4.1 一个四元对称信源?
?????=??????4/14/1324/14/110)(X P X ，接收符号Y = {0, 1, 2, 3}，其失真矩阵为?????
???????0111
101111011110，求D max 和D min 及信源的R(D)函数，并画出其曲线（取4至5个点）。 解： 0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =?+?+?+?===?+?+?+?===∑∑i
j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 因为n 元等概信源率失真函数：
??
? ??-??? ??-+-+=a D a D n a D
a D n D R 1ln 11ln ln )( 其中a = 1, n = 4, 所以率失真函数为：
()()D D D D D R --++=1ln 13
ln
4ln )( 函数曲线：
D 其中：
symbol nat D R D symbol nat D R D symbol nat D R D symbol
nat R D /0)(,4
3/12ln 2
14ln )(,21/3
16ln 214ln )(,41/4ln )0(,0==-==-==== 4.2 若某无记忆信源??????-=??????3/113/13/101)(X P X ，接收符号??????-=21,21Y ，其失真矩阵????
??????=112211D 求信源的最大失真度和最小失真度，并求选择何种信道可达到该D max 和D min 的失真度。
4.3 某二元信源??????=??????2/12/110)(X P X 其失真矩阵为??
????=a a D 00求这信源的D max 和D min 和R(D)
函数。
解：
0021021),(min )(202121),()(min min min max =?+?===?+?===∑∑i
j i j i i j i i j j y x d x p D a a y x d x p D D 因为二元等概信源率失真函数：
??
? ??-=a D H n D R ln )( 其中n = 2, 所以率失真函数为：
??
??????? ??-??? ??-+-=a D a D a D a D D R 1ln 1ln 2ln )( 4.4 已知信源X = {0, 1}，信宿Y = {0, 1, 2}。设信源输入符号为等概率分布，而且失真函数??????∞∞=1100D ，求信源的率失真函数R(D)。
4.5 设信源X = {0, 1, 2, 3}，信宿Y = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}。且信源为无记忆、等概率分布。失真函数定义为
???????∞======其他
且且53,21
41,010),(j i j i j i y x d j i 证明率失真函数R(D)如图所示。
log2
2log2
D
4.6 设信源X = {0, 1, 2}，相应的概率分布p (0) = p (1) = 0.4，p (2) = 0.2。且失真函数为 )2,1,0,(10),(=???≠==j i j i j i y x d j i
(1) 求此信源的R(D)；
(2) 若此信源用容量为C 的信道传递，请画出信道容量C 和其最小误码率P k 之间的曲线关系。
4.7 设0 < α, β < 1, α + β = 1。试证明：αR(D ’) +βR(D ”) ≥ R(αD ’ +βD ”)
4.8 试证明对于离散无记忆N 次扩展信源，有R N (D) = NR(D)。其中N 为任意正整数，D ≥ D min 。
4.9 设某地区的“晴天”概率p (晴) = 5/6，“雨天”概率p (雨) = 1/6，把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”造成的损失为a 元。又设该地区的天气预报系统把“晴天”预报为“晴天”，“雨天”预报为“雨天”的概率均为0.9；把把“晴天”预报为“雨天”，把“雨天”预报为“晴天”的概率均为0.1。试计算这种预报系统的信息价值率v （元/比特）。
4.10 设离散无记忆信源?
?????=??????3/13/13/1)(321x x x X P X 其失真度为汉明失真度。 (1) 求D min 和R(D min )，并写出相应试验信道的信道矩阵；
(2) 求D max 和R(D max )，并写出相应试验信道的信道矩阵；
(3) 若允许平均失真度D = 1/3，试问信源的每一个信源符号平均最少有几个二进制符号表示？
解：
???????≠-+=-+==?+?+?==∑j i e n e j i e n x y p y x d x p D sa sa sa i j i
j i j i ,)1(1,)1(11)/(0031031031),(min )(min
4.11 设信源?
?????-=??????p p x x X P X 1)(21（p < 0.5），其失真度为汉明失真度，试问当允许平均失真度D = 0.5p 时，每一信源符号平均最少需要几个二进制符号表示？
解：
因为二元信源率失真函数：
??
? ??-=a D H p H D R )()( 其中a = 1（汉明失真）, 所以二元信源率失真函数为：
)()()(D H p H D R -= 当2
p D =时 []symbol nat p p p p p p p p p H p H p R /21ln 212ln 2)1ln()1(ln 2)(2??
??????? ??-??? ??-++--+-=??? ??-=??? ??
