三角恒等变换所有公式
两角和与差的三角函数：
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ
sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ
sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)
二倍角公式：
sin(2α)=2sinα·cosα
cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]
三倍角公式：
sin3α=3sinα-4sin^3(α)
cos3α=4cos^3(α)-3cosα
半角公式：
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2
cos^2(α/2)=(1+cosα)/2
tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)
tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
万能公式：
半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）
sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]
cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]
tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]
积化和差公式：
sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]
cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]
cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]
sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]
和差化积公式：
sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]
cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
三角函数 cos (a+ B)=CoS a'-cos B - sin a - sin B cos (a-B)=cos a-cos B + sin a - sin B sin (a+ B)=S in a'-cos B cos a - sin B sin (a-B)=sin a-cos B - cos ,a?sin B tan (a+ B)=(ta n a+ta n B)/ (1-tan a - tan B) tan (a-B)=(ta n a-ta n B)/ (1+ta n a - tan B) 二 倍 角 sin (2a) =2sin a - cos a =2tan (a) /[1-ta门(a)] cos (2 a) =cosA2 (a) -si 门八2 (a) =2cosA2 (a)-1=1-2si nA2 (a)=[1-ta 门 八(a)]/[1+tanA2 (a)] tan (2a) =2tan a /[1 -ta门八2 (a)] 三倍角 sin3 a =3sin a -4sinW (a) C0S3 a =4COS A3 (a) - 3C0S a tan3 a = (3tan a -ta门八3 (a))*( 1-3ta门八2 (a)) sin3 a =4sin aX sin ( 60- a) sin (60+a) C0S3 a =4cos aX COS ( 60- a) C0s ( 60+a) tan3 a =tan aX tan ( 60- a) tan (60+a) 半角公式 sin A2 (a /2 )= (1-cos a) /2 cosA2 (a /2 )= (1+cos a) /2 tan A2 (a /2 )= (1-CoS a) / ( 1+cos a) tan ( a /2 ) =sin a / ( 1+cos a) = ( 1- CoS a) /si n a 半角变形 sinA2 (a /2 ) = (1-cos a) /2 sin(a/2 ) =V[ (1-cos a) /2] a/2 在一、二象限 =-V[ (1-cos a) /2] a/2 在三、四象限 C0SA2 (a /2 ) = (1+cos a) /2 cos(a/2 ) =V[ (1+cos a) /2] a/2 在一、四象限 =-V[ (1+cos a) /2] a/2 在二、三象限 tan A2 (a 12 ) = ( 1-COS a) / ( 1+COS a) tan (a /2 ) =S in a / ( 1+COS a) =( 1- COS a) /si n a =V[ ( 1-COS a) / ( 1+COS a)] a/2在一、三象限 =-V [ ( 1- COS a) / ( 1+COS a) ] a/2 在二、四象限
三角恒等变换---完整版 三角函数------三角恒等变换公式： 考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用
