+ 第二章控制系统的数学模型
一．是非题
1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。（√）
2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。（√）
3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题
1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。K s
C 。 τs
D 。以上都不是
2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1
S
B 。
21S C 。2S D 。S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。
()
()
12G s G s
4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。()
()
12G s G s 三． 填空题
1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为22
21k
s s τζτ++
3．21
2
t 的拉普拉斯变换为
3
1
s
4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法
四．计算题
§2-1 数学模型
1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dt
di
L u +?+?
= c i C u
=? c c c u u C R u C L +'??+''??=
11c c c r R u u u u L LC LC
'''∴++
= ── 2阶线性定常微分方程 （2）弹簧—阻尼器机械位移系统 分析A 、B 点受力情况
02B
0A A
A i 1x k )x x
f()x x (k =-=-∴ 由 A 1A i 1x k )x x (k =- 解出01
2
i A x k k x x -
=
2．试分别列写图2-4（a ）、（b ）所示无源网络的微分方程式
（a ）
U c
C 2
C 2
i 2
（b ）
解： 对于图（a ）所示无源网络：
根据电压平恒 方程式，有：
12122
111
(1)(2)(3)(4)
c r c
R i dt C i i i u R i
u R i u ?=???
=+??=?=+???
由1）式得： 2i =1
2
1
di C di 5）
把5）式代入2）式有：
1
11di i i R C dt
=+ 6） 又，由4）式，有：
11
r c
u u i R -=
将i1代入6）式，再代入3）式，有： ()]211
11r c r c d u u u u Uc R R C R R dt -?-=+?
??
整理得：
12212c r c r c du du R u R u R u R R C dt
dt ??
=-+-
??? 即：
()1212122c r c r du du
R R C
R R u R R C R u dt dt
++=+ 上式即为图（a ）所示电路的微分方程式。
对于图（）所示无源网络，同样，可以列出如下电压 平衡方程组：
121221222
1)12)13)14)
r c c i i i Ri Ri i dt
C u i dt u C u Ri idt
C =+??
?=+?
??=+??
?=+?????
由
3）式得：
215)c r du du i C dt
dt ??=-
???
由
2）式得：
1221
1
6)i i i dt RC =+
?
由6）式代入1）式有：
122211
27)i i i i i dt RC =+=+
?
又,由4)式有：
22
1
c du di R i dt dt C =+ =22122222111
2r d u d RC i i dt dt dt C RC ????-++ ? ?????? =()2211122212
21c r r r c d u d u c du RC C u u dt
dt c dt RC C ????
-++- ?
?
????
整理得：
()
222
2121222c c c r r r r c du d u du d u du RC R C C RC u u dt dt
dt dt dt ????=-+-+- ? ?????即
()22
121222c c c
d u du
R C C R C C u dt dt
+++ =22
12122r r r t
d u du
R C C RC u dt d ++
上式即为（b ）所示电路的微分方程式。
§2-2线性系统的微分方程
一．已知f(t),求F(s)=?
()1
-t T
1
11
T
1).f(t)1-e
F s 11s s s s T T ==-=
??
++ ???
()
2222
1
s 0.122).f (t)0.03(1cos2t) F(s)0.03s s 2s s 2??=-=-=??++?? s 152222
50.866s 2.5
3).f (t)sin(5t ) F(s)e 3s 5s 5ππ
+=+==++
()
0.4t 2
2
2
s 0.4
s 0.4
4).f (t)e cos12t F(s)s 0.8s 144.16
s 0.412-++==
=
++++ []05).f (t)t 11t t ??=?--??
()()0t s
02
11t s e F s s
--+=
()()
()22
3s 2s 8
6).F(s) f ? f(0)? f()1, f(0)0s s 2s 2s 4++=∞==∞==+++已知求 二．已知F(s),求f(t)=?
()
22
2s 5s 1
1).F(s) f(t)1cost-5sint s s 1-+==++
()
4t 2
4t s 2).F(s) f(t)cos(t 14)s 8s 17 e cost 4sint --=
=+++=-
t 10t
321119t 3).F(s) f(t)e e s 21s 120s 1008181
--+=
=-+++
(
)2-2t t
2
3s 2s 84).F(s) f(t)1-2e e s s 2(24)s s -++==+?+++ ()()
t 3t 2
s 221315).F(s) f(t)(t )e e 32412
s s 1s 3--+=
=
-++++ 三．拉氏反变换 (1) 反变换公式：?∞+∞
-=
j j st
ds e ).s (F j 21)t (f σσπ (2) 查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) f(t),)
a s (s 1
)s (1.F 求例+=
???
