三角恒等变换---完整版
三角函数------三角恒等变换公式：
考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值 （4）角的整体代换 （5）弦切互化 （6）知一求二 （7）辅助角公式逆向应用
（1）熟悉公式特征：能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。”快速进行逻辑判断。注意构造两角和差因子 1、（二倍角公式）（2007文）下列各式中，值为
3
2
的是（ ） A ．2sin15cos15 B ．2
2
cos 15sin 15- C ．2
2sin 151- D ．22
sin 15cos 15+
2、（二倍角公式+平方差公式）(2008六校联考)(sin 75sin15)(cos15cos 75)-+的值是
A.1
B.
1
2
C.
22
D.
32
3、（两角和差公式+诱导公式）(2009四校联考) 84cos 54sin 6cos 36sin -等于
A ．－1
2
B ．12
C ．－
32
D ．
32
4.（两角和差公式）下列各式中值为的是（）.
A ． s in45°cos15°+cos45°sin15°
B ． sin45°cos15°﹣cos45°sin15°
C ． cos75°cos30°+sin75°sin30°
D ．
5、（拆角+两角和差公式）（一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式=-
5
cos 5sin 355cos 2（） A ．
2
3
B ．1
C ．2
D ．3
6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（ ） A ．
14 B ．18 C ．116 D ．1
32
常见变式：计算sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°的＝__.
7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sin α－sin β＝32，cos α－cos β＝12，则cos(α－β)的值为()A.1
2
B.
32C.3
4
D ．1 8．（诱导公式）【2015高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于 B A ．－
12 B. 12
C 33
9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考，理12】=+ 75sin 15sin .. 10、（逆向套用公式）tan 23°＋tan 37°＋3tan 23°tan 37°的值是________．
11．（特殊值化特殊角处理）化简1＋tan 105°
1－tan 105°的值为________
12. （特殊值化特殊角处理）1－tan 75°
1＋tan 75°
＝_______
13、(tan 45°＝tan(20°＋25°)+多项式展开)若α＝20°，β＝25°，则(1＋tan α)(1＋tan β)的值为_______ 14、（合理组合，多项式乘法展开）(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值为_______ 15、（逆向套用公式）tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°＝____.
答案：BDBCB CAB 9、6 10、3 11、－33 12、－3
3 13、2 14、3 15、1
（2）角的整体变换题：主要方法是拿题目给出的整体角加一加，或者减一减，观察是否互补、互余、或者是两角和差、倍角关系等，从而运用诱导公式、和差公式化简求值。
例如：22
α
α
=?
，1
[()()]2
α
αβαβ=++-， ()4
24
π
π
π
αα+=
--()βαβα=+-,)(αβαβ+-=??
?
??--??? ??-=+βαβαβα222 1、（角的整体相减）(2011期末)已知)4
tan(,41)4tan(,52)tan(π
απββα+=-=+则等于（ ） A ．1823 B ．223 C ．2213 D ．18
3
2、（两角互补）.【大学附中2014-2015年高三月考】若31)6sin(=+απ，则)3
cos(απ
-的值为（ ）
A ．12-
B ．12
C ．1
3
-D ．13
3.（诱导公式）【一中14年期末考试】如果31)sin(-
=-απ，那么
)2
3cos(απ
-的值为（ ）. 31.
A 31-.
B 322.
C 3
2
2-.D 4. （两角相减）【省外国语学校2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题】已知1
sin(75)2
α?+=，则cos(15)α?
-=( )
A.
32 B.32- C.12 D.1
2
-
5、（两角相加）.【2013-2014学年省市高一（下）期末数学试卷】若3)tan(=+βα，5)tan(=-βα，则
α2tan =（ ）
A ．7
4
B. 7
4
-
C.
2
1
D. 2
1-
6.（特殊角三角函数值）【省桐乡一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理14】已知1sin 3
α=
，cos()1αβ+=-，则sin(2)αβ+=..