（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子 1、（二倍角公式）（2007文）下列各式中，值为 3 2 的是（ ） A ．2sin15cos15 B ．2 2 cos 15sin 15- C ．2 2sin 151- D ．22 sin 15cos 15+ 2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考)(sin 75sin15)(cos15cos 75)-+的值是 A.1 B. 1 2 C. 22 D. 32 3、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考) 84cos 54sin 6cos 36sin -等于 A ．－1 2 B ．12 C ．－ 32 D ． 32 4.（两角和差公式）下列各式中值为的是（）. A ． s in45°cos15°+cos45°sin15° B ． sin45°cos15°﹣cos45°sin15° C ． cos75°cos30°+sin75°sin30° D ． 5、（拆角+两角和差公式）（一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式=- 5 cos 5sin 355cos 2（） A ． 2 3 B ．1 C ．2 D ．3 6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（ ） A ． 14 B ．18 C ．116 D ．1 32 常见变式：计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的＝__. 7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为()A.1 2 B. 32C.3 4 D ．1 8．（诱导公式）【2015高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于 B A ．－ 12 B. 12 C 33 9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考，理12】=+ 75sin 15sin .. 10、（逆向套用公式）tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°的值是________．
三角恒等变换公式 1.两角和与差的三角函数 和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)= β αβαtan tan 1tan tan ± 倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α=αα2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2βα+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2 βα- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2 βα- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2βα- 3.万能公式与半角公式 万能公式：
sin α=2tan 12tan 22 αα+ cos α=2tan 12tan 12 2 αα+- tan α=2tan 12tan 22 αα- 半角公式： sin 2 cos 12αα -±= cos 2 cos 12αα+±= tan ααα cos 1cos 12+-± ==ααsin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 2 2cos 12αα+= sin 22cos 12αα-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2
函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1. B A = {|,}x x A x B ∈∈或 ;B A = {|,}x x A x B ∈∈且; {|,}U C A x x U x U =∈?且 2、 当n 为奇数时， a a n n =；当n 为偶数时，a a n n =. 3、 ⑴m n m n a a =()1,,,0*>∈>m N n m a ； ⑵()01 >= -n a a n n ； 4、 运算性质： ⑴()Q s r a a a a s r s r ∈>=+,,0；⑵()()Q s r a a a rs s r ∈>=,,0；⑶()()Q r b a b a ab r r r ∈>>=,0,0. 5、指数函数解析式：()1,0≠>=a a a y x 6、指数函数性质： 7、指数与对数互化式：log x a a N x N =?=； 8、对数恒等式：log a N a N = 9、基本性质：01log =a ，1log =a a . 10、运算性质：当0,0,1,0>>≠>N M a a 时： ⑴()N M MN a a a log log log +=；⑵N M N M a a a log log log -=?? ? ??；⑶M n M a n a log log =. 11、换底公式：a b b c c a log log log = ()0,1,0,1,0>≠>≠>b c c a a . 12、重要公式：log log n m a a m b b n = 13、倒数关系：a b b a log 1 log = ()1,0,1,0≠>≠>b b a a .
三角恒等变换公式 教学目标： 1、掌握二倍角公式、和差公式的应用； 2、掌握拼凑法在求解角度三角函数值的应用。 重难点分析： 重点：1、和差公式、二倍角公式的记忆； 2、公式变换与求解三角函数值。 难点：1、二倍角公式的灵活使用； 2、整体代换思想与求解三角函数值。 知识点梳理 1、和差公式 sin()__________________±=αβcos()________________±=αβtan()___________ ±=αβ。 2、二倍角公式 sin 2_______________α=； cos 2___________________________________α===； tan 2____________α=。 3、半角公式[升（降）幂公式] 2sin ____________α=、2cos _________α=、sin cos _________αα=。 4、合一公式[辅助角公式] sin cos ____________a b αα+=（?由,a b 具体的值确定）； )sin(cos sin 22?ααα++= +b a b a )sin ,(cos 2 2 2 2 b a a b a b += += ?? 注意：公式中的α是角度代表，可以是α2、2 α 等。
