第四章 积分变换法
积分变换法是求解偏微分方程的一种基本方法. 不仅如此，在自然科学和工程技术的许多领域也有着广泛应用. 本章介绍Fourier 变换在求解偏微分方程定解问题中的应用. 主要以一维热传导方程，一维波动方程及平面上的Laplace 方程为主. 对于高维情形，由于计算过程要复杂一些，故只做简单介绍，也不做过多要求.
§4?1 热传导方程Cauchy 问题
4.1.1 一维热传导方程Cauchy 问题 考虑如下问题
2(,), , 0 (1. 1)
(,0)(), (1. 2)
t xx u a u f x t x t u x x x ??-=-∞<<∞>?
=-∞<<∞? 下面利用Fourier 变换求解该定解问题.
设0>β为常数，函数2
x e β-的Fourier 变换为
(
)
22
4()x F e e ωββ
ω-
-=
(1.3)
为书写方便起见，引入记号?()(())(),f F f x ωω=,
如果f 为二元函数),(t x f ， ),))(,((),(?t t x f F t f
ωω=表示对),(t x f 中的空间变量x 作Fourier 变换的像函数，此时t 作为参数对待.
对（1.1）—（1.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得
22?(,)??(,)(,), 0??(,0)() .du t a u t f t t dt
u
ωωωωω?ω?+=>?
??=? 上面是一阶线性常微分方程的初值问题，解之可得
22
22()0
???(,)()(,)t a t a t u
t e f e d ωωτω?ωωττ---=+? (1.4) 利用（1.3）得
)
,)( 21(222
24t e
t
a F e t
a x t a ωπω-
-=
)
,)()
(21(
)
(4)
(222
2τωτπττω
--=--
--t e t a F e t a x t a
记
224Γ(,)()
x a t
x t u t -
=
（1.5）
其中)(t u 为单位阶跃函数. 则有
2
2
?((,))()(,)a t e F x t t ωωω-=Γ=Γ
22
()
?((,))()(,)a t e F x t t ω
ττωωτ--=Γ-=Γ-
利用上面结果将（1.4）改写为
?????(,)()(,)(,)(,)t
u t t f t d ω?ωωωτωττ=Γ+Γ
-? (1.6) 对（1.6）两边取Fourier 逆变换，并利用Fourier 变换卷积公式 ))(()))((?)(?(2
1
2
1
1x f f x f f
F *=-ωω 便得
0(,)()Γ(,(,)*Γ(,)t
u x t x x t)f x x t d ?τττ=*+-?
()(,)(,)(,)t x t d d f x t d ?ξξξτξτξτξ∞∞-∞
-∞
=Γ-+Γ--???
2
222()()4()4()(,)x x t
a t a t
e
d f
e d ξξτ?ξξξτξ----
∞∞--∞
-∞
=
+?
(1.7) （1.7）即为定解问题（1.1）—（1.2）的解.
在),(t x u 的表达式（1.7）中，函数(;)x t Γ起着一个基本作用. 如果令0≡f ，
)()(x x δ?=，则有(,)()(,)(;).u x t x x t x t δ=*Γ=Γ因此，(;)x t Γ是如下问题的解
20, , 0 (1. 8)(,0)(), . (1. 9)
t xx u a u x t u x x x δ?-=-∞<<∞>?
=-∞<<∞?而(,)x t ξΓ-和(,)x t ξτΓ--分别是下面两问题的解
20, , 0 (1. 10)(,0)(), . (1. 11)
t xx u a u x t u x x x δξ?-=-∞<<∞>?
=--∞<<∞? 2()(),, 0 (1. 12)
(,0)0, . (1. 13)
t xx u a u x t x t u x x δξδτ?-=---∞<<∞>?
=-∞<<∞? 由于知道了(;)x t Γ,就可直接写出（1.1）—（1.2）的解（1.7）式. 类似于求解线性方程组0=Ax ，其中A 为n m ?矩阵. 如果知道该齐次方程组的一个基解组，则方程的任一解可由基解组的线性组合表出. 因此，),(t x Γ的作用就相当于向量空间中的基，故称),(t x Γ为定解问题（1.1）—（1.2）的基本解(fundamental solution).基本解是线性微分方程的一个很重要的概念，不仅可以表示Cauchy 问题的解，也可用来构造Green 函数表示边值问题的解.
基本解有明确的物理解释. 若在初始时刻0t =时在0x =处置放一单位点热
源，则此单位点热源在x 轴上产生的温度分布便是(,)x t Γ. 类似地，若在初始时刻0t =时在x ξ=处置放一单位点热源，则此点热源在x 轴上产生的温度分布为
(,)x t ξΓ-. 而将初始时刻0t =变为t τ=时，其温度分布就是(,)x t ξτΓ--.
注1 在（1.1）—（1.2）解的表达式（1.7）中，如果将其中的第一项和第二项分别记为1(,)u x t 和2(,)u x t ，则1(,)u x t 是相应于(,)0f x t =时齐次方程的解，而2(,)u x t 是相应于0)(=x ?时非齐次方程的解.
若记1(,)()*Γ(,)(,)u x t x x t M x t ??==，则由齐次化原理可知
20
(,)(,)t
f u x t M x t d τττ=-?.
另外，和1(,)u x t 表达式中的卷积形式类似，2(,)u x t 也可表示成某种卷积形式，请同学们试给出这一表示形式. 例1.1 求解如下定解问题
20, , 0 (1.14)
(,0)(), . (1.15)
t xx x u a u bu cu x t u x x x ??---=-∞<<∞>?
=-∞<<∞? 其中,,a b c 均为常数.
解 对（1.14）-（1.15）关于x 作Fourier 变换得
22?(,)???(,)(,)(,), 0??(,0)()du
t a u t bi u t cu t t dt
u ωωωωωωω?
ω?=-++>?
??=?
解之可得
22
() ??(,)().a bi c t
u
t e ωωω?ω---= (1.16)
为了求函数22()a bi c t
e
ωω---的Fourier 逆变换，利用配方法将其改写为
2222
2
2
2
2
4()()42.b a c bi t a t a bi c t
a
a
e
e
e
ωωω--
--
---=
由于
222
24)(),x a t a t
F e
ωω-
-=
利用Fourier 变换的位移性质得
000?(())()()()() ,i x F f x e F f f ωωωωωω=-=- 取02
2bi
a
ω=
得
2
22
222
()
422
)().
x bi bi
i x a t
a t a a
F e eω
ω
---
=
故有
22
22
22
4
()
42
((,))()
b a
c bi
t a t
a a
F g x t e eω
ω
-
---
=
22
(),
a bi c t
eωω
---
=
其中
222
222
4
442
(,)
b a
c x bx
t
a a t a
g x t e e
-
---
=
2
2
()
4.
x bt
ct
a t
+
-
=
记
2
2
()
4
1
Γ(,)()
x bt
c t
a t
x t u t
+
-
=
其中)
(t
u为单位阶跃函数.
1
(;)
x t
Γ即为定解问题（1.14）—（1.15）的基本解.
将（1.16）改写为
1
?
?
?(,)()(,) ,
u t t
ω?ωω
=Γ.,
求Fourier逆变换得
1
(,)()Γ(,)
u x t x x t
?
=*
1
()(,)
x t d
?ξξξ
∞
-∞
=Γ-
?
2
2
()
4
() .
x bt
ct
a t
e d
ξ
?ξξ
-+
-
∞
-∞
=?
如果将（1.15）中的齐次方程改为非齐次方程，考虑如下定解问题
2(,),, 0
(,0)0, .
t xx x
u a u bu cu f x t x t
u x x
?=+++-∞<<∞>
?
=-∞<<∞
?
请同学们写出该定解问题的解.
例1.2求解如下定解问题
20,, 0
(,0)(), .
t xx
u a u x t
u x x x
?
?-=-∞<<∞>
?
=-∞<<∞
?
其中
,
()
0,.
A x x
x
x x
?
>
?
=?
<
?
解 由（1.7）可得该问题的解为
222
20
()()44(,)(),x x a t
a t
x u x t e
d e
d ξξ?ξξξ---
-
∞∞-∞
=
=
对积分作变量代换
α=
2
2
2
2
00
(,) ]
]
u x t d e
d d d αααααααα----∞
-=++??