???+-
=++=
a s 1s 1a 1)a s (s s -a)(s a 1)s (.F 解 []at e 1a
1)t (f --=∴ 2：3
4s s 2
s )s (F 2+++=
求?)t (f =
解：3
s c
1s c 3)1)(s (s 2s )s (F 21+++=+++=
21
31213)1)(s (s 2s )
1s (lim c 1s III
1=+-+-=++++=-→
2
1
13233)1)(s (s 2s )
3s (lim c 3
s III
2=+-+-=++++=-→
3s 2
11s 21)s (F +++=
∴ 3t t e 2
1
e 21)t (
f --+=∴
3：3
4s s 5
5s s )s (F 22++++= ，求?)t (f =
解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法)
3)1)(s (s 2
s 134s s 2s 3)4s (s )s (F 2
2++++=++++++= 3t t e 2
1
e 21)t ()t (
f --++=∴δ
4：j
1s c j -1s c j)1j)(s -1(s 3s 22s s 3s )s (F 212+++
+=++++=+++=
解法一：
2j j
2j)1j)(s -1(s 3s )
j -1s (lim c j
1s 1+=+++++=+-→
2j
j
-2j)1j)(s -1(s 3s )
j 1s (lim c j
-1s 2-=++++++=-→
j)t
1(t )j 1(e 2j
j -2e 2j j 2)t (f --+--+=
∴ []
jt
-jt t e )j 2(e )j 2(e 2j 1--+=- （t cos j
2e e ,t sin j 2e e jt jt jt jt =+=--- ） [])2sint cost (e j 4sint 2cost e 2j
1t t
+=+=
-- 1
)1s (2
1)1s (1s 1)1s (21s 1)1s (3s )s (F 2
222++++++=++++=+++=
t t e .2sint e .cost )
t (f --+=
∴虚位移定理
解法二：
)
( sint .2e cost .e )t (f 11)(s 1
2
11)(s 1s 11)(s 21s 11)(s 3s )s (F t t 22222222复位移定理--+=++++++=++++=+++=
5 ： 3)
(s 1)s(s 2
s )s (F 2+++=
求?)t (f =
解：3
s c s c 1s c 1)(s c )s (F 4
312
2++++++=
2
1
)31)(1(213)(s 1)s(s 2s 1)(s lim c 22
1
s IV
2-=+--+-=++++=-→
43)3(])3)[(2()3(lim 3)(s 1)s(s 2s 1)(s ds d lim
c 22122
1s IV
1-=++++-+=??
????++++=-→-→s s s s s s s s 3
2
3)(s 1)s(s 2s s.
lim c 20
s 3=+++=→
12
1
3)(s 1)s(s 2s 3).
(s lim c 2
-3
s 4=++++=→ 3s 1
.121s 1.321s 1.431)(s 1.21)s (F 2++++-+-=∴
3t t t e 12
1
32e 43te 21)t (f ---++--=∴
四．用拉氏变换方法解微分方程 ● 例 ：u l l r l 222.
..=++
????
?===1(t)
(t)u 0
11r '(0)0）（初始条件：？求=)(1t 解：s
2
L(s)2
2s s L 2=++］：［ 2)
2s s(s 2)
s(s 22s s 2)2s s(s 2L(S)2
22+++++=++=－
2
221)1(1
1s s 122s 2s s 1++++=+++=s s －－ 2
2221)1(1
1)1(1s s 1+++++=s s －
－ 1L l(t)1cos t cos t t t e e --=－：－－
1Sin(t 45) t -=+ 121cos t
cos t t
t
j e e λ--±??????????
，特征根：＝－
模态 举例说明拉氏变换的用途之一—解线性常微分方程，引出传函概念。 如右图ＲＣ电路：初条件：c0c u )0(u = 输入 []t 1.E )t (u 0r = 依克西霍夫定律：
r c c c c c c c u (t)i(t)R u (t) (**) I(s)C U (s)1
i(t)C u
(t) U (s)I(s)Cs I(s)Cs
CRu (t)u (t) U (s)CRs 1s =?+=↓=?==+=
+ §2-3 结构图与信号流程图 1.化简结构图：求()
()
C s R s .
