实验总体要求
为避免重复与抄袭，算法分析与设计的实验只规定算法策略，具体的算法题目由学生依据现实当中的问题自行拟定，选题的难易会影响实验得分。
实验可以分组进行，组内与组间可选不同策略的不同题目（问题）、相同策略里面的不同题目、相同题目的不同解法等，尽量避免重复。完全相同的实验报告得0分，不同的重复率扣不同的分数。分组的意义在于研究与实践不同策略的不同题目的差异、不同策略里不同题目异同、相同题目不解法之间的异同与算法效率等。
所有实验都需要包含八个组成部分：
（1）实验题目
要求：一句简要的话概括或抽象出所做的实验内容
（2）个人所承担的工作
要求：独立完成报告所有内容者仅填写独立完成即可，此种情况若发现报告有雷同者得0分。协作完成的，重点写自己完成的部分，其他部分可略写，为了锻炼同学们的设计与分析能力，原则上不允许算法模型、算法描述与分析、算法实现上相同。
（3）选题背景与意义
要求：描述选题的背景、针对该问题求解的算法有多少种，发展历史及研究价值等。
（4）问题描述
要求：可以实际问题的描述，也可以某类问题的抽像描述。如果是某类问题的抽象描述，需要指出它的应用场景。
（5）算法策略选择
要求：简要说出选择该策略的理由
（6）计算模型
要求：最接近程序实现中问题求解的数学模型。指明定义域和值的范围或解空间。可以有数据结构及推导或计算公式。递归模型至少有递推公式、递归的出口。如果有的话，给出必要的证明。
（7）算法描述与分析
要求：以标准的描述方式，如流程图、伪码、语言文字。对算法进行时间和空间复杂度分析。时间复杂度要求有必要的推导步骤。
（8）算法实现
要求：给出编程语言、开发环境。给出可执行的算法代码，提供必要的注释。
（9）调试分析记录
要求：软件开发调试过程中遇到的问题及解决过程；核心算法的运行时间和所需内存空间的
量化测定；符合实际情况的数据测试，算法及功能的改进设想等。
（10）总结
要求：如实撰写课程任务完成过程的收获和体会以及遇到问题的思考，严禁雷同。
算法题目的选择分为以下4个方向：
（1）迭代算法与蛮力算法设计与分析
（2）分而治之算法设计与分析
（3）贪婪算法与动态规划算法设计与分析
（4）回溯、分支限界及随机算法设计与分析
实验内容
实验一
1.实验题目
2.个人所承担的工作
3.选题背景与意义
4.问题描述
要求：可以实际问题的描述，也可以某类问题的抽像描述。如果是某类问题的抽象描述，需要指出它的应用场景。
5.算法策略选择
要求：说出选择该策略的理由
6.计算模型
要求：最接近程序实现中问题求解的数学模型。指明定义域和值的范围或解空间。可以有数据结构及推导或计算公式。递归模型至少有递推公式、递归的出口。如果有的话，给出必要的证明。
7.算法描述与分析
8.算法实现
9.调试分析记录
10.总结
要求：如实撰写课程任务完成过程的收获和体会以及遇到问题的思考，严禁雷同。
实验二
1.实验题目
2.个人所承担的工作
3.选题背景与意义
4.问题描述
要求：可以实际问题的描述，也可以某类问题的抽像描述。如果是某类问题的抽象描述，需要指出它的应用场景。
5.算法策略选择
要求：说出选择该策略的理由
6.计算模型
要求：最接近程序实现中问题求解的数学模型。指明定义域和值的范围或解空间。可以有数据结构及推导或计算公式。递归模型至少有递推公式、递归的出口。如果有的话，给出必要的证明。
7.算法描述与分析
8.算法实现
9.调试分析记录
10.总结
1. 贪心算法和动态规划算法有什么共同点和区别？它们都有那些优势和劣势？ 共通点：动态规划和贪心算法都是一种递推算法，均有局部最优解来推导全局最优解 区别：贪心算法中，作出的每步贪心决策都无法改变，每一步的最优解一定包含上一步的 最优解，而上一部之前的最优解则不作保留。 动态优化算法，全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有最优解 动态规划算法利用子问题重叠性质，对每一个子问题只计算一次，将其解保存在一个表格中。不同的子问题个数随着输入问题的规模呈多项式增长，因此，动态规划算法通常只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率。但它需要计算之前所有情况花费，更加耗费空间。 贪心算法所作的选择依赖于以往所作过的选择,但决不依赖于将来的选择,这使得算法在编 码和执行过程中都有一定的速度优势。贪心算法是只是找局部最优解，不一定是全局最优解。 2. 试比较回溯法与分枝限界算法，分别谈谈这两个算法比较适合的问题？ 二者都是在解空间树里搜索问题的可靠解或最优解，但是搜索的方式不同，回溯法采用深 度优先的方式，直到达到问题的一个可行解，或经判断沿此路径不会达到问题的可行解或最优解时，停止向前搜索，并沿原路返回到该路径上最后一个还可扩展的节点，然后，从该节点出发朝新的方向纵深搜索。分枝限界法采用的是宽度优先的方式，它将活节点存放在一个特殊的表中，其策略是，在扩展节点处，首先生成其所有的儿子节点，将那些导致不可行解或导致非最优解的儿子节点舍弃，其余儿子节点加入活节点表中，然后，从活节点中取出一个节点作为当前扩展节点，重复上述节点中扩展过程。可以看出，回溯法一般用于求问题的一个可行解，而分枝限界可以用于求出问题的所有可行解。 3. 何谓最优化原理？采用动态规划算法必须满足的条件是什么？动态规划算法是通过什 么问题的什么特性提高效率的？ 