知识点1：利用公式求值 （1）和差公式 【例1】cos79°cos34°＋sin79°sin34°＝【 】 A ．2 1 B ．1 C ． 2 2 D ． 2 3 【例2】sin 27cos63cos27sin63??+??=【 】 A ．1 B ．1- C ． 22 D ．2 2- 【随堂练习】 1、sin15°cos75°＋cos15°sin75°等于【 】 A ．0 B ． 2 1 C ． 2 3 D ．1 2、cos12°cos18°－sin12°sin18°＝【 】 (A )2 1- (B )2 3- (C )2 1- (D ) 2 3 3、sin70°sin25°＋cos70°cos25°=________。 4、sin34sin 26cos34cos26??-??=【 】 A ．12 B ．1 2 - C ．32 D ．32- 5、式子cos cos sin sin 12 6 12 6 π π π π -的值为【 】
简单三角恒等变换复习、公式体系
(1) sin( ) sin cos cos sin sin cos cos sin sin( ) (2) cos( )cos cos sin sin cos cos sin sin cos( ) (3) tan( tan tan 去分母得 tan tan i tan( )(1 tan tan ) 1 tan tan tan tan tan( )(1 tan tan 、倍角公式的推导及其变形： (1) sin 2 sin( ) sin cos cos sin 2 sin cos sin 1 . cos — sin 2 2 2 1 sin 2 (sin cos (2) cos 2 cos( ) cos cos sin sin cos 2 sin 2 cos 2 cos 2 sin 2 (cos sin )(cos sin ) cos 2 2 ? 2 cos 厶 sin 2 2 COS (1 cos ) 把1移项得 1 cos2 2 cos 2 或 -4- GQS -2- c 2 cos 2 1 2 【因为 是-的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 2 cos 2 一 1 或 1 cos 2 cos 2 或 - 1 cos — cos 2 2 2 2 2 因为4 是2的两倍，所以公式也可以写成 cos 4 2 cos 2 2 1 或 1 2 Once 厶 或 nee? O 1 2 cos 2 2 2 cos sin (1 sin 2 ) sin 2 把1移项得1 cos 2 2s in 2 或 -4- 1 2sin 2 2 【因为 是—的两倍，所以公式也可以写成 2 cos 1 2 sin 2— 或 1 cos 2 sin 2 或 4 ---- eos- sin 2 2 2 2 2 因为4 是2 的两倍，所以公式也可以写成 2 1、和差公式及其变形: 2 ) ) 2 sin 2
WOIRD格式 三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] 专业资料整理
三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 二倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] 三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα 半角公式： sin^2(α/2)=(1-cosα)/2 cos^2(α/2)=(1+cosα)/2 tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] 积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] 和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]
函数、三角函数、三角恒等变换重要公式 1、 B A = {|,}x x A x B 或 ;B A = {|,}x x A x B 且; {|,}U C A x x U x U 且 2、 当n 为奇数时, a a n n ;当n 为偶数时,a a n n 、 3、 ⑴m n m n a a 1,,,0* m N n m a ; ⑵ 01 n a a n n ; 4、 运算性质: ⑴ Q s r a a a a s r s r ,,0;⑵ Q s r a a a rs s r ,,0;⑶ Q r b a b a ab r r r ,0,0、 5、指数函数解析式: 1,0 a a a y x 6、指数函数性质: 7、指数与对数互化式:log x a a N x N ; 8、对数恒等式:log a N a N 9、基本性质:01log a ,1log a a 、 10、运算性质:当0,0,1,0 N M a a 时: ⑴ N M MN a a a log log log ;⑵ N M N M a a a log log log ;⑶M n M a n a log log 、 11、换底公式:a b b c c a log log log 0,1,0,1,0 b c c a a 、 12、重要公式:log log n m a a m b b n 13、倒数关系:a b b a log 1 log 1,0,1,0 b b a a 、
