平面任意力系
平面任意力系是探究力学问题中采用的一种数学模型。该模型被广泛用于研究坐标系内的任意力的作用的原点以及其对物体的影响。它是一种理论模型，用于理解物体在任意力作用下的受力方向和大小。平面任意力系以三个坐标轴x, y以及z为基础，以这三个轴上的一组受力大小作为决定物体位置、速度和加速度的参数来描述它。
在静力学中，平面任意力系经常被用来模拟物体受若干外力作用下的质点力学运动。假设物体受到x轴、y轴和z轴上的n条外力作用，其受力状态可以用平面任意力系来描述。这些外力在平面任意力系上唯一确定，根据它们的方向以及大小可以计算得到受力物体的转动惯量和转矩。
在运动学中，平面任意力系也被用来描述物体的位置、速度和加速度情况。根据物体受到的初始加速度以及力学运动的运动方程，可以求得物体在任意时刻的位置、速度和加速度。这也可以看作是在一组外力的作用下，物体在平面任意力系中运动的过程，通过求解平面任意力系可以计算出物体在任意时刻的位置、速度和加速度。
平面任意力系是一个复杂的理论模型，但它可以简单有效地用于模拟坐标系内多外力作用情况下物体受力情况以及物体的运动状态，在力学和运动学方面都显示出其重要的应用价值。
第二章平面力系 教学目标：掌握平面力系向一点简化的一般结果和最终结果；掌握平面任意力系的平衡方程；掌握平面特殊力系的平衡方程。 重点、难点：平面力系平衡方程求解力学问题。 学时分配：8学时。 §2-1 平面任意力系的简化 一 平面任意力系向一点简化——主矢与主矩 设刚体上作用有n 各力1F 、2F 、…、n F 组成的平面任意力系，如图3-2a 所示，在力系所在平面内任取点O 作为简化中心，由力的平移定理将力系中各力矢量向O 点平移，如图3-2b 所示，得到作用于简化中心O 点的平面汇交力系1F '、2F '、…、n F '，和附加平面力偶系，其矩为1M 、2M 、…、n M 。 图3-2 平面汇交力系1F '、2F '、…、n F '可以合成为力的作用线通过简化中心O 的一个力R F '，此力称为原来力系的主矢，即主矢等于力系中各力的矢量和。有 ∑=''''n i 1=+++=+++=1212i n n R F F F F F F F F 平面力偶系1M 、2M 、…、n M 可以合成一个力偶，其矩为o M ，此力偶矩称为原来力系的主矩，即主矩等于力系中各力矢量对简化中心的矩的代数和。有 ∑=n i n o (M =M ++M +M =M 1i o 21)F 结论：平面任意力系向力系所在平面内任意点简化，得到一个力和一个力偶，如图所示，此力称为原来力系的主矢，与简化中心的位置无关；此力偶矩称为原来力系的主矩，与简化中心的位置有关。 利用平面汇交力系和平面力偶系的合成方法，可求出力系的主矢和主矩。如图所示，建立直角坐标系oxy ，主矢的大小和方向余弦为 21 2 1 2 2 )F ()F (=F F =F n i yi n i xi Ry Rx R ∑∑==+'+'
第二章平面力系 一、是非题 1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。（）2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。（）3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。（）4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。（）5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。（）6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。（）7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。（）8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。（）9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。（）10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。（）11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。（）12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（） 二、选择题 1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在 x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为 115.47N，则F在y轴上的投影为。 ①0； ②50N； ③70.7N； ④86.6N； ⑤100N。 2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、 y方向分解，则x向分力的大小为N，y向分力 的大小为N。 ①86.6； ②70.0； ③136.6； ④25.9； ⑤96.6； 3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示 四个力系作用，则和是等效力系。 ①图（a）所示的力系；
