函数的定义域值域及解
析式
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函数的定义域、值域及解析式【教学目标】
1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。
2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。
3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域
【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。
【教学内容】
1.定义
高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等
（1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
（2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．
2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
函数解析式定义域值域
一次函数y=ax+b(a≠0)
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
反比例函数
(k为常数，
k≠0）
注意：
1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）
2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 例. 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x -1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x ； g ( x ) = （√x ）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x 2-2x+2, g ( x )=t 2-2t+2 3．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；
（2）无穷区间；“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。
注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须
a b <．
练习、请用区间表示
（1）{|12}x x <<=____________， {|01}x x ≤≤=____________，
{|10}x x -≤<=____________， {|23}x x <≤=____________， （2）{|}x x a ≥=____________， {|}x x a >=____________，
{|}x x b ≤=____________， {|}x x b <=____________.
定义域
能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.
(4)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义 含分式的函数：在求含分式的函数的定义域时，要注意两点：
（1）分式的分母一定不能为0；（2）绝对不能先化简后求函数定义域。
题型一：常规函数型
例：求函数 的定义域．
例：求函数y ＝23-x ＋3
3
23-+x x ）
（的定义域．
练习
求下列函数的定义域。
x x x f -+
+=211)(
⑴y=x x -||1
（2）2
14
3)(2-+--=
x x x x f
题型二：抽象函数型
（一）、已知的定义域，求的定义域， 其解法是：若的定义域为，则
中
，从中解得的取
值范围即为的定义域。 例. 设函数的定义域为
，则
（1）函数的定义域为________。
（2）函数的定义域为__________。
练习
1已知f(x)的定义域为[1,3],求f(x-1)的定义域.
2已知函数)x (f 的定义域为（0，1），则函数)1x 2
1(f -的定义域是________。
（二）、已知的定义域，求的定义域。
其解法是：若的定义域为
，则由
确定
的范围即为
的定义域。 例. 已知函数
的定义域为，则的定义域________。
练习、已知函数)4
2(f 的定义域为（0，1），求函数)x(f的定义域。
x
（三）、已知的定义域，求的定义域。
其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。
例. 函数定义域是，则的定义域是（）
A. B. C. D.
练习
1.函数f(2x-1)的定义域为[1,3]，求函数f(x2+1)的定义域.
运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例. 已知函数的定义域是，求的定义域。
练习
若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)4
1(+=x f y )41
(-?x f 的定义域。
逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例 已知函数的定义域为R 求实数m 的取值范围。
练习. 已知函数的定义域是R ，求实数k 的取值范围。
求函数的值域或最值
求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．求函数值域与最值的常用方法：
①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．
②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．
③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程
