向量
一．知识清单 向量有关概念
1．有向线段： 叫做有向线段，它包含 三个要素 2．向量： 叫做向量 3．向量的长度（或模）： 就是此向量的长度
4．向量的表示： 表示向量，如AB a 或
5．零向量： 叫做零向量，记作0
6．单位向量： 叫做单位向量
7．平行向量： 叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量a 与b
平行（或
共线），记作//a b
8．相等向量： 叫做相等向量。如果向量a 与b 相等，记作a =b
二．基础训练
1．在下列各命题中，真命题为（ ）
A 两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同
B 模为0的向量与任一向量平行
C 向量就是有向线段
D a =b 是a b =
的必要不充分条件
2．下列命题中，假命题是（ ） A 向量AB 与向量BA
长度相等
B 两个相等向量若起点相同，则终点必相同
C 只有零向量的模等于0
D 共线的单位向量相等
3．已知下列命题：①a=b,b=c,则a=c; ②若a//b,b//c 则a//c ；③若a=b,则a//b; ④若a//b,则a=b.其中命题正确的序号是（ ）
A ①③
B ②③
C ④③
D ①②
4．在四边形ABCD 中， AB DC = ，且AB AD =
，则四边形ABCD 是
5．如图，D 、E 、F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 和AB 的中点，试写出：
（1）与EF
平行的向量； （2）与EF
相等的向量；
B
C
D
三．强化训练
1．下列说法正确的是（ ）
A 方向相同或相反的向量是平行向量
B 零向量的长度是0
C 长度相等的向量叫相等向量
D 共线向量是在一条直线上的向量
2．下列命题中，真命题的个数为（ ）
① 若a b =
，则a =b 或a =b -
② 若AB DC =
，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点
③ 若a =b ，b c = ，则a =c
④ 若//a b ，//b c
，则//a c
A 4
B 3
C 2
D 1
3．下列命题，正确的是（ ）
A a b a b =?=
B a b a b >?>
C //a b a b =?
D 00a a =?=
4．如图，ABCD 是边厂为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交
点组成向量，则与AC
平行且长度为的向量个数是
A B
C
D
向量的加法与减法
一．知识清单
1． 向量加法的定义
已知向量a 、b ，在平面内任取一点A 作AB =
a ，BC =
b ，则向量 叫做a
与b 的和，记作 ，既a +b= =AC
，如图
求两个向量和的运算，叫做 。
对于零向量与任一向量a ，任然有0+a=a+0= 。 向量加法有 法则与 法则。
（1）向量加法的三角形法则
根据向量加法的定义求向量的方法，叫向量加法的三角形法则，使用三角形法则特别要注意“首尾相接”，具体做法是：把用小写字母表示的向量，用两个大写字母表示（其中后面向量的起点与前一个向量的终点重合，既用同一个字母来表示），则由第一个向量的起点指
向最后一个向量终点的有向线段就表示这些向量的和。如a=AB
,b=BC ,c=CD 则a+b+c=AB BC CD AD ++= 。
（2）向量加法的平行四边形法则
向量加法还可以用平行四边形法则：先把两个已知向量的起点 到同一点，再以这两个已知向量为 作平行四边形，则 就是这两个已知向量的和。
以点A 为起点作向量AB = a,AD =
b,以AB 、AD 为邻边作 ABCD 。
则以A 为起点的对角线AC 就是a 与b 的和，记作a+b=AC
向量的加法满足交换律、结合律
（1）交换律： 。 （2）结合律： 。 以上运算对多个向量也是成立的 2． 向量的减法
1．相反向量：与a 的向量，叫做a 的相反向量，记作 。零向量的相反向量仍是 。
2．向量的减法：向量a 加上向量b 的 ，叫做a 与b 的差，记作：a-b 。求两个向量差的运算，叫做 。已知a 、b ，如
图，在平面内任取一点O ，作OA = a ，OB =
b ,则 =a-b ,既
a-b 可以表示为从向量 的终点指向向量 的终点的向量，如图。 （1）-(-a)=a ;
（2）a+(-a)=(-a)+a=0
（3）a 、b 为相反向量，则a=-b,b=-a,a+b=0;
（4）差向量是由减向量的终点指向被减向量的终点。 3．两个向量的和与差仍是 二．基础训练
1．化简以下各式：（1）AB BC CA ++ ；（2）AB AC BD CD -+-
；
（3）OA OD AD -+
（4）NQ QP MN MP ++-
，结果为零向量的个数是（ ）
A 1
B 2
C 3
D 4
2．已知8,5AB AC == ，则BC
的取值范围是
3．在如图所示的四边形ABCD 中，设AB = a ，AD =
b ，则DC
a +
b a b
a a
b
a
b
a+b
O A
C
D
B
等于
4．设a 、b 是非零向量，则“a b a b -=+”成立的充要条件是（ ） A a 、b 方向相同 B a 、b 方向相反 C a=b D a b =
5．在矩形ABCD
中，AB =
1BC = ，则向量（AB AD AC ++ ）的长度等于
