第四章 空间任意力系
[习题4-1] 柱子上作有着1F 、2F 、3F 三个铅直力，已知kN F 801=，kN F 602=，
kN F 503=，三力位置如图4-14所示。图中长度单位为mm ，求将该力系向O 点简
化的结果。 解:
主矢量: )(190506080kN F F Rz R -=----== （↓）
方向余弦:
[习题4-2] 求图4-15所示平行力系合成的结果(小方格边长为mm 100)。 解:
主矢量: 0712937=++---=++++=D C B A O R F F F F F F
主矩: 方向余弦:
[习题4-3] 平板OABCD 上作用空间平行力系如图4-16所示，问x 、y 应等于多少才能使该力系合力作用线过板中心C 。 解: 主矢量：
y
200由合力矩定理可列出如下方程：
[习题4-4] 一力系由四个力组成，如图4-17所示。已知F 1＝60Ｎ，F 2＝400Ｎ，F 3＝500Ｎ，F 4＝200Ｎ，试将该力系向Ａ点简化(图中长度单位为mm)。 解：
[习题4-5] 一力系由三力组成，各力大小、4-18。A
的坐标(图中力的单位为Ｎ，长度单位为mm)。
解：
力系向A 点简化的结果：
本讲主要内容 1、空间任意力系向一点的简化及结果分析 2、空间任意力系的平衡方程及常见的空间约束 3、重心的计算
1、空间任意力系向一点的简化 及结果分析
(1) 空间任意力系向一点简化·主矢和主矩 F 1 F 2 F n 1 F ￠ 2F ￠ n F ￠ 1M 2 M n M 空间汇交力系与空间力偶系等效代替一空间任意力系. ) (i O i i i F M M F F ==￠及结果分析
主矢 汇交力系的合力 主矢大小方向作用点: 一般令其作用于简化中心上 2 2 2 R )()()(???++=￠iz iy ix F F F F R R ),cos(F F iz ￠= ￠?k F 1F ￠ 2F ￠n F ￠ 1 M 2 M n M k j i F F ????++==￠z y x i R F F F R F ￠R R ),cos(F F ix ￠= ￠?j F R R ),cos(F F ix ￠ = ￠?i F (与简化中心无关)
主矩 空间力偶系的合力偶矩 主矩大小方向作用位置: 刚体上任意位置 1 M 2 M n M ) (??==i O i O F M M M R F ￠O ),cos(M M x O ?= i M O M 由力对点的矩与力对轴的矩的关系，有 k j i M )()()(???++=i z i y i x O F M F M F M 2 2 2 ) ()()(???++=z y x O M M M M O ),cos(M M y O ?= j M O ),cos(M M z O ?= k M (一般与简化中心有关)
课时授课计戈I 」 第三章空间力系与重心 掌握力在空间直角坐标系上的投影的计算 掌握力对轴的矩的计算 掌握空间力系的平衡条件 掌握重心的概念 空间力系的平衡条件 力对轴的矩的计算 第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影 第二节力对轴的矩 第三节 空间力系的平衡条件 第四节物体的重心 课本 教学方法 课堂教学 授课日期 2011.10.22 1044-3 目 的 要 求
教学过程： 复习：1、复习约束与约束反力概念。 2、复习物体受力图的绘制。 课: 第三章 空间力系与重心 第一节力在空间直角坐标系上的投影 1. 力在直角坐标轴上的投影和力沿直角坐标轴的分解 若已知力F 与正交坐标系Oxyz 三轴间的夹角分别为a 、p 、丫， 如图4-1 所示，则力在三个轴上的投影等于力F 的大小乘以与各轴夹角的余弦, 即 X=F cos a Y=W cos p Z=F cos 丫 当力F 与坐标轴Ox Oy 间的夹角不易确定时，可把力 F 先投影到坐 标平面Oxy 上，得到力F 砂，然后再把这个力投影到x 、y 轴上。在图4-2 中, 已知角丫和卩，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为 (4-1) O 图4一 1 書
Z jr 乙Z
X=F sin 丫 COS 0 Y=F sin 丫 sin W Z=F cos 丫 若以人、人、人表示力F 沿直角坐标轴X 、y 、z 的正交分量，以i 、 j 、k 分别表示沿X 、y 、z 坐标轴方向的单位矢量，如图4-3所示，则 图4-2 戸=人+尸$+巧=为+Y +Zk 由此，力F 在坐标轴上的投影和力沿坐标轴的正交分矢 量间的关系可表示为 人=X ，人=Y ，人=zk (4-4) 如果己知力F 在正交轴系Oxyz 的三个投影，则力F 的大小和方向余弦为 F =J 护+尸+0 ￡ cos( F , i)= F (4-5) 例：图4-4所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力 E 的作用。已知斜齿 轮的齿倾角(螺旋角)P 和压力角a ，试求力E 沿x 、y 和z 轴的分力。 (4-2) (4-3)
