2.1.1 第1课时变量与函数的概念
1．函数的定义
处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a；
(2)由函数的定义，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验：
①定义域和对应法则是否给出；
②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y.
(3)函数的三要素：
由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应法则、值域，这三个要素又称为函数的三要素．
初中所学的函数的三要素如下表：
个要素：定义域和对应法则．因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，
缺一不可．
(5)对符号f (x )的理解
①f (x )表示关于x 的函数，又可以理解为自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，不能分开写．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算，例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5；
②对于f (x )中x 的理解，虽然f (x )＝3x 与f (x ＋1)＝3x 从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f 施加法则的对象不一样(一个为x ，而另一个为x ＋1)，因此函数解析式也是不一样的；
③函数f (x )并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应法则，如图象、表格、文字、描述等；
④f (x )与f (a )的关系： f (x )表示自变量为x 的函数，表示的是变量，f (a )表示当x ＝a 时的函数值，是值域内的一个值，是常量，如f (x )＝x ＋1，当x ＝3时，f (3)＝3＋1＝4.
【例1－1】下列式子能确定y 是x 的函数的是( )
①x 2＋y 2＝2；②32
=
1
x y x +-；③y A ．①② B ．②③ C ．② D ．①③ 【例1－2】判断下列对应f 是否为集合A 到集合B 的函数？ (1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8；
(2)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1；n 为偶数时，f (n )＝1； (3)A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1.
点技巧 判断一个对应法则是否是函数关系的方法
从以下三个方面判断：(1)A ，B 必须都是非空数集；(2)A 中任一实数在B 中必须有实数和它对应；(3)A 中任一实数在B 中和它对应的实数是唯一的．注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余．
2．函数的定义域和值域 定义域
(1)函数的定义域是函数y ＝f (x )的自变量x 的取值范围． (2)对于函数的定义域，要从以下两方面考虑：
①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同的函数，如y ＝x 2(x ∈R )与y ＝x 2(x ＞0)；
②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的取值集合，在实际问题中，还必须使x 所代表的具体量符合实际意义．
(3)求函数定义域的原则：
①求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化；
②求函数的定义域就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围． a ．当f (x )是整式时，其定义域为R ；
b ．当f (x )是分式时，其定义域是使分母不为0的实数的集合；
c ．当f (x )是偶次根式时，其定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数的集合；
d ．由实际问题确定的函数，其定义域要受实际问题的制约．
【例2－1】求函数y ＝(x －1)0的定义域． 【例2－2】求下列函数的值域：
(1)1y (x ≥4)；(2)y ＝2x ＋1，x ∈{1,2,3,4,5}． 辨误区 求函数值域易疏忽的问题
(1)求值域时一定要注意定义域，如函数y ＝x 2－4x ＋6的值域与函数y ＝x 2－4x ＋6(x ∈[1,5))的值域是不同的；(2)在利用换元法求函数的值域时，一定要注意换元后新元取值范围的变化，例如求函数y ＝x ＋2x －1的值域时，令t ＝2x －1，将函数转化为关于自变量为t 的二次函数后，自变量t 的取值范围是t ≥0.
3．函数相等
当且仅当两个函数的三要素相同时，这两个函数是相等的．
由于函数的值域是由函数的定义域和对应法则决定的，因此两个函数的定义域和对应法则相同，那么这两个函数的值域就相同．即确定一个函数只需要两个要素：定义域和对应法则．因此判断两个函数是否为同一个函数，只需判断它们的定义域和对应法则是否相同即可．
判断两个函数是否相等的步骤是： (1)求定义域；
(2)判断定义域是否相同，若定义域不同，则这两个函数不相等，若定义域相同，再继续下一步；
(3)化简函数的解析式，若解析式相同即对应法则相同，则这两个函数相等，否则这两个函数不相等．
注意：上面的步骤(2)和(3)的顺序不能颠倒，否则就会出现错误．比如，函数y ＝x 3
x 的定
义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，函数y ＝x 2的定义域是R ，由于这两个函数的定义域不相同，则这两个函数不相等．但是若化简函数y ＝x 3x 的解析式为y ＝x 2
，则会错得函数y ＝x 3
x 与函数
y ＝x 2相等．
【例3－1】下列函数与函数g (x )＝2x －1(x ＞2)相等的是( ) A ．f (m )＝2m －1(m ＞2) B ．f (x )＝2x －1(x ∈R )
C．f(x)＝2x＋1(x＞2)
D．f(x)＝x－2(x＜－1)
【例3－2】判断下列各组中的函数f(x)与g(x)是否相等，并说明理由：
(1)f(x)＝x2，g(x)＝(x＋1)2；
(2)f(x)＝(x－1)0，g(x)＝1；
(3)f(x)＝x，g(x)
(4)f(x)＝|x|，g(x)
释疑点满足什么条件的两个函数相等
(1)只要两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，那么这两个函数就相等；(2)当两个函数的定义域和值域分别相同时，这两个函数也不一定是同一函数，因为函数的定义域和值域不能唯一确定函数的对应法则，例如：函数f(x)＝x和函数f(x)＝－x的定义域相同，均为R；值域也相同，均为R，但这两个函数不相等．
4．区间
区间是数学中表示“连续”的数集的一种形式．设a，b是两个实数，而且a＜b.我们规定：
(1)满足a≤x≤b的全体实数x的集合，叫做闭区间
．．．，记作[a，b]；
(2)满足a＜x＜b的全体实数x的集合，叫做开区间
．．．，记作(a，b)；
(3)满足a≤x＜b或a＜x≤b的全体实数x的集合，都叫做半开半闭区间
．．．．．．，分别记作[a，b)，(a，b]．
这里的实数a与b叫做区间的端点．
．．．
实数集R可以用区间(－∞，＋∞)表示，符号“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以把满足x≥a，x＞a，x≤b，x＜b的全体实数x的集合分别表示为[a，＋∞)，(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b)．
区间的几何表示如下表所示：
(1)a与b叫做区间的端点，在数轴上表示区间时，若端点属于这个区间，则端点用实心点表示；若端点不属于这个区间，则端点用空心点表示．
(2)区间是数轴上某一条线段或射线或直线上的所有点所对应的实数构成的集合，这是一种符号语言，即用端点对应的实数、＋∞、－∞、方括号及圆括号等符号来表示数集．
(3)区间符号内的两个字母(或数)之间要用“，”隔开．
(4)“＋∞”和“－∞”是符号，不是数，它们表示数的变化趋势．
(5)区间的形式必须是前面的数小，后面的数大，如(3,2)就不是区间，(2,2)也不是区间，即区间[a，b]隐含着a＜b这一条件．
(6)在平面直角坐标系中，(2,3)可表示点，也可表示区间，在应用时要注意区分，不要混淆．
