新课标人教版数学七年级(上)知识要点概括
第一章有理数
1.(1)正数:大于零的数;
(2)负数:小于零的数(在正数前面加上负号“—”的数);
注意:①0既不是正数也不是负数,它是正负数的分界点;
②对于正数和负数,不能简单理解为带“+”号的数是正数,带“—”号的数是负数;
③字母a可以表示任意数,当a表示正数时,-a是负数;当a表示负数时,-a是正数;当a表示0时,-a仍是0。
④正数有时也可以在前面加“+”,有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。
2.有理数的概念
⑴正整数、0、负整数统称为整数;
⑵正分数和负分数统称为分数;
⑶正整数,0,负整数,正分数,负分数都可以写成分数的形式,这样的数称为有理数。理解:只有能化成分数的数才是有理数。
①π是无限不循环小数,不能写成分数形式,不是有理数;
②有限小数和无限循环小数都可化成分数,都是有理数;
③-a不一定是负数,+a也不一定是正数;
3.有理数的分类
⑴按有理数的定义分类⑵按性质符号来分
正整数正整数
整数 0 正有理数
负整数正分数
有理数有理数 0 (0不能忽视)
正分数负整数
分数负有理数
负分数负分数
总结:①正整数、0统称为非负整数(也叫自然数)
②负整数、0统称为非正整数
③正有理数、0统称为非负有理数
④负有理数、0统称为非正有理数
⑤0是整数不是分数。
4. 规定了原点,正方向,单位长度的直线叫做数轴。
注意:⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线;
⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素,三者缺一不可;
⑶同一数轴上的单位长度要统一。
(4)数轴一般取右(或向上)为正方向,数轴的原点的选定,正方向的取向,单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。
5.数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示,正有理数可用原点右侧的点表示,负有理数可用原点左侧的点表示,0用原点表示。
⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来,但数轴上的点不都表示有理数,也就是说,有理数与数轴上的点不是一一对应关系。(如,数轴上的点π不是有理数)
6.数轴的画法
(1)画一条直线,在这条直线上任取一个点作为原点;
(2)通常规定直线上从原点向右(或左)为正方向,从原点向左(或右)为负方向;(3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似的方法依次表示-1,-2,-3,….
7.利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较,右边的数总比左边的数大;
⑵正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数;
⑶两个负数比较,距离原点远的数比距离原点近的数小。
8.数轴上特殊的最大(小)数
⑴最小的自然数是0,无最大的自然数;
⑵最小的正整数是1,无最大的正整数;
⑶最大的负整数是-1,无最小的负整数
9.a可以表示什么数
⑴a>0表示a是正数;反之,a是正数,则a>0;
⑵a<0表示a是负数;反之,a是负数,则a<0;
⑶a=0表示a是0;反之,a是0,,则a=0;
10.数轴上点的移动规律
根据点的移动,向左移动几个单位长度则减去几,向右移动几个单位长度则加上几,从而得到所需的点的位置。
11.归纳数轴上的点的意义:
一般地,设a是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度.
12.只有符号不同的两个数叫做互为相反数,其中一个是另一个的相反数。
注意:⑴相反数是成对出现的;
⑵相反数只有符号不同,若一个为正,则另一个为负;
⑶0的相反数是它本身;相反数为本身的数是0。
13.相反数的性质与判定
⑴任何数都有相反数,且只有一个;
⑵0的相反数是0;
⑶互为相反数的两数和为0,和为0的两数互为相反数,即a,b互为相反数,则a+b=0
14.相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数,是互为相反数;互为相反数的两个数,在数轴上的对应点(0除外)在原点两旁,并且与原点的距离相等。0的相反数对应原点。 说明:在数轴上,表示互为相反数的两个点关于原点对称。 15.相反数的求法
⑴求一个数的相反数,只要在它的前面添上负号“-”即可求得(如:5的相反数是-5); ⑵求多个数的和或差的相反数是,要用括号括起来再添“-”,然后化简(如;5a+b 的相反数是-(5a+b )。化简得-5a-b );
⑶求前面带“-”的单个数,也应先用括号括起来再添“-”,然后化简(如:-5的相反数是-(-5),化简得5) 16.相反数的表示方法
⑴一般地,数a 的相反数是-a ,其中a 是任意有理数,可以是正数、负数或0。 当a>0时,-a <0(正数的相反数是负数) 当a<0时,-a >0(负数的相反数是正数) 当a=0时,-a =0,(0的相反数是0) 17.多重符号的化简
多重符号的化简规律:“+”号的个数不影响化简的结果,可以直接省略;“-”号的个数决定最后化简结果;即:“-”的个数是奇数时,结果为负,“-”的个数是偶数时,结果为正。
18.一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值,记作|a|,读作:a 的绝对值.
