第二章一元函数微分学
导数的概念
定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)?f(xo),若果极限
点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。处不可导.
下面是两种等价形式：
f'(Xo)= __________________ = ___________________ ?
当 Xo =0,W: r (0)= _____________ ,
如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—.
f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= ? 注意：f'(xo)工［f(x°)y
■.? /(兀0 +山)一/(旺)
如果y=f(x)在点X 。及其左侧邻域内有定义，当hm —T —
存在时，则称该极值为f(x)在点X 。处的 ______ 记为—.同理，定义右导数
性质 函数y=f(x)在点x 0处可导 ________
左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_?
可导函数与连续性的关系
函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式).
导数的运算
3.1基本初等函数的导数公式
c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________
(e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________
(sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________
(cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________
存在,则称此极限值为函数沪f(x)在
2.
(arctan x\ = _________ {arc cot xY = ______________________________
3.2导数的四则运算法则
设u二u(x),v=v(x)都在X处可导侧
(cuf= ___ (c 为常数) (u±vf= ___________ (uvf= ________________
(；)z= _______ (vHO) (^= ___________ ( vHO ,c 为常数)
3.3反函数的求导法则
设函数x=(p(y)在某个区间内单调町导，且啓(y)H0,则其反函数y二f(x)在其对
应区间内也可导，且有f(x)= ____ ?
3.4复合函数的求导法则
设y = f(u)z u = g(x)复合成y =f[g(x)],若u二g(x)在点x处可导"二f(u)在相应点u = g(x)可导,则复合函数y =f[g(x)]在点x可导,且有链式法则
旷 -------- = ---------
3.5隐函数的求导法则
设y=f(x)是由方程F(x,y) = 0确定的.求V只须直接由方程F(x’y) = 0关于x求导，将y看做是______ 依复合函数链式法则求之.
3.6由参数方稈确定的函数的求导法则
设y二y(x)是由{ 所确定的.其中(p⑴，叭t)为可导函数，且卩⑴H O,则
空_ 一
一------ 一--------
3.7对数求导法
对于幕函数y = 或y由若干个函数连乘、除、开方所构成,通常可以先用—改变函数类型.
如y = u：两端取对数：___________ ,
化幕指函数为隐函数，如y =N),两端取对数：
化为隐函数,然后利用隐函数的求导法则求导.
3.8高阶导数
二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数,对于求n阶导数，需要注意从屮找出规律，以便得到n阶导数的________ .
常见n阶导数公式：
(a x)(n) = _______ (e x)(n) = ______________ (x n)(n) = ______________
（x w ）（fl ） = ____ （正整数 m （sin 工）（"）= _____ _______ （cos x ）（n ） = ________ _______ 4. 洛必达法则 4.1未定型〃訂的极限 ⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件： ① 在点X 。的某一邻域内(点X 。可除外)有定义，且 XT% limFB"； 兀fo ② f'(x)与F(x)在该邻域内存在，且F'(x)H0; lim 晋弓存在(或为^),则lim A->X 0 厂 I 兀丿 X->X 0 ⑵设函数f(x)与F(x)满足以下条件： ① 当 |x|>N>0 时,f(x)与 F(x)有定义，且]jm /(x) = O,]j m F(x) = 0； ?Y T 8 X T 8 ② 当|x|>N>0时f (x)与F(x)都存在，且F'(x)HO; 4.2未定型〃：〃的极限 ⑴设函数f(x)与F(x)满足以下条件： ① 在点X 。的某一邻域内(点X 。可除外)有定义，且lim/G)=°°， 入f0 limF (x )=°°； 牙TXo ② f'(x)与F(x)在该邻域内存在，且F'(x)HO; ③lim 晋吕存在(或为8),则lim#^ = A —>X 0 十 \^) "TXo 匸 I 兀丿 ⑵设函数f(x)与F(x)满足以下条件： ① 当 |x|>N>0 时,f(x)与 F(x)有定义，且 Hm /(兀)= 00,]im F(x) = oo ； XT8 ② 当|x|>N>0时f (x)与F(x)都存在，且F(x)HO; ③lim 件]存在减为°°），则limTT^ = x —>oo r \X ） x ^a r （入丿 4.3可化为〃即型或〃生〃型的极限 Q DC _________ (或为8). ?lim F\x ） f(x) 存在减为f 则ijjp 耳r _________ （或为8） ? _________ （或为g ） ? (1)若lim〔/(x)? F(X)］为“ o-oe 〃型极限,可以做limt/W ?