平面向量易错题解析
1、你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？
2、你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用22||→→=a a ；22||y x a +=
） 3、你知道解决向量问题有哪两种途径？（①向量运算；②向量的坐标运算）
4、你弄清“02121=+?⊥→→y y x x b a ”与“0//1221=-?→→y x y x b a ”了吗？
[问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？
（1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→→b a ，不能推
出→→=0b .
（2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→
→→→→→=??=?c a c b b a .
（3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→→→→→→??≠??c b a c b a ，这是因为
左边是与→c 共线的向量，而右边是与→a 共线的向量.
5、向量的平移公式、函数图象的平移公式你掌握了吗？
6、正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？
1、向量有关概念：
（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；
（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是||AB AB ±)；
（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；
（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直
线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、
共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。
如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5））
2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为(),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。如（1）若(1,1),a b ==
(1,1),(1,2)c -=-，则c =______（答：1322
a b -）；（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 A. 12(0,0),(1,2)e e ==- B. 12(1,2),(5,7)e e =-= C. 12(3,5),(6,10)e e == D. 1213(2,3),(,)24
e e =-=-（答：B ）；（3）已知,AD BE 分别是ABC ?的边,BC AC 上的中线,且,AD a BE b ==,则BC 可用向量,a b 表
示为_____（答：2433
a b +）；（4）已知ABC ?中，点D 在BC 边上，且?→??→?=DB CD 2，?→??→??→?+=AC s AB r CD ，则s r +的值是___（答：0）
4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度和方向规定如下：()()1,2a a λλ=当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反，当λ＝0时，0a λ=，注意：λa ≠0。
5、平面向量的数量积： （1）两个向量的夹角：对于非零向量，，作,OA a OB b ==，AOB θ∠= ()0θπ≤≤称为向量，的夹角，当θ＝0时，，同向，当θ＝π时，，反向，当θ＝2
π时，a ，b 垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做与的数量积（或内积或点积），记作：?，即?＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。如
（1）△ABC 中，3||=?→?AB ，4||=?→?AC ，5||=?→
?BC ，则=?BC AB _________（答：－9）； （2）已知11(1,),(0,),,22a b c a kb d a b ==-=+=-，c 与d 的夹角为4
π，则k 等于____（答：1）；
（3）已知2,5,3a b a b ===-，则a b +等于____；（4）已知,a b 是两个非零向量，且a b a b ==-，则与a a b +的夹角为____（答：30） （3）b 在a 上的投影为||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0。如已知3||=→a ，5||=→b ，且12=?→→b a ，则向量→a 在向量→
b 上的投影为______（答：5
12） （4）?的几何意义：数量积?等于的模||a 与在上的投影的积。 （5）向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为θ，则： ①0a b a b ⊥??=； ②当a ，b 同向时，a ?b ＝a b ，特别地，222,a a a a a a =?==；当a 与b 反向时，a ?b ＝
－a b ；当θ为锐角时，?＞0，且 a b 、不同向，0a b ?>是θ为锐角的必要非充分条件；当θ为钝角时，?＜0，且 a b 、
不反向，0a b ?<是θ为钝角的必要非充分条件； ③非零向量，夹角θ的计算公式：cos a b a b θ?=
；④||||||a b a b ?≤。如（1）已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→
b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______（答：43λ<-或0λ>且13
λ≠）；（2）已知OFQ ?的面积为S ，且1=??→??→?FQ OF ，若2321<
（答：(,)43ππ）；（3）已知(c o s ,s i n ),(c a x x b y y ==a 与b 之间有关系式