7、（两角整体相减）【省泰兴市2015届高三（上）期中，理2】若π1sin +
123α=（），则7π
cos +12
α=（）_____． 8、（互余两角正余弦互换） 【中学2014－2015学年上期9月试题，理11】若
=+=
-)6
cos(,41)3
sin(
απ
απ
则_______. 9、（互补两角余弦互为相反数）33)6
cos(=
+θπ
，则=-)6
5
cos(θπ___________ 10.（两角整体相减）若54)6sin(=
+
π
x ，则=-)3
cos(π
x ．
11、（两角整体相减）【2015高一期末】若,135)6sin(-=+πα且),2(ππα∈，则=+)32sin(π
α ；
12.（两角整体相减）【2015高考，8】已知tan 2α=-，()1
tan 7αβ+=，则tan β的值为______
13、（两角整体相减）（市2014届高三上学期期末考试）已知20πα<<,=+)6
cos(πα53
,则=αcos
14、（两角相减）【2015浏阳高一期末】已知113cos ,cos(),07142
π
ααββα=-=
<<<且，则β=。
答案：BDACB 6、1
3
-7、1
3-
8、
9、-10、
11、13
12
-
12、3 13、43310+14、3π
（3）弦切互化：1）、分子分母同时除以cos α 2） 注意分母还原sin 2α+ cos 2α=1，然后分子分母同时除以
cos 2α，即可化为正切 3）注意期间学会使用解方程的思想 4）遇到部分A sinα + Bcos α 之类求正切的，
注意先两边平方后再进行相切互化
1.（诱导公式+同时除以cos α ）(2007一模文)已知2tan =θ，
=-----+)
sin()2sin(
)
cos()2
sin(θπθπ
θπθπ
(A)2 (B)－2 (C)0 (D)
3
2 2、（同角三角函数弦化切）(2013统考)已知α为锐角，sin α＝35，则tan (α－π
4)等于
A 、1
7
B 、7
C 、－1
7
D 、－7
3、（简单弦化切）（2011文3）若tan α=3，则2
sin 2cos a α的值等于
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
4. （分子分母同时除以cos α） (2012高考文4)若sin cos 1
sin cos 2
αααα+=-，则tan2α=
A. -
3
4
B. C. -D. 5、（分母还原1+同时除以cos 2）（2009卷文）已知，则
（A ）
（B ）
（C ）
（D ）
6. （分母还原1+同时除以cos 2）【实验中学2015届高三，理5】已知，则的值是（ ） A ． B ． C ． D ．
7.（移项后两边平方在弦切互化）(市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试7).已知，则（ ） A ． B ． C ．或0 D ．或0
8、（两边平方在弦切互化）【七中2015届数学阶段性测试，理8】已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．
9、（解方程组+同角三角函数的快速弦切互化）【2015高一期末】已知=（ ） A ．1
B ．2
C ．－2
D ．
10、（两边平方在弦切互化）（市2014届高三12月统考）已知2sin α＋cos α＝，则tan2α＝A A ． B ． C ．－ D ．－ 11、（两边平方在弦切互化）（省实验中学2014届高三上学期期中考试）已知，则等于（ ） A ． B ． C ． D ．1 12、（解方程组再弦切互化）【2015高一期末】若，则为 A 、5 B 、-1 C 、6 D 、
13、（分母还原1+同时除以cos 2）已知，则的值为
14、（二倍角+分母还原1+同时除以cos 2）若，是第三象限的角,则=_________．
答案：BCDBD ADBCA CA 13、 14、-2
（4）：结合完全平方公式和平方差公式的作用。 最经典的莫过于，，三者知一求二：
在不同的围三角函数值大小的比较（如下图），往往用于更加精确象限，常见于“知一求二”的符号问题。
本类题型要三个常见处理思想， 1）是两边平方。2）是是根据上图进行逻辑判断。3）对于两大公式和的顺向和逆向快速转换，要形成解题敏感点。
1.（两边平方）【2012高考文6】已知，(0，π)，则= (A) 1 (B) (C) (D) 1
2.（两边平方+象限定号）（2012全国卷）已知α为第二象限角，，则cos2α= (A) （B ） (C) (D)
3、（公式的快速展开+两边平方）（开滦二中2014届高三12月月考，文）已知，则的值为（ ） A ．－B ．C ．D ．
4、（公式的快速展开）（2013年高考课标Ⅱ卷（文6））已知，则 （A ）（B ）（C ）（D ）
5. （公式的快速展开+两边平方）（2011文7）设sin ，则 （A ）（B ）（C ）（D ）
6、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）(2013六校联考)已知等于（ ） A ． B ． C ． D ．
7、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）（2007理）若，则的值为（ ） Ａ． Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
8、（两边平方）【省名校2015届高三上学期期中数学，理3】已知sin2α＝－，α∈（－，0），则sin α＋cos α＝（ ）
A ．－
B ．
C ．－
D ．
9.（两边平方）【省六校2015届高三上学期第一次联考，理5】已知＝3
5，则sin 2θ的值为（ ）
A ．
B ．
C ．D.
10.（两边平方+象限定号）【省桐乡第一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理6】已知为第二象限角，，则（ ） A.B.C.D.
11、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015高一期末】若，且，则的值为（ ） A ．1或 B ．1 C ． D ．
12、（两边平方+象限定号）（中学2014届高三二调考试，文）已知，且则的值为
（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
13、（公式的快速展开+两边平方）【省市2014－2015学年度高三年级摸底考试5】已知，则sin 2x 的值为 A .B .C .D .
14、（公式的快速展开+两边平方）【二中2014—2015学年度上学期第三次考试，理3】已知，则（） A ．B ．C ．D ． 15、（两边平方+韦达变换）（市2016届高三第三次调研）已知，则的值为（） （A ）（B ）（C ）（D ）
16. （象限定号）【2015高一期中】设,且,则（） A.B.C. D.
17. （公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015高一期末】若，则，则的值为（ ） A.
B. C. D.
18、（两边平方）（2013一中期末）已知，则_________
19. （公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）(华师附中2015届高三第一次模拟考试数学理14)若，且，则的值为
答案：AABAA CCBBC ACACB CD 18、 19.、1或
（5）两角和差公式，降幂公式，升幂公式的运用，主要涉及两大方向的运用。1）是碰到有平方出现的条件，根据题目的倍角关系，要有降幂的意识。2）同时出现正余弦，要根据同角三角函数的关系，要有化二元为一元转化为二次函数的思想。
1.【2012高考全国文4】已知为第二象限角，，则