尸⑴］= _____ (X—> 或limg)?)］= ___________________ XT" (XT8) 的变形，前者化为〃三〃型，后者化为普〃型. ⑵ 若limMW—F⑴］为“00-00 〃型极限，则根据情况对函数进行变形, (XT8) 将其化为〃辭型或上〃型. U K 5. 导数的应用 5.1求曲线的切线方程与法线方程 如果函数y二f(x)在点X。处可导，，由导数的几何意义可知，曲线y二f(x)在点(Xo, f(x())) 的切线方程为____________________ . 如果f'(Xo)HO,此时曲线冃(x)在点(X。, f(x。))处的法线方程为_______________ . 如果f(x o)=O,则_________ 即为曲线y=f(x)在点(xo,f(x。))处的水平切线. 5.2函数的增减(单调)性与极值 5.2.1用导数符号判断函数增减(单调)性 若在(a,b)内总有f，(x)>0,则f(x)在(a,b)内______ ;若在(a,b)内总有f,(x)<0/则f(x)在 (a,b)内_______ . 5.2.2函数的极值 设y二f(x)在点X。的某个邻域内有定义： 如果对于任何该邻域内任何异于Xo的点x,恒有f(x)_f(x°),则称X。为f(x)的一个极大值点，称f(Xo)为f(x)的 _____ . 如果对于任何该邻域内任何异于X。的点X,恒有f(x)_f(xo),则称Xo为f(x)的一个极小值点，称f(Xo)为f(x)的 _____ . 定理1 (极值的必要条件)设y=f(x)在点Xo处可导，且Xo为f(x)的极值点，则 f(Xo)=_. 使函数导数值为零的点，称为函数的—? 定理2 (极值的第一充分条件)设尸f(x)在点Xo的某个邻域内可导，且f(Xo)=O,M： (1) 当XVXo时f (x)_0;当X>Xo时f (x)_0,则Xo为f(x)的极大值点; (2) 当XVXo时f(x)_O;当x>Xo时f(x)_O,则Xo为f(x)的极小值点； (3) 若F(x)在Xo的两侧同号，则Xo不是f(x)的极值点. 定理3 (极值的第二充分条件)设y=f(x)在点Xo处二阶可导，且f(x o)=ojij: (1) 若f〃(Xo)_O,则xo为f(x)的极大值点； (2) 若f〃(x°)_O,则xo为f(x)的极小值点； (3) 若f/(x o)=O/则此方法不能判定. 5.3函数的最大值与最小值 (1) 求出f(x)在(a,b)内的所有(可能的极值点)驻点、导数不存在的点:xi,...,x k . (2) 求出上述各点及区间两个端点x=a,x=b 处的函数值:f(xi)/...f(x k )/f(a)/f(b)/进行 比较，则 f(x)max = _{f(x 1)/...f(x k ),f(a),f(b)}, f(x)min = _{f(Xi),.??f(Xk),f(a),f(b)}? 5.4函数的凹凸性 5.4.1用导数判断函数的凹凸性 性质设函数尸f(x)在点(a,b)处二阶可导. (1) 若在(a,b)内有f 〃(x)_O,则y 二f(x)为(a,b)内为凹函数. (2) 若在(a,b)内有f 〃(x)_O,则y=f(x)为(a,b)内为凸函数 5.4.2曲线的拐点 连续曲线弧y=f(x),ffi(a,b)内有二阶连续导数f 〃(x),xoe (a,b). (1)当f 〃(x)在xo 的左、右两侧为 ___ 时,那么点(x 0, f(x 0))为曲线 尸f(x)的拐点，此 时 f ,z (xO)=_. ⑵ 当f 〃(x)在X 。的左、右两侧为 _ 吋，则点(xo,f(x 。))不是曲线y 二f(x)的拐点. 5.5函数的渐近线 若直线L 与x 轴平行，则称L 为曲线y=f(x)的—渐近线. 若直线L 与x 轴垂直，则称L 为曲线y=f(x)的_渐近线. 曲线尸f(x)的渐近线的求法： ⑴若 lim/(Q = c ，则y 二C 为曲线y 二f(x 啲—渐近线. (XT±8) ⑵则x=xo 为曲线y 二f(x 啲 ___________________ 渐近线? XT 心 (XT 站) 二、 微分 1. 微分的概念 定义设函数尸f(x)在某区间内有定义,Xo 及Xo+AX 在该区间内，如果函数的增量 △y=f(x 卄朋)?f(xo)可以表示为△ y=Azxx+o(Zkx),英中A 不是依赖于AX 的常数，而 O (AX )是较从高阶的无穷小量，则称函数y=f(x)在点X0是可微(分)的，而A AX 称做函 数y=f(x)在点xo 相应于自变量增量Ax 的微分，即dy= _________ . 2. 可微与可导的关系 函数y=f(x)在点x 处可微O ?> 函数y=f(x)在点x 处 _______ 且有dy= _______________ . △x=dx,因此有 dy= ______ .dy|x = xo= _______ 3. 微分的几何意义 函数y=f(x)在点xo 处的微分dy = f ，(xo )Ax,在几何上表示曲线y=f(x)在点 (x 0/ f(x 0))当自变量x 有增量AX 时—的纵坐标的增量. 4. 微分基本公式 de- _(c 为常数)dx n = _____________ (776 /?) da x = _______________ d sin 尢= ________ d cos x = ____________ J cot x = ________ cl arcsin x - ___________ d arctan x = d e x = ___________ d log 亦= __________ d In 兀= __________ tan x = ___________ d arccos x = _________ dare cot x = 5. 微分的四则运算 6. 