【例4－1】将下列集合用区间表示出来：
(1){x|x≥－1}；(2){x|x＜0}；
(3){x|－1＜x≤5}；
(4){x|0＜x＜1或2≤x≤4}．
【例4－2】已知区间[－2a,3a＋5]，求a的取值范围．
5．映射
(1)映射的概念
设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x，在B 中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射．
这时，称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)．于是y＝f(x)，x称作y的原象．映射f也可记为f：A→B，x→f(x)．
其中A叫做映射f的定义域(函数定义域的推广)，由所有象f(x)构成的集合叫做映射f 的值域，通常记作f(A)．
如果映射f是集合A到集合B的映射，并且对于集合B中的任意一个元素，在集合A 中都有且只有一个原象，这时我们说这两个集合的元素之间存在一一对应关系，并把这个映射叫做从集合A到集合B的一一映射．
析规律对映射定义的理解应掌握五点
1．映射中的两个集合A和B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；
2．映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往是不相同的；
3．映射要求对集合A中的每一个元素在集合B中都有元素与之对应，而这个与之对应的元素是唯一的，这样集合A中元素的任意性和在集合B中对应的元素的唯一性构成了映射的核心；
4．映射允许集合B中存在元素在集合A中没有元素与之对应；
5．映射允许集合A中不同的元素在集合B中对应相同的元素，即映射只能是“多对一”或“一对一”，不能是“一对多”．
(2)映射与函数的关系
函数是特殊的映射，即当两个集合A，B均为非空数集时，则从A到B的映射就是函数，所以函数一定是映射，而映射不一定是函数，映射是函数的推广．
【例5－1】下列对应是A到B上的映射的是()
A．A＝N＋，B＝N＋f：x→|x－3|
B．A＝N＋，B＝{－1,1，－2}f：x→(－1)x
C．A＝Z，B＝Q f：x→3 x
D．A＝N＋，B＝R f：x→x的平方根
【例5－2】设f：A→B是A到B的一个映射，其中A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：(x，y)→(x－y，x＋y)．
求：(1)A中元素(－1,2)在B中的象；
(2)B中元素(－1,2)的原象．
6．具体函数的定义域的求法
已知函数的解析式，求函数的定义域，就是求使得函数解析式有意义的自变量的取值范围，常有以下几种情况：
2．函数的定义域是一个集合，必须用集合或区间表示出来．
【例6】求下列函数的定义域：
(1)y (2)1=
11y x
+；
(3)0
y (4)y 7．抽象函数的定义域的求法
求抽象函数的定义域是学习中的一个难点问题，常见的题型有如下两种：①已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域；②已知f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域．下面介绍一下这两种题型的解法．
(1)已知f (x )的定义域，求f (g (x ))的定义域．
一般地，若f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域是指满足不等式a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围．其实质是由g (x )的取值范围，求x 的取值范围．
(2)已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域．函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，指的是自变量x ∈[a ，b ]．
一般地，若f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域就是g (x )在区间[a ，b ]上的取值范围(即g (x )的值域)．其实质是由x 的取值范围，求g (x )的取值范围．
【例7－1】若函数f (x )的定义域为[－2,1]，求g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域． 【例7－2】(1)已知f (x )的定义域为[0,1]，求函数f (x 2＋1)的定义域； (2)已知f (2x －1)的定义域为[0,1]，求f (x )的定义域． 8．求函数的值域
求函数的值域是一个比较复杂的问题，虽然在给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就应该完全确定了，但求值域要注意方法．常用的方法有：
(1)分离常数法 (2)反解法
从y ＝f (x )的解析式中求出x ，得x ＝g (y )，通过求g (y )的定义域而得到原函数f (x )的值域．形如y ＝cx ＋d
ax ＋b
(a ≠0)的函数求值域可用此法．
(3)换元法
通过换元简化函数解析式，从而顺利地求出函数的值域． (4)判别式法
利用一元二次方程根的判别式求函数值域的方法．
若一个函数式y ＝f (x )能化为关于x 的一元二次方程，则可利用Δ＝b 2－4ac ≥0求得函数的值域．
点技巧 应用换元法和判别式法时应注意的问题
1．对于一些含根式的函数的值域问题，可以通过换元法转化成易于求解的整式函数(如二次函数)来解决．特别值得注意的是，利用换元法求函数值域时，一定要注意辅助元的取值范围，否则可能会产生错误．
2．形如y ＝ax 2＋bx ＋c
dx 2＋ex ＋f (ad ≠0)的函数求值域都可用判别式法，将原式转化得到关于x 的
整式方程，当二次项系数含有字母时，必须分成二次项系数为零和不为零两种情况进行讨论，只有当二次项系数不为零时，才能用判别式，但当原函数的定义域不为R 时，慎用判别式．
【例8－1】求函数1=
25
x
y x -+的值域．
【例8－2】求函数221
=1
x y x -+的值域．
【例8－3】求函数=2y x + 【例8－4】求函数23=
4
x
y x +的值域． 9．函数与集合的综合应用
定义域、对应法则和值域是函数的三要素，其中定义域是本节学习的重点和难点．函数的定义域是数集，“连续”的数集常用区间表示，也可以用集合的描述法或列举法表示，因此，函数与集合的综合应用题通常是在函数的定义域与集合的表示法的交汇处设置题目．
解决此类综合应用问题时，要注意： (1)能够正确求出函数的定义域
可以这样理解函数：把函数看成面粉加工厂，那么定义域就是这个工厂的原料——小麦，值域就是这个工厂的产品——面粉．因此，要看这个工厂加工成的面粉质量怎样，那么首先看看其所购原料(小麦)的质量如何？如果小麦质量不过关，再好的加工机加工出来的面粉质量也不过关．同样，讨论函数问题时，要遵守定义域优先的原则，如果求错了函数的定义域，那么无论后面的步骤怎样，本题就必定错了．
(2)能正确解决有关集合问题
如，能明确集合中的元素，会判断两个集合间的关系，能进行集合的交集、并集和补集运算，会借助于数轴或维恩图找到解决问题的思路等等．
【例9】已知函数(
f x A ，函数(
g x 的定义域是集合B ，若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．
参考答案
【例1－1】解析：对某一范围内的任意一个x，按照某种对应法则，都有唯一确定的y值和
它对应，则称y是x的函数．①由x2＋y2＝2，得=y y是x的
函数．②由
32
=
1
x
y
x
+
-
知，当x在{x|x≠1}中任取一个值时，由它可以确定唯一的y值与之对
应，故由它可以确定y 是x 的函数．③由20,
10
x x -≥⎧⎨-≥⎩得x 不存在，故由它不能确定y 是x 的
函数． 答案：C
【例1－2】分析：判断一个对应f 是否为集合A 到集合B 的函数，首先要判断它是否满足A 中的任意一个元素在B 中都有唯一确定的值与之对应．若满足，且A ，B 又是两个非空数集，则该对应是函数；若不满足，则它一定不是函数．
解：(1)集合A 中的元素没有剩余，即A 中的任何一个元素在B 中都有唯一确定的元素与之对应，同时集合A 和B 都是数集，故对应f 是集合A 到集合B 的函数．
同理，(2)中的对应f 也是集合A 到集合B 的函数．
(3)由于f (3)＝2×3－1＝5∉B ，即集合A 中的元素3在集合B 中没有元素与之对应，所以对应f 不是集合A 到集合B 的函数． 【例2－1】解：要使函数有意义，则要10,
10,
x x -≠⎧⎨
+>⎩解得x ＞－1，且x ≠1.