2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ?=-?≥，从而确定函数的值域或最值．
④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．
⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．
⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．
⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法． 例题 求函数值域
1）观察法 2）图象法 3）分式分离常数法 4）换元法 5）判别式法 6）配方法 7）函数单调性法 8）反函数法 （1）3
3
5-+=x x y （2） 22++-=x x y
（3）1
3
222
2++++=x x x x y （4）x x y 314--=
（6）函数的表示方法
表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种． 解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．
列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． 例题 求函数解析式
（1）配凑法； （2）换元法； （3）待定系数法； （4）方程组法．
（1）已知3311
()f x x x x
+=+，求()f x ；
（2）已知f (x －1)=3x －1，求()f x ；
（3）已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；
（4）已知()f x 满足1
2()()3f x f x x
+=，求()f x ．
【课后作业】
1、设x 取实数，则f(x)与g(x)表示同一个函数的是 （ ）
A 、x )x (f =，2
x )x (g = B 、x )x ()x (f 2
=，2
)x (x )x (g =
C 、1)x (f =，0
)1x ()x (g -= D 、3
x 9
x )x (f 2+-=，3x )x (g -=
2、函数6
542
-+--=
x x x y 的定义域是（ ）
（A ）{x|x>4} (B)}32|{< (C){x | x<2 或 x>3} (D) }32|{≠≠∈x x R x 且 3、集合{|25}x x <≤可以写成 （ ） A ．[ ] 2,5 B ． (]2,5 C ．()2,5 D ．[)2,5 4、求下列函数的定义域： （1）1 ()43 f x x = + （2）11 ()2f x x x =+- 5、求下列函数的值域（用区间表示）： （1）322--=x x y ； ①R x ∈， ②]4,1(-∈x ， ③]4,1(∈x （2）22++-=x x y ； （3）2845 x y x x =-+． 6、设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 7、已知221 )1(x x x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 8、已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f 9、设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f 复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = （2 ）01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为 ________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取 值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = 三、求函数的解析式 1、 已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、 已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且 1 ()()1 f x g x x += -，求()f x 与()g x 的解析表达式 1．函数的定义、定义域、值域 2．两个函数相等的条件 (1)定义域相同． (2)对应关系完全一致． 知识点二函数的表示及分段函数 1．函数的表示方法 函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法． 2．分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 知识梳理 1.函数与映射的概念 函数映射 两个集合A，B 设A，B是两个 非空数集 设A，B是两个 非空集合 对应关系f：A→B 如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意 一个数x，在集合B中都有唯 如果按某一个确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意 一个元素x，在集合B中都有 求()x f 与()x g 的解析式。 1.(绍兴质检)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A.[－3，1] B.(－3，1) C.(－∞，－3]∪[1，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，＋∞) 2.已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝( ) A.x ＋1 B.2x －1 C.－x ＋1 D.x ＋1或－x －1 3.(湖州一模)f (x )＝???? ????13x （x ≤0），log 3x （x >0），则f ???? ?? f ? ????19＝( ) A.－2 B.