常见的圆周运动模型
物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力.物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方
向的分力 ( 或所有外力沿半径方向的分力的矢量和). 具体运动类型如下。
一、匀速圆周运动模型及处理方法
1．随盘匀速转动模型（无相对滑动，二者有共同的角速度）
例 4．如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。轻绳长度为L 。现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度做匀速圆周运动，求：
（ 1）物体运动一周所用的时间T ；
ω
（ 2）绳子对物体的拉力。O
2。火车转弯模型（或汽车拐弯外侧高于内侧时）
汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小 F 向＝ mg tan θ，根据牛顿第
二定律： F
v2 向＝ m R，
h
tanθ＝d，
例 . 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的
路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为 L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力( 即垂直于前进方向) 等于零，则汽车转弯时的车速应等于 ()
A. gRh
B.
gRh
C.
gRL
D.
gRd
L d h h B对．
3。圆锥摆模型
小球在水平面内是匀速圆周运动，重力和拉力合力提供向心力mg tan
例 6. 如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻
力，关于小球受力有以下说法，正确的是（）
A. 只受重力
B.只受拉力
C. 受重力 . 拉力和向心力
D.受重力和拉力
4.双星模型
练习．如图所示，长为 L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细
绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是θ
A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用L
m
B．小球只受重力和绳的拉力作用
C．θ越大，小球运动的速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
练习 . 有一种叫“飞椅”的游乐项目, 示意图如图所示, 长为L 的钢绳一端系着座椅, 另一端固定在半径为r 的水平
, 钢绳与转轴在同一竖直平面内, 与竖转盘边缘. 转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动. 当转盘以角速度ω匀速转动
时
直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力, 求转盘转动的角速度ω 与夹角θ的关系.
二、匀速圆周运动中实例分析
例．如图所示，是双人花样滑冰运动中男运动员拉着女运动员做圆锥摆运动的精彩场面．若女运动员做圆锥摆运
动时和竖直方向的夹角为 B, 女运动员的质量为 m,转动过程中女运动员的重心做匀速圆周运动的半径为 r, 求这时男运动员对女运动员的拉力大小及两人转动的角速度。
练习 . 如图所示，内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，两个质量相同的小球 A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则（）
Ａ．球 A 的角速度一定大于球 B 的角速度
Ｂ．球 A 的线速度一定大于球 B 的线速度
Ｃ．球 A 的运动周期一定小于球 B 的运动周期
Ｄ．球 A 对筒壁的压力一定大于球 B 对筒壁的压力
答案：
练习．如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，
手握塑料管使其保持竖直并在水平方向做半径为r 的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，
μ
丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是( )
A．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡
B．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心
mg
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝μr
D．若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动答案：A
练习．中央电视台《今日说法》栏目最近报道了一起发生在湖南长沙某区湘府路上的离奇交通事故．家住公路拐弯
处的张先生和李先生家在三个月内连续遭遇了七次大卡车侧翻在自家门口的场面，第八次有辆卡车冲进李先生
家，造成三死一伤和房屋严重损毁的血腥惨案．经公安部门和交通部门协力调查，画出的现场示意图如图所示．交警根据图示作出以下判断，你认为正确的是()
A．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做离心运动
B．由图可知汽车在拐弯时发生侧翻是因为车做向心运动
C．公路在设计上可能内( 东 ) 高外 ( 西) 低
D．公路在设计上可能外( 西 ) 高内 ( 东) 低
解析：由题图可知发生事故时，卡车在做圆周运动，从图可以看出卡车冲入民宅时做离心运动，故选项 A 正确，选项 B 错误；如果外侧高，卡车所受重力和支持力提供向心力，则卡车不会做离心运动，也不会发生事故，故选
项 C 正确．答案： AC
练习 . 甲、乙两名溜冰运动员 , 面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演, 如图所示 . 已知 M甲=80 kg,M 乙=40 kg, 两人相距 m, 弹簧秤的示数为 96 N, 下列判断正确的是( )
A. 两人的线速相同 , 约为 40 m/s
B. 两人的角速相同 , 约为 2 rad/s
C. 两人的运动半径相同 , 都中 m
D. 两人的运动半径不同, 甲为 m, 乙为 m
答案 BD
二、常见的变速圆周运动模型
1、线球模型（高中阶段只要求分析特殊位置最高点、最低点）
如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：
注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力
①临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：
2
mg=mv/R→ v 临界 = Rg（可理解为恰好转过或恰好转不过的速度）
无支撑模型（也叫绳模型）
②能过最高点的条件：v≥Rg ，当V＞Rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：V＜ V 临界（实际上球还没到最高点时就脱离了轨道）。
2、杆球模型
注意：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力。
①当 v＝ 0 时， N＝ mg（ N为支持力）
②当 0 ＜ v＜Rg 时，N随v增大而减小，且mg＞ N＞ 0，N 为支持力．
有支撑模型（也叫杆模型）
③当 v=Rg 时，N＝0
注意：当 v＞Rg 时，N为拉力，N随v的增大而增大（此时N 为拉力，方向指向圆心）
管壁支撑情况与杆子一样。若是图（b）的小球，此时将脱离轨道做平抛运动．因为轨道对小球不能产生拉力。
例．如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（）
A．小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力
B．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则在最高点的速率为
D．小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力
gL
例．如图所示，可视为质点的、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，下列有
关说法中正确的是（）
A．小球能够通过最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为gR
C．如果小球在最高点时的速度大小为2gR ，则此时小球对管道的外壁有作用力
D．如果小球在最低点时的速度大小为5gR ，则小球通过最高点时与管道间无相互作用力
三、圆周运动与其它运动的结合（学到机械能动能定理才能做）
例 .（学了动能定理能做）小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离 d 后落地。
如题 24 图所示。已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为3
d,重力加4
速度为 g。忽略手的运动半径和空气阻力。
（ 1）求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2。
（2）向绳能承受的最大拉力多大
（3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，
要使球抛出的水平距离最大，绳长应是多少最大水平距离为多少
A
例．（学了动能定理能做）如图所示，离心轨道演示仪结构示意图。弧形h
R
轨道下端与半径为
R 的圆轨道相接， 质量为
的小球从弧形轨道上端高
=4 的
A 点由静止滑下， 进入圆轨道后沿
m
h R
圆轨道运动，最后离开圆轨道。不计一切摩擦阻力，重力加速度为 g 。试求 :
(1) 小球运动到圆轨道最高点时速度的大小；
(2) 小球在圆轨道最高点时对轨道压力的大小。
例．如图所示， AC 为竖直平面内的四分之一圆弧轨道， O 为圆心， C 位于 O 点正下方，圆轨道下端
C 与水平轨道
相切。一质量为 m 的小球，自 A 点由静止开始沿轨道下滑。已知轨道半径为
R ，不计各处摩擦及空气阻力，重力
加速度用 g 表示，求
A
O
（ 1）小球下滑到距水平轨道的高度为
1
R 时速度的方向，并
2
画出示意图；
（ 2）小球到达 C 点时的速率；