14、对数函数解析式: 1,0log a a x y a 15、对数函数性质: 16、几种幂函数的图象: 17、 与角 终边相同的角的集合: Z k k ,2 、 18、弧长公式:l R 、( 为弧度制下角) 19、扇形面积公式:211 =||22 S lR R 、 20、 设 就是一个任意角, 设点 ,P x y 为角 终边上任意一点,那么: sin y r ,cos x r ,tan y x , (设22r x y sin , cos , tan 在四个象限的符号与三角函数线的画法、 21 、 正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 22 、 特 殊 角 0°,30°,45°,60°,90°,180°,270等的三角函数值、 6 4 3 2 23 34 32 2 sin 1 a 10 a 图 象 2.5 1.5 0.5-0.5 -1-1.5 -2 -2.5 -1 11 2.51.5 0.5 -0.5 -1 -1.5 -2 -2.5 -1 1 1 性 质 (1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0 (4)在 (0,+∞)上就是增函数 (4)在(0,+∞)上就是减函数 (5)0log ,1 x x a ; 0log ,10 x x a (5)0log ,1 x x a ; 0log ,10 x x a T M A O P x y
三角恒等变换公式 一、 两角和、差的三角函数公式 （1）cos （α－β）＝cos αcos β＋sin αsin β ……………………………………………………① cos （α＋β）＝cos αcos β－sin αsin β ……………………………………………………② （2）sin （α＋β）＝sin αcos β＋cos αsin β ……………………………………………………③ sin （α－β）＝sin αcos β－cos αsin β ……………………………………………………④ （3）tan （α＋β）＝ tan tan 1tan tan αβ αβ ＋－ …………………………………………………………⑤ tan （α－β）＝ tan tan 1tan tan αβ αβ －＋ …………………………………………………………⑥ 二、 二倍角公式 （1）cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α ……………………………………………………………………⑦ （2）sin 2α＝2sin αcos α …………………………………………………………………………⑧ （3）tan 2α＝ 22tan 1tan α α － ………………………………………………………………………⑨ 变式： 公式⑦变式： cos 2α＝cos 2 α－sin 2 α＝1－2sin 2 α ……………………………⑩ ＝2cos 2 α－1 ……………………………○11 公式⑩变式： cos 2α＝1－2sin 2 α 2sin 2 α＝1－cos 2α sin 2 α＝ 1cos 22 α －. ○12 公式○11变式： cos 2α＝2cos 2 α－1 2cos 2 α＝cos 2α＋1 cos 2 α＝ cos 21 2 α＋. ○13 三、正弦、余弦定理 解斜三角形 1．三角形基本公式： （1）内角和定理：A+B+C=180°，sin(A+B)=sinC, cos(A+B)= -cosC, cos 2C =sin 2B A +, sin 2 C =cos 2B A +
【最新整理，下载后即可编辑】 三角函数 cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin（α+β）=sinα·cosβ+cosα·sinβ sin（α-β）=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan（α+β）=(tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ） tan（α-β）=(tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ） 二倍角 sin（2α）=2sinα·cosα=2tan（α）/[1-tan^2（α）] cos（2α）=cos^2（α）-sin^2（α）=2cos^2（α）-1=1-2sin^2（α）=[1-tan^2（α）]/[1+tan^2（α）] tan（2α）=2tanα/[1-tan^2（α）] 三倍角 sin3α=3sinα-4sin^3（α） cos3α=4cos^3（α）-3cosα tan3α=（3tanα-tan^3（α））÷（1-3tan^2（α）） sin3α=4sinα×sin（60-α）sin（60+α） cos3α=4cosα×cos（60-α）cos（60+α) tan3α=tanα×tan（60-α）tan（60+α） 半角公式 sin^2（α/2）=（1-cosα）/2 cos^2（α/2）=（1+cosα）/2 tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα） tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα 半角变形