－3 C.9 D.－9 4.(全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定义域和值域相同的是( ) A.y ＝x B.y ＝lg x C.y ＝2x D.y ＝ 1x 5.(铜陵一模)设P (x 0，y 0)是函数f (x )图象上任意一点，且y 20≥x 2 0，则f (x )的解析式可以是( ) A.f (x )＝x －1x B.f (x )＝e x －1 C.f (x )＝x ＋4 x D.f (x )＝tan x 6.下列图象中，不可能成为函数y ＝f (x )的图象的是( ) 求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? ? 一、?求函数的解析式? （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2 +=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ，[]=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(2 2+=++=+=x x x g x g f [][]4443)12(3)()(222 ++=++=+=x x x x f x f g （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2 +-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 65)(6)1(5)1(22+-=++-+=x x x f ，x x 所以 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(2 2-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。 解：设x t 11+=，则1≠t ，1 1-=t x ，代入已知得 t t t t t f 21)1(1111 )(222-=--=-??? ??-= ∴ )1(2)(2≠-=x x x x f 注意：1、使用换元法要注意t 的范围限制，这是一个极易忽略的地方。 课题7：函数的概念（一） 一、复习准备： 1．讨论：放学后骑自行车回家，在此实例中存在哪些变量？变量之间有什么关系？ 2．回顾初中函数的定义： 在一个变化过程中，有两个变量x 和y ，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一的值与之对应，此时y 是x 的函数，x 是自变量，y 是因变量。 表示方法有：解析法、列表法、图象法. 二、讲授新课： （一）函数的定义： 设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作： (),y f x x A =∈其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）。显然，值域是集合B 的子集。 （1）一次函数y=ax+b (a≠0)的定义域是R，值域也是R； （2）二次函数2 y ax bx c =++(a≠0)的定义域是R，值域是B；当a>0时，值域244ac b B y y a ??-??=≥?????? ；当a﹤0时，值域244ac b B y y a ??-??=≤?????? 。（3）反比例函数(0)k y k x =≠的定义域是{}0x x ≠，值域是{}0y y ≠。（二）区间及写法： 设a 、b 是两个实数，且a≤<的实数x 的集合分别表示为[)(),,,,a a +∞+∞(](),,,b b -∞-∞。 巩固练习：用区间表示R 、{x|x ≥1}、{x|x>5}、{x|x ≤-1}、{x|x<0} （三）例题讲解： 例1．已知函数2()23f x x x =-+，求f(0)、f(1)、f(2)、f(－1)的值。 变式：求函数223, {1,0,1,2}y x x x =-+∈-的值域 例2．已知函数1()2f x x =+，（1）求()()2 (3),(),33f f f f --的值；(2) 当a>0时，求(),(1)f a f a -的值。（四）课堂练习： 1．用区间表示下列集合： {}{}{}{} 4,40,40,1,02x x x x x x x x x x x x ≤≤≠≤≠≠-≤>且且或2．已知函数f(x)=3x 2＋5x －2,求f(3)、f(-2)、f(a)、f(a+1)的值； 3．课本P 19练习2。 求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。 函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等 （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3．区间的概念 函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析 高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项 函数的定义域和值域 学习目标： 1．了解构成函数的要素有定义域、对应法则和值域，会求一些简单函数的值域； 2．通过本节的学习，使学生养成用运动、发展、变化的观点认识世界的思维习惯； 活动方案 活动一（目标：理解函数定义域的概念，复习巩固上一节课的定义域的相关内容，并能 熟练求出一个给定的函数的定义域。） 题型一：简单函数的定义域 巩固检测1．求下列函数定义域： （1）()f x =； （2）21()1f x x = -； 小结：求简单函数的定义域时常考虑哪些因素？ 题型二：函数由两个及以上数学式子的和、差、积、商的形式构成时的定义域 求下列函数的定义域： 巩固检测2．（1）y = （2）1()f x x = 小结：此种情况如何求定义域？ 题型三：复合函数的定义域 例1．（P24.5）若2 ()f x x x =- （1）此函数的输入值是谁？ （2）求(0),(1),(1)f f f x +； （3）函数(1)y f x =+的输入值又是谁？(2)y f x =呢？ 