（ 3）小球经过圆弧轨道的 C 点时，对轨道的压力。
C D
点二．圆周运动中的向心力来源问题
1．在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内 低．如图所示，在某 路段汽车向左拐弯， 司机左侧的路面比右侧的路 面低一些．汽车的运 动可看做是半径为 R 的圆周运动． 设内外路面高
度差为 ，路基的水
h
平宽度为 d ，路面的宽度为 L . 已知重力加速度为 g. 要使车轮与路面之间的横向摩擦力 ( 即垂直于前进方向 ) 等于零， 则汽车转弯时的车速应等于 ()
A ．
gRh
gRh
C ．
gRL
D ．
gRd
L
B ．
d
h h
2．“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术， 演员骑车在倾角很大的桶面
上做圆周运动而不
掉下来．如图所示，已知桶壁的倾角为 θ，车和人的总质量为 m ，做 圆周运动的半径为 r ，若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁的摩擦力， 下列说法正确的是 (
)
A ．人和车的速度为
grtan θ
B ．人和车的速度为
grsin θ
C ．桶壁对车的弹力为
mg
D ．桶壁对车的弹力为
mg
cos θ
sin θ
3．公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为 v c 时，汽车
恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处 (
)
A ．路面外侧高内侧低
B ．车速只要低于 v c ，车辆便会向内侧滑动
C ．车速虽然高于 v c ，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动
D ．当路面结冰时，与未结冰时相比，
v c 的值变小
考点三．水平面内的圆周运动
1．如图所示，质量＝ kg 的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上，M 用细绳通过光滑M
的定滑轮与质量为m＝kg的物体相连．假定 M与轴 O的距离 r ＝m，与平台的最大静摩擦力为 2 N．为使m保持静止状态，水平转台做圆周运动的角速度ω 应在什么范围 ( 取g＝ 10 2
m/s )
2．如图所示，水平转台上放着A、 B、 C 三个物体，质量分别是2m、m、 m，离转轴距离分别是R、 R、2R，与转台摩擦系数相同，转台旋转时，下列说法正确的是：
A．若三物均未动， C物向心加速度最大
B．若三物均未动， B 物所受向心力最小
C．转速增大， C物先动D．转速增大， A 物和 B 物先动，且一起动
3．如图所示，两个可视为质点的、相同的木块 A 和 B 放在转盘上且木块 A、B 与转盘中心在同一条直线上，两木块用长为L 的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各
自重力的 k 倍，A放在距离转轴 L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴 OO 转动．开
1 2
始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止转动，角速度缓慢增大，以下说法不正确的是()
2 kg
A．当ω＞3L时， A、B 会相对于转盘滑动B．当ω＞2L 时，绳子一定有弹力
kg 2kg
C．ω在2L＜ω＜3L范围内增大时， B 所受摩擦力变大
2
D．ω
在 0＜
ω
A 所受摩擦力一直变大
＜3L
范围内增大时，
考点四．竖直面内的圆周运动
1．如图所示，质量为m的物块从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点时的速度为v，若物块滑到最低点时受到的摩擦力是F f，则物块与碗的动摩擦因数为()
F f F f F f F f
A．mg B．v2 C．v2 D ．v2
mg＋ m R mg－ m R m R
2．如图是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部 B 处安装一个压力传感器，其示数 F 表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度
N
h 处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( )
A．F小于滑块重力B．F大于滑块重力
N N
C．F N越大表明h越大D．F N越大表明h越小
3．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动．当圆筒的角速度增大
的过程中，下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力增大，摩擦力不变
D．物体所受弹力和摩擦力都减小了
4．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图甲所示，曲线上 A 点的曲率圆定义为：通过 A 点和曲线上紧邻 A 点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做 A 点的曲率圆，其半径ρ 叫做A点的曲率半径．现将一物体沿与水平面成α 角的方向以速度 v0抛出，如图乙所示．则在其轨迹最高点P 处的曲率半径是( )
v 2
2
2
α
2
2
2
2
α
0 v sin v cos α
v cos
A ．
g
B ．
g
C ．
g
D ．
sin
α
g
5．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A 、B 质量相等，通过相同
长度的缆绳悬挂在旋
转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速
转动时，下列说法正
确的是 ( )
A ． A 的速度比
B 的大
B ． A 与 B 的向心加速 度大小相等
C ．悬挂 A 、 B 的缆绳与竖直方向的夹角相等
D ．悬挂 A 的缆绳所受
的拉力比悬挂 B 的小
6．如图所示，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为 O ，最低点
两个质量相同的小球 ( 可视为质点 )A 和 B ，在两个高度不同的水平面 球的轨迹平面高于 B 球的轨迹平面， A 、B 两球与 O 点的连线与竖直
为 α＝ 53°和 β＝ 37°， 以最低点 C 所在的水平面为重力势能的参
cos 37 °＝，则 (
)
A ． A 、
B 两球所受支持力的大小之比为 4∶3 B ． A 、B 两球运动的周期之比为 4∶3
C ． A 、B 两球的动能之比为 16∶9 D
． A 、B 两球的机械能之比为 112∶51 考点五．竖直面内圆周运动的临界问题分析
1．半径为 R 的光滑圆环轨道竖直放置 , 一质量为 m 的小球恰能在此圆轨道
球在轨道最低点处对轨道的压力大小为（ ）
A ． 3mg
B ． 4mg
C ． 5mg
D ． 6mg
2．有一长度为 L ＝ m 的轻质细杆 OA ， A 端有一质量为 m ＝ kg 的小球，如图
圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速度是
m/s ， g 取 10 受到 () A ． N 的拉力 B ． N 的压力 C ． 24 N 的拉力
D ． 24 N 的压力
为 C ，在其内壁上有内做匀速圆周运动， A
线 OC 间的夹角分别考平面， sin 37°＝，
内做圆周运动， 则小
所示，小球以 O 点为m/s 2，则此时细杆 OA
3．英国特技演员史蒂夫·特鲁加里亚曾飞车挑战世界最大环形车道．环形车道竖直放置，直径达 12 m ，若汽车
在车道上以 12 m/s 恒定的速率运动，演员与汽车的总质量为
1 000 kg ，重力加速度 g 取 10 m/s 2，则 ( )
A ．汽车通过最低点时，演员处于超重状态 4 N
B ．汽车通过最高点时对环形车道的压力为× 10
C ．若要挑战成功，汽车不可能以低于 12 m/s 的恒定速率运动
D ．汽车在环形车道上的角速度为 1 rad/s 4．如图甲所示， 一轻杆一端固定在 O 点，另一端固定一小球，
在竖直平面内做半
径为 R 的圆周运动．小球运动到最高点时，杆与小球间弹力
大小为 F ，小球在最
N
N
2
图象如图乙所示．下列说法正确
的是 (
)
高点的速度大小为 v ， F － v
R
a
A ．当地的重力加速度大小为 b B
．小球的质
量为 b R
C ． v 2＝ c 时，杆对小球弹力方向向上
D
．若 v 2＝ 2 ，则杆对小球弹力大小为
2
b
a
5．如图所示，竖直环 A 半径为 r ，固定在木板 B 上，木板 B 放在水平 地面上， B 的左右两侧
各有一挡板固定在地上， B 不能左右运动，在环的最低点放有一小球 C ，A 、B 、C 的质量均为
m . 现给小球一水平向右的瞬时速度
v ，小球会在环内侧做圆周运动，
为保证小球能通过环 的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起
( 不计小球与环的摩擦阻
力 ) ，瞬时速度必须满
足 (
)
A ．最小值 4gr
B ．最大值 6gr
C ．最小值 5
D ．最大值 7
gr
gr
考点六．平抛运动与圆周运动的组合问题
1．如图所示， AB 为半径 R ＝ m 的四分之一圆弧轨道， B 端距水平地面的 高度 h ＝ m ．一质
量 m＝kg的小滑块从圆弧轨道 A端由静止释放，到达轨道 B 端的速度 v＝m/s.忽略空气的阻力．取g＝10 m/s2. 则下列说法正确的是 ( )
F ＝16 N
A．小滑块在圆弧轨道 B 端受到的支持力大小
N
B．小滑块由A端到B端的过程中，克服摩擦力所做的功W＝3 J
C．小滑块的落地点与 B 点的水平距离x＝m
D．小滑块的落地点与 B 点的水平距离x＝m
2．如图所示，半径为R、内径很小的光滑半圆管竖直放置，两个质量均为m的小球 A、B 以不同的速度进入管内． A 通过最高点 C 时，对管壁上部压力为 3mg，B 通过最高点 C 时，对管壁下部压力为，求 A、B 两球落地点间的距离．
3．如图，置于圆形水平转台边缘的小物块随转台加速转动，当转速达到某一数值时，物块恰好滑离转台开始做平
抛运动．现测得转台半径R＝ m，离水平地面的高度受的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取重力加速度
H＝
g＝10
m，物块平抛落地过程水平位移的大小
m/ s2.求：
x＝m．设物块所
(1)物块做平抛运动的初速度大小v0；(2) 物块与转台间的动摩擦因数μ.