6．如图M 是线段AB 的中点，求证：对于任意一点O ，
1()2
OM OA OB =+
成立。
7． 在平行四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-
，则必有（ ） A 0AD = B 00AB AD == 或
C ABC
D 是矩形 D ABCD 是正方形
三．强化训练
1．在四边形ABCD 中，AC AB AD =+
，试判断四边形的形状
2．如图，在四边形ABCD 中，下列结论中错误的是（ ）
A A
B D
C = B A
D AB AC +=
C AB A
D BD -=
D 0AD CB +=
3．在 ABCD 中，AB = a ，AD =
b ，AN = 3NC ，M 为BC 的
中点，则MN =
（用a ，b 表示）。
4．如图所示，D 是ABC ?的边AB 上的中点，则向量CD 等于（ ）
A 12BC BA +
B 12B
C BA -+
C 12BC BA --
D 12
BC BA -
5．给出下列命题：（1）若向a 与b 平行，则a 与b 方向相反或者相同；
（2）ABC ?中，必有0AB BC CA ++= ；（3）四边形ABCD 是平
行四边形的充要条件是AB DC =
；（4）若非零向量a 与b 的方向相同或相反，则a+a-b 与
a 、
b 之一方向相同。其中正确的是（ ） A （1）（2） B （3）（4） C （1）（4） D （2）（3）
M
B
A B
C
D
C
实数与向量的积
一．知识清单
1. 实数与向量的积的定义
实数λ与向量a 的积是一个向量，记作 ，它的长度与方向规定如下： （1） ；
（2）当0λ>时，λa 的方向与a 的方向 ；当0λ<时，λa 的方向与a 的方向
；0λ=时，λa = 。 2. 实数与向量的积的运算律：设R λμ∈，则
（1）()a λμ=
；
（2）()λμ+a = ；
（3）λ（a+b ）= ； 3．两个向量共线的充要条件
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是 ，使得b=λa 4. 平面向量基本定理
如果12,e e 是同一平面内两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ， ，使得1122a e e λλ=+
5．基底
用来表示某一平面内任一向量的一对不共线的向量，叫做 。 6．三点共线的充要条件
,O A O B
不共线，三点A 、B 、P 共线的充要条件是()AP t AB t R =∈ 二．基础训练
1．已知a =12e e +,b =122e e -,则向量a+2b 与2a-b （ ）
A 一定共线
B 一定不共线
C 仅当12e e 与共线时共线
D 以上均不成立 2．在
ABCD 中，AC 与BD 交于点M ，若设AB = a ，AD = b ，则下列选项中与1
2
-a +
1
2
b 相等的向量是（ ） A MA B MB C MC D MD
3．设四边形ABCD 中，有12
DC AB =
，且AD BC = ，则这个四边形是（ ）
A 平行四边形
B 矩形
C 等腰梯形
D 菱形
4．已知向量12,e e 不共线，实数x,y 满足1212(34)(23)63x y e x y e e e -+-=+，则x-y 的值
等于（ ）
A 3
B -3
C 0
D 2
5．若M 是ABC ?的重心，则下列各向量中与AB
共线的是（ ）
A A
B B
C AC ++ B AM MB BC ++ C AM BM CM ++
D 3AM AC +
6．若3a =，b 与a 的方向相反，且5b =，则a = b 7．已知向量12,e e 不共线
（1）若12AB e e =- ，1228BC e e =- ，1233CD e e =+
，求证A 、B 、D 三点共线；
（2）向量12e e λ-与12e e λ-共线，求实数λ的值 三．强化训练
1．已知向量a 、b 且AB =
a+2b ，BC = -5a+6b ，CD = 7a -2b ，则一定共线的三点是（ ）
A A 、
B 、D B A 、B 、
C C C 、B 、
D D A 、C 、D
2．如图D 是ABC ?的边AB 上的中点，则向量CD =
（ ）
A 12BC BA +
B 12B
C BA -+
C 12BC BA --
D 12
BC BA -
3．如图，在ABC ?中，OA = a ，OB =
b,M 为OB 的中点，N 为AB 的中点，P 为ON 、AM 的交点，则AP
等（ ）
A
23a 13- b B 23-a 1
3-b C 13a 23-b D 13-a 23
+ b
4．如图所示），已知43
AP AB =
，用OA 、OB 表示OP ，则OP
等于（ ）
A 1433OA O
B -+ B 1433OA OB +
C 1433OA OB -
D 1433
OA OB --
B
C
D A
A
O M
N
P
B
平面向量的数量积及运算率
一．知识清单
１．向量a 与b 的夹角
两个非零向量a 和b ，作OA = a ，OB =
b ，则(0180)AOB θθ∠=≤≤ 叫做
当0θ=
时,a 与b ；当180θ=
时, a 与b 。 ２．向量a 与b 垂直
如果a 与b 的夹角是90 ，叫做 ，记作a ⊥b ３．向量a 与b 的数量积
两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量cos a b θ?
