习题六 1. 求映射1 w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2222 11i=+i i x y w u v z x y x y x y ===-+++ 221 x x u x y ax a = ==+, 所以1w z =将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 22221i x y w z x y x y = =-++ 22 2222 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1 w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
一、将下列复数用代数式、三角式、指数式表示出来。 (1) i 解：2 cos sin 2 2 i i e i ππ π ==+ (2) -1 解：1cos sin i e i πππ-==+ (3) 1+ 解：()/3122cos /3sin /3i e i πππ+==+ (4) 1cos sin i αα-+ 解： 2221cos sin 2sin 2sin cos 2sin (sin cos )2 2 2 2 22 2sin cos()sin()2sin 222222 i i i i i e παα α α α α α αααπαπαα?? - ??? -+=+=+? ?=-+-= ??? (5) 3z 解：()3333cos3sin3i z r e r i θθθ==+ (6) 1i e + 解：()1cos1sin1i i e ee e i +==+ (7) 11i i -+ 解：3/411cos3/4sin 3/411i i i i e i i i πππ--==-==+++ 二、计算下列数值 (1) 解：
1 ar 2 1 ar 2 1 ar 2 b i ctg k a b i ctg a b i ctg a π ?? + ? ?? == ? ? =? ? ? (2) 解： 6 22 6363 4 63 22 2 i k i i i i e i e e e i π ππππ ππ ???? ++ ? ? ???? ?? + ? ?? ? =+ ? ? ? ? ====+ ? ? ?=- ? (3) i i 解： ()22 22 i i k k i i e e ππ ππ ???? +-+ ? ? ???? == (4) 解： ()1/22 22 i i k k e e ππ ππ ???? ++ ? ? ???? == (5) cos5α 解：由于：()() 55 2cos5 i i e e ααα - +=， 而： ()()()() ()()()() 5 555 5 5 555 5 cos sin cos sin cos sin cos sin n n i n n n n i n n e i C i e i C i α α αααα αααα - = - - = =+= =-=- ∑ ∑ 所以： ()()()() ()()() ()()()() 5 55 5 5 55 5 4325 3 5 4325 1 cos5cos sin cos sin 2 1 cos sin11 2 5cos sin cos sin cos 5cos sin10cos sin cos n n n n n n n n n n n C i i C i i C i ααααα αα ααααα ααααα -- = -- = ??=+- ?? ?? =+- ?? =++ =-+ ∑ ∑ (6) sin5α 解：由于：()() 55 2sin5 i i e e ααα - -=， 所以：
习题六 1. 求映射1w z = 下，下列曲线的像. (1) 22x y ax += (0a ≠，为实数) 解：2 2 2 2 11i=+i i x y w u v z x y x y x y == = - +++ 2 2 1x x u x y ax a = == +, 所以1w z = 将22x y ax +=映成直线1u a =. (2) .y kx =(k 为实数) 解： 2 2 2 2 1i x y w z x y x y = =- ++ 2 22 2 2 2 x y kx u v x y x y x y = =- =- +++ v ku =- 故1w z = 将y kx =映成直线v ku =-. 2. 下列区域在指定的映射下映成什么？ （1）Im()0, (1i)z w z >=+； 解： (1i)(i )()i(+)w x y x y x y =+?+=-+ ,. 20.u x y v x y u v y =-=+-=-< 所以Im()Re()w w >. 故(1i)w z =+?将Im()0,z >映成Im()Re()w w >. (2) Re(z )>0. 0
