日期：
变量与函数（1）
知识技能目标
1.掌握常量和变量、自变量和因变量（函数）基本概念；
2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系.
过程性目标
1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义；
2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式.
教学过程
一、创设情境
在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题．
问题1如图是某地一天内的气温变化图．
看图回答：
(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温．
(2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？
(3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？解(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃；
(2)这一天中，最高气温是5℃．最低气温是－4℃；
(3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高．0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低．
从图中我们可以看到，随着时间t（时）的变化，相应地气温T(℃)也随之变化．那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？
二、探究归纳
问题2银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率，下表是2002年7月中国工商银行为“整存整取”的存款方式规定的年利率：
观察上表，说说随着存期x 的增长，相应的年利率y 是如何变化的． 解 随着存期x 的增长，相应的年利率y 也随着增长．
问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的．下面是一些对应的数值：
观察上表回答：
(1)波长l 和频率f 数值之间有什么关系? (2)波长l 越大，频率f 就________． 解 (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即
lf ＝300 000，
或者说 l
300000
=f ．
(2)波长l 越大，频率f 就 越小 ．
问题4 圆的面积随着半径的增大而增大．如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积则S 与r 之间满足下列关系：S ＝_________．
利用这个关系式，试求出半径为1 cm 、1.5 cm 、2 cm 、2.6 cm 、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表：
由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________． 解 S ＝πr 2．
圆的半径越大，它的面积就越大．
在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律．这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量．例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t 和气温T ，气温T 随着时间t 的变化而变化，它们都会取不同的数值．像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable )．
上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关．一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就说x 是自变量(independent variable )，y 是因变量(dependent variable )，此时也称y 是x 的函数(function )．表示函数关系的方法通常有三种：
(1)解析法，如问题3中的l
300000
=f ，问题4中的S ＝π r 2，这些表达式称为函数的关系式．
(2)列表法，如问题2中的利率表，问题3中的波长与频率关系表． (3)图象法，如问题1中的气温曲线．
问题的研究过程中，还有一种量，它的取值始终保持不变，我们称之为常量(constant )，如问题3中的300 000，问题4中的π等．
三、实践应用
例1 下表是某市2000年统计的该市男学生各年龄组的平均身高.
(1)从表中你能看出该市14岁的男学生的平均身高是多少吗? (2)该市男学生的平均身高从哪一岁开始迅速增加?
(3)上表反映了哪些变量之间的关系?其中哪个是自变量?哪个是因变量? 解 (1)平均身高是146.1cm ；
(2)约从14岁开始身高增加特别迅速；
(3)反映了该市男学生的平均身高和年龄这两个变量之间的关系，其中年龄是自变量，平均身高是因变量．
例2 写出下列各问题中的关系式，并指出其中的常量与变量： (1)圆的周长C 与半径r 的关系式；
(2)火车以60千米/时的速度行驶，它驶过的路程s （千米）和所用时间t （时）的关系式； (3)n 边形的内角和S 与边数n 的关系式． 解 (1)C ＝2π r ，2π是常量，r 、C 是变量；
(2)s ＝60t ，60是常量，t 、s 是变量；
(3)S ＝(n －2)×180，2、180是常量，n 、S 是变量．
四、交流反思 1.函数概念包含： (1)两个变量；
(2)两个变量之间的对应关系． 2.在某个变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量；数值始终保持不变的量，叫做常量．例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有惟一的值与之对应，我们就说x 是自变量，y 是因变量． 3.函数关系三种表示方法： (1)解析法； (2)列表法； (3)图象法．
五、检测反馈
1.举3个日常生活中遇到的函数关系的例子．
2.分别指出下列各关系式中的变量与常量：
(1)三角形的一边长5cm ，它的面积S (cm 2)与这边上的高h (cm)的关系式是h S 2
5
； (2)若直角三角形中的一个锐角的度数为α，则另一个锐角β(度)与α间的关系式是β＝90－α ；
(3)若某种报纸的单价为a 元，x 表示购买这种报纸的份数，则购买报纸的总价y （元）与x 间的关系是：y ＝ax ．
3.写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与因变量：
(1)每个同学购一本代数教科书，书的单价是2元，求总金额Y （元）与学生数n （个）的关系；
(2)计划购买50元的乒乓球，求所能购买的总数n （个）与单价a （元）的关系．
4.填写如图所示的乘法表，然后把所有填有24的格子涂黑．若用x 表示涂黑的格子横向的乘数，y 表示纵向的乘数，试写出y 关于x 的函数关系式．
板书：作业：反思：
日期： 变量与函数（2）
知识技能目标
1.掌握根据函数关系式直观得到自变量取值范围，以及实际背景对自变量取值的限制；
2.掌握根据函数自变量的值求对应的函数值.
过程性目标
1.使学生在探索、归纳求函数自变量取值范围的过程中，增强数学建模意识；
2.联系求代数式的值的知识，探索求函数值的方法．
教学过程
一、创设情境
问题1 填写如图所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x 表示，纵向的加数用y 表示，试写出y 与x 的函数关系式．
解 如图能发现涂黑的格子成一条直线． 函数关系式：y ＝10－x ．
问题2 试写出等腰三角形中顶角的度数y 与底角的度数x 之间的函数关系式． 解 y 与x 的函数关系式：y ＝180－2x ．
问题3 如图，等腰直角△ABC 的直角边长与正方形MNPQ 的边长均为10 cm ，AC 与MN 在同一直线上，开始时A 点与M 点重合，让△ABC 向右运动，最后A 点与N 点重合．试写出重叠部分面积y cm 2与MA 长度x cm 之间的函数关系式．
解 y 与x 的函数关系式：2
2
1x y ．
二、探究归纳
思考 (1)在上面问题中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围．
(2)在上面问题1中，当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是多少？当纵向的加数为6时，横向的加数是多少？
分析 问题1，观察加法表中涂黑的格子的横向的加数的数值范围． 问题2，因为三角形内角和是180°,所以等腰三角形的底角的度数x 不可能大于或等于90°． 问题3，开始时A 点与M 点重合，MA 长度为0cm ，随着△ABC 不断向右运动过程中，MA 长度逐渐增长，最后A 点与N 点重合时，MA 长度达到10cm ． 解 (1)问题1，自变量x 的取值范围是：1≤x ≤9； 问题2，自变量x 的取值范围是：0＜x ＜90； 问题3，自变量x 的取值范围是：0≤x ≤10．
(2)当涂黑的格子横向的加数为3时，纵向的加数是7；当纵向的加数为6时，横向的加数是4． 上面例子中的函数,都是利用解析法表示的,又例如：
s ＝60t ， S ＝πR 2．
在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．在确定函数中自变量的取值范围时，如果遇到实际问题，不必须使实际问题有意义．例如，函数解析式S ＝πR 2中自变量R 的取值范围是全体实数，如果式子表示圆面积S 与圆半径R 的关系，那么自变量R 的取值范围就应该是R ＞0．
对于函数 y ＝x (30－x )，当自变量x ＝5时，对应的函数y 的值是
y ＝5×(30－5)＝5×25＝125．
125叫做这个函数当x ＝5时的函数值．
三、实践应用
例1 求下列函数中自变量x 的取值范围：(1) y ＝3x －1； (2) y ＝2x 2＋7；(3)2
1
+=x y ；
(4)2-=x y ．
分析 用数学式子表示的函数，一般来说，自变量只能取使式子有意义的值．例如，在(1)，
(2)中，x 取任意实数，3x －1与2x 2＋7都有意义；而在(3)中，x ＝－2时，21
+x 没有意义；
在(4)中，x ＜2时，2-x 没有意义．
解 (1)x 取值范围是任意实数；
(2)x 取值范围是任意实数； (3)x 的取值范围是x ≠－2； (4)x 的取值范围是x ≥2．
归纳 四个小题代表三类题型．(1)，(2)题给出的是只含有一个自变量的整式；(3)题给出的是分母中只含有一个自变量的式子；(4)题给出的是只含有一个自变量的二次根式．
例2 分别写出下列各问题中的函数关系式及自变量的取值范围：
(1)某市民用电费标准为每度0.50元，求电费y (元)关于用电度数x 的函数关系式；
(2)已知等腰三角形的面积为20cm 2，设它的底边长为x (cm)，求底边上的高y (cm)关于x 的函数关系式；
(3)在一个半径为10 cm 的圆形纸片中剪去一个半径为r (cm)的同心圆，得到一个圆环．设
圆环的面积为S (cm 2)，求S 关于r 的函数关系式． 解 (1) y ＝0.50x ，x 可取任意正数；
(2)x
y 40
=，x 可取任意正数；
(3)S ＝100π－πr 2，r 的取值范围是0＜r ＜10．
例3 在上面的问题(3)中，当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是多少?