所以这个函数的定义域为{x |x ＞－1，且x ≠1}． 值域
求函数的值域问题首先必须明确两点：一是值域的概念，即对于定义域A 上的函数y ＝f (x )，其值域就是指集合C ＝{y |y ＝f (x )，x ∈A }；二是函数的定义域、对应法则是确定函数的依据．
【例2－2】解：(1)∵x ≥42≥.11≥，即y ≥1.
∴函数y 1(x ≥4)的值域为{y |y ≥1}．
(2)∵y ＝2x ＋1，且x ∈{1,2,3,4,5}，∴当x ＝1时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝5；当x ＝3时，y ＝7；当x ＝4时，y ＝9；当x ＝5时，y ＝11.∴函数的值域是{3,5,7,9,11}．
【例3－1】解析：对于A ，y ＝f (m )与y ＝g (x )的定义域与对应法则均相同，所以两个函数相等；对于B ，两个函数的定义域不同，所以两个函数不相等；对于C ，两个函数的对应法则不同，所以两个函数不相等；对于D ，两个函数的定义域与对应法则都不相同，所以两个函数不相等． 答案：A
【例3－2】分析：
解：(1)定义域相同都是R ，但是它们的解析式不同，也就是对应法则不同，故两个函数不相等．
(2)f (x )的定义域是{x |x ≠1}，g (x )的定义域为R ，它们的定义域不同，故两个函数不相等．
(3)定义域相同都是R .但是f (x )＝x ，g (x )＝|x |，即它们的解析式不同，也就是对应法则不同，故两个函数不相等．
(4)定义域相同都是R ，解析式化简后都是y ＝|x |，即对应法则相同，那么值域必相同，这两个函数的三要素完全相同，故两个函数相等．
【例4－1】解：(1){x |x ≥－1}＝[－1，＋∞)．
(2){x |x ＜0}＝(－∞，0)．
(3){x |－1＜x ≤5}＝(－1,5]．
(4){x |0＜x ＜1或2≤x ≤4}＝(0,1)∪[2,4]．
【例4－2】解：由题意可知3a ＋5＞－2a ，解之，得a ＞－1.
所以a 的取值范围是(－1，＋∞)．
【例5－1】解析：
【例5－2】解：(1)A 中元素(－1,2)在B 中的象为(－1－2，－1＋2)，即(－3,1)． (2)
设(x ，y )为B 中元素(－1,2)的原象，则=1,=2,x y x y --⎧⎨+⎩解得1=,23=.2
x y ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 所以B 中元素(－1,2)的原象为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 【例6】解：(1)由1010x x +≥⎧⎨-≥⎩，，，得11.
x x ≥-⎧⎨≥⎩，所以x ≥1.
故函数的定义域为[1，＋∞)．
(2)由0110x x
≠⎧⎪⎨+≠⎪⎩，，得x ≠0，且x ≠－1. 故函数的定义域为{x |x ≠0，且x ≠－1}．
(3)由10||0x x x +≠⎧⎨->⎩，，得1||.x x x ≠-⎧⎨>⎩
， 所以10.x x ≠-⎧⎨<⎩
， 故函数的定义域为{x |x ＜0，且x ≠－1}．
(4)由202320x x x -≥⎧⎨--≠⎩，，得0,122
x x x ≤⎧⎪⎨≠≠-⎪⎩，且.. 所以x ≤0，且12
x ≠-. 故函数的定义域为102x x x ⎧
⎫≤≠-⎨⎬⎩⎭
，且. 【例7－1】分析：由f (x )的定义域为[－2,1]，知对应法则f 作用的范围是[－2,1]，而f (x )＋f (－x )的定义域是指当x 在什么范围内取值时，才能使x ，－x 都在[－2,1]这个区间内，从而f (x )＋f (－x )有意义．
解：∵由题意，得2121x x -≤≤⎧⎨
-≤-≤⎩
，， ∴－1≤x ≤1.
∴g (x )＝f (x )＋f (－x )的定义域为[－1,1]．
【例7－2】分析：准确理解定义域的概念，弄清f (x )与f (g (x ))中x 的区别是解题关键． 解：(1)∵f (x 2＋1)中的x 2＋1的范围与f (x )中的x 的取值范围相同，
∴0≤x 2＋1≤1.
∴x ＝0，即f (x 2＋1)的定义域为{0}．
(2)∵由题意知f (2x －1)中，x ∈[0,1]，∴－1≤2x －1≤1.
又∵f (2x －1)中2x －1的取值范围与f (x )中的x 的取值范围相同，
∴f (x )的定义域为[－1,1]． 【例8－1】解：1(1)==2525x x y x x ---++＝17(25)2225
x x -+++＝1722(25)x -++.
∵2x ＋5≠0，∴12y ≠-.∴函数的值域为12y y y ⎧⎫∈≠-⎨⎬⎩
⎭R ，且. 【例8－2】解法一：222221122===1111
x x y x x x -+--+++. ∵x 2≥0，∴x 2＋1≥1.∴0＜
221
x +≤2.∴－1≤y ＜1. ∴函数的值域为[－1,1)． 解法二：由221=1x y x -+，得21=1
y x y ---. ∵x 2≥0，∴101y y --≥-，即101
y y +≤-. ∴(1)(1)01y y y -+≤⎧⎨≠⎩
，，解得－1≤y ＜1. ∴函数的值域为[－1,1)．
【例8－3】分析：
t 代替，则t ≥0，x ＝1－t 2.
解：
t (t ≥0)，则x ＝1－t 2.
∴y ＝2(1－t 2)＋4t ＝－2(t －1)2＋4≤4.
∴所求函数的值域是(－∞，4]．
【例8－4】分析：把函数转化为关于x 的二次方程F (x ，y )＝0，由于函数的定义域是非空集合，则方程有实根，因此判别式Δ≥0，从而求得原函数的值域．
解：由23=4
x y x +，得yx 2－3x ＋4y ＝0.由于函数定义域是非空的，因此关于x 的方程yx 2
－3x ＋4y ＝0必有解．
当y ＝0时，x ＝0，符合要求；
当y ≠0时，由Δ＝(－3)2－4×4y 2≥0，得3344y -
≤≤. 故函数的值域是3344
⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，.
