σ==?，2z z A A EI E M y dA y dA σρ ρ == =?? 中性层曲率： 1 M EI ρ = 弯曲正应力应力：，M y I σ= ，max max z M W σ= 弯曲变形的正应力强度条件：[]max max z M W σσ=≤ 2. 弯曲切应力 矩形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F bh F S S 2323max ==τ 工字形梁弯曲切应力：d I S F y z z S ??=* )(τ，A F dh F S S ==max τ 圆形截面梁弯曲切应力：b I S F y z z S ??=* )(τ，A F S 34max =τ 弯曲切应力强度条件：[]ττ≤max
3. 梁的弯曲变形 梁的挠曲线近似微分方程：() ''EIw M x =- 梁的转角方程：1()dw M x dx C dx EI θ= =-+? 梁的挠度方程：12()Z M x w dx dx C x C EI ??=-++ ??? ?? 练习题 一. 单选题 1、 建立平面弯曲正应力公式z I My /=σ,需要考虑的关系有（ ）。查看答案 A 、平衡关系,物理关系，变形几何关系 B 、变形几何关系，物理关系，静力关系； C 、变形几何关系，平衡关系，静力关系 D 、平衡关系, 物理关系，静力关系； 2、 利用积分法求梁的变形，不需要用到下面那类条件（ ）来确定积分常 数。查看答案 A 、平衡条件 B 、边界条件 C 、连续性条件 D 、光滑性条件 3、 在图1悬臂梁的AC 段上，各个截面上的（ ）。 A ．剪力相同，弯矩不同 B ．剪力不同，弯矩相同 C ．剪力和弯矩均相同 D ．剪力和弯矩均不同 图1 图2 4、 图2悬臂梁受力，其中（ ）。
弯曲变形 1. 已知梁的弯曲刚度EI 为常数，今欲使梁的挠曲线在x =l /3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为： (A) M e1/M e2=2； (B) M e1/M e2=3； (C) M e1/M e2=1/2； (D) M e1/M e2=1/3。 答：(C) 2. 外伸梁受载荷如 致形状有下列(A)(B)、(C)，(D)四种： 答：(B) 3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间的关系以及挠曲线近似微分方程为： (A)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2S S ===； (B)EI x M x w q x F F x M ) (d d ,d d , d d 2 2 S S =-=-=； (C)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -==-=； (D)EI x M x w q x F F x M )(d d ,d d , d d 2 2S S -=-==。 答：(B) 4. 弯曲刚度为EI 的悬臂梁受载荷如图 示，自由端的挠度EI l M EI Fl w B 232 e 3+=（↓） 则截面C 处挠度为：
(A)2 e 3 322323??? ??+??? ??l EI M l EI F （↓）； (B)2 3 3223/323?? ? ??+??? ??l EI Fl l EI F （↓）； (C)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??++??? ??l EI Fl M l EI F （↓）；(D)2 e 3 322)3/(323? ? ? ??-+??? ??l EI Fl M l EI F （↓）。 答：(C) 5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。 答： 6. 7. (a)、(b)刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。 答：(C) 8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。 答：x =0, w 1=0, 1 w '=0；x =2a ，w 2 w 2；x =2a ，32 w w '='。 9. 试画出图示静定组合梁在集中力F 作用下挠曲线的大致形状。 (a) (b) (c) w ===θw w
第六章弯曲变形 一、是非判断题 1．梁的挠曲线近似微分方程为EIy’’=M（x）。（√）2．梁上弯矩最大的截面，挠度也最大，弯矩为零的截面，转角为零。（×）3．两根几何尺寸、支撑条件完全相同的静定梁，只要所受载荷相同，则两梁所对应的截面的挠度及转角相同，而与梁的材料是 否相同无关。（×）4．等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的曲率最大值发生在转角等于零的截面处。（×）5．若梁上中间铰链处无集中力偶作用，则中间铰链左右两侧截面的挠度相等，转角不等。（√）6．简支梁的抗弯刚度EI相同，在梁中间受载荷F相同，当梁的跨度增大一倍后，其最大挠度增加四倍。（×）7．当一个梁同时受几个力作用时，某截面的挠度和转角就等于每一个单独作用下该截面的挠度和转角的代数和。（√）8．弯矩突变的截面转角也有突变。（×） 二、选择题 1. 梁的挠度是（D） A 横截面上任一点沿梁轴线方向的位移 B 横截面形心沿梁轴方向的位移 C横截面形心沿梁轴方向的线位移