19.因为数的绝对值是表示两点之间的距离,如:|a-b|表示数轴上a 点到b 点的距离。 所以一个数的绝对值不可能是负数。即:任何数的绝对值都是非负数(0的绝对值是0) 20. 绝对值的计算规律:
(1) 互为相反数的两个数的绝对值相等 (2) 若b a =,则a=b 或a=-b ; (3) 若0,0,0===+b a b a 则 21.绝对值的代数定义
1)一个正数的绝对值是它本身 2)一个负数的绝对值是它的相反数
3)0的绝对值是0 22.可用字母表示为:
①如果a>0,那么|a|=a ; ②如果a<0,那么|a|=-a ; ③如果a=0,那么|a|=0。 可归纳为①:a ≥0<═> |a|=a (非负数的绝对值等于本身;绝对值等于本身的数是非负数。)
②a ≤0<═> |a|=-a (非正数的绝对值等于其相反数;绝对值等于其相反数的数是非正数。)
23.绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数,也就是说绝对值具有非负性。所以,a 取任何有理数,都有|a|≥0。
⑴0的绝对值是0;绝对值是0的数是0.即:a=0 <═> |a|=0;
⑵一个数的绝对值是非负数,绝对值最小的数是0.即:|a|≥0; ⑶任何数的绝对值都不小于原数。即:即:|a|≥a ; 0a 1a
a >?= ;
0a 1a
a
-=; ⑷绝对值是相同正数的数有两个,它们互为相反数。即:若|x|=a (a>0),则x=±a ; ⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,则|a|=|b|;注意:
|a|·|b|=|a ·b|,
b
a
b
a =
; ⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即:|a|=|b|,则a=b 或a=-b ;
⑺若几个数的绝对值的和等于0,则这几个数就同时为0。即|a|+|b|=0,则a=0且b=0。(非负数的常用性质:若几个非负数的和为0,则有且只有这几个非负数同时为0) 24.有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小:数轴上的两个数相比较,左边的总比右边的小;
⑵利用绝对值比较两个负数的大小:两个负数比较大小,绝对值大的反而小;异号两数比较大小,正数大于负数。
(3)正数的绝对值越大,这个数越大; (4)正数永远比0大,负数永远比0小; (5)正数大于一切负数;
(6)大数-小数 > 0,小数-大数 < 0. 25.已知一个数的绝对值,求这个数
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点到原点的距离。
一般地,绝对值为同一个正数的有理数有两个,它们互为相反数,绝对值为0的数是0,没有绝对值为负数的数。 26.有理数的加法法则
⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
⑶互为相反数的两数相加,和为零; ⑷一个数与0相加,仍得这个数。 27.有理数加法的运算律 ⑴加法交换律:a+b=b+a
⑵加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
28.在运用运算律时,一定要根据需要灵活运用,以达到化简的目的,通常有下列规律: ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”; ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”; ③分母相同的数先相加——“同分母结合法”; ④几个数相加得到整数,先相加——“凑整法”; ⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。 29.有理数减法法则
减去一个数,等于加上这个数的相反数。用字母表示为:a-b=a+(-b)。 30.有理数加减法统一成加法的意义
在有理数加减法混合运算中,根据有理数减法法则,可以将减法转化成加法后,再按照加
法法则进行计算。
在和式里,通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写,写成省略加号的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.