第五章 空间任意力系 解：cos 45sin 60 1.22x F F KN ==o o cos45cos600.7y F F KN ==o o sin 45 1.4z F F KN ==o 6084.85x z M F mm KN mm ==? 5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=? 解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1cos cos y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 解：两力F 、F ′能形成力矩1M 1502M Fa KN m ==? 11cos 45x M M =o 10y M = 11sin 45z M M =o 1cos 4550x M M KN m ==?o 11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=?o 22505C z x M M M KN m =+=?63.4α=o 90β=o 26.56γ=o 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m，M 2 = 2 N·m，求力系向 O 点简化所得的主矢'R F 和主矩M O 。 题图
第六章空间力系重心习题概念题： 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6
4.7 4.8 4.9 4.10 4.11 4.12 计算题：
4.2 4.3 4.4
4.5 4.6 4.7
4.8 课后习题 6-1已知力P大小和方向如图所示，求里P对z轴的矩。（题6-1图a中的P位于其过轮缘上作用点的切平面内，且与轮平面成α=60度角；图b中的力P位于轮平面内与轮的法线成β=60度角）。 6-2作用于手柄端的力F=600KN，试求计算力在x,y,z轴上的投影及对x,y,z 轴之矩。 6-3图示三脚架的三只角AD，BD，CD各与水平面成60度角，且AB=BC=AC，绳索绕过D处的滑轮由卷扬机E牵引将重物G吊起，卷扬机位于∠ACB的等分线上，且DE与水平线成60度角。当G=30KN时 被等速地提升时，求各角所受的力。 6-4重物Q=10KN，由撑杆AD及链条BD和CD所支持。杆的A端以铰链固定，又A，B和C三点在同一铅垂墙上。尺寸如图所示，求撑杆AD和链条BD，CD 所受的力（注：OD垂直于墙面，OD=20cm）。 6-5固结在AB轴上的三个圆轮，半径各为r1,r2,r3；水平和铅垂作用力大大小F1=F1’,F2=F2’为已知，求平衡时F3和F3’两力的大小。
6-6平行力系由5个力组成，各力方向如图所示。已知：P1=150N，P2=100N，P3=200N，P4=150N，P5=100N。图中坐标的单位为cm。求平行力系的合力。 6-7有一齿轮传动轴如图所示，大齿轮的节圆直径D=100mm，小齿轮的节圆直径d=50mm。如两齿轮都是直齿，压力角均为α=20度，已知作用在大齿轮上的圆周力P1=1950N，试求转动轴作匀速转动时， 小齿轮所受的圆周力P2的大小及两轴承的反力。
5-1 5-2．在图示正方体的表面ABFE内作用一力偶，其矩M=50KN·m，转向如图；又沿GA，BH作用两力、',R=R'=502KN；α=1m。试求该力系向C点简化结果。 解：主矢： ' R=ΣF i=0 主矩：M c=M+m（R，R'） 又由M cx=－m（R，R'）·cos45°=－50KN·m M cY=0 M cz=M－m（R，R'）·sin45°=0 ∴M c的大小为 Mc=（M cx2+M cY2+M cz2）1/2 =50KN·m M c方向： Cos（M c，i）=cosα=M cx/Mc=－1，α=180°Cos（c，）=cosβ=M cY/Mc=0，β=90°Cos（c，）=cosγ=M cZ/Mc=0，γ=90°即c沿X轴负向