平面任意力系(一) 一、填空题 1、平面任意力系的主矢R F '与简化中心的位置 无 关,主矩o M 一般与简化中心的位置 有 关,而在__主矢为零___的特殊情况下,主矩与简化中心的位置 无 __ 关. 2、当平面力系的主矢等于零，主矩不等于零时，此力系合成为_一个合力偶. 3、如右图所示平面任意力系中,F F F F 1234===,此力系向A 点简化的结果是 0R F '≠,0A M ≠ ,此力系向B 点简化的结果是 0R F '≠,0A M = . 4、如图所示x 轴与y 轴夹角为α，设一力系在oxy 平面内对y 轴和x 轴上的A ，B 点有∑A m 0)(=F ,∑B m 0)(=F ,且∑=0y F ,但∑≠0x F ,l OA =,则B 点在x 轴上的位置OB =___/cos l θ ____. （题4图） （题5图） 5、折杆ABC 与CD 直杆在C 处铰接,CD 杆上受一力偶m N 2?=M 作用,m 1=l ,不计各杆自重,则A 处的约束反力为___2N___. 二、判断题 (√ ) 1.若一平面力系对某点之主矩为零,且主矢亦为零，则该力系为一平衡力 系. (√ ) 2.在平面力系中，合力一定等于主矢. (× ) 3.在平面力系中，只要主矩不为零，力系一定能够进一步简化. 1 F 2 F 3 F 4 F A B
(√ ) 4.当平面任意力系向某点简化结果为力偶时,如果再向另一点简化,则其结果是一样的. (×) 5.平面任意力系的平衡方程形式,除一矩式,二矩式,三矩式外,还可用三个投影式表示. (× ) 6.平面任意力系平衡的充要条件为力系的合力等于零. (× ) 7.设一平面任意力系向某一点简化得一合力,如另选适当的点为简化中心,则力系可简化为一力偶. (√ ) 8.作用于刚体的平面任意力系主矢 是个自由矢量,而该力系的合力(若 有合力)是滑动矢量,但这两个矢量 等值,同向. ( × ) 9.图示二结构受力等效. 三、选择题 1、关于平面力系与其平衡方程式，下列的表述正确的是_____D_ ___ A.任何平面任意力系都具有三个独立的平衡方程。 B.任何平面任意力系只能列出三个平衡方程。 C.在平面力系任意的平衡方程式的基本形式中，两个投影轴必须相互垂直。 D.平面任意力系如果平衡，则该力系在任意选取的投影轴上投影的代数和必为零。 2、关于平面任意力系的主矢与主矩，下列的表述正确的是____A__ ___ A.主矢的大小、方向与简化中心的选择无关。 B.主矩的大小、转向一定与简化中心的选择有关。 C.当平面任意力系对某点的主矩为零时，该力系向任何一点简化的结果为一合力。 D.当平面任意力系对某点的主矩不为零时，该力系向任何一点简化的结果均不可能为一合力。 3、一圆盘上,受力情况如图(a),(b),(c)所示，则____A_____是等效力系. A. (a)与(b) B. (b)与(c) C. (c)与(a) D. 无法比较
一、单选题 1、力在正交坐标轴上的投影大小（）力沿这两个轴的分力的大小。 A.不确定 B.等于 C.小于 D.大于 正确答案：B 2、分力（）合力。 A.大于 B.不一定小于 C.小于 D.等于 正确答案：B 3、两个力偶在同一作用面内等效的充要条件是（）。 A.力偶矩大小相等，且转向相同 B.力偶臂相等 C.力偶矩大小相等 D.转向相同 正确答案：A 4、两个力偶等效，力偶臂（）相等，组成力偶的力的大小（）相等。 A.不一定／一定 B.一定／不一定 C.一定／一定
D.不一定／不一定 正确答案：D 5、当力偶中任一力沿作用线移动时，力偶矩的大小（）。 A.增大 B.不变 C.无法确定 D.减小 正确答案：B 6、下列关于力矩的说法（）是正确的。 ①力矩的大小与矩心的位置有很大关系 ②力的作用线通过矩心时，力矩一定等于零 ③互相平衡的一对力对同一点之矩的代数和为零 ④力沿其作用线移动，会改变力矩的大小 A.①②③ B.①②③④ C.②③④ D.①②④ 正确答案：A 7、力偶对物体产生的运动效应为（）。 A.只能使物体移动 B.它与力对物体产生的效应相同 C.只能使物体转动 D.既能使物体转动，又能使物体移动 正确答案：C 8、（）是平面一般力系简化的基础。