反函数-习题 1．函数f (x )=1-x ＋2 (x ≥1)的反函数是（ ） A ．y =(x －2)2＋1 (x ∈R) B ．x =(y －2)2＋1 (x ∈R) C ．y =(x －2)2＋1 (x ≥2) D ．y =(x －2)2＋1 (x ≥1) 2.已知函数x x f a log )(=)1,0(≠>a a 且的图象过点（2，-1），函数()y g x =是函数 ()y f x =的反函数，则函数()y g x =的解析式为（ ） A.()2x g x = B.1()()2 x g x = C.12 ()log g x x = D.2()log g x x = 3. 若函数)1(-=x f y 的图像与函数1ln +=x y 的图像关于x y =对称，则)(x f =（ ） A. 1 2-x e B. x e 2 C. 1 2+x e D. 2 2+x e 4. 函数? ??≥<+=0,0,1x e x x y x 的反函数是______________. 5. 函数)2(,2-≥+-=x x y 的反函数是_______________. 6. 若函数)1,0(≠>=a a a y x 的反函数的图象过点（2，-1）,则a =_________. 7. 函数)0)(24(log 2>++=x x y 的反函数是_______________. 8. 已知函数()f x 的反函数为)0(,lg 21)(>+=x x x g ，则(1)(1)f ＋g ＝_____________. 9. 函数1ln(1) (1)2 x y x +-= >的反函数是_______________. 10．若函数()y f x =的反函数．．． 图象过点(15)，，则函数()y f x =的图象必过点__________. 11. 将x y 2=的图像先向______(填左、右、上、或下)平移_______个单位，再作关于直线 x y =对称的图象可得到函数)1(log 2+=x y 的图像. 12. 已知函数b a y x +=的图象过点（1,4）其反函数图象过点（2,0），则___.___==b a . 13. 已知函数x x x f 3 131)(+-=，则)5 4 (1 -f =____________.
第二章 随机变量及其分布 1、解： 设公司赔付金额为X ，则X 的可能值为； 投保一年内因意外死亡：20万，概率为0.0002 投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为0.0010 投保一年内没有死亡：0，概率为1-0.0002-0.0010=0.9988 所以X 2、一袋中有5X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律 解：X 可以取值3，4，5，分布律为 10 61)4,3,2,1,5()5(1031)3,2,1,4()4(10 11)2,1,3()3(35 2 435 2 335 2 2=?= === ?==== ?= ==C C P X P C C P X P C C P X P 中任取两球再在号一球为中任取两球再在号一球为号两球为号一球为 也可列为下表 X ： 3， 4，5 P ：10 6, 103,101 3、设在15只同类型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽样，以X 表示取出次品的只数，（1）求X 的分布律，（2）画出分布律的图形。 解：任取三只，其中新含次品个数X 可能为0，1，2个。 35 22 )0(315313= ==C C X P 3512)1(3 15213 12=?==C C C X P 35 1)2(3 15 113 22= ?= =C C C X P 再列为下表 X ： 0， 1， 2 P ： 35 1, 3512,3522 4、进行重复独立实验，设每次成功的概率为p ，失败的概率为q =1－p (0
第1章 习 题 一、习题1.1 解：（1）利用题目中的数据，通过SAS 系统proc univariate 过程计算得到： 139.0=x 7.06387S = 49.898312=S 0.142众数= 51.0g 1-= 08192.5=CV 126129.0g 2-=由得到的数据特征可知道，偏度为负，所以呈做偏态， 峰度为负，所以均值两侧的极端值较少。 （2） 139.0=M 31.0=R 0.135Q 1= 5.144Q 3= 5.9R 131=-=Q Q 375.1394 1 2141M 31=++= ∧ Q M Q (3) 通过SAS 系统proc capability 得到直方图，并拟合正态分布曲线：
(4) 通过SAS 系统proc univariate 可以画出茎叶图，从茎叶图可以看出数据大致呈对称分布，由于所给数据都是整数，所以叶所代表的小位数都是０。 (5) 通过SAS 系统proc univariate 过程计算得到: 0.971571W 0= 00()H p P W W =≤= 0.1741 取0.05=α，因α>=0.1742p ，故不能拒绝0H ，认为样本来自正态总体分布。 通过画ＱＱ图和经验分布曲线和理论分布函数曲线，从图中可以看出ＱＱ图近似的在一条直线上，经验分布曲线的拟合程度也相当好，所以可以进一步说明此样本来自正态总体分布。