3,0ka b a kb k +=->其中，
①用k 表示a b ?；②求a b ?的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小（答：①21(0)4k a b k k +?=>；②最小值为12
，60θ=） 6、向量的运算：
（1）几何运算：
①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设,AB a BC b ==，那么向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=；
②向量的减法：用“三角形法则”：设,,AB a AC b a b AB AC CA ==-=-=那么，由减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。如（1）化简：①AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____；③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）；（2）若正方
形ABCD 的边长为1，,,AB a BC b AC c ===，则||a b c ++＝_____（答：；（3）若O 是ABC 所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC 的形状为____（答：直角三角形）；（4）若D 为ABC ?的边BC 的中点，ABC ?所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为___（答：2）；（5）若点O 是ABC △的外心，且0OA OB CO ++=，则ABC △的内角C 为____（答：120）；
（2）坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则：
①向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。如（1）已知点(2,3),(5,4)A B ，(7,10)C ，若
()AP AB AC R λλ=+∈，则当λ＝____时，点P 在第一、三象限的角平分线上（答：12
）；（2）已知1(2,3),(1,4),(sin ,cos )2A B AB x y =且，,(,)22x y ππ∈-，则x y += （答：6π或2
π-）；（3）已知作用在点(1,1)A 的三个力123(3,4),(2,5),(3,1)F F F ==-=，则合力123F F F F =++的终点坐标是 （答：（9,1））
②实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。
③若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。如设(2,3),(1,5)A B -，且13AC AB =
，3AD AB =，则C 、D 的坐标分别是__________（答：11(1,),(7,9)3
-）； ④平面向量数量积：1212a b x x y y ?=+。如已知向量＝（sinx ，cosx ）, ＝（sinx ，sinx ）, ＝（－
1，0）。（1）若x ＝
3
π，求向量a 、c 的夹角；（2）若x ∈]4,83[ππ-，函数x f ?=λ)(的最大值为21，
求λ的值（答：1(1)150;(2)2或1）； ⑤向量的模：222222||,||a x y a a x y =+==+。如已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那
么|3|a b +＝_____；
⑥两点间的距离：若()()1122
,,,A x y B x y ，则||AB =如如图，在平面斜坐
标系xOy 中，60xOy ∠=，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+，其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y 。（1）若点P 的斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离｜PO ｜；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程。（答：（1）2；（2）22
10x y xy ++-=）； 7、向量的运算律：（1）交换律：a b b a +=+，()
()a a λμλμ=，a b b a ?=?；(2)结合律：
()(),a b c a b c a b c a b c ++=++--=-+，()()()a b a b a b λλλ?=?=?；（3）分配律：
()(),a a a a b a b λμλμλλλ+=++=+，()a b c a c b c +?=?+?。如下列命题中：① →→→→→→→?-?=-?c a b a c b a )(；② →→→→→→??=??c b a c b a )()(；③ 2()a b →→-2||a →=
22||||||a b b →→→-?+；
④ 若0=?→→b a ，则0=→a 或0=→b ；⑤若,a b c b ?=?则a c =；⑥22a a =；⑦2a b b a a ?=；⑧222()a b a b ?=?；⑨222()2a b a a b b -=-?+。其中正确的是______（答：①⑥⑨）
提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即)()(?≠?，为什么？
8、向量平行(共线)的充要条件：//a b a b λ?=22()(||||)a b a b ??=1212x y y x ?-＝0。如(1)若向量(,1),(4,)a x b x ==，当x ＝_____时a 与b 共线且方向相同（答：2）；（2）已知(1,1),(4,)a b x ==，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x ＝______（答：4）；（3）设(,12),(4,5),(10,)PA k PB PC k ===，则k ＝_____时，A,B,C 共线（答：－2或11）
9、向量垂直的充要条件：0||||a b a b a b a b ⊥??=?+=- 12120x x y y ?+=.特别地()()A B
A C A
B A
C A B A C A B A C