解 设重叠部分面积为y cm 2，MA 长为x cm ， y 与x 之间的函数关系式为
22
1x y =
当x ＝1时，2
1
1212=?=y
所以当MA ＝1 cm 时，重叠部分的面积是2
1
cm 2．
例4 求下列函数当x = 2时的函数值： (1)y = 2x -5 ； (2)y =－3x 2 ；
(3)1
2
-=x y ； (4)x y -=2．
分析 函数值就是y 的值，因此求函数值就是求代数式的值． 解 (1)当x = 2时，y = 2×2－5 =－1；
(2)当x = 2时，y =－3×22 =－12；
(3)当x = 2时，y =1
22
-= 2；
(4)当x = 2时，y =22-= 0．
四、交流反思
1.求函数自变量取值范围的两个依据： (1)要使函数的解析式有意义．
①函数的解析式是整式时，自变量可取全体实数；
②函数的解析式分母中含有字母时，自变量的取值应使分母≠0； ③函数的解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数≥0． (2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义．
2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值．
五、检测反馈
1.分别写出下列各问题中的函数关系式，并指出式中的自变量与函数以及自变量的取值范围：
(1)一个正方形的边长为3 cm ，它的各边长减少x cm 后，得到的新正方形周长为y cm ．求y 和x 间的关系式；
(2)寄一封重量在20克以内的市内平信，需邮资0.60元，求寄n 封这样的信所需邮资y （元）与n 间的函数关系式；
(3)矩形的周长为12 cm ，求它的面积S (cm 2)与它的一边长x (cm)间的关系式，并求出当一边长为2 cm 时这个矩形的面积．
2.求下列函数中自变量x 的取值范围：
(1)y ＝－2x －5x 2； (3) y ＝x (x ＋3)；
(3)3
6+=x x
y ； (4)12-=x y ．
3.一架雪橇沿一斜坡滑下，它在时间t （秒）滑下的距离s （米）由下式给出：s ＝10t ＋2t 2．假如滑到坡底的时间为8秒，试问坡长为多少？
4.当x ＝2及x ＝－3时，分别求出下列函数的函数值：
(1) y ＝(x +1)(x －2)；(2)y ＝2x 2－3x ＋2； (3)1
2
-+=x x y ．
板书： 作业： 反思：
日期：
函数的图象（1）
知识技能目标
1.掌握平面直角坐标系的有关概念；
2.能正确画出直角坐标系，以及根据点的坐标找出它的位置、由点的位置确定它的坐标；
3.初步理解直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义．
过程性目标
1.联系数轴知识、统计图知识，经历探索平面直角坐标系的概念的过程；
2.通过学生积极动手画图，达到熟练的程度，并充分感受直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的含义.
教学过程
一、创设情境
如图是一条数轴，数轴上的点与实数是一一对应的．数轴上每个点都对应一个实数，这个实数叫做这个点在数轴上的坐标．例如，点A在数轴上的坐标是4，点B在数轴上的坐标是－2.5．知道一个点的坐标，这个点的位置就确定了．
我们学过利用数轴研究一些数量关系的问题，在实际生活中．还会遇到利用平面图形研究数量关系的问题．
二、探究归纳
问题1例如你去过电影院吗？还记得在电影院是怎么找座位的吗？
解因为电影票上都标有“×排×座”的字样，所以找座位时，先找到第几排，再找到这一排的第几座就可以了．也就是说，电影院里的座位完全可以由两个数确定下来．
问题2在教室里，怎样确定一个同学的座位？
解例如，××同学在第3行第4排．这样教室里座位也可以用一对实数表示．
问题3要在一块矩形ABCD(AB＝40mm，AD＝25mm)的铁板上钻一个直径为10mm的圆孔，要求：
(1)孔的圆周上的点与AB边的最短距离为5mm，
(2)孔的圆周上的点与AD边的最短距离为15mm．
试问：钻孔时，钻头的中心放在铁板的什么位置？
分析圆O的中心应是钻头中心的位置．因为⊙O直径为10mm，所以半径为5 mm，所以圆心O到AD边距离为20mm，圆心O到AB边距离为10mm．由此可见，确定一个点（圆心O）的位置要有两个数(20和10)．
在数学中，我们可以用一对有序实数来确定平面上点的位置．为此，在平面上画两条原点重合、互相垂直且具有相同单位长度的数轴（如图），这就建立了平面直角坐标系(rightangled coordinates system)．通常把其中水平的一条数轴叫做x轴
或横轴，取向右为正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，
取向上为正方向；两数轴的交点O叫做坐标原点．
在平面直角坐标系中，任意一点都可以用一对有序实
数来表示．例如，图中的点P，从点P分别向x轴和y轴
作垂线，垂足分别为M和N．这时，点M在x轴上对应
的数为3，称为点P的横坐标(abscissa)；点N在y轴上对
应的数为2，称为点P的纵坐标(ordinate)．依次写出点P
的横坐标和纵坐标，得到一对有序实数(3,2)，称为点P
的坐标(coordinates)．这时点P可记作P(3,2)．在直
角坐标系中，两条坐标轴把平面分成如图所示的Ⅰ、Ⅱ、
Ⅲ、Ⅳ四个区域，分别称为第一、二、三、四象限．坐标
轴上的点不属于任何一个象限．
三、实践应用
例1在上图中分别描出坐标是(2,3)、(－2,3)、(3,－2)
的点Q、S、R，Q(2,3)与P(3,2)是同一点吗？S(－2,3)
与R(3,－2)是同一点吗？
解
Q(2,3)与P(3,2)不是同一点；
S(－2,3)与R(3,－2)不是同一点．
例2写出图中的点A、B、C、D、E、F的坐标．观察
你所写出的这些点的坐标，回答：(1)在四个象限内
的点的坐标各有什么特征？
(2)两条坐标轴上的点的坐标各有什么特征？
解A(－1,2)、B (2,1)、C (2,－1)、D (－1,－1)、E (0,3)、F (－2,0)．
(1)在第一象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是正数；
在第二象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是正数；
在第三象限内的点,横坐标是负数,纵坐标是负数；
在第四象限内的点,横坐标是正数,纵坐标是负数；
(2)x轴上点的纵坐标等于零；
y轴上点的横坐标等于零．
说明从上面的例1、例2可以发现直角坐标系上每一个点的位置都能用一对有序实数表示，反之，任何一对有序实数在直角坐标系上都有唯一的一个点和它对应．也就是说直角坐标系上的点和有序实数对是一一对应的．
例3在直角坐标系中描出点A(2,－3)，分别找出它关于x轴、y轴及原点的对称点，并写出这些点的坐标．观察上述写出的各点的坐标，回答：
(1)关于x轴对称的两点的坐标之间有什么关系？
(2)关于y轴对称的两点的坐标之间有什么关系？
(3)关于原点对称的两点的坐标之间又有什么关系？
解
(1)关于x轴对称的两点：横坐标相同，纵坐标绝对值相等，符号相反；
(2)关于y轴对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标相同；
(3)关于原点对称的两点：横坐标绝对值相等，符号相反，纵坐标也绝对值相等，符号相反．
例4在直角坐标平面内，(1)第一、三象限角平分线上点的坐标有什么特点？(2)第二、四象限角平分线上点的坐标有什么特点？
分析 如图，P 为第一、三象限角平分线上位于第一象限内任一点，作PM ⊥x 轴于M ，在Rt △PMO 中，∠1＝∠2＝45°，所以｜OM ｜=｜MP ｜，则P 点的横坐标，纵坐标绝对值相等，又因为P 点位于第一象限内，OM 为正值，MP 也为正值，所以P 点横坐标与纵坐标相同．同样若P 点位于第三象限内，则OM 为负值，MP 也为负值，所以P 点横坐标与纵坐标也相同．若P 点为第二、四象限角平分线上任一点，则OM 与MP 一正一负，所以P 点横坐标与纵坐标互为相反数．
解 (1)第一、三象限角平分线上点：横坐标与纵坐标相同；
(2)第二、四象限角平分线上点：横坐标与纵坐标互为相反数．
四、交流反思
1.平面直角坐标系的有关概念及画法；
2.在直角坐标系中，根据坐标找出点；由点求出坐标的方法；
3.在四个象限内的点的坐标特征；两条坐标轴上的点的坐标特征；第一、三象限角平分线上点的坐标特征；第二、四象限角平分线上点的坐标特征；
4.分别关于x 轴、y 轴及原点的对称的两点坐标之间的关系． 五、检测反馈
1.判断下列说法是否正确：
(1)(2，3)和(3，2)表示同一点；
(2)点(－4，1)与点(4，－1)关于原点对称；
(3)坐标轴上的点的横坐标和纵坐标至少有一个为0； (4)第一象限内的点的横坐标与纵坐标均为正数．
2.在直角坐标系中描出下列各点，顺次用线段将这些点连起来，并将最后一点与第一点连起来，看看得到的是一个什么图形？
），），（，），（，），（，（），，），（，），（，），（，），（，），（，（），，），（，），（），（， （0 2
11 211 2133 2113 2126 216 18 06 16 213 2123 2111 ,2131 21),0 ,21(------- 3.指出下列各点所在的象限或坐标轴：
A (－3,－5)，
B (6,－7)，
C (0,－6)，
D (－3,5)，
E (4,0)． 4.填空：
(1)点P (5,－3)关于x 轴对称点的坐标是 ； (2)点P (3,－5)关于y 轴对称点的坐标是 ； (3)点P (－2,－4)关于原点对称点的坐标是 ．
5.如图是一个围棋棋盘，我们可以用类似于直角坐标系的方法表示各个棋子的位置．例如，图中右下角的一个棋子可以表示为(12,十三)．请至少说出图中四个棋子的“位置”．
板书：作业：反思：
日期：
函数的图象（2）
知识技能目标
1.掌握用描点法画出一些简单函数的图象；
2.理解解析法和图象法表示函数关系的相互转换.