2．1．1函数（第一课时） 【知识梳理】 自学课本P 29—P 31，填充以下空格。 1、设集合A 是一个非空的实数集，对于A 内 ，按照确定的对应法则f ，都有 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数，记作 。 2、对函数A x x f y ∈=),(，其中x 叫做 ，x 的取值范围（数集A ）叫做这个函数的 ，所有函数值的集合}),(|{A x x f y y ∈=叫做这个函数的 ，函数y=f(x) 也经常写为 。 3、因为函数的值域被 完全确定，所以确定一个函数只需要 。 4、依函数定义，要检验两个给定的变量之间是否存在函数关系，只要检验： ① ；② 。 【例题解析】 题型一：函数的概念 例1：下图中可表示函数y=f (x)的图像的只可能是（ ） 题型二：相同函数的判断问题 例2：已知下列四组函数：①x y x = 与y=1 ②y =y=x ③y =y =④2 1y x =+与2 1y t =+其中表示同一函数的是（ ） A ． ② ③ B. ② ④ C. ① ④ D. ④ 题型三：函数的定义域和函数值问题 例3：求下列函数的定义域 1、 （1）1 ()1f x x =+ （2）、0()f x x =+ （3） 、()f x =2、 例4：求函数21()1f x x =+，()x R ∈，求(0)f ,(1)f ,(2)f ,(1)f -,(2)f - 【当堂检测】 1、下列图形哪些是函数的图象，哪些不是，为什么？ 2、已知下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. ()1f x x =-和21()1 x f x x -=+ B. 0 ()f x x =和()1f x = C. 2 ()f x x =和2 ()(1)f x x =+ D. ()f x =和()g x = 3、求下列函数的定义域 （1）、1 ()2 f x x =- （2）()f x = （3）、0 (x )(1)f x =+ （4）1 ()2f x x = +- 4、已知21()1f x x = +，21 ()1 x g x x +=+ （1）求(2),g(2)f 的值 （2）求(g(2))f 的值 A B C D
17．1 变量与函数 随风潜入夜，润物细无声。出自杜甫的《春夜喜雨》 车前学校陈道锋 第1课时变量与函数的概念及其表示方法 1．了解常量与变量的含义，能分清实例中的常量与变量；初步理解函数的概念，了解自变量与函数的意义；(重点) 2．通过动手实践与探索，让学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，以提高分析问题和解决问题的能力； 3．引导学生探索实际问题中的数量关系，培养对学习的兴趣和积极参与数学活动的热情．(难点) 一、情境导入 在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．如图是某地一天内的气温变化图． 从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其他类似的数量关系呢？ 二、合作探究 探究点一：变量与常量 写出下列各问题中的关系式中的常量与变量： (1)分针旋转一周内，旋转的角度n(度)与旋转所需要的时间t(分)之间的关系式n＝6t；
(2)一辆汽车以40千米/时的速度向前匀速直线行驶时，汽车行驶的路程 s(千米)与行驶时间t(时)之间的关系式s＝40t. 解析：根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可答题． 解：(1)常量：6，变量：n，t； (2)常量：40，变量：s，t. 方法总结：确定在该过程中哪些量是变化的，而哪些量又是不变的，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称之为常量． 探究点二：函数的相关概念 【类型一】识别函数 下列关系式中，哪些y是x的函数，哪些不是？ (1)y＝x；(2)y＝x2＋z；(3)y2＝x. 解析：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变，其次看每一个x的值是否对应唯一确定的y值． 解：(1)此关系式只有两个变量，且每一个x值对应唯一的一个y值，故y 是x的函数； (2)此关系式中有三个变量，因此y不是x的函数； (3)此关系式中虽然只有两个变量，但对于每一个确定的x值(x>0)对应的都有2个y值，如当x＝4时，y＝±2，故y不是x的函数. 方法总结：由函数的定义可知在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于每一个确定的x值，y值有且只有一个值与之对应.当x值取不同的值时，y的值可以相等，也可以不相等，但如果一个x的值对应着两个不的y值，那么y一定不是x的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．【类型二】判断函数关系 判断下列变化过程中，两变量存在函数关系的是( ) A．x，y是变量，y2＝4x2 B．某人的数学成绩和物理成绩 C．三角形的底边长与面积 D．速度一定的汽车所行驶的路程与时间
2.1.1 第1课时变量与函数的概念 1．函数的定义 处的函数值，记作y＝f(a)或y|x＝a； (2)由函数的定义，我们要检验两个变量之间是否具有函数关系，只要检验： ①定义域和对应法则是否给出； ②根据给出的对应法则，自变量x在其定义域中的每一个值，是否都能确定唯一的函数值y. (3)函数的三要素： 由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应法则、值域，这三个要素又称为函数的三要素． 初中所学的函数的三要素如下表： 个要素：定义域和对应法则．因此，定义域和对应法则为“y是x的函数”的两个基本条件，
缺一不可． (5)对符号f (x )的理解 ①f (x )表示关于x 的函数，又可以理解为自变量x 对应的函数值，是一个整体符号，不能分开写．符号f 可以看作是对“x ”施加的某种法则或运算，例如f (x )＝x 2－x ＋5，当x ＝2时，看作对“2”施加了这样的运算法则：先平方，再减去2，最后加上5； ②对于f (x )中x 的理解，虽然f (x )＝3x 与f (x ＋1)＝3x 从等号右边的表达式来看是一样的，但由于f 施加法则的对象不一样(一个为x ，而另一个为x ＋1)，因此函数解析式也是不一样的； ③函数f (x )并不一定是解析式，它可以是其他任意的一个对应法则，如图象、表格、文字、描述等； ④f (x )与f (a )的关系： f (x )表示自变量为x 的函数，表示的是变量，f (a )表示当x ＝a 时的函数值，是值域内的一个值，是常量，如f (x )＝x ＋1，当x ＝3时，f (3)＝3＋1＝4. 【例1－1】下列式子能确定y 是x 的函数的是( ) ①x 2＋y 2＝2；②32 = 1 x y x +-；③y A ．①② B ．②③ C ．② D ．①③ 【例1－2】判断下列对应f 是否为集合A 到集合B 的函数？ (1)A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8,9}，f (1)＝f (2)＝7，f (3)＝8； (2)A ＝Z ，B ＝{－1,1}，n 为奇数时，f (n )＝－1；n 为偶数时，f (n )＝1； (3)A ＝B ＝{1,2,3}，f (x )＝2x －1. 点技巧 判断一个对应法则是否是函数关系的方法 从以下三个方面判断：(1)A ，B 必须都是非空数集；(2)A 中任一实数在B 中必须有实数和它对应；(3)A 中任一实数在B 中和它对应的实数是唯一的．注意：A 中元素无剩余，B 中元素允许有剩余． 2．函数的定义域和值域 定义域 (1)函数的定义域是函数y ＝f (x )的自变量x 的取值范围． (2)对于函数的定义域，要从以下两方面考虑： ①定义域不同，而对应法则相同的函数，应看作两个不同的函数，如y ＝x 2(x ∈R )与y ＝x 2(x ＞0)； ②若未加以特别说明，函数的定义域就是指使这个式子有意义的所有实数x 的取值集合，在实际问题中，还必须使x 所代表的具体量符合实际意义． (3)求函数定义域的原则： ①求函数的定义域之前，尽量不要对函数的解析式变形，以免引起定义域的变化；