设u二u(x)z v=v(x)都在x处可微，贝9 7. d(cu)= ___ (c 为常数) d(u±v)= ________ d(uv)= _______________ d(；)= ______ WHO) 8. 复合函数的微分 设y 二f(u),u = g(x)复合成y =f[g(x)],若u 二g(x)在点x 处可微,y = f(u)在相应点u = g(x) 可微，则复合函数y =f[g(x)]在点x可微”且dy= __ = _________ ? 称之为一阶微分形式不变性. 9. 微分中值定理 9.1罗尔中值定理 若函数y二f(x)满足以下条件： (1) 在闭区间[a,b]_h ___ ; (2) 在开区间(a,b)内____ ; (3) ________________ ? 则在开区间(a,b)内至少存在一点&使得广? = _________ .. 罗尔中值定理的几何意义(作图) 9.2拉格朗口中值定理 若函数y二f(x)满足以下条件： (1) 在闭区间[a,b]±_____ ; (2) 在开区间(a,b)内___ ; 贝恠开区间(a,b)内至少存在一点使得广?二_________________ 拉格朗日中值定理的几何意义(作图) 9.3柯西中值定理 若函数沪f(x)满足以下条件: (1) 在闭区间[a,b]±____ ; (2) 在开区间(a,b)内____ ; (3) 在开区间(a,b)内g'(x)H 则在开区间(a,b)内至少存在一点厂使得/单 g(9) 柯西屮值定理的儿何意义(作图) 第二章 一元函数微分学 一、 导数 （一）、导数概念 1、导数的定义： 设函数)(x f y =在点0x 的某个邻域内有定义，当自变量在点0x 处取得改变量x ?时，函数)(x f 取得相应的改变量，)()(00x f x x f y -?+=?，如果当0→?x 时，x y ??的极限存在，即x y x ??→?0lim x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 000存在，则此极限值为函数)(x f 在点0x 的导数，可记作)(0x f '或|0x x y ='或|0x x dx dy =或|0 )(x x dx x df = 2、根据定义求导数的步骤（即三步曲） ①求改变量)()(x f x x f y -?+=? ②算比值 x y ??x x f x x f ?-?+=)()( ③取极限x y x f y x ??='='→?0lim )(x x f x x f x ?-?+=→?)()(lim 0 例1：根据定义求2 x y =在点3=x 处的导数。 解：223)3(-?+=?x y 2)(6x x ?+?= x x y ?+=??6 6)6(lim lim 0 0=?+=??→?→?x x y x x 3、导数定义的几种不同表达形式 ①x x x x x f x x f x f x ?+=??-?+='→?00000) ()(lim )(令 ②000)()(lim )(0x x x f x f x f x x --='→ 时 ＝当0)()(lim )(0000x x x f x f x f x ??-='→? ③x f x f f x )0()(lim )0(0-='→ 4、左右导数的定义： 如果当)0(0-+→?→?x x 时，x y ??的极限存在，则称此极限为)(x f 在点0x 为右导数（左 一元函数微分学典型例题 1. 有关左右极限题 求极限??? ?????+++→x x sin e e lim x x x 41 012 ● 根据左右极限求极限， ● 极限x x e lim 1 →， x x sin lim x 0 →，x tan lim x 2 π→，x cot lim x 0→，x cot arc lim x 0→，x arctan lim x 1 0→都不存在， ● A )x (f lim A )x (f lim )x (f lim x x x =?==∞ →-∞ →+∞ → ● 【 1 】 2. 利用两个重要极限公式求1∞ 型极限 x sin x ) x (lim 20 31+→ ● 0→)x (?，e )) x (lim() x (=+??1 1 ● A )x (f lim =0→)x (?，A )x (f ) x (e ])) x (lim[(=+??11 ● 【 6e 】 3. 等价无穷小量及利用等价代换求极限 当0x + → (A) 1- (B) ln (C) 1. (D) 1-. ● 等价无穷小定义：如果1=α β lim ，则称β与α失等价无穷小，记为α∽β， ● 0→x 时，（1）n x x a x a x x x x x x x x x e x x x x x n x x ≈ -+≈-≈-+≈-≈---+≈-≈+≈≈≈≈111112 1 16111112 3 ln )(cos sin )ln(arctan tan sin αα ● 当0→)x (?时，)x (sin ?∽)x (?，11-+n )x (?∽ n ) x (?∽∽ ● 【 B 】 4. 利用单调有界准则求极限 设数列{}n x 满足n n x sin x ,x =<<+110π。证明：极限n n x lim ∞→存在，计算1 1n x n n n x x lim ??? ? ??+∞→ ● 利用单调有界准则球数列或者函数极限的步骤：1。证明数列或函数单调；2。证明 数列或函数是有界；3。等式取极限求出极限。 ● 定理单调有界数列必有极限还可以叙述为单调递减有下界数列必有极限，或单调递 增有上界数列必有极限。 ● 61 1 2 -→=?? ? ??e x x sin lim x x ● 【 0；6 1- e 】 5. 判断函数连续与否以及利用函数的连续性解题 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： (A) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →-- 存在，则(0)f '存 在 【 】 ● 若()()00 x f x f lim x x =→，则称函数()x f 在点0x 处连续。 ● 左连续右连续则连续。 ● 分段函数的分段点不一定是函数的间断点。 ● 判断函数在某点是否连续的步骤：求函数在该点的极限；求函数在该点的函数值；判断 二者是否相等，相等则连续，否则间断。 6．导数的定义式相关题目 设函数 ()x f 在 x=0某领域内有一阶连续导数，且 ()()0 000≠'≠f ,f 。若 ()()()02f h bf h af -+在0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定a, b. ● 函数在某一点导数的定义： ()()()x x f x x f lim x y lim x f x x ??????000 00-+=='→→ ()()()()()0 0000 00 x x x f x f lim h x f h x f lim x f x x h --=-+='→→ 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理 第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0 )(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 000 ()() ()lim x x f x f x f x x x →-'=- 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + ++→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - --→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 第八章 多元函数微分法及其应用 一、多元函数的基本概念 1、平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概念 2、多元函数的极限 ? 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y A →=（或0 lim (,)P P f x y A →=）的εδ-定义 ? 掌握判定多元函数极限不存在的方法： （1）令(,)P x y 沿y kx =趋向00(,)P x y ，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在； （2）找两种不同趋近方式，若 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在，但两者不相等， 此时也可断言极限不存在。 ? 多元函数的极限的运算法则（包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等）与一元类似： 例1．用εδ-定义证明 2222 (,)(0,0) 1 lim ()sin 0x y x y x y →+=+ 例2（03年期末考试 三、1，5分）当0,0→→x y 时，函数22 2 222 ()+++-x y x y x y 的极限是否存在？证明你的结论。 例3 设22 2222,0 (,)0,0xy x y x y f x y x y ?+≠?+=??+=? ，讨论(,)(0,0) lim (,)x y f x y →是否存在？ 例4（07年期末考试 一、2，3分）设222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y ，讨论 (,)(0,0) lim (,)→x y f x y 是否存在？ 例5．求222 (,)(0,0)sin() lim x y x y x y →+ 3、多元函数的连续性0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →? = ? 一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。 ? 在定义区域内的连续点求极限可用“代入法” 例1． 讨论函数3322 22 22,0(,)0,0x y x y x y f x y x y ?++≠?+=??+=? 在（0，0）处的连续性。 例2． （06年期末考试 十一，4分）试证222 24 22,0(,)0,0?+≠?+=??+=? xy x y x y f x y x y 在 点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。 例3．求 (,)(1,2)lim x y x y xy →+ 例4 ．(,)(0,0)lim x y → 4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理 二、多元函数的偏导数 1、 二元函数(,)z f x y =关于,x y 的一阶偏导数的定义（二元以上类似定义） 如果极限00000 (,)(,) lim x f x x y f x y x ?→+?-?存在，则有 00 000 0000000 (,)(,) (,)lim x x x x x y y x x x x y y y y f x x y f x y z f z f x y x x x =?→=====+?-??= ===??? （相当于把y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。） 数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义(数三经济意义) 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数(数三不要求)的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径(数三不要求) 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义(数三经济意义)，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数(数三不要求)以及反函数的导数。 