4．如图所示，从A点以v0＝ 4 m/s 的水平速度抛出一质量m＝1 kg的小物块(可视为质点)，当物块运动至 B 点时，恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道，经圆弧轨道后滑上与 C 点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道
BC
C端切线水平，已知长木板的质量M＝4 kg， A、 B两点距 C点的高度分别
为H＝m、h＝m， R＝m，物块与长木板
之间的动摩擦因数μ1＝，长木板与地面间的动摩擦因数μ2＝，g＝10 m/s 2. 求：
(1)小物块运动至 B 点时的速度大小和方向；
(2)小物块滑动至 C点时，对圆弧轨道 C点的压力；
(3)长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板．
5．如图所示，是游乐场翻滚过山车示意图，斜面轨道AC、弯曲、水平轨道 CDE和半径 R＝m的竖直圆形轨道平
滑连接．质量＝ 100 kg 的小车，从距水平面＝ 20 m 高处的A 点静止释放，通过最低点 C 后沿圆形轨道运动一m H
周后进入弯曲、水平轨道CDE.重力加速度 g＝10 m/s 2，不计摩擦力和空气阻力．求：
(1)若小车从 A 点静止释放到达圆形轨道最低点C时的速度大小；
(2)小车在圆形轨道最高点 B 时轨道对小车的作用力；
(
【巩固练习】
1．由光滑细管组成的轨道如图所示，其中AB段和 BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．一
质量为 m的小球，从距离水平地面高为H的管口 D处静止释放，最后能够从 A 端水平抛出落到地面上．下列说法
正确的是 ( )
A．小球落到地面时相对于 A 点的水平位移值为 2 RH－ 2R2
B．小球落到地面时相对于 A 点的水平位移值为 2 2RH－ 4R2
C．小球能从细管 A 端水平抛出的条件是H＞2R
5
D．小球能从细管 A 端水平抛出的最小高度H min＝2R
3．小球质量为m，用长为L的轻质细线悬挂在O点，在 O点的正下方
L/2 处有一钉子P，把细线沿水平方向拉直，如图-2 所示，无初速度地释
放小球，当细线碰到钉子的瞬间，设线没有断裂，则下列说法错误的是
A．小球的角速度突然增大 B ．小球的瞬时速度突然增大
C．小球的向心加速度突然增大D．小球对悬线的拉力突然增大
4．如图所示，在倾角为α＝30°的光滑斜面上，有一根长为L＝m的细绳，一端固定在O点，另一端系一质量为＝ kg 的小球，小球沿斜面做圆周运动，若要小球能通过最高点，则小球在最低点m A
B 的最小速度是( )
A． 2 m/s B ． 2 10 m/sC ．2 5 m/sD ． 2 2 m/s
6．飞镖比赛是一项极具观赏性的体育比赛项目，2011 年的 IDF( 国际飞镖联合会) 飞镖世界杯赛在上海进行．选手在距地面高h，离靶面的水平距离L 处，将质量为 m的飞镖以速度v0水平投出，结果飞镖落在靶心正上方．只改变 h、 L、 m、 v0四个量中的一个，可使飞镖投中靶心的是( 不计空气阻力)()
A．适当减小v0B．适当提高h C．适当减小m D．适当减小L 某一如
7．如图所示光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度
a、 b 大小相同，质量均为
v 通过轨道最低点，且当小球
m，
a
其直
在最
低点时，小球 b 在最高点，以下说法正确的是( )
A．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球 a 比小球 b 所需向心力大5mg
B．当
v ＝ 5 时，小球 b 在轨道最高点对轨道无压力
gR
C．速度v至少为 5gR，才能使两球在管内做圆周运动
D．只要v≥ 5gR，小球a对轨道最低点的压力比小球 b 对轨道最高点的压力都大6mg
9．一个中间钻有小孔的球，穿在竖直放置的光滑圆形细轨道上，如图所示．在最低点给小球一个初速度v0，关于小球到达最高点的受力，下列说法正确的是()
A．v0越大，则小球到最高点受到轨道的弹力越大
B．v0＝ 2 C．v0＝ 2 D．v0＝
gR
gR
5gR
时，小球恰能通过最高点
时，小球在最高点受到轨道的支持力为
时，小球在最高点受到轨道的支持力等于重力
10．如图所示，一竖直平面内光滑圆形轨道半径为R，小球以速度v0经过最低点 B 沿轨道上滑，并恰能通过轨道最高点A.以下说法正确的是( )
A．v0应等于 2gR，小球到 A 点时速度为零
B．v0应等于5gR，小球到A点时速度和加速度都不为零
C．小球在B 点时向心加速度最大，在 A 点时向心加速度最小
D．小球从 B 点到 A 点，其速度的增量为(1 ＋5) gR
A 从动轮做顺时针转动 B.从动轮做逆时针转动 匀速圆周运动专题 从现行高中知识体系来看，匀速圆周运动上承牛顿运动定律，下接万有引力，因此在高一物理中占 据极其重要的地位，同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动及高三复习中解决圆周运动 的综合问题打下良好的基础。 （一）基础知识 1. 匀速圆周运动的基本概念和公式 （1） 线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； （2） 角速度，恒定不变量； （3）周期与频率； （4） 向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度 ，方向与向心力相同； （5） 线速度与角速度的关系为 ，、、、的关系为。所以在、、中若一个量确定，其余两个量 也就确定了， 而还和有关。 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1） 具有一定的速度； （2） 受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确 定不变的平面内且一定指向圆心。 3. 匀速圆周运动的动力学特征 （1） 始终受合外力作用， 且合外力提供向心力， 其大小不变，始终指向圆心，因合力始终与速度垂直, 所以合力不做功. （2） 匀速圆周运动的动力学方程 根据题意，可以选择相关的运动学量如 v ,3, T , f 列出动力学方程；，，, 熟练掌握这些方程，会给解题带来方便. 4. 变速圆周运动的动力学特征 （1）受合外力作用，但合力并不总是指向圆心， 且合力的大小也是可以变化的， 故合力可对物体做功, 物体的速率也在变化. （2）合外力的分力（在某些位置上也可以是合外力 ）提供向心力. 例题1?在图1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为 r , a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮 的半径为4r ,小轮的半径为2r 。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为 的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A . a 点与b 点的线速度大小相等 B . a 点与b 点的角速度大小相等 C . a 点与c 点的线速度大小相等 D. a 点与d 点的向心加速度大小相等 说明：在分析传动装置的各物理量时，要抓住等量和不等量之间 如同轴各点的角速度相等，而线速度与半径成正比；通过皮带传 虑皮带打滑的前提下）或是齿轮传动，皮带上或与皮带连接的两轮边缘的各点及 齿轮上的各点线速度大小相等、角速度与半径成反比。 练习 1.如图所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴， ，。假设在传动过 程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的 A 、B C 三点的角速度之比是 ___________ ;线 r 。 c 点和d 点分别于小轮和大轮 的关系。 动（不考 a r 4r d - 'Jr 图1