19.1函数 19.1.1变量与函数 第1课时常量与变量 教学目标 一、基本目标 【知识与技能】 1．认识变量、常量． 2．学会用含一个变量的代数式表示另一个变量． 【过程与方法】 经历观察、分析、思考等数学活动过程，发展合情推理，有条理地、清晰地阐述自己观点． 【情感态度与价值观】 培养学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲． 二、重难点目标 【教学重点】 1．认识变量、常量． 2．用式子表示变量间关系． 【教学难点】 用含有一个变量的式子表示另一个变量． 教学过程 环节1自学提纲，生成问题 【5 min阅读】 阅读教材P71的内容，完成下面练习． 【3 min反馈】 1．在一个变化的过程中，我们称数值发生变化的量为变量，数值始终不变的量为常量．2．判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值是否发生变化． 3．每张电影票售价为10元，如果早场售出150张，日场售出205张，晚场售出310张．三场电影的票房收入各多少元？设一场电影售票x张，票房收入y元．怎样用含x的式子表示y? 解：早场电影票房收入：150×10＝1500(元)， 日场电影票房收入：205×10＝2050(元)，
晚场电影票房收入：310×10＝3100(元)， 关系式：y ＝10x . 4．在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律．如果弹簧原长10 cm ，每1 kg 重物使弹簧伸长0.5 cm ，怎样用含有重物质量m 的式子表示受力后的弹簧长度？ 解：挂1 kg 重物时弹簧长度：1×0.5＋10＝10.5(cm)， 挂2 kg 重物时弹簧长度：2×0.5＋10＝11(cm)， 挂3 kg 重物时弹簧长度：3×0.5＋10＝11.5(cm)， 关系式：L ＝0.5m ＋10. 环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S 与球的半径R 的关系式是S ＝4πR 2； (2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h (m)与它下落的时间t (s)的关系式是h ＝1 2 gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量x 千克与所付款W 元之间的关系式是W ＝1.8x . 【互动探索】(引发学生思考)在一个变化的过程中，常量和变量怎样区分？ 【解答】(1)S ＝4πR 2，常量是4，π，变量是S ，R . (2)h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0,4.9，变量是h ，t . (3)h ＝12gt 2(其中g 取9.8 m/s 2)，常量是1 2，g ，变量是h ，t . (4)W ＝1.8x ，常量是1.8，变量是x ，W . 【互动总结】(学生总结，老师点评)常量与变量必须存在于同一个变化过程中，判断一个量是常量还是变量，需要看两个方面：一是看它是否在一个变化过程中；二是看它在这个变化过程中的取值情况是否发生变化． 活动2 巩固练习(学生独学) 1．小军用50元钱去买单价是8元的笔记本，则他剩余的钱Q (元)与他买这种笔记本的本数x 之间的关系是( C ) A ．Q ＝8x B ．Q ＝8x －50 C ．Q ＝50－8x D ．Q ＝8x ＋50 2．甲、乙两地相距s 千米，某人行完全程所用的时间t (时)与他的速度v (千米/时)满足
14.1.1《变量与函数》 一．内容和内容解析 【教学内容】 《14.1变量与函数》是义务教育课程标准实验教科书人教版八年级上册第十四章第一单元，教参建议本单元内容5个课时完成．我们把第1、2、3小节整合为两个课时，第1课时介绍变量与函数的概念，第2课时探索量与量之间的函数关系，并用合适的函数表示方法进行描述，第3课时认识函数图象（“看图说话”），第4、5课时画函数图象．本设计是第1课时，是典型的概念课，引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容． 【教材分析】 函数是数学中最重要的基本概念之一，它刻画了现实世界中一类数量关系之间的“特殊对应关系”．方程、不等式、函数是初中数学的核心概念，它们从不同的角度刻画一类数量关系．本节课是函数入门课，首先必须准确认识变量与常量的特征，初步感受到现实世界各种变量之间联系的复杂性，同时感受到数学研究方法的化繁就简，在初中阶段主要研究两个变量之间的特殊对应关系．课本的引例较为丰富，但有些内容学生较为陌生，本设计只选取了其中较为简单的例子．考虑到初中列函数的解析式是一个难点，其本质是用 f x表示y，本节课中涉及的列函数解析式不是新的教学内容（将来学的待含x的式子() 定系数法才是新的教学内容），也不是本节课能解决的问题，因此把设计的重点放在认识“两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一变量；唯一确定的含义．”考虑到学生在日常生活中也能接触到函数图象，函数图象较为直观形象，便于学生理解函数的概念，因此把函数图象中的部分内容提前到第1课时． 【学情分析】 变量与函数的概念把学生由常量数学的学习引入变量数学学习中.“变量与函数”较为抽象，学生初次接触函数的概念，难以理解定义中“唯一确定”的准确含义．另一方面，学生在日常生活中也接触到函数图象、两个变量的关系等生活实例．在本节教学中，试图
《函数的概念》的教学设计 【教材分析】 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学Ⅰ必修本（A 版）》的第一章1.2.1函 数的概念。函数是中学数学中最重要的基本概念之一，它贯穿在中学代数的始终，从初一字母表示数开始引进了变量，使数学从静止的数的计算变成量的变化，而且变量之间也是相互联系、相互依存、相互制约的，变量间的这种依存性就引出了函数。在初中已初步探讨了函数概念、函数关系的表示法以及函数图象的绘制。到了高一再次学习函数，是对函数概念的再认识，是利用集合与对应的思想来理解函数的定义，从而加深对函数概念的理解。函数与数学中的其他知识紧密联系，与方程、不等式等知识都互相关联、互相转化。函数的学习也是今后继续研究数学的基础。在中学不仅学习函数的概念、性质、图象等知识，尤为重要的是函数的思想要更广泛地渗透到数学研究的全过程。 函数是中学数学的主体内容，起着承上启下的作用。函数又是初等数学和高等数学衔接的枢纽，特别在应用意识日益加深的今天，函数的实质是揭示了客观世界中量的相互依存又互有制约的关系。因此对函数概念的再认识，既有着不可替代的重要位置，又有着重要的现实意义。本节的内容较多，分二课时。本课时的内容为：函数的概念、函数的三要素、简单函数的定义域及值域的求法、区间表示等。（第二课时内容为：函数概念的复习、较复杂函数的定义域及值域的求法、分段函数、函数图象等） 【学情分析】 学生在学习本节内容之前，已经在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系。然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度。初中是用运动变化的观点对函数进行定义，虽然这种定义较为直观，但并未完全揭示出函数概念的本质。例如，对于函数 ⎩⎨ ⎧=是无理数时 当是有理数时 当x x x f ,0,1)( 如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但如果用集合与对应的观点来解释，就十分自然。因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要。由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性。高一学生虽然在初中已接触了函数的概念，但在重新学习它时还是存在一定的障碍，其中一个原因就是对新引进的函数符号“y=f(x)”不甚其解。教师应在教学中有意识地挖掘函数符号的审美因素，以美启真。在本节课的教学过程中，教师应该给学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而理解问题的本质，归纳总结出结论。 【学法指导】 本节内容的学习要注意运动变化观和集合对应观两个观念下函数定义的对比研究；注意借助熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数加深对函数这一抽象概念的理解；要重视符号f(x)的学习，借助具体函数来理解符号y=f(x)的含义，由具体到抽象，克服由抽象的数学符号带来的理解困难，从而提高理解和运用数学符号的能力。 【教学目标】 知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数 学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素及函数符号的深刻含义；会求一些简单函数的定义域及值域。 能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽象、归纳 概括的逻辑思维能力；培养学生联系、对应、转化的辩证思想；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。 情感目标—— 渗透数学思想和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣和热情；强化 学生参与意识，培养学生严谨的学习态度，获得积极的情感体验；体会在