二、习题１.２ 7.8574027=x 1.62568785 S = 2.642860982=S 0.13721437g 1= 20.6898884=CV -1.4238025g 2= 由得到的数据特征可知道，偏度为正，所以呈右偏态，峰度为负，所以均值两侧的极端值较少。 （2）
第二章 随机变量及其分布 一. 填空题 1. 设随机变量X ～B(2, p), Y ～B(3, p), 若P(X ≥ 1) =9 5 , 则P(Y ≥ 1) = _________. 解. 9 4951)1(1)0(=-=≥-==X P X P 94)1(2 = -p , 3 1=p 2. 已知随机变量X 只能取－1, 0, 1, 2四个数值, 其相应的概率依次为c c c c 162 , 85,43,21, 则c = ______. 解. 2,16321628543211==+++= c c c c c c 3. 用随机变量X 的分布函数F(x)表示下述概率: P(X ≤ a) = ________. P(X = a) = ________. P(X > a) = ________. P(x 1 < X ≤ x 2) = ________. 解. P(X ≤ a) = F(a) P(X = a) = P(X ≤ a)－P(X < a) = F(a)－F(a －0) P(X > a) = 1－F(a) P(x 1 < X ≤ x 2) = F(x 2)－F(x 1) 4. 设k 在(0, 5)上服从均匀分布, 则02442 =+++k kx x 有实根的概率为_____. 解. k 的分布密度为??? ??=0 51 )(k f 其它50≤≤k P{02442 =+++k kx x 有实根} = P{03216162 ≥--k k } = P{k ≤－1或k ≥ 2} =5 3 515 2=?dk 5. 已知2}{,}{k b k Y P k a k X P =-== =(k = 1, 2, 3), X 与Y 独立, 则a = ____, b = ____, 联合概率分布_____, Z = X + Y 的概率分布为_____. 解. 116,132==++ a a a a . 49 36 ,194= =++b b b b (X, Y)
学习必备 欢迎下载 2． 4 反函數·例題解析 【例 1】求下列函數的反函數： (1)y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 ) ． 2x 1 2 (2)y ＝ x 2 － 2x ＋ 3， x ∈ ( －∞， 0] ． 1 (3)y ＝ x 2 1 (x ≤ 0) ． x +1 ( －1≤x ≤ 0) (4)y ＝ － x (0＜x ≤1) 解 (1) ∵ y ＝ 3x 5 (x ≠－ 1 )，∴ y ≠ 3 ， 2x 1 2 2 由 y ＝ 3x 5 得 (2y － 3)x ＝－ y － 5， 2x 1 ∴ x ＝ y 5 所求反函数为 y ＝ y 5 (x ≠ 3 )． 3 2y 3 2y 2 解 (2)∵ y ＝(x －1) 2 ＋ 2， x ∈ (－∞， 0]其值域為 y ∈ [2，＋∞ )， 由 y ＝ (x － 1) 2 ＋ 2(x ≤ 0) ，得 x －1＝－ y 2，即 x ＝ 1－ y 2 ∴反函数为 f 1 (x) ＝ 1－ x 2， (x ≥ 2) ． 解 (3)∵y ＝ 1 ，它的值域为 0＜y ≤1， x 2 (x ≤ 0) 1 由 y ＝ 2 1 得 x ＝－ 1 y ， x 1 y ∴反函数为 f 1 (x) ＝－ 1 x (0 ＜x ≤1) ． x 解 (4)由y ＝ x 1(－1≤ x ≤ 0)， 得值域 0≤y ≤1，反函数 f 1 (x) ＝ x 2 －1(0≤x ≤1)． 由 y ＝－ x (0＜x ≤1)， 得值域－ 1≤ y ＜ 0，反函数 f 1 (x) ＝x 2 ( －1≤x ＜ 0)， x 2 －1 (0≤ x ≤ 1) 故所求反函数为 y ＝ 2 ( － ≤ ＜ ． x 1 x 0)
4.1 一个四元对称信源? ?????=??????4/14/1324/14/110)(X P X ，接收符号Y = {0, 1, 2, 3}，其失真矩阵为????? ???????0111 101111011110，求D max 和D min 及信源的R(D)函数，并画出其曲线（取4至5个点）。 解： 0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =?+?+?+?===?+?+?+?===∑∑i j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 因为n 元等概信源率失真函数： ?? ? ??-??? ??-+-+=a D a D n a D a D n D R 1ln 11ln ln )( 其中a = 1, n = 4, 所以率失真函数为： ()()D D D D D R --++=1ln 13 ln 4ln )( 函数曲线： D 其中： symbol nat D R D symbol nat D R D symbol nat D R D symbol nat R D /0)(,4 3/12ln 2 14ln )(,21/3 16ln 214ln )(,41/4ln )0(,0==-==-==== 4.2 若某无记忆信源??????-=??????3/113/13/101)(X P X ，接收符号??????-=21,21Y ，其失真矩阵???? ??????=112211D 求信源的最大失真度和最小失真度，并求选择何种信道可达到该D max 和D min 的失真度。