+⊥-。如(1)已知(1,2),(3,)OA OB m =-=，若OA OB ⊥，则m = （答：32
）；（2）以原点O 和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=?，则点B 的坐标是________ （答：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,),n a b =向量n m ⊥，且n m =，则m 的坐标是________ （答：(,)(,)b a b a --或）
10.线段的定比分点：
（1）定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P 1、P 2的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12PP 所成的比，P 点叫做有向线段12PP 的以定比为λ的定比分点；
（2）λ的符号与分点P 的位置之间的关系：当P 点在线段 P 1P 2上时?λ>0；当P 点在线段 P 1P 2的延长线上时?λ<－1；当P 点在线段P 2P 1的延长线上时10λ?-<<；若点P 分有向线段12PP 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为
1λ。如若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为_______（答：7
3
-） （3）线段的定比分点公式：设111(,)P x y 、222(,)P x y ，(,)P x y 分有向线段12PP 所成的比为λ，则121211x x x y y y λλλλ+?=??+?+?=?+?，特别地，当λ＝1时，就得到线段P 1P 2的中点公式121222x x x y y y +?=???+?=??。在使用定比分点的坐
1．在ABC ?中,M 是BC 的中点，AM=1,点P 在AM 上且满足学2AP PM =u u u r u u u u r ,则 ()PA PB PC ?+u u u r u u u r u u u r 等于 A 、49- B 、43- C 、43 D 、49 2．已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ．若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c = （ ） A 、77 (,)93 B 、77(,)39-- C 、77(,)39 D 、77(,)93 -- 3．已知||8AB =u u u u r ，||5AC =u u u r ，则||BC uuu r 的取值范围是（ ） A 、]8,3[ B 、（3，8） C 、]13,3[ D 、（3，13） 4．设向量),(),,(2211y x b y x a ==，则 2 121y y x x =是b a //的（ ）条件。 A 、充要 B 、必要不充分 C 、充分不必要 D 、既不充分也不必要 5．下列命题： ①4 2 2 ||)()(=? ②??=??)()( ③ |a ·b |=|a |·|b | ④若a ∥,∥,则∥ ⑤∥，则存在唯一实数λ，使λ= ⑥若 ?=?，且≠，则= ⑦设21,e e 是平面内两向量，则对于平面内任何 一向量，都存在唯一一组实数x 、y ，使21e y e x a +=成立。 ⑧若|+|=|－ |则·=0。 ⑨·=0，则=或= 真命题个数为（ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、3个以上 6．和a r = (3,－4)平行的单位向量是_________； 7．已知向量|||| a b p a b =+r r u r r r ，其中a r 、b r 均为非零向量，则||p u r 的取值范围是 . 8．若向量a =)(x x 2,，b =)(2,3x -，且a ，b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是______. 9．在四边形ABCD 中，AB u u u r =DC u u u r =（1，1）， BA BC BA BC BD +=u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r ，则四边形ABCD
四年级上册数学“大数的认识”易错题 易错点一：混淆数位与计数单位两个概念 判断：万级的四个计数单位是万位、十万位、百万位、千万位。 错误解答：√ 错因分析：混淆了“数位”和“计数单位”这两个概念。用数字表示数时，计数单位是按一定的顺序排列的，它们占的位置叫数位 正确解答：× 针对训练: 判断： 1.每相邻两个数位之间的进率都是十。（） 2.和千万位相邻的两个数位是百万和亿。（） 3.一个七位数，它的最高位是百万位。（） 4.一个数含有三级数位，这个数一定是十二位数。（） 易错点二：哪个数位上一个计数单位也没有，就在那个数位上写0，不能省略不写 由一百零六亿、一百零万和一百零六组成的数是（） 错误解答：106106106 错因分析：错在没有掌握正确的写数方法。利用分级的方法写数时，除最高级外，其他数级一定是四位一级。从高位写起，先写亿级，再写万级，最后写个级，哪个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0. 正确解答：10601060106 针对训练： 写出下面各数
1.由三千万、五十万、二万和九千组成的数。 2.由八百万和八组成的数。 易错点三：对“四舍五入”没有理解理透彻，对尾数部分的最高位上的数是大于5还是小于5的“舍”“入”混淆不清 ≈25万，里可以填几？ 错误解答：1，2，3，4 错因分析：错在有遗漏。本题是把万位后面的尾数省略，并且没有向万位进位，千位上不满5的情况有0，1，2，3，4，遗漏0是易犯的错误正确解答：0，1，2，3，4 针对训练： 1.≈85万，里可以填（）。 2.≈44亿，里可以填（）。 3.≈30亿，里可以填（）。 易错点四：改写时，数字后面漏写“万”字或“亿”字 选择：把308000000000改写成用“亿”作单位的数是（）。 A.3080 B.3080亿 C.308亿 错误解答：A、C 错因分析：选项A没有在数字后添加“亿”字，改写的数与原数相比明显小了，而不是大小不变，选项C多去了一个0。将一个整亿数改成用“亿”作单位的数，要去掉末尾的8个“0”，并在改写的数后面添加一个“亿”字 正确解答：B 针对训练： 1.把40900000改写成用“亿”作单位的数是（）。
第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算.