例2．求下列函数的定义域： （1）若()y f x =的定义域为]1,4?-?，则2()y f x =的定义域是 。 （2）若函数(1)y f x =+的定义域是]2,3?-?，则(21)y f x =-的定义域 是 。 活动二（目标：理解函数值域的概念，并能熟练准确地求出一个给定的函数的值域。） 阅读课本P23中间关于值域的内容，思考以下问题： （1）函数的值域是怎样定义的？ （2）函数的值域与定义中集B 有怎样的包含关系？ （3）函数的定义域、值域、对应法则称为函数的三要素，这三者之间的关系怎 样？ 函 数 一、函数定义 1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( ) 答案：B 二、函数求值 1．已知f (x )＝3x 3＋2x ＋1，若f (a )＝2，则f (－a )＝________. 解析：∵f (x )＝3x 3＋2x ＋1， ∴f (a )＋f (－a )＝3a 3＋2a ＋1＋3(－a )3＋2×(－a )＋1＝2， ∴f (－a )＝2－f (a )＝0. 2．已知函数f (x )＝x |x |，若f (x 0)＝4，则x 0的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－2或2 D. 2 解析：选B 当x ≥0时，f (x )＝x 2，f (x 0)＝4，即x 20＝4，解得x 0＝2. 当x <0时，f (x )＝－x 2，f (x 0)＝4，即－x 20＝4，无解． 所以x 0＝2， 3．函数f (x )，g (x )分别由下表给出． 则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________． 解析：∵g (1)＝3，f (3)＝1，∴f (g (1))＝1. 当x ＝1时，f (g (1))＝f (3)＝1，g (f (1))＝g (1)＝3，不合题意． 当x ＝2时，f (g (2))＝f (2)＝3，g (f (2))＝g (3)＝1，符合题意． 当x ＝3时，f (g (3))＝f (1)＝1，g (f (3))＝g (1)＝3，不合题意． 答案：1 2 三、函数定义域 （1）一般函数的定义域求解 1．函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1) B ．[0,1] C ．(－∞，0)∪(1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 解析：由题意知，x 2－x >0，即x <0或x >1.则函数定义域为(－∞，0)∪(1，＋∞)，选C. 2．(2017·贵阳监测)函数y ＝1－x 2 2x 2－3x －2 的定义域为( ) A ．(－∞，1] B ．[－1,1] C ．[1,2)∪(2，＋∞) D.??????－1，－12∪? ???? －12，1 解析：选D 由函数y ＝1－x 2 2x 2－3x －2得?? ? 1－x 2 ≥0，2x 2－3x －2≠0， 解得? ?? －1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－1 2， 即－1≤x ≤1且x ≠－12， 所以所求函数的定义域为??????－1，－12∪ ? ???? －12，1，故选D. 3．函数f (x )＝ 1－|x －1| a x －1 (a ＞0且a ≠1)的定义域为____________________． 解析：由??? 1－|x －1|≥0， a x －1≠0 ??? ? 0≤x ≤2，x ≠0 ?0＜x ≤2， 故所求函数的定义域为(0,2]． 4．函数f (x )＝ln ? ? ???1＋1x ＋1－x 2的定义域为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[0,1] D ．[1，＋∞) 解析：选B 由条件知????? 1＋1x >0，x ≠0， 1－x 2 ≥0. 即??? x <－1或x >0， x ≠0，－1≤x ≤1. 则x ∈(0,1]． 5．函数f (x )＝x ＋3＋log 2(6－x )的定义域是( ) A ．(6，＋∞) B ．(－3,6) C ．(－3，＋∞) D ．[－3,6) 解析：选D 要使函数有意义应满足?? ? x ＋3≥0， 6－x >0， 解得－3≤x <6. 函数的定义域、值域和解析式 1．函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围． 2.求函数定义域的主要依据： ①分式函数:分母不为0; ②偶次方根:被开方数为非负数; ③对数函数:真数大于0,底数大于0且不为1; ④零次幂的底数不等于0 注意：①当通过解不等式或不等式组求定义域时，常常借助数轴求交集，同时考虑端点是否可取；②在解决函数问题时首先考虑定义域，“定义域优先原则”；③定义域的最终结果一定要写成集合或者区间的形式；④实际问题的自变量范围应根据实际情况确定。 指数函数 x a y =(a >0且a ≠1) R (0,+∞) 对数函数 x y a log =(a >0且a ≠ 1) (0,+∞) R 正、余弦函数 y =sin x ,y =cos x R [-1,1] 正切函数 y =tan x {x |x ≠k π +2 π,k ∈Z} R 解析式 定义域 值域 一次函数 y =kx +b (k ≠0) R R 二次函数 c bx ax y ++=2 (a ≠0) R 当a >0时,),44( 2 +∞-a b a c 当a <0时,)44, (2 a b a c --∞ 反比例函数 x k y = (k ≠0) {x |x ≠0} {y |y ≠0} 均值函数 x b ax y + =(a >0,b >0) {x |x ≠0} (-∞,-2ab ]∪[2ab ,+∞) 常见函数的定义域与值域 ,0 ||0 1?? ?>-≠+x x x ,||1 ? ??>-≠x x x 例1求下列函数的定义域 （1）1 log 1 )(2-=x x f （2）)1(log 1 |2|)(2---=x x x f （3）y=x x x -+||)1(0 ; 解：（1）由题意可得???