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理(数三了解)，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理。 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。(数三不要求) 【常考题型】 1.导数概念; 2.求给定函数的导数或微分(包括高阶导数)隐函数和由参数方程确定的函数求导; 3.函数的单调性和极值; 4.曲线的凹凸性与拐点; 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数; 6.利用洛必达法则求极限; 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。 `第八章 多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理 解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必 要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1. 二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈o I 时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这一点 致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时， ()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的 第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤ 一元函数微分学练习题答案 一、计算下列极限： 1．93 25 235lim 222-=-+=-+→x x x 2．01)3(3)3(13lim 2 2223=+-=+-→x x x 3．x x x 11lim --→) 11(lim )11()11)(11(lim 00+--=+-+---=→→x x x x x x x x x 21 1 011 1 11lim -=+--= +--=→x x 4．0111 111lim )1)(1()1(lim 112lim 1212 21=--+-=-+=-++=-++-→-→-→x x x x x x x x x x x 5．21 )23()124(lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x x x 6．x t x t x t x x t x t x t x t t t 2)2(lim ) )((lim )(lim 00220-=--=--+-=--→→→ 7．0001001311 1lim 13lim 4 2322 42=+-+=+-+ =+-+∞ →∞→x x x x x x x x x x 8．943)3(2) 13()31()12(lim )13()31()12(lim 10 82108 210 108822=-?=---=---=∞→∞→x x x x x x x x x x x 原式 9．2)211(lim 22 11)211(1lim )21...41211(lim =-=-- =++++∞→∞→∞→n n n n n n 10．21 2lim 02tan lim 3sin lim )2tan 3sin (lim 0000=+=+=+ →→→→x x x x x x x x x x x x x x 11．01 sin lim 20=→x x x （无穷小的性质） 第8章 多元函数微分学及其应用 参考解答 1、设22 , y f x y x y x ??+=- ??? ，求(),f x y ，(),f x y xy -。 解：()()()()2 21, 1y y x y x f x y x y x y x y x y y x x y x - -??+=+-=+=+ ?+? ? + ，故得 ()2 1,1y f x y x y -=+，()()21,1xy f x y xy x y xy --=-+ 2、求下列各极限： 2242222 2220000 cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2 sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。 ()00sin sin (2) lim lim 1x t y a xy t xy t →→→== 3、证明极限2 2400 lim x y xy x y →→+不存在。 证明：当2 y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故2 22420 lim 1y kx x xy k x y k =→=++与k 有关。可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法） 4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性： （1）()()()222222 22 ln , 0 ,0, 0 x y x y x y f x y x y ?+++≠?=?+=?? 解： ()() ()()() ()()()2 222,0,0,0,0 lim ,lim ln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→= ++=== 故原函数在()0,0点处连续。 多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） `第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。 