威布尔分析工具的数据分析能力对比分析 黄进永 摘要：本文选取不同类型的数据（包括完全故障数据、右删失数据），不同分布类型，对PosVim平台的威布尔分析模块、Reliasoft平台的Weibull++模块、Minitab的可靠性数据分析模块等威布尔分析相关工具的数据分析能力进行对比分析。根据对比分析结果可知，上述三个软件工具的计算能力相差不大，使用极大似然法、最小二乘法等方法计算得到的结果基本一致，可以满足工程要求。但是，从可靠性工程应用方便性角度来看，PosVim平台的威布尔分析模块、Reliasoft平台的Weibull++模块更切合。 1、分析案例1：完全失效数据+威布尔分布 某产品可靠性试验的故障数据如下：16，34，53，75，93，120，单位是小时。 现选择威布尔分布作为拟合的分布类型，计算方法分别选择极大似然法、最小二乘法，置信度取0.9（双侧），分别使用PosVim平台的威布尔分析模块、Reliasoft平台的Weibull++模块、Minitab的可靠性数据分析模块对上述数据进行计算。计算结果如下表所示。 结果分析：选择极大似然法时，三个工具计算得到的形状参数β、尺度参数η基本一致，误差<0.01%。选择最小二乘法时，PosVim平台的威布尔分析模块与Weibull++模块计算结果一致，与Minitab的计算结果误差也<0.01%，可满足工程要求。
图1 PosVim的案例1计算结果（极大似然）
图2 PosVim的案例1计算结果（最小二乘法） 图3 Minitab的案例1计算结果（极大似然法）
图4 Minitab的案例1计算结果（最小二乘法） 图5 Weibull++的案例1计算结果（极大似然法）
正态分布、指数分布、对数正态分布和威布尔分布函数及其在工程分析中的应用 071330225 张洋洋
目录 正态分布函数 (3) 正态分布应用领域 (4) 正态分布案例分析 (5) 指数分布函数 (5) 指数分布的应用领域 (6) 指数分布案例分析 (7) 对数正态分布函数 (7) 对数正态分布的应用领域 (9) 对数正态分布案例分析 (9) 威布尔分布函数 (10) 威布尔分布的应用领域 (16) 威布尔分布案例分析 (16) 附录 (18) 参考文献 (21)
正态分布函数【1】 0.20 0.15 0.10 0.05 105510 正态分布概率密度函数f（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 绿线：μ=1 σ=3 均数μ决定正态曲线的中心位置；标准差σ决定正态曲线的陡峭或扁平程度。σ越小，曲线越陡峭；σ越大，曲线越扁平。 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 105510 正态分布函数F（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。
1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 105510 正态分布可靠度函数R（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 105510 正态分布失效率函数λ（t） 蓝线：μ=-1 σ=2 红线：μ=1 σ=2 棕线：μ=-1 σ=3 均数μ改变，图像会进行平移，标准差σ改变，图形陡峭度发生变化。σ越小，图像越陡。正态分布应用领域【1】 正态分布是一种最常见的连续型随机变量的分布,它在概率论和数理统计中无论在理论研究还是实际应用上都占有头等重要的地位,这是因为它在误差理论、无线电噪声理论、自动控制、产品检验、质量控制、质量管理等领域都有广泛应用.数理统计中许多重要问题的解决都是以正态分布为基础的.某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量、胆固醇等，以及实验中的随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些资料虽为偏态分布，但经数据变换后可成为正态或近似正态分布，故可按正态分布规律处理。
MATLAB 绘制威布尔分布曲线 威布尔分布概率密度函数： 1(/)(,,)()a a x m a x f x m a e m m --= 威布尔分布概率分布函数： ()()1a mx F x e -=- 其中m>0,是尺度参数也叫比例参数，a>0是形状参数。 X 是随机变量，是未知参数，表示时间延滞。 图1：设定尺度参数m 值为1，取五个形状参数a ，自变量x 代码如下： m=[1 1 1 1 1,2]; a=[0.5 1 1.5 2.5 5,5]; x=linspace(0,5); linecolor=['r','b','g','k','y']; for n=1:5 y1=m(n)*a(n)*((m(n)*x).^(a(n)-1)).*(exp(-(m(n)*x).^a(n))); y=1-exp(-(m(n)*x).^a(n)); subplot(1,2,2) title('图1：概率分布函数'); plot(x,y);
hold on; subplot(1,2,1) type=linecolor(n); title('图1：概率密度函数'); plot(x,y1,type); hold on; legend('m=1,a=0.5','m=1,a=1','m=1,a=1.5','m=1,a=2.5','m=1,a=5'); end 图2：设定形状参数a值为2，取五个尺度参数m，自变量x 代码如下： m=[0.5 0.75 1 1.5 1.75,2]; a=[2 2 2 2 2.5]; x=linspace(0,5); linecolor=['r','y','b','g','k']; for n=1:5 y1=m(n)*a(n)*((m(n)*x).^(a(n)-1)).*(exp(-(m(n)*x).^a(n))); y=1-exp(-(m(n)*x).^a(n)); subplot(1,2,2) title('图2：概率分布函数'); plot(x,y); hold on;