工程数学积分变换答案 【篇一：复变函数与积分变换是一门内容丰富】 建立和发展与解决实际问题的需要联系密切，其理论与方法被广泛 应用在自然科学的许多领域，是机械、电子工程、控制工程，理论 物理与流体力学，弹性力学等专业理论研究和实际应用中不可缺少 的数学工具。 课程包含2部分内容：向量分析与场论，复变函数论与积分变换。 本课程的目的，是使学生掌握向量分析与场论，复变函数论，积分 变换的基本理论、基本概念与基本方法，使学生在运用向量分析与 场论，复变函数论，积分变换的思想和方法解决实际问题的能力方 面得到系统的培养和训练,为在后 继专业课程和以后的实际工作打下良好的数学基础 向量分析与场论部分 第一章向量与向量值函数分析学时：4 几何向量，几何向量的加法、数乘、数量积、向量积，向量的混合 积与三重向量积，向量值函数的定义，向量值函数的加法、数乘、 复合、数量积运算，向量值函数的极限、连续，向量值函数的导数，向量值函数的体积分、曲线积分、曲面积分，高斯公式，斯托克斯 公式。 第二章数量场学时：2 数量场的等值面，数量场的方向导数、梯度的概念，哈米尔顿算子 的用法。 第三章数量场学时：6 向量场的向量线，向量场的通量，向量场的散度，向量场的环量， 向量场的环量面密度、向量场的旋度，向量场场函数的导数与向量 场的散度、旋度及数量场的梯度之间的关系。 第四章三种特殊形式的向量场学时：4 保守场，保守场的旋度，保守场的势函数，管形场，管形场的向量势，调和场，调和函数。 复变函数与积分变换部分 第一章：复数与平面点集学时：2 复数的直角坐标表示法，三角表示法，指数表示法。复数的模和辐角，复数的四则运算。平面区域，邻域，聚点，闭集，孤立点，边 界点，边界，连通集，区域，单连通区域，多连通区域。
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
复变函数与积分变换试题（一） 一、填空(3分×10) 1．)31ln(i --的模 ?? ,幅角 ?? 。 2．-8ｉ的三个单根分别为: , ， 。 3．Ln ｚ在 的区域内连续。 4．z z f =)(的解极域为：? ?? ? 。 5．xyi y x z f 2)(22+-=的导数=')(z f ? ??。 ６．=?? ? ???0,sin Re 3z z s ?? ?。 ７.指数函数的映照特点是：??? ? ?? ??。 8.幂函数的映照特点是: ? ?? ? ?。 9.若)(ωF =F [f (ｔ)]，则)(t f = F )][(1ω-f ?? ??。 10．若f （t )满足拉氏积分存在条件，则L ［f (t )]= ? ? 。 二、(10分) 已知222 1 21),(y x y x v +-=,求函数),(y x u 使函数),(),()(y x iv y x u z f +=为解 析函数,且ｆ(０)=0。 三、(1０分)应用留数的相关定理计算 ?=--2||6)3)(1(z z z z dz 四、计算积分（5分×２) 1．?=-2 ||) 1(z z z dz
2．? -c i z z 3 )(cos C :绕点i 一周正向任意简单闭曲线。 五、（10分）求函数) (1 )(i z z z f -= 在以下各圆环内的罗朗展式。 1．1||0<-复变函数与积分变换答案马柏林、李丹横、晏华辉修订版,习题2
习题二 1. 求映射1w z z =+下圆周||2z =的像. 解：设i ,i z x y w u v =+=+则 2222221i i i i i()i x y x y u v x y x y x y x y x y x y x y -+=++=++=++-++++ 因为224x y +=,所以53i 44 u iv x y +=+ 所以 54u x = ,34 v y =+ 5344 ,u v x y == 所以()()2 253442u v +=即()()222253221u v +=，表示椭圆. 2. 在映射2w z =下，下列z 平面上的图形映射为w 平面上的什么图形，设e i w ?ρ=或i w u v =+. （1）π02,4r θ<<= ； （2）π02,04 r θ<<<<; (3) x=a, y=b .(a, b 为实数) 解：设222i ()2i w u v x iy x y xy =+=+=-+ 所以22,2.u x y v xy =-= (1) 记e i w ?ρ=，则π02,4 r θ<<=映射成w 平面内虚轴上从O 到4i 的一段，即 π04,.2 ρ?<<= (2) 记e i w ?ρ=，则π0,024r θ<<<<映成了w 平面上扇形域，即π04,0.2 ρ?<<<<
(3) 记w u iv =+，则将直线x =a 映成了22,2.u a y v ay =-=即2224().v a a u =-是以原点为焦点，张口向左的抛物线将y =b 映成了22,2.u x b v xb =-= 即2224()v b b u =+是以原点为焦点，张口向右抛物线如图所示 . 3. 求下列极限. (1) 2 1lim 1z z →∞+; 解：令1z t =,则,0z t →∞→. 于是2 22 01lim lim 011z t t z t →∞→==++. (2) 0Re()lim z z z →; 解：设z =x +y i ，则Re()i z x z x y =+有 000 Re()1lim lim i 1i z x y kx z x z x kx k →→=→==++ 显然当取不同的值时f (z )的极限不同 所以极限不存在. （3） 2lim (1) z i z i z z →-+； 解：2lim (1)z i z i z z →-+=11lim lim ()()() 2z i z i z i z i z z i z i z →→-==-+-+.