sin^2（α/2）=（1-cosα）/2 sin(a/2）=√[（1-cosα）/2] a/2在一、二象限 =-√[（1-cosα）/2] a/2在三、四象限 cos^2（α/2）=（1+cosα）/2 cos(a/2）=√[（1+cosα）/2] a/2在一、四象限 =-√[（1+cosα）/2] a/2在二、三象限 tan^2（α/2）=（1-cosα）/（1+cosα） tan（α/2）=sinα/（1+cosα）=（1-cosα）/sinα=√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在一、三象限 =-√[（1-cosα）/（1+cosα）] a/2在二、四象限 恒等变形 tan(a+π/4）=(tana+1）/（1-tana) tan(a-π/4）=(tana-1）/（1+tana) asin x+bcosx=[√（a^2+b^2）]{[a/√（a^2+b^2）]sinx+[b/√ （a^2+b^2）]cosx}=[√（a^2+b^2）]sin(x+y)（辅助角公式）tan y=b/a 万能代换 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sinα=2tan（α/2）/[1+tan^2（α/2）] cosα=[1-tan（α/2）]/[1+tan^2（α/2）] tanα=2tan（α/2）/[1-tan^2（α/2）] 积和化差 sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）] cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）] cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）] sinα·sinβ= -（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]（注：留意最前面是负号）
三角恒等变换(难) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角恒等变换 一、基本内容 1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=; tan tan tan()1tan tan αβαβαβ ±±= 对正切的和角公式有其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan ααα =-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， 2 2cos 1sin ,22cos 1cos 22α-=αα+=α 这两个形式常用。 3．简单的三角恒等变换 （1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。 （2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。 （3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。 二、考点阐述 考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 1、sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ） A.14122、若tan 3α=，4tan 3 β=，则tan()αβ-等于（ ） A.3- B.3 C.13 - D.13 考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式 3、cos 5πcos 52π的值等于（ ）
辅助角公式sin cos )a b θθθ?+=+ 在三角函数中，有一种常见而重要的题型，即化sin cos a b θ θ+为一个角 的一个三角函数的形式，进而求原函数的周期、值域、单调区间等.为了帮助学生记忆和掌握这种题型的解答方法,教师们总结出公式 sin cos a b θθ+ )θ?+或sin cos a b θθ+ cos()θ?-,让学生在大量的训练和考试中加以记忆和活用.但事与愿违,半个 学期不到,大部分学生都忘了,教师不得不重推一遍.到了高三一轮复习,再次忘记,教师还得重推!本文旨在通过辅助角公式的另一种自然的推导,体现一种解决问题的过程与方法,减轻学生的记忆负担;同时说明“辅助角”的范围和常见的取角方法,帮助学生澄清一些认识;另外通过例子说明辅助角公式的灵活应用,优化解题过程与方法;最后通过例子说明辅助公式在实际中的应用,让学生把握辅助角与原生角的范围关系,以更好地掌握和使用公式. 一.教学中常见的的推导方法 教学中常见的推导过程与方法如下 1.引例 例1 α+cos α=2sin （α+ 6π）=2cos （α-3 π）. 其证法是从右往左展开证明,也可以从左往右“凑”,使等式得到证明,并得出 结论: 可见 α+cos α可以化为一个角的三角函数形式. 一般地,asin θ+bcos θ 是否可以化为一个角的三角函数形式呢? 2.辅助角公式的推导 例2 化sin cos a b θ θ+为一个角的一个三角函数的形式. 解: asin θ+bcos θ sin θ cos θ), ① =cos ? =sin ?, 则asin θ+bcos θ θcos ?+cos θsin ?) θ+?),(其中tan ?= b a )
简单的三角恒等变换公式记忆资料 班级： 姓名： 一．化简： 1. 00003sin 33sin 3cos 33cos += 。 2. 000027sin 33sin 27cos 33cos -= 。 3. 000046cos 16sin 44cos 16cos -= 。 4. 00003sin 33cos 3cos 33sin -= 。 5. 000027sin 33cos 27cos 33sin += 。 6. 000087cos 57cos 3cos 33cos += 。 7. 000045tan 60tan 145tan 60tan +-= 。 8. 0015 tan 115tan 1+-= 。 9. 000017tan 43tan 317tan 43tan ++= 。 10. 005.22cos 5.22sin = 。11. 020215sin 15cos -= 。 12. 0215sin 21-= 。 13. 0275cos 21-= 。 14. 0215sin = ， 0215cos = 。 15.)2,4(,2sin 12sin 1π πθθθ∈-++= 。 16. θ2cos 1+= 。 17. )23, (,2cos 1ππθθ∈-= 。 18.02023 tan 123tan -= 。 二．求值： .1. 015sin = 。 2. 0105cos = 。 3. 015tan = 。