一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。最优子结构性质，子问题重叠性质是计算模型采用动态规划算法求解的两个基本要素。 动态规划算法利用子问题重叠性质，对每一个子问题只计算一次，将其解保存在一个表格中。不同的子问题个数随着输入问题的规模呈多项式增长，因此，动态规划算法通常只需要多项式时间，从而获得较高的解题效率 4. 什么是多项式时间算法？ 若存在一个常数C，使得对于所有n>=0，都有|f(n)| <= C*|g(n)|，则称函数f(n)是O(g(n))。时间复杂度是O(p(n))的算法称为多项式时间算法，这里p(n)是关于n的多项式。 时间复杂度为O(nlog(n))、O(n^3)的算法都是多项式时间算法，时间复杂度为O(n^log(n))、O(n!)、O(2^n)的算法是指数时间算法。 一个优化问题如果已经找到了多项式时间算法，则称该问题为多项式时间可解问题，并 将这类问题的集合记为P，因此多项式时间可解问题就称为P类问题。。
算法设计与分析实验报告 贪心算法 班级：2013156 学号：201315614 姓名：张春阳哈夫曼编码 代码 #include printf("\n"); for(i=0;i 算法设计与分析试卷(A 卷) 一、 选择题 （ 选择1-4个正确的答案, 每题2分，共20分） （1）计算机算法的正确描述是： B 、D A ．一个算法是求特定问题的运算序列。 B ．算法是一个有穷规则的集合，其中之规则规定了一个解决某一特定类型的问题的运算序列。 C ．算法是一个对任一有效输入能够停机的图灵机。 D ．一个算法，它是满足5 个特性的程序，这5个特性是：有限性、确定性、能 行性、有0个或多个输入且有1个或多个输出。 （2）影响程序执行时间的因素有哪些？ C 、D A ．算法设计的策略 B ．问题的规模 C ．编译程序产生的机器代码质量 D ．计算机执行指令的速度 （3）用数量级形式表示的算法执行时间称为算法的 A A ．时间复杂度 B ．空间复杂度 C ．处理器复杂度 D ．通信复杂度 （4）时间复杂性为多项式界的算法有： A ．快速排序算法 B ．n-后问题 C ．计算π值 D ．prim 算法 （5）对于并行算法与串行算法的关系，正确的理解是： A ．高效的串行算法不一定是能导出高效的并行算法 B ．高效的串行算法不一定隐含并行性 C ．串行算法经适当的改造有些可以变化成并行算法 D. 用串行方法设计和实现的并行算法未必有效 （6）衡量近似算法性能的重要标准有： A A ．算法复杂度 B ．问题复杂度 C ．解的最优近似度 D ．算法的策略 （7）分治法的适用条件是，所解决的问题一般具有这些特征： ABCD A ．该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； B ．该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题； C ．利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解 D ．该问题所分解出的各个子问题是相互独立的。 （8）具有最优子结构的算法有： A ．概率算法 B ．回溯法 C ．分支限界法 D ．动态规划法 （9）下列哪些问题是典型的NP 完全问题： A ．排序问题 B ．n-后问题 C ．m-着色问题 D ．旅行商问题 （10）适于递归实现的算法有： C A ．并行算法 B ．近似算法 C ．分治法 D ．回溯法 二、算法分析题（每小题5分，共10分） （11）用展开法求解递推关系： （12）分析当输入数据已经有序时快速排序算法的不足，提出算法的改进方案。 ???>+-==1 1)1(211)(n n T n n T 一 1.循环赛日程表问题的相关叙述。 2.算法运行时所需要占用的存储空间有？ 3.动态规划法的求解步骤 4.解空间树是排列树的问题有。 5.分治法的步骤 6.就会场安排问题，贪心法的最佳贪心策略 7.快速排序法基准元素的选取方法 8.满足满m叉树的问题有？ 9.分支限界法的解题步骤 10.事前分析法相关的影响因素有 11.用分治法求解的问题一般需要具备一些特征，主要有？ 二 1．给定一个有向带权图G=(V，E)，其中每条边的权是一个非负实数，另外，给定V中的一个顶点，称为源点。现在要计算从源点到所有其它各个顶点的最短路径长度，这里的路径长度是指路径上经过的所有边上的权值之和，这个问题通常称为单源最短路径问题。 2．采用回溯法可以求解0-1背包问题，其解空间的形式为：（x1,x2,…,xn）或n 元组。 3．当所给的问题是从n个元素的排列中找出满足某种性质的一个排列时，相应的解空间树称为排列树。 4．一个正在生成孩子的结点称为扩展结点。 5．子集树是用回溯法解题时经常遇到的一种典型的解空间树。当所给的问题是从n个元素组成的集合S中找出满足某种性质的一个子集时，相应的解空间树称为子集树。 6．当所给问题的n个元素中每一个元素均有m种选择，要求确定其中的一种选择，使得对这n个元素的选择结果组成的向量满足某种性质，即寻找满足某种特性的n个元素取值的一种组合，这类问题的解空间树称为满m叉树。 7．一个自身已生成但其孩子还没有全部生成的结点称为活结点 8．回溯法中，对于问题的一个实例，解向量满足显约束的所有n元组构成了该实例的一个解空间 9．分支限界法有两种：队列式分支限界法和优先队列式分支限界法。 10．