1-1 1． 试证：若 ()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 其中()()()()d d ππ11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞ ==?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞-∞??= ? ????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞??=-???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞ -∞??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞-∞= +?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1）()22 21,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 21()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞ +∞?====-?-∞ ???F
习题 七 1.证明：如果f (t )满足傅里叶变换的条件，当f (t )为奇函数时，则有 ?+∞ ?=0d sin )()(ωωωt b t f 其中()?+∞ ?=0 tdt sin π2)(ωωt f b 当f (t )为偶函数时，则有?+∞ ?=0 cos )()(ωωtd w a t f 其中?+∞ ?=02 tdt c f(t))(ωωπ os a 证明： 因为ωωωd G t f t i ?+∞ ∞ -=e )(π21)(其中)(ωG 为f (t )的傅里叶变换 ()()()(cos sin )i t G f t e dt f t t i t dt ωωωω+∞+∞ --∞ -∞ ==?-?? ()cos ()sin f t tdt i f t tdt ωω+∞+∞-∞ -∞ =?-?? ? 当f (t )为奇函数时，t cos f(t)ω?为奇函数，从而 ? +∞ ∞-=?0tdt cos f(t)ω t sin f(t)ω?为偶函数，从而??+∞ ∞ -+∞ ?=?0 .sin f(t)2tdt sin f(t)tdt ωω 故.sin f(t)2)(0 tdt i G ωω?-=? +∞ 有)()(ωωG G -=-为奇数。 ωωωωπωωπωd t i t G d e G t f t i )sin (cos )(21)(21)(+?=?=??+∞∞ -+∞∞- =01()sin d ()sin d 2ππ i G i t G t ωωωωωω+∞+∞-∞?=??? 所以，当f(t)为奇函数时，有 2()b()sin d .b()=()sin dt.πf t t f t t ωωωωω+∞ +∞ =??? ?其中 同理，当f(t)为偶函数时，有 ()()cos d f t a t ωωω+∞ =??.其中 02()()cos π a f t tdt ωω+∞ = ??
浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月
目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)
1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得
.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2
1-1 1．试证：若 f t 满足Fourier积分定理中的条件，则有 f t a cos td b sin td 00 1 f cos d , b 1 sin d . 其中 a f ππ 分析：由 Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明 . 证明：利用 Fourier积分的复数形式，有 f t1f e j t e j t d 2π 11f cos j sin d e j t d 2π 1 j b cos t j sin t d a 2 由于 aa, b b, 所以 f 1 a cos td 1 b sin td t 2 2 a cos td b sin t d 00 2．求下列函数的 Fourier积分： 1）f 1t 2 ,t 21 2)f 0,t0 t t 2 ;t; 0,1 e t sin 2t, t0 0,t1 3)f 1,1t0 t 0t1 1, 0,1t 分析：由 Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解 . 解： 1）函数f 1t 2 , t 21 t t 2 为连续的偶函数，其 Fourier 变换为0,1 F () F [ f (t )] f (t)e j t d t2 f (t )cos tdt 21 t 2 )cos tdt (1
— sin t2t cos t2sin t t 2 sin t 1 cos ) 4(sin (偶函 2233 数) f(t)的 Fourier积分为 f (t )1 F ()e j t d1 F ()cos td 2ππ 0 4(sin cos) td π 03cos 2) 所给函数为连续函数，其Fourier变换为 F ω F f (t ) f (t )e j t dt e t sin 2te j t dt 0e t e2tj e 2tj e j t dt1 [e( 1 2j j ) t e (1 2j j )t ]d t 2j2j 1e( 1 2j j )t e (1 2j j )t 2j 1 2j j 1 2j j0 j11 2 5 2 1 (2)j 1 (2)j25 62 2 j 24（实部为偶函数，虚 数为奇函数） f (t)的 Fourier变换为 f t1 F ()e j t d 2π 1252 2j cos t jsin t d 2π25624 152 cos t2sin t152 sin t 2 cos t π25624d π25 624 d 252 cos t2sin t π 025624d 这里用到奇偶函数的积分性质 . 3）所给函数有间断点 -1 ，0，1且 f(- t)= - f(t)是奇函数，其 Fourier变换为 F F f ( t ) f ( t)e j t dt2j f (t )sin tdt
1-1 1． 试证：若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞=+? ? 其中()()()()d d π π 1 1 cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞-∞ -∞ = = ?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试 用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞--∞ -∞??= ????? ? ()()j j d e d π1 1cos sin 2 t f ωτωτ ωττω +∞+∞-∞ -∞ ??= -??? ? ?? ()()()j j d 1 cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞-∞ ??= -+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 1 1 cos sin 2 2 f t a t b t ωωωωωω+∞+∞-∞ -∞ = + ?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞= + ? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1） ()22 2 1,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -???为连续的偶函数，其Fourier 变换为 j 2 1()[()]()e d 2()cos d 2(1)cos d 00t F f t f t t f t t t t t t ωωωω-+∞+∞?====-?-∞ ???F