2．.系统结构图如右：分别用等效变换和梅逊公式法求系统的闭环传递函数)(s Φ. 解（1）：等效变换法：
3
2112123224413
21413
243
241212132411)
]([1)
()()()(G G G H G G H G G H G G G G G G G G G G G G G G H G G H G G G G G s R s C s ＋＋＋＋＋＋ ＝
++++++=
=
Φ∴
解（2）：梅逊公式法：系统有2条前向通道，5个回路，无不
相交回路。
41243212321211G G H G G G G H G G H G G +++++=?
1
G 1241213211＝ ＝＝ ??=G P G G G P
3
2112123224413
21411G G G H G G H G G H G G G G G G G G ＝
R(s)C(s)(s)++++++=
Φ 3．化简结构图。求
)
()
(s R s C .
()()()11111111123
4113322
123
44
1133224113322123
113322411332241234
4113311332C s s R s G G G G (1G H )(1G H )G H G G G [G ]H (1G H )(1G H )G H G [(G H )(G H )G H ]G G G (G H )(G H )G H G [(G H )(G H )G H ]H G G G H G [G H G H G H G H G Φ=
+
+++=
+++++++++=+++++++++=
12123
11331133224411331133221234
H ]G G G G H G H G H G H G H G H [1G H G H G H G H G H ]G G G H ++
4．化简结构图，求系统传递函数?)
()
(=s R s C 5 ．
共有4个单回路：
n 4
i i
1234
i 1
i 1
1234561232453344
L L
L L L L G G G G G G H G G H G G H G G H ====+++=----∑∑
只有II 、III 两个回路不接触：
L L L H H G G G G )H G G )(H G G (L L L L k
j
i
3
2543235423232
j i ==--==∑∑∑
3
254324433542321654321j i i H H G G G G H G G H G G H G G H G G G G G G 1L L L -1 +++++=+=?∴∑∑只有一条前向通路 6543211G G G G G G p =
所有回路均与之接触
11=?
3
2543244335423216543216543211
1H H G G G G H G G H G G H G G H G G G G G G 1G G G G G G p )(s +++++=??=
Φ∴ 6.
有五个回路：
4
12
4
2
3
2
1
2
1
3
2
1
i
j
i
4
1
2
4
2
3
2
1
2
1
3
2
1
i G G H
G H G G H G G G G G 1L 10
L L G
G H G H G G H G G G G G L +++++=-=?=-----=∑∑∑
两条前向通路：
4
124232121321413212
21124121 3211G G H G H G G H G G G G G 1G G G G G p p (s) 1; G G p 1
; G G G p ++++++=
??+?=
Φ∴=?==?=
7.
有五个单回路：并且
CRs
5
L CRs
1
L L L i 521-
=∴-
====∑
可找出六组两两互不接触的回路：Ⅰ-Ⅱ; Ⅰ-Ⅲ;Ⅰ-Ⅴ; Ⅱ-Ⅲ; Ⅲ-Ⅳ; Ⅳ-Ⅴ
2j i )CRs (6)CRs
1)(CRs 1.(6L L =--
=∴∑ 有一组三个互不接触回路Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ
3
33222k j i j i i 3
333k j i s
R C 1
s R C 6CRs 51L L L L L L 1 s
R C 1)CRs 1(L L L ∑∑∑∑+++
=-+-=?∴-=-
=∴
前向通路一条： 1 ; s
R C 1
p 13
331=?=
3
C 11R 23321
U (s)p (CRs) (s)561U (s)1CRs (CRs)(CRs)1
(CRs)5(CRs)6CRs 1
?∴Φ===
?+++
=
+++ 8.
回路4个：333212211i H G H G G H G H G L --+-=∑ 两两不接触回路两个：Ⅰ-Ⅱ， Ⅱ-Ⅳ
L L L )
H G )(H (G )H )(G H G (L L k
j
i
33222
2
1
1
j i =-+-=∑∑
32322121333212211H H G G H H G G H G H G G H G H G 1 --++-+=?∴
前向通道两条：
3
2322121333212211223212
211222321211H H G G H H G G H G H G G H G H G 1)H G -(1G G G p p (s) H G -1; G p 1; G G p --++-++=
??+?=
Φ∴=?==?=
9. 已知系统结构图，求?)
s (R )
s (C =
解：本结构图有2条前向通道，6个回路(其中I ，V 两回路不相交)
H G G G G G H 1H)
(1 G G G (s) H
1; G p 1; G G p H G G G G G H 1 )H )].(G ([)]}G ([)G (G G G G H {1321123212321211321123332112-+++++-=
Φ∴+=?-==?=-++++=---+----------=?