D 横截面形心的位移 2. 在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（B）是正确的。 A 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3. 挠曲线近似微分方程在（D）条件下成立。 A 梁的变形属于小变形 B 材料服从胡克定律 C 挠曲线在xoy平面内 D 同时满足A、B、C 4. 等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D）处。 A 挠度最大 B 转角最大 C 剪力最大 D 弯矩最大 5. 两简支梁，一根为刚，一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F，二者的（B）不同。 A支反力 B 最大正应力 C 最大挠度D最大转角6. 某悬臂梁其刚度为EI，跨度为l，自由端作用有力F。为减小最大挠度，则下列方案中最佳方案是（B） A 梁长改为l /2，惯性矩改为I/8 B 梁长改为3 l /4，惯性矩改为I/2 C 梁长改为5 l /4，惯性矩改为3I/2 D 梁长改为3 l /2，惯性矩改为I/4 7. 已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为： y(x)=Ax2(4lx - 6l2-x2)，则该段梁上（B）
第三章弯曲工艺及弯曲模具设计复习题答案 一、填空题 1 、将板料、型材、管材或棒料等弯成一定角度、一定曲率，形成一定形状的零件的冲压方法称为弯曲。 2 、弯曲变形区内应变等于零的金属层称为应变中性层。 3 、窄板弯曲后起横截面呈扇形状。窄板弯曲时的应变状态是立体的，而应力状态是平面。 4 、弯曲终了时，变形区内圆弧部分所对的圆心角称为弯曲中心角。 5 、弯曲时，板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯曲半径称为最小弯曲半径。 6 、弯曲时，用相对弯曲半径表示板料弯曲变形程度，不致使材料破坏的弯曲极限半径称最小弯曲半径。 7、最小弯曲半径的影响因素有材料的力学性能、弯曲线方向、材料的热处理状况、弯曲中心角。 8 、材料的塑性越好，塑性变形的稳定性越强，许可的最小弯曲半径就越小。 9 、板料表面和侧面的质量差时，容易造成应力集中并降低塑性变形的稳定性，使材料过早破坏。对于冲裁或剪切坯料，若未经退火，由于切断面存在冷变形硬化层，就会使材料塑性降低，在上述情况下均应选用较大的弯曲半径。轧制钢板具有纤维组织，顺纤维方向的塑性指标高于垂直于纤维方向的塑性指标。 10 、为了提高弯曲极限变形程度，对于经冷变形硬化的材料，可采用热处理以恢复塑性。 11 、为了提高弯曲极限变形程度，对于侧面毛刺大的工件，应先去毛刺；当毛刺较小时，也可以使有毛刺的一面处于弯曲受压的内缘（或朝向弯曲凸模），以免产生应力集中而开裂。 12 、为了提高弯曲极限变形程度，对于厚料，如果结构允许，可以采用先在弯角内侧开槽后，再弯曲的工艺，如果结构不允许，则采用加热弯曲或拉弯的工艺。 13 、在弯曲变形区内，内层纤维切向受压而缩短应变，外层纤维切向受受拉而伸长应变，而中性层则保持不变。 14 、板料塑性弯曲的变形特点是：（ 1 ）中性层内移（ 2 ）变形区板料的厚度变薄（ 3 ）变形区板料长
组合变形 一、判断题 1.斜弯曲区别与平面弯曲的基本特征是斜弯曲问题中荷载是沿斜向作用的。( ) 2.斜弯曲时，横截面的中性轴是通过截面形心的一条直线。( ) 3.梁发生斜弯曲变形时，挠曲线不在外力作用面内。( ) 4.正方形杆受力如图1所示，A点的正应力为拉应力。( ) 图 1 5. 上图中，梁的最大拉应力发生在B点。( ) 6. 图2所示简支斜梁，在C处承受铅垂力F的作用，该梁的AC段发生压弯组合变形，CB段发生弯曲变形。( ) 图 2 7.拉（压）与弯曲组合变形中，若不计横截面上的剪力则各点的应力状态为单轴应力。( ) 8.工字形截面梁在图3所示荷载作用下，截面m--m上的正应力如图3（C）所示。( )
图 3 9. 矩形截面的截面核心形状是矩形。( ) 10.截面核心与截面的形状与尺寸及外力的大小有关。( ) 11.杆件受偏心压缩时，外力作用点离横截面的形心越近，其中性轴离横截面的形心越远。( ) 12.计算组合变形的基本原理是叠加原理。（） 二、选择题 1.截面核心的形状与（）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 2.圆截面梁受力如图4所示，此梁发生弯曲是（） 图 4 A、斜弯曲 B、纯弯曲 C、弯扭组合 D、平面弯曲 三、计算题 1.矩形截面悬臂梁受力F1=F，F2=2F，截面宽为b，高h=2b，试计算梁内的最大拉应力，并在图中指明它的位置。
图 5 2.图6所示简支梁AB上受力F=20KN，跨度L=2.5m，横截面为矩形，其高h=100mm,宽b=60mm，若已知α=30°，材料的许用应力[σ]=80Mpa,试校核梁的强度。 3.如图7所示挡土墙，承受土压力F=30KN，墙高H=3m，厚0.75m，许用压应力[σ]ˉ=1 Mpa，许用拉应力[σ]﹢=0.1 Mpa，墙的单位体积重量为 ，试校核挡土墙的强度。 图 6 图 7 4.一圆直杆受偏心压力作用，其偏心矩e=20mm,杆的直径d=70mm,许用应力[σ]=120Mpa,试求此杆容许承受的偏心压力F之值。 5.如图8所示,短柱横截面为2a×2a的正方形,若在短柱中间开一槽,槽深为a,问最大应力将比不开槽时增大几倍?