31.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧: Ⅰ.把符号相同的加数相结合(同号结合法) (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)
原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) (将减法转换成加法)
=-33+18-15-1+23 (省略加号和括号) =(-33-15-1)+(18+23) (把符号相同的加数相结合) =-49+41 (运用加法法则一进行运算) =-8 (运用加法法则二进行运算) Ⅱ.把和为整数的加数相结合 (凑整法) (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)
原式=(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) (将减法转换成加法)
=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 (省略加号和括号)
=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 (把和为整数的加数相结合) =4-10+3.8 (运用加法法则进行运算)
=7.8-10 (把符号相同的加数相结合,并进行运算)
=-2.2 (得出结论) Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合(同分母结合法)
-53-21+43-52+21-8
7 原式=(-53-52)+(-21+21)+(+43-87)=-1+0-81=-18
1
Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合(先统一后结合)
(+0.125)-(-3
43)+(-381)-(-1032
)-(+1.25) 原式=(+81)+(+343)+(-381)+(+1032)+(-141)=81+343-381+1032-141
=(343-141)+(81-381)+1032=221-3+1032=-3+1361=106
1
Ⅴ.把带分数拆分后再结合(先拆分后结合)
-3
51+10116-12221+415
7 原式=(-3+10-12+4)+(-51+157)+(116-221)=-1+154+2211=-1+308+3015 =-30
7
Ⅵ.分组结合
2-3-4+5+6-7-8+9…+66-67-68+69
原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+…+(66-67-68+69)=0 Ⅶ.先拆项后结合
(1+3+5+7…+99)-(2+4+6+8…+100) 32.有理数的乘法法则
①两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;(“同号得正,异号得负”专指
“两数相乘”的情况,如果因数超过两个,就必须运用法则三) ②任何数同0相乘,都得0;
③几个不是0的数相乘,负因数的个数是偶数时,积是正数;负因数的个数是奇数时,积是负数;
④几个数相乘,如果其中有因数为0,则积等于0.
33.乘积是1的两个数互为倒数,其中一个数叫做另一个数的倒数,用式子表示为a ·a
1=1(a ≠0),就是说a 和
a 1互为倒数,即a 是a 1的倒数,a
1
是a 的倒数。 ①0没有倒数;
②求假分数或真分数的倒数,只要把这个分数的分子、分母点颠倒位置即可;求带分数的倒数时,先把带分数化为假分数,再把分子、分母颠倒位置;
③正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(求一个数的倒数,不改变这个数的性质); ④倒数等于它本身的数是1或-1,不包括0。
⑤若ab=1? a 、b 互为倒数;若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 34.有理数的乘法运算律 ⑴乘法交换律:ab=ba
⑵乘法结合律:(ab)c=a(bc). ⑶乘法分配律:a(b+c)=ab+ac 35. 有理数的除法法则
(1)除以一个不等0的数,等于乘以这个数的倒数;注意:零不能做除数,无意义即0
a
. (2)两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除。 (3)0除以任何一个不等于0的数,都得0。 36..有理数的乘除混合运算
(1)乘除混合运算往往先将除法化成乘法,然后确定积的符号,最后求出结果。
(2)有理数的加减乘除混合运算,如无括号指出先做什么运算,则按照‘先乘除,后加减’的顺序进行。 37.有理数的乘方
求n 个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂。在 n
a 中,a 叫做底数,n
叫做指数。 (1)a 2是重要的非负数,即a 2≥0;若a 2
+|b|=0 ? a=0,b=0;
(5)据规律 ????
????
???????????===100101101.01.022
2底数的小数点移动一位,平方数的小数点移动二位
(6)n )1(-的结果:n 为奇数时,n )1(-=-1;n 为偶数时,n
)1(-=1。
38.乘方的性质
(1)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂的正数;注意:当n 为正奇数时: (-a)n =-a n
, 当
n 为正偶数时: (-a)n =a n
.
(2)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0。
39.有理数的混合运算,应注意以下运算顺序: 1.先乘方,再乘除,最后加减; 2.同级运算,从左到右进行;
3.如有括号,先做括号内的运算,按小括号,中括号,大括号依次进行。 40. 科学记数法
把一个大于10的数表示成
n
a 10?的形式(其中
10
1<≤a ,
n 是正整数),这种记数法是科学记数法
41.近似数的精确位:一个近似数,四舍五入到那一位,就说这个近似数的精确到那一位. 42.有效数字:从左边第一个不为零的数字起,到精确的位数止,所有数字,都叫这个近似数的有效数字.
有理数运算中的常见错误示例
一、概念不清
例1 计算:15+(-6)-|-5|. 错解:原式=15-6+5=14.
错解分析:错在没有弄清-(-5)与-|-5|的区别.-(-5)表示-5的相反数,为5;而-|-5|表示-5的绝对值的相反数,-5的绝对值为5,5的相反数是-5.
正解:原式=15-6-5=4. 例2 计算:3
42293??-÷
?- ???