10. 求
?)
s (R )
s (C =
解：共有3个单回路(全部有公共接触部分)
H G H G G G H G G G G 1 L 1Δ H
G H G G G H G G G G L L 221421143213
1
i i 2
21421143213
1
i i i
-++=-=∴+--==∑∑∑==
前向通道共有6条：
1 G G G G p 143211=?= 1 G G G p 24212=?=
1 G G G G p 343253=?= 1 G G G p 44254=?= 1 G G G p 54365=?-= 1 G G H G p 642266=?-= G H G G G H G G G G 142114321+-
由梅逊公式：
2
21421143214
22643642543254214
3216
655443322116
1
i i
i
H G H G G G H G G G G 1G G H G G G G G G G G G G G G G G G G G G Δp Δp Δp Δp Δp Δp Δ
p )s (-++--+++=?
+++++=
?=
Φ∑= 11. 已知系统结构图
1).画出系统信号流图 2).求
(s)
R C(s)
,
(s)R C(s)21 解：1).
2).
)II I,.(3.2:C R .:C R 21互不相交其中个回路共有条前向通道有有3条前向通道???
→→
{}4
321321432143211324321G G G G G G G G G G G 1 )G G G )(G ()G G G (G G G G 1+-++=--+-----=?
1
G G G G p 1 G G G p G G G 1 G p :C R 343213232124321111=?-==?-=+=?=→
1
G G p G 1 G G G p :C R 23221143212=?=+=?=→
?
-=
+-++--+=∴
3
21143213214321432132143211G G G G G G G G G G G G G G G 1G G G G G G G )G G G (1G )s (R C(s) 4
32132143213214322G G G G G G G G G G G 1G G )G (1G G G )s (R C(s)
+-++++=
12. 求 ?)
()(=s R s C ?)()
(=s N s C
解：
4
31214332212143121433221211))((][1H H H G G H H H H G H G G H H H G G H H H H G H G G ++++--+----=? ＝
对R(s)：
?
+=∴
--=?=)
1()()()
(1;4321431211H H G G s R s C H H G G P
对N(s)：
?
??)
1)(()()()(1;)
(1;P 4332432214313n1H H G G s N s C H H G P H H G n n n ++=∴
--==--==
13. 求?)(/)(=s R s C
解：212121211))((][1G G G G G G G G +++=--+---=?
1;1211==?
G G P
)(1;12322G G G P --==?
??=+---==2121333][1;G G G G G P
?
?
?+++=
∴
313221)1()()(G G G G G G s R s C 14. 求?)
()
(=s R s C
解：][121122121G G G G G G G G -----=?
1111=-=? G P 1222==? G P
1))((3213=--=? G G P 14124==? G G P
2
121212121211
2212131231)()(G G G G G G G G G G G G G G G G G G s R s C ++-++-=
++-+++-=∴
§2-4 线性定常系统的传递函数 一般情况下：线性系统的微分方程：
r(t)
b (t)r b (t)r b (t)r b C(t)a (t)C a )t (C a )t (C m 1-m )1-m (1)m (0n 1-n )1-n (1)n (+'+++=+'+++
简单讲一下： 传递函数的标准形式：
已知(s)G 0方框对应的微分方程为系统如右图所示
a c c u K u u
T 00=+ 求系统的传递函数(s)U (s)U r
c
解：对(s)G 0相应的微分方程进行拉氏变换
1
100000+=
=∴=+s T K (s)U (s)U (s)G (s)
U K (s))U s (T a c a c ① 又由运算放大器特性，有000
0≈≈ ,i u
11 0
sC
R sC R.
(s)U R (s)U (s)U I a c r a +
-=
+=∴ RsC .R R )sC
(R R sC R.
(s)U (s)U (s)U c r a 1
111
00
+-=+-=
+∴ ② ①×②有
[]0
000
000000
00000
001111111111
1
1R RK ))(RsC s (T R RK )
)(RsC s (T R RK ))(RsC s (T R RK (s)U (s)U (s)U (s)U )
)(RsC s (T .