弯曲变形 1、 已知梁得弯曲刚度EI 为常数,今欲使梁得挠曲线在x =l /3处出现一拐点,则比值M e1/M e2为: (A) M e1/M e2=2; (B) M e1/M e2=3; (C) M e1/M e2=1/2; (D) M e1/M e2=1/3。 答:(C) 2、 外伸梁受载荷如图示, 致形状有下列(A)(B)、(C),(D)四种: 答:(B) 3、 简支梁受载荷并取坐标系如图示,则弯矩M 、剪力F S 与分布载荷q 之间得关系以及挠曲线近似微分方程为: (A); (B); (C); (D)。 答:(B) 4、 弯曲刚度为EI 得悬臂梁受载荷如图示,自由端得挠度( ↓) 则截面C 处挠度为: (A)(↓); (B)(↓); (C)(↓);(D)(↓)。 答:(C) 5、 画出(a)、(b)、(c)三种梁得挠曲线大致形状。
答: 6、 7、正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置,则两者间得弯曲刚度关系为下列中得哪一种: (A) (a)＞(b); (B) (a)＜(b); (C) (a)=(b); (D) 不一定。 答:(C) 8、试写出图示等截面梁得位移边界条件,并定性地画出梁得挠曲线大致形状。 答:x=0, w1=0, =0;x=2a,w2=0,w3=0;x=a,w1=w2;x=2a,。 9、试画出图示静定组合梁在集中力F作用下挠曲线得大致形状。 答: (a)(b)(c)
10、 画出图示各梁得挠曲线大致形状。 答: 11、 12、 支座间得距离应为l -2a =0、577l 。 证: 2b ,,因对称性,由题意有: 得 即13、 等截面悬臂梁弯曲刚度EI 为已知,梁下有一曲面,方程为w = -Ax 3。欲使梁变形后与该曲面密合(曲面不受力),试求梁得自由端处应施加得载荷。 解: F S (x ) = -6EIA x=l , M = -6EIAl F =6EIA (↑),M e =6EIAl () 14、 变截面悬臂梁受均布载荷q 作用,已知q 、梁长l 及弹性模量E 。试求截面A 得挠度w A 与截面C 得转角θC 。 解:
弯曲变形 基本概念题 一、选择题 1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的 挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部 分表示直线，实线部分表示曲线)。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标 系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为 （）。 题2图题1图 A．两组结果的正负号完全一致 B．两组结果的正负号完全相反 C．挠度的正负号相反，转角正负号一致 D．挠度正负号一致，转角的正负号相反 3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。 题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。 A．该梁应分为AB、BC两段进行积分 B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数 -26-
题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定 D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( ) A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左 y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y = D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左 y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如 下结论，正确的是（ ）。 A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的 41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2 1 倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。 A ． EI Pa 323 B ． EI Pa 33 C ．EI Pa 3 D ．EI Pa 233 8. 已知简支梁，跨度为l ，EI 为常数，挠曲线方程为)24)2(323EI x lx l qx y +-=， -27-
第六章 弯曲变形 挠曲线的弯曲微分方程 W=f(x) 挠度 横截面形心（即轴线上的点）在垂直于x 轴方向的线位移， 转角 横截面对原来位置的角位移，称为该截面的转角 可以是挠曲线上的点的切线方向与x 轴的夹角，也是改点的法线与横截面的夹角 【转角就是这一点的切线的斜正值为正的，负值为顺时针】 规定转角顺时针为负值，逆时针为正值， 而且剪力是顺时针为正值，逆时针为负值 注意 用梁的轴线来代替梁 弯矩规定下凸为正（叫做凹曲线）左顺右逆【使下侧受压为正】 梁的弯曲变形是很小的，在tan θ=θ值 在数学表达式中有|' 1"w |p 1w +=中有二阶无穷小量 最后简化为 在规定的坐标系中, x 轴水平向右为正, w 轴竖直向上为正。此时，挠度的二阶导数在挠曲线凹（下凸）时为正，反之为负。 【挠度的二阶导数是弯矩，一阶导数是转角正好有弯矩的定义对应起来】 梁的挠曲线近似微分方程 在这公式中，只是纯弯曲，忽略了剪力和二阶无穷小量 6---3用积分法求弯曲变形 在挠曲线的某些点上，挠度和转角有时候是已知的 1()()M x x EI ρ=()"M x w EI =1()d EIw M x x C '=+?12()d d EIw M x x x C x C =++??