过程性目标
1.结合实际问题，经历探索用图象表示函数的过程；
2.通过学生自己动手，体会用描点法画函数的图象的步骤.
教学过程
一、创设情境
问题1在前面，我们曾经从如图所示的气温曲线上获得许多信息，回答了一些问题．现在让我们来回顾一下．
二、探究归纳
先考虑一个简单的问题：你是如何从图上找到各个时刻的气温的？
分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴是t轴，表示时间；它的纵轴是T轴，表示气温．这一气温曲线实质上给出了某日的气温T (℃)与时间t（时）的函数关系．例如，上午10时的气温是2℃，表现在气温曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(10,2)．实质上也就是说，当t＝10时，对应的函数值T＝2．气温曲线上每一个点的坐标(t,T)，表示时间为t 时的气温是T．
问题2 如图,这是2004年3月23日上证指数走势图，你是如何从图上找到各个时刻的上证指数的？
分析图中，有一个直角坐标系，它的横轴表示时间；它的纵轴表示上证指数．这一指数曲线实质上给出了3月23日的指数与时间的函数关系．例如，下午14:30时的指数是1746.26，
表现在指数曲线上，就是可以找到这样的对应点，它的坐标是(14:30, 1746.26)．实质上也就是说，当时间是14:30时，对应的函数值是1746.26．
上面气温曲线和指数走势图是用图象表示函数的两个实际例子．
一般来说，函数的图象是由直角坐标系中的一系列点组成的图形．图象上每一点的坐标(x，y)代表了函数的一对对应值，它的横坐标x表示自变量的某一个值，纵坐标y表示与它对应的函数值．
三、实践应用
例1画出函数y＝x＋1的图象．
分析要画出一个函数的图象，关键是要画出图象上的一些点，为此，首先要取一些自变量的值，并求出对应的函数值．解取自变量x的一些值，例如x＝－3，－2,－1，0，1，2，3 …，计算出对应的函数值．为表达方便，可列表如下：
由这一系列的对应值，可以得到一系列的有序实数对：
…，(－3,－2)，(－2,－1)，(－1,0)，(0,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，…在直角坐标系中，描出这些有序实数对(坐标)的对应点，如图所示．
通常，用光滑曲线依次把这些点连起来，便可得到这个函数的图象，如图所示．
这里画函数图象的方法，可以概括为列表、描点、连线三步，通常称为描点法．
例2 画出函数x y 2
1
的图象．
分析 用描点法画函数图象的步骤：分为列表、描点、连线三步． 解 列表：
描点：
用光滑曲线连线：
四、交流反思
由函数解析式画函数图象，一般按下列步骤进行： 1.列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；
2.描点：以表中对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；
3.连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用光滑的曲线连结起来．
描出的点越多，图象越精确．有时不能把所有的点都描出，就用光滑的曲线连结画出的点，从而得到函数的近似的图象．
五、检测反馈
1.在所给的直角坐标系中画出函数x y 2
1
=的图象（先填写下表，再描点、连线）．
2.画出函数x
y 6
-
=的图象（先填写下表，再描点、然后用光滑曲线顺次连结各点）．
3.(1)画出函数y ＝2x －1的图象（在－2与2之间，每隔0.5取一个x 值，列表；并在直角坐标系中描点画图）．
(2)判断下列各有序实数对是不是函数y ＝2x －1的自变量x 与函数y 的一对对应值，如果是，检验一下具有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上：
(－2.5,－4)，(0.25,－0.5)，(1,3)，(2.5,4)． 4.(1)画出函数23
1
+-=x y 的图象（在－4与4之间，每隔1取一个x 值，列表；并在直角坐
标系中描点画图）．
(2)判断下列各有序实数对是不是函数23
1
+-=x y 的自变量x 与函数y 的一对对应值，如
果是，检验一下具有相应坐标的点是否在你所画的函数图象上：
)312,2(-，)2
1
2,23(-，(－1,3)，)211,23(．
5.画出下列函数的图象：
(1)y ＝4x －1； (2)y ＝4x ＋1．
板书： 作业： 反思：
日期：
函数的图象（3）
知识技能目标
1.使学生掌握用描点法画实际问题的函数图象；
2.使学生能从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题．
过程性目标；
通过观察实际问题的函数图象,使学生感受到解析法和图象法表示函数关系的相互转换
这一数形结合的思想．
教学过程
一、创设情境
问题王教授和孙子小强经常一起进行早锻炼，主要活动是爬山．有一天，小强让爷爷先上，然后追赶爷爷．图中两条线段分别表示小强和爷爷离开山脚的距离（米）与爬山所用时间（分）的关系（从小强开始爬山时计时）．
问图中有一个直角坐标系，它的横轴（x轴）和纵轴（y轴）各表示什么？
答横轴（x轴）表示两人爬山所用时间，纵轴（y轴）表示两人离开山脚的距离．
问如图，线段上有一点P，则P的坐标是多少？表示的实际意义是什么？
答P的坐标是(3,90)．表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米．
我们能否从图象中看出其它信息呢？
二、探究归纳
看上面问题的图，回答下列问题：
(1)小强让爷爷先上多少米？
(2)山顶离山脚的距离有多少米？谁先爬上山顶？
分析(1)小强让爷爷先跑的路程，应该看表示爷爷的这条线段．由于从小强开始爬山时计时的，因此这时爷爷爬山所用时间是0，而x轴表示爬山所用时间，得x＝0．可在线段上找到这一点A（如图）．A点对应的函数值y＝60．
(2)y轴表示离开山脚的距离，山顶离山脚的距离指的是离开山脚的最大距离，也就是函数值y取最大值．可分别在这两条线段上找到这两点B、C（如图），过B、C两点分别向x轴、y 轴作垂线，可发现交y轴于同一点Q（因为两人爬的是同一座山）, Q点的数值就是山顶离山脚的距离，分别交x轴于M、N，M、N点的数值分别是小强和爷爷爬上山顶所用的时间，比较两值的大小就可判断出谁先爬上山顶．
解 (1)小强让爷爷先上60米；
(2)山顶离山脚的距离有300米，小强先爬上山顶．
归纳 在观察实际问题的图象时，先从两坐标轴表示的实际意义得到点的坐标意义．如图中的点P (3,90)，这一点表示小强爬山3分后，离开山脚的距离90米．再从图形中分析两变量的相互关系，寻找对应的现实情境．如图中的两条线段都可以看出随着自变量x 的逐渐增大，函数值y 也随着逐渐增大，再联系现实情境爬山所用时间越长，离开山脚的距离越大，当x 达到最大值时，也就是到达山顶．
三、实践应用
例1 王强在电脑上进行高尔夫球的模拟练习，在某处按函数关系式x x y 5
8
512+-=击球，球
正好进洞．其中，y (m)是球的飞行高度，x (m)是球飞出的水平距离． (1)试画出高尔夫球飞行的路线；
(2)从图象上看，高尔夫球的最大飞行高度是多少？球的起点与洞之间的距离是多少？
分析 (1)高尔夫球飞行的路线，也就是函数x x y 5
8
512+-=的图象，用描点法画出图象．在列
表时要注意自变量x 的取值范围，因为x 是球飞出的水平距离，所以x 不能取负数．在建立直角坐标系时，横轴（x 轴）表示球飞出的水平距离，纵轴（y 轴）表示球的飞行高度． (2)高尔夫球的最大飞行高度就是图象上函数值y 取最大值的点，如图点P ，点P 的纵坐标就是高尔夫球的最大飞行高度；球的起点与球进洞点是球飞出的水平距离最小值的点和最大值的点，如图点O 和点A ，点O 和点A 横坐标差的绝对值就是球的起点与洞之间的距离． 解 (1)列表如下：
在直角坐标系中，描点、连线，便可得到这个函数的大致图象．
(2)高尔夫球的最大飞行高度是3.2 m ，球的起点与洞之间的距离是8 m ．