A.二力平衡公理 B.力的可传性定理 C.力的平移定理 D.作用和与反作用公理 正确答案：C 9、作用在刚体上的力可以等效地向任意点平移，但需附加一力偶，其力偶矩矢量等于原力对平移点的力矩矢量。这是（）。 A.附加力偶矩定理 B.力的可传性定理 C.力的平移定理 D.力的等效定理 正确答案：C 10、平面平行力系有（）个独立的平衡方程，平面汇交力系有个（）独立的平衡方程。 A.2／2 B.3／3 C.3／2 D.2／3 正确答案：A 二、判断题 1、如果作用在刚体上的平面汇交力系的合力等于零，即力多边形自行封闭，则此力系平衡。（） 正确答案：√ 2、力偶不能用力来等效，但力可用力偶来等效。（） 正确答案：×
第3章 平面任意力系习题 一.是非题（对画√，错画×） 1.平面任意力系的主矢0∑='=n 1i i R F F =时，则力系一定简化一个力偶。 （ ） 2.平面任意力系中只要主矢0∑≠'=n 1 i i R F F =，力系总可以简化为一个力。 （ ） 3.平面任意力系中主矢的大小与简化中心的位置有关。（ ） 4.平面任意力系中主矩的大小与简化中心的位置无关。（ ） 5.作用在刚体上的力可以任意移动，不需要附加任何条件。（ ） 6.作用在刚体上任意力系若力的多边形自行封闭，则该力系一定平衡。（ ） 7.平面任意力系向任意点简化的结果相同，则该力系一定平衡。（ ） 8.求平面任意力系的平衡时，每选一次研究对象，平衡方程的数目不受限制。（ ） 9.桁架中的杆是二力杆。（ ） 10.静滑动摩擦力F 应是一个范围值。（ ） 二.填空题（把正确的答案写在横线上） 11.平面平行力系的平衡方程0)(0 )(i i ==∑∑==F F n 1 i B n 1i A M M ， 其限制条件 。 12.题3-12图平面力系，已知：F 1=F 2=F 3=F 4=F ,M=Fa ，a 为三角形边长，如以A 为简化中心，则最后的结果其大小 ，方向 。 13.平面任意力系向任意点简化除了简化中心以外，力系向 简化其主矩不变。 14.平面任意力系三种形式的平衡方程： 、 、 。 15.判断桁架的零力杆。题3-13a 图 、题3-13b 图 。 3 F 4 题3-12图
题3-13图 (a) (b) 三.简答题 16.平面汇交力系向汇交点以外一点简化，其结果如何？（可能是一个力？可能是一个力偶？或者是一个力和一个力偶？） 17.平面力系向任意点简化的结果相同，则此力系的最终结果是什么？ 题3-21图 '
第二章平面力系的简化与合成 引言 在工程实际中，作用于物体上的力系往往是较为复杂的。研究物体的平衡问题，就必须在保证作用效应完全相同的前提下，将复杂力系简化为简单力系，这就是力系的简化。而力系的合成则是将一个力系简化成一个力，用一个力代替一个力系。因此，力系的简化与合成是研究平衡问题的前提和基础。 本章将研究平面力系的简化与合成，为研究平衡问题打下基础。 基本要求 1、掌握投影及力矩的求法； 2、理解力偶的概念及性质； 3、掌握各种平面力系的简化方法； 4、理解力的平移定理，掌握固定端约束的约束反力画法。 第一节平面汇交力系的合成各力的作用线在同一平面内，且汇交于一点的力系称为平面汇交力系。 一、投影的概念及求法 力的作用效应取决于其大小、方向和作用点（对刚体而言是作用线），其大小、方向对作用效应的影响，可用力在坐标轴上的投影来描
述。力在坐标轴上的投影不仅表征了力对物体的移动效应，而且还是平面汇交力系合成的基础。 在力的作用面内任选一坐标轴，由力的作用线的始端和末端分别向该轴做垂线，所得的两垂足间的线段冠以适当的正负号，就称为该力在该坐标轴上的投影。具体说明如下： 设力Ｆ作用于物体上的Ａ点，其作用线为ＡＢ，在力Ｆ的作用线所在的平面内建立直角坐标系Oxy 。 浏览器不支持嵌入式框架，或被配置为不显示嵌入式框架。 从力Ｆ的两个端点Ａ、Ｂ分别作x 轴的垂线，得垂足a 、b ，在线段ab 前冠以适当的正负号，就称为力Ｆ在x 轴上的投影，记作F x ；同样从Ａ、Ｂ分别作y 轴的垂线，得垂足'a 、'b ，在线段'a 'b 前冠以适当的正负号，就称为Ｆ在y 轴上的投影，记作F y 。 力在坐标轴上的投影是代数量，其正负规定如下：若从始端对应的垂足（a 或a ￠）到末端对应的垂足（b 或b ￠）的趋势（指向）与坐标轴的正向一致，则力在坐标轴上的投影为正，反之为负。如图2-1中，F x 取正值，F y 取负值。 若力Ｆ的大小为F ，它与x 和y 轴所夹的锐角分别为α、β，则Ｆ在x 、y 轴上的投影分别为： F F F F F F x y =±?=±?=±?=±????cos sin sin cos αβαβ 上式表明，力在坐标轴上投影的大小，等于力的大小与力与该轴所夹锐角的余弦的乘积。