一、单项选择题 1．设随机变量21,X X 独立，且2 1 }1{}0{= ===i i X P X P （2,1=i ），那么下列结论正确的是 （ ） A .21X X = B .1}{21==X X P C .2 1 }{21= =X X P D .以上都不正确 2设X 与Y 相互独立，X 服从参数为12的0—1分布，Y 服从参数为1 3 的0—1分布，则方程 220t Xt Y ++=中t 有相同实根的概率为 （A ） 13 （B ）12 （C ）16 （D ）2 3 [] 3．设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为 ()22 ,02,14, (,)0, .k x y x y f x y ?+<<<
1. 2. （2011-重庆）曲线尸?X 3+3X 2在点（I, 2） A. y=3x - 1 B. y=-3x+5 （201b 山东）曲线 y=x 3+l 1 在点 P （1, 12） 处的切线方程为（ ） C. y=3x+5 D. y=2x 处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ 15 3. A. [- 1，-岑] B ?[?1, 0] C. [0, II D.[兰，1] 乙 那么导函数y=f （x ）的图象可能是（ 函数q ： g （x ） =x 2 - 4x+3m 不存在零点则 p 是 D.既不充分也不必要条件 导数与反函数练习题 选择题 （2011 ?杭州）如图是导函数尸f （x ）的图象，则下列命题错误的是（ ） A .导函数y=f （x ）在x=xi 处有极小值 B .导函数y=F （x ）在x=x?处有极大值 C.函数y=f （x ）在x=X3 处有极小值 D.函 数y=f （x ）在x=X4处有极小值 4. （2011 ?福建）若a>0, b>0,且函数f （x ） =4x 3 - ax 2 - 2bx+2在x=l 处有极值，则ab 的最大值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 5. （2010*江西）若 f （x ） =ax 4+bx 2+c 满足 f （I ） =2,则 f （ - 1）=（ ） A. -4 B. - 2 C. 2 D. 4 6. （2009?江西）若存在过点（1, 0）的直线与曲线尸x3和y=ax 2+^X- 9都相切，则a 等于（ ） 方 91 7 9R 7 A. - 1 或一竺 B. - 1 C. 一」或一竺 D. 一 ■或 7 64 4 4 64 4 ° TT 7. （2008?辽宁）设P 为曲线C ： y=x~+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,—],则点P 横 4 坐标的取值范围是（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C. 充分必要条件8.（2008?福建）如果函数y=f （x ）的图象如图, q 的（ ）
第二章 随机变量及其概率分布 考试模拟题 (共90分) 一．选择题(每题2分共20分) 1．F(X)是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ） A.≤0F(x )1≤ B.F(x )=P{X=x } C.F(x )=P{X x ≤} D.F(∞+)=1, F(∞-)=0 解析： A,C,D 都是对于分布函数的正确结论，请记住正确结论！B 是错误的。 2．设随机变量X 的分布函数律为如下表格：F(x)为其分布函数，则F(5)=( C ) A.0.3 B.0.5 C.0.6 D.0.4 解析：由分布函数定义F(5)=P{X ≤5}=P{X=0}+P{X=2}+P{X=4}=0.1+0.2+0.3=0.6 3．下列函数可以作为随机变量分布函数的是（ D ） 4x 01≤≤x 2x 10<≤x A.F(x)= B.F(x)= 1 其它 2 其它 -1 x<0 0 x<0 C.F(x)= 2x 10<≤x D.F(x)= 2x 5.00<≤x 1 其它 1 x ≥0.5 解析：由分布函数F(x)性质：01)(≤≤x F ，A,B,C 都不满足这个性质，选D 4 x 31<<-x 4．设X 的密度函数为f(x)= 则P{-2 A. 0 B.83 C. 43 D. 85 解析：P{-2 4.1 一个四元对称信源? ?????=??????4/14/1324/14/110)(X P X ，接收符号Y = {0, 1, 2, 3}，其失真矩阵为????? ???????0111 101111011110，求D max 和D min 及信源的R(D)函数，并画出其曲线（取4至5个点）。 解： 0041041041041),(min )(43041141141141),()(min min min max =?+?+?+?===?+?+?+?===∑∑i j i j i i j i i j j y x d x p D y x d x p D D 因为n 元等概信源率失真函数： ?? ? ??-??? ??