. 错解:原式=926943??
-?
?-= ???
. 错解分析:此解错在混淆了乘方和有理数乘法的概念.需知3
2-表示222-??,其结果为-8,因此,3
2-绝不是指数和底数相乘.
正解:原式=9281243??
-??-= ???
. 二、错用符号
例3 计算:-5-8×(-2). 错解:原式=-5-16=-21.
错解分析:错在先将8前面的“-”当成性质符号,后来又当成运算符号重复使用,切记不可这样重复用.
正解1:若把-8中的“-”当成性质符号,则可得以下过程: 原式=-5+(-8)×(-2)=-5+16=11.
正解2:若把-8中的“-”当成运算符号,则可得以下过程: 原式=-5-(-16)=-5+16=11. 三、项动符号不动
例4 计算:()1312352814.53443????????-+---+--- ? ? ? ?????????
.
错解:原式=12311385
2143
3442??????-++-++ ? ????
?????
=11153
14322?
?+-+ ???=15113+=1163
. 错解分析:在解答本题时,应先观察数字的特点,将小数进行转化,并使分母相同的分数合并计算.在运用加法交换律时一定要记住,项动其符号也一定要随之而动.错解在移动
2
83
-一项时,漏掉了其符号. 正解:原式=12311385
2143
3442??????--+-++ ? ????
?????
=11123
1422?
?
-+-+ ???
=-12+11=-1. 四、对负带分数理解不清 例5 计算:764
88?
?-÷ ???
错解:原式=76488?
?-+
÷ ??
? =()17164888
-?+? =7864-+=7864-. 错解分析:错在把负带分数7648
-理解为7
648-+,而负带分数中的“-”是整个带分
数的性质符号,把7648
-看成7648--才是正确的.与之类似,7864-+也不等于7
864-.
正解:原式=76488?
?--÷ ??? =()17164888??-?+-? ???=7864--=7864
-. 五、考虑不全面
例6 已知|ɑ-1|=5,则ɑ的值为( ). A.6 B.-4 C.6或-4 D.-6或4 错解:由|ɑ-1|=5可得ɑ-1=5,解得ɑ=6.选A.
错解分析:一个数的绝对值等于5,则这个数可能为正,也可能为负,所以ɑ-1=±5,解得
ɑ=6或-4.
正解:选C. 六、错用运算律 例7 计算: 112263973????
-
÷-+ ? ?????
. 错解:原式=111212
639637633
??????-÷--÷+-÷ ? ? ??????? =11171842
-
+-=
1873
126-+-=19-. 错解分析:由于受乘法分配律ɑ(b +c )=ɑb +ɑc 的影响,错误地认为ɑ÷(b +c )=ɑ÷b +ɑ÷c ,这是不正确的.
正解:原式=17184263636363????-
÷-+ ? ?????=163
6331??-? ???
=131-. 七、违背运算顺序
例8 计算:14168??÷-? ???
. 错解:原式=4÷(-2)=-2.
错解分析:本题是乘除运算,应按从左到右的顺序进行,而错解是先计算1168??-? ???
,这样就违背了运算顺序.
正解:原式=4×(-8)×16=-512. 例9 计算:()()2
2
153216
--
?-. 错解:原式=25-(-2)2
=25-4=21. 错解分析:在计算()2
13216
?-时,错误地先进行乘法运算.事实上应该先算乘方,再算乘除.
正解:原式=1
25 1 02416
-
?=25-64=-39. 有理数典型错题示例
一、例1 计算:(1)-19.3+0.7;(2)3
13)212(?
÷-
错解:(1)-19.3+0.7=-20; (2)313)212(?
÷-=2
111)212(=-÷. 错解分析:(1)这是没有掌握有理数加法法则的常见错误.对于绝对值不同的异号两数相加,如何定符号和取和的绝对值,初学时要特别小心.(2)混合运算中,同级运算应从左往右依次进行.本题应先除后乘,这里先算了3
1
3?
,是不按法则造成的计算错误. 正解:(1) -19.3十0.7=-18.6; (2)6
1
3121313123313)212(===-???
?÷. 二、例2 计算:(1)2
4-;(2)3
)2.0(-.
错解:(1)24-=(-4) ?(-4)=16;(2)3
)2.0(-=-0.8.
错解分析:(1)24-,表示4的平方的相反数,即24-=-(4×4),它与2
)4(-不同,两者不能混淆.