2．5 一元一次不等式与一次函数 第1课时 一元一次不等式与一次函数的关系 1．学会使用图象法解一元一次不等式；(重点) 2．理解并掌握一元一次不等式与一次函数之间的关系，能够运用其解决问题．(重点，难点) 一、情境导入 小华准备将平时的零用钱储存起来，他已经存有300元，现在起每月存50元．小华的同学小丽以前没有存过零用钱，在听说小华存零用钱后，表示从现在起每月存70元，争取超过小华． 根据以上信息，你能帮助小丽计算出她需要多久才能超过小华吗？ 二、合作探究 探究点一：通过函数图象确定一元一次不等式的解集 如图，函数y ＝2x 和y ＝－2 3 x 的图象相交于点A . (1)求点A 的坐标； (2)根据图象，直接写出不等式2x ≥－ 2 3 x ＋4的解集． 解析：(1)联立两直线解析式，解方程组即可得到点A 的坐标；(2)根据图形，找出点A 右边部分的x 的取值范围即可． 解：(1)由?????y ＝2x ，y ＝－2 3x ＋4，解得?????x ＝32，y ＝3.∴点A 的坐标为(3 2 ，3)； (2)由图象得不等式2x ≥－2 3x ＋4的解 集为x ≥3 2 . 方法总结：通过联立两直线解析式求交点坐标的方法，求出交点坐标．求一次函数与一元一次不等式关键在于准确识图，确定出两函数图象的对应函数值的大小． 探究点二：一元一次不等式与一次函数的关系 【类型一】 根据一次函数的值求一元一次不等式的解集 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)中两个 集是________． 解析：由表格得到函数的增减性后，再
得出y＝－1时，对应的x的值即可．当x ＝1时，y＝－1，根据表可以知道函数值y 随x的增大而减小，∴不等式kx＋b≥－1的解集是x≤1.故答案为x≤1. 方法总结：此题考查了一次函数与一元一次不等式，认真体会一次函数与一元一次方程及一元一次不等式之间的内在联系．理解一次函数的增减性是解决本题的关键． 【类型二】根据一次函数图象求不等式的解集 如图，函数y＝kx＋b(k≠0)的图象 经过点B(2，0)，与函数y＝2x的图象交于 点A，则不等式0＜kx＋b＜2x的解集为 ( ) A．x＞0 B．0＜x＜1 C．1＜x＜2 D．x＞2 解析：先利用正比例函数解析式确定A 点坐标，然后观察函数图象得到，当1＜x ＜2时，直线y＝2x都在直线y＝kx＋b的上 方，于是可得到不等式0＜kx＋b＜2x的解 集．把A(x，2)代入y＝2x得2x＝2，解得x ＝1，则A点坐标为(1，2)，∴当x＞1时， 2x＞kx＋b.∵函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经 过点B(2，0)，即不等式0＜kx＋b＜2x的解 集为1＜x＜2.故选C. 方法总结：本题考查了一次函数与一元 一次不等式的关系：从函数的角度看，就是 寻求使一次函数y＝ax＋b的值大于(或小 于)0的自变量x的取值范围；从函数图象的 角度看，就是确定直线y＝kx＋b在y轴上(或 下)方部分所有的点的横坐标所构成的集 合． 三、板书设计 1．通过函数图象确定一元一次不等式 的解集 2．一元一次不等式与一次函数的关系 本课时主要是掌握运用一次函数的图象解 一元一次不等式，在教学过程中采用讲练结 合的方法，让学生充分参与到教学活动中， 主动、自主的学习.
课题：6.2一次函数（1） 教学目标：１．认识正比例函数的意义． ２．掌握正比例函数解析式特点．理解正比例函数图象性质及特点 ３．能利用所学知识解决相关实际问题． 教学重点：理解正比例函数意义及解析式、函数图象的性质特点． 教学难点：正比例函数图象性质特点的掌握． 教学过程 一．提出问题，创设情境 思考：变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？ 二．导入新课 1、看下列几道题 （１）．圆的周长L随半径r的大小变化而变化． （２）．铁的密度为7．8g/cm3．铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化．（３）．每个练习本的厚度为0．5cm．一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n 的变化而变化． （４）．冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化． 解：１．根据圆的周长公式可得：L=2 r． ２．依据密度公式p=m V可得：m=7．8V． ３．据题意可知： h=0．5n． ４．据题意可知：T=-2t． 我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样． 板书：一般地，?形如y=?kx?（k?是常数，?k?≠0?）的函数，?叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．
2、我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？ 画出下列正比例函数的图象，并进行比较， 寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑 两个函数的变化规律． （１）．y=2x ２．y=-2x 引导学生正确画图、 积极探索、总结规律、准确表述． 活动过程与结论： 函数y=2x 中自变量x 可以是任意实数．列表表示几组对应值： 画出图象如图（1）． （２）．y=-2x 的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值： 画出图象如图（2）． （３）．两个图象的共同 点：都是经过原点的直线．不同点：函数y=2x 的图象从左向右呈上升状态，即随着x 的增大y 也增大；经过第一、三象限．函数y=-2x 的图象从左向右呈下降状态，即随x 增大y 反而减小；?经过第二、四象限． x -3 -2 -1 0 1 2 3 y -6 -4 -2 0 2 4 6 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y 6 4 2 0 -2 -4 -6
《一次函数2》教案 知识技能目标 1.使学生熟练地作出一次函数的图象，会求一次函数与坐标轴的交点坐标； 2.会作出实际问题中的一次函数的图象. 过程性目标 1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活； 2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题． 教学过程 一、创设情境 1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？ (一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象). 2.正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过哪一点的直线？ (正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线). 3.平面直角坐标系中，x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征？ 4.在平面直角坐标系中，画出函数12 1-=x y 的图象.我们画一次函数时，所选取的两个点有什么特征，通过观察图象，你发现这两个点在坐标系的什么地方？ 二、探究归纳 1.在画函数12 1-=x y 的图象时，通过列表，可知我们选取的点是(0，-1)和(2，0)，这两点都在坐标轴上，其中点(0，-1)在y 轴上，点(2，0)在x 轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y 轴与x 轴的交点. 2.求直线y ＝-2x -3与x 轴和y 轴的交点，并画出这条直线. 分析 x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0．由此可求x 轴上点的横坐标值和y 轴上点的纵坐标值． 解 因为x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0，所以当y ＝0时，x ＝-1.5，点(-1.5，0)就是直线与x 轴的交点；当x ＝0时，y ＝-3，点(0，-3)就是直线与y 轴的交点. 过点(-1.5，0)和(0，-3)所作的直线就是直线y ＝-2x -3.