-+-+=a D a D n a D a D n D R 1ln 11ln ln )( 其中a = 1, n = 4, 所以率失真函数为： ()()D D D D D R --++=1ln 13 ln 4ln )( 函数曲线： D 其中： sym bol nat D R D sym bol nat D R D sym bol nat D R D sym bol nat R D /0)(,4 3/12ln 2 14ln )(,21/3 16ln 214ln )(,41/4ln )0(,0==-==-==== 4.2 若某无记忆信源??????-=??????3/113/13/101)(X P X ，接收符号??????-=21,21Y ，其失真矩阵???? ??????=112211D 求信源的最大失真度和最小失真度，并求选择何种信道可达到该D max 和D min 的失真度。 4.3 某二元信源??????=??????2/12/110)(X P X 其失真矩阵为?? ????=a a D 00求这信源的D max 和D min 和R(D) 反函数求值 例1、设有反函数，且函数与 互为反函数，求的值． 分析：本题对概念要求较强，而且函数不具体，无法通过算出反函数求解，所以不妨试试“赋值法”，即给变量一些适当的值看看能得到什么后果． 解：设，则点在函数的图象上，从而点 在函数的图象上，即．由反函数定义有，这样即有，从而． 小结：利用反函数的概念，在不同式子间建立联系，此题考查对反函数概念的理解，符号间关系的理解． 两函数互为反函数,确定两函数的解析式 例2 若函数与函数互为反函数，求 的值. 分析：常规思路是根据已知条件布列关于的三元方程组，关键是如何 布列如果注意到g(x)的定义域、值域已知，又与g(x)互为反函数，其定义域与值域互换，有如下解法： 解：∵ g(x)的定义域为且，的值域为 . 又∵g(x) 的定义域就是的值域, ∴. ∵g(x) 的值域为 , 由条件可知的定义域是 , , ∴. ∴. 令, 则即点(3,1) 在的图象上. 又∵与g(x) 互为反函数, ∴ (3,1) 关于的对称点(1,3) 必在g(x)的图象上. ∴ 3=1+ , . 故 . 判断是否存在反函数 例3、给出下列函数: (1)； (2)； (3)； (4)； (5) . 其中不存在反函数的是__________________. 分析:判断一个函数是否有反函数,从概念上讲即看对函数值域内任意一个 ,依照这函数的对应法则,自变量总有唯一确定的值与之对应,由于这种判断难度较大,故通常对给出的函数的图象进行观察,断定是否具有反函数. 解: (1) ,(2)都没有问题,对于(3)当时,和 ,且 . 对于(4)时,和 .对于(5)当时,和 . 故(3),(4),(5)均不存在反函数. 小结:从图象上观察,只要看在相应的区间内是否单调即可. 求复合函数的反函数 第二章：随机变量与分布函数习题 一、“离散型随机变量与分布函数”习题： 1. 射手对靶子进行射击，用X 表示击中的环数，已知击中一环的概率为0.2，击中两环的概率为0.8；求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）()()10,1≤<≥X P X P . 2. 射手对靶子进行射击，一次射击的命中率为0.8，现在连续射击三枪，用X 表示三枪中命中的次数，求：（1）X 的分布列及分布函数；（2）A “至少命中两枪”的概率. 3. 设随机变量X 的分布函数为 ()()???? ???≥<≤<≤--<=≤=31 318.0114.010 x x x x x X P x F 求：X 的分布列. 4. 设随机变量X 的分布函数为 ()??? ? ????? >≤≤<=2120sin 00ππx x x A x x F 求：（1）A =？ （2）??? ??<6πx P . 5. 设随机变量X 的分布列为??? ? ??--22121101q q ； 求： （1）q=？ （2）X 的分布函数. 6. 某设备由三个独立工作的元件构成，该设备在一次试验中每个元件发生故障的概率为 0.1，求该设备在一次试验在中发生故障的元件数的分布列. 7. 将一颗骰子投掷两次，以X 表示两次所得点数之和、Y 表示两次中所得的小的点数；分别求X 与Y 的分布列. 8. 设随机变量X ~()p B ,2， 随机变量Y ~()p B ,3； 已知()9 5 1=≥X P ， 求：()1≥Y P . 二、“连续型随机变量与分布函数”习题： 1. 设()()??? ??<>≥=-00 0,0212 x a x e a x x f a x ； ()?????<<=其他0 0cos 21 2 πx x x f ； ()????? <<-=其他0 22cos 3ππx x x f ； （1） 以上()()()x f x f x f 321,,是否是某随机变量X 的分布密度函数？ 反函数例题讲解 例1．下列函数中，没有反函数的是 ( ) (A) y = x 2－1（x <21-） (B) y = x 3+1（x ∈R ） (C) 1 -=x x y （x ∈R ，x ≠1） (D) ???<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ， 分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定． 判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y 表示x 的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数． 