>->01log 0 2 x x 解得x ＞2． ∴所求定义域为（2，+∞） ?? ? ??≠->-≥--110 10 1|2|x x x 解得x ≥3 （2）由题意得 ∴所求定义域为（3，+∞） （3）由题意 化简 故函数的定义域为{x|x ＜0且x ≠-1}. 练习：求函数的定义域 （1） y=2 3 2 531 x x -+-; （2）)34lg(1 3)(22-+-+-=x x x x x f 3.抽象函数的定义域 求复合函数y ＝f(t)，t ＝q(x)的定义域的方法： ①若y ＝f(t)的定义域为(a ，b)，则解不等式得a ＜q(x)＜b 即可求出y ＝f(q(x))的定义域； ②若y ＝f(g(x))的定义域为(a ，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域． 例2. 设函数y=f(x)的定义域为［0，1］，求下列函数的定义域. （1）y=f(3x); (2)y=f(x 1);(3)y=f( )31 ()31-++x f x ; 解：（1）0≤3x ≤1,故0≤x ≤3 1 , y=f(3x)的定义域为［0, 3 1］ . （2）仿（1）解得定义域为［1，+∞ ). （3）由条件，y 的定义域是f )31(+x 与)3 1 (-x 定义域的交集 . 函数的定义域及值域 题型一 求函数的定义域 1. 已函数f(x)＝x x x -+0 )1(的定义域 2.函数 )3(log 1 3x y -= 的定义域为 3.函数x x y cos lg 252+-=的定义域为 __ 2.抽象函数定义域 1. 函数f(x 2)的定义域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域 2.设函数 的定义域是[0,1],求的定义域. 3.已知f(x 2)的定义域为[1,2]，则y=f()(log 2 1x 的定义域为_______. 3.定义域逆用 1. 已知函数y = 的定义域为R.求实数m 的取值范围； 2. 设f (x )=lg(x 2 －2x +a )的定义域为R ，求a 的取值范围； 3.设函数y = 的定义域为R ，求实数a 的取值范围. 题型二 求函数的值域 1.求下列函数的值域: (1)y ＝ 2x －1 x ∈[1，3] (2) y ＝ －3x +1 x ∈[－1，2] (3)函数f(x)= ax + b x ∈[－1，1] 最大值为2,最小值为－4,求a,b 的值 2. 求下列函数的值域: ⑴y ＝x 2－5x ＋6 x ∈[－2，1] ⑵y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[1，3] ⑶y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[2，4] (4)y ＝x 2－5x ＋6，x ∈[3，5] (5) f(x)= x 2－2ax －2 x ∈[－2，4] 3. x>0 4.函数y =x +x 21-的值域 5.若 求函数的取值范围. 6. 对于任意实数,设函数 是与中较小者,求的最大值 7.已知函数 的值域是,求的值. 第五讲 函数的定义域与值域 一、知识归纳： （一）函数的定义域与值域的定义： 函数y=f(x)中自变量x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 的值叫做函数值。函数值的集合{f(x)│x ∈A}叫做函数的值域。 （二）求函数的定义域一般有3类问题： 1、已知解析式求使解析式有意义的x 的集合常用依据如下： ①分式的分母不等于0； ②偶次根式被开方式大于等于0； ③对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； ④指数为0时，底数不等于0 [ 2、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类： ①已知f[g(x)]的定义域为x ∈（a,b ）求f(x)的定义域，方法是：利用a 求复合的定义域、值域、解析式（集锦） 一、 基本类型： 1、 求下列函数的定义域。 （1）12)(-+=x x x f （2）x x x x f -+=0 )1()( （3） 1 11--= x y （4）()28 x f x = - 二、复合函数的定义域 1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域 2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2) ()1 f x g x x =-的定义域 2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域 3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法 （1）求二次函数232y x x =-+的值域 （2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法： （1） 求函数 y x =+ 分分式法 求2 1 +-= x x y 的值域。 解：（反解x 法） 四、判别式法 （1）求函数22221 x x y x x -+=++；的值域 2）已知函数21 ax b y x += +的值域为[－1，4]，求常数b a ,的值。 五：有界性法： （1）求函数1e 1e y x x +-=的值域 六、数形结合法---扩展到n 个相加 （1）|1||4|y x x =-++（中间为减号的情况？） 求解析式 换元法 已知 23,f x =- 求 f (x ). 解方程组法 设函数f （x ）满足f （x ）+2 f （x 1 ）= x （x ≠0），求f （x ）函数解析式. 一变：若()f x 是定义在R 上的函数，(0)1f =，并且对于任意实数 ,x y ，总有2()()(21),f x f x y x y y +=+++求()f x 。 令x=0，y=2x 待定系数法 设 f (2x )+f (3x +1)=13x 2+6x -1, 求 f (x ). 