引入下面函数
2
()x
x e d αα-Φ=
（1.17）
该函数称为误差函数. 利用误差函数可得
(,)22A A u x t =
+Φ. 4.1.2* 二维热传导方程Cauchy 问题
为加深对线性微分方程基本解的进一步理解,下面再求解二维热传导方程Cauchy 问题
22
2
()(,,), (,)R , 0 (1.18)
(,,0)(,), (,)R . (1.19)
t xx yy u a u u f x y t x y t u x y x y x y ??-+=∈>??=∈?? 为求解(1.19)—(1.20)，先求二维热传导方程的基本解,即如下定解问题的解
222()0, (,)R , 0 (1.20)(,,0)()(), (,)R . (1.21)
t xx yy u a u u x y t u x y x y x y δδ?-+=∈>??=∈??引入二元函数的Fourier 变换
12()12()(,)(,)i x y F f f x y e dxdy ωωωω∞∞-+-∞
-∞
=?
?
和一元函数Fourier 变换的性质相对应，二元函数的Fourier 变换也有类似性质.
对(1.20)-(1.21)关于空间变量作Fourier 变换得
22?(,)?(,)0, 0?(,0) 1.du
t a u t t dt
u
ωωωω?+=>?
??=?
其中2
221212(,) , ωωωωωω==+. 解之可得
2
22222
12?(,)a t
a t a t u
t e e e ωωωω---==.
故有
2
21222
2
2
11
222
2
22222()
1
1212
2
1
2
4441(,,)()(,)(2)
1
1
=
22.
a t i x y a t ix a t iy x
y a t a t
x y a t
u x y t F f e
e
d d e
e
d e e d ωωωωωωω
ωωωωπωωππ∞
∞-+--∞-∞
∞
∞
---∞
-∞-
-
+-==??
??
即(1.18)-(1.19)的基本解为
2224Γ(,,)().
x y a t
x y t u t +-
=
与（1.7）相对应，（1.20）—（1.21）的解为
(,,)(,)*Γ(,,)(,,)*Γ(,,)t
u x y t x y x y t f x y x y t d ?τττ=+-?
(,)(,,)x y t d d ?ξηξηξη∞∞-∞
-∞
=Γ--+?
?
(,,)(,,).t d f x y t d d τξητξητξη∞
∞-∞
-∞
Γ---?
?
?
作为练习，同学们试用Fourier 变换求解三维热传导方程Cauchy 问题. §4?2 波动方程Cauchy 问题
4．2．1 一维波动方程Cauchy 问题
考虑如下定解问题
2
(,), , 0 (2.1)
(,0)(), (,0)(), . (2.2)tt xx t u a u f x t x t u x x u x x x ?ψ?-=-∞<<∞>??
==-∞<<∞??
20, , 0 (2.3)
(,0)0, (,0)(), . (2.4)
tt xx t u a u x t u x u x x x ψ?-=-∞<<∞>??
==-∞<<∞?? 若记（2.3）—（2.4）的解为(,)(,)u x t M x t ψ=，则由叠加原理和齐次化原理可得（2.1）—（2.2）的解为
0(,)(,)(,)(,)t f u x t M x t M x t M x t d t
τ?ψττ?
=++-?? (2.5)
因此，只须求解定解问题（2.3）—（2.4）.
对（2.3）—（2.4）关于空间变量x 作Fourier 变换得
222
2
?(,)?(,)0, 0???(,0)0, (,0)().t d u t a u t t dt u u
ωωωωωψω?+=>???==? 解之可得
sin ??(,)() .a t
u
t a ωωψωω
= 记
1
, 2(;) 0, .x at
a
x t x at ?
查Fourier 变换表或直接计算可得
sin ?((;))()(,)a t F x t t a ωωωω
Γ=Γ
= 故有
???(,)()(,),u
t t ωψωω=Γ 对上式取Fourier 逆变换并利用卷积公式得
(,)()*Γ(,)u x t x x t ψ=
()(,)x t d ψξξξ∞
-∞
=Γ-?
1()2x at
x at d a
ψξξ+-=
? . 利用（2.5）便得（2.1）—（2.2）的解为
0(,)(,)(,)(,)t f u x t M x t M x t M x t d t τ?ψττ?
=++-??
11(())()22x at x at x at x at d d t a a
?ξξψξξ++--?=+??? ()0()1(,)2t
x a t x a t d f d a τττξτξ+---+??
[]11()()()22x at x at
x at x at d a ??ψξξ+-=++-+? ()0()1(,)2t
x a t x a t d f d a τττξτξ+---+?? (2.6)
当0f ≡时，（2.6）称为一维波方程Cauchy 问题的达朗贝尔（D’Alembert ）公式.
注1 在（2.4）中取()()x x ψδ=，则有(,)(;)u x t x t =Γ，即(;)x t Γ是如下定解问题
2
0, , 0
(,0)0, (,0)() .tt xx t u a u x t u x u x x x δ?-=-∞<<∞>??
==-∞<<∞??
的解，称其为一维波动方程的基本解. 利用基本解(;)x t Γ，就可写出（2.1）—
（2.2）的解（2.6）式. (;)x t Γ在（2.6）的表达式中也起到一个“基”的作用.
4.2.2* 二维和三维波动方程Cauchy 问题
下面，首先利用Fourier 变换求解三维波动方程Cauchy 问题,然后用降维法求出二维波动方程Cauchy 问题的解.
考虑三维波动方程Cauchy 问题
233
3(,,,),(,,),0, (2.7)(,,,0)(,,),(,,), (2.8)(,,,0)(,,),(,,). (2.9)tt t
u a u f x y z t x y z R t u x y z x y z x y z R u x y z x y z x y z R ?ψ?-?=∈>?=∈??=∈?为求解定解问题(2.7)—(2.9)，先求出三维波动方程的基本解，即如下问题的解,
233
30, (,,), 0 (2.10)(,,,0)0, (,,) (2.11)(,,,0)()()(), (,,). tt t u a u x y z R t u x y z x y z R u x y z x y z x y z R δδδ-?=∈>=∈=∈ (2.12)?????记2
222123123(,,) , ωωωωωωωω==++. 对定解问题(2.10)—(2.12)关于空间变量 作Fourier 变换得
222
2
?(,)?(,)0, 0??(,0)0, (,0) 1.t d u t a u t t dt u
u ωωωωω?+=>???
==?
解之可得
sin ||?(,).||
a t
u
t a ωωω=
故有
1233
1233
1 ()
1233
()123
3
?(,,,)()(,,,)1? =(,)(2)sin 1 =
(2)i x y z R i x y z R u x y z t F u x y z t u t e d d d a t e d d d a ωωωωωωωωωωπωωωωπω
-++++=??????
为计算上面积分,首先对上面积分作变量代换v A ωT T =,其中123(,,) , v v v v =
A 为三阶正交矩阵. 选A 使得将(,,)x y z 变为(0,0,)r
， r =. 根据正交变换的保内积性可得，该变换将123 , x y z ωωωω++分别变为3 , v rv .故有
3
3 1233sin 1
(,,,)(2)i rv R a v t u x y z t e dv dv dv a v π=
???，
再利用球坐标变换
123
cos sin sin sin cos v v v ρθ?ρθ?ρ?=??
=??=? 可得
22 cos 3000
cos 200 20
1
sin (,,,)=sin (2) =sin (2) =sin() ()(2)i r i r i r i r a t u x y z t d d e d a i a t e d ar i a t e e d ar ππ
ρ?
πρ?ρρρθρρ??πρρρπρρ
π∞∞
∞---?????
2
2sin() ()81
( )()16
i r i r i a t i a t i r ir i a t e e d ar e e e e d ar ρρ
ρρρρρρπρπ∞
--∞
∞
---∞
=-
-=-
--??
. 注意到
()(0)2()2()i i e d F e αραρωρπδωαπδα∞
=-∞
==-=?
，
22
1
(,,,)( )()161
2[()(())()()]161
[()()]41
().
4 i a t i a t i r ir u x y z t e e e e d ar r at r at r at at r ar r at r at ar r at ar ρρρρρππδδδδπδδπδπ
∞
---∞
=-
--=-
?++-+----=--+=-?
记
1
(,,,)()4x y z t r at ar
δπΓ=
- (,,,)x y z t Γ即为三维波动方程的基本解.因此，当0==?f 时，(2.7)—(2.9)的
解为
3
3
R R (,,,)(,,,) =(,,)(,,,)
=(,,)(,,,)()
=(,,). 4u x y z t M x y z t x y z x y z t x y z t d d d r at d d d ar
ψψψξηζξηζξηζδψξηζξηζπ=*ΓΓ----??????