分支限界法采用的是宽度优先搜索。 11．时间复杂性的度量方法通常有两种：事后统计法和事前分析估算法 12．一个所有孩子已经生成的结点称做死结点 13．在最小生成树的生成方法中，Kruskal算法从边的角度出发，每一次将图中的权值最小的边取出来，在不构成环的情况下，将该边加入最小生成树。 三 1．分治法字面上的解释是分而治之，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同子问题，子问题相互独立，如果子问题还是不容易解决，再把子问题分成更小的子问题…，直到最后各个子问题可以简单地直接求解，对各个子问题递归求解，将子问题的解进行合并即得原问题的解。 2．动态规划法要求将大问题分解成规模较小的子问题，经分解得到的各个子问题往往不是相互独立的。在求解过程中，将已解决的子问题的解进行保存，在需要时可以轻松找出。采 课程设计报告 课程设计名称: 算法设计与分析 系 : 三系 学生姓名: 吴阳 班级: 12软件(2)班 学号: 0311232 成绩: 指导教师: 秦川 开课时间: 年一学期 一、问题描述 1．普通背包问题 给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为C。选择装入的背包的物品, 使得装入背包中的物品的总价值最大, 在选择物品i装入背包时, 能够选择物品i的一部分, 而不一定要全部装入背包, 1≤i≤n。 2．0/1背包问题 给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi,其价值为Vi,背包的容量为C。选择装入的背包的物品, 使得装入背包中的物品的总价值最大, 在选择物品i装入背包时, 对于每种物品i只有两种选择, 即装入背包或者不装入背包, 不能将物品装入背包多次, 也不能只装入部分的物品i。 3．棋盘覆盖问题 在一个2k x 2k个方格组成的棋盘中恰有一个方格与其它的不同称为特殊方格, 想要求利用四种L型骨牌( 每个骨牌可覆盖三个方格) 不相互重叠覆盖的将除了特殊方格外的其它方格覆盖。 二、问题分析 1．普通背包问题 对于背包问题, 若它的一个最优解包含物品j, 则从该最优解中拿出所含的物品j的那部分重量Ｗ, 剩余的将是n-1个原重物品1, 2, ······, j-1, j+1, ·····, n以及重为Ｗi－Ｗ的物品j 中可装入容量为C－Ｗ的背包且具有最大价值的物品。 2．0/1背包问题 如果当前背包中的物品的总容量是cw, 前面的k-1件物品都已经决定好是否要放入包中, 那么第k件物品是否放入包中取决于不等式 cw + wk <= M (其中, wk为第k件物品的容量, M为背包的容量)( 此即约束条件) 然后我们再寻找限界函数, 这个问题比较麻烦, 我们能够回忆一下背包问题的贪心算法, 即物品按照物品的价值/物品的体积来从大到小排列, 然后最优解为( 1, 1, 1......., 1, t, 0, 0, ......) , 其中0<=t<=1; 因此, 我们在确定第k个物品到底要不要放入的时候(在前k-1个物品已经确定的情况下), 我们能够考虑我们能够达到的最大的价值, 即我们能够经过计算只放入一部分的k物品来计算最大的价值。我们要确保当前选择的路径的最大的价值要大于我们已经选择的路径的价值。这就是该问题的限界条件。经过该条件, 能够减去很多的枝条, 大大节省运行时间。 3．棋盘覆盖问题 每次都对分割后的四个小方块进行判断, 判断特殊方格是否 1、二分搜索算法是利用（ A ）实现的算法。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 2、下列不是动态规划算法基本步骤的是（ A ）。 A、找出最优解的性质 B、构造最优解 C、算出最优解 D、定义最优解 3、最大效益优先是（ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 4、最长公共子序列算法利用的算法是（ B ）。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 5. 回溯法解TSP问题时的解空间树是（ A ）。 A、子集树 B、排列树 C、深度优先生成树 D、广度优先生成树6．下列算法中通常以自底向上的方式求解最优解的是（ B ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 7、衡量一个算法好坏的标准是（C ）。 A 运行速度快 B 占用空间少 C 时间复杂度低 D 代码短 8、以下不可以使用分治法求解的是（D ）。 A 棋盘覆盖问题 B 选择问题 C 归并排序 D 0/1背包问题 9. 实现循环赛日程表利用的算法是（ A ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 10、实现最长公共子序列利用的算法是（ B ）。 A、分治策略 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法11．下面不是分支界限法搜索方式的是（ D ）。 A、广度优先 B、最小耗费优先 C、最大效益优先 D、深度优先 12．下列算法中通常以深度优先方式系统搜索问题解的是（ D ）。 A、备忘录法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 13. 