一、第六章 圆周运动易错题培优（难） 1．如图所示，用一根长为l =1m 的细线，一端系一质量为m =1kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角θ=30°，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为ω时，细线的张力为T ，取g=10m/s 2。则下列说法正确的是（ ） A ．当ω=2rad/s 时，T 3+1)N B ．当ω=2rad/s 时，T =4N C ．当ω=4rad/s 时，T =16N D ．当ω=4rad/s 时，细绳与竖直方向间夹角 大于45° 【答案】ACD 【解析】 【分析】 【详解】 当小球对圆锥面恰好没有压力时，设角速度为0ω，则有 cos T mg θ= 2 0sin sin T m l θωθ= 解得 053 2 rad/s 3 ω= AB ．当02rad/s<ωω=，小球紧贴圆锥面，则 cos sin T N mg θθ+= 2sin cos sin T N m l θθωθ-= 代入数据整理得 (531)N T = A 正确， B 错误； CD ．当04rad/s>ωω=，小球离开锥面，设绳子与竖直方向夹角为α，则 cos T mg α= 2sin sin T m l αωα= 解得
16N T =，o 5 arccos 458 α=> CD 正确。 故选ACD 。 2．如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体A 、B 、C ，质量分别为m 、2m 、3m ，A 叠放在B 上，C 、B 离圆心O 距离分别为2r 、3r 。C 、B 之间用细线相连，圆盘静止时细线刚好伸直无张力。已知C 、B 与圆盘间动摩擦因数为μ，A 、B 间摩擦因数为3μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g ，现让圆盘从静止缓慢加速，则（ ） A ．当23g r μω=时，A 、B 即将开始滑动 B ．当2g r μω=32 mg μ C ．当g r μω=C 受到圆盘的摩擦力为0 D ．当25g r μω=C 将做离心运动 【答案】BC 【解析】 【详解】 A. 当A 开始滑动时有： 2033A f mg m r μω==?? 解得： 0g r μω＝ 当23g g r r μμω= 圆周运动 1．物体做匀速圆周运动的条件： 匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。 2．描述圆周运动的运动学物理量 （1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。如：T r r v πω2= ?=，2 2224T r r r v a πω===。要注意转速n 的单位为r/min ，它与周期的关系为n T 60=。 （2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有： ωωv r r v a ===22 ，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。只适用于匀速圆周运动 的公式有：2 24T r a π= ，因为周期T 和转速n 没有瞬时值。 例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。 b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。 c 点和 d 点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 练习 1．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，2:1:=c A R R ，3:2:=B A R R 。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A 、B 、C 三点的角速度之比是 ；线速度之比是 ；向心加速度之比是 。 2．图示为某一皮带传动装置。主动轮的半径为r 1，从动轮的半径为r 2。已知主动轮做顺时针转动，转速为n ，转动过程中皮带不打 图3－1 4r 2r r r a b c d 图3－4 r m 高一期末考试题目 圆周运动专题汇编 ——高一必须掌握的经典题目 一、选择题[共53题] .............................................................................................................. 1 二、填空题[共9题] ................................................................................................................ 9 三、实验题[共2题] .............................................................................................................. 11 四、计算题[共6题] .............................................................................................................. 12 [编者按]高一不可能一步达到高三的水平，到底需要掌握哪些题型？打开历年的高一中考、末考题目，就可以心中有数了。这是笔者从138套历年全国各地高一期末考试题目中挑选的题目，选择题[共53题]，填空题[共9题]，实验题[共2题]，计算题[共6题]，共70道，不涉及与机械能联系的题目，汇编成一体，供讲新课的老师参考。 一、选择题[共53题] 1、如图所示，用长为L 的细绳拴着质量为m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则( ) A ．小球在最高点时所受向心力一定为重力 B ．小球在最高点时绳子的拉力不可能为零 C ．若小球刚好能在竖直面内做圆周运动，则其在最高点速率是gL D ．小球在圆周最低点时拉力可能等于重力 2、在质量为M 的电动机的飞轮上，固定着一个质量为m 的重物，重物到转轴的距离为r ， 如图所示，为了使放在地面上的电动机不会跳起，电动机飞轮的角速度不能超过( ) A ． g mr m M + B ．g mr m M + C ．g mr m M - D ． mr Mg 3．关于匀速圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是： A ．大小不变，方向变化 B ．大小变化，方向不变 C ．大小、方向都变化 D ．大小、方向都不变 4．同一辆汽车以同样大小的速度先后开上平直的桥和凸形桥，在桥的中央处有： A ．车对两种桥面的压力一样大 B ．车对平直桥面的压力大 C ．车对凸形桥面的压力大 D ．无法判断 5、洗衣机的脱水筒在转动时有一衣物附在筒壁上，如图所示，则此时： A ．衣物受到重力、筒壁的弹力和摩擦力的作用 B ．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的 考点四 抛体运动与圆周运动 1.(2018·全国卷Ⅲ ·T17) 在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v 和2 v 的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上。甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的 ( ) A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 【解析】选A 。两球都落在该斜面上，其位移与水平方向夹角相等设为α，其速度与水平方向夹角设为β，据tan β=2tan α，可知两球速度夹角相等，据cos x v v β=可得=22 v v v v =甲乙，故选A 。 2.(2018·北京高考·T8)根据高中所学知识可知，做自由落体运动的小球，将落在起始位置的正下方位置。