5-3．一个力系如图示，已知：F 1=F 2=F 3，M=F ·a ，OA=OD=OE=a ，OB=OC=2a 。试求此力系的简化结果。 解：向O 点简化，主矢'投影 Rx '=－F · 21 R Y '=－F ·2 1 R Z '=F ·2 '=－F ·21－F ·21+F ·2 主矩o 的投影： M ox =2 13Fa ，M oY =0，M oz =0 M o '=2 13Fa i R '·M o =－2 13aF 2≠0，R '不垂直M o 所以简化后的结果为力螺旋。 5-4曲杆OABCD 的OB 段与Y 轴重合，BC 段与X 轴平行，CD 段与Z 轴平行，已知：P 1=50N ，P 2=50N ；P 3=100N ，P 4=100N ，L 1=100mm ，L 2=75mm 。试求以B 点为简化中心将此四个力简化成最简单的形式，并确定其位置。
第六章 空间力系及重心 一、内容提要 1、空间力对点之矩和对轴之矩 1）空间力对点之矩是矢量，且F r F m o ?=)( 2）空间力对轴之矩是一代数量，其正负号按右手螺旋规则确定，大小有两种计算方法： （a ）先将力投影到垂直于轴的平面上，然后按平面上力对点之矩计算，即 )()(yz o Z F m F m = (b)若已知力在坐标轴上的投影F x 、F y 和F Z 及该力的作用点的坐标x 、y 、z ，则力对各坐标轴的矩可表示为 =)(F m x yF z -zF y =)(F m y zF x -xF z =)(F m z xF y -yF x 3) 力对点之矩和力对轴之矩的关系（力矩关系定理）： x o x F m F m )]([)(= y o y F m F m )]([)(= z o z F m F m )]([)(= 4）特殊情况 当力与轴平行或相交（即力与轴共面）时，力对轴之矩等于零。 2、空间任意力系的简化、合成 1）空间任意力系的简化、力系的主矢与主矩 主矢R /=∑F i , 主矢的大小和方向与简化中心的位置无关。 主矩M o =∑m o (F), 主矩的大小和转向一般与简化中心的位置有关。 2）空间任意力系的合成结果
空间任意力系的平衡方程的基本形式为 0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑Z F 0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y ，0)(=∑F m Z 2）几种特殊力系的平衡方程 （a ）空间汇交力系的平衡方程的基本形式为 0=∑x F ，0=∑y F ，0=∑Z F （b ）空间平行力系，若力系中各力与轴平行，则0≡∑x F ，0≡∑y F ， 0)(≡∑F m Z ，其平衡方程的基本形式为： 0=∑Z F ，0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y （c ）空间力偶系的平衡方程的基本形式为 0)(=∑F m x ，0)(=∑F m y ，0)(=∑F m Z 4、本章根据合力矩定理推导了重心坐标公式。对于简单形状的均质物体，其重心可用积分形式的重心坐标公式确定，或直接查表。至于复杂形状的均质物体的重心，可采用分割法或负面积（负体积）法求得。
第5章空间力系与重心 教学提示：本章介绍空间力系和重心、包括空间力的投影与分解、力对轴之 矩、空间力系的平衡、物体的重心.是静力学重要内容之一。 教学要求：本章是学生掌握以下内容，并学会实际应用。 (1) 空间汇交力系的概念 (2) 力对轴之矩和力对点之矩概念和计算 (3) 空间力偶系 (4) 空间力系的简化 (5) 空间力系的平衡条件和平衡方程 (6) 物体的重心 5.1力在直角坐标轴上的投影 已知力F与x轴如图5.1(a)所示，过力F的两端点A、B分别作垂直于x轴的平面M及N ，与x轴交于a、b，则线段ab冠以正号或负号称为力F在x轴上的投影，即 F x＝±ab 符号规定：若从a到b的方向与x轴的正向一致取正号，反之取负号。 已知力F与平面Q，如图5.1(b)所示。过力的两端点A、B分别作平面Q的 '称为力F在平面Q上的投影。应注意的是力在垂直线AA′、BB′，则矢量B A' 平面上的投影是矢量，而力在轴上的投影是代数量。 (a) (b) 图5.1 图5.2
现在讨论力F 在空间直角坐标系Oxy 中的情况。如图5.2(a)所示，过力F 的端点A 、B 分别作x 、y 、z 三轴的垂直平面，则由力在轴上的投影的定义知，OA 、OB 、O C 就是力F 在x 、y 、z 轴上的投影。设力F 与x 、y 、z 所夹的角分别是α、β、γ，则力F 在空间直角坐标轴上的投影为： ??? ??±=±=±=γβα c o s c o s c o s F F F F F F z y x (5－1) 用这种方法计算力在轴上的投影的方法称为直接投影法。 一般情况下，不易全部找到力与三个轴的夹角，设已知力F 与z 轴夹角为γ ,可先将力投影到坐标平面Oxy 上，然后再投影到坐标轴x 、y 上，如图5.2（b ）所示。设力F 在Oxy 平面上的投影为F xy 与x 轴间的夹角为θ，则 ??? ??