(2)3
)2.0(-表示-0.2的三次方.小数乘方运算应注意运算结果的小数点位置. 正解:(l )2
4-=-16;(2)3
)2.0(-=-0.008.
三、例3 计算:(1)3
22
)8
3
1(?-;(2)2
)212(-.
错解:(1)3
2
2)831(?-=412-;
(2)2)212(-=4
14)21()2(22
=+-.
错解分析::带分数相乘(或乘方)必须先把带分数化成假分数后再计算.
正解:(1)原式=32331138811=-=--
?; (2)原式=4
1
6425)25(2==-.
四、例4 已知:a =2,b =3,求b a +.
错解:因为a =2,b =3,所以a =±2,b =±3. 所以b a +=±5. 错解分析:本题错在最后一步,本题应有四个解.错解中只注意同号两数相加,忽略了还有异号两数相加的情况.
正解:前两步同上,所以b a +=±5,或b a +=±1. 五、例5 下列说法正确的是( )
(A)0是正整数(B)0是最小的整数
(C)0是最小的有理数(D)0是绝对值最小的有理数
错解:选A
错解分析: 0不是正数,也不是负数,0当然不在正整数之列;再则,在有理数范围之内,没有最小的数.
正解:选D
六、例6按括号中的要求,用四舍五入法取下列各数的近似值:
(l)57.898(精确到O.01);
(2)0.057988(保留三个有效数字).
错解:(1)57.898≈57.9; (2)0.057988≈0.058
错解分析:(1)57.898精确到0.01,在百分位应有数字0,不能认为这个小数部分末尾的O是无用的.正确的答案应为57.90.注意57.9和57.90是精确度不同的两个近似数.(2)发生错解的原因是对“有效数字”概念不清.有效数字是指一个由四舍五入得来的近似数,从左边第一个不是0的数字起,到末位数字为止的所有数字,都叫这个数的有效数字.因此0.057988保留三个有效数字的近似值应为0.0580,而0.058只有两个有效数字.
七、例7选择题:
(l)绝对值大于10而小于50的整数共有()
(A)39个(B)40个(C)78个(D)80个
(2)不大于10的非负整数共有()
(A)8个(B)9个(C)10个(D)11个
错解:(1)D (2)C
错解分析: (l)10到50之间的整数(不包括10和50在内)共39个,-50到-10之间的整数也有39个,故共有78个.本题错在考虑不周密.(2)这里有两个概念:一是“不大于”,二是“非负整数”.前一概念不清,会误以为是0至9十个数字;后一概念不清,会误解为是1至10十个数字,都会错选(C).
正解:(l)C (2)D
八、例8计算:12233489 233445910
?
-+-+-++-.
错解:原式=
12233489 ()()()() 233445910
?
-+-+-++-
=12233489233445910?-+-+-++-
=5
210921=--. 错解分析:绝对值符号有括号的功能,但不是括号.绝对值符号的展开必须按绝对值意义进行;特别是绝对值号内是负值时,展开后应取它的相反数.这是一个难点,应格外小心.
正解:因为0322
1
<-
,04332<-,05443<-,…,0109
98<- 所以原式=122334()()()233445
------- (89)
()910--
=122334233445-+-+-+-…89910-+=5
2
10921=+-.
有理数的乘方错解示例
一、例1用乘方表示下列各式: (1)(5)(5)(5)(5)-?-?-?-; (2)
22223333
??? 错解:(1)4
(5)(5)(5)(5)5-?-?-?-=-;
(2)4
2222233333
???=.
错解分析:求n 个相同因数的积的运算叫做乘方.
(1)错在混淆了4
(5)-与45-所表示的意义. 4
(5)-的底数是-5,表示4个-5相乘,即
(5)(5)(5)(5)-?-?-?-,而45-表示5555-???.
(2)错在最后结果没有加上括号.实际上423与4
2()3
的意义是不同的,423表示
22223???,而42()3表示2222
3333
???.
正解:(1)4
(5)(5)(5)(5)(5)-?-?-?-=-; (2)
4
22222()33333
???=. 二、例2计算:(1) 2 008
(1)-;(2)3
(2)-.
错解:(1) 2 008
(1)
2 008-=-;(2)3(2)6-=-.
错解分析:错解(1)(2)的原因都是没有真正理解乘方的意义,把指数与底数相乘了.