其中r =对任一0t >， 记以点(,,)x y z 为心at 为半径的球面为(,,)r S x y z ，即3(,,){ (,,) }r S x y z R r at ξηζ=∈=. 将上面的积分化为累次积分并由δ函数的定义可得
(,,)
(,,)
2(,,)
2(,,,)(,,,)
(,,)
=()(
)4(,,)
=4(,,) =
41
=
(,,4r
r
at
S x y z r at
S x y z S x y z u x y z t M x y z t r at ds dr ar ds ar ds a t a t ψψξηζδπψξηζπψξηζπψξηζπ∞
==-???????(,,)
) . (2.13)
at S x y z ds ??最后，由叠加原理和齐次化原理便得(2.7)—(2.9)的解为
22(,,)(,,)111
(,,,)(,,)(,,)44at at S x y z S x y z u x y z t ds ds a t t a t ?ξηζψξηζππ???=+ ? ????????
2
1
1(,,,)4r f t d d d a r a ξηζξηζπΩ
+-??? (2.14) 其中 (,,){ (,,) }a t B x y z r at ξηζΩ==<.(2.14)称为三维波动方程Cauchy 问题的克希霍夫（Kirchhoff ）公式.
利用Fourier 变换求二维波动方程的基本解比较难. 利用三维空间中已有的结果（2.13），下面用降维法求二维波动方程Cauchy 问题.
考虑如下三维波动方程Cauchy 问题
23
30,(,,),0 (,,,0)0,(,,,0)(,),(,,) tt t u a u x y z R t u x y z u x y z x y x y z R ψ?-?=∈>??==∈??（2.15）（2.16）
对于定解问题（2.15）—（2.16），由于初始数据与z 无关，可推知解u 与z 也无关，故有zz u ＝0，即定解问题（2.15）－（2.16）其实是一个二维波动方程Cauchy 问题, 由(2.13)可得该问题的解为
2(,,)
2(,,)
1
(,,)(,)41
=
(,) (2.17)
2at at
S x y z S x y z u x y t ds a t ds a t ψξηπψξηπ+=????
其中22222(,,){(,,)|()()(),}at
S x y z x y z a t z ξηζξηζξ+
=-+-+-=≥. 对于上半球面(,,)at
S x y z +
直接计算得
ds d d ξηξη
==
将上式代入到（2.17）中便得
(,(,,)(,,)1
. (2.18)
2at B x y u x y t x y t d a ξζπ=Γ=
??
其中r =(,){(,)|}at B x y r at ξη=<.
和三维情形类似，由（2.18）可得二维波动方程Cauchy 问题
222
2(,,),(,),0 (2.19)
(,,,0)(,),(,), (2.20)(,,,0)(,),(,). (2.21)tt t
u a u f x y t x y R t u x y z x y x y R u x y z x y x y R ?ψ?-?=∈>?=∈??=∈? 的解为
(,(,11(,,)22at at B x y B x y u x y t d d a t a ξηξηππ?=++?????
()0
(,1
2a t t
B x y d d a ττ
ξηπ-???
（2.22） （2.22）称为二维波动方程Cauchy 问题的波以松（Poisson ）公式.
4.2.3 解的物理意义
对一维波动方程Cauchy 问题，如果无外力作用，则解由D ’Alembert 公式给出，即
[]11(,)()()() .22x at
x at u x t x at x at d a
??ψξξ+-=++-+? 将上式改写为
(,)()() ,u x t f x at g x at =++-
其中
011()()() ,22x at
f x at x at d a ?ψξξ++=++?
11()()() .22x at g x at x at d a
?ψξξ--=-+? 记1(,)()u x t f x at =+，2(,)()u x t g x at =-，则12(,)(,)(,).u x t u x t u x t =+.
首先考虑1(,)() .u x t f x at =+当0t =时1(,0)() .u x f x =在(,)x u 平面上画出函数()f x 的图形，则()f x at +的图形可通过()f x 的图形向左平移at 个单位长度而得. 随着t 的增加，()f x 的图形不断向左平移，移动速度为a ，故称1(,)u x t 为左传播波，a 为波速. 同样道理，2(,)()u x t g x at =-称为右传播波. D’Alembert 公式表明:弦线在t 时刻的振动是初始振动所产生的右传播波和左传播波的叠加.
其次，从D’Alembert 公式还可看出:u 在(,)x t 的值(,)u x t 只与x 轴上区间
[],x at x at -+上初始值有关，而与其它点的初始值无关. 这是由于波速为a ，在
区间[],x at x at -+外的初始扰动在时刻t 还未传播到点x ，故称区间[],x at x at -+为点(,)x t 的依赖区间. 在(,)x t 平面上，过(,)x t 点分别作斜率为1
a
±的直线，两条直线在x 轴上所截得的区间便是[],x at x at -+（图2.1()a ）.
给定x 轴上的区间[]12,x x ，过点1(,0)x 作直线1x x at =+，过点2(,0)x 作直线
2x x at =-，它们和x 轴构成了一个三角形区域（图2.1()b ）.由于该区域内任一
点的依赖区间都落在区间[]12,x x 内，因此，解在此三角形区域内的值完全由区间
[]12,x x 上的初始值决定，而与此区间外的初始值无关，故称此三角形区域为区间[]12,x x 的决定区域. 同理，过点1(,0)x 作直线1x x at =-，过点2(,0)x 作直线2x x at =+，它们和x 轴构成一个梯形区域（图2.1()c ），该区域称为区间[]12,x x 的影响区域，它表示区间[]12,x x 上初始扰动对弦线振动的作用范围.
x x x 12 12 (a ) (b ) (c )
图2.1
由上面分析可得,波以常速a 沿两族直线x at c ±=向左﹑右两个方向传播，这是波动现象的一个基本特征. 直线x at c ±= 称为一维波动方程的特征线，它们在一维波动问题的研究中起着重要作用.
当0f =时，对公式（2.14）和（2.22）进行分析，便可得到和上面类似的结论.对二维波动方程，一点(,,)x y t 的依赖区域是以(,)x y 为心，at 为半径的圆域；而对三维波动方程，一点(,,,)x y z t 的依赖区域是以(,,)x y z 为心，at 为半径的球面，而不是球形区域. 反映在波的传播过程中，平面波有前阵面而无后阵面，正像把一块石子扔在湖中，在湖面上激起层层浪花，这种现象称为波的弥漫现象；而空间波既有前阵面又有后阵面，正像人们听到声音，一会儿就消失了，这种现象称为空间波传播的无后效现象,此即Huygens 原理.
§4?3 积分变换法举例
在前二节中，利用Fourier 变换求出了热传导方程和波动方程Cauchy 问题的解. 下面再进一步举例，说明积分变换法在求解偏微分方程定解问题中的作用.
例3.1 求解如下定解问题
(,), , 0 (3.1)(,0)(), . (3.2)
t x u au f x t x t u x x x ?+=-∞<<∞>??
=-∞<<∞?
其中a 为实数.
解 对（3.1）—（3.2）关于空间变量x 作Fourier 变换得
?(,)??(,)(,), 0??(,0)().du t ai u t f t t dt
u
ωωωωω?ω?+=>?
??=? 解之可得
()0
???(,)()(,)t
ait ai t u
t e f e d ωτωω?ωωττ---=+? （3.3） 由于
(())()ait F x at e ωδω--= ()((()))()ai t F x a t e τωδτω----=
故（3.3）可表示为
?????(,)()()()(,)(())()t u t x at f x a t d ω?ωδωωτδτωτ=-+--?
对上式取Fourier 逆变换得
0(,)()()(,)(()t
u x t x x at f x x a t d ?δτδττ=*-+*--?
()()(,)(())t x at d d f x a t d ?ξδξξτξτδξτξ∞∞-∞
-∞
=--+---???
()((),).t x at f x a t d ?τττ=-+--? 例3.2 求半平面上调和方程边值问题的有界解
(,0)(), . (3.5)
xx yy u x f x x ?
=-∞<<∞? 解 对（3.4）—（3.5）关于变量x 作Fourier 变换得
222
?(,)
?()(,)0, 0??(,0)().
d u y i u y t dy u f ωωωωω?+=>???=? 解之可得
12?(,)y y u
y C e C e ωωω-=+ 由于u 有界，故20 .C =
结合初始条件可得
??(,)() y u t f e ωωω-= （3.6） 直接求y
e
ω-的Fourier 逆变换得
11()()2y y ix F e x e
e d ωωω
ωπ∞----∞
=?