第二章一元函数微分学 导数的概念 定义设函数y=f(x)在点x 0的某一邻域内有定义，若自变量x 在点X 。处的改变 量为△ x(x 0+Ax 仍在该邻域内).函数y 二f(x)相应地有改变量△『= f(xo+Z\x)?f(xo),若果极限 点Xo 处的导数，记作 ____ 或 _________ f '(Xo),即f(x 0)= ___________________ . 此时称函数y 二f(x)在点Xo 处可导.如果上述极限不存在，则称函数y 二f(x)在点 X 。处不可导. 下面是两种等价形式： f'(Xo)= __________________ = ___________________ ? 当 Xo =0,W: r (0)= _____________ , 如果y 二f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导, 由于对于(a,b)内每一点x,都对应一个导数值F(x),因此又称此F(x)为函数f(x) 在(a,b)内的 __简称为 _____ ，记作 __ 或一—. f(x)在点x 0的导数f'(xo)可以看做是导数f'(x)在点x=x 0处的函数值，即 f(x 0)= ? 注意：f'(xo)工［f(x°)y ■.? /(兀0 +山)一/(旺) 如果y=f(x)在点X 。及其左侧邻域内有定义，当hm —T — 存在时，则称该极值为f(x)在点X 。处的 ______ 记为—.同理，定义右导数 性质 函数y=f(x)在点x 0处可导 ________ 左导数与右导数常用于判定分段函数在其分段点处的导数. 导数的几何意义 如果函数y 二f(x)在点X 。处的导数F(x°)存在，则在几何上表明曲线尸f(x)在点 (xo, f(x 0))处存在切线,且切线斜率为_? 可导函数与连续性的关系 函数y 二f(x)在点xo 处可导，是函数y 二f(x)在点xo 处连续的 _______ 条件. 如u 二u(x),v=v(x)都在x 处可导，由导数的定义可以推得u±v 在x 处也可导，且 (u±vf= ________ (导数的和差运算公式). 导数的运算 3.1基本初等函数的导数公式 c'=_(c 为常数)(兀")‘二 ________ ( n G R) (a x y= ________________ (e x y = _________ (logx) = ------------------------------ (In xY = ____________ (sin x)f = _________ (cos xY = ______________ (tan x)z = _____________ (cot x)f = _________ (arcsin x)f - ____________ (arccos x)z = ____________ 存在,则称此极限值为函数沪f(x)在 2. 第一章 函数与极限 1. 函数 会求函数的定义域，对应法则； 几种特殊的函数（复合函数、初等函数等）； 函数的几种特性（有界性、单调性、周期性、奇偶性） 2. 极限 （1）概念 无穷小与无穷大的概念及性质； 无穷小的比较方法；（高阶、低阶、同阶、等价） 函数的连续与间断点的判断 （2）计算 函数的极限计算方法（对照极限计算例题，熟悉每个方法的应用条件） 极限的四则运算法则 利用无穷小与无穷大互为倒数的关系； 利用无穷小与有界函数的乘积仍为无穷小的性质； 消去零因子法； 无穷小因子分出法； 根式转移法； 利用左右极限求分段函数极限； 利用等价无穷小代换（熟记常用的等价无穷小）； 利用连续函数的性质； 洛必达法则（掌握洛必达法则的应用条件及方法）； ∞∞或00型，) ()(lim )()(lim x g x f x g x f ''= 两个重要极限（理解两个重要极限的特点）；1sin lim 0=→x x x ，1)()(sin lim 0)(=??→?x x x e x x x =+→10)1(lim ，e x x x =+∞→)11(lim ， 一般地，0)(lim =?x ，∞=ψ)(lim x ，)()(lim )())(1lim(x x x e x ψ?ψ=?+ 3 函数的连续 连续性的判断、间断点及其分类 第二章 导数与微分 1 导数 （1）导数的概念：增量比的极限；导数定义式的多样性，会据此求一些函数的极限。 导数的几何意义：曲线上某点的切线的斜率 （2）导数的计算： 基本初等函数求导公式； 导数的四则运算法则；（注意函数积、商的求导法则） 复合函数求导法则（注意复合函数一层层的复合结构，不能漏层） 隐函数求导法则（a ：两边对x 求导，注意y 是x 的函数；b ：两边同时求微分；） 高阶导数 2 微分 函数微分的定义，dx x f dy x x )(00'== 第三章 导数的应用 洛必达法则（函数极限的计算） 函数的单调性与极值，最值、凹凸性与拐点的求法 多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020 第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22 24 第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分 （甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义 设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则 称函数)(x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x →-'= - 我们也引进单侧导数概念。 右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=- 《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,. 