但实际上，赤道上方200 m 处无初速下落的小球将落在正下方位置偏东约6 cm 处，这一现象可解释为，除重力外，由于地球自转，下落过程小球还受到一个水平向东的“力”，该“力”与竖直方向的速度大小成正比，现将小球从赤道地面竖直上抛，考虑对称性，上升过程该“力”水平向西，则小球 ( ) A.到最高点时，水平方向的加速度和速度均为零 B.到最高点时，水平方向的加速度和速度均不为零 C.落地点在抛出点东侧 D.落地点在抛出点西侧 【解析】选D 。上升过程水平方向向西加速，在最高点竖直方向上速度为零，水平方向上有向西的水平速度，且根据题意知，其水平加速度为0，故A 、B 错；下降过程向西减速，按照对称性落至地面时水平速度为0，整个过程都在向西运动，所以落地点在抛出点的西侧，故C 错，D 正确。 3.(2018·江苏高考 ·T3)某弹射管每次弹出的小球速度相等。在沿光滑竖直轨道自由下落过程中，该弹射管保持水平，先后弹出两只小球。忽略空气阻力，两只小球落到水平地面的 ( ) A.时刻相同，地点相同 B.时刻相同，地点不同 C.时刻不同，地点相同 D.时刻不同，地点不同 【解析】选B 。小球不论是在管内还是在管外，它们竖直方向的加速度都等于g ，因此，落地时间与离开弹射管的先后无关，所以落地时刻相同。先弹出的小球做平抛运动的时间长，后弹出的小球做平抛运动的时间短，因此，两球的水平位移不同，落地点不同。因此选项B 正确。 4.(2018·江苏高考 ·T6)火车以60 m/s 的速率转过一段弯道， 某乘客发现放在桌面上的指南针在10 s 内匀速转过了约10°。在此10 s 时间内，火 车 ( ) A.运动路程为600 m B.加速度为零 C.角速度约为1 rad/s D.转弯半径约为3.4 km 高考第二轮复习专题： ——物体的圆周运动 圆周运动 1．物体做匀速圆周运动的条件： 匀速圆周运动的运动条件：做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方 向垂直并指向圆心。 2．描述圆周运动的运动学物理量 （1）圆周运动的运动学物理量有线速度v 、角速度ω、周期T 、转速n 、向心加速度a 等。 它们之间的关系大多是用半径r 联系在一起的。如：T r r v πω2=?=，2 2224T r r r v a πω===。要注意转速n 的单位为r/min ，它与周期的关系为n T 60=。 （2）向心加速度的表达式中，对匀速圆周运动和非匀速圆周运动均适用的公式有： ωωv r r v a ===22 ，公式中的线速度v 和角速度ω均为瞬时值。只适用于匀速圆周运动的公式有：2 24T r a π= ，因为周期T 和转速n 没有瞬时值。 例题1．在图3－1中所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧 是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r 。b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r 。c 点和d 点分别于小轮和大轮的边缘上。若在传动过程中，皮带不打滑。则（ ） A ．a 点与b 点的线速度大小相等 B ．a 点与b 点的角速度大小相等 C ．a 点与c 点的线速度大小相等 D ．a 点与d 点的向心加速度大小相等 解析：本题的关键是要确定出a 、b 、c 、d 四点之间的等量关系。因为a 、c 两点在同一皮带 上，所以它们的线速度v 相等；而c 、b 、d 三点是同轴转动，所以它们的角速度ω相等。 所以选项C 正确，选项A 、B 错误。 设C 点的线速度大小为v ，角速度为ω，根据公式v=ωr 和a=v 2/r 可分析出：A 点的向心加速度大小为r v a A 2=；D 点的向心加速度大小为：r v r r r a D 2 22)2(4=?=?=ωω。所以选图3－1 匀速圆周运动专题 从现行高中知识体系来看，匀速圆周运动上承牛顿运动定律，下接万有引力，因此在高一物理中占据极其重要的地位，同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动及高三复习中解决圆周运动的综合问题打下良好的基础。 （一）基础知识 1. 匀速圆周运动的基本概念和公式 （1）线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； （2）角速度，恒定不变量；（3）周期与频率； （4）向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度，方向与向心力相同； （5）线速度与角速度的关系为，、、、的关系为。所以在、、中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而还和有关。 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1）具有一定的速度； （2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。 3. 向心力有关说明 向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合力，总是指向圆心；做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。 （二）解决圆周运动问题的步骤 1. 确定研究对象； 2. 确定圆心、半径、向心加速度方向； 3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向； 4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。基本规律：径向合外力提供向心力 （三）常见问题及处理要点 1. 皮带传动问题 例1：如图1所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心的距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（） A. a点与b点的线速度大小相等 B. a点与b点的角速度大小相等 C. a点与c点的线速度大小相等 D. a点与d点的向心加速度大小相等 匀速圆周运动临界专题 任务一：水平面内的圆周运动：物体在水平面内做的一般是匀速圆周运动．这样的物体在竖直方向上受力平衡，在水平方向上受的合外力提供它做圆周运动所需的向心 力． 同学们通过下面的练习，体会下面在水平面内的匀速圆周运动特点。 1.如图所示，水平转盘上放一小木块。转速为60rad/ min时，木块离轴8cm恰 好与转盘无相对滑动，当转速增加到120rad/min时，为使小木块刚好与转盘保 持相对静止，那么木块应放在离轴多远的地方？（注：汽车在水平面上转弯类 ．．．．．．．．．．．．． 似这种情况） ．．．．．． 任务二：竖直平面内的圆周运动：物体在竖直面内作圆周运动的情况关键在于：最高点和最低点的状态分析。依据物体在圆周最高点的受力状态可以大致分为：物体最高点无支撑力的情况（例：绳球模型）和物体最高点有支撑力的情况（例：杆球模型） 图1绳球模型图3轻杆模型图4圆管轨道 1．如图1、2 所示，没有支撑物的小球在竖直平面作圆周运动过最高点的情况 ○1临界条件 ○2能过最高点的条件，此时绳或轨道对球分别产生______________ ○3不能过最高点的条件 2．如图3、4所示，为有支撑物的小球在竖直平面做圆周运动过最高点的情况 竖直平面内的圆周运动，往往是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内的变速圆周运 动问题，中学阶段只分析通过最高点和最低点的情况，并且经常出现临界状态，下面对这类 问题进行简要分析。 ○1能过最高点的条件，此时杆对球的作用力 ○2当0 匀速圆周运动的多解问题 匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其一做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动。因此，依据等时性建立等式求解待求量是解答此类问题的基本思路。特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n ”正是这一考虑的数学外化。 