2007.NO.4. CN35-1272/TK 图 1威布尔函数拟合曲线的仿真系统模块 作者简介 :包小庆 (1959~ , 男 , 高级工程师 , 从事可再生能源的研究。 大型风电场的建设不但可以减缓用电短缺情况 , 而且并网后还能为电网提供很大一部分电能。而大型风电场的选址 , 与该地的风速分布情况有关。用于描述风速分布的模型很多 , 如瑞利分布、对数正态分布、 r 分布、双参数威布尔分布、 3参数威布尔分布 , 皮尔逊曲线拟合等。经过大量的研究表明 , 双参数威布尔分布函数更接近风速的实际分布。本文采用 4种方法计算威布尔分布函数的参数 , 并利用计算出的参数确定威布尔分布函数的实际数学模型进行曲线拟合。最后以白云鄂博矿区风电场拟选址为例 , 使用计算机软件 (MATLAB 对该地区风速威布尔分布函数进行曲线拟合 , 得到该地区不同高度的风速分布函数曲线。 1双参数威布尔分布函数的确定 双参数威布尔分布是一种单峰的正偏态分布函数 , 其概 率密度函数表达式为 : p(x=k x " exp-x " (1 式中 :k ———形状参数 , 无因次量 ; c ———
尺度参数 , 其量纲与速度相同。为了确定威布尔分布函数的实际模型 , 需计算出实际情况下对应函数的 2个参数。估算风速威布尔参数的方法很多 , 本文给出4种有效的方法以确定 k 和 c 值。 1.1HOMER 软件法 HOMER 是一个对发电系统优化配置与经济性分析的软件。通过输入 1a 逐时风速数据或者月平均风速数据 , 根据实际情况设置相应参数 , 即可计算得到 k 和c 值 , 此时计算出的 k 和 c 值是计算机系统认为的最佳值。 1.2Wasp 软件法 Wasp 是一个风气候评估、 计算风力发电机组年发电量、风电场年总发电量的软件。通过输入风速统计资料 , 计算机可以直接计算出 k 和 c 值。 1.3最小二乘法 通过风速统计资料计算出最小二乘法拟合直线 y=ax+b 的斜率 a 和截距 b 。由下式确定 k 和 c 的值 : k=b (2 c=esp a (3 1.4平均风速和最大风速估计法 从常规气象数据获得平均风速和时间 T 观测到的 10min 平均最大风速 V m ax , 设全年的平均风速为通过下式计算 k 和 c 值 : k=ln (lnT (4 c=(5
Weibull Distribution Definition 1: The Weibull distribution has the probability density function (pdf) for x≥ 0. Hereβ > 0 is the shape parameter and α > 0 is the scale parameter. The cumulative distribution function (cdf) is The inverse cumulative distribution function is I(p) = Observation: If x represents “time-to-failure”, the Weibull distribution is characterized by the fact that the failure rate is proportional to a power of time, namely β– 1. Thus β can be interpreted as follows: ? A value of β < 1 indicates that the failure rate decreases over time. This happens if there is significant “infant mortality”, or where defective items fail early with a failure rate decreasing over time as the defective items are weeded out of the population. ? A value of β = 1 indicates that the failure rate is constant over time. This might suggest random external events are causing mortality or failure. ? A value of β > 1 indicates that the failure rate increases with time. This happens if there is an “aging” process; e.g. if parts are more likely to wear out and/or fail as time goes on. 1/α can be viewed as the failure rate. The mean of the Weibull distribution is the mean time to failure (MTTF) or mean time between failures (MTBF) = . Key statistical properties of the Weibull distribution are: ?Mean = ?Median = ?Mode (when β > 1) = ?Variance =