1
cos()y e x d ωωωπ∞
-=?
2201sin()cos()y x x y x e x y ωωωπ∞
--=
+ 221
(,)y
g x y x y π==+
故（3.6）可表示为
???(,)() g(,)u
y f y ωωω= 对上式取Fourier 逆变换得
)))(,(*)((),(x y g f y x u ??=
() g(,)f x y d ξξξ∞-∞
=-?
22
1
()
.
()yf d x y ξξπξ∞
-∞=
-+? 例3.3* 设有一单位长度均匀杆，侧面绝热，两端温度为零度.若初始温度为sin 2x π，求杆内的温度分布.
解 设(,)u x t 为杆内温度分布，则u 满足如下定解问题
(0,)(1,)0, 0 (3.8)(,0)sin 2, 0 1. (t xx u t u t t u x x x π==≥=≤≤ 3.9)?
???
对（3.7）—（3.9）关于时间变量t 作Laplace 变换,并记(,)u x t 的像函数为(,)u x s 可得
2
22(,)(,)(,0)0(0,)(1,)0.d u x s su x s u x a dx u s u s ?--=??
?==?
即
22
22(,)1
(,)sin 2 (3.10) (0,)(1,)0 (3.11)d u x s s u x s x dx a a u s u s π?-=-?
??==?
（3.10）是常系数二阶线性常微分方程，非齐次项为三角函数. 易得该方程 通解为
1222
sin 2(,)4x
u x s C C e
s a ππ=++
+
利用边界条件（3.11）得
10C =，20,C =
故
22
sin 2(,)4x
u x s s a ππ=
+
取Laplace 逆变换可得
22
4(,)sin 2a t
u x t e x π
π-=.
例3.4* 求下面半无界弦振动问题有界的解
2cos , 0, 0 (3.12) (,0)0, (,0)0, 0 (3.13)(0,)0, 0. tt xx t u a u t x t u x u x x u t t ρω-=>>==≥=≥ (3.14)??
???
解 对（3.12）—（3.14）关于时间变量t 作Laplace 变换得
2
22222(,)(,)(0,)0,d u x s s s u x s a
dx s u s u ρω?-=?+?
?=?
有界. 或者
222
2222(,)(1)(,)()(0,)0,d u x s s s
u x s dx
a a s u s u ρω?--=?+??=?
有界. 解之可得
1222(,)()
s s x x a
a
u x s C e C e
s s ρ
ω-=++
+
由于u 有界，故20 .C =结合初始条件可得
22(,)(1)()
s x a
u x s e
s s ρ
ω-=
-+ (3.15)
对（3.15）取Laplace 逆变换可得
)()(),(221t s s t x u -???? ??+=ωρL )()(221
t s s e x a s -?
???
? ??+--ωρL (3.16) 由于
)()(221t s s -???
? ??+ωρL =)()1(2221t s s s -??? ??+-ωωρL =))(())(1(2
21
212
t s s t s --ωωρωρ+- L L 2
222(1cos )sin 2t
t ρρωωωω=-= (3.17) 利用Laplace 变换的延迟性质
)()))(()((s f e s t u t f s τττ-=--L
其中()u t 为阶跃函数. 取x a
τ=
得 )()(221t s s e x a s -????
? ??+-ωρL =)()()(221a x t u a x t s s ---???? ??+ωρL 2
2
()
2sin ()2x
t x a u t a
ωρ
ω-=
- 22()2sin , 2 0, 0 . x t x a t a x t a ωρω?
-?≥?
=??≤
?
(3.18)
将（3.17）—（3.18）代入到（3.16）中便得
222222sin sin () , 22(,)2sin , 0 . 2t x x t t a a
u x t t x t a ρωωωρωω???--≥??????=?
?≤
变换方法的求解过程比较繁琐，而分离变量法已成固定模式，求解过程相对简明.
习 题 四
1. 用Fourier 变换求解如下定解问题
（1） 20, , 0
, 2
(,0)
0, 2.t xx u a u x t A x u x x ?-=-∞<<∞>?>??=??
（2） 40, , 0
, 1
(,0) 0, 1t xx u u x t h x u x x -=-∞<<∞>??
????
2*
用Fourier 变换求解如下定解问题
（1） 20, , 0 , 0
(,0) 0, 0.t xx x u a u x t e x u x x -?-=-∞<<∞>?
?>?=?
?
（2） 2, , 0
(,0)0, . t t xx u a u e x t u x x -?-=-∞<<∞>?
=-∞<<∞? 3. 用Fourier 变换求解如下定解问题
（1） 2, , 0
(,0)sin , .
t t x u u xe x t u x x x -?+=-∞<<∞>?=-∞<<∞?
（2） 23, , 0
(,0)(), . t x u u u x t u x x x ?=+-∞<<∞>??=-∞<<∞?
4. 求解如下一维波动方程Cauchy 问题
（1） sin , , 0
(,0)0, (,0)0, . tt xx t u u t x x t u x u x x -=-∞<<∞>??==-∞<<∞?
（2） 22
, , 0 1
(,0)sin , (,0), . 1tt xx t u a u tx x t u x x u x x x ?-=-∞<<∞>?
?==-∞<<∞?+?
5*
求解如下Cauchy 问题
（1） 22
2
()0, (,)R , 0
(,,0), (,,0)=0, (,)R . tt xx yy t u a u u x y t u x y xy u x y x y ?-+=∈>??=∈??
（2） 2222
()0, (,)R , 0
(,,0)0, (,,0)=, (,)R . tt xx yy t u a u u x y t u x y u x y x y x y ?-+=∈>??=∈?? （3） 2323
()0, (,,)R , 0 (,,,0)0, (,,,0)=, (,,)R .tt xx yy zz
t u a u u u x y z t u x y z u x y z x z x y z ?-++=∈>??=∈??
6. 由三维波动方程Cauchy 问题解的公式，利用降维法求解如下问题
20, , 0 (,0)0, (,0)(), .tt xx t u a u x t u x u x x x ψ?-=-∞<<∞>??==-∞<<∞??
7. 考虑如下定解问题
20, , 0 (,0)(), (,0)(), .
tt xx t u a u x t u x x u x x x ?ψ?-=-∞<<∞>?
?
==-∞<<∞?? 设()x ?和()x ψ为直线R 上奇（偶，周期为T 的）函数，证明该问题的解(,)u x t 关于变量x 也是奇（偶，周期为T 的）函数. 对于一维热传导方程Cauchy 问题，类
似结果是否成立？
8*
设()x ?和()x ψ在{0}x x ≥二阶连续可导，(0)(0)0?ψ==，求解如下波动方程半无界问题
20, 0, 0(0,)0, 0
(,0)(), (,0)(), 0 . tt xx t u a u x t u t t u x x u x x x ?ψ?-=<<∞>?
=≥??==<<∞?
如将该问题的边界条件换为 (0,)0, 0x u t t =≥，如何求解相应的定解问题？
9．考虑如下定解问题
000, , 0
(), 0, .
tt xx t t t u u x t u x u x ?==-=-∞<<∞>???==-∞<<∞??
其中初始波形为如下锯齿波
1, 12
()3, 230, .x x x x x ?-<
=-<
其它
（1）分别画出1,2t =时刻的(,)u x t 的波形图.
（2）如果将初始位移换为1()()()x x x ???=--，分别画出1,2t =时刻的(,)u x t 的波形图.
10． 考虑如下定解问题
030, , 0
0, (), . tt xx t t t u u x t u u x x ψ==-=-∞<<∞>???==-∞<<∞??
其中
2
e , 13
()0, .
x x x ψ?<
??其它 试找出(,)u x t 恒为零的区域,又弦线上10x =-的点在那个时刻开始振动. 11. 考虑如下定解问题
2
2
00()0, (,), 00, (,), (,).
tt xx yy t t t u u u x y R t u u x y x y R ψ==?-+=∈>?
?==∈?? 其中
, (,)(,)0, .x y x y ψ∈Ω
?=?
?
正值其它 若区域Ω为正方形{ (,) 1 1 , 1 1 }x y x y -<<-<<，试指出(,,10)u x y 恒为零的区域.
12. 考虑如下定解问题
3
3
00()0, (,,), 00, (,,), (,,).
tt
xx yy zz t t t u u u u x y z R t u u x y z x y z R ψ==?-++=∈>??==∈?? 若(,,)x y z ψ除在球形域222{ (,,) (1) 1 }x y z x y z -++≤取正值外其它恒为零，试指出(,,,10)u x y z 恒为零的区域.