函数定义域值域及表示 (1)函数的概念 设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有 意义的实数的集合； 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意： 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以， 如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无 关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) （2）区间的概念及表示法 设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足 a x b <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的 集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <． （3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则： ①()f x 是整式时，定义域是全体实数． ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数． ③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合． ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． <一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- （4） f(x)= 2 32--x x ； （5） ； （6）f(x)=1+x －x x -2； （7 ）0y = （8 ）223 y x x =+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、f(x)的定义域为[0,1]，求f(x ＋1)的定义域。 5、已知f(x-1)的定义域为[-1,0]，求f(x+1)的定义域。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶31 1x y x -= + ⑷311 x y x -=+ (5)x ≥ （5 ）y x =（6）求函数y ＝－x 2 ＋4x －1 ，x ∈[-1,3) 的值域 三、求函数的解析式 1、已知函数 2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且 2(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、已知f(2x+1)=3x-2，求函数f(x)的解析式。（配凑法或换元法） 5、已知函数f(x)满足1 ()2()f x f x x -=，求函数f(x)的解析式。（消去法） 6、已知()1f x x =+，求函数f(x)的解析式。 7、已知 2 2 11()11x x f x x --=++，求函数f(x)的解析式。 8、已知2 211()f x x x x +=+，求函数f(x)的解析式。 9、已知()2()1f x f x x +-=-，求函数f(x)的解析式。 10、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ 11、函数236x y x -= +的递减区间是 函数定义域，值域，解析式 教学目标：掌握不同函数定义域和值域的求解方法，并且能够熟练使用。 重点、难点：不同类型函数定义域，值域的求解方法。 考点及考试要求：函数的考纲要求 教学内容：常见函数的定义域，值域，解析式的求解方法： 记作D x x f y ∈=),(，x 叫做自变量，y 叫做因变量，x 的取值范围D 叫做定义域，和x 值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域. 定义域的解法： 1.求函数的定义域时，一般要转化为解不等式或不等式组的问题，但应注意逻辑连结词的运用； 2．求定义域时最常见的有：分母不为零，偶次根号下的被开方数大于等于零，零次幂底数不为零等。 3．定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示 值域的解法： 1． 分析法，即由定义域和对应法则直接分析出值域 2． 配方法，对于二次三项式函数 3． 判别式法，分式的分子与分母中有一个一元二次式，可采用判别式法，但因考虑二次项 系数是否为零只有二次项系数不为零时，才能运用判别式 4． 换元法，适合形如y ax b =+此外还可以用反函数法等求函数的值域，数形结合法，有界性法等求函数的值域 函数解析式的求法： 1． 换元法 2． 解方程组法 3． 待定系数法 4．特殊值法 求函数的定义域 一、 基本类型： 1、 求下列函数的定义域。 （1）12)(-+=x x x f （2）x x x x f -+=0)1()( （3） 111--= x y （4）()f x = 二、复合函数的定义域 1、 若函数y ＝f (x )的定义域是[－2, 4], 求函数g (x )＝f (x )＋f (1－x )的定义域 2（江西卷3）若函数()y f x =的定义域是[0,2]，求函数(2)()1 f x g x x = -的定义域 2、 函数y ＝f (2x ＋1)的定义域是(1, 3]，求函数y ＝f (x )的定义域 3、 函数f (2x －1)的定义域是[0, 1)，求函数f (1－3x )的定义域是 求函数的值域 一、二次函数法 （1）求二次函数2 32y x x =-+的值域 （2）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域. 二、换元法： （1） 求函数y x =+ 三． 部分分式法 求2 1+-=x x y 的值域。 解：（反解x 法）求函数的定义域和值域的方法
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