4. 若=+=+)cos(,53sin cos cos sin ?θ?θ?θ?θ都为锐角，则与 。 5. 0215sin = 。 6. 12cos 12sin π π = 。 7. 00080cos 40cos 20cos = 。 (提示：用θθθcos sin 22sin =) 8. 040415sin 15cos -= 。 三．将下列各式化简为B x A y B x A y ++=++=)cos()sin(?ω?ω或的形式： 特点：“三个一”，即：一个角；一次；一个名称。 1.x x y cos 23sin 21+ = 2. x x y cos 3sin += 3.x x y cos sin += 4.)4cos()4cos(ππ--+=x x y 5.)4(sin )4(sin 22π π--+=x x y 6.x x x y sin )cos (sin -= 7.13cos 3sin 23sin 22++=x x x y 8.2cos )6sin()6sin(++-++=x x x y ππ
两角和与差 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α+β)=sinα·cosβ+cosα·sinβsin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 倍角公式 sin2α=2sinα·cosα=2tanα/(1+tan2α) cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α=(1-tan2α)/(1+tan2α) tan2α=2tanα/(1-tan2α) sin2(α/2)=(1-cosα)/2 cos2(α/2)=(1+cosα)/2 tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 诱导公式 sin(π+α)=-sinαcos(π+α)=-cosαtan(π+α)=tanαcot(π+α)=cotαsin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα sin(π-α)=sinαcos(π-α)=-cosαtan(π-α)=-tanαcot(π-α)=-cotαsin(α-π)=-sinαcos(α-π)=-cosαtan(α-π)=tanαcot(α-π)=cotαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα积化和差 sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] sinα·sinβ= -(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)*cos(α+β)+cos(α-β)+ 和差化积 降幂公式 求导公式 C'=0(C为常数）(Xn)'=nX(n-1） (n∈Q）(sinX)'=cosX (cosX)'=-sinX (tanX)'=1/(cosX)2=(secX)2 (cotX)'=-1/(sinX)2=-(cscX)2 (secX)'=tanXsecX (cscX)'=-cscXcotX (eX)'=eX (aX)'=aXIna（ln为自然对数）(logaX)'=（1/X)logae=1/(Xlna) (a>0，且a≠1)(lnx)'=1/x
.. 三角恒等变换所有公式 两角和与差的三角函数： cos( α+β)=cos α·cosβ-sin α·sin β cos( α- β)=cos α·cosβ+sin α·sin β sin( α+β)=sin α·cosβ+cosα·sin β sin( α- β)=sin α·cosβ-cos α·sin β tan( α+β)=(tan α+tan β)/(1-tan α·t an β) tan( α- β)=(tan α-tan β)/(1+tan α·t an β) 二倍角公式： sin(2 α)=2sin α·cosα cos(2 α)=cos^2( α)-sin^2( α)=2cos^2( α)-1=1-2sin^2( α) tan(2 α)=2tan α/[1-tan^2( α)] 三倍角公式： sin3 α=3sin α-4sin^3( α) cos3α=4cos^3( α)-3cos α 半角公式： sin^2( α/2)=(1-cos α)/2 cos^2( α/2)=(1+cos α)/2 tan^2( α/2)=(1-cos α)/(1+cos α) tan( α/2)=sin α/(1+cos α)=(1-cos α)/sin α 万能公式： 半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） sin α=2tan( α/2)/[1+tan^2( α/2)] cosα=[1-tan^2( α/2)]/[1+tan^2( α/2)] tan α=2tan( α/2)/[1-tan^2( α/2)] 积化和差公式： sin α·cosβ=(1/2)[sin( α+β)+sin( α- β)] cosα·sin β=(1/2)[sin( α+β)-sin( α- β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos( α+β)+cos( α- β)] sin α·sin β=-(1/2)[cos( α+β)-cos( α- β)] 和差化积公式： sin α+sin β=2sin[( α+β)/2]cos[( α- β )/2] sin α -sin β=2cos[( α+β)/2]sin[( α- β )/2] cosα+cosβ=2cos[( α+β)/2]cos[( α- β )/2] cosα -cos β=-2sin[( α+β)/2]sin[( α- β)/2] ;.