1-1 1． 试证：若()f t 满足Fourier 积分定理中的条件，则有 ()()()d d 0 cos sin f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 其中()()()()d d ππ 11cos ,sin .a f b f ωτωττωτωττ+∞+∞ -∞-∞==?? 分析：由Fourier 积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明. 证明：利用Fourier 积分的复数形式，有 ()()j j e e d π12t t f t f ωωτω+∞+∞ --∞-∞??=? ????? ()()j j d e d π11cos sin 2t f ωτωτωττω+∞+∞-∞-∞?? =-???? ?? ()()()j j d 1cos sin 2 a b t t ωωωωω+∞-∞??=-+??? 由于()()()(),,a a b b ωωωω=-=--所以 ()()()d d 11cos sin 22f t a t b t ωωωωωω+∞+∞ -∞-∞ =+?? ()()d d 0 cos sin a t b t ωωωωωω+∞+∞ =+? ? 2．求下列函数的Fourier 积分： 1）()222 1,10,1t t f t t ?-≤?=?>??; 2) ()0, 0;e sin 2,0 t t f t t t -?
第四章 积分变换法 积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法. 不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用. 本章介绍Fourier 变换在求解偏微分方程定解问题中的应用. 主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的Laplace 方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求. §4?1 热传导方程Cauchy 问题 4.1.1 一维热传导方程Cauchy 问题 考虑如下问题 2(,), , 0 (1. 1) (,0)(), (1. 2) t xx u a u f x t x t u x x x ??-=-∞<<∞>? =-∞<<∞? 下面利用Fourier 变换求解该定解问题. 设0>β为常数，函数2 x e β-的Fourier 变换为 ( ) 22 4()x F e e ωββ πωβ - -= (1.3) 为书写方便起见，引入记号?()(())(),f F f x ωω=, 如果f 为二元函数),(t x f ， ),))(,((),(?t t x f F t f ωω=表示对),(t x f 中的空间变量x 作Fourier 变换的像函数，此时t 作为参数对待. 对（1.1）—（1.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得 22?(,)??(,)(,), 0??(,0)() .du t a u t f t t dt u ωωωωω?ω?+=>? ??=? 上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得 22 22()0 ???(,)()(,)t a t a t u t e f e d ωωτω?ωωττ---=+? (1.4) 利用（1.3）得 ),)( 21( 222 2 4t e t a F e t a x t a ωπω- -= ) ,)() (21( ) (4) (22 2 2τωτπττω --=-- --t e t a F e t a x t a 记 2241Γ(,)() 2x a t x t e u t a πt - = （1.5） 其中)(t u 为单位阶跃函数. 则有
复变函数与积分变换期末 试题附有答案 Last revision on 21 December 2020
复变函数与积分变换期末试题 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 231i - 2.)1(i Ln +-的主值是（ ）；3. 211)(z z f +=， =)0() 5(f （ 0 ），4．0=z 是 4sin z z z -的（ 一级 ）极点；5． z z f 1 )(=，=∞]),([Re z f s （-1 ）； 二．选择题（每题3分，共15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2 ) 1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；
（D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、 ),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分） （1）．设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件 ,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c 给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。 （2）．计算?-C z z z z e d )1(2 其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数z z e z f z 2 )1()(-=在复平面内只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c 内 ???-+-=-21 d )1(d )1(d )1(222C z C z C z z z z e z z z e z z z e 无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。 （3）．?=++33 42215 d )2()1(z z z z z