，叫做 ，记作
a b ? ，既a b ?
＝ 。规定：零向量与任一向量的数量积为０。两个向量的数
量积是一个 量，这个 量的大小与两个向量的长度及其夹角有关。 ４．向量b 在a 方向上的投影
若向量a 与b 的夹角是θ，则 叫做向量b 在a 方向上的投影。当θ为 角时，它是正值；当θ为 角时，它是负值；当θ= 时，它是０；当θ= 时，
它是b ；当θ= 时，它是b - 。
二．基础训练
１．已知3b = ，a 在b 方向上的投影是3
2，则a ? b 为
２．在边长为２的等边三角形ABC 中，AB BC ?
的值是
３．已知6a = ，a 与b 的夹角为3
π
，且（a ＋２b ）?（a －３b ）＝72-，则b 为
４．设a 、b 是夹角为60
的单位向量，则２a ＋b 和３a －２b 的夹角为
５．若2
0AB BC AB ?+= ，则三角形为 三角形。
６．设a ＝b ＝a b -=
，则a ?b ＝
７．若向量a 、b 、c 满足a ＋b ＋c ＝0 ，且3a = ，b
＝１，c ＝４，则a ?b ＋b ?c ＋
c ?a
＝
三．强化训练
１．已知向量a 与b 的夹角为120
，3a =
，a b += b 等于
２．已知向量a 、b 满足1a = ，b ＝４，且a ?b ＝２，则a 与b 的夹角为
３．若a 与b －c 都是非零向量，则“a ?b ＝a ?c ”是“a ⊥（b －c
）”的（ ）
Ａ 充分而不必要条件 Ｂ 必要而不充分条件 Ｃ 充分必要条件 Ｄ 既不充分也不必要条件
４．已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???
且
12
AB AC AB AC ?=
，则三角形ABC 为（ ）
Ａ 三边不相等的三角形 Ｂ 直角三角形 Ｃ 等腰非等边三角形 Ｄ 等边三角形
５．如图所示，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积最大的是（ ）
Ａ 1213PP PP ?
Ｂ 1214PP PP ? Ｃ 1215PP PP ? Ｄ 1216PP PP ?
123
6P
平面向量的坐标运算
一．知识清单 １．向量的坐标运算
在直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴 i 、j 作为基底，对于任一向量a ，有且只有一对实数x 、y ，使得a=x i+y j ，我们把(),x y 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =(),x y ，其中x 叫做 ，y 叫做 。 ２．平面向量的坐标运算
设a =()11,x y ，b ＝()22,x y ，则 （１）a ＋b ＝ ； （２）a －b ＝ ； （３）λa ＝ ； ３．向量平行的坐标表示
设向量a ＝()11,x y ，b ＝()22,x y ，且b ≠０，则a //b 的充要条件是 ４．向量的坐标与点的坐标间的关系
（１）若点Ａ的坐标为Ａ(),x y ，则向量OA 的坐标为OA
＝(),x y 。其中Ｏ为原点，也
就是说，点Ａ的坐标等于 。因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用 唯一表示。
（２）若点Ａ()11,x y ，Ｂ()22,x y ，则AB
＝ ，既一个向量的坐标
等于表示此向量的有向线段的 的坐标减去 的坐标。 二．基础训练
１．a ＝()2,3-，b ＝()1,5，则３a ＋b ＝
２．已知Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，且Ａ()3,6-，Ｂ()5,2-，若Ｃ点的横坐标为６，则Ｃ点的纵坐标是
３．设向量a ＝()1,3-，b ＝()2,4-，c ＝()1,2--，若表示向量４a 、４b －２c 、２(a -c )、
d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 的坐标为
４．已知a ＝()1,1-，b ＝()2,y ，且２a ＋２b 与a －２b 平行，则y 等于
５．设a ＝3,sin 2α??
???，b ＝1cos ,3α?
? ??