积分常数的确定 1.边界条件 简支梁左右胶支座挠度为0； 悬臂梁固定端挠度是零，转角也是零 2.连续条件 （1）挠度连续条件 （2）转角连续条件 3.感悟弯矩为零处转角取极值；转角为零处，挠度取极值【更加简单的是从挠度曲线上来判读】 4.事实上:在简支梁中, 不论集中载荷作用于什么位置, 其最大挠度值一般都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 精确度能够满足工程要求.技巧：（a ）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项. 对于见对方对于简支梁的来说；中间作用一个集中力的话，要是判断那一段的挠度和转角的话，1 比较a 和b 的值，谁大挠度最大值就在那一侧；因为转角是在弯矩等于零的地方，所以可以知道转角一定会在 角支座处可能取得2比较集中力作用点的转角值得正负也可以判断 6--4用叠加法求弯曲变形 载荷叠加法和结构叠加法（逐段钢化法） 在简支梁的一段作用的非集中载荷时候；要用积分的方法；取一小段dx 算出这一点的集度，再用第九栏的公式计算 0)(a x M -+
1. 梁的受力情况如图所示，该梁变形后的 挠曲线如图（ ）所示（图中挠曲线的虚线部 分表示直线，实线部分表示曲线 ）。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标 系， 则由积分法求得的挠度和转角的正负号为 ）° 弯曲变形 基本概念题 一、选择题 题2图 题1图 A. 两组结果的正负号完全一致 B. 两组结果的正负号完全相反 C. 挠度的正负号相反，转角正负号一致 D. 挠度正负号一致，转角的正负号相反 3 2 3 3. 已知挠曲线方程 y = q o x （l - 3lx +2 x ）/（48EI ），如图所示，则两端点的约束可能为 F 列约束中的（ ）° 题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。 A. 该梁应分为 AB 、BC 两段进行积分 B. 挠度积分表达式中，会出现 4个积分常数 5
题4图 题5图 C. 积分常数由边界条件和连续条件来确定 D. 边界条件和连续条件表达式为 x = 0，y = 0 ； x = l ， y 左=y 右二0，y'O 5.用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为 （ ） A. x = =0, y = 0 );x = :a + l ,y = 0 ； x = a, y 左二 y 右，y 左 二y 右 B. x = =0, y = 0 );x = :a + l ,y = 0 ; x = a, y 左二y 右， y 左二y 右 C. x = =0, y =( );x = =a + l ,y = 0, y =0; x = a, y 左= y 右 D. x : =0, y = < 0; x = =a + l, y = 0, y "= 0; x = a, y 左二 :y 右 6. 材料相同的悬臂梁I 、n,所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如 下结论，正确的是（ ）。 1 A . I 梁最大挠度是n 梁的 倍
第6章弯曲变形 判断 1.梁段上最大弯矩处的变形必定最大。（） 2.梁铰支座处的挠度和转角均等于零。（） 3.固定端支座处的挠度和转角均等于零。（） 4.跨度之比为的三根简支梁中点受大小相等的集中力作用，若它们的弯曲刚度均为EI，其最大挠度之间的比例关系为。（） 5.求解超静定梁问题时，静定基的选择是唯一的。（） 6.梁的挠曲线是一条连续、光滑的曲线。（） 7.梁的变形只用截面的挠度来描述。（） 8.承受均布荷载梁的截面挠度大小与其跨度的三次方成正比。（） 9.梁在几项荷载同时作用下某一截面的挠度及转角，等于每项荷载单独作用下该截面的挠度的叠加及转角的叠加。（） 10.采用局部增加弯曲截面系数的方法可以有效地提高梁的刚度。（） 分析计算 6-1写出图示各梁的边界条件。在图（a）中BC杆的拉压刚度为EA；在图（b）中支座B的弹簧刚度为K(N/m)。 6-2试说明用积分法求图示悬臂梁的变形时，需要分几段建立挠曲线微分方程，积分常数有几个？写出确定积分常数的条件。（不要求作详细的积分解答）
6-3试用叠加法求图示梁A截面的挠度和B截面的转角。EI为已知常数。 6-4图示一悬臂的工字钢梁，长，在自由端作用集中力，已知钢的，，，梁的许用挠度，试按试按正应力强度条件、切应力强度条件和刚度条件选择工字钢型号 6-5一长为l的悬臂梁AB，A端固定，B端自由，在其中点处经一滚柱由下面的另一悬臂梁CD实行弹性加固。已知梁AB的弯曲刚度为El梁CD的弯曲刚度为2El，今在B点处作用一垂直于AB梁的集中力F。试求两梁经过滚柱所传递的压力。