本题应选（D ）． 因为若y = 4，则由 ? ??≥=-2422x x ， 得 x = 3． 由 ? ??<=-144x x ， 得 x = －1． ∴ （D ）中函数没有反函数． 如果作出 ? ??<-≥-=).1(4)2(22x x x x y ，的图像（如图），依图更易判断它没有反函数． 例2．求函数 211x y --=（－1≤x ≤0）的反函数． 解：由 211x y --=，得：y x -=-112 ． ∴ 1－x 2 = (1－y )2， x 2 = 1－(1－y )2 = 2y －y 2 ． ∵ －1≤x ≤0，故 22y y x --=． 又 当 －1≤x ≤0 时， 0≤1－x 2≤1， ∴ 0≤21x -≤1，0≤1－21x -≤1， 即 0≤y ≤1 ． ∴ 所求的反函数为 22x x y --=（0≤x ≤1）． 由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x 当作未知数，因变量y 当作系数，求出x = φ ( y )． ② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域； ③ 依习惯，把自变量以x 表示，因变量为y 表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )． 例3．已知函数 f ( x ) = x 2 + 2x + 2（x <－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________． 分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）． 依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m ，则有f ( m ) = 2．据此求f －1 (2 )的值会简捷些． 令 x 2 + 2x + 2 = 2，则得：x 2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ． 又x <－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1 (2 ) = －2 ． 例4．已知函数 241)(x x f +=（x ≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x )的图像是 ( ) （A （（B （C 第四章信息率失真函数（第九讲） （2课时） 主要内容：（1）平均失真和信息率失真函数（2）离散信源和连续信源的R（D）计算重点：失真函数、平均失真、信息率失真函数R（D）、信息率失真函数的计算。 难点：信息率失真函数R（D）、信息率失真函数的计算。 作业：4、lo 说明：本堂课推导内容较多，枯燥平淡，不易激发学生兴趣，要注意多讨论用途。另外，注意，解题方法。多加一些内容丰富知识和理解。 §4-1引言 （一）引入限失真的必要性： 失真在传输中是不可避免的； 接收者（信宿）无论是人还是机器设备，都有一定的分辨能力与灵敏度，超过分辨能力与灵敏度的信息传送过程是毫无意义的； 即使信宿能分辨、能判别，但对通信质量的影响不大，也可以称它为允许范围内的失真； 我们的目的就是研究不同的类型的客观信源与信宿，在给定的Qos要求下的最大允许（容忍）失真D,及其相应的信源最小信息率R（D）. 对限失真信源，应该传送的最小信息率是R（D）,而不是无失真情况下的信源爛H（U）. 显然H（U）2R（D）. 当且仅当D=0时，等号成立； 为了定量度量D,必须建立信源的客观失真度量，并与D建立定量关系； R（D）函数是限失真信源信息处理的理论基础； （二）R（D）函数的定义 信源与信宿联合空间上失真测度的定义：d （见叩:t/xV^/r[0,oo） 其屮：u*U（单消息信源空I'可） v y eV （单消息信宿空间） 则有 万=Y工〃（吧 称7为统计平均失真，它在信号空I'可屮可以看作一类“距离”，它有性质 1〉= 0,当比=Vj 2〉min 〃（吧）=° 3〉05〃(比/匕)<00 对离散信源：i=j=l,2............. n , d(upj) = djj, 则有： d 」0,当；可(无失真) 厂］〉0,当iHj (有失真) 若取冷为汉明距离，则有： Jo,当i = j (无失真) 厂［1,当iHj (有失真) 对连续信源，失真可用二元函数d(u,v)表示。 推而广之，d(u,v)可表示任何用V 表达U 时所引进的失真，误差，损失，风险，甚至是 主观感觉 上的差异等等。 进一步定义允许失真D 为平均失真的上界: D>d =工=工工〃￡皿???对离散 ? ? ? ? 在讨论信息率失真函数时，考虑到信源与信宿之I'可有一个无失真信道，称它为试验信 道，对离散信源可记为p 〃，对限失真信源这一试验信道集合可定义为： P D =\P ji -D>d = YLP ：P J^ 根据前面在互信息中已讨论过的性质: 1(U\ I,p ；j\ 且互信息是门的上凸函数，其极限值存在且为信道容量：C = max/(卫: p< ? 这里，我们给出其对偶定义： R(D)= mi 1Y U # ) m"pQp2,_ D P j f P D 陆 j i P D 即互信息是◎的下凸函数。其极限值存在且为信息率失真函数。 