理论力学-平面力系 第二章平面力系 一、是非题 1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小 则可能大于该力的模。（） 2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。（） 3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。（） 4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。（） 5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其 对刚体的效应。（） 6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。（） 7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化 中心的位置无关。（） 8．平面任意力系，只要主矢≠0，最后必可简化为一合力。（） 9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。则此力系可合成为一个合力偶， 且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。（） 10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。（） 11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。（） 12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。（） 二、选择题 1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在 x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为 115.47N，则F在y轴上的投影为 ① 0； ② 50N；
③ 70.7N； ④ 86.6N； ⑤ 100N。 2．已知力的大小为=100N，若将沿图示x、 y方向分解，则x向分力的大小为，y向分力 的大小为 N。 ① 86.6； ② 70.0； ③ 136.6； ④ 25.9； ⑤ 96.6； 3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示 四个力系作用，则和是等效力系。 ① 图（a）所示的力系； ② 图（b）所示的力系； ③ 图（c）所示的力系； ④ 图（d）所示的力系。 4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力R 和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为。 ① 作用在O点的一个合力； ② 合力偶； ③ 作用在O点左边某点的一个合力； ④ 作用在O点右边某点的一个合力。 5．图示三铰刚架受力作用，则A支座反力的大 小为，B支座反力的大小
第二章平面力系 第1节平面汇交力系合成与平衡的几何法 若作用在物体上的力，其作用线均分布在同一平面内，则该力系称为平面力系。若作用在同一平面内的各力作用线均汇交于一点，则该力系称为平面汇交力系。 一、合成的几何法 应用力多边形法则，合力矢即是力多边形的封闭边，合力作用线通过力系的汇交点。如图2-1-1-1所示。 图2-1-1-1 若有n个力，则合力矢可以表示为 F R = F 1 + F 2 +?+ F n = ∑ i=1 n F i 二、平衡的几何法 平面汇交力系平衡的充要条件是：力多边形自行封闭。如图2-1-1-2所示。若矢量表示即为 F R =0 图2-1-1-2 第2节平面汇交力系合成与平衡的解析法 一、力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上的投影等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦，如图2-2-1-1所示，它是一标量，即 F x =Fcos?θ; F y =Fcos?β 力沿坐标轴的分力是一矢量，其合力与分力之间应满足力的平行四边形法则。如图 2-2-1-2所示。当坐标轴为直角坐标轴时，力沿坐标轴分解的分力可以表示为 F x = F x i; F y = F y i 合力投影定理：合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和，即 F x = ∑ i=1 n F xi ; F y = ∑ i=1 n F yi 当投影轴x与y垂直时，其合力的大小与方向为 F R = F x 2 + F y 2 , cos?( F R ,i)= F x F R ; cos?