高一数学第二章第二课时学案 制作人：李杰 校对人：李玉前 使用时间：2017年9月11 日 领导签字： 2.1.1函数-------变量与函数的概念 一．学习目标 1. 深入理解函数的概念和记号y=f(x)的含义，进一步培养学生运用函数模型表达、思考和解决函数有关问题的能力。 2. 能正确求抽象函数的定义域和一些简单函数的值域。 3. 了解函数模型的广泛应用，树立数学应用观点。 二．自学导引 2.求下列函数的定义域： （1）()f x = （2）1 ()2 f x x =-； （3）y = （4）()1 f x x =+ []1,41f(x)的定义域为，求下列函数的定义域（） [][]1 (1)(2)2,4()22,4()f x f x f f x +问题拓展若的定义域为，求的定义域；（）若的定义域为，求的定义域。
[]. (1)-2,3(21)y f x f x =+-问题拓展2函数的定义域是，求的定义域。 问题拓展3 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41 (-⋅x f 的定义域。 例2 求下列函数的值域： （1）}4,3,2,1{,12∈+=x x y （2）1+=x y （4）x y 11+= 四．课堂练习及课后作业 1. 求下列函数的值域 (1)f(x)=3x －1(｛x|11x x Z -≤≤∈且｝) ()(){}2 (2)11,x 1,0,1,2,3f x x =-+∈- ()()2 (3)11f x x =-+ (4)28 (12)y x x =≤≤ 2. (1) []-1,1(21)f x -已知函数f(x)的定义域是，则函数的定义域; (2) 若函数f(x)的定义域为（1,2），求函数f(3x+1)的定义域； (3). 若函数f （3x+1）的定义域为（1,2），求函数f(x)的定义域. 五．今天我学到了什么？ 132 ++=x x y ）（
九年级数学下册 26.1.1 二次函数（快乐预习+轻松尝 试）导学案 新人教版 学前温故 1．函数的基本概念：在一个变化过程中，有______变量x 和y ，并且对于x 每一个确定的值，y 都有__________的值与其对应，那么我们就说y 是x 的______，也可以说x 是________，y 是________． 2．一般地，形如y ＝kx ＋b (k ≠0，k ，b 均为常数)的函数，叫做__________，当b ＝0时称y 为x 的________函数，正比例函数是一次函数中的______情况，可表示为________． 新课早知 1．二次函数的概念：一般地，形如y ＝ax 2＋bx ＋c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函 数叫做二次函数，其中ax 2是二次项，______是一次项，c 是常数项，______是二次项系数， ______是一次项系数． 2．圆面积公式S ＝πR 2，S 与R 之间的关系是( )． A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．二次函数 D ．以上答案都不对 3．二次函数的三个特征：(1)函数关系式必须是______；(2)化简后二次函数的最高次数必须是______次；(3)二次项系数必须不为______． 4．函数y ＝(n －3)xn 2－7＋2x －1是二次函数，则n ＝__________. 答案：学前温故 1．两个 唯一确定 函数 自变量 因变量 2．一次函数 正比例 特殊 y ＝kx 新课早知 1．bx a b 2．C 因为系数是π≠0，次数是2次，所以为二次函数，故选C. 3．(1)整式 (2)2 (3)0 4．－3 函数是二次函数应满足⎩⎪⎨⎪⎧ n －3≠0，n 2－7＝2，解得n ＝－3，故填－3. 1．二次函数的概念 【例1】已知函数y ＝(m ＋2)xm 2＋m －4＋2x ＋6是关于x 的二次函数，求满足条件的m 的值． 分析：由二次函数的概念，可以得到m 2＋m －4＝2，且m ＋2≠0，解得m ＝－3，或m ＝ 2. 解：根据题意可得，m 2＋m －4＝2，且m ＋2≠0， 解得m ＝－3，或m ＝2. 即满足条件的m 的值为m ＝－3，或m ＝2. 点拨：判断一个函数是否为二次函数，应根据二次函数的三个特征作出判断，缺一不可． 2．列二次函数关系式 【例2】某果园有100棵橙子树，每一棵平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量．但是如果多种树，树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子． (1)若设增种x 棵橙子树，果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． (2)y 与x 的函数关系式是几次函数，自变量x 的取值范围有何限制？
《函数的概念》说课教案5篇 《函数的概念》说课教案1 教材分析：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想. 教学目的： (1)通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用”区间”的符号表示某些函数的定义域; 教学重点：理解函数的模型化思想，用合与对应的语言来刻画函数; 教学难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域和值域的区间表示; 教学过程： 一引入课题 1. 复习初中所学函数的概念，强调函数的模型化思想; 2. 阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想： (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 备用实例： 我国2003年4月份非典疫情统计： 日期 22 23 24 25 26 27 28 29 30 新增确诊病例数 106 105 89 103 113 126 98 152 101 3. 引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系; 4. 根据初中所学函数的概念，判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函
数关系. 二新课教学 (一)函数的有关概念 1.函数的概念： 设AB是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数(function). 记作： y=f(x)，x∈A. 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域(domain);与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range). 注意： ○1 “y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”; ○2 函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f 乘x. 2. 构成函数的三要素： 定义域对应关系和值域 3.区间的概念 (1)区间的分类：开区间闭区间半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示. 4.一次函数二次函数反比例函数的定义域和值域讨论 (由学生完成，师生共同分析讲评) (二)典型例题 1.求函数定义域 课本P20例1 解：(略) 说明： ○1 函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果课前三个实例;
2.1.3 函数的图象 课堂导学 三点剖析 一、画常见函数的图象 【例1】作出下列函数的图象： （1）y=1-x,x∈Z； （2）y=2x2-4x-3,0≤x<3. 思路分析：(1)∵定义域为Z， ∴这个函数图象是由一些间断的点组成，这些点都在直线y=1-x上. (2)∵0≤x<3,y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5, ∴图象为抛物线y=2x2-4x-3上的一段弧，其中（0，-3）在图象上，用实心点表示. 而点（3，3）不在图象上，用空心点表示. 解析：函数y=1-x（x∈Z）和y=2x2-4x-3（0≤x<3）的图象如下图所示. 温馨提示 在（2）中定义域为0≤x<3，画图时，不能把x=0,x=3相对应的点都画成实心点. 二、画含绝对值符号的函数的图象 【例2】画出下列函数的图象. （1）y=x|2-x|； （2）y=|x2-4x+3|. 思路分析：含有绝对值号的要设法把绝对值号去掉. (1)y=x|2-x|= ∴其图象由抛物线y=(x-1)2-1(x≥2）和y=-(x-1)2+1(x<2)的两部分组成. （2）y=|x2-4x+3|= 图象由两条抛物线的两段组成. 解析：两函数的图象如下图所示 温馨提示