R RK (s)U RsC R R
.
s T K (s)U (s)U (s)U .(s)U (s)U r c c r c c r a a c +++-=
+++++-=∴+++-
=+-+=+
二．负载效应问题：传递函数要在系统正常工作，考虑负载影响条件下推导出来
第二章 控制系统的数学模型 2—1 数字模型 在控制系统的分析和设计中，首先要建立系统的数学模型。 自动控制系统： 相同的数学模型进行描述，研究自动控制系统 其内在共性运动规律。 系统的数学模型，是描述系统内部各物理量之间动态关系的数学表达式。 常用的数学模型有： 数学模型 的建立方法 一般应尽可能采用线性定常数学模型描述控制系统。 如果描述系统的数学模型是线性微分方程，则称该系统为线性系统，若方程中的系数是常数，则称其为线性定常系统。线性系统的最重要特性是可以应用叠加原理，在动态研究中，如果系统在多个输入作用下的输出等于各输入单独作用下的输出和(可加性)，而且当输入增大倍数时，输出相应增大同样倍数(均匀性)，就满足叠加原理，因而系统可以看成线性系统。如果描述系统的数学模型是非线性微分方程，则相应系统称为非线性系统，其特性是不能应用叠加原理。 建立系统数学模型的主要目的，是为了分析系统的性能。由数学模型求取系统性能指标的主要途径如图2—1所示。由图可见，傅里叶变换和拉普拉斯变换是分析和设计线性定常连续控制系统的主要数学工具。 电气的、 机械的、 液压的 气动的等 微(差)分方程 传递函数(脉冲传递函数研究线性离散系统的数学模型) 经典控制理论 频率特性(在频域中研究线性控制系统的数学模型) 状态空间表达式(现代控制理论研究多输入—多输出控制系统) 结构图和信号流图，数学表达式的数学模型图示型式 解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的物理、化学定律， 列写出各变量之间的数学关系式 实验法：对系统施加典型信号(脉冲、阶跃或正弦)，记录系统的时间响应 曲线或频率响应曲线，从而获得系统的传递函数或频率特性。 图2-1 求取性能指标的主要途径
过程控制系统第二章（对象特性）习题2-1．什么是被控过程的数学模型？ 2-1解答： 被控过程的数学模型是描述被控过程在输入（控制输入与扰动输入）作用下，其状态和输出（被控参数）变化的数学表达式。 2-2．建立被控过程数学模型的目的是什么？过程控制对数学模型有什么要求？ 2-2解答： 1）目的：○1设计过程控制系统及整定控制参数； ○2指导生产工艺及其设备的设计与操作； ○3对被控过程进行仿真研究； ○4培训运行操作人员； ○5工业过程的故障检测与诊断。 2）要求：总的原则一是尽量简单，二是正确可靠。阶次一般不高于三阶，大量采用具有纯滞后的一阶和二阶模型，最常用的是带纯滞后的一阶形式。 2-2．简述建立对象的数学模型两种主要方法。 2-2解答： 一是机理分析法。机理分析法是通过对对象内部运动机理的分析，根据对象中物理或化学变化的规律(比如三大守恒定律等)，在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后推导出的对象特性方程。通过这种方法得到的数学模型称之为机理模型，它们的表现形式往往是微分方程或代数方程。 二是实验测取法。实验测取法是在所要研究的对象上，人为施加一定的输入作用，然后，用仪器测取并记录表征对象特性的物理量随时间变化的规律，即得到一系列实验数据或实验曲线。然后对这些数据或曲线进行必要的数据处理，求取对象的特性参数，进而得到对象的数学模型。 5-12 何为测试法建模？它有什么特点？ 2-3解答： 1）是根据工业过程输入、输出的实测数据进行某种数学处理后得到数学模型。
2）可以在不十分清楚内部机理的情况下，把被研究的对象视为一个黑匣子，完全通过外部测试来描述它的特性。 2-3．描述简单对象特性的参数有哪些?各有何物理意义? 2-3解答： 描述对象特性的参数分别是放大系数K 、时间常数T 、滞后时间τ。 放大系数K 放大系数K 在数值上等于对象处于稳定状态时输出的变化量与输入的变 化量之比，即 输入的变化量 输出的变化量=K 由于放大系数K 反映的是对象处于稳定状态下的输出和输入之间的关系，所以放大系数是描述对象静态特性的参数。 时间常数T 时间常数是指当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变 化，达到新的稳态值所需的时间。或当对象受到阶跃输入作用后，被控变量达到新的稳态值的63．2％所需时间。 时间常数T 是反映被控变量变化快慢的参数，因此它是对象的一个重要的动态参数。 滞后时间τ滞后时间τ是纯滞后时间0τ和容量滞后c τ的总和。 输出变量的变化落后于输入变量变化的时间称为纯滞后时间，纯滞后的产生一般是由于介质的输送或热的传递需要一段时间引起的。容量滞后一般是因为物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的。 滞后时间τ也是反映对象动态特性的重要参数。 5-6 什么是自衡特性？具有自衡特性被控过程的系统框图有什么特点？ 2-3解答： 1）在扰动作用破坏其平衡工况后，被控过程在没有外部干预的情况下自动恢复平衡的特性，称为自衡特性。 2）被控过程输出对扰动存在负反馈。 5-7 什么是单容过程和多容过程？