( F R ,j)= F y F R 二、合成的解析法 当为直角坐标轴时，可按以下方法来合成 F R = F x 2 + F y 2 = ( ∑ F xi ) 2 + ( ∑ F yi ) 2 cos?( F R ,i)= F x F R = ∑ F xi F R ; cos?( F R ,j)= F y F R = ∑ F yi F R 三、平衡的解析法 力系中各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即 ∑ F x =0; ∑ F y =0 上式称为平面汇交力系的平衡方程。 例1 如图2-2-1-3重物A质量m=10kg,悬挂在支架铰接点B处,A、C为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量，求重物处于平衡时，AB、BC杆的内力。 解： 取铰B为研究对象，受力图如图2-2-1-4所示。有 ∑ F x =0，? F 1 cos 30 0 + F 2 cos 45 0 =0 ∑ F y =0，? F 1 sin 30 0 + F 2 sin 45 0 ?P=0 求解得到F1=88 N，F2 =71.8 N。
平面任意力系的主矩与简化中心的位置 1. 概述 在静力学中，平面任意力系的主矩与简化中心的位置是一个重要的研究课题。主矩是指力系对某一点产生的合力矩，简化中心是指力系对某一点的合力矩为零的特殊点。研究主矩与简化中心的位置可以帮助我们更好地理解力系的性质和相互作用。 2. 平面任意力系的主矩 平面任意力系是指作用在同一平面上的多个力所组成的力系。在这样的力系中，力的方向和大小都是任意的，主矩则是力系对某一点产生的合力矩。主矩可由力的大小、方向和作用点到参考点的距离等因素决定。在计算主矩时，通常可以使用矢量法或解析法，根据具体情况选择合适的方法进行计算。 3. 主矩的计算方法 计算主矩时，可以先将力系分解为多个力的矢量和，然后分别计算每个力对参考点产生的单个力矩，最终将所有力矩相加得到主矩。另一种方法是使用解析法，通过数学方程式求解主矩的数值。在实际问题中，可以根据具体情况选择适当的计算方法，以便高效地求解主矩。 4. 简化中心的定义 简化中心是指力系对某一点的合力矩为零的特殊点。在平面任意力系
中，简化中心的位置可以通过数学方法求解。对于简化中心，有以下 几个重要特点： （1）简化中心的存在性：对于任意平面力系，都存在一个简化中心；（2）力系对简化中心的主矩为零：力系对简化中心的主矩等于零；（3）简化中心的独立性：简化中心的位置与力系的具体情况无关，只与力系的几何形状和作用点位置有关。 5. 简化中心的计算方法 计算简化中心的位置可以采用矢量法或解析法，具体计算方法取决于 力系的具体情况。在应用矢量法时，可以将力系分解为多个力的矢量和，通过平衡条件求解简化中心的位置。在应用解析法时，可以通过 坐标系和数学方程式求解简化中心的位置。选择合适的计算方法进行 求解简化中心是十分重要的。 6. 主矩与简化中心的关系 主矩与简化中心是密切相关的，它们相互依存、相辅相成。在力系的 平衡分析中，主矩和简化中心的计算是必不可少的环节。通过计算主 矩和简化中心的位置，可以更清晰地理解力系的平衡特性和作用规律。研究主矩与简化中心的关系对于力学领域具有重要意义。 7. 结论 平面任意力系的主矩与简化中心的位置是力学领域中重要的研究内容。研究主矩与简化中心的位置可以帮助我们更好地理解力系的性质和相
工程力学 第四章平面任意力系 第四章平面任意力系 §4-1 平面任意力系概念及工程实例 一、工程实例 平面任意力系实例 二、平面任意力系的概念 各个力的作用线在同一平面内,但不汇交于一点,也不都平行的力系称为平面任意力系。= = 力线平移定理: 作用于刚体上任一点的力可平移到刚体上任一点而不改变对刚体的作用效应,但需增加一附加力偶,附加力偶的力偶矩矢等于原力对新的作用点之矩矢。 一、力的平移定理 —附加力偶 §4-2 平面任意力系的合成与平衡 力线平移的几个性质: 1、当力线平移时,力的大小、方向都不改变,但附加力偶矩的大小与正负一般要随指定O 点的位置的不同而不同。
2、力线平移的过程是可逆的,即作用在同一平面内的一个力和一个力偶,总可以归纳为一个和原力大小相等的平行力。 3、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。 = = 应用力线平移定理,可将刚体上平面任意力系中各个力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。 从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化中心。 二、平面任意力系向一点简化 共点力系F1 、F2 、F3 的合成结果为一作用点在点O 的力FR 。这个力矢FR 称为原平面任意力系的主矢。 附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶,这力偶的矩用MO 代表,称为原平面任意力系对简化中心O 的主矩。 结论: 平面任意力系向平面内任一点的简化结果,是一个作用在简化中心的主矢和一个对简化中心的主矩。 推广:平面任意力系对简化中心O 的简化结果