一个问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征是问题的（ B ）。 A、重叠子问题 B、最优子结构性质 C、贪心选择性质 D、定义最优解14．广度优先是（ A ）的一搜索方式。 A、分支界限法 B、动态规划法 C、贪心法 D、回溯法 15．背包问题的贪心算法所需的计算时间为（ B ）。 压缩软件课程设计书 一、问题描述： 建立一个文本文件，统计该文件中各字符频率，对各字符进行Huffman编码，将该文件至翻译成Huffman编码文件，再将Huffman编码文件翻译成原文件。 二、算法分析及思路： 对于该问题，我们做如下分析： （1）首先得构造出哈弗曼树，我们用函数HuffmanTree(int w[],int s[],int n)设计；（2）在构建哈弗曼树的基础上，进一步实现哈弗曼编码问题，我们用函数Huffmancode(char wen[])设计； （3）实现哈弗曼编码后再进一步实现哈弗曼译码问题，我们用函数Huffmandecode()设计； （4）其中编码问题中，得进一步统计出各个字符在文件中的频率，并进行一些必要的标记，我们用函数runhuffman(char wen[])设计； （5）在译码过程中，还有必要的一步是比较原文件与译码后的文件是否相同，我们用函数compare(char wen[])设计； （6）其中的文件输入我们用到类”fstream.h”中的输入输出流，并在运行的文件夹中建立一个文件名为逍遥游的文本文件，且在逍遥游文件中输入需要编码的数据。 三、主要解决的设计问题： 1.写一个对txt文件压缩和解压的程序，使用动态编码。 2.使用Huffman编码压缩和解压时，Huffman树的存储可以直接存储树结构，也可以存储所有字符的频度或权值，然后读取时建立Huffman树； 3.使用Huffman编码压缩和解压时，注意定义压缩码的结束标记，可以使用一个特殊的字符作为结束标记，也可以在压缩码之前存储其比特长度；如果使用一个特殊字符作为结束标记，则其频度为1，需要在建立Huffman树时把它看作一个独立的字符进行建树。 4.使用Huffman编码压缩和解压时，在一个缓冲区里面收集压缩码比特流，每当收集的比特数满8时，可以把这8比特通过位操作合并成一个字节写入文件（当然也可以收集满一定数目的字节后再写入文件）。写入文件的最小信息单位为字节。 四、程序设计的流程图： 1、用计算机求解问题的步骤： 1、问题分析 2、数学模型建立 3、算法设计与选择 4、算法指标 5、算法分析 6、算法实现 7、程序调试 8、结果整理文档编制 2、算法定义：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程 3、算法的三要素 1、操作 2、控制结构 3、数据结构 算法具有以下5个属性： 有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。 确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。不存在二义性。只有一个入口和一个出口 可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。 输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。 输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。 算法设计的质量指标： 正确性：算法应满足具体问题的需求； 可读性：算法应该好读，以有利于读者对程序的理解； 健壮性：算法应具有容错处理，当输入为非法数据时，算法应对其作出反应，而不是产生莫名其妙的输出结果。 效率与存储量需求：效率指的是算法执行的时间；存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。一般这两者与问题的规模有关。 经常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、贪婪法、动态规划法、回溯法、分支限界法 迭代法 基本思想：迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。 解题步骤：1、确定迭代模型。根据问题描述，分析得出前一个（或几个）值与其下一个值的迭代关系数学模型。 2、建立迭代关系式。迭代关系式就是一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的表达式，存储新值的变量称为迭代变量 3、对迭代过程进行控制。确定在什么时候结束迭代过程，这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。对于前一种情况，可以构建一 算法设计与分析课程报告 第一章 算法问题求解基础 1、算法的概念：算法是指解决问题的一种方法或过程，是由若干条指令组成的有穷序列。 2、算法的特性 ① 有穷性：一个算法必须保证执行有限步之后结束; ② 确切性：算法的每一步骤必须有确切的定义; ③ 输入： 一个算法有 0 个或多个输入， 法 本身定除了初始条件; ④ 输出： 一个算法有一个或多个输出， 是毫无意义的; ⑤可行性：算法原则上能够精确地运行, 而且人们用笔和纸做有限次运算后即可完成 3、算法与程序的关系： 区别：程序可以不一定满足可终止性。