得分 得分 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ） 一．填空题（每小题3分，共计15分） 1． 2 3 1i -的幅角是（ ）；2.)1(i Ln +-的主值是 （ ）；3. 2 11 )(z z f += ， =)0()5(f （ ）； 4．0=z 是 4sin z z z -的（ ）极点；5． z z f 1 )(=， =∞]),([Re z f s （ ） ； 二．选择题（每小题3分，共计15分） 1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）； （A ） y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ） y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(. 2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ． （A ） 23-z ； （B ）2)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2 )2(3-z . 3．如果级数∑∞ =1 n n n z c 在 2=z 点收敛，则级数在 （A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散． ４．下列结论正确的是( ) （A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；
(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=? C dz z f （C ）如果 0)(=? C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析； （D ）函数 ),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是 ),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数． 5．下列结论不正确的是（ ）． (A) 的可去奇点；为z 1 sin ∞(B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1 的孤立奇点为 z ∞(D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分） （1）设)()(2 2 2 2 y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算? -C z z z z e d ) 1(2 其中C 是正向圆周：2=z ； 得分
《积分变换》试题2答案 一．1（2）；2（2）；3（1）；4（3）；5（4）。 二．1．);0(f '-2。1；3。F [])(t jtf -；4。 )0)(Re(,) (22 2 2 >+s k s ks ；5。 ω j 2。 三．解：L []? ∞+-+= ?? += 2 2 2 2 ) 4(42sin ) 4(42sin s s dt e t t s s t t st 令s=3,有169 122sin 0 3= ?? ∞+-dt e t t t 四．解：两边取Laplace 变换，有+)(s Y L []s s t y e t 32)(2 - = * 3 2 3 2 253) 1)(32()(32)(1 1)(s s s s s s s Y s s s Y s s Y - +-=--= ?- = ?-+ 所以：253)(t t t y -+-= 五．解：=-?-= '--= ')() 1(2)1( 11)(2 2 2 22 t tf s s s s s s s F L ?? ????--s s )1(2 21 而L t t s st s st s st e e s s e s s e s e s s ++-=++ -+ -=??????--=-==-2)1(2)1(21 2)1(21 1 22 1 所以：)cosh 1(2)2(1 )(t t e e t t f t t -= ++--=- 六．解：L []) 1(111111)(2 bs b st sb b st sb e s b s bs tde s e dt te e t f ------- += -? -= -= ? ? 七．证明：F [])()()()(2121ωωωF F j t f t f dt d ?=? ?? ?? ?* F ?=??????*)()()(121ωF t f dt d t f F )()()()()(21212ωωωωωωF F j F j F t f dt d ?=?=??? ? ?? 所以原式成立
复变函数与积分变换 （修订版） 主编：马柏林 （复旦大学出版社）——课后习题答案
习题一 1. 用复数的代数形式a +ib 表示下列复数 π/43513 ; ;(2)(43);711i i e i i i i i -++++ ++. ①解i 4 πππe cos isin 44-??????=-+- ? ? ? ??? ?? ?? ②解： ()()()() 35i 17i 35i 1613i 7i 1 1+7i 17i 2525 +-+==-++- ③解： ()()2i 43i 834i 6i 510i ++=-++=+ ④解： ()31i 13 35=i i i 1i 222 -+-+=-+ 2.求下列各复数的实部和虚部(z =x +iy ) (z a a z a -∈+ ); 33 3;;;.n z i ① ：∵设z =x +iy 则 ()()()()()()()22 i i i i i i x a y x a y x y a x a y z a z a x y a x a y x a y -++-????+--+-????===+++++++ ∴ ()222 2 2 Re z a x a y z a x a y ---??= ?+??++, ()22 2Im z a xy z a x a y -?? = ?+??++． ②解： 设z =x +iy ∵ ()()()()() ()()()3 2 322222222 3223i i i 2i i 22i 33i z x y x y x y x y xy x y x x y xy y x y x y x xy x y y =+=++=-++??=--+-+??=-+- ∴ ()332 Re 3z x xy =-, ()323Im 3z x y y =-． ③解： ∵ (( )( ){ }3 3 2 3 2 111313188-+? ???== --?-?+?-????? ? ?? ?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=?? , Im 0=?? ． ④解： ∵ () ( )(( )2 3 3 2 3 13131i 8 ??--?-?+?-???? =?? ()1 80i 18 = += ∴Re 1=? ? , Im 0=? ? ． ⑤解： ∵()()1,2i 211i, k n k n k k n k ?-=? =∈?=+-???． ∴当2n k =时，()()Re i 1k n =-，()Im i 0n =； 当 21n k =+时， ()Re i 0 n =， ()()Im i 1k n =-． 3.求下列复数的模和共轭复数 12;3;(2)(32); .2 i i i i +-+-++ ①解：2i -+== 2i 2i -+=-- ②解：33-= 33-=- ③解：()( )2i 32i 2i 32i ++=++= ()()()()()()2i 32i 2i 32i 2i 32i 47i ++=+?+=-?-=- ④解： 1i 1i 22++== ()1i 11i 222i ++-??== ??? 4、证明：当且仅当z z =时，z 才是实数． 证明：若z z =，设i z x y =+， 则有 i i x y x y +=-，从而有()2i 0y =，即y =0