主矩: 主矢: 讨论:主矢 大小: 方向: 说明 1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。 2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因此,在说到力系的主矩时,一定要指明简化中心。 主矩: 作为平面一般力系简化结果的一个应用,我们来分析另一种常见约束------固定端约束的反力。 固定端约束反力有三个分量: 两个正交分力,一个反力偶。 1、FR =0,而MO≠0,原力系合成为合力偶。这时力系主矩MO不随简化中心位置而变。 2、MO =0,而FR ≠0,原力系合成为一个合力。作用于点O 的力FR 就是原力系的合力,合力用FR表示。
平面一般力 平面一般力系：平面一般力系：指的是力系中各力的作用线在同一平面内任意分布的力系称为平面一般力系。又称为平面任意力系。平面一般力系通常可以简化为一个力和一个力偶共同作用的情况。平面一般力系的平衡条件是;平面一般力系中，所有各力在力系作用的平面内，两个互相垂直的坐标轴上投影的代数和分别等于零。即平面一般力系平衡的充分必要条件：主矢量和主矩都为零。 其平衡方程为： ΣFx=0 ΣFy=0ΣMo（F）=0 即力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上的投影的代数和都等于零；力系中所有各力对于任一点的力矩的代数和等于零 2.平衡方程的应用 平衡方程虽然有三种形式，但不论采用哪种形式，都只能写出三个独立的平衡方程。因此，应用平面一般力系的平衡方程，只能求解三个未知量。 应用平面一般力系平衡方程解题的步骤如下：①确定研究对象。根据题意，取能反映出未知量和已知量关系的物体为研究对象。②画受力图。在研究对象上画出它受到的所有主动力和约束反力。约束反力根据约束类型来画。约束反力的方向未定时，一般可用两个相互垂直的分反力表示；当约束反力的指向未定时，必须先假设其指向。如计算结果为正，则表示假设的指向正确；如果计算结果为负，则表示真实的指
向与假设的相反。③建立坐标系，列平衡方程。选取适当的平衡方程形式、投影轴和矩心。选取哪种形式的平衡方程，完全取决于计算的方便与否。通常力求在一个平衡方程中只包含一个未知量，以免求解联立方程。在应用投影方程时，投影轴应尽可能选取与较多的未知力的作用线垂直；应用力矩方程时，矩心应选取在两个未知力的交点。计算力矩时，要善于运用合力矩定理，以便使计算简单。④解平衡方程，求得未知量。⑤校核。列出非独立的平衡方程，以检查解题的正确与否。
理论力学平面任意力系的平衡条件及方程 一、平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的必要和充分条件为： 力系的主矢和对任一点的主矩 M O 都等于零， F R '=M O =∑M O (F i ) 二、平面任意力系的平衡方程 ∑F ix =0∑F iy =0∑M (F )=0 O i ⎧⎪ ⎨⎪⎩ ⎧∑F x =0 ⎨∑M A (F )=0⎩ ∑M B (F )=0 条件：x AB ⎪ ⎪⎧∑M A (F )=0⎨∑M B (F )=0⎩∑M C (F )=0条件：A ，B ，C 点 ⎪ ⎪ 上式只有 个独立方程，只能求出 个未知数。 [例]求图示刚架的约束力。 解：以刚架为研究对象，受力如图。
q ∑F x =0:F Ax -qb =0∑F y =0:F Ay -F =0 ∑M A (F )=0: M -Fa -1 qb 2=02=qb A 解 ： F Ax F Ay =F 2 12 A M =Fa +qb q [例]求图示梁的支座约束力。 解：以梁为研究对象，受力如图。 ∑F x =0:F Ax +F cos θ=0 ∑F y =0:F Ay +F B -F sin θ=0 ∑M A (F )=0:F B a -F sin θ⋅(a +b )-M =0 解 ： =-F cos θ F Ax = M +F sin θ(a +b )a B F =-M +Fb sin θAy F a [例] 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F 1=2 kN ，F 2=1.5 kN ，M =1.2 kN·m ， l 1=1.5 m ，l 2=2.5 m ，试求铰支座A 及支座B 的约束力。