例1：如图1所示，直径为d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v ，并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少 解析：子弹穿过圆筒后作匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原来的弹孔也恰好运动到此处，则圆筒上只留下一个弹孔。在子弹运动位移为d 的时间内，圆筒转过的角度为2n ππ+，其中n =0123，，，…，即 d v n =+2ππω 解得角速度为：ωππ= +=20123n d v n ()，，，… 例2：质点P 以O 为圆心做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T 。当P 经过图中D 点时，有一质量为m 的另一质点Q 受到力F 的作用从静止开始作匀加速直线运动。为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小应满足什么条件 解析：速度相同包括大小相等和方向相同。由质点P 的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同。即质点P 应转过()n + 34周（n =0123，，，…），经历的时间 t n T n =+=()()()3 401231，，，… 质点P 的速度v R T = 22π() 在同样的时间内，质点Q 做匀加速直线运动，速度应达到v ，由牛顿第二定律及速度公式得 v =F m t ()3 联立以上三式，解得：F mR n T n = +=84301232π()()，，，… 例3：如图3所示，在同一竖直面内A 物体从a 点做半径为R 的匀速圆周运动，同时B 物体从圆心O 处自由落下， 一、第六章圆周运动易错题培优（难） 1．如图所示，一个竖直放置半径为R的光滑圆管，圆管内径很小，有一小球在圆管内做圆周运动，下列叙述中正确的是（） A．小球在最高点时速度v gR B．小球在最高点时速度v由零逐渐增大，圆管壁对小球的弹力先逐渐减小，后逐渐增大C．当小球在水平直径上方运动时，小球对圆管内壁一定有压力 D．当小球在水平直径下方运动时，小球对圆管外壁一定有压力 【答案】BD 【解析】 【分析】 【详解】 A．小球恰好通过最高点时，小球在最高点的速度为零，选项A错误； < B．在最高点时，若v gR 2 v -= mg N m R 可知速度越大，管壁对球的作用力越小； > 若v gR 2 v N mg m += R 可知速度越大，管壁对球的弹力越大。 选项B正确； C．当小球在水平直径上方运动，恰好通过最高点时，小球对圆管内外壁均无作用力，选项C错误； D．当小球在水平直径下方运动时，小球受竖直向下的重力，要有指向圆心的向心力，则小球对圆管外壁一定有压力作用，选项D正确。 故选BD。 2．如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置用细线相连的质量均为m的A、B两个物块（可视为质点）。A和B距轴心O的距离分别为r A＝R，r B＝2R，且A、B与转盘之间的最大静摩擦力都是f m，两物块A和B随着圆盘转动时，始终与圆盘保持相对静止。则在圆盘转动的角速度从0缓慢增大的过程中，下列说法正确的是（） A ． B 所受合力一直等于A 所受合力 B ．A 受到的摩擦力一直指向圆心 C ．B 受到的摩擦力先增大后不变 D ．A 、B 两物块与圆盘保持相对静止的最大角速度ωm ＝ 2m f mR 【答案】CD 【解析】 【分析】 【详解】 当圆盘角速度比较小时，由静摩擦力提供向心力。两个物块的角速度相等，由2F m r ω=可知半径大的物块B 所受的合力大，需要的向心力增加快，最先达到最大静摩擦力，之后保持不变。当B 的摩擦力达到最大静摩擦力之后，细线开始提供拉力，根据 2 m 2T f m R ω+=? 2A T f m R ω+= 可知随着角速度增大，细线的拉力T 增大，A 的摩擦力A f 将减小到零然后反向增大，当A 的摩擦力反向增大到最大，即A m =f f -时，解得 m 2f mR ω= 角速度再继续增大，整体会发生滑动。 由以上分析，可知AB 错误，CD 正确。 故选CD 。 3．如图所示，一个边长满足3:4:5的斜面体沿半径方向固定在一水平转盘上，一木块静止在斜面上，斜面和木块之间的动摩擦系数μ=0.5。若木块能保持在离转盘中心的水平距离为40cm 处相对转盘不动，g =10m/s 2，则转盘转动角速度ω的可能值为（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（ ） 圆周运动专题训练（含答案） (时间：45分钟，满分：100分) 一、单项选择题(本题共6小题，每小题7分，共计42分，每小题只有一个选项符合题意) 1.发射人造卫星是将卫星以一定的速度送入预定轨道．发射场一 般选择在尽可能靠近赤道的地方，如图1所示．这样选址的优点是， 在赤道附近() A．地球的引力较大 B．地球自转线速度较大图1 C．重力加速度较大 D．地球自转角速度较大 解析：为了节省能量，而沿自转方向发射，卫星绕地球自转而具有的动能在赤道附近最大，因而使发射更节能．故选B. 答案：B 2．某同学设想驾驶一辆由火箭作动力的陆地太空两用汽车，沿赤道行驶并且汽车相对于地球速度可以任意增加，不计空气阻力，当汽车速度增加到某一值时，汽车将离开地球成为绕地球做圆周运动的“航天汽车”，对此下列说法正确的是(R＝6400 km，取g＝10 m/s2)() A．汽车在地面上速度增加时，它对地面的压力增大 B．当汽车离开地球的瞬间速度达到28 440 km/h C．此“航天汽车”环绕地球做圆周运动的最小周期为1 h D．在此“航天汽车”上弹簧测力计无法测量力的大小 解析：汽车受到的万有引力提供向心力和重力，在速度增加时，向心力增大，则重力减小，对地面的压力则减小，选项A错误．若要使汽车离开地球，必须使汽车的速度达到 第一宇宙速度7.9 km/s＝28 440 km/h，选项B正确．此时汽车的最小周期为T＝2π r3 GM＝ 2πR3 gR2＝2π R g＝5 024 s＝83.7 min，选项C错误．在此“航天汽车”上弹簧产生形变仍 然产生弹力，选项D错误． 答案：B 3．(2010·上海高考)月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度大小为a.设月球表面的重力加速度大小为g1，在月球绕地球运行的轨道处由地球引力产生的加速度大小为g2，则 () A．g1＝a B．g2＝a C．g1＋g2＝a D．g2－g1＝a 匀速圆周运动的多解问题 郭建 白头然 匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同的运动，其一做匀速圆周运动，另一个物体做其他形式的运动。因此，依据等时性建立等式求解待求量是解答此类问题的基本思路。特别需要提醒同学们注意的是，因匀速圆周运动具有周期性，使得前一个周期中发生的事件在后一个周期中同样可能发生，这就要求我们在表达做匀速圆周运动物体的运动时间时，必须把各种可能都考虑进去，以下几例运算结果中的自然数“n ”正是这一考虑的数学外化。 例1：如图1所示，直径为d 的圆筒绕中心轴做匀速圆周运动，枪口发射的子弹速度为v ，并沿直径匀速穿过圆筒。若子弹穿出后在圆筒上只留下一个弹孔，则圆筒运动的角速度为多少？ 解析：子弹穿过圆筒后作匀速直线运动，当它再次到达圆筒壁时，若原来的弹孔也恰好运动到此处，则圆筒上只留下一个弹孔。在子弹运动位移为d 的时间内，圆筒转过的角度为2n ππ+，其中n =0123，，，…，即 d v n =+2ππω 解得角速度为：ωππ= +=20123n d v n ()，，，… 例2：质点P 以O 为圆心做半径为R 的匀速圆周运动，如图2所示，周期为T 。当P 经过图中D 点时，有一质量为m 的另一质点Q 受到力F 的作用从静止开始作匀加速直线运动。为使P 、Q 两质点在某时刻的速度相同，则F 的大小应满足什么条件？ 解析：速度相同包括大小相等和方向相同。由质点P 的旋转情况可知，只有当P 运动到圆周上的C 点时P 、Q 速度方向才相同。