含绝对值号的一般进行讨论分成两段，其图象是由两个函数的图象组合而成.对于（2）还可用以下画法： 先画出y=x2-4x+3=(x-2)2-1的图象，x轴上方的保留不动，x轴下方的沿x轴翻折上去，如上图（2）. 对于y=|f(x)|的图象都可用此法，即先画出y=f(x)的图象，x轴上方保留不动，x 轴下方沿x轴翻折上去. 三、函数图象的应用 【例3】某人开车沿直线旅行，先前进了a km，到达目的地后游玩用去了一段时间，又原路返回 b km（b 函数表示方法 课堂导学 三点剖析 一、用适当方法表示函数及分段函数 【例1】 f(x)= (1)求f(1),f(-2),f(a2+1),f［f(0)］值； 〔2〕画出f(x)图象. 思路分析：〔1〕先确定自变量取值属于哪一段，再用该段解析式求函数值.〔2〕分两段作函数图象，每一段一般都先作出端点. 解析：(1)f(1)=12+1=2, f(-2)=2×〔-2〕+1=-3， f(a2+1)=(a2+1)2+1=a4+2a2+2, f［f(0)］=f(1)=12+1=2. (2)f(x)图象如下列图所示. 温馨提示 (1)关键是理解分段函数意义，即自变量在不同范围内取值时，相应函数解析式不同. 〔2〕f［g(x)］是g(x)作为自变量执行“f〞这个对应法那么，求f［f(x0)］值应从里向外求. 二、求函数解析式 【例2】〔1〕f(x)是二次函数，且满足f(0)=1, f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)； 〔2〕f(x+4〕=x+8x,求f(x2). 思路分析：〔1〕可设出二次函数，根据条件，确定待定系数.〔2〕中应先求出f(x)，再求f(x2). 解析：〔1〕∵f(x)是二次函数， 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由f(0)=1得c=1. 由f(x+1)-f(x)=2x,得 a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x. 左端展开整理得2ax+(a+b)=2x. 由恒等式原理知∴∴f(x)=x2-x+1. (2)设t=x+4.∴x=t-4(t≥4). 由f(x+4)=x+8x可得f(t)=(t-4)2+8(t-4)=t2-16(t≥4〕. ∴f(x)=x2-16(x≥4〕. ∴f(x2)=x4-16(x≥2或x≤-2〕. 温馨提示 在〔2〕中求f(x2)，千万不能直接代入f(x+4)=x+8x，得f(x2)=x2+8|x|，这是没明白x2与x+4有同等地位，都执行“f〞这个对应法那么导致. 14.1.变量与函数（第一课时） ◆随堂检测 1、一根蜡烛原长a （cm ），点燃后燃烧的时间为t （分钟），所剩余的蜡烛的长y(cm)，其中是变量的 ，常量是 。 2、在圆的周长公式C=2πr 中，常量是 ，变量是 。 3、汽车在匀速行驶的过程中，若用s 表示路程，v 表示速度，t 表示时间，那么对于等式s=vt ，下列说法正确的是（ ） A.s 与v 是变量，t 是常量 B.t 与s 是变量，v 是常量 C.t 与v 是变量，s 是常量 D.s 、v 、t 三个都是变量 ◆典例分析 例题：写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中那些是常量，那些是变量 （1）用总长为60（m ）的篱笆围成长方形场地，长方形的面积为S （m 2 ）与一边长为x （m ）之间的关系式。 (2)用总长为L （m ）的篱笆围成长方形场地，长方形的面积为60（m 2），一边长为x （m ）。求L 与x 之间的关系式 分析：常量和变量时两个对立而又统一的量。它们是对“某一过程”而言的，是相对的，“某一过程”的条件不同，常量和变量就可能不同。 解：（1）由长方形的性质可求得另一边的长为 x x -=-302 260，根据长方形面积公式可得230)30(x x x x S -=-=。其中30是常量，x 、S 是变量。 （2）由长方形面积可得另一边的长为 x 60，则长方形的周长是⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+x x 602，所以x x L 2120 += ， 其中120，2是常量，L 、x 是变量。 ◆课下作业 ●拓展提高 1、《大河报》每份0.5元，购买《大河报》所需钱数y （元）与所买份数x 之间的关系是 ，其中 是常量， 是变量。 第二章 基本初等函数 2.1指数函数 考纲要求：（1）掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中 （2）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，会对根式、分数指数幂进行 互化. （3）理解指数函数的概念，并能正确作出其图象，掌握指数函数的性质. （4）掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性. 第一课时 2.1.1指数与指数幂的运算（1） 学习目标 1、理解指数幂指数取值范围的扩充，能够进行分数指数幂与根式的互化 2、掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用运算公式进行有理数指数幂的运算和化简，会进行根式与有理数指数幂的相互转化。 重点、难点 掌握有理数指数幂的运算性质，灵活地运用运算公式进行有理数指数幂的运算和化简，会进行根式与有理数指数幂的相互转化。 【课前导学】 1、 根式： (1) n 次方根的定义 _____________________________________ (2)a 的n 次方根的取值规律： ① 当n 为奇数时 0a >，a 的 n 次方根为一个正数; 0a <，a 的n 次方根为一个负数; 0a = ，a 的n 次方根为零． ② 当 n 为偶数时 0a >，a 的n 次方根为两个互为相反数的数; 0a <，a 的n 次方根不存在; 0a =，a 的n 次方根为零． (3) a 的n 次方根的符号表示___________________________ (4)根式运算的依据 2、 分数指数幂 （1）.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： *______(0,,,1) m n a a m n N n =>∈>， *___________(0,,,1)m n a a m n N n -==>∈> 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 （2）．实数指数幂的运算性质 （1）______r s a a ⋅=),,0(R s r a ∈> （2）()______r s a =),,0(R s r a ∈> （3）()______r ab =),,0(R s r a ∈> 【预习自测】 1、化简 ① 55)31(-． ② 66)31(-． ③2243 49b ab a +-．（a ＜6b ） 2、求下列各式的值： （1）432 9 81⨯; （2）63125.132⨯⨯; （3） 1075325555⋅⋅ 2.1.2 函数的定义域、值域 课堂导学 三点剖析 一、求函数的定义域 【例1】 求下列函数的定义域,并用区间表示. （1）f(x)= ； （2）f(x)= ; (3)f(x)=； (4)f(x)=-+. 思路分析：当函数解析式给出，定义域就是使其解析式有意义自变量的范围；当一个函数由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时［如（3）（4）］，定义域是使各个部分都有意义的公共部分的集合 . 解析：（1）要使f(x)=21-x 有意义，必须x-2≠0，所以x ≠2. 故函数的定义域是{x|x ≠2}，区间表示为（-∞,2)∪(2,+∞). (2)要使f(x)=23+x 有意义，必须3x+2≥0，所以x ≥- . 故函数的定义域是{x|x ≥- 32}，区间表示为［-32,+∞］. (3)由于00没有意义，所以x+1≠0. ① 又分式的分母不可为零，开偶次方根被开方数非负，所以|x|-x ≠0，即x<0. ② 由①②可得函数的定义域为{x|x<0且x ≠-1}，区间表示为（-∞，-1）∪（-1，0）. （4）要使函数f(x)=32+x -x -21 +x 1有意义，必须 所以-≤x<2且x ≠0，故函数的定义域为{x|-2 3≤x<2且x ≠0}，区间表示为［-2 3,0)∪（0，2）. 