(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时
平面向量易错题解析 1.你熟悉平面向量的运算（和、差、实数与向量的积、数量积）、运算性质和运算的几何意义吗？ 2.你通常是如何处理有关向量的模（长度）的问题？（利用2 2 ||→→ =a a ；22||y x a +=） 3.你知道解决向量问题有哪两种途径？ （①向量运算；②向量的坐标运算） 4.你弄清“02121=+?⊥→ → y y x x b a ”与“0//1221=-?→ → y x y x b a ”了吗？ [问题]：两个向量的数量积与两个实数的乘积有什么区别？ （1） 在实数中：若0≠a ，且ab=0,则b=0,但在向量的数量积中，若→→≠0a ，且0=?→ →b a ，不能推 出→ →=0b . （2） 已知实数)(,,,o b c b a ≠，且bc ab =，则a=c,但在向量的数量积中没有→ →→→→→=??=?c a c b b a . （3） 在实数中有)()(c b a c b a ??=??，但是在向量的数量积中)()(→ → → → → → ??≠??c b a c b a ，这是因为 左边是与→ c 共线的向量，而右边是与→ a 共线的向量. 5.正弦定理、余弦定理及三角形面积公式你掌握了吗？三角形内的求值、化简和证明恒等式有什么特点？ 1.向量有关概念： （1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是|| AB AB ±)； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性； （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直 线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)；④三点A B C 、、共线? AB AC 、 共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若A B D C =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______（答：（4）（5）） 2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a ，b ，c 等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，为基底，则平面内的任一向量a 可表示为 (),a xi y j x y =+=，称(),x y 为向量a 的坐标，a ＝(),x y 叫做向量a 的坐标表示。如果向量的起点在 原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。 3.平面向量的基本定理：如果e 1和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使a =1λe 1＋2λe 2。
大数的认识易错题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
第一单元大数的认识 一、填空 1、读数时，每级末尾的0都不读，其他数位上有一个或几个连续的0都只读（）。 2、省略万位后面的尾数，要根据（）位上的数字进行“四舍五入”。 3、最大的五位数是（），最小的五位数是（），它们相差（）。 4、用3,0,0,5,9,4,6这七个数字组成的最小的七位数是（），最大七位数是（）。 5、算盘中1颗下珠表示（），1颗上珠表示（）。 6、每相邻两个自然数的差是（）。 7、一个八位数，省略万位后面的尾数约是8700万，这个数最大是(), 最小是（）。 二、判断题 1、读数时有几个0就读几个零。（） 2、将2写在十万位上比写在万位上多十万。（） 3、401班有41名学生，清扫校园路面接近680平方米.“41”是准确数，“680”也是准确数。（） 4、一个自然数右起第十一位是百亿位，它的右面一位是千亿位。（） 5、AC键和0N/C键的功能一样。（） 6、电子计算器具有体积小，质量轻，便于携带等特点。（） 7、一个数的近似数，可能比它本身小，也可能比它本身大。（） 三、选择题 1、十万十万的数，数100次是（）。 A、一百万 B、一千万 C、一亿 2、十位、千位、万位、亿位都是（）。 A、计数单位 B、数位 C、位数 3、在用计算器运算个过程中，如果需要清除前面刚输入的一个数字，可按（）键； 如果需要全部清除屏幕上的数字，可按（）键。 A、AC B、MC C、ON/C 4、由四十、四万和四亿组成的数是（）。 5、10个一千万和100个一百万相比较，（） A、10个一千万大 B、100个一百万大 C、一样大 四、提升训练 1、一个含有两级的数，其中一级上的数恰好是报警电话号码加一个“0”，另一级上的数是急救中心电话号码加一个“0”，这个数最大是多少最小是多少（“0”只能居号码的前面或后面) 2、有一个九位数，最高位上的数字是3，最低位上的数字是4，十位上的数字是个位上的2倍，前三位数字的和与后三位数字的和都是18，其他各数位上的数都是0。这个九位数是 3、