简单三角恒等变换复习 一、公式体系 1、和差公式及其变形： （1）βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ? )sin(sin cos cos sin βαβαβα±=± （2）βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ? )cos(sin sin cos cos βαβαβα±= （3）β αβαβαtan tan 1tan tan )tan( ±=± ? 去分母得 )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα-+=+ )tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα+-=- 2、倍角公式的推导及其变形： （1）αααααααααcos sin 2sin cos cos sin )sin(2sin =+=+= ?ααα2sin 2 1cos sin = ?2)cos (sin 2sin 1ααα±=± （2）ααααααααα2 2sin cos sin sin cos cos )cos(2cos -=-=+= )sin )(cos sin (cos sin cos 2cos 22ααααααα-+=-=? 1 cos 2)cos 1(cos sin cos 2cos 22222-=--=-=?αααα αα?把1移项得αα2cos 22cos 1=+ 或 αα2cos 22cos 1=+ 【因为α是2 α的两倍，所以公式也可以写成 12cos 2cos 2-=αα 或 2cos 2cos 12αα=+ 或 2 cos 2cos 12αα=+ 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 12cos 24cos 2-=αα 或 αα2cos 24cos 12=+ 或 αα2cos 2 4cos 12=+】 α α αα αα22222sin 21sin )sin 1(sin cos 2cos -=--=-=? ?把1移项得αα2sin 22cos 1=- 或 αα2sin 22cos 1=- 【因为α是2 α的两倍，所以公式也可以写成 2sin 21cos 2αα-= 或 2sin 2cos 12αα=- 或 2 sin 2cos 12αα=- 因为α4是α2的两倍，所以公式也可以写成 αα2sin 214cos 2-= 或 αα2sin 24cos 12=- 或 αα2sin 2 4cos 12=-】
三角恒等变换的常用方法 肖新勇 解答三角函数问题，几乎都要通过恒等变换将复杂问题简单化，将隐性问题明朗化。三角恒等变换的公式很多，主要有“同角三角函数的基本关系”、“诱导公式”、“和、差、倍、半角公式”等，这些公式间一般都存在三种差异，如角的差异、函数名的差异和运算种类的差异，只有灵活有序地整合使用这些公式，消除差异、化异为同，才能得心应手地解决问题，这是三角问题的特点，也是三角问题“难得高分”的根本所在。本文从六个方面解读三角恒等变换的常用技巧。 一、 角变换 角变换的基本思想是，观察发现问题中出现的角之间的数量关系，把“未知角”分解成“已知角”的“和、差、倍、半角”，然后运用相应的公式求解。 例1 已知534cos =?? ? ??+πx ，4743ππ< 至善善教育培训学校 格物致知 止于至善 三角恒等变换公式 1.和（差）角公式： sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β tan(α±β)=β αβ αtan tan 1tan tan ± 二倍角公式： sin 2α =2sin αcos α cos2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1 - sin 2α tan2α= α α 2tan 1tan 2- 2.和差化积与积化和差公式 积化和差公式： 2sin αcos β=sin(α+β)+sin(α-β) 2cos αsin β= sin(α+β)-sin(α-β) 2cos αcos β= cos(α+β)+cos(α-β) -2sin αsin β=cos(α+β)-cos(α-β) 和差化积公式： sin α+ sin β=2sin 2β α+cos 2 β α- sin α- sin β=2cos 2βα+sin 2β α- cos α+ cos β=2cos 2βα+cos 2β α- cos α- cos β=-2sin 2βα+sin 2 β α- 3.万能公式与半角公式 万能公式： sin α= 2 tan 12tan 22α α + cos α= 2 tan 12tan 122 α α+- tan α= 2 tan 12tan 22 α α - 半角公式： sin 2cos 12 α α -± = cos 2 cos 12 α α +± = tan α αα cos 1cos 12 +-± ==αα sin cos 1-=ααcos 1sin + 其他： cos 22cos 12α α+= sin 2 2cos 12α α-= 1+cos2α=2cos α2 1-cos2α=2sin α2 辅助角公式 Asin α+Bcos α=22A B +sin[α+Φ] tan Φ= A B三角恒等变换公式
相关主题
文本预览