第1章威布尔分析 1.1 引言： 在所有可用的可靠性计算的分布当中，威布尔分布是唯一可用于工程领域的。在1937，Waloddi Weibull教授（1887－1979）创造性的提出了该种分布，它是用于失效数据分析分布中应用最广泛的分布之一，也用于寿命数据分析，因为系统或部件的寿命周期的测量也需要分析。 一位瑞典的工程师和一位数学家潜心研究冶金的失效，威布尔教授曾指出正态分布要求冶金的初始强度服从正态分布，而情况并非如此。他还指出对于功能需求可以包含各种分布，其中包括正态分布。 1951年他发表了代表作，“一个具有广泛适用性的统计分布函数”，威布尔教授声称寿命数据可以从威布尔分布族中选择最恰当的分布，然后用合适的参数进行合理准确的失效分析。他列举七种不同的情况来证明威布尔分布可顺利用于很多问题的分析。 对威布尔分布的最初反应是普遍诊断它太过完美以致于不真实。尽管如此，失效数据分析领域的先驱们还是开始应用并不断改进，直到1975年，美国空军才认可了它的优点并资助了威布尔教授的研究。 今天，威布尔分析涉及图表形式的概率分析以找出对于一个给定失效模式下最能代表一批寿命数据的分布。尽管威布尔分布在检测寿命数据以确定最合适的分布方面在世界范围内处于领先位置，但其它分布也会偶尔用于寿命数据分析包括指数分布，对数正态分布，正态分布，寿命数据有了对应的统计学分布，威布尔分析对预计产品寿命做了准备。这种具代表性的样本分布用来估计产品的重要寿命特征，如可靠性，某一时刻的失效率，产品的平均寿命及失效率。 1.1.1威布尔分析的优点： 威布尔分析广泛用于研究机械、化工、电气、电子、材料的失效，甚至人体疫病。威布尔分析最主要的优点在于它的功能： ?提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，对出现的问题尽早的制订解 决方案。 ?为单个失效模式提供简单而有用的图表，使数据在不充足时，仍易于理解。 ?描述分布状态的形状可很好的选择相应的分布。 ?提供基于威布尔概率图的斜率的物理失效的线索。
1 目的 通过对实验室测试数据的收集和分析，利用威布尔分布函数中三参数分析方法提供比较准确的失效分析和小数据样本的失效预测，利用浴盆曲线模型推定失效发生的故障周期，对出现的故障率尽早制订解决方案。 2 范围 实验室测试的耐久性实验数据。 3 定义 浴盆曲线：机器或者系统等比较复杂的产品，都有一个从在工厂制造、销售、被顾客使用到最后废弃的生命周期，将产品生命周期内的故障率的推移模型化即浴盆曲线。 故障率：产品某一时刻在满足可动状态的条件下，单位时间内的故障发生率。单位可以是1/cycle 、1/km 、1/h 、fit 、1/f 等等。 寿命：生存的年限。后亦比喻存在的期限或使用的期限。 B10寿命：到整体的10%都发生故障为止的时间。 4 工作职责 可靠性工程师：对测试的试验数据进行收集、整理，利用三参数威布尔分析工具推定其寿命。 试验员：严格执行工程师下发的测试方案，对测试过程的监测、测试异常的反馈、测试结果真实性负责。 5 作业内容 5.1 选择失效样品数量 建议测试失效数量大于15PCS （原则上失效率越多，对数据分析准确性越高）。 5.2 三参数威布尔分布模型 5.2.1 威布尔分布的寿命分布函数由下式给出 ① 式中 m ――形状参数，决定分布密度曲线的基本形状； γ(gamma)――位置参数，又称起始参数，表示产品在时间γ之前具有100％的可靠度，失效是从 之γ后开始的； η(eta)――尺度参数，起缩小或放大t 标尺的作用，但不影响分布的形状。 由上式可以看出，当m>l 时，λ(t)为单调递增函数，则失效率属于IFR(1ncreasing Failure Rate)型。可用来描述浴盆曲线的损耗老化失效阶段的寿命分布；当m=l 时， αλ1 )(=t 为常数，即λ(t)为恒定失效 率，属于CFR(Constant Failure Rate)型。可用来描述浴盆曲线的偶然失效阶段的寿命分布；当m<1时, λ(t)为单调递减函数，则失效率属于DFR （Decreasing Failure Rate ）型。常用来描抹浴岔曲线的早期失效阶段的寿命分布。 ))(exp(1)(ηγm t t F ---=γ ≥t
% P(X>1.8)=1-P(X<=1.8) % =1-P(0 00.51 1.52 2.53 3.54 00.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 概率密度分布函数 %函数积分的方法 a=2; k=3; syms x f Fx ; f=(k/a).*((x/a).^(k-1)).*exp(-(x/a).^k); %当要求X>1.8时，也就是 da=int(f,1.8,inf) %最终答案0.4824 da =1/exp(729/1000); %蒙特卡罗方法：随机试验的方法计算积分 % 方法1： % x 范围(0,1.8),y 的范围是(0,0.6)形成一个矩形 % 均匀布点N ，计算落入曲线下面的数据点的个数acount % 那么P(x<=1.8)的(面积)概率也就是1.8*0.6*acount/N % 当然，这个方法取决于布点的密度，也就是个数的多寡 a=2; k=3; x=0:0.01:1.8; y=0:0.01:0.6; sx=size(x); sy=size(y); N=sx(1,2)*sy(1,2); %总共有N=11041个点 acount=0; %计算落入曲线下方的点的个数 for i=1:sx(1,2) for j=1:sy(1,2) t=(k/a).*((x(i)/a).^(k-1)).*exp(-(x(i)/a).^k); if y(j)
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