?，a //b ，则锐角α为 。
６．已知
ABCD 的对角线交于Ｏ，且()()3,7,2,1,AD AB ==-
求OB 的坐标
７．设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点坐标依次为()1,0-、()0,2、()4,3、()3,1，则四边形ABCD
为（ ）
Ａ 正方形 Ｂ 矩形 Ｃ 菱形 Ｄ 平行四边形
三．强化训练
１．已知(,12),(4,5),(,10)OA k OB OC k ===-
，且Ａ、Ｂ、Ｃ三点共线，则k =
２．（已知向量a ＝()3,4，b ＝()sin ,cos αα且a //b 则tan α=
３．设向量a ＝()1,3-，b ＝()2,4-。若表示向量４a 、３b －２a 、c 的有向线段首尾相接
能构成三角形，则向量c 为
４．已知点()1,5A --和向量a ＝()2,3，若AB =
３a ，则点Ｂ的坐标为
５．已知向量a ＝()1,2，b ＝()2,3，c ＝()3,4，且c ＝1λa ＋2λb ，则1λ、2λ的值分别
为 。
平面向量数量积的坐标运算
一．基础知识
１．两个向量数量积的坐标表示
设11(,)a x y = ，22(,)b x y =
，则a ?b ＝
２．向量的长度
设(,)a x y =
，则a =
３．平面上两点距离公式
设11(,)A x y =，22(,)B x y =，则AB
＝
４．两个非零向量垂直的条件
设11(,)a x y = ，22(,)b x y =
，则a ⊥b ?
注意：若i 是x 轴上的单位向量，j
是y 轴上的单位向量，则i ?i ＝ ，i ?j ＝
j ?i ＝ ，j ?j
＝
二．基础训练
１．若(4,3)a =
，向量b 是垂直于a 的单位向量，则b 等于
２．若(2,3)a = ，(4,7)b =- ，则a 在b
的方向上的投影为
３．已知向量(3,4)a = ，(2,1)b =- ，如果向量a ＋x b 与b -
垂直，则x 的值为 ４．已知(3,1)A ，(6,1)B ，(4,3)C ，D 为线段BC 的中点，则向量AC 与DA
的夹角为
５．已知(1,2)A ，(4,0)B ，(8,6)C ，(5,8)D 四点，则四边形ABCD 是
６．已知向量(1,sin )a θ= ，(1,cos )b θ= ，则a b -
的最大值为
７．已知,,A B C 是三角形ABC 三内角，向量(a =- ，(cos ,sin )b A A = ，且a ?b
＝
１，求角A 三．强化训练
１．已知向量a = ，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ?b b
等于
２．已知向量(1,2)a = ，(2,4)b =-- ，c =
，若（a ＋b ）?c ＝52
，则a 与c 的夹角
为
３．与向量71(,)22a = ，17
(,)22
b =- 的夹角相等，且模为１的向量是
４．在三角形ABC 中，90C ∠=
，(,1),(2,3)AB k AC ==
，则k 的值是
５．已知向量(sin ,1)a θ= ，(1,cos )b θ= ，2
2
ππ
θ-<<
（１）若a ⊥b
，求θ
（２）求a b +
的最大值
6．在直角坐标系xOy 中，已知点(2cos 1,2cos 22)P x x ++和点(cos ,1)
Q x -，其中[]0,x π∈，若向量OP 与OQ
垂直，求x 的值
平移
一．基础知识 １．图形的平移
设F 是坐标平面内的一个图形，将F 上所有点按照同一方向，移动同样长度，得到图形'
F 的过程叫做 。 ２．点的平移
设(,)P x y 是图形F 上的任意一点，它在平移后图形'
F 上的对应点为'''(,)P x y ，且设
'PP
的坐标为(,)h k 则 。他反映了图形中的每一点在平移后的
与 间的关系。 二．基础训练公式
１．点(2,1)-平移后变成(2,1)-，则坐标原点平移后对应的坐标为
２．已知(1,2),(4,2)A B ，则向量AB
按向量(1,3)-平移后得到的向量是
３．将函数2y x =+的图象l 按(6,2)a =-
平移后得到'l 的解析式为
４．将函数2
54y x x =++的图象沿x 轴方向平移，使其通过原点，求平移后的函数解析式。
５．把一个函数的图象按(,2)4a π= 平移后得到的图象的函数解析式为cos()24
y x π
=++，
那么原来函数的解析式为
６．已知等腰三角形ABC 中90C ∠=
，将三角形ABC 按(2,1)a =-
平移后形成三角形
'''A B C ，若''(0,0),(1,1)A B ，则C 点坐标为
三．强化训练
１．函数sin 2y x =图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos 21y x =+，则a
可以
是（ ）
Ａ (
,1)4
π
Ｂ (,1)4
π
-
Ｃ (,1)2π
-
Ｄ (,1)2
π
２．将函数sin 21y x =-的图象沿向量(,1)4
a π
= 平移，则平移后的图象所对应的函数解析
式为（ ）
Ａ cos 22y x =- Ｂ cos 22y x =-- Ｃ cos 2y x = Ｄ cos 2y x =-
３．把函数2
245y x x =-+的图象按向量a 平移后，得到2
2y x =的图象，且a ⊥b ，
(1,1)c =- ，b ?c ＝４，则b
＝
４．为了得到函数321x y -=-的图象。只需把函数2x y =的图象所有的点（ ） A 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
5．将函数sin (0)y wx w =>的图象按向量(,0)6
a π
=- 平移，平移后的图象如图所示，则
平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A sin()6
y x π
=+ B sin()6
y x π
=-
C sin(2)3y x π=+
D sin(2)3
y x π
=-
平面向量 第一课时 平面向量的概念 【重要知识】 知识点一：向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量。 注意数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小. 知识点二：向量的表示法 ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ （黑体，印刷用）等表示；①用有向线段表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB ； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 知识点三：有向线段 （1）有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度. （2）向量与有向线段的区别： ①向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； ②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段. 知识点四：两个特殊的向量 （1）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作0r . 0r 的方向是任意的. 注意0r 与0的含义与书写区别. （2）单位向量：长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小。 知识点五：平行向量、共线向量 （1） 定义：方向相同或相反的非零向量叫平行向量。 （2） 规定：规定0r 与任一向量平行. （3）共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）. 说明：①综合(1)、(2)才是平行向量的完整定义; ②向量,,a b c r r r 平行，记作a r ∥b r ∥c r ③平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系； ④共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系. 知识点六：相等向量