13*
求解下面定解问题
212
00, , 0(,0),0, .
tt xx x t t u u u x t u x e u x -=-+=-∞<<∞>??
?==-∞<<∞?? 14*
考虑下面定解问题
20, , 0 (,0)cos , . t xx u a u x t u x x x ?-=-∞<<∞>?
=-∞<<∞?
求出该定解问题解的有限表达形式.[
利用结果2
cos 0]ax e bxdx e
a ∞
-=>?.
15*
考虑下面定解问题
2
30, , 0 (,0), . t xx u a u x t u x x x ?-=-∞<<∞>??=-∞<<∞??
求出该问题解的有限表达形式.
16*
利用误差函数求解下面定解问题
20, , 0 (,0)(), . t xx u a u x t u x x x ??-=-∞<<∞>?
=-∞<<∞?
其中
, 0
(), 0.
A x x
B x ?>?=?
偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显著差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： （1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法； （2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段； （3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计； （4）双曲型方程,对应于Galerkin方法； （5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： （1）稳态方程（非时间演化方程）； （2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容； （3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征； （4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性. 椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题,它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表.具体地说,对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解,这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质,将证明所求解是唯一的,也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题,需要在不同函数空
《积分变换与数理方程》教学大纲 课程编号：112004 开课学期：4 适用专业：电子信息科学与技术编写教师：赵玉泉 学时：36 学分：2 审核：彭光含 第一部分说明 一、课程的性质、作用 《积分变换与数理方程》是继《高等数学》之后的一门数学课程，是电子信息科学与技术专业学生的必选课。其中积分变换是《信号与线性系统分析》课程的一部分，为使学生更集中地学习《信号与线性系统分析》的理论知识而将这部分数学知识从中分离出来，单独组成本课程。因此学生只有具备了本课程的基础知识和基本技能，才可能学习《信号与线性系统分析》等专业课程。即该课程内容是以后学习多门专业课程的必备工具。 二、课程的任务与基本要求 本课程内容主要有：信号与信号的基本运算、卷积与卷积和、傅立叶变换、拉普拉斯变换及Z变换。这些内容要求学生都必须掌握。 信号部分，要求学生掌握信号的种类、信号的基本运算、阶跃函数及冲激函数定义与运算。 卷积及卷积和部分，要求学生掌握卷积的定义、性质及计算方法。 傅立叶变换部分，要求掌握傅立叶级数、傅立叶变换的定义及性质。 拉普拉斯变换部分，要求学生掌握拉普拉斯变换的定义、性质及逆变换。 离散信号的Z变换，要求掌握Z变换的定义、性质。 三、教学方法建议 积分变换与数理方程课程，其理论性很强。从教学的实际情况看，学生普遍感到难度大。因此，在教学方法上一般宜采用教师讲授。 对于积分变换，学生感觉困难的主要原因是公式多，记不住。有的学生虽记住了公式，但不能灵活运用。建议： 1、冲击函数的教学，最好不涉及广义函数的概念和理论，以免学生感到复杂难懂。
2、信号与积分变换中，图像多，宜制作一批教学挂图或幻灯片辅助教学。 3、要引导学生适当复习，寻找公式的记忆方法，务必熟记公式。 4、要多列举范例，帮助学生理解公式，学会如何综合运用公式。 四、本课程与其他课程的关系 为学习本课程，学生必须具备较扎实的复数、级数、三角函数、待定系数等初等数学知识与复变函数、导数、积分等高等数学知识，具备一定的普通物理特别是电磁学方面的知识。因此，该课程以初等数学、高等数学、电磁学等课程为基础，同时它又是学习《信号与线性系统分析》、《电路》等课程的基础。 第二部分本文 一、基本内容与学时分配 （一）信号 １、复数的知识………………………………………………………………(１学时) 教学内容要点：（１）、复数的三种表示式（２）、正、余弦函数的指数形式２、信号………………………………………………………………………（1学时）教学内容要点：（１）、连续信号和离散信号（２）周期信号和非周期信号 （３）、实信号和复信号 ３、阶跃函数和冲激函数……………………………………………………（３学时）教学内容要点：（１）、阶跃函数和单位阶跃函数序列（２）、冲激函数和单位序列 （３）、冲激函数的导函数和积分（４）、冲激函数的性质 4、信号的基本运算…………………………………………………………（2学时） 教学内容要点：（1）、加法和乘法（2）、平移和反转（3）、尺度变换 （二）卷积 1、卷积积分…………………………………………………………………(2学时) 教学内容要点：（1）、卷积积分定义（2）、卷积的图示（3）、卷积的计算 2、卷积积分的性质………………………………………………………（2学时） 教学内容要点：（1）、卷积的代数运算（2）、函数与冲激函数的卷积 （3）、卷积的微分与积分 3、卷积和……………………………………………………………………(2学时) 教学内容要点：（1）、卷积和定义（2）、卷积和的图示（3）、卷积和的性质
学习复变函数与积分变换的心得 我是一名自考生，通过网络学习这门课程，学习了不少以前书本上学不到的东西。它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。同时网络学习也带给我了一定的帮助。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学习提供了必要的数学工具因此，学好这门课程非常必要然而，该课程一直是学生较难学的课程之一。 第一、学生普遍认为复变函数的应用性不强我们知道复变函数是建立在复数的基础上的，而复数中是一个虚数单位，从而大家对复数的真实性存在疑虑，所以很难想象它在现实生活和实践中的应用价值另外，在学习这门课程当中，复变函数这部分原理、规律多，内容枯燥、抽象，需要理解的概念和定义也多，学生普遍感觉到理论性偏强，有点抓不住重点；而积分变换这部分所涉及的背景较多，学生所面对的大多是一些抽象枯燥的变换公式这些会让学生们认为这是一门纯理论且没用的课程，也就没有兴趣可言。 第二、复变函数是实变函数在复数域的推广，它的许多概念性质和意义与实变函数有相同之处，同时又与实变函数有着诸多不同不少学生在学习当中往往只注意到相同点，而没有注意到它们的不同点，这让学生感觉可以直接把实变函数当中所学的知识和方法照搬过来即可，觉得这门课程与高等数学没什么区别，感觉是在重复学习，没多大意思。 第三、与后续专业课衔接不够紧密，复变函数与积分变换课程的讲授往往与后续专业课程的使用存在一定的时间差，在后续课程用到时，往往都要花一定得时间去复习，否则学生难于跟上，造成教学重复现象，课时利用率不高。所以网络学习给我们提供了一个后备平台。 们合理利用网络来学习其他课程。 第四、通过网络学习增强了我们对远程教育的了解，提高了我们对这门课程的认真度，同时鼓励同学
数学与应用数学专业培养方案 一、专业历史沿革 同济大学数学系始建于1945年，程其襄、杨武之、朱言钧、樊映川、张国隆、陆振邦等一大批知名专家曾在此任教。解放后，几经国家调整，本系时有间断。于1980年，（应用）数学系正式恢复，陆续引进一批国内外培养的具有博士学位的青年教师，原有师资队伍的结构有了变化，充实了教学与科研力量。从20世纪90年代开始，学校又先后引进国内知名数学家、博土生导师陈志华、陆洪文、姜礼尚教授等来数学系工作，教学和科研整体实力有很大提高。数学与应用数学专业在建系后就已设立，文革期间中断了招生，1978年恢复高考后数学与应用数学专业也随之恢复了招生。至今本专业已培养了毕业生3000多人，数学系的学生遍布国内外的许多国家,有的继续从事做数学的教学及科学研究工作，有的在大型国企和外企，特别是银行、金融、计算机等行业工作，很多毕业生已成为杰出科学家和行业精英。 二、学制与授予学位 四年制本科。 本专业所授学位为理学学士。 三、基本学分要求