知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1、向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与任意向量平行 ③单位向量：模为1个单位长度的向量 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设,AB a BC b == ，则a +b =AB BC + =AC （1）a a a =+=+00；（2）向量加法满足交换律与结合律； AB BC CD PQ QR AR +++++= ，但这时必须“首尾相连” ． 3、向量的减法： ① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 ②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差，③作图法：b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 4、实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度与方向规定如下： （Ⅰ）a a ?=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0<λ时，λa 的方向与a 的 方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的 5、两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线?有且只有一个实数λ，使得b =a λ 6、平面向量的基本定理：如果21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数21,λλ使：2211e e a λλ+=，其中不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底 二.平面向量的坐标表示 1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+ ，记作a =(x,y)。 2平面向量的坐标运算： (1) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则()1212,a b x x y y ±=±± (2) 若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- (3) 若a =(x,y)，则λa =(λx, λy) (4) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1221//0a b x y x y ?-= (5) 若()()1122,,,a x y b x y == ，则1212a b x x y y ?=?+? 若a b ⊥ ，则02121=?+?y y x x
一、填空 1、读数时，每级末尾的0都不读，其他数位上有一个或几个连续的0都只读（）。 2、省略万位后面的尾数，要根据（）位上的数字进行“四舍五入”。 3、最大的五位数是（），最小的五位数是（），它们相差（）。 4、用3,0,0,5,9,4,6这七个数字组成的最小的七位数是（），最大七位数是（）。 5、算盘中1颗下珠表示（），1颗上珠表示（）。 6、每相邻两个自然数的差是（）。 7、一个八位数，省略万位后面的尾数约是8700万，这个数最大是( ), 最小是（）。 二、判断题 1、读数时有几个0就读几个零。（） 2、将2写在十万位上比写在万位上多十万。（） 3、401班有41名学生，清扫校园路面接近680平方米.“41”是准确数，“680”也是准确数。（） 4、一个自然数右起第十一位是百亿位，它的右面一位是千亿位。（） 5、AC键和0N/C键的功能一样。（） 6、电子计算器具有体积小，质量轻，便于携带等特点。（） 7、一个数的近似数，可能比它本身小，也可能比它本身大。（） 三、选择题 1、十万十万的数，数100次是（）。 A、一百万 B、一千万 C、一亿 2、十位、千位、万位、亿位都是（）。 A、计数单位 B、数位 C、位数 3、在用计算器运算个过程中，如果需要清除前面刚输入的一个数字，可按（）键； 如果需要全部清除屏幕上的数字，可按（）键。 A、AC B、MC C、ON/C 4、由四十、四万和四亿组成的数是（）。 A、4000040040 B、400040040 C、400004040 5、10个一千万和100个一百万相比较，（） A、10个一千万大 B、100个一百万大 C、一样大 四、提升训练 1、一个含有两级的数，其中一级上的数恰好是报警电话号码加一个“0”，另一级上的数是急救中心电话号码加一个“0”，这个数最大是多少？最小是多少？（“0”只能居号码的前面或后面) 2、有一个九位数，最高位上的数字是3，最低位上的数字是4，十位上的数字是个位上的2倍，前三位数字的和与后三位数字的和都是18，其他各数位上的数都是0。这个九位数是？
一、多选题 1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 2．已知点()4,6A ，33,2 B ??- ?? ? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 3．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ． B ． C ．8 D ． 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ） A B C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1．如图，圆O 是等边三角形ABC 的外接圆，点D 为劣弧AC 的中点，则OD =u u u r （ ） A ．2133BA AC +u u u r u u u r B ．2133BA A C -u u u r u u u r C ．1233BA AC +u u u r u u u r D ．4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ，列出相应式子得出结论. 【详解】 解：连接BO ，易知B ，O ，D 三点共线，设OD 与AC 的交点为E ， 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选：A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法，结合几何特点，考查分析能力，属于中档题. 2．已知正ABC ?的边长为4，点D 为边BC 的中点，点E 满足AE ED u u u r u u u r =，那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为（ ） A ．8 3 - B ．1- C ．1 D ．3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ，即可求得cos ∠BEC ，由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可． 【详解】