平面向量知识点整理 1、概念 （1）向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． （2）单位向量：长度等于1个单位的向量． （3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有零向量) ④三点A 、B 、C 共线 AC AB 、 共线 （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a 的相反向量是-a （6）向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. （7）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 2 2 2 222||,||a x y a a x y = +==+。 ） （8）零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是 它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若 ABCD 是平行四边形，则AB DC =。 （5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ 13； 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律： ()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B
第 1 页 共 7 页 平面向量训练题 一、选择题： 1．过△ABC 的重心任作一直线分别交AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =，AE yAC =，0xy ≠，则11x y +的值为（ ） （A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 2．已知下列命题中：（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =， （2）若0a b ?=，则0a =或0b = （3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-?+b a b a （4）若a 与b 平行，则||||a b a b =?其中真命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A ．00a b = B ．00 1a b ?= C ．00||||2a b += D ．00||2a b += 4．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16,0 D ．4,0 ☆5．设，a b 是非零向量，若函数f （x ）=(x a +b )·(a -x b )的图象是一条直线，则必有 （ ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b 6．设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（ ） A ．(3,1) B ．(1,1)- C ．(3,1)或(1,1)- D ．无数多个 7．在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，DE 交AF 于H ，记、 分别为a 、b ， 则=（ ）A ．52a -54b B ．52a +5 4b C ．-52a +54b D ．-52a -54b ☆8．设向量a=(1,－3),b=(－2,4),c =(－1,－2)，若表示向量4a ,4b －2c ,2(a －c ),d 的有向线段首尾相连能构 成四边形，则向量d 为（ ） A ．(2,6) B ．(－2,6) C ．(2,－6) D ．(－2,－6) 9．若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=b ( ) A ．)6,3(- B ．)6,3(- C ．)3,6(- D ．)3,6(- 10．向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于 A ．2- B ．2 C ．21 D ．12- 11．设3(,sin )2a α=，1(cos ,)3 b α=，且//a b ，则锐角α为（ ） A B C E F D H
题记：向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为高中数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒 介． 一、平面向量的概念及其线性运算 【例1】判断下列命题的真假： 1、有向线段就是向量，向量就是有向线段； 2、非零向量a 与非零向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； 3、向量AB →与向量CD → 共线，则A 、B 、C 、D 四点共线； 4、若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a >b ； 5、若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反； 6、对于任意向量|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ； 7、由于零向量0方向不确定，故0不能与任意向量平行； 8、起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量； 9、向量 与的长度相等； 10、两个相等向量若起点相同，则终点必相同； 11、只有零向量的模等于0； 12、共线的单位向量都相等； 13、向量 与是两平行向量； 14、与任一向量都平行的向量为向量； 15、若 AB =DC ,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形； 16、设O 是正三角形ABC 的中心，则向量 AB 的长度是OA 长度的3倍； 17、在坐标平面上，以坐标原点O 为起点的单位向量的终点P 的轨迹是单位圆； 18、凡模相等且平行的两向量均相等； 19、与共线的等价条件可以是存在一个实数λ，使=λ 或=λ； 20、设,,是任意的非零平面向量且互不共线，则a b a b +>+ 21、下列命题中：其中正确的是_____________ ① → →→→→ → → ?