四、专业培养目标 本专业培养具备扎实数学基础，并具备运用数学知识和计算机解决实际问题的能力，受到科学研究的初步训练，能在科技、教育、信息、金融保险等部门及企事业单位从事研究、教学、管理及计算机软件开发等具有国际视野的复合型高级专门人才，或能继续在国内外攻读研究生学位的高级专门人才。 五、专业培养标准
六、主干学科 数学。 七、核心课程 数学分析、高等代数、解析几何、常微分方程、复变函数、实变函数、概率论(理)、数值分析(理)、数理方程(理)等。 八、教学安排一览表 见附表一。 九、实践环节安排表 见附表二。 十、课外安排一览表 见附表三。 十一、有关说明 1. 公共基础课中的有3门计算机课程，其中在硬件技术基础、数据库技术基础、多媒体技术基础、Web技术基础和软件开发技术基础5门课程中应至少选修1门。 2. 培养方案中打*的课程为研究生阶段设置的课程，供要求较高的学生选修。 3. 各类选修课要求与建议： 本专业学生在如下的专业选修课中，选修15学分。 金融衍生物定价理论、现代金融市场概论、金融工程案例分析、运筹学(理)、应用随机过程、泛函分析(研)*、抽象代数(研)*、微分流形(研)*、矩阵分析(研)*、李群与李代数(研)*、偏微分方程(研)*、有限元方法(研)*、运筹学通论(研)*、图论及其应用(研)*、有限差分方法与谱方法(研)*。其中金融衍生物定价理论、现代金融市场概论、金融工程案例分析这三门课程是金融数学方向的课群组，如果想选修金融数学方向建议3门课程全部选修。已经取得保研资格的学生，建议选修打*的10门研究生专业基础课中的相关课程。 公共选修课至少选修8学分，课程任选，其中至少要有一门艺术类课程。
第十四章 偏微分方程 物理、力学、工程技术和其他自然科学经常提出大量的偏微分方程问题.由于实践的需要和一些数学学科（如泛函分析，计算技术）的发展，促进了偏微分方程理论的发展，使它形成一门内容十分丰富的数学学科. 本章主要介绍一阶偏微分方程、线性方程组及二阶线性偏微分方程的理论.在二阶方程中，叙述了极值原理、能量积分及惟一性定理.阐明了一些解的性质和物理意义，介绍典型椭圆型、双曲型、抛物型方程的常用解法：分离变量法，基本解，格林方法,黎曼方法,势位方法及积分变换法.最后，扼要地介绍了有实用意义的数值解法：差分方法和变分方法. §1 偏微分方程的一般概念与定解问题 [偏微分方程及其阶数] 一个包含未知函数的偏导数的等式称为偏微分方程.如果等式不止一个，就称为偏微分方程组.出现在方程或方程组中的最高阶偏导数的阶数称为方程或方程组的阶数. [方程的解与积分曲面] 设函数u 在区域D 内具有方程中所出现的各阶的连续偏导数，如果将u 代入方程后，能使它在区域D 内成为恒等式，就称u 为方程在区域D 中的解，或称正规解. ),,,(21n x x x u u = 在n +1维空间),,,,(21n x x x u 中是一曲面，称它为方程的积分曲面. [齐次线性偏微分方程与非齐次线性偏微分方程] 对于未知函数和它的各阶偏导数都是线性的方程称为线性偏微分方程.如 ()()()()y x f u y x c y u y x b x u y x a ,,,,=+??+?? 就是线性方程.在线性方程中，不含未知函数及其偏导数的项称为自由项，如上式的f (x,y ).若自由项不为零，称方程为非齐次的.若自由项为零，则称方程为齐次的. [拟线性方程与半线性方程] 如果一个方程，对于未知函数的最高阶偏导数是线性的，称它为拟线性方程.如 ()()()()()()0,,,,,,,,,,,,22222122211=+??+??+??+???+??u y x c y u u y x b x u u y x a y u u y x a y x u u y x a x u u y x a 就是拟线性方程，在拟线性方程中，由最高阶偏导数所组成的部分称为方程的主部.上面方程的主部为 ()()()22222122211,,,,,,y u u y x a y x u u y x a x u u y x a ??+???+?? 如果方程的主部的各项系数不含未知函数，就称它为半线性方程.如 ()()()()0,,,,,,2222=??+??+??+??y y u y x d x y u y x c y u y x b x u y x a 就是半线性方程. [非线性方程] 不是线性也不是拟线性的方程称为非线性方程.如 1)()1(222=??+??+y u x u u 就是一阶非线性偏微分方程. [定解条件] 给定一个方程，一般只能描写某种运动的一般规律，还不能确定具体的运动状态，所以把这个方程称为泛定方程.如果附加一些条件（如已知开始运动的情况或在边界上受到外界的约束）后，就能完全确定具体运动状态，称这样的条件为定解条件.表示开始情况的附加条件称为初始条件，表示在边界上受到约束的条件称为边界条件. [定解问题] 给定了泛定方程（在区域D 内）和相应的定解条件的数学物理问题称为定解问题.根据不同定解条件，定解问题分为三类.
学习复变函数与积分变换的心得 这个学期我们学习了复变函数与积分变换这门课程，虽然它同概率统计一样也是考查课，但它的应用及延伸远比概率统计广，复杂得多。我从中学到了很多，上课也感受到了这门课程的魅力及授课老师的精彩的讲课。 每周二都很空闲，除了体育课就没课了，又因为这门课程是公共考查课，是四个班级在一起上课，所以有时候经常想逃课，但自从上了梁老师的一堂课，就感觉到了他是一个很负责的老师，他每次来教室都来得很早，他很喜欢点名，上课上的也很生动，他经常会叫同学上黑板做题目，来检查学生学得怎么样，他不希望同学带早餐进教室。以后的星期二基本上都没逃过课，我深深地被复变函数与积分变换这门课程给吸引住了。 关于这门课程，首先，它作为一门工科类各专业的重要基础理论课程，它与工程力学、电工技术、电磁学、无线电技术、信号系统和自动控制等课程的联系十分密切，其理论方法应用广泛。同时，作为一门工程数学的课程，它主要是以工程背景为依托来展开讨论和研究的，其前提就是为了服务于实际工程。其次，复变函数与积分变换作为一门工程数学课程，概念晦涩难懂、计算繁琐和逻辑推理不易理解。它既具有传统数学的一些特点，又具有与实际工程相结合才能理解的特点。传统数学主要注重对于基本概念的理解和对理论的讲解，要求理论推导具有严密的逻辑性，而不太注重其实际应用。而工程数学在推导定理或概念的过程中就会出现一些不完全符合严密逻辑的推理，但在现实中又是实实在在存在的一些特殊情况。如单位脉冲函数，对于集中于一点或一瞬时的量如点电荷、脉冲电流等，这些物理量都可以用通常的函数形式来描述。 复变函数是在实变函数的基础上产生和发展起来的一个分支，复变函数与积分变换中的理论和方法不仅是数学的许多后续课程如数理方程泛函分析多复变函数调和分析等课程的基础，而且在其它自然科学和各种工程技术领域特别是信号处理以及流体力学电磁学热学等的研究方面有着广泛的应用，可以说复变函数与积分变换既是一门理论性较强的课程，又是解决实际问题的有力工具各高校普遍将复变函数与积分变换课程作为工科各专业的一门重要的必修科来开设，尤其作为电子、机电自动化等电力专业的学生而言，该课程更是一门必不可少的专业基础类必修课，它为电路分析信号与系统以及自动控制原理等后续专业课程的学
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
第二篇 数学物理方程 ——物理问题中的二阶线性偏微分方程及其解法 Abstracts:1、根据物理问题导出数理方程—偏微分方程； 2、给定数理方程的附加条件：初始条件、边界条件、物理条件 (自然条件，连接条件)，从而与数理方程一起构成定解问题； 3、方程齐次化； ４、数理方程的线性导致解的叠加。 一、数理方程的来源和分类（状态描述、变化规律） 1、来源 I ．质点力学：牛顿第二定律F mr = 连续体力学2222()(,)(,)0(()0;v 1()0(Euler eq.).u r t a u r t t v t v v p f t ρρρ?????-?=?????????+??=????-?+??=+=????? 弹性定律弦弹性体力学 杆 振动：波动方程);膜流体力学：质量守恒律：热力学物态方程： II.麦克斯韦方程 ;;00;().,,,D D E l B s E B B B H l j D s H j D E u B A u A σρτρσ??=???=?=????=????=???=?=+????=+??=-?=????????? ???????????d d d d d d d 满足波动方程。Lorenz 力公式力学方程；Maxwell eqs.+电导定律电报方程。 III. 热力学统计物理 220;0.T k T t D t ρρ??-?=??????-?=??? 热传导方程：扩 散方程：特别: 稳态（0t ρ?=?）:20ρ?= (Laplace equation). IV . 量子力学的薛定谔方程： 22.2u i u Vu t m ?=-?+?