由已知可得：7 ， 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B ． 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式，属中档题． 3．若向量a b r r ，的夹角为3 π ，|2|||a b a b -=+r r r r ，若()a ta b ⊥+r r r ，则实数t =（ ） A ．1 2 - B ． 12 C 3 D ．3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ，结合条件可得b a =r r ，又由()a ta b ⊥+r r r ，可得20t a a b ?+?=r r r ，即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ，也即22cos 3 b a b π =r r r ，所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ，得()0a ta b ?+=r r r ，即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选：A
《大数的认识应用》 四年级数学备课组 【知识分析】 上册四年级大数的认识应用典型练习题 【例题解读】 【例1】 （1）一个多位数有两个数级，在每一数级上都只写一个最小的两位数. （2）一个数，从左往右数，从第3位起，每一位上的数字都是它前面相邻两位上的数字之和，如：1459，12358…在这类数中，最高位是13，按上面的写数规律，写出的最大数是多少？ 【思路简析】 （1）这个数由万级和个级两个数级构成，10是最小的两位数， 所以在万级中写10，在个级上也写10写上0010， 写作：100010. （2）按规律写数，要使写出的数最大，数的站位要多，写到最后两位和不小于10为止，写出的最大数为1347. 【例2】小强用数卡2、5、1、6、7、0、8排出了一个七位数8217056，小刚将相邻的两张数卡交换了一下位置，使所得的数尽可能大，小刚该交换哪两张数卡的位置？得数最大是多少？ 【思路简析】交换七位数8217056中相邻两张数卡的位置，从最高位开始考虑，交换数卡8与2，得数会比原来小，同样交换数卡2和1，得数同样比原来小，交换数卡1与7的位置，原数万位上的1经过交换变为7，显然得数比原数大.所以得数最大是8271056. 【经典题型练习】 1、把一个数分别写在万位和个位中，形成了一个五位数，该五位数的十位、百
位、千位上的数字均为零，这样的五位数有多少个？写出其中最大的数. 2、一个数，从左往右数，从第3位起，每一位上的数字都是它前面相邻两位上 的数字之和，如：1459，12358，4268，729…在这类数中，最大的数是多少？ 3、小亮用数卡2、5、1、6、7、0、8排出了一个七位数8217056，小明将其中 的一张数卡取出后，得数变为了一个六位数，取出哪张数卡，所得的六位数最大？取出哪两张数卡，所得的五位数最小？ 4、小玲用4张数卡排出一个四位数，将它写在了纸上，然后将纸倒放，对着对 面的小芳，看到了一个四位数，也将它写在了纸上，只是两人看到的四位数大小不等，将两个四位数相加和等于9969，小玲排出的四位数是几？ 《大数的认识应用专项训练》 一、我来写一写：
2021年高考数学试题汇编平面向量 （北京4） 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ， 那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4）
对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r
历年高考数学复习易错题选 平面向量 一、选择题： 1．在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( ) A 20 B 20- C 320 D 320- 错误分析: 错误认为?==60C ,从而出错. 答案: B 略解: 由题意可知?=120, 故CA BC ? =202185cos -=?? ? ? ?-??=. 2．关于非零向量a 和b ，有下列四个命题： （1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b 的方向相同”； （2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”； 其中真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 错误分析:对不等式b a b a b a +≤±≤-的认识不清. 答案: B. 3．已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，B(0，3)，是P 线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA 2OP 的最大值为 （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当|OP |cos α最大时，OA 2OP 即为最大。 4．若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足