-?=-?c a b a c b a )(； ② → →→→ →→??=??c b a c b a )()(； ③ 2 () a b → → -2 ||a → =2 2||||||a b b → → → -?+； ④ 若0=?→ →b a ，则0=→ a 或0=→ b ； ⑤若,a b c b ?=? 则a c = ⑥22 a a = ； ⑦2a b b a a ?= ； ⑧222()a b a b ?=? ； ⑨222()2a b a a b b -=-?+ 二、平面向量平行定理（共线定理） （1）若//(0)a b b ≠? （2）若a b λ= 共线定理作用（1） （2） 【例2】设两个非零向量a 与b 不共线, （1） 若,28,3().AB a b BC a b CD a b =+=+=- 求证：A..B.D 三点共线; （2） 试确定实数k,使ka b + 和a kb + 共线。 【例3】已知向量a = 1）b =（0，-1），c =（k ）。若2a b - 与c 共线，则k=__________。 三、直线的向量参数式方程 已知A,B 是直线l 上任意两点,O 是l 外一点,则对直线l 上任意一点P,存在实数t,使OP 关于基底{,OA OB }的分解 式为 此向量等式叫做直线l 的向量参数方程式,其中实数t 叫做参数,并且满足t =. 应用一:OB OA ,前面的系数之和为定值1 1.（2007·全国Ⅱ）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若123 AD DB CD CA CB λ==+ ，，则λ=（ ）
第五期第三周集体备课发言材料 发言人：牟京华 时间：2018年9月27日 平面向量知识点整理 1、概念 （1）向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量． 有向线段的三要素：起点、方向、长度． （2）单位向量：长度等于1个单位的向量． （3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 提醒： ①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合； ③平行向量无传递性！（因为有零向量) ④三点A 、B 、C 共线 、 （4）相等向量：长度相等且方向相同的向量． （5）相反向量：长度相等方向相反的向量。a 的相反向量是-a （6）向量表示：几何表示法；字母a 表示；坐标表示：a ＝ｘｉ＋ｙj ＝（ｘ，ｙ）. （7）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . （ 2 22222||,||a x y a a x y = +==+。） （8）零向量：长度为0的向量。a ＝O ?｜a ｜＝O . 【例题】1.下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC =。（5）若,a b b c ==，则a c =。（6）若//,//a b b c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） 2.已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +＝_____ ； 2、向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． b a C B A
第七章平面向量 1 2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律． 3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件． 4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． 6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式． 成为多项内容的媒介． 主要考查： 1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则． 2．向量的坐标运算及应用． 3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用． 4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 第1课时 向量的概念与几何运算 1．向量的有关概念 ⑴既有又有的量叫向量． 的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．
⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量． ⑶且的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法 ⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律． ⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向． 3．实数与向量的积 ⑴实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下： ① | λ |＝． ②当λ＞0时，λ的方向与的方向； 当λ＜0时，λ的方向与的方向； 当λ＝0时，λ． ⑵λ(μ)＝． (λ＋μ)＝． λ(＋b )＝． ⑶共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得． 4．⑴平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得． ⑵设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是． 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设a AB =，b AC =，求． 解：＝－＝4 1(＋)－＝－ 43＋4 1 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（） A ．－＋2 1 B ．－－21 C ．－21 D ．＋21 解:A 例2.已知向量2132e e -=，2132e e +=，2192e e -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使 μλ+=． 解:c ＝λ＋μb ?21e －92e ＝(2λ＋2μ)1e ＋(－3λ＋3μ)2e ?2λ＋2μ＝2，且－3λ＋3μ＝－9?λ