即质点P 应转过()n +34周（n =0123，，，…），经历的时间 t n T n =+=()()()3401231，，，… 质点P 的速度v R T = 22π() 在同样的时间内，质点Q 做匀加速直线运动，速度应达到v ，由牛顿第二定律及速度公式得 v =F m t ()3 联立以上三式，解得：F mR n T n = +=84301232π()()，，，… 常见的圆周运动模型 物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体受到的合外力.物体做非匀速圆周运动时，向心力是合外力沿半径方 向的分力 ( 或所有外力沿半径方向的分力的矢量和). 具体运动类型如下。 一、匀速圆周运动模型及处理方法 1．随盘匀速转动模型（无相对滑动，二者有共同的角速度） 例 4．如图所示，质量为m 的小物体系在轻绳的一端，轻绳的另一端固定在转轴上。轻绳长度为L 。现在使物体在光滑水平支持面上与圆盘相对静止地以角速度做匀速圆周运动，求： （ 1）物体运动一周所用的时间T ； ω （ 2）绳子对物体的拉力。O 2。火车转弯模型（或汽车拐弯外侧高于内侧时） 汽车做匀速圆周运动，向心力由重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向水平，向心力大小 F 向＝ mg tan θ，根据牛顿第 二定律： F v2 向＝ m R， h tanθ＝d， 例 . 在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的 路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面的宽度为 L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横向摩擦力( 即垂直于前进方向) 等于零，则汽车转弯时的车速应等于 () A. gRh B. gRh C. gRL D. gRd L d h h B对． 3。圆锥摆模型 小球在水平面内是匀速圆周运动，重力和拉力合力提供向心力mg tan 例 6. 如图所示，用细绳系着一个小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，不计空气阻 力，关于小球受力有以下说法，正确的是（） A. 只受重力 B.只受拉力 C. 受重力 . 拉力和向心力 D.受重力和拉力 4.双星模型 练习．如图所示，长为 L 的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细 绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是θ A．小球受重力、绳的拉力和向心力作用L m 高中圆周运动知识要点、受力分析和题目精讲（复习大全） 一、基础知识 匀速圆周运动问题是学习的难点，也是高考的热点，同时它又容易和很多知识综合在一起，形成能力性很强的题目，如除力学部分外，电学中“粒子在磁场中的运动”涉及的很多问题仍然要用到匀速圆周运动的知识，对匀速圆周运动的学习可重点从两个方面掌握其特点，首先是匀速圆周运动的运动学规律，其次是其动力学规律，现就各部分涉及的典型问题作点滴说明。 匀速圆周运动的加速度、线速度的大小不变，而方向都是时刻变化的，因此匀速圆周运动是典型的变加速曲线运动。为了描述其运动的特殊性，又引入周期（T）、频率（f）、角速度（ ）等物理量，涉及的物理量及公式较多。因此，熟练理解、掌握这些概念、公式，并加以灵活选择运用，是我们学习的重点。 1. 匀速圆周运动的基本概念和公式 （1）线速度大小，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； （2）角速度，恒定不变量； （3）周期与频率； （4）向心力，总指向圆心，时刻变化，向心加速度，方向与向心力相同； （5）线速度与角速度的关系为，、、、的关系为 。所以在、、中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而还和有关。 【例1】关于匀速圆周运动，下列说确的是（） A. 线速度不变 B. 角速度不变 C. 加速度为零 D. 周期不变 解析：匀速圆周运动的角速度和周期是不变的；线速度的大小不变，但方向时刻变化，故匀速圆周运动的线速度是变化的，加速度不为零，答案为B、D。 【例2】在绕竖直轴匀速转动的圆环上有A 、B 两点，如图1所示，过A 、B 的半径与竖直轴的夹角分别为30°和60°，则A 、B 两点的线速度之比为 ；向心加速度之比为 。 ω O 60°30° A B 解析：A 、B 两点做圆周运动的半径分别为 R R r A 21 30sin = ?= R R r B 2360sin =?= 它们的角速度相同，所以线速度之比3331= ===B A B A B A r r r r v v ωω 加速度之比3322 = =B B A A B A r r a a ωω 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1）具有一定的速度； （2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力） 与速度始终在一个确定不变的平面且一定指向圆心。 3. 向心力有关说明 向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，所需向心力就是该物体受的合外力，总是指向圆心；而做变速圆周运动的物体，所需向心力则是该物体受的合外力在指向圆心方向的分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。因此，解答圆周运动的基本思路是：先分析物体的受力情况，然后把物体受的各外力沿指向圆心（即沿半径）方向与沿切线方向正交分解，最后用沿指向圆心的合外力等于向心力，即 列方程求解做答。 二、解决圆周运动问题的步骤 高中物理专题汇编生活中的圆周运动(一)含解析 一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动 1．如图，光滑轨道abcd 固定在竖直平面内，ab 水平，bcd 为半圆，在b 处与ab 相切．在直轨道ab 上放着质量分别为m A =2kg 、m B =1kg 的物块A 、B （均可视为质点），用轻质细绳将A 、B 连接在一起，且A 、B 间夹着一根被压缩的轻质弹簧（未被拴接），其弹性势能E p =12J ．轨道左侧的光滑水平地面上停着一质量M =2kg 、长L =0.5m 的小车，小车上表面与ab 等高．现将细绳剪断，之后A 向左滑上小车，B 向右滑动且恰好能冲到圆弧轨道的最高点d 处．已知A 与小车之间的动摩擦因数μ满足0.1≤μ≤0.3，g 取10m /s 2，求 （1）A 、B 离开弹簧瞬间的速率v A 、v B ； （2）圆弧轨道的半径R ； （3）A 在小车上滑动过程中产生的热量Q （计算结果可含有μ）． 【答案】（1）4m/s （2）0.32m(3) 当满足0.1≤μ<0.2时，Q 1=10μ ；当满足0.2≤μ≤0.3 时， 22111 ()22A A m v m M v -+ 【解析】 【分析】 （1）弹簧恢复到自然长度时，根据动量守恒定律和能量守恒定律求解两物体的速度； （2）根据能量守恒定律和牛顿第二定律结合求解圆弧轨道的半径R ； （3）根据动量守恒定律和能量关系求解恰好能共速的临界摩擦力因数的值，然后讨论求解热量Q. 【详解】 （1）设弹簧恢复到自然长度时A 、B 的速度分别为v A 、v B ， 由动量守恒定律： 0=A A B B m v m v - 由能量关系：22 11=22 P A A B B E m v m v - 解得v A =2m/s ；v B =4m/s （2）设B 经过d 点时速度为v d ，在d 点：2d B B v m g m R = 由机械能守恒定律：22d 11=222 B B B B m v m v m g R +? 解得R=0.32m （3）设μ=μ1时A 恰好能滑到小车左端，其共同速度为v,由动量守恒定律： =()A A A m v m M v +由能量关系：()2 211122 A A A A m gL m v m M v μ= -+ 解得μ1=0.2 匀速圆周运动重点知识总结 一.基本概念： 1．匀速圆周运动 （1）定义：质点沿圆周运动，如果在相等 的时间内通过的弧长相等，就 称质点作匀速圆周运动 （2）条件： a.有一定的初速度 b.受到一个大小不变方向始终跟速度 垂直的力的作用（即向心力） （3）特点：速度大小不变，方向时刻改变（4）描述匀速圆周运动的物理量： a.