（ ） A ． a 与b 的夹角等于α-β B ．a ∥b C ．(a +b )⊥(a -b ) D ． a ⊥b 正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 5．已知向量 a =(2cos ?，2sin ?)，?∈(π π ,2 )， b =（0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( ) A ．π32 -? B ． 2 π +? C ．?-2 π D ．? 正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0，π]。 6．O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若( OB -OC )2(OB +OC -2OA )=0， 则?ABC 是（ ） A ．以A B 为底边的等腰三角形 B ．以B C 为底边的等腰三角形 C ．以AB 为斜边的直角三角形 D ．以BC 为斜边的直角三角形 正确答案：B 错因：学生对题中给出向量关系式不能转化：2OA 不能拆成(OA +OA )。 7．已知向量M={ a | a =(1,2)+λ(3,4) λ∈R}， N={a |a =(-2,2)+ λ(4,5) λ∈R }，则M ?N= （ ） A ｛（1，2）｝ B {})2,2(),2,1(-- C {})2,2(-- D φ 正确答案：C 错因：学生看不懂题意，对题意理解错误。 8．已知k Z ∈，(,1),(2,4)== AB k AC ，若AB ≤ ，则△ABC 是直角三角形的概率是（ C ） A ． 17 B ．27 C ． 37 D ． 47 分析： 由AB ≤ k Z ∈知{}3,2,1,0,1,2,3k ∈---，若 (,1)(2,4)== 与AB k AC 垂直，则2302+=?=-k k ；若(2,3) =-= -- B C A B A C k 与 (,1)AB k = 垂直，则2 230--=k k 13?=-或k ，所以△ABC 是直角三角形的概率是37 . 9．设a 0为单位向量，（1）若a 为平面内的某个向量，则a=|a|2a 0;(2)若a 与a 0平行，则a =|a |2a 0；（3）若a 与a 0平行且|a |=1，则a =a 0。上述命题中，假命题个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 正确答案：D 。
一、读出下面数，并四舍五入到万 24905000 6407000 85004300 708000 10099003 1895000 20004999 564798 95989 二、读出下面数，并四舍五入到亿350845030020 30504120030 60807000020 78950120003 200050002000 7000020001 678008030702 650057080001 400007000108 900078000908 900009037005 三、写出下面的数，并四舍五入到万 八千六百万零九十 五百三十万五千 一千二百万零六百零五 四千三百九十八万 六千八百五十万 四千七百八十万五千零一 六千万零五千 五千四百零一万四千五百零五 五千零八万零六百零三 九百九十九万五千零八 四、写出下面的数，并四舍五入到亿 五亿六千八百零三万零六百零二 三十五亿零六百零七万零四百零五 三千零五亿零八 六千四百七十三亿五千零一百 七十八亿五千二百万 八百九十亿六千 九千亿零九 九千零八亿三千零三万零五十五 七千八百亿六千零三百零五万零二千零三百零二
1、一个数，十万位上是8，最低位是3，十位上的数字是个位上数字的2倍，后三位数字的和为15，其他各数位上都是0. （1）、请你写出这个数，说说这个数是几位数。这个数的最高位是（）位？ 读出这个数。写作：（）位数最高位是（）位 读作： 2、用2、5、6、8和三个0组成数，按要求先写出这个数，再读出来。 （1）、最大的七位数：读作：写作： （2）、最小的七位数：读作：写作： （3）、只读出一个0的数：读作：写作： （4）、读出两个0的数：读作：写作： 3、完成下面问题。 300000406 读作： 四百二十万零九百写作： 一个数由七千个亿，二个千万，三个百万，六个万和九个十组成， 这个数写作： 4000000+600000+70000+8000+2 写作： 5、一个数省略万位后面的尾数后，近似数是6万，这个数在省略之前 最大是：最小是： 6、□最大能填几？ 39□429≈39万57□000≈58万89□6321347≈90亿85□9851420≈85亿 □最小能填几？ 39□429≈39万57□000≈58万89□6321347≈90亿85□9851420≈85亿7．7064000是由7个________，6个________和4个________组成的。这个数读作________。把这个数改写成用万作单位的近似数是________万。 8．7个千万、5个十万组成的数是________；改写成用“万”作单位的数是________。9．用5，0，0，0，7，6，3，4组成一个最大的八位数和一个最小的八位数。 10．在我国第六次人口普查中，某地区人口以“万”作单位，用四舍五入法统计约68万人，这个地区实际人口最多可能是________人，最少可能是________人。 11．用四舍五入法7□7890000≈8亿，□里可以填________。 12．用0，0，0，1，2，3这六个数字组成一个零都不读的六位数，最大的是________，最小的是________． 13、磊磊在一次参加数学竞赛时，遇到一个很有意思的考号：这个考号是个七位数，百万位上的数字是4，万位上的数宇是9，任意相邻的三个数位上的数字之和是18，请你猜猜这个考号是多少? 14．豆豆为自己的电话手表设了一个五位数的密码。万位数字是千位数字的2倍，千位数字是百位数字的2倍，百位数字是十位数字的2倍，十位数字比个位数字多1。这个密码是多少? 15．列出5个数，在千位上凑整后得到14000．