但算法必须在有限时间内结束; 程序可以没有输出 ,而算法则必须有输出; 算法是面向问题求解的过程描述，程序则是算法的实现。 联系：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现; 程序可以不满足算法的有限性性质。 4、算法描述方式：自然语言，流程图，伪代码，高级语言。 第二章 算法分析基础 1、算法复杂性分析： 算法复杂性的高低体现运行该算法所需计算机资源（时间，空间）的多少。 算法复杂性度量： 期望反映算法本身性能，与环境无关。 理论上不能用算法在机器上真正的运行开销作为标准（硬件性能、代码质量影响） 般是针对问题选择基本运算和基本存储单位，用算法针对基本运算与基本存储单 以刻画运算对象的初始情况， 所谓 0 个输入是指算 以反映对输入数据加工后的结果。 没有输出的算法 位的开销作为标准。算法复杂性C依赖于问题规模N、算法输入I和算法本身A。即C=F（N, I,A）。 第五章分治法 1、递归算法：直接或间接地调用自身的算法。 用函数自身给出定义的函数称为递归函数。 注：边界条件与递归方程是递归函数的二个要素。 实例：①阶乘函数; ② Fibonacci 数列；③ Ackerman 函数; ④排列问题; ⑤整数划分问题; ⑥ Hanoi 塔问题 优缺点：①优点：结构清晰，可读性强，而且容易用数学归纳法来证明算法的正确性, 因此它为设计算法、调试程序带来很大方便。 ②缺点：递归算法的运行效率低，无论是耗费的计算时间还是占用的存储空间都比非递归算法要多。 2、分治法的设计思想：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。（将求出的小规模的问题的解合并为一个更大规模的问题的解，自底向上逐步求出原来问题的解） 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征： ①该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决; ②该问题可以分为若干个规模更小的相同问题，即该问题具有最有子结构性质; ③利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解; ④该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。 第六章贪心法 1、贪心算法的思想： 湖南科技学院二○ 年 学期期末考试 信息与计算科学专业 年级《算法设计与分析》 试题 考试类型：开卷 试卷类型： C 卷 考试时量： 120 分钟 题号 一 二 三 四 五 总分 统分人 得 分 阅卷人 一、填空题（每小题 3 分，共计 30 分） 1. 用 O 、Ω和θ表示函数 f 与 g 之间的关系 ______________________________ 。 f n n lo g n g n log n 1, n 1 2. 算法的时间复杂性为 f (n) n ，则算法的时间复杂性的阶 8 f (3n / 7) n, 2 为__________________________ 。 3. 快速排序算法的性能取决于 ______________________________ 。 4. 算法是 _______________________________________________________ 。 5. 在对问题的解空间树进行搜索的方法中，一个活结点最多有一次机会成为活结点的 是_________________________ 。 6. 在算法的三种情况下的复杂性中， 可操作性最好且最有实际价值的是 _____情况下的时间复杂性。 7. 大Ω符号用来描述增长率的下限，这个下限的阶越 ___________，结果就越有价值。 。 8. ____________________________ 是问题能用动态规划算法求解的前提。 9. 贪心选择性质是指 ________________________________________________________ ____________________________________________________________ 。 第一章 1. 算法分析题 算法分析题1－1 求下列函数的渐进表达式 (1). 3n^2 + 10n < 3n^2 + 10n^2 = 13n^2 = O(n^2) (2). n^2 / 10 + 2^n 当n>5是，n^2 < 2 ^n 所以，当n >= 1时，n^2/10 < 2 ^n 故: n^2/10 + 2^n < 2 ^n + 2^n = 2*2^n = O(2^n) (3). 21 + 1/n < 21 + 1 = 22 = O(1) (4). log(n^3)=3log(n)=O(log(n)) (5). 