它还存在下列等效定义： D(R) = minD>d =工工门叽 < P 泸 P R i J P R = {? : /(t/；V) < R (给定速率)} 称D(R)为失真信息率函数，是R(D)的逆函数，它是求在允许最大速率情况下的最大 失真Do 至此，我们已给定R(D)函数一个初步描述。 则有: d(u. v)= (w-仍 H = \u-v 第三-四章 概率与离散变量的概率分布练习题 一、填空 1．用古典法计算概率．在应用上有两个缺点：①它只适用于有限样本点的情况；②它假设（ ）。 2．分布函数)(x F 和)(x P 或?)(x 的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，)(x F 累计的是（ ）。 3．如果A 和B （ ），总有P(A/B)＝P 〔B/A 〕＝0。 4．若事件A 和事件B 不能同时发生，则称A 和B 是（ ）事件。 4．在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1．随机试验所有可能出现的结果，称为（ D ）。A 基本事件； B 样本；C 全部事件；D 样本空间。 2.在次数分布中，频率是指（ ） A.各组的频率相互之比 B.各组的分布次数相互之比 C.各组分布次数与频率之比 D.各组分布次数与总次数之比 3．以等可能性为基础的概率是（A ）。A 古典概率；B 经验概率；C 试验概率；D 主观概率。 4．古典概率的特点应为（ A ）。 A 基本事件是有限个，并且是等可能的； B 基本事件是无限个，并且是等可能的； C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。 5．任一随机事件出现的概率为（ D ）。A 在–1与1之间；B 小于0；C 不小于1；D 在0与1之间。 6．若P （A ）＝0.2，Ｐ（B ）＝0.6，P （A/B ）＝0.4，则)(B A P ＝（ D ）。A 0.8 B 0.08 C 0.12 D 0.24。 7．若A 与B 是任意的两个事件，且P （AB ）＝P （A ）·P （B ），则可称事件A 与B （C ）。 A 等价 B 互不相容 C 相互独立 D 相互对立。 8．若相互独立的随机变量X 和Y 的标准差分别为6与8，则（X ＋Y ）的标准差为（B ）。A 7 B 10 C 14 D 无法计算。 9．如果在事件A 和B 存在包含关系A ?B 的同时，又存在两事件的反向包含关系A ?B ，则称事件A 与事件B （A ）A 相等 B 互斥 C 对立 D 互相独立 10．二项分布的数学期望为（C ）。A n(1-n)p B np(1- p) C np D n(1- p)。 11．关于二项分布，下面不正确的描述是（A ）。 A 它为连续型随机变量的分布； B 二项分布的数学期望)(X E ＝μ＝np ，变异数)(X D ＝2 σ＝npq ； C 它的图形当p ＝0．5时是对称的，当p ≠ 0．5时是非对称的，而当n 愈大时非对称性愈不明显； D 二项分布只受成功事件概率p 和试验次数n 两个参数变化的影响。 12．事件A 在一次试验中发生的概率为 4 1 ,则在3次独立重复试验中，事件A 恰好发生2次的概率为(C )。 A 21 B 161 C 64 3 D 649 13．设随机变量ξ～B ????6，12，则P (ξ＝3)的值为( A ) A.516 B.316 C.58 D.716 14．设随机变量ξ ～ B (2，p )，随机变量η ～ B (3，p )，若P (ξ ≥1) ＝59，则P (η≥1) ＝( )A.13 B.59 C.827 D.19 27 解析：∵P (ξ≥1) ＝2p (1－p )＋p 2＝59， ∴p ＝13 ，∴P (η≥1) ＝C 13????13????232＋C 23????132????23＋C 33????133＝1927，故选D. 15．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p 的取值范围是( A ) A ．[0.4,1) B ．(0,0.6] C ．(0,0.4] D ．[0.6,1) 习题一 1 设总体X 的样本容量5=n ，写出在下列4种情况下样本的联合概率分布. 1）),1(~p B X ； 2）)(~λP X ； 3）],[~b a U X ； 4）)1,(~μN X . 解 设总体的样本为12345,,,,X X X X X ， 1）对总体~(1,)X B p ， 11223344555 11 1 55(1) (,,,,)()(1)(1)i i n x x i i i i x x P X x X x X x X x X x P X x p p p p -==-========-=-∏∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 2）对总体~()X P λ 11223344555 1 1 555 1 (,,,,)()! ! i x n i i i i i x i i P X x X x X x X x X x P X x e x e x λ λ λλ-==-========== ∏∏ ∏ 其中：5 1 15i i x x ==∑ 3）对总体~(,)X U a b 5 511511,,1,...,5 (,,)()0i i i i a x b i f x x f x b a ==?