6-6试求图示梁的约束力，并画出剪力图和弯矩图。已知梁的弯曲刚度EI为常数。
Engineering Mechanics （第3版） 普通高等教育“十一五”国家级规划教材 高等教育出版社
第9章弯曲应力与弯曲变形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.2 横力弯曲时梁横截面上的正应力 9.3 弯曲切应力简介 9.4 弯曲变形的概念 9.5 梁的挠曲线近似微分方程 9.6 用积分法求弯曲变形 9.7 用叠加法求弯曲变形 9.8 梁的刚度校核 9.9 提高梁强度和刚度的措施 小结 思考题
第9章 弯 曲 应 力 与 弯 曲 变 形 9.1 纯弯曲时梁横截面上的正应力 9.1.1 梁的纯弯曲 前一章讨论了梁弯曲时梁横截面上的内力——剪力和弯矩。但要解决梁的强度问题，必须进一步了解横截面上应力的分布规律。剪力和弯矩是横截面上分布内力的 合成结果。切应力对应的内力为剪力，正应力对应的内力为弯矩。 梁（或某段梁）的各个横截面上仅有弯矩而无剪力，从而仅有正应力而无切应力的弯曲，称为纯弯曲。而横截面上同时存在弯矩和剪力，即既有正应力又有切应力的弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。 例如，图9 - 1a 所示简支梁。由图可知梁的CD 段为纯弯曲，AC 和DB 段为横力弯曲。 图9 – 1 y a a F F B x z A C (a) D x F S F F (c) a a F F B C D (b) A F A F B (d) Fa M x
9.1.2 纯弯曲时梁横截面上的正应力 研究纯弯曲时梁横截面上的正应力，需从几何、物理和静力关系等三方面考虑。 由以上试验结果可作如下假设：原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后梁的轴线，只是绕横截面内某一轴旋转一角度。这就是弯曲变形的平面假设。 1. 变形几何关系 取截面具有纵向对称轴（例如矩形截面）的等直梁，在其侧面画两条横向直线mm 及nn ，并在横向线间靠近顶面和底面画两条纵向线段aa 与 bb （图9 – 2a ）。然后在梁的纵向对称面内两端施加一对等值、 反向的力偶，作梁的纯弯曲变形试验（图9 – 2b ）。 a a b b m m n n (a) (b) m m n n y ρ M e M e O' O' b' b' a' a' d θy y z b' 中性轴 中性层 对称轴 (c) 图9 – 2 b' a a '' b b ''可观察到： （1）横向直线变形后仍为直线，且仍然垂直于已经变成弧线的 和 ，只是相对旋转了一个角度。 （2）靠近顶面的纵向线段aa 缩短，靠近底面的纵向线段bb 伸长。
班级：学号：姓名： 《工程力学》弯曲变形测试题 一、判断题（每小题2分，共20分） 1、梁弯曲变形后，最大转角和最大挠度是同一截面。（×） 2、不同材料制成的梁，若截面尺寸和形状完全相同，长度及受力情况也相同，那么这两 根梁弯曲变形时，最大挠度值相同。（×） 3、EI是梁的抗弯刚度，提高它的最有效、最合理的方法是改用更好的材料。（×） 4、梁的挠曲线方程随弯矩方程的分段而分段，只要梁不具有中间铰，则梁的挠曲线仍然 是一条光滑、连续的曲线。（√） 5、梁弯曲后，梁某点的曲率半径和该点所在横截面位置无关。（×） 6、梁上有两个载荷，梁的变形与两个载荷加载次序无关。（√ ） 7、一般情况下，梁的挠度和转角都要求不超过许用值。（√ ） 8、在铰支座处，挠度和转角均等于零。（×） 9、绘制挠曲线的大致形状，既要根据梁的弯矩图，也要考虑梁的支撑条件。（√ ） 10、弯矩突变的截面转角也有突变。（×） 二、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、梁的挠度是（B ）。 A. 横截面上任一点沿梁轴方向的位移 B. 横截面形心沿垂直梁轴方向的位移 C. 横截面形心沿梁轴方向的线位移 D. 横截面形心的位移 2、在下列关于挠度、转角正负号的概念中，（C）是正确的。 A. 转角的正负号与坐标系有关，挠度的正负号与坐标系无关 B. 转角的正负号与坐标系无关，挠度的正负号与坐标系有关 C. 转角和挠度的正负号均与坐标系有关 D. 转角和挠度的正负号均与坐标系无关 3、挠曲线近似微分方程在（D ）条件下成立。 A. 梁的变形属于小变形 B .材料服从胡克定律 C. 挠曲线在xoy平面内 D. 同时满足A、B、C 4、等截面直梁在弯曲变形时，挠曲线的最大曲率发生在（D ）处。 A. 