10log(3^n) = (10log3)n = O(n) 算法分析题1-6 (1)因为：f(n)=log(n^2) = 2log(n); g(n) = log(n) + 5 所以：f(n)=Θ(log(n)+5) =Θ(g(n)) (2)因为：log(n) < √n; f(n) = 2log(n); g(n)= √n 所以：f(n) = O(g(n)) (3)因为：log(n) < n; f(n) = n; g(n) = log(n^2) = 2log(n) 所以；f(n) = Ω(g(n)) (4)因为：f(n) = nlogn +n; g(n) = logn 所以：f(n) =Ω(g(n)) (5)因为: f(n) = 10; g(n) = log(10) 所以:f(n) =Θ(g(n)) (6)因为: f(n)=log^2(n); g(n) = log(n) 所以: f(n) ==Ω(g(n)) (7)因为: f(n) = 2^n < 100*2^n; g(n)=100n^2; 2^n > n ^2 所以: f(n) = Ω(g(n)) (8)因为：f(n) = 2^n; g(n) = 3 ^n; 2 ^n < 3 ^n 所以: f(n) = O(g(n)) 习题1－9 证明：如果一个算法在平均情况下的计算时间复杂性为Θ(f(n)),该算法在最坏情况下所需的计算时间为Ω(f(n)). 分析与解答： 因此，Tmax(N) = Ω(Tavg(N)) = Ω(Θ(f(n)))=Ω(f(n)). 第二章 算法分析题 本科实验报告 课程名称：算法设计与分析 实验项目：递归与分治算法 实验地点：计算机系实验楼110 专业班级：物联网1601 学号：2016002105 学生姓名：俞梦真 指导教师：郝晓丽 2018年05月04 日 实验一递归与分治算法 1.1 实验目的与要求 1．进一步熟悉C/C++语言的集成开发环境； 2．通过本实验加深对递归与分治策略的理解和运用。 1.2 实验课时 2学时 1.3 实验原理 分治（Divide-and-Conquer）的思想：一个规模为n的复杂问题的求解，可以划分成若干个规模小于n的子问题，再将子问题的解合并成原问题的解。 需要注意的是，分治法使用递归的思想。划分后的每一个子问题与原问题的性质相同，可用相同的求解方法。最后，当子问题规模足够小时，可以直接求解，然后逆求原问题的解。 1.4 实验题目 1．上机题目：格雷码构造问题 Gray码是一个长度为2n的序列。序列无相同元素，每个元素都是长度为n的串，相邻元素恰好只有一位不同。试设计一个算法对任意n构造相应的Gray码（分治、减治、变治皆可）。 对于给定的正整数n，格雷码为满足如下条件的一个编码序列。 （1）序列由2n个编码组成，每个编码都是长度为n的二进制位串。 （2）序列中无相同的编码。 （3）序列中位置相邻的两个编码恰有一位不同。 2．设计思想： 根据格雷码的性质，找到他的规律，可发现，1位是0 1。两位是00 01 11 10。三位是000 001 011 010 110 111 101 100。n位是前n-1位的2倍个。N-1个位前面加0，N-2为倒转再前面再加1。 3．代码设计： 算法设计与分析的复习要点 第一章：算法问题求解基础 算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。 一．算法的五个特征： 1．输入：算法有零个或多个输入量； 2．输出：算法至少产生一个输出量； 3．确定性：算法的每一条指令都有确切的定义，没有二义性； 4．可行性：算法的每一条指令必须足够基本，它们可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现； 5．有穷性：算法必须总能在执行有限步之后终止。 二．什么是算法？程序与算法的区别 1．笼统地说，算法是求解一类问题的任意一种特殊的方法；较严格地说，算法是对特定问题求解步骤的一种描述，它是指令的有限序列。 2．程序是算法用某种程序设计语言的具体实现；算法必须可终止，程序却没有这一限制；即：程序可以不满足算法的第5个性质“有穷性”。 三．一个问题求解过程包括：理解问题、设计方案、实现方案、回顾复查。 四．系统生命周期或软件生命周期分为： 开发期：分析、设计、编码、测试；运行期：维护。 五．算法描述方法：自然语言、流程图、伪代码、程序设计语言等。 六．算法分析：是指对算法的执行时间和所需空间的估算。算法的效率通过算法分析来确定。 七．递归定义：是一种直接或间接引用自身的定义方法。一个合法的递归定义包括两部分：基础情况和递归部分； 基础情况：以直接形式明确列举新事物的若干简单对象； 递归部分：有简单或较简单对象定义新对象的条件和方法 八．常见的程序正确性证明方法： 1.归纳法：由基础情况和归纳步骤组成。归纳法是证明递归算法正确性和进行算法分析的强有力工具； 2.反证法。 第二章：算法分析基础 一．会计算程序步的执行次数（如书中例题程序2-1,2-2,2-3的总程序步数的计算）。二．会证明5个渐近记法。（如书中P22-25例2-1至例2-9） 三．会计算递推式的显式。（迭代法、代换法，主方法） 四．会用主定理求T(n)=aT(n/b)+f(n)。（主定理见P29，如例2-15至例2-18）五．一个好的算法应具备的4个重要特征： 1.正确性：算法的执行结果应当满足预先规定的功能和性能要求； 2.简明性：算法应思路清晰、层次分明、容易理解、利于编码和调试； 3.效率：算法应有效使用存储空间，并具有高的时间效率； 4.最优性：算法的执行时间已达到求解该类问题所需时间的下界。 六．影响程序运行时间的主要因素： 1.程序所依赖的算法； 2.问题规模和输入数据规模； 3.计算机系统性能。 七．1.算法的时间复杂度：是指算法运行所需的时间； 实验总体要求 为避免重复与抄袭，算法分析与设计的实验只规定算法策略，具体的算法题目由学生依据现实当中的问题自行拟定，选题的难易会影响实验得分。 