考研数学一元函数微分学复习指导 来源：文都教育 一元函数微分学在微积分中占有极重要的位置，导数和微分是微分学两个基本概念，是研究函数局部性态的基础，微分中值定理建立了函数和导数之间的关系。为了便于大家复习，文都考研数学教研室老师帮大家梳理了本章的知识点和常考题型。 【大纲内容】 导数和微分的概念 导数的几何意义和物理意义（数三经济意义） 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线和法线 导数和微分的四则运算基本初等函数的导数 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数（数三不要求）的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值和最小值 弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径（数三不要求） 【大纲要求】 1.理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义（数三经济意义），会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系. 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分. 3.了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数. 4.会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数（数三不要求）以及反函数的导数. 5.理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理（数三了解），了解并会用柯西(Cauchy)中值定理. 6.掌握用洛必达法则求未定式极限的方法. 7.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用. 8.会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间(),a b 内，设函数 () f x 具有二阶导数。当 () ''0 f x> 时， () f x 的图形是凹的;当 () ''0 f x< 时， () f x 的图形是凸的)，会求函数图形的拐点以及水平、 铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形. 9.了解曲率、曲率圆与曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径.（数三不要求） 【常考题型】 1.导数概念； 2.求给定函数的导数或微分（包括高阶导数）隐函数和由参数方程确定的函数求导； 3.函数的单调性和极值； 4.曲线的凹凸性与拐点； 5.利用微分中值定理证明有关命题和不等式或讨论方程在给定区间内的根的个数； 6.利用洛必达法则求极限； 7.几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用题。解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间。 第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 §1 可微性 一．可微性与全微分： 可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 1． 时 例1 考查函数 在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1. 3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . . 求偏导数. 例5 . 求偏导数. 例6 . 求偏导数, 并求. 例7 . 求和. 例8 , 解= . = 例9 证明函数 在点连续, 并求和. 证 连续 . . 在点 , 不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微, 和 存在, 且 . ( 证) 由于 , 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件, 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件: 的偏导数在的某邻域内存在, 且和在 Th 2 若函数 点 Th 3 若 则函数在点 . 即 在点可微 . 例11 在点可微, 但和在点处不连续 . (简 验证函数 证,留为作业) 证 因此, 即, 可微, . 但时, 有 在点 , 不存在, 沿方向极限 沿方向 时, 不存在; 又 处不连续. ,因此, 不存在, 在点 由 四.中值定理: 在点的某邻域内存在偏导数 . 若属于 Th 4 设函数 该邻域, 则存在 . ( 证) 设在区域D内. 证明在D内. 例12 五.连续、偏导数存在及可微之间的关系： 六.可微性的几何意义与应用：一元函数微分学教案
一元函数微分学典型例题
多元函数微分学知识点梳理
一元函数微分学习题
第二章 一元函数微分学
多元函数微分学及其应用归纳总结
数学考研：一元函数微分学的知识点和常考题型
多元函数微分学总结
一元函数微分学综合练习题 (1)
一元函数微分学练习题(答案)
多元函数微分学及其应用
多元函数微分学总结
第二章-一元函数微分学.docx
一元函数微分学知识点
多元函数微分学复习题及答案
高等数学讲义-- 一元函数微分学
《高等数学》(上)一元函数微分学复习题
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数学分析之多元函数微分学
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