20XX年高中测试 高 中 试 题 试 卷 科目： 年级： 考点： 监考老师： 日期：
第七章平面向量 1 2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律． 3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件． 4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． 6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式． 向量由于具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为多项内容的媒介． 主要考查： 1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．2．向量的坐标运算及应用． 3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 第1课时向量的概念与几何运算
1．向量的有关概念 ⑴既有又有的量叫向量． 的向量叫零向量．的向量，叫单位向量． ⑵叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量． ⑶且的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法 ⑴求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按法则或法则进行．加法满足律和律． ⑵求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的重合，连结两向量的，方向指向． 3．实数与向量的积 ⑴实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下： ① | λ |＝． ②当λ＞0时，λ的方向与的方向； 当λ＜0时，λ的方向与的方向； 当λ＝0时，λ． ⑵λ(μ)＝． (λ＋μ)＝． λ(＋b )＝． ⑶共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得． 4．⑴平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得． ⑵设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是． 例1 ．已知△ABC 中， D 为BC 的中点， E 为AD 的中点．设=，b AC =，求． 解：＝－＝4 1(＋)－＝－ 43＋4 1 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（） A ．－＋2 1 B ．－－21 C ．－21 D ．＋21 解:A
第七章平面向量 2．掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律． 3．掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件． 4．了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算． 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件． 6．掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式． 成为多项内容的媒介． 主要考查： 1．平面向量的性质和运算法则，共线定理、基本定理、平行四边形法则及三角形法则．2．向量的坐标运算及应用． 3．向量和其它数学知识的结合．如和三角函数、数列、曲线方程等及向量在物理中的应用．4．正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的能力．以化简、求值或判断三角形的形状为主．解三角形常常作为解题工具用于立体几何中的计算或证明． 第1课时向量的概念与几何运算 1．向量的有关概念 ⑴既有又有的量叫向量． 的向量叫零向量．的向量，叫单位向量．
⑵ 叫平行向量，也叫共线向量．规定零向量与任一向量 ． ⑶ 且 的向量叫相等向量． 2．向量的加法与减法 ⑴ 求两个向量的和的运算，叫向量的加法．向量加法按 法则或 法则进行．加法满足 律和 律． ⑵ 求两个向量差的运算，叫向量的减法．作法是将两向量的 重合，连结两向量的 ，方向指向 ． 3．实数与向量的积 ⑴ 实数λ与向量的积是一个向量，记作λ．它的长度与方向规定如下： ① | λ |＝ ． ② 当λ＞0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＜0时，λ的方向与的方向 ； 当λ＝0时，λ ． ⑵ λ(μ)＝ ． (λ＋μ)＝ ． λ(＋b )＝ ． ⑶ 共线定理：向量b 与非零向量共线的充要条件是有且只有一个实数λ使得 ． 4．⑴ 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数1λ、2λ，使得 ． ⑵ 设1e 、2e 是一组基底，＝2111e y e x +，b ＝2212e y e x +，则与b 共线的充要条件是 ． 中，D 为BC 的中点，E 为AD 的中点．设=，b AC =，求． 解：＝－＝41 (＋)－＝－43＋4 1 变式训练1.如图所示，D 是△ABC 边AB 上的中点，则向量等于（ ） A ．－＋21 B ．－－21 C ．－21 D ．＋21 解:A 例2. 已知向量2132e e -=，2132e e +=，2192e e -=，其中1e 、2e 不共线，求实数λ、μ，使μλ+=．
⑶三角形不等式: 平面向量知识点整理 1、概念 （1） 向量：既有大小，又有方向的量. 有向线 段的三要素：起点、方向、长度. （2） 单位向量：长度等于 1个单位的向量. （3） 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 提醒： ① 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； ② 两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念： 两个向量平行包含两个向量共线 但两条直线平行不包含两条直线重合； ③ 平行向量无传递性！（因为有零向量） ④三点A B 、C 共线=AB 、AC 共线 长度相等且方向相同的向量. 长度相等方向相反的向量。 a 的相反向量是-a 数量：只有大小，没有方向的量. (4) (5) 相等向量: 相反向量: (6) 向量表示: 几何表示法 AB ;字母a 表示；坐标表示：a = xi +y j =（x , y ）. (7) 向量的模: 设OA=α ,则有向线段QA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作: |a|. (8) (| a ,X 2 ? y 2, a? =| a |2 = X 2 ■ y 2。 零向量：长度为 O 的向量。a = O= I a I= O. 【例题】1.下列命题：（1）若 它们的起点相同，终点相同。 （3）若 ABCD 是平行四边形，则I AB =DC o （5）若a=bb 毛，则a =C 。 则a 〃C 。其中正确的是 __________ Ub ,则a=b 0（2）两个向量相等的充要条件是 B AB=DC ,则ABC^是平行四边形。（4）-若 6）若 a"b,b∕ c , 4 耳 2.已知a,b 均为单位向量，它们的夹角为60 ,那么|a 3b| （答:（4）（5）） （答: .13）； 2、向量加法运算 ⑴三角形法则的特点：首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点： 共起点. J+? = AB÷BC = AC J+^=. AB+AΓ = A? a -七兰肾