挠度最大 B. 转角最大 C. 剪力最大 D. 弯矩最大 5、应用叠加原理求梁横截面的挠度、转角时，需要满足的条件有（C ） A. 梁必须是等截面的 B. 梁必须是静定的 C. 变形必须是小变形； D. 梁的弯曲必须是平面弯曲 6、两简支梁，一根为钢、一根为铜，已知它们的抗弯刚度相同。跨中作用有相同的力F， 二者的（B ）不同。 A. 支反力 B. 最大正应力 C. 最大挠度 D. 最大转角 7、已知等截面直梁在某一段上的挠曲线方程为：错误!未找到引用源。，则该段梁上（B ）。 A. 无分布载荷作用 B. 有均匀载荷作用 C. 分布载荷是x的一次函数 D. 分布载荷是x的二次函数 8、在下列关于梁转角的说法中，( D )是错误的。 A. 转角是横截面绕中性轴转过的角位移 B. 转角是变形前后同一截面间的夹角 C. 转角是挠曲线的切线与轴向坐标轴间的夹角
第三章 1 、将板料、型材、管材或棒料等弯成一定角度、一定曲率，形成一定形状的零件的冲压方法称为弯曲。 2 、弯曲变形区内应变等于零的金属层称为应变中性层。 3 、窄板弯曲后起横截面呈扇形状。窄板弯曲时的应变状态是立体的，而应力状态是平面。 4 、弯曲终了时，变形区内圆弧部分所对的圆心角称为弯曲中心角。 5 、弯曲时，板料的最外层纤维濒于拉裂时的弯曲半径称为最小弯曲半径。 6 、弯曲时，用相对弯曲半径表示板料弯曲变形程度，不致使材料破坏的弯曲极限半径称最小弯曲半径。 7、最小弯曲半径的影响因素有材料的力学性能、弯曲线方向、材料的热处理状况、弯曲中心角。 8 、材料的塑性越好，塑性变形的稳定性越强，许可的最小弯曲半径就越小。 9 、板料表面和侧面的质量差时，容易造成应力集中并降低塑性变形的稳定性，使材料过早破坏。对于冲裁或剪 切坯料，未经退火，由于切断面存在冷变形硬化层，就会使材料塑性降低，上述情况下均应选用较大的弯曲半径。轧制钢板具有纤维组织，顺纤维方向的塑性指标高于垂直于纤维方向的塑性指标。 10 、为了提高弯曲极限变形程度，对于经冷变形硬化的材料，可采用热处理以恢复塑性。 11 、为了提高弯曲极限变形程度，对于侧面毛刺大的工件，应先去毛刺；当毛刺较小时，也可以使有毛刺的一 面处于弯曲受压的内缘（或朝向弯曲凸模），以免产生应力集中而开裂。 12 、为了提高弯曲极限变形程度，对于厚料，如果结构允许，可以采用先在弯角内侧开槽后，再弯曲的工艺， 如果结构不允许，则采用加热弯曲或拉弯的工艺。 13 、弯曲变形区内，内层纤维切向受压而缩短应变，外层纤维切向受受拉而伸长应变，而中性层保持不变 14 、板料塑性弯曲的变形特点是：（ 1 ）中性层内移（ 2 ）变形区板料的厚度变薄（ 3 ）变形区板料长 度增加（ 4 ）对于细长的板料，纵向产生翘曲，对于窄板，剖面产生畸变。 15 、弯曲时，当外载荷去除后，塑性变形保留下来，而弹性变形会完全消失，使弯曲件的形状和尺寸发生变 化而与模具尺才不一致，这种现象叫回弹。其表现形式有 _ 曲率减小、弯曲中心角减小两个方面。 16 、相对弯曲半径r ╱ t 越大，则回弹量越大。
第七章 梁弯曲时的变形 §7?1 概 述 图7?1所示的简支梁，任一横截面的形心即轴线上的点在垂直于x 轴方向的线位移，称为挠度，用y 表示；横截面绕中性轴转动的角度，称为该截面的转角，用θ表示，如图中C 截面转过的角度θ即为C 截面的转角。 （7?1） 称为挠曲线方程。 （7?2） 称为转角方程。 §7?2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分 在小变形情况下，梁的挠曲线为一平坦的曲线，挠曲线近似微分方程为 EI x M x y )(d d 2 2±= （7?3） 式中的正负号取决于22d d x y 与)(x M 的正负号的规定。在如图11?2所示的坐标系中，y 轴以 向下为正，当M (x )>0时，梁的挠曲 的（7?3） ?+-== C x x M EI x d )(d θ （7?5） 再积分一次，可得 ()[]??++-=D Cx x x M EI y 2d 1 （7?6） 以上两式中，C 、D 为积分常数，可通过梁的边界条件及变形连续条件确定。例如在简支梁（图7?3a ）中，A 、B 支座处的挠度都等于零；在悬臂梁（图7?3b ）中，固定端处挠度和转角都等于零。积分常数C 、D 确定后，代入式（7?5）、（7?6），便可求得梁的转角方程和挠曲线方程，进而可求得梁上任一横截面的转角和挠度。 例题7?1 图示等截面悬臂梁AB EI ，试 (b)