26.1.1《反比例函数的概念》教学设计 教学目标 知识与技能：1．从现实情境出发、讨论两个变量之间的关系，加深对函数概念的理解； 2．通过与正比例函数概念的类比，使学生理解并掌握反比例函数的概念。 过程与方法：经历两个变量之间相互关系的讨论，及实际问题中探索数量关系的过程，体会函数的建模思想。 情感、态度与价值观：经历抽象反比例概念的过程，提高学习数学的兴趣； 教学重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式． 教学难点：理解反比例函数的概念． 教学过程：(情境引入)压岁钱问题：爸爸100元，妈妈100元，爷爷100元，奶奶100元……如果有x 个人，每人都给我100元，我共有y 元， 则y ＝100x ，正比例函数一般形式：y ＝kx （其中k≠0） 压岁钱100元，拿去用太大，把100元换成……面值小一点的，另一种人民币即y x =100 一、（新课讲授）下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请直接写出解析式． （1）京沪线铁路全程为1463km ，某次列车的平均速度v （单位：km/h ）随此次列车的全程运行时间t （单位：h ）的变化而变化．你能写出关于t 的解析式吗？ （2）某住宅小区要种植一块面积为1000m 2的矩形草坪，草坪的长y （单位：m ）随宽x （单位：m ）的变化而变化． （3）已知北京市的总面积为1.68×104km 2，人均占有面积S （单位：km 2/人）随全市总 人口n （单位：人）的变化而变化． 1463v t =， 1000y x = ，41.6810S n ?= 二、归纳概念：一般地，形如k y x =（k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数.强调1、自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数．2、变形xy ＝k 或y ＝kx -1（k 为常数，且k ≠0） 三、例题解析 例1.当m 取什么值时，函数y ＝（m +1）x m2-2 解： 解得 m m ?-=-?+≠?22110m m =±??≠-?11. m ∴=1
当我们在日常办公时，经常会遇到一些不太好编辑和制作的资料。这些资料因为用的比较少，所以在全网范围内，都不易被找到。您看到的资料，制作于2021年，是根据最新版课本编辑而成。我们集合了衡中、洋思、毛毯厂等知名学校的多位名师，进行集体创作，将日常教学中的一些珍贵资料，融合以后进行再制作，形成了本套作品。 本套作品是集合了多位教学大咖的创作经验，经过创作、审核、优化、发布等环节，最终形成了本作品。本作品为珍贵资源，如果您现在不用，请您收藏一下吧。因为下次再搜索到我的机会不多哦！ 八年级数学上册第13章一次函数 13.2 一次函数名师教案2 沪科 版 教学目标 1.掌握一次函数y＝kx＋b(k≠0)的性质. 2.能根据k与b的值说出函数的有关性质. 教学重点 1.一次函数中k与b的值对函数性质的影响； 2.结合图象体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高数形结合能力． 教学难点 一次函数k、b的取值和直线位置的关系，数形结合能力 教学过程 一、探究 观察前面一次函数的图象,可以发现规律： 当k＞0时，直线y=kx+b由左至左上升，当k＜0时，直线y=kx+b由左至右下降，由此填出：一次函数y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，具有如下性质： 当k＞0时，y随x的增大而；
当k ＜0时，y 随x 的增大而 。 下面，我们把一次函数中k 与b 的正、负与它的图象经过的象限归纳列表为： 三．例题与练习 例1 已知一次函数y ＝(2m -1)x ＋m ＋5,当m 是什么数时，函数值y 随x 的增大而减小？ 分析 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)，若k ＜0，则y 随x 的增大而减小． 解 因为一次函数y ＝(2m -1)x ＋m ＋5，函数值y 随x 的增大而减小． 所以，2m -1＜0,即2 1 怀文中学2013—2014学年度第一学期教学设计 初二数学 6.4用一次函数解决问题（1） 主备：樊新玲审校：周娟日期：2013年12月7日 学习目标： 1．能根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数关系式； 2．能将简单的实际问题转化为数学问题建立一次函数，从而解决实际问题； 3．通过具体问题的分析，发展解决问题的能力，增强应用意识．1． 教学重点：根据实际问题中变量之间的关系，确定一次函数的关系式． 教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，合理地建立一次函数的模型，并解决实际问题． 教学内容： 一、自主探究 在前几节课里，我们分别学习了一次函数、一次函数的图像、一次函数图像的特征，并且了解到一次函数的应用十分广泛，和我们日常生活密切相关，因此本节课我们一起来学习一次函数图像的应用． 名闻遐迩的玉龙雪山，位于云南丽江城北15km，由12座山峰组成，主峰海拔5596m．海拔4500m处一条黑白分明的雪线蜿蜒山头，由于气候变暖等原因，雪线平均每年约上升10m，假如按此速度推算，经过几年，玉龙雪山的雪线将由现在的4500m退至山顶而消失？ 分析实际问题中变量与变量之间的关系，如果这种关系可以用一次函数表达式表示，那么就可用一次函数的相关知识，解决实际问题． 二、自主合作 问题1 某工厂生产某种产品，已知该工厂正常运转的固定成本为每天12000元，生产该产品的原料成本为每件900元． （1）写出每天的生产成本（包括固定成本和原料成本）与产量之间的函数表达式； （2）如果每件产品的出厂价为1200元，那么每天生产多少件产品，该工厂才有赢利？ 三、自主展示 在人才招聘会上，某公司承诺：应聘者被录用后第1年的月工资为2000元，在以后的一段时间内，每年的月工资比上一年的月工资增加 300元． 121教学模式 科目_________________________ 年级_________________________ 教师＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 数学 八年级 潘明明 课前进行1分钟防火教育 “121”教学模式导学案（______科） 数学 当0 b<时，直线交y轴于负半轴，必过二、三、四象限. 第二环节初步探究 容：由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少．蓄水量V(万米3) 与干旱持续时间t(天)的关系如下图所示，回答下列问题： （1）水库干旱前的蓄水量是多少？ (2)干旱持续10天后，蓄水量为多少？连续干旱23天后呢？ (3)蓄水量小于400万米3时，将发生严重干旱警报．干旱多少天后将发出严重干旱警报？ (4)按照这个规律，预计持续干旱 多少库将干涸？ （根据图象回答问题，有困难的可以 互相交流．） 答案：（1）当0 y=，水库 x=，1200 干旱前的蓄水量是1200万米3. (2)求干旱持续10天时的蓄水量，也就是求t等于10时所对应的V的值．当10 t=时，V约为1000万米3．同理可知当t为23天时，V约为750万米3． (3)当蓄水量小于400万米3时，将发出严重干旱警报，也就是当V等于400万米3时，求所对应的t的值．当V等于400万米3时，所对应的t 的值约为40天． （4）水库干涸也就是V为0，所以求函数图象与横轴交点的横坐标即为所求．当V为0时，所对应的t的值约为60天． 目的：通过生动的现实情景引入一次函数图象的应用，目的是培养学生的识图能力． 效果：本题插图中干涸的河床势必给学生一个很强的视觉刺激，从而渗透环保教育． 第三环节反馈练习： 第二十六章反比例函数 26.1.1 反比例函数的意义 教学设计 执教者：于孙潮时间：2015年12月1日 教学目标 1、从现实情境和已有的知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。 2、使学生理解并掌握反比例函数的概念。 3、能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。 4、培养观察、推理、分析能力，认识反比例函数的应用价值； 教学重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。 教学难点：反比例函数解析式的确定。 教学方法：启发法、类比法。 教学过程： 一、创设情境，导入新课 问题： 现有一张100元的人民币，如果把它换成50元的人民币，可得几张？换成10元的人民币可得几张？依次换成5元，2元，1元的人民币,各可得几张？ 请大家仔细观察这张表格，我们可以发现当面值由大变小的时候，张数会怎样变化？你知道什么没有变？ 如果用含x的式子表示y怎么写？y是不是x的函数吗？ 设计意图： 以一个简单的数字问题引入，目的是让学生在很快的时间里说出显而易见的答案，便于增强学生学好本课的自信心，使他们能愉快地进行新知的学习。二、联系生活，探究新知 在下列实际问题中,变量间的对应关系可用怎样的函数关系式表示? (1)一辆以60km/h匀速行驶的汽车，它行驶的距离S(单位：km)随时间t(单位：h)的变化而变化。 。 (2)一辆汽车的油箱中现有汽油50升，如果不再加油，平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量y(单位：升)随行驶里程 x（单位：千米）的变化而变化。 。 (3)京沪线铁路全程为1463km，某次列车的平均速度v（单位：km/h）随此次列车的全程运行时间t（单位：h）的变化而变化。 。 （4）某住宅小区要种植一个面积为1000m2的矩形草坪，草坪的长y（单位：m ）随宽x（单位：m ）的变化而变化。 。 （5）已知北京市的总面积为1.68×104平方千米，人均占有的土地面积S （单位：平方千米/人）随全市总人口n（单位：人）的变化而变化。 。 （6）正方形的面积S随边长x的变化而变化。 。 在上面所列出函数中哪些是我们学过的函数？ 设计意图： 1、创设情景,符合学生的生活经验,有利于激发学生兴趣；有利于知识发生、发展和形成；有利于感受生活中处处有数学。 2、设置问题串,唤醒学生记忆,做好新旧知识的衔接。 3、简单感知变化与对应思想，引入新课。 剩下的函数有什么共同的特征？如果让你给它下一个定义，你怎么定义它？ 的函数，我们称之为反比例函数。是自变量，是函数。k叫做。 思考问题： 函数y=k x (k≠０)中,自变量x的取值范围是什么？ 注意：在实际问题中，自变量的取值还需考虑它的实际意义。 活学活用 下列关系式中的y是x的反比例函数吗？如果是，比例系数k是多少？ (1)y=4 x ; (2)y=?1 2x ; (3)y =1- x (4)xy =1 ; (5)y=x 2 ; (6)y=x2 (7)y=x?1 ; (8)y=1 x ?1 思考：反比例函数的形式还有那些？ 关系式xy + 4 = 0中，y是x的反比例函数吗？ 若是，比例系数k等于多少？ 若不是，请说明理由。 初二数学《一次函数》优秀教学设计 初中数学《一次函数》教学设计 利川市谋道初级中学向先权 教学任务分析 教学目标知识技能 1．理解直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx（k≠0）之间的位置关系； 2．会用两点法画出一次函数的图象； 3．掌握一次函数的性质． 教学思考 1．通过对应描点来研究一次函数的图象，经历知识的归纳、探究过程； 2．通过一次函数的图象归纳函数性质，体验数形结合法的应用． 解决问题通过一次函数图象和性质的研究，体会数形结合法在问题解决中的作用，并能运用性质、图象及数形结合法解决相关函数问题． 情感态度 1．通过画函数的图象，并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美； 2．在探究一次函数的图象和性质的活动中，通过一系列富有探究性的问题，渗透与他人交流、合作的意识和探究精神． 重点一次函数的图象和性质 难点由一次函数的图象归纳得出一次函数的性质及对性质的理解和应用。 教学流程安排 活动流程图活动内容和目的 活动1复习正比例函数的图象和性质 活动2认识一次函数的图象 活动3选取两个合适的点画一次函数的图象 活动4学习一次函数的性质 活动5练习与思考 活动6小结与作业回顾正比例函数的图象和性质，为学习一次函数的图象及其性质作铺垫，自然地引入课题．通过对应描点画出一次函数的图象，进而发现它的形状及其与正比例函数图象的位置关系，加强对一次函数图象的认识． 通过学生动手实践，熟悉和掌握一次函数图象的画法．类比正比例函数y=kx（k≠0）中k的正负对函数图象的影响 并结合一次函数的图象，归纳出一次函数y=kx+b（k≠0）的性质． 巩固一次函数的图象和性质，留给学有余力的学生进一步发展的空间． 整理本节知识，加强学习反思。 课题： 6.2一次函数（2） 教学目标：１．掌握一次函数解析式的特点及一次函数与正比例函数关系． 2．理解一次函数图象特征与解析式的联系规律． 3．利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力． 教学重点：一次函数解析式特点． 教学难点：一次函数与正比例函数关系． 教学过程 一．提出问题，创设情境 问题：某登山队大本营所在地的气温为15℃，海拔每升高1km气温下降6℃．登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所处位置的气温是y℃．试用解析式表示y?与x的关系．分析：从大本营向上当海拔每升高1km时，气温从15℃就减少6℃，那么海拔增加xkm时，气温从15℃减少6x℃．因此y与x的函数关系式为： y=15-6x （x≥0） 当然，这个函数也可表示为： y=-6x+15 （x≥0） 当登山队员由大本营向上登高0．5km时，他们所在位置气温就是x=0．5时函数y=-6x+15的值，即y=-6×0．5+15=12（℃）． 这个函数与我们上节所学的正比例函数有何不同？它的图象又具备什么特征？我们这节课将学习这些问题． 二．导入新课 （一）先来研究下列变量间的对应关系可用怎样的函数表示？它们又有什么共同特点？ １．有人发现，在20～25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数C与温度t（℃）有关，即C?的值约是t的7倍与35的差． ２．一种计算成年人标准体重G（kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值h减常数105，所得差是G的值． ３．某城市的市内电话的月收费额y（元）包括：月租费22元，拨打电话x分的计时费（按0．01元／分收取）． ４．把一个长10cm，宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形面积y（cm2）随x的值而变化． 1.1反比例函数（1） 教学目标： 1．从现实情境和已有知识经验出发，讨论两个变量之间的相依关系，加深对函数概念的理解。 2．经历抽象反比例函数概念的进程，领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。 3.会求简单实际问题中反比例函数解析式. 教学知识点：反比例函数的概念 教学重点：理解和领会反比例函数的概念。 教学难点：例1涉及科学学科知识,学生理解有一定的困难. 教材分析：函数是在探索具体问题中数量关系和变化规律的基础上抽象出的数学概念，是研究现实世界变化规律的重要数学模型。在前面已学习过“变 化之间的关系”和“一次函数”等内容，对函数已经有了初步的认识， 在此基础上讨论反比例函数可以进一步领悟函数的概念，为后续学习 产生积极的影响。本节课通过对具体情景的分析，概括出反比例函数 的概念。通过例题和举例可以丰富对函数的认识，理解反比例函数的 意义。 过程设计： 一、复习引入 1、什么叫一次函数？什么叫正比例函数？写出它们的一般式。它们有何关系？ 2、正比例函数的图象与性质： 3.回顾小学所学反比例关系。 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果两个数的积（不为零）一定，这两个数的关系叫做反比例关系． 4、问题提出： 问题1： 北京到杭州铁路线长1662km 。一列火车从北京开往杭州，记火车全 ，请填写下表。 能用一个数学解析式表示吗？ 问题2：测量质量都是100g 的金、铜、铁、锌、铝五种 金属块的体积V(cm3)，获得数据如表。表中ρ(g/cm3)表示 1、菱形的面积为5cm2，它的一条对角线长y （cm ）关于另一条对角线长x （cm ）的关系式是 。 2、小明同学用50元钱买学习用品，单价y （元）与数量x （件）之间的关系式是 上述函数表达式都具有什么特点？ 二、传授新课 (一)概念：如果两个变量x,y 之间的关系可以表示成)0(≠=k k x k y 为常数，的形式，那么y 是x 的反比例函数，反比例函数的自变量x 不能为零。 学生探究反比例函数变量的相依关系，领会其概念。 (二)做一做 1.一个矩形的面积为202cm ，相邻的两条边长分别为xcm 和ycm 。那么变量y 是变量x 的函数吗？为什么？ 学生先独立思考，再进行全班交流。 2. 某村有耕地346.2公顷，人数数量n 逐年发生变化，那么该村人均占有耕地面积m （公顷/人）是全村人口数n 的函数吗？为什么？ 学生先独立思考，再同桌交流，而后大组发言。 （2）根据函数表达式完成上表。 x y 1662=V 100 = ρ §5.3 一次函数的图象（1）教案 主备：徐红石审核：席美丽时间：2009年12月17日 教学目标： 1．知道一次函数的图象是一条直线，会选取两个适当的点画一次函数的图象． 2．经历作图过程，初步了解画函数图象的一般步骤及一次函数的表达式与图象之间的对应关系。 3. 培养学生用“数形结合”的思想和解决数学问题的能力。 教学重点：一次函数的图象的画法。 教学难点: 对一次函数的表达式与图象之间的对应关系的理解。 学习过程： 一、自学质疑： 1.自学课本P151～153页，思考如何画一次函数的图象？ 2.一次函数y=kx+3的图象经过点（－1，5），则k=____-2___，其图象经过点（0，3 ）（3 2 ，0）。 3.一次函数y=5x+2的图象与x轴的交点坐标为（ 2 5 -，0）, 与y轴的交点坐标为（0，2）。 二、交流展示： 1.(1)图中共有几枝香? (2)图片怎样表示时间的变化? (3)这枝香点燃5min后缩短了多少?10min呢?请将你的观察结果填在书中的表格内。 (4)如果用y(cm)表示香的长度、x(min)表示香燃烧的时间，你能写出y与x之间的函数关系式吗? (5)依次连接图片中香的顶端，你有什么发现? (6)你能用平面直角坐标系，将图片所揭示的信息及你的发现告诉大家吗? 