二、数理方程的导出 推导泛定方程的原则性步骤： （1）定变量：找出表征物理过程的物理量作为未知数（特征量），并确定影响未知函数的自变量。 （2）立假设：抓主要因素，舍弃次要因素，将问题“理想化” ---“无理取闹”（物理趣乐）。 （3）取局部：从对象中找出微小的局部（微元），相对于此局部一切高阶无穷小均可忽 略---线性化。 （4）找作用：根据已知物理规律或定律，找出局部和邻近部分的作用关系。 （5）列方程：根据物理规律在局部上的表现，联系局部作用列出微分方程。 Chapter 7 一维波动方程的傅里叶解 第一节 一维波动方程-弦振动方程的建立 7.1.1 弦横振动方程的建立 （一根张紧的柔软弦的微小振动问题） （1）定变量：取弦的平衡位置为x 轴。表征振动的物理量为各点的横向位移),(t x u ，从 而速度为t u ，加速度为tt u . （2）立假设：①弦振动是微小的，1<<α，因此，sin tan ααα≈≈，1cos ≈α，又 tan u x αα?=≈?，1<
偏微分方程与图像处理 (曲线的演化)
实验名称： 平面曲线的演化 实验内容： 1.用水平集方法对曲线进行演化； 2.用离散中值滤波方法进行演化。 理论分析： 我们已知道：曲线演化方程式（平均曲率运动方程MCM ) c k N t ?=?； 1. 曲线演化水平集方法 平面封闭曲线可以表达为一个二维函数u(x,y)的水平（线）集 (,,){(,,):(,,)}c L x y t x y t u x y t c == 这样就可将曲线演化问题嵌入到函u(x,y,t)的演化问题。即转化为水平集演化问题 曲线演化水平集方法的基本方程式如下： ||u k u t ?=?? 其中，||u ?=() 22 3/2 222xx y x y xy yy x x y u u u u u u u k u u -+= + 进而推得：22 22 2xx y x y xy yy x x y u u u u u u u u t u u -+?=?+；其中x u ,xy u ,xx u 可采用中心差分近似 () () 1,1,1,,1,2 1,11,11,11,1 2 (,)22(,)(,)4i j i j x i j i j i j xx i j i j i j i j xy u u u i j x u u u u i j x u u u u u i j x +-+-++--+--+-=?-+=?+--= ? 对于y u ,yy u 有类似的表达式。x ?表示相邻几个点。 从而完整的演化公式为： 22 1 ,,2 2 2xx y x y xy yy x n n i j i j x y u u u u u u u u u t u u +-+=+?+ （1） 其中，t ?为演化步长，在本程序中取为1。 这样就涉及到两个问题： （1）.嵌入函数的选用 嵌入函数为—令u(x,y)表示平面上(x,y)点到曲线C 的带有符号的距离(见 课本)。 因此研究的曲线总对应于零水平集，这样只要检测过零点条件 ,1,.0i j i j u u +< 或 ,,1.0i j i j u u +<
积分变换、数学物理方程与特殊函数 经过十二周的学习，我们学到了很多知识，这与以后的学习和工作打下了基础，老师讲解十分认真，讲课效果很好。由于现在还处于理论的学习阶段，无法将学到的这些内容应用到实际问题中，但我相信，在以后的实验和实际问题中肯定能发挥相当大的作用。这门课是数学的更深一个层次，与高等数学的关系密不可分。下面就我学习的状况谈一下我对这门课的认识。 首先学习的是《积分变换》的内容，我们主要学习了Fourier 变换、逆变换及其应用。Fourier 积分变换相对于后面学到的《数学物理方程》偏重于理论，其中与多种函数和理论密切相关，Fourier 变换中经常用到欧拉公式。 复数形式的欧拉公式： ?? ???-=+=-=+= ---x i x e x i e i e e n w t e e n w t ix ix inwt inwt inwt inwt sin cos ,sin cos 2sin ,2cos 其中有三个基本函数，在学习《积分变换》时经常用到； 1.单位阶跃函数： ?? ?<>=0 ,00,1)(t t t u 可以用阶跃函数吧分段函数表达出来。 2.矩形脉冲函数： ???????><=2,02 ,τττ t t E t P ）（ 3.δ函数： ? ??≠=∞+=0,00 ,)(x x x δ 表示密度分布的极限。 δ函数具有筛选性质： )0()()(-f dx x f x =? +∞ ∞ δ 其一般形式为：)()()(0-0x f dx x f x x =-?+∞∞ δ 同时还学习了卷积定理：假定)(1t f ，)(2t f 都是满足Fourier 积分定理中的条件，且[])()(11w F t f =?，[])()(22w F t f =?，则
偏微分方程理论的归纳与 总结 Prepared on 22 November 2020
偏微分方程基本理论的归纳与总结 偏微分方程是储存自然信息的载体,自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来.最为一种语言,微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性.微分方程是一个庞大的体系,它的基本问题就是解的存在性和唯一性.该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论.这是与常微分方程有显着差异的地方.这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型,这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面.从数学的角度,方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具.换句话讲,如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题,那么这个类型就被划分出来.而从自然现象的角度,我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类.当然这两种方式常常不能截然区分,通常它们是相互关联的,这就造成方程的概念有许多重叠现象. 根据数学的特征,偏微分方程主要被分为五大类,它们是： （1）线性与拟微分方程,研究这类方程的主要工具是Fourier分析方法； （2）椭圆型方程,它的方法是先验估计+泛函分析手段； （3）抛物型方程,主要是Galerkin方法,算子半群,及正则性估计； （4）双曲型方程,对应于Galerkin方法； （5）一阶偏微分方程,主要工具是数学分析方法. 从自然界的运动类型出发,偏微分方程可分为如下几大类： （1）稳态方程（非时间演化方程）；
（2）耗散型演化方程,这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然运动.相变与混沌是它们的主要内容； （3）保守系统,如具有势能的波方程.该系统控制的运动是与外界隔离的,及无能量输入,也无能量损耗.行波现象与周期运动是它们的主要特征； （4）守恒律系统,这类方程是一阶偏微分方程组,它们与保守系统具有类似的性质,可视为物质流的守恒.激波行为是由守恒律系统来控制. 下面具体来介绍三类经典方程： 三类典型方程：椭圆型方程,抛物型方程,双曲型方程,即偏微分方程模型的建立,解问题的解法以及三类典型方程的基本理论. 关于三类典型方程定解问题的解题方法,它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green函数方法. 关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计,并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论. 具体来说,关于二阶线性椭圆形方程,我们研究它的古典解和弱解.前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程,主要研究它的Fourier变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程,主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性.