实验可以分组进行，组内与组间可选不同策略的不同题目（问题）、相同策略里面的不同题目、相同题目的不同解法等，尽量避免重复。完全相同的实验报告得0分，不同的重复率扣不同的分数。分组的意义在于研究与实践不同策略的不同题目的差异、不同策略里不同题目异同、相同题目不解法之间的异同与算法效率等。 所有实验都需要包含八个组成部分： （1）实验题目 要求：一句简要的话概括或抽象出所做的实验内容 （2）个人所承担的工作 要求：独立完成报告所有内容者仅填写独立完成即可，此种情况若发现报告有雷同者得0分。协作完成的，重点写自己完成的部分，其他部分可略写，为了锻炼同学们的设计与分析能力，原则上不允许算法模型、算法描述与分析、算法实现上相同。 （3）选题背景与意义 要求：描述选题的背景、针对该问题求解的算法有多少种，发展历史及研究价值等。 （4）问题描述 要求：可以实际问题的描述，也可以某类问题的抽像描述。如果是某类问题的抽象描述，需要指出它的应用场景。 （5）算法策略选择 要求：简要说出选择该策略的理由 （6）计算模型 要求：最接近程序实现中问题求解的数学模型。指明定义域和值的范围或解空间。可以有数据结构及推导或计算公式。递归模型至少有递推公式、递归的出口。如果有的话，给出必要的证明。 （7）算法描述与分析 要求：以标准的描述方式，如流程图、伪码、语言文字。对算法进行时间和空间复杂度分析。时间复杂度要求有必要的推导步骤。 （8）算法实现 要求：给出编程语言、开发环境。给出可执行的算法代码，提供必要的注释。 （9）调试分析记录 要求：软件开发调试过程中遇到的问题及解决过程；核心算法的运行时间和所需内存空间的 算法设计与分析实验报告 实验名称统计数字问题评分 实验日期年月日指导教师 姓名专业班级学号 一.实验要求 1、掌握算法的计算复杂性概念。 2、掌握算法渐近复杂性的数学表述。 3、掌握用C++语言描述算法的方法。 4．实现具体的编程与上机实验，验证算法的时间复杂性函数。 二.实验内容 统计数字问题 1、问题描述 一本书的页码从自然数1 开始顺序编码直到自然数n。书的页码按照通常的习惯编排，每个页码都不含多余的前导数字0。例如，第6 页用数字6 表示，而不是06 或006 等。数字计数问题要求对给定书的总页码n，计算出书的全部页码中分别用到多少次数字0，1，2， (9) 2、编程任务 给定表示书的总页码的10 进制整数n (1≤n≤109) 。编程计算书的全部页码中分别用到多少次数字0，1，2， (9) 三.程序算法 将页码数除以10，得到一个整数商和余数，商就代表页码数减余数外有多少个1—9作为个位数，余数代表有1—余数本身这么多个数作为剩余的个位数，此外，商还代表1—商本身这些数出现了10次，余数还代表剩余的没有计算的商的大小的数的个数。把这些结果统计起来即可。 四.程序代码 #include int zero=1; for(int i=0;i<=l;i++) //去除前缀0 { s[0]-=zero; zero*=10; } } if(n<10) { for(int i=0;i<=n;i++) { s[i]+=1; } return; }//位数为1位时,出现次数加1 //位数大于1时的出现次数 for(int t=1;t<=l;t++)//计算规律f(n)=n*10^(n-1) { m=1;int i; for(i=1;i （1）用计算机求解问题的步骤： 1、问题分析 2、数学模型建立 3、算法设计与选择 4、算法指标 5、算法分析 6、算法实现 7、程序调试 8、结果整理文档编制 （2）算法定义：算法是指在解决问题时，按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程 （3）算法的三要素 1、操作 2、控制结构 3、数据结构 算法具有以下5个属性： 有穷性：一个算法必须总是在执行有穷步之后结束，且每一步都在有穷时间内完成。 确定性：算法中每一条指令必须有确切的含义。不存在二义性。只有一个入口和一个出口 可行性：一个算法是可行的就是算法描述的操作是可以通过已经实现的基本运算执行有限次来实现的。 输入：一个算法有零个或多个输入，这些输入取自于某个特定对象的集合。 输出：一个算法有一个或多个输出，这些输出同输入有着某些特定关系的量。 算法设计的质量指标： 正确性：算法应满足具体问题的需求； 可读性：算法应该好读，以有利于读者对程序的理解； 健壮性：算法应具有容错处理，当输入为非法数据时，算法应对其作出反应，而不是产生莫名其妙的输出结果。 效率与存储量需求：效率指的是算法执行的时间；存储量需求指算法执行过程中所需要的最大存储空间。一般这两者与问题的规模有关。 经常采用的算法主要有迭代法、分而治之法、贪婪法、动态规划法、回溯法、分支限界法 迭代法也称“辗转法”，是一种不断用变量的旧值递推出新值的解决问题的方法。 利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 一、确定迭代模型。在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。 二、建立迭代关系式。所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。 三、对迭代过程进行控制。在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。