求梁的挠曲线方程和转角方程，并确定其最大挠度y max 和最大转角θmax 。 解 b ），弯矩方程为： （a ） （2 （b ） （3积分一次，得： ??? ??+-==C Fx Flx EI x y 2211d d θ （c ） 再积分一次，得： ??? ??++-= D Cx Fx Flx EI y 3261211 （d ） （4）利用梁的边界条件确定积分常数 在梁的固定端，横截面的转角和挠度都等于零，即： 0=x 时，0=y ，0=θ 代入式（c ）、（d ），求得C =0，D =0。 （5）给出转角方程和挠曲线方程 ??? ??-==2211d d Fx Flx EI x y θ （e ） ??? ??-=3261211Fx Flx EI y （f ） （6）求最大挠度和最大转角 根据梁的受力情况和边界条件，可知此梁的最大挠度和最大转角都在自由端即x =l 处。将x =l 代入（e ）、（f ）两式，则可求得最大转角及最大挠度分别为： 挠度为正，说明梁变形时B 点向下移动，转角为正，说明横截面B 沿顺时针方向转动。 用积分法计算梁的位移时，应先写出梁的弯矩方程，建立梁的挠曲线近似微分方程，然后通过积分得到转角和挠曲线方程式，积分中出现的积分常数可通过边界条件确定。当全梁的弯矩不能用统一的方程式表示时，应分段列出其弯矩方程和挠曲线近似微分方程，并分段 积分。积分常数的确定除了利用梁的边界条件 外，还需利用梁的变形连续条件。 §7?3 叠加法 当梁上同时作用几种荷载时，所引起的梁 的位移可采用叠加法计算，即先分别求出每一项荷载单独作用时所引起的位移，然后计算这些位移的代数和，即为各荷载同时作用时所引起的位移。 例题7?4 图示简支梁AB ，受均布荷载 和集中力偶作用，梁的弯曲刚度为EI ，试用叠加法求梁跨中点C 的挠度值和A 、B 截面的转角。 解：此梁上的荷载可以分为两项简单荷载，如图（b ）、(c )所示。 （a ） （b ） （c ）
第七章 弯 曲 变 形 1 基本概念及知识要点 1.1 基本概念 挠度、转角、挠曲线、挠曲线近似微分方程、直接积分法、叠加法。 1.2 挠度和转角 梁弯曲变形后，梁轴线将弯曲成一条光滑而连续的曲线，称为挠曲线。以梁在变形前的轴线为x 轴，y 轴向上为正。梁的挠曲线为xy 平面内的一条平面曲线。 梁的弯曲变形用两个基本量来度量： 1 挠度：横截面形心沿垂直于梁轴线方向的位移，用w 表示；向上的挠度为正，反之为负。 2 转角：横截面变形后绕中性轴转过的角度，用θ表示。逆时针转动为正，顺时针转动为负。挠度和转角之间有如下关系： () dw x dx θ= 可见确定梁的位移，关键是确定挠曲线方程()w f x =。 1.3 挠曲线近似微分方程 梁弯曲时，曲率和弯矩的关系为 1() ()() M x x EI x ρ=，式中)(x EI 为梁的抗弯刚度。在小变形的情况下，挠曲线近似微分方程为 22() d w M x dx EI = 1.4 梁变形的求解 1 直接积分法 对挠曲线近似微分方程积分一次，得转角方程 ()() ()dw x M x x dx C dx EI θ= =+? （a ） 再积分一次，得挠度方程 () ()M x w x dxdx Cx D EI =++?? （b ） 其中C 、D 为积分常数，可利用梁的边界条件和挠曲线连续条件确定。 2 叠加法 在小变形和弹性范围内，梁的挠度与载荷为线性关系，可以用叠加法求梁的挠度：即将梁的载荷分为若干种简单载荷，分别求出各种简单载荷作用下的位移，将它们叠加起来即为原载荷产生的位移。
1.5 梁的刚度条件 梁的设计中，除了需要满足强度条件外，在很多情况下，还要将变形限制在一定范围内，即满足刚度条件 max max [] [] w w θθ≤≤ 式中的[]w 和][θ分别为梁的许用挠度和许用转角，可从有关设计手册中查得。 1.6 简单超静定梁 由于多余约束的存在，某些梁的约束反力只用静力平衡方程并不能完全确定，这种梁称为超静定梁。求解方法之一为变形比较法，主要有以下步骤： （1）解除多余约束，视此约束反力为未知外力，选取静定基，得到原超静定梁的相当系统； （2）将相当系统的变形与原系统比较，找到变形所应满足的条件，即变形协调方程； （3）由变形协调方程求解未知的约束反力。 多余约束反力解出后，利用平衡方程求解其它约束反力。 1.7 提高梁刚度的措施 从挠曲线的近似微分方程及其积分可以看出，弯曲变形与弯矩大小、跨度长短、支座条件、梁截面的惯性矩I 、材料的弹性模量E 有关。故提高梁刚度的措施为： （1）改善结构形式，减小弯矩M ； （2）增加支承，减小跨度l ； （3）选用合适的材料，增加弹性模量E ： （4）选择合理的截面形状，提高惯性矩I ，如工字形截面、空心截面等。 2 重点与难点及解析方法 2.1挠曲线近似微分方程 梁弯曲变形后，曲率和弯矩之间的关系EI x M x ) ()(1= ρ是弯曲变形的基本方程，可直接用来解决梁的一些变形问题。 解析方法：梁的挠曲线近似微分方程是建立在以梁左端为原点的右手坐标系上的， 求解梁的弯曲变形时应特别注意。 2.2梁变形的求解 1 直接积分法是求解梁的变形的基本方法。