《数学物理方程》教学大纲 （Equations of Mathematical Physics ） 一. 课程编号：040520 二. 课程类型：限选课 学时/学分：40/2.5 适用专业：信息与计算科学专业 先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数 三. 课程的性质与任务： 本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。 四、教学主要内容及学时分配 （一）典型方程和定解条件的推导（7学时） 一些典型方程的形式, 定解条件的推导。偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。 （二）分离变量法（7学时） 三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法. （三）积分变换法（8学时） Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。 （四）行波法（7学时） 一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法 （五）格林函数（6学时）
微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。 （六）变分法（5学时） 变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题 五、教学基本要求 通过教师的教学，使学生达到下列要求 （一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。掌握偏微分方程的基本概念，掌握关于两个变量的二阶线性偏微分方程的分类和化简，掌握迭加原理与齐次化原理。 （二）掌握分离变量法在三种定解条件下的求解步骤，理解圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法, 会求解非齐次方程的定解问题,掌握非齐次边界条件的处理方法。 （三）掌握达朗贝尔公式的推导过程和物理意义，掌握解决柯西始值问题的行波法。了解依赖区间、决定区域、特征线、影响区域和决定区域的概念。掌握三维波动方程的初值问题的径向对称解，了解高维波动方程初值问题的球面平均法和降维法。 （四）掌握Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，会Fourier变换和Laplace变换的在求解某些简单的数学物理方程定解问题。 （五）掌握Green第一公式和第二公式。掌握调和函数的Green公式和性质，理解格林函数的基本性质。会求半空间和球域上的格林函数。 （六）掌握变分法的基本概念，会求解几类典型的变分问题的解。 六、课程内容的重点和深广度要求 教学基本要求中的数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧是本课程的重点，此外，学生对下列各项也应给予注意： 1.线性偏微分方程的分类与化简。 2.固有值问题，关于固有值与固有函数讨论。 3.方程与边界条件同时齐次化的简易方法。 4. Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质。 5. 格林函数的定义和基本性质 6. 泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题。
2014年大学高数学习方法总结 一提起“数学”课，大家都会觉得再熟悉不过了，从小学一直到高中，它几乎就是一门陪伴着我们成长的学科。然而即使有着大学之前近xx年的数学学习生涯，仍然会有很多同学在初学大学数学时遇到很多困惑与疑问，更可能会有一种摸不着头脑的感觉。那么，究竟应该如何在大学中学好高数呢? 在中学的时候，可能许多同学都比较喜欢学习数学，而且数学成绩也很优秀，因而这时是处于一种良性循环的状态，不会有太多的挫败感，因而也就不会太在意勇于面对的重要性。而刚一进入大学，由于理论体系的截然不同，我们会在学习开始阶段遇到不小的麻烦，甚至会有不如意的结果出现，这时就一定得坚持住，能够知难而进，继续跟随老师学习。 很多同学在刚入学不久，就是一直感觉很晕。对于上课老师所讲的知识，虽然表面上能听懂，但却不明白知识背后的真正原因，所以总是感觉学到的东西不实在。至于做题就更差劲了，“吉米多维奇”上的习题根本不敢去看，因为书上的课后习题都没几个会做的。这确实与高中的情形相差太大了，香港浸会大学的杨涛教授曾经在一次讲座中讲过：“在初学高数时感觉晕是很正常的，而且还得再晕几个月可能就好了。”所以关键是不要放弃，初学者必须要克服这个困难才能学好大学理论知识。除了要坚持外，还要注意不要在某些问题的解决上花费过多的时间。因为大学数学理论十分严谨，教科书在讲解初步知识时，有时会不可避免地用到一些以后才能学到的理论思想，因而在初步学习时就对着这种问题不放是十分不划算的。 所以，在开始学习数学时，可以考虑采取迂回的学习方式。先把那些一时难以想通的问题记下，转而继续学习后续知识，然后不时地回头复习，在复习时由于后面知识的积累就可能会想通以前遗留的问题，进而又能促进后面知识的深刻理解。这种迂回式的学习方法，使得温故不但能知新，而且还能更好地知故。篇二：高等数学学习方法及经验总结高等数学学习方法及经验总结 大学生学习高等数学要掌握合适的学习方法，因人而异，这里我只是结合我自己的一些学习方法和经验供大家参考。 高等数学作为高等教育的一门基础学科，几乎对所有的专业的学习都有帮助，对于我们飞行器动力工程专业，高等数学是联系物理，力学，以及贯穿于专业基础课的一把刃剑和纽带，对于大一这一年的学习尤为重要，只有打下坚实的基础，对于之后学习其他的学科，包括选修课中的工程数学的分支（复变函数，数理方程等），都有很大的帮助。 首先了解高等数学的组织结构，大一上学期主要学习极限，函数，以及微分和积分，（空间几何在下学期学），在期末考试中大多数都集中在积分和微分这部分。极限是积分和微分的基础，重要的概念和思想在学习极限这部分就会体现出来，有些问题运用基本定义就会迎刃而解，在掌握了基本概念和常用的解题方法后，学习起来就会很轻松；下学期比较重要，相对于上学期的内容也较丰富和复杂；对于偏导数和曲线积分、曲面积分，需要扎实的微积分思想，此外就是级数和微分方程；总之，高等数学可以说是积分，微分占据主要地位。 （一）做题的方法和技巧 学习高等数学的过程中必不可少的就是学习方法的及时总结，理想的情况下就是保证每个人手中都有一本课外的教辅书（个人推荐吉米多维奇），在平时做作业和做课外题目的过程中，自己会做的题目也要做到自己的思想和答案的思想进行比较，互相补充，遇到好的解题方法要记下来，要记的内容是题目，方法和自己的感受；遇到不明白的题目时不要浮躁，也不要着急先看答案，首先进行冷静的思考，要知道考的内容是什么，要用到什么知识点，然后一步一步看答案，这里我的意思是先看答案的第一步求解的问题是什么，然后停止看答案，想一想答案的这一步对你是否有启示作用，接下来自己试一试能不能继续独立往下做，如果不行的话继续往下看答案，直到做出来为止，做完后一定做好笔记。 （二）考试后的反思
文章编号:XXXX—XXXX（2014）01 0005 03 复变函数与积分变换与高等数学相关内容 的异同 管会超1 （中国民航大学飞行器动力工程，河北，保定，120141607） 摘要：复变函数与积分变换和高等数学的联系是很紧密的，复变函数中的许多理论，概念和方法是实变函数在复数域的推广。但我们也要明白它与实变函数的许多不同之处，更好的学习它们的相同于不同，真正的掌握知识提高自己的能力，为以后解决实际问题而运用。 关键词：复函数，极限，实函数，留数，洛朗级数，傅里叶、拉普拉斯变换，解析函数 中图分类号：TU973+.255文献标识码：C Similarities and differences ofcomplex functionandintegral transformandhigher mathematicsrelated content GUAN huichao (China Civil Aviation University ofaircraft engineering, Hebei, Baoding, 120141607) Abstract：ContactsComplexfunctionsandintegral transformandmathematicsarevery close, complex functionofmany theories, concepts and methodsarereal variable functionin promotingcomplex field. But we alsounderstand thatit's a lotdifferent from thereal variable function, the bettertheylearnthe sameina different, truly masterthe knowledgeto improve theirabilityto solve practicalproblemsfor futureuse. Keywords：Complex functions, limits, real function, leaving few, Laurent series, Fourier, Laplace transform, analytic function 引言： 在大学的科目中有许多科目是紧紧相 连的，这些联系使得各科之间使学习起来有连贯性，但是在相同之中又存在着不同点，本文就复变函数与积分变换和高等数学中 的异同进行讨论，分别从复变函数和高等数学之间来进行叙述。 1、复变函数的极限和连续性 复变函数的极限: 复变函数极限的定义在叙述形式 上与一元函数的极限一致。 即： 定义[1]:设A为复常数，函数() w f z =在点0 z的去心邻域 0z zρ <-<内有定义。如果对于任意给定的整数ε，总可以找到相应的整数() δδρ ≤，使得当 0z zρ <-<时恒有() f z Aε -<，则称A为() f z当 z z →时的极限。记作0 lim()()() z z f z A f z A z z → =→→ 或
浅谈积分变换的应用 学院：机械与汽车工程学院 专业：机械工程及自动化 年级：12级 姓名：郑伟锋 学号：201230110266 成绩： 2014年1月
目录 1.积分变换的简介 (3) 1.1积分变换的分类 (3) 1.2傅立叶变换 (3) 1.2拉普拉斯变换 (4) 1.3梅林变换和哈尔克变换 (5) 1.3.1梅林变换 (5) 1.3.2汉克尔变换 (6) 2.各类积分变换的应用 (6) 2.1总述 (6) 2.2傅立叶变换的应用 (6) 2.2.1傅立叶变换在图像处理中的应用 (6) 2.2.2傅立叶变换在信号处理中的应用 (7) 2.3拉普拉斯变换的应用 (8) 2.3.1总述 (8) 2.3.2 运用拉普拉斯变换分析高阶动态电路 (8) 参考文献 (9)
1.积分变换的简介 1.1积分变换的分类 通过参变量积分将一个已知函数变为另一个函数。已知?(x)，如果 存在（α、b可为无穷）,则称F(s)为?(x)以K(s,x)为核的积分变换。 积分变换无论在数学理论或其应用中都是一种非常有用的工具。最重要的积分变换有傅里叶变换、拉普拉斯变换。由于不同应用的需要，还有其他一些积分变换，其中应用较为广泛的有梅林变换和汉克尔变换，它们都可通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化而来。 1.2傅立叶变换 傅里叶变换是一种分析信号的方法，它可分析信号的成分，也可用这些成分合成信号。许多波形可作为信号的成分，比如正弦波、方波、锯齿波等，傅里叶变换用正弦波作为信号的成分。其定义如下 f(t）是t的周期函数，如果t满足狄里赫莱条件：在一个周期内具有有限个间断点，且在这些间断点上，函数是有限值；在一个周期内具有有限个极值点；绝对可积。则有下图①式成立。称为积分运算f(t）的傅里叶变换， ②式的积分运算叫做F（ω）的傅里叶逆变换。F（ω）叫做f(t）的像函数，f(t）叫做 F（ω）的像原函数。F（ω）是f(t）的像。f(t）是F（ω）原像。 ①傅里叶变换 ②傅里叶逆变换