≤≤=?==-??? ∏∏ ，其他 4）对总体~(,1) X N μ ()() ()2 55 55/2 22 1511 1 1 (,,)()=2exp 2i x i i i i i f x x f x x μπμ-- -===??==-- ??? ∑∏ 2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1，1，1，2，0，0，1，3，1，0，0，2，4，0，3，1，4，0，2，写出样本频率分布、经验分布函数并画出图形. 解 设(=0,1,2,3,4)i i 代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表1.1： 经验分布函数的定义式为： ()()() (1)10,(),,=1,2,,1,1,n k k k x x k F x x x x k n n x x + 习题与解答5.2 1. 以下是某工厂通过抽样调查得到的10名工人一周内生产的产品数 149 156 160 138 149 153 153 169 156 156 试由这批数据构造经验分布函数并作图. 解 此样本容量为10,经排序可得有序样本: (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)138,149,153,156,160,169 x x x x x x x x x x ========== 其经验分布函数及其图形分别如下 ()01380.11490.31530.51560.81600.91691n x F ()037.50.1547.50.3557.50.7567.50.977.51n x x F 连续型随机变量的分布 （一）连续型随机变量及其概率密度函数 1.定义：对于随机变量X 的分布函数 F(X) ，若存在非负函数f(x), 使对于 任意的实数 x，有F ( x)x f(x) 称为 X f (t)dt ，则称X为连续性随机变量， 的概率密度函数，简称概率密度。 注： F(x)表示曲线下x 左边的面积，曲线下的整个面积为1。 2 .密度函数f(x) 的性质：注： f( x)不是概率。 1) f( x)≥ 0 + f ( x) dx = 1 2) ò-x 2 3)P{x 1 < X ? x 2 }òx1 f (x) dx = F (x 2 ) - F (x 1 ) 特别地，连续型随机变量在某一点的概率为零，即 P{ X = x} = 0. （但 { X=x} 并不一定是不可能事件） 因此P(a≤X ≤ b)= P(a< X 反函数·例题解析 【例1】求下列函数的反函数： (1)y (x )(2)y x 2x 3x (0]2＝ ≠－．＝－＋，∈－∞，．352112x x -+ (3)y (x 0)(4)y x +1(1x 0) (0x 1)＝ ≤．＝－≤≤－＜≤11 2x x +????? 解 (1)y (x )y y (2y 3)x y 5x y (x )∵＝ ≠－，∴≠，由＝得－＝－－，∴＝所求反函数为＝≠．352112323521 53253232 x x x x y y y y -+-++-+- 解 (2)∵y ＝(x －1)2＋2，x ∈(－∞，0]其值域为y ∈[2，＋∞)， 由＝－＋≤，得－＝－，即＝－∴反函数为＝－，≥．y (x 1)2(x 0)x 1x 1f (x)1(x 2)21y y x ----222 解 (3)y (x 0)0y 1y x f (x)(0x 1)1∵＝ ≤，它的值域为＜≤，由＝得＝－，∴反函数为＝－＜≤．11 111122x x y y x x ++--- 解 (4)y (1x 0)0y 1f (x)x 1(0x 1)y (0x 1)12由＝－≤≤， 得值域≤≤，反函数＝－≤≤．由＝－＜≤， x x +-1 得值域－≤＜，反函数＝－≤＜， 故所求反函数为＝－≤≤－≤＜．1y 0f (x)(1x 0)y x 1(0x 1) x (1x 0)1222-?????x 【例2】求出下列函数的反函数，并画出原函数和其反函数的图像． (1)y 1(2)y 3x 2(x 0)2＝－＝－－≤x -1 解 (1)∵已知函数的定义域是x ≥1，∴值域为y ≥－1， 由＝－，得反函数＝＋＋≥－． 函数＝－与它的反函数＝＋＋的图像如图．－所示．y 1y (x 1)1(x 1)y 1y (x 1)124122x x --11 解 (2)由y ＝－3x 2－2(x ≤0)得值域y ≤－2， 反函数＝－≤－．f (x)(x 2)1--+x 23 它们的图像如图2．4－2所示． 【例3】已知函数＝≠－，≠．f(x)(x a a )3113 x x a ++ (1)求它的反函数；(2)求使f -1(x)＝f(x)的实数a 的值． 解(1)y x a y(x a)3x 1(y 3)x 1ay y 3设＝，∴≠－，∵＋＝＋，－＝－，这里≠， 31x x a ++ 若＝，则＝这与已知≠矛盾，∴＝，，即反函数＝．y 3a a x f (x)113131313 -----ay y ax x第四章 信息率失真函数-习题答案
反函数典型例题
第二章随机变量与分布函数习题
反函数例题讲解
信息率失真函数.doc
第三-四章 概率分布练习题
课后习题参考答案
概率统计习题 5.2
连续型随机变量的分布与例题讲解
高一反函数·典型例题精析
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