±=±=±=γθγθγc o s s i n s i n c o s s i n F F F F F F z y x (5－2) 用这种方法计算力在轴上的投影称为二次投影法。 若已知力F 在坐标轴上的投影，则该力的大小及方向余弦为 ? ? ? ??===++=F Z F Y F X Z Y X F γβαcos ,cos ,cos 2 22 （5－3） 如果把一个力沿空间直角坐标轴分解，则沿三个坐标轴分力的大小等于力在这三个坐标轴上投影的绝对值。 例5.1 如图5.3所示，已知力F 1＝2kN ，F 2＝1kN ，F 3＝3kN ，试分别计算三力在x 、y 、z 轴上的投影。 图5.3 解：
第五章 空间任意力系 5.1解：cos 45sin 60 1.22x F F KN == cos45cos600.7y F F KN == sin 45 1.4z F F KN == 6084.85x z M F mm KN mm ==? 5070.71y z M F mm KN mm ==? 6050108.84z x y M F mm F mm KN mm =+=? 5.2 解：21sin cos sin x F F F αβα=- 1cos cos y F F βα=- 12sin cos z F F F βα=+12sin cos x z M F a aF aF βα==+ 1sin y M aF β= 121cos cos sin cos sin z y x M F a F a aF aF aF βααβα=-=--- 5.3解：两力F 、F ′能形成力矩1M 1502M Fa KN m ==? 11cos 45x M M =10y M = 11sin 45z M M = 1cos 4550x M M KN m ==? 11sin 4550100z z M M M M KN m =+=+=? 22505C z x M M M KN m =+=?63.4α= 90β= 26.56γ= 5.4 如图所示，置于水平面上的网格，每格边长a = 1m ，力系如图所示，选O 点为简化中心，坐标如图所示。已知：F 1 = 5 N ，F 2 = 4 N ，F 3 = 3 N ；M 1 = 4 N·m，M 2 = 2 N·m，求力系向O 点简化所得的主矢' R F 和主矩M O 。 题5.4图 解：' 1236R F F F F N =+-=
第六章空间力系和重心 教学目标 1 能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 2 了解空间力系向一点简化的方法和结果。 3 能应用平衡条件求解空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系的平衡问题。 4 能正确地画出各种常见空间约束的约束力。 5 对重心应有清晰的概念，能熟练地应用组合法求物体的重心。 本章重点 1 力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 2 空间汇交力系、空间任意力系、空间平行力系平衡方程的应用。 3 各种常见空间约束的约束力。 4 重心的坐标公式。 本章难点 空间矢量的运算，空间结构的几何关系和立体图。 教学过程（下页）
一、空间力系的简化 1．空间力系向一点简化 刚体上作用空间力系),,(21n F F F ，将力系中各力向任选的简化中心O 简化。 主矢：∑∑='=C i F F F ，与O 点选择无关。 （6-1） 主矩：∑∑∑?===)()(00i i i i F r F M M M ，与O 点的选择有关。 （6-2） 主矢F 和主矩0M 的解析表达式 222)()()(∑∑∑++=iz iy ix F F F F （6-3） F F x F ix ∑= ),cos( ，F F y F iy ∑= ),cos( ，F F z F iz ∑= ),cos( 2 220))(())(())((i z i y i x F M F M F M M ∑∑∑++= （6-4） 0) (),cos(M F M x M i x ∑= ，0 0) (),cos(M F M y M i y ∑= ，0 0) (),cos(M F M z M i z ∑= 结论：空间力系向任一点简化，一般可得到一力和一力偶，该力通过简化中心，其大小和方向等于力系的主矢，该力偶的力偶矩矢等于力系对简化中心的主矩。 2．空间力系简化的最后结果 （1）空间力系平衡 0=F ，00=M ，此空间力系为平衡力系。 （2）空间力系简化为一合力偶 0=F ，00≠M ，此空间力系简化为一合力偶，合力偶矩矢等于力系主矩0M 与简 化中心的位置无关。