线速度：大小不变，方向时刻改变， 单位是m/s, 是矢量。 b.角速度: 恒定不变，是矢量，（方向 可由右手螺旋定则确定，高中 不要求掌握）单位rad/s c.周期：标量，单位：s d.转速:①单位时间物体转过的圈数 ②标量，符号：n ③单位：r/s或r/min e.频率:①质点在单位时间完成圆周运 动的周数 ②标量，符号：f ③单位：Hz （5）注意： a.匀速圆周运动是非匀变速曲线运动 b.“匀速”应理解为“匀速率”不能理 解为“匀速度” c.合力不为零，不能称作平衡状态 2.向心力： （1）定义：做匀速圆周运动的物体所受到 的合力指向圆心，叫向心力。（2）特点：指向圆心，大小不变，方向时 刻改变，是变力。F向=F合（3）作用：只改变速度大小，不改变方向（4）注意： a.是一种效果力，它可以由重力、弹力、 摩擦力等单独提供，也可以由它们的 合力提供。 b.“向心力”只是说明做圆周运动的物 体需要一个指向圆心方向的力，而并 非物体又受到一个“新的性质”的力。 即在受力分析时，向心力不能单独作 为一种力。 c.变速圆周运动的向心力不等于合力， 合力也不一定指向圆心。 3．向心加速度 （1）定义：由向心力产生的加速度 （2）特点：指向圆心，大小不变，方向时 刻改变，是矢量。 4．提供的向心力： 通过受力分析求出来的，沿半径方向指向圆心的力，匀速圆周运动中F需向=F合5．需要的向心力： 根据物体实际运动时的质量m、半径r、线速度v(或角速度w)求出的向心力 F提=mrw2=mrv2/r 6．离心现象 （1）做圆周运动物体的运动特点： 做圆周运动的物体由于本身的惯性， 总有沿圆周切线飞出的倾向。 （2）概念： 在所受合力突然消失或不足以提供圆 周运动所需的向心力的情况下，就会 做靛渐远离圆心的运动，这种现象称 为离心现象。 （3）特别注意： a. 物体做离心运动并不是受到了什 么所谓的“离心力”作用（准确 讲没离心力这个概念） b. 产生离心运动的根本原因是由于 物体的惯性。 c. 离心现象既有利又有害，要注意利 用和防止。 二．基本公式 1．线速度：2 l r v t T π ? == ? n r? ? =π2 2．角速度：2 t T θπ ω ? == ? n? =π2 3．转速（n）频率（f）周期三者的关系：n=f 11 T f n == 4．线速度与角速度、半径r的关系：v=ωr 5．向心力： 2 2 2 2 n n v F ma m m r m r r T π ω?? ==== ? ??6．向心加速度： 2 2 2 2 n v a r r r T π ω?? === ? ?? ， 匀速圆周运动专题 从现行高中知识体系来看，匀速圆周运动上承牛顿运动定律，下接万有引力，因此在高一物理中占据极其重要的地位，同时学好这一章还将为高二的带电粒子在磁场中的运动及高三复习中解决圆周运动的综合问题打下良好的基础。 （一）基础知识 1. 匀速圆周运动的基本概念和公式 （1）线速度大小T r t s v π2= = ，方向沿圆周的切线方向，时刻变化； （2）角速度T t π ?ω2==，恒定不变量； （3）周期与频率f T 1 =； （4）向心力2 2ωmr r mv F ==，总指向圆心，时刻变化，向心加速度22ωr r v a ==，方向与向心力相同； （5）线速度与角速度的关系为r v ω=，v 、ω、T 、f 的关系为rf r T r v πωπ22=== 。所以在ω、T 、f 中若一个量确定，其余两个量也就确定了，而v 还和r 有关。 2. 质点做匀速圆周运动的条件 （1）具有一定的速度； （2）受到的合力（向心力）大小不变且方向始终与速度方向垂直。合力（向心力）与速度始终在一个确定不变的平面内且一定指向圆心。 3. 向心力有关说明 向心力是一种效果力。任何一个力或者几个力的合力，或者某一个力的某个分力，只要其效果是使物体做圆周运动的，都可以认为是向心力。做匀速圆周运动的物体，向心力就是物体所受的合力，总是指向圆心；做变速圆周运动的物体，向心力只是物体所受合外力在沿着半径方向上的一个分力，合外力的另一个分力沿着圆周的切线，使速度大小改变，所以向心力不一定是物体所受的合外力。 （二）解决圆周运动问题的步骤 1. 确定研究对象； 2. 确定圆心、半径、向心加速度方向； 3. 进行受力分析，将各力分解到沿半径方向和垂直于半径方向； 4. 根据向心力公式，列牛顿第二定律方程求解。 基本规律：径向合外力提供向心力向合F F = （三）常见问题及处理要点 1. 皮带传动问题 例1：如图1所示，为一皮带传动装置，右轮的半径为r ，a 是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r ，小轮的半径为2r ，b 点在小轮上，到小轮中心的距离为r ，c 点和d 点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则（ ） A. a 点与b 点的线速度大小相等 物理专题汇编物理生活中的圆周运动(一)及解析 一、高中物理精讲专题测试生活中的圆周运动 1．如图，在竖直平面内，一半径为R 的光滑圆弧轨道ABC 和水平轨道PA 在A 点相切．BC 为圆弧轨道的直径．O 为圆心，OA 和OB 之间的夹角为α，sinα= 3 5 ，一质量为m 的小球沿水平轨道向右运动，经A 点沿圆弧轨道通过C 点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C 点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零．重力加速度大小为g ．求： （1）水平恒力的大小和小球到达C 点时速度的大小； （2）小球到达A 点时动量的大小； （3）小球从C 点落至水平轨道所用的时间． 【答案】（15gR （223m gR （3355R g 【解析】 试题分析 本题考查小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动及其相关的知识点，意在考查考生灵活运用相关知识解决问题的的能力． 解析（1）设水平恒力的大小为F 0，小球到达C 点时所受合力的大小为F ．由力的合成法则有 tan F mg α=① 2220()F mg F =+② 设小球到达C 点时的速度大小为v ，由牛顿第二定律得 2 v F m R =③ 由①②③式和题给数据得 03 4 F mg =④ 5gR v = （2）设小球到达A 点的速度大小为1v ，作CD PA ⊥，交PA 于D 点，由几何关系得 sin DA R α=⑥ (1cos CD R α=+）⑦ 由动能定理有 220111 22 mg CD F DA mv mv -?-?=-⑧ 由④⑤⑥⑦⑧式和题给数据得，小球在A 点的动量大小为 1232 m gR p mv == ⑨ （3）小球离开C 点后在竖直方向上做初速度不为零的匀加速运动，加速度大小为g ．设小球在竖直方向的初速度为v ⊥，从C 点落至水平轨道上所用时间为t ．由运动学公式有 2 12 v t gt CD ⊥+ =⑩ sin v v α⊥= 由⑤⑦⑩ 式和题给数据得 355R t g = 点睛 小球在竖直面内的圆周运动是常见经典模型，此题将小球在竖直面内的圆周运动、受力分析、动量、斜下抛运动有机结合，经典创新． 2．如图所示，粗糙水平地面与半径为R =0.4m 的粗糙半圆轨道BCD 相连接，且在同一竖直平面内，O 是BCD 的圆心，BOD 在同一竖直线上．质量为m =1kg 的小物块在水平恒力F =15N 的作用下，从A 点由静止开始做匀加速直线运动，当小物块运动到B 点时撤去F ，小物块沿半圆轨道运动恰好能通过D 点，已知A 、B 间的距离为3m ，小物块与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度g 取10m/s 2．求： （1）小物块运动到B 点时对圆轨道B 点的压力大小． （2）小物块离开D 点后落到地面上的点与D 点之间的距离 【答案】（1）160N （2）2 【解析】 【详解】 （1）小物块在水平面上从A 运动到B 过程中，根据动能定理，有： （F -μmg ）x AB = 1 2 mv B 2-0 在B 点，以物块为研究对象，根据牛顿第二定律得： 2B v N mg m R -=高考专题复习：圆周运动(精选.)
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