二、函数值域的求法 【例2】 求下列函数的值域： （1）y=x 2-4x+6，x ∈［1，5）； （2）y=. 解析：这是二次函数在定义域范围内求值域的问题，可用配方法，结合二次函数的图象（如右图）来求. （1）配方，得y=（x-2）2+2. ∵x ∈［1,5)， ∴函数的值域为{y|2≤y<11}. (2)∵y=245x x -+=- ， 显然，y 1=5+4x-x 2的最大值是9，故函数y=245x x -+的最大值是3，且y ≥0. ∴函数y=245x x -+的值域是［0，3］. 温馨提示 求函数值域常用的方法：①观察法：根据完全平方式、算术根、绝对值都是非负数的特点，以及函数的图象、性质等，观察得出函数的值域.②配方法：二次函数或转化为形如 F （x ）=a ［f(x)］2+bf(x)+c 的函数的值域，均可采用配方法求之.③分离变量法：一般形 如y=可用此法求解.④换元法：形如y=ax+b ±(a 、b 、c 、d 均为常数，且ac ≠0）的函数，一般设t=d cx +，然后x 用t 表示出来，代入原函数，使原函数转化为关于t 的二次函数，从而求出函数的值域，一定要注意t 的范围，t ≥0. 三、求形如f ［g(x)］的定义域 【例3】 若函数f(x)的定义域是［1，4］，求f(x+2)、f(x 2)的定义域. 解析：∵f(x)的定义域为［1,4］, ∴使f(x+2)有意义的条件为1≤x+2≤4， 即-1≤x ≤2，则f(x+2)的定义域是［-1，2］. 同理，由1≤x 2≤4，即-2≤x ≤-1或1≤x ≤2，则f(x 2)的定义域为［-2,-1］∪［1， 2］. 温馨提示 这里易误解为：由1≤x ≤4,∴3≤x+2≤6.∴f(x+2)的定义域为［3，6］，忽视了f(x+2)有意义的条件，习惯性地代换x 是错因. 各个击破 类题演练 1 函数y=的定义域为___________________. 解析：由已知应有 解得x≥-4且x≠-2， 《2．1．1离散型随机变量》导学案 【导学过程】 一教材导读 1、随机变量定义：． 2、随机变量的表示方法：． 思考1：随机变量和函数的区别和联系？ 3、离散型随机变量 4、离散型随机变量的特征： 思考2：电灯泡的寿命x是离散型随机变量吗？ 二、题型导航 题型一、随机变量概念的辨析 【例1】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是：（） (A)两次出现的点数之和；(B)两次掷出的最大点数； (C)第一次减去第二次的点数差；(D)抛掷的次数。 变式1 ： （1）某市一中公交车站每天候车亭候车的人数X；（2）张三每天走路 的步数Y；（3）下落的篮球离地面的距离Z；（4）每天停靠某港的船 的数量S.不是离散型随机变量的是 解题总结 题型二、随机变量的值域 【例2】写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表 示的随机试验的结果 (1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该 袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ； (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η 变式2：写出下列各随机变量可能取得值： （1）抛掷一枚骰子得到的点数。 （2）袋中装有6个红球，4个白球，从中任取5个球，其中所含白球 的个数。 （3）抛掷两枚骰子得到的点数之和。 解题总结 1 题型三有关随机变量的不等式 【例3】抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的和为ξ，试问： （1）“ξ< 4”表示的试验结果是什么？ （2）“ξ> 11”表示的试验结果是什么？ 变式3 ：抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？ 解题总结 三、基础达标 1.小王钱包中只剩有20元、10元、5元、2元和1元人民币各一张。他决定随机抽出两张，作为晚餐费用。用X表示这两张人民币金额之和。X的可能取 值。 2.在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件,设含有的次品数为X：X=4表示事件____ ___；X=0表示事件__ ；X<3表示事件 _____ ；事件“抽出3件以上次品数”用_______表示. 3.袋中有大小相同的5个小球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，现在在有放回的条件下取出两个小球，设两个小球号码之和为X，则X所有可能值的是__ ；X=4表示． 2 §2.1 函数的概念及其表示 考试要求 1.了解函数的含义，会求简单函数的定义域和值域.2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用． 知识梳理 1．函数的概念 一般地，设A ，B 是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A . 2．函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3．函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 常用结论 1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点． 2．在函数的定义中，非空数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集． 3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( × ) (2)函数y ＝f (x )的图象可以是一条封闭曲线．( × ) (3)y ＝x 0与y ＝1是同一个函数．( × ) (4)函数f (x )＝⎩ ⎪⎨⎪⎧ x －1，x ≥0， x 2，x ＜0的定义域为R .( √ ) 教材改编题 第三章函数的概念与性质 3.1函数的概念及其表示 3。1.1函数的概念 【素养目标】 1．通过丰富实例,学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用．（数学抽象） 2．了解构成函数的三要素．(数学抽象) 3．能够正确使用“区间”的符号表示某些集合．(直观想象）4．理解同一个函数的概念．（数学抽象) 5．能判断两个函数是否是同一个函数．（逻辑推理） 【学法解读】 1．函数概念的引入,学生以熟悉的例子为背景进行抽象，从变量之间的依赖关系、实数集合之间的对应关系、函数图象的几何直观等角度整体认识函数的概念．例如，学生可以从已知的、基于变量关系的函数定义入手，通过生活或数学中的问题，构建函数的一般概念，体会用对应关系定义函数的必要性，感悟数学抽象的层次． 2．本节重点是理解函数的定义，会求简单函数的定义域，难点是理解y＝f(x）的含义，学生要加深理解． 第1课时函数的概念(一） 必备知识·探新知 基础知识 知识点1函数的概念 定义设A、B是非空的__实数集__，如果对于集合A中的__任意一个数x__，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有__唯一确定__的数y和它对应,那么就称f：A→B为从集合A 到集合B的一个函数,记作y＝f（x）,x ∈A 三要素对应 关系 y＝f(x)，x∈A 定义 域 __x__的取值集合 值域 与x的值相对应的y的值的集合 {f(x)|x∈A}. 思考1：(1）对应关系f一定是解析式吗？ (2)f（x)与f（a）有何区别与联系? 提示：（1）不一定．对应关系f可以是解析式、图象、表格,或文字描述等形式． (2)f(x)与f(a）的区别与联系：f(a)表示当x＝a时，函数f（x）的值,是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，一般情况下，它是一个变量,f（a）是f(x）的一个特殊值． 知识点2区间及有关概念 (1）一般区间的表示． 设a，b∈R，且a〈b，规定如下： 定义名称符号数轴表示 ｛x|a≤x≤ b｝闭区间 __[a，b］ __ {x｜a＜x ＜b}开区间 __(a,b） __ ｛x｜a≤x ＜b｝半开半闭 区间 __［a，b） __ {x|a＜x≤b}半开半闭 区间 __（a，b］ __高中数学第二章函数概念与基本初等函数I2.1函数的概念2.1.4函数的表示方法课堂导学案苏教版必修1
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