2. 一次函数的图象的画法： (1)什么是函数图象? (2) )函数图像上的点的横坐标如何确定?纵坐标如何确定? (3) 如何“列表”? (4)表中x的值如何选取?表中的y值如何确定? (5)怎样“描点”?描多少个点?点的坐标如何确定? (6)为什么要“连线”?怎样连线? 3. 试画出一次函数y=2x+1的图象 解：1、列表：先确定x的若干个值（注意不失一般性），然后填入相应的y值： x …-2 -1 0 1 2 … y=2x+1 …-3 -1 1 3 5 … 2、描点：描点，对于表中的每一组对应值，以x值作为点的横坐标，以对应的y值作为点的纵坐标，便可画出一个点。也就是由表中给出的有序实数对，在直角坐标系中描出相应的点。 3、连线：按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用平滑的线连结起来，得到的图形就是函数式y=2x+1的图象,它是一条直线。 小结：作一次函数图象有哪些步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。 三、互动探究： §6.2 一次函数 教学目标 1.知识目标 1、理解一次函数和正比例函数的概念，以及它们之间的关系。 2、能根据所给条件写出简单的一次函数表达式。 2.能力目标 1、经历一般规律的探索过程、发展学生的抽象思维能力。 2、通过由已知信息写一次函数表达式的过程，发展学生的数学应用能力。 3.情感目标 1、通过函数与变量之间的关系的联系，一次函数与一次方程的联系，发展学生的数 学思维。 2、经历利用一次函数解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力。 教学重点 1、一次函数、正比例函数的概念及关系。 2、会根据已知信息写出一次函数的表达式。 教学过程 1、新课导入 有关函数问题在我们日常生活中随处可见，如弹簧秤有自然长度，在弹性限度内，随着所挂物体的重量的增加，弹簧的长度相应的会拉长，那么所挂物体的重量与弹簧的长度之间就存在某种关系，究竟是什么样的关系，请看： 某弹簧的自然长度为 3 厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量x 每增加 1 千克、弹簧长度 y 增加 0.5 厘米。 （ 1）计算所挂物体的质量分别为 1 千克、 2 千克、 3 千克、 4 千克、 5 千克时弹簧的长度，并填入下表： x/ 千克012345 y/ 厘米 3 3.5 4 4.5 5 5.5 （ 2）你能写出 x 与 y 之间的关系式吗？ 分析：当不挂物体时，弹簧长度为 3 厘米，当挂 1 千克物体时，增加 0.5 厘米，总长 度为 3.5 厘米，当增加 1 千克物体，即所挂物体为 2 千克时，弹簧又增加 0.5 厘米，总共 增加 1 厘米，由此可见，所挂物体每增加 1 千克，弹簧就伸长 0.5 厘米，所挂物体为 x 千克，弹簧就伸长 0.5x 厘米，则弹簧总长为原长加伸长的长度，即 y=3+0.5x 。 2、做一做 某辆汽车油箱中原有汽油 100 升，汽车每行驶 50 千克耗油 9 升。 （ 1）完成下表： 汽车行驶路程 x/ 千米 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量 y/ 升 你能写出 x 与 y 之间的关系吗？（ y=100-0.18x 或 y=100- 9 x ） 3、一次函数，正比例函数的概念 50 上面的两个函数关系式为 y=0.5x+3 ，y=100-0.18x ，都是左边是因变量 y ，右边是含 自变量 x 的代数式。 并且自变量和因变量的指数都是一次。 若两个变量 x,y 间的关系式可 以表示成 y=kx+b （ k ， b 为常数 k ≠ 0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数（ x 为自变量， y 为因变量）。特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数。 4、例题讲解 例 1：下列函数中， y 是 x 的一次函数的是（ ） ① y=x-6 ；② y= 2 ；③ y= x ；④ y=7-x x 8 A 、①②③ B 、①③④ C 、①②③④ D 、②③④ 例 2：写出下列各题中 x 与 y 之间的关系式，并判断， y 是否为 x 的一次函数？是否 为正比例函数？ ①汽车以 60 千米 / 时的速度匀速行驶，行驶路程中 y （千米）与行驶时间 x （时）之 间的关系式； ②圆的面积 y （厘米 2）与它的半径 x （厘米）之间的关系； 课题： 反比例函数的图象和性质1 武汉市琴断口中学 施兴娥 教学目标 【知识技能】 1、会用描点法画出反比例函数的图象,说出它的性质； 2、通过画图，理解反比例函数图象是有“间断”的两只曲线，掌握其图象的位置、增减性、对称性与解析式的内在联系，利用相关性质解决有关问题． 【数学思考与问题解决】 1、经历画图，观察、猜想、思考等数学活动，能根据图象数形结合的分析、探究反比例函数的性质，培养学生观察、探究、归纳以及动手的能力。 2、感悟“数形结合”“变化与对应”“无限逼近”等数学思想，并能运用类比、从特殊到一般等研究方法探究反比例函数的性质 【学习重难点】 教学重点：画反比例函数图象和理解反比例函数的性质。 教学难点：探索反比例函数的图象的性质,体会用数形结合思想解数学问题． 【情感态度】 在探究活动中，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，体会事物有规律地运动变化的观点，培养严谨的科学态度和勇于探索的精神。 教学设计 【凭风起航】： 1、情景导入 2、正比例函数的解析式：（ ）。 3、正比例函数的图象是（ ）。 正比例函数的性质： 当k>0，图象经过原点和（ ）象限，y 随x 的增大而（ ）。 当k<0，图象经过原点和（ ）象限，y 随x 的增大而（ ） 画函数图象的步骤是： 微课正比例函数的画法 4、给反比例函数“画像” 5试一试：你能画出反比例函数x 6y =与x 6 -y =的图象吗？ y ... ... Y= x 6 ... ... Y=x 6－ ... ... 6、y= x 12,y=x k (k>0)的大致图象。 几何画板演示函数图象（k>0)和（k<0)的情况。 7、研究反比例函数图象的性质。 【乘风破浪】 1、（1）当k>0时，反比例函数的图象位于第 象限，在 内y 随x 值的增大而 ； （2）当k<0时，反比例函数的图象位于第 象限，在 内y 随x 值的增大而 。 2、反比例函数的图象是否具有对称性？ 【激流勇进】 1.函数 y= x 5 － 的图象在第___________象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而 __________ . 2.函数 y=x m 2 －的图象在二、四象限，则m 的取值范围是 _______. 例1.已知反比例函数y = （m ＋1）x m 5 _2 的图象在二、四象限内，求m 的值。 1 .若反比例函数 y= x k 的图象经过点（2，1），则该反比例函数的图象在第（ ） 象限。 【扬帆远航】 1.下列图象中，是反比例函数的图象的是 （ ） 2．一次函数y=kx+b （K>0）与反比例函数 x k y (K>0) 的图象交点的个数为（ ） （A ） 0个（B ）1个（C ）2个（D ）无数个 3、若y=x 2 图象上有两点P 1(1,y 1)和P 2(2,y 2)，试比较y 1和y 2的大小 第四章一次函数 4.４.1 一次函数的应用（第1课时） 一、学生起点分析 本节课之前，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法． 二、教学任务分析 本节课是北师大版义务教育教科书八年级上第四章《一次函数》第四节的第一课时，主要内容是利用图象、表格等信息，确定一次函数的表达式．与原教材相比，新教材更注重与实际联系，更加注重培养学生掌握数形结合这一重要的思想方法；并且让学生更加明确确定一次函数的表达式需要两个独立的条件，这个问题虽然简单，但它涉及数学对象的一个本质概念---基本量．值得一提的是确定一次函数表达式，需要根据两个条件列出关于k、b的方程组，而二元一次方程组是下一章的学习内容，因此本节所研究的一次函数，某个参数应较易于从所给条件中获得，从而转化为通过另一个条件确定另一个参数的问题．因此，在教学中要注意控制问题的难度，对于一般问题，可在下一章的学习中再加强训练． 1. 教学目标：了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图象、表格、实际问题等）利用待定系数法确定一次函数的表达式；并能利用所学知识解决简单的实际问题． 2. 知识目标：经历对正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一 次函数的表达式，进一步发展数形结合的思想方法； 3. 能力目标：经历从不同信息中获取一次函数表达式的过程，体会到解决问题的多样性， 拓展学生的思维． 依据新课程标准制定教学重点：一次函数图象的应用． 依据学情制定教学难点：确地根据图象获取信息，并解决现实生活中的有关问题． 