弯 曲 变 形 基 本 概 念 题 一、选择题 1. 梁的受力情况如图所示，该梁变形后的挠曲线如图（ ）所示(图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线)。 2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为（ ）。 题2图 题1图 A ．两组结果的正负号完全一致 B ．两组结果的正负号完全相反 C ．挠度的正负号相反，转角正负号一致 D ．挠度正负号一致，转角的正负号相反 3. 已知挠曲线方程y = q 0x (l 3 - 3lx 2 +2 x 3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（ ）。 题3图 4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（ ）是错误的。 A ．该梁应分为AB 、BC 两段进行积分 B ．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数 -26- 题4图 题5图 C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定 D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y 5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( ) A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y = D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。关于它们的最大挠度有如下结论，正确的是（ ）。 A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的41倍 B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的21倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍 题6图 题7图 7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。
第七章 弯曲变形
7-2 图示外伸梁 AC，承受均布载荷 q 作用。已知弯曲刚度 EI 为常数，试计算横截面
C 的挠度与转角，。
题 7-2 图 解：1. 建立挠曲轴近似微分方程并积分 支座 A 与 B 的支反力分别为
AB 段（0≤x1≤a）：
FAy
?
qa 2
,
FBy
?
3qa 2
d 2 w1 dx12
?
?
qa 2EI
x1
dw1 dx1
?
?
qa 4EI
x12
? C1
(a)
w1
?
? qa 12EI
x13
? C1x1
?
D1
(b)
BC 段（0≤x2≤a）：
d 2 w2 dx22
?
?q 2EI
x22
dw2 dx2
?? q 6EI
x23 ? C2
(c)
w2
?
?
q 24EI
x24
? C2x2
?
D2
(d)
2. 确定积分常数
梁的位移边界条件为
在 x1 ? 0 处，w1 ? 0
(1)
在 x1 ? a 处，w1 ? 0
(2)
连续条件为
在 x1 ? x2 ? a 处，w1 ? w2
(3)
1
在
x1
?
x2
?
a
处，dw1 dx1
?
?
dw2 dx2
(4)
由式（b）、条件（1）与（2），得
由条件（4）、式（a）与（c），得
D1 ? 0 ，
C1
?
qa 3 12EI
由条件（3）、式（b）与（d），得
C2
?
qa 3 3EI
3. 计算截面 C 的挠度与转角
D2
?
?
7qa 4 24EI
将所得积分常数值代入式（c）与（d），得 CB 段的转角与挠度方程分别为
??
?
?
q 6EI
x23
?
qa 3 3EI
w2
?
?
q 24EI
x24
?
qa 3 3EI
x2
?
7 qa 4 24EI
将 x2=0 代入上述二式，即得截面 C 的转角与挠度分别为
?C
?
qa 3 3EI
?? ?
? ? wC
?
?
7qa 4 24EI
?
7-3 图示各梁，弯曲刚度 EI 均为常数。试根据梁的弯矩图与约束条件画出挠曲轴的
大致形状。
题 7-3 图 解：各梁的弯矩图及挠曲轴的大致形状示如图 7-3。
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