高三数学复习专题平面向量 一、考点透视 本章考试内容及要求： 平面向量的有关概念B级 平面向量的线性运算（即平面向量的加法与减法，实数与平面向量的积）C级 平面向量的数量积C级（老教材为D级） 向量的坐标表示C级 向量运算的坐标表示C级 平行向量及垂直向量的坐标关系C级 向量的度量计算C级 注： B水平：对所学数学知识有理性的认识，能用自已的语言进行叙述和解释，并能据此进行判断；知道它们的由来及其与其他知识之间的联系；知道它们的用途。对所学技能会进行独立的尝试性操作。 C水平：对所学数学知识有实质性的认识并能与已有知识建立联系，掌握其内容与形式的变化；有关技能已经形成，能用它们来解决简单的有关问题。 二、复习要求 1．理解向量、向量的模、相等向量、负向量、零向量、单位向量、平行向量等概念； 2．掌握向量的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式； 3．掌握向量的加法、减法及实数与向量的乘积、数量积等运算的向量表示形式、几何表示形式和坐标表示形式； 4．能应用向量的数量积的有关知识求向量的模及两个向量的夹角，并能解决某些与垂直、平行有关简单几何问题。 概括地说，即理解向量有关概念，掌握向量基本形式（3种）及基本运算（4种），关注向量简单应用。 三、复习建议 向量是近代数学中的一个重要概念，它是沟通代数、几何与三角的一种工具。向量在数学和物理学中应用很广，在解析几何里应用更为直接，用向量方法特别便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题。从数学发展史来看，在历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家所认识。直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。 向量是高中数学的必修内容，也是研究其它数学问题的重要工具，利用向量知识去研究几何问题中的垂直、平行关系，计算角度和距离问题将变得简单易行，其特点兼有几何的直观性、表述的简洁性和方法的一般性，因而它也是高考必考内容。每年的平面向量的高考，除了以小题形式考查一些简单的概念之外，还常与解析几何、三角等内容结合以解答题形式进行综合考查，试题的难度一般在中、低档题水平，复习时应重视向量基本知识的掌握和运用，难度不要拔高。
数学高考《平面向量》复习资料 一、选择题 1．已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上不同的三点，且//AB y 轴，90ACB ∠=?，点C 在AB 边上的射影为D ，则CD =（ ） A ．4 B ．2 2 C ．2 D ．2 【答案】A 【解析】 【分析】 画出图像，设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ?????? - ? ? ???????，12y y >， 由90ACB ∠=?可求2 2 1 216y y -=，结合22 1244 y y CD =-即可求解 【详解】 如图：设222112112,,,,,444y y y A y B y C y ??????- ? ? ???????，12y y >， 由90ACB ∠=?可得0CA CB ?=u u u r u u u r ，22221212 1212,,,44y y y y CA y y CB y y ????--=-=-- ? ????? u u u r u u u r ， ()222221212004y y CA CB y y ??-?=?--= ???u u u r u u u r ，即()()222122212016 y y y y ---= 解得2 2 1 216y y -=（0舍去），所以2222 12124444 y y y y CD -=-== 故选：A 【点睛】 本题考查抛物线的几何性质与向量的综合应用，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题 2．已知5MN a b =+u u u u r r r ，28NP a b =-+u u u r r r ，3()PQ a b =-u u u r r r ，则（ ）
高考数学复习易做易错题选 平面向量 一、选择题： 1．（如中）在ABC ?中,?===60,8,5C b a ,则CA BC ?的值为 ( ) A 20 B 20- C 320 D 320- 错误分析:错误认为? ==60,C CA BC ,从而出错. 答案: B 略解: 由题意可知 ?=120,CA BC , 故CA BC ?=20 2185,cos -=??? ??-??=??CA BC CA BC . 2．（如中）关于非零向量a 和b ，有下列四个命题： （1）“b a b a +=+”的充要条件是“a 和b 的方向相同”； （2）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 的方向相反”； （3）“b a b a -=+” 的充要条件是“a 和b 有相等的模”； （4）“b a b a -=-” 的充要条件是“a 和b 的方向相同”； 其中真命题的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 错误分析:对不等式b a b a b a +≤±≤-的认识不清. 答案: B. 3．(石庄中学)已知O 、A 、B 三点的坐标分别为O(0,0)，A(3，0)，
B(0，3)，是P 线段AB 上且 AP =t AB (0≤t ≤1)则OA ·OP 的最大值为 （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 正确答案：C 错因：学生不能借助数形结合直观得到当OP cos 最大时，OA ·OP 即为最大。 4．(石庄中学)若向量 a =(cos α,sin α) ， b =()ββsin ,cos ， a 与b 不共线，则a 与b 一定满足（ ） A ． a 与b 的夹角等于- B ．a ∥ b C ．(a +b )(a -b ) D ． a ⊥b 正确答案：C 错因：学生不能把a 、b 的终点看成是上单位圆上的点，用四边形法则来处理问题。 5．(石庄中学)已知向量 a =(2cos ，2sin )， ( ππ ,2)， b = （0,-1)，则 a 与 b 的夹角为( ) A ． π32- B ．2 π + C ．- 2 π D ． 正确答案：A 错因：学生忽略考虑a 与b 夹角的取值范围在[0，]。