教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________ xx市实验学校 《一次函数1》教案 知识技能目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念； 2.根据实际问题列出简单的一次函数的表达式． 过程性目标 1.经历由实际问题引出一次函数解析式的过程，体会数学与现实生活的联系； 2.探求一次函数解析式的求法，发展学生的数学应用能力． 教学过程 一、创设情境 问题1小明暑假第一次去北京．汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的平均车速是95千米/小时．已知A地直达北京的高速公路全程为570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己和北京的距离． 分析我们知道汽车距北京的路程随着行车时间而变化，要想找出这两个变化着的量的关系，并据此得出相应的值，显然，应该探求这两个变量的变化规律．为此，我们设汽车在高速公路上行驶时间为t小时，汽车距北京的路程为s千米，根据题意，s和t的函数关系式是 s＝570－95t． 说明找出问题中的变量并用字母表示是探求函数关系的第一步，这里的s、t是两个变量，s是t的函数，t是自变量，s是因变量． 问题2小张准备将平时的零用钱节约一些储存起来．他已存有50元，从现在起每个月节存12元．试写出小张的存款与从现在开始的月份之间的函数关系式． 分析我们设从现在开始的月份数为x，小张的存款数为y元，得到所求的函数关系式为：y＝50＋12x． 问题3以上问题1和问题2表示的这两个函数有什么共同点？ 二、探究归纳 上述两个问题中的函数解析式都是用自变量的一次整式表示的．函数的解析式都是用自变量的一次整式表示的，我们称它们为一次函数(linear function)．一次函数通常可以表示为y＝kx＋b的形式，其中k、b是常数，k≠0． 特别地，当b＝0时，一次函数y＝kx(常数k≠0)出叫正比例函数(direct proportional fun ction)．正比例函数也是一次函数，它是一次函数的特例． 三、实践应用 例1下列函数关系中，哪些属于一次函数，其中哪些又属于正比例函数？ 一次函数（2） 知识技能目标 1.使学生熟练地作出一次函数的图象,会求一次函数与坐标轴的交点坐标； 2.会作出实际问题中的一次函数的图象. 过程性目标 1.通过画一次函数图象和实际问题中的一次函数图象，感受数学来源于生活又应用于生活； 2.探索一次函数图象的特点体会用“数形结合”思想解决数学问题． 教学过程 一、创设情境 1.一次函数的图象是什么，如何简便地画出一次函数的图象？ （一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线，画一次函数图象时，取两点即可画出函数的图象）. 2.正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过哪一点的直线？ （正比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象是经过原点(0，0)的一条直线）. 3.平面直角坐标系中，x 轴、y 轴上的点的坐标有什么特征？ 4.在平面直角坐标系中,画出函数12 1-=x y 的图象.我们画一次函数时,所选取的两个点有什么特征,通过观察图象,你发现这两个点在坐标系的什么地方? 二、探究归纳 1.在画函数12 1-=x y 的图象时，通过列表，可知我们选取的点是(0,-1)和(2,0)，这两点都在坐标轴上，其中点(0,-1)在y 轴上，点(2,0)在x 轴上，我们把这两个点依次叫做直线与y 轴与x 轴的交点. 2.求直线y ＝-2x -3与x 轴和y 轴的交点，并画出这条直线. 分析 x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0．由此可求x 轴上点的横坐标值和y 轴上点的纵坐标值． 解 因为x 轴上点的纵坐标是0，y 轴上点的横坐标0，所以当y ＝0时，x ＝-1.5，点(-1.5,0)就是直线与x 轴的交点；当x ＝0时，y ＝-3，点(0，-3)就是直线与y 轴的交点. 过点(-1.5,0)和(0，-3)所作的直线就是直线y ＝-2x -3. 所以一次函数y ＝kx ＋b ,当x ＝0时，y ＝b ；当y ＝0时，k b x -=.所以直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点坐标是(0,b ),与x 轴的交点坐标是?? ? ??-0,k b . 苏科版八年级下册数学11-1 反比例函数-教案设计(2) 11.1 反比例函数 教学目标1．结合具体情境体会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念； 2．能根据实际问题中的条件确定反比例函数的表达式； 3．在探索过程中，引导学生体会反比例函数是刻画现实世界中特定数量关系的一种数学模型． 教学重 点 反比例函数的概念． 教学难点1．讨论两个变量之间的相互关系，从而让学生加深对函数概念的理解； 2．通过对反比例函数的简单应用，使学生初步形成数学的建模意识和在函数概念中的运动变化观点． 教学过程（教师）学生活动设计思路 开场白： 同学们，在小学里，我们已经知道如果两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例．例如当路程s一定时，时间t 与速度v的关系．那成反比例的两个量之间的关系，怎样用函数表达式来表示呢？ 回顾旧知，进入学习 状态． 从学生 熟悉的反比 例知识入 手，引发学 生的数学学 习兴趣． 引入： 南京与上海相距约300km，一辆汽车从南京出发，以速度v(km/h)开往上海，全程所用时间为t(h)．写出t、v的关系式，并填写下表： v60 80 t 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？时间t是速度v 的函数吗？为什么？ 积极思考，回答问题， 填写表格． 让学生 重新回顾函 数的有关知 识，为引入 反比例函数 的概念做好 准备． 实践探索： 用函数表达式表示下列问题中两个变量之间的关系． （1）计划修建一条长为500km的高速公路，完成该项目的天数y(天)随日完成量x(km)的变化而变化； （2）一家银行为某社会福利厂提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y(万元)随还款年限x(年)的变化而变化； （3）游泳池的容积 交流讨论，积极回答： 参考答案：（1）y＝ 500 x；（2）y＝ 20 x；（3）t ＝ 5000 v；（4）m＝－ 200 n． 通过学 生相互讨论 使学生主动 参与到学习 活动中来， 培养学生小 组合作意 识． 一次函数优秀教学设计 函数是近代数学最基本的概念之一，在数学发展过程中起着十分重要的作用，许多数学分支(如代数、三角、解析几何、微积分、实变函数、复变函数等)都是以函数为中心展开研究的。 14.1.1变量 教学目标 1.知识与技能 了解变量的概念，会区别常量与变量. 2.过程与方法 经历探索变量的过程，感受常量与变量的意义. 3.情感、态度与价值观 培养学生良好的变化与对应意识，体会数形结合的思想.重、难点与关键 1.重点：理解变化与对应的内涵. 2.难点：理解变化与对应的内涵. 3.关键：从实际问题出发，引入变量，由具体到抽象的认识事物. 教学方法 采用“情境教学法”进行教学，让学生在熟悉的背景中认知常量与变量. 教学过程 一、创设情境，揭示课题 【情境思考1】 汽车以60千米/时的速度匀速行驶，行驶里程为s千米，行驶时间为t s. 【教师活动】提出问题，引导学生思考问题，提问个别学生. 【学生活动】先独立思考后再与同伴交流，填出表格中问题：s：60千米，?120千米，180千米，240千米，300千米.推出含t的等式为s=60t(t≥0). 【情境思考2】 每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，?晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元?设一场电影售出票x张，票房收入为y元，?怎样用含x的式子表示 y? 【教师活动】引导学生思索，然后从学生中推荐好的方法. 【学生活动】分四人小组合作交流，通过交流，部分学生上讲台演示：早、中、晚三场电影的票房收入各为：1500元、2050元、3100元;含x的式子表示y为：y=10x. 【情境思考3】 在一根弹簧的下端悬挂重物，改变并记录重物的质量，观察并记录弹簧长度的变化，探索它们的变化规律，如果弹簧原长10cm，每1kg重物使弹簧伸长0.5cm，怎样用含重物质量m(单位：kg)的式子表示受力后的弹簧长度L(单位：cm)?6.4一次函数解决问题(1)教案
一次函数的应用2教案设计
26.1.1_反比例函数--教案.1.1反比例函数教学设计--公开课
初二数学《一次函数》优秀教学设计
八年级数学上册6_2一次函数教案2新版苏科版
浙教版1-1 反比例函数第一课时教案
1一次函数图像教案1
八年级数学上册6.2一次函数教案北师大版【教案】.docx
反比例函数的图像和性质1教案
2020-2021学年最新北师大版八年级数学上册《一次函数的应用第1课时》教学设计-优质课教案
《一次函数1》教案新部编本
2014新人教版八年级下19.2.2一次函数(2)教案
苏科版八年级下册数学11-1 反比例函数-教案设计(2)
一次函数优秀教学设计
相关主题
文本预览