向量 一．知识清单 向量有关概念 1．有向线段： 叫做有向线段，它包含 三个要素 2．向量： 叫做向量 3．向量的长度（或模）： 就是此向量的长度 4．向量的表示： 表示向量，如AB a 或 5．零向量： 叫做零向量，记作0 6．单位向量： 叫做单位向量 7．平行向量： 叫做平行向量（也叫做共线向量）。如向量a 与b 平行（或 共线），记作//a b 8．相等向量： 叫做相等向量。如果向量a 与b 相等，记作a =b 二．基础训练 1．在下列各命题中，真命题为（ ） A 两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同 B 模为0的向量与任一向量平行 C 向量就是有向线段 D a =b 是a b = 的必要不充分条件 2．下列命题中，假命题是（ ） A 向量AB 与向量BA 长度相等 B 两个相等向量若起点相同，则终点必相同 C 只有零向量的模等于0 D 共线的单位向量相等 3．已知下列命题：①a=b,b=c,则a=c; ②若a//b,b//c 则a//c ；③若a=b,则a//b; ④若a//b,则a=b.其中命题正确的序号是（ ） A ①③ B ②③ C ④③ D ①② 4．在四边形ABCD 中， AB DC = ，且AB AD = ，则四边形ABCD 是 5．如图，D 、E 、F 分别是ABC ?的三边BC 、CA 和AB 的中点，试写出： （1）与EF 平行的向量； （2）与EF 相等的向量； B C D
三．强化训练 1．下列说法正确的是（ ） A 方向相同或相反的向量是平行向量 B 零向量的长度是0 C 长度相等的向量叫相等向量 D 共线向量是在一条直线上的向量 2．下列命题中，真命题的个数为（ ） ① 若a b = ，则a =b 或a =b - ② 若AB DC = ，则A 、B 、C 、D 是一个平行四边形的四个顶点 ③ 若a =b ，b c = ，则a =c ④ 若//a b ，//b c ，则//a c A 4 B 3 C 2 D 1 3．下列命题，正确的是（ ） A a b a b =?= B a b a b >?> C //a b a b =? D 00a a =?= 4．如图，ABCD 是边厂为3的正方形，把各边三等分后，共有16个交点，从中选取2个交 点组成向量，则与AC 平行且长度为的向量个数是 A B C D
2019年高考数学第一轮复习提分专练习题： 平面向量 【难点突破】 难点1 向量与轨迹、直线等知识点结合 1.已知过点D(-2，0)的地线l与椭圆交于不同两点A、B点M是弦AB的中点且，求点P的轨迹方程 2.一条斜率为1的直线与离心率为万的双曲线1(a>0b>>0)，交于P.Q两点，直线l与y轴交于点K，且，求直线与双曲线的方程 难点2平面向量为背景的综台题 1.设过点M(a，b)能作抛物线y=x2的两条切线MA、MB，切点为A、B (1)求； (2)若=0，求M的轨迹方程； (3)若LAMB为锐角，求点M所在的区域. 2.已知=(1，1)，=(1，5)，=(5，1) 若=x·，y=(x，y∈R) (1)求y=f(x)的解析式； (2)把f(x)的图像按向量a=(-3，4)平移得到曲线C1，然后再作曲线C，关于直线y=x，的对称曲线C2，设点列P1，P2，…Pn 在曲线C2的x轴上方的部分上，点列Ql，Q2…Qn是x轴上的点列，且△OQ1P1，△Q1Q2P2，…△Qn-1QnPn都是等
边三角形，设它们的边长分别为a1，a2，…an，求 Sn=a1+a2+…+an的表达式. 【易错点点睛】 易错点1 向量及其运算 1.已知，|a|=，|b|=3，a与b的夹角为45°，当向量a+λb与λa+b 的夹角为锐角时，求实数A的范围. 2.已知O为△ABC所在平面内一点且满足，则△AOB与△AOC的面积之比为( ) A.1 B. D.2 【举一反三】 1 △ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且 (1)求 答案：由已知得2，所以 (2)求△ABC的面积. ∴S△ABC=S△AOB+ S△AOC+S△BOC=. 2 已知向量a=(1，1)，b：(1，0)，c满足a·c=0，且|a|=|c|，b·c>0. (1)求向量c； 3.已知A、B、C三点共线，O是该直线外一点，设=a，且存在实数m，使ma-3b+c成立.求点A分所成的比和m的值. 易错点2 平面向量与三角、数列 1.设函数f(x)=a·b，其中a=(2cosx，1)，b=(cosx，)求x；(2)
1．向量的有关概念 2.向量的线性运算 (1)|λa|＝|λ||a|；
3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa . 【知识拓展】 1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即A 1A 2→ ＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ——→＝A 1A n → ，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量． 2．若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB → )． 3.OA →＝λOB →＋μOC → (λ，μ为实数)，若点A ，B ，C 共线，则λ＋μ＝1. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × ) (2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．( √ ) (3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( × ) (4)若向量AB →与向量CD → 是共线向量，则A ，B ， C ， D 四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( √ ) 1．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB → 与BA → 相等．则所有正确命题的序号是( ) A ．① B ．③ C ．①③ D ．①② 答案 A 解析 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB →与BA → 互为相反向量，故③错误．