不能让迭代过程无休止地重复执行下去。迭代过程的控制通常可分为两种情况：一 1.15练习 1.1（a） 1)A[1…60] = A[(1+60)/2]=A[30]=40 由于33<40，舍弃A[30…60]; 2)A[1…29] = A[(1+29)/2]=A[15]=25 由于33>25，舍弃A[1…15]; 3) A[16…29]= A[(16+29)/2]=A[22]=32 由于33>32，舍弃A[16…22]; 4) A[23…29] = A[(23+29)/2]=A[26]=36 由于33<36，舍弃A[26…29]; 5) A[23…25] = A[(23+25)/2]=A[24]=34; 由于33<34，舍弃A[24, 25]; 6) A[23] = 11 12 13 … 68 69 70 11 12 13 … 37 38 39 26 27 28 … 37 38 39 33 34 35 36 37 38 39 33 34 35 33 由于33=33，搜索完毕。 综上，搜索33共执行了6次比较。 同理可得（b ）搜索7共执行了5次比较。 （c ）搜索70共执行了6次比较。 （d ）搜索77共执行了6次比较。 1.10 对11 12 1 5 15 3 4 10 7 2 16 9 8 14 13 6用bottomupsort 算法，按非降序排列。 解：用图示，如下进行。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 3 4 5 10 11 12 15 1 5 11 1 2 1.15用Θ表示函数。 (b) 2 6 7 8 9 1 3 1 4 16 3 4 10 1 5 2 7 9 1 6 6 8 13 14 11 12 1 5 15 3 4 10 2 7 9 16 8 14 6 13 算法设计与分析实验报告 教师： 学号： 姓名： 实验一：串匹配问题 实验目的：(1) 深刻理解并掌握蛮力法的设计思想; (2) 提高应用蛮力法设计算法的技能; (3) 理解这样一个观点: 用蛮力法设计的算法, 一般来说, 经过适度的努力后, 都可以对算法的第一个版本进行一定程度的改良, 改进其时间性能。 三、实验要求：( 1) 实现BF 算法; (2 ) 实现BF 算法的改进算法: KMP 算法和BM 算法; (3 ) 对上述 3 个算法进行时间复杂性分析, 并设计实验程序验证 分析结果。 #include "stdio.h" #include "conio.h" #include 第一章 15P 1-3. 最大公约数为1。快1414倍。 主要考虑循环次数，程序1-2的while 循环体做了10次，程序1-3的while 循环体做了14141次（14142-2循环） 若考虑其他语句，则没有这么多，可能就601倍。 第二章 32P 2-8.（1）画线语句的执行次数为log n ??? ?。(log )n O 。划线语句的执行次数应该理解为一格整体。 （2）画线语句的执行次数为 111 (1)(2)16 j n i i j k n n n ===++= ∑∑∑。3 ()n O 。 （3）画线语句的执行次数为 。O 。 （4）当n 为奇数时画线语句的执行次数为 (1)(3) 4 n n ++， 当n 为偶数时画线语句的执行次数为 2(2)4 n +。2 ()n O 。 2-10.（1） 当 1n ≥ 时，225825n n n -+≤，所以，可选 5c =，01n =。对于0n n ≥， 22()5825f n n n n =-+≤，所以，22582()n n n -+=O 。 （2） 当 8n ≥ 时，2222582524n n n n n -+≥-+≥，所以，可选 4c =，08n =。对于0n n ≥， 22()5824f n n n n =-+≥，所以，22582()n n n -+=Ω。 （3） 由（1）、（2）可知，取14c =，25c =，08n =，当0n n ≥时，有22212582c n n n c n ≤-+≤，所以2 2 582()n n n -+=Θ。 2-11. (1) 当3n ≥时，3 log log n n n <<，所以()20log 21f n n n n =+<，3 ()log 2g n n n n =+>。可 选 21 2 c = ，03n =。对于0n n ≥，()()f n cg n ≤，即()(())f n g n =O 。注意：是f (n )和g (n )的关系。 算法设计与分析报告 ◎小组成员： 陈壮茂，陈振凯，张建龙，莫媚，林晓丹 ◎报告内容： 1.给定数组a[0:n-1],试设计一个算法,在最坏情况下用n+[logn]-2次比较找出a[0:n-1] 中的元素的最大值和次大值. ◎分析：a[0:n-1] 是说这个数组有n个元素，序号为0到n-1 n+[logn]-2就是一个算法复杂度，应该是n+logn的整数部分-2。 ◎首先对数组相邻的两个进行比较，将大的放在后面，小的放在前面，然后在两个数中小的所有数选出最小，同时也在两个数中大的所有数选出最大的。可以得出总的比较次数：(int)(n/2)+2*((int)(n/2)-1). ◎代码如下： #include cout<<"fun"<算法设计与分析试卷(2010)
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