实验一 控制系统的数学模型 一 实验目的 1、学习用MATLAB 创建各种控制系统模型。 2、掌握传递函数模型、零-极点增益模型以及连续系统模型与离散系统模型之间的转化，模型的简化。 二 相关理论 1传递函数描述 (1)连续系统的传递函数模型 连续系统的传递函数如下： ? 对线性定常系统，式中s 的系数均为常数，且a1不等于零，这时系统在MATLAB 中 可以方便地由分子和分母系数构成的两个向量唯一地确定出来，这两个向量分别用num 和den 表示。 num=[b1,b2,…,bm,bm+1] den=[a1,a2,…,an,an+1] 注意：它们都是按s 的降幂进行排列的。 tf （）函数可以表示传递函数模型：G=tf(num, den) 举例： num=[12,24,0,20];den=[2 4 6 2 2]; G=tf(num, den) (2)零极点增益模型 ? 零极点模型实际上是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原系统传递 函数的分子、分母进行分解因式处理，以获得系统的零点和极点的表示形式。 K 为系统增益，zi 为零点，pj 为极点 在MATLAB 中零极点增益模型用[z,p,K]矢量组表示。即： z=[z1,z2,…,zm] p=[p1,p2,...,pn] K=[k] zpk （）函数可以表示零极点增益模型：G=zpk(z,p,k) (3)部分分式展开 ? 控制系统常用到并联系统，这时就要对系统函数进行分解，使其表现为一些基本控 制单元的和的形式。 ? 函数[r,p,k]=residue(b,a)对两个多项式的比进行部分展开，以及把传函分解为微 分单元的形式。 ? 向量b 和a 是按s 的降幂排列的多项式系数。部分分式展开后，余数返回到向量r ， 极点返回到列向量p ，常数项返回到k 。 ? [b,a]=residue(r,p,k)可以将部分分式转化为多项式比p(s)/q(s)。 11 211121......)()()(+-+-++++++++==n n n n m n m m a s a s a s a b s b s b s b s R s C s G ))...()(())...()(()(2121n m p s p s p s z s z s z s K s G ------=22642202412)(23423++++++=s s s s s s s G
第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）通过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）通过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）通过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5）掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6）掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换；求第K条前向通道特记式 的余子式 。 k 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言 2.1 动态微分方程的建立 2.2 线性系统的传递函数 2.3 典型环节及其传递函数 2.4系统的结构图 2.5 信号流图及梅逊公式
第二章 系统的数学模型 2．3图中三图分别表示三个机械系统。求出他们各自的微分方程，图中xi 表示输入位移，xo 表示输出位移，假设输出端无负载效应。 解：（1）、对图（a ）所示系统，有牛顿定律有 c 1(x i-x 0)-c 2x 0=m x 0 即 m x 0+(c 1-c 2) x 0= c 1x i （2）、对图（b ）所示系统，引入一中间变量x ，并有牛顿定律有 (x i -x)k 1=c(x -x 0) c(x -x 0)=k 2x 0 消除中间变量有 c(k 1+k 2)x 0+k 1k 2x 0=ck 1x i （3）、对图（c ）所示系统，有牛顿定律有 c(x i-x 0)+ k 1 (x i -x)= k 2x 0 即 c x 0+(k 1+k 2)x 0=c x i+ k 1x i 2.4 求出图（2.4）所示电网络图的微分方程。
解：（1）对图（a ）所示系统，设i x 为流过1R 的电流，i 为总电流，则有 ?+ =i d t C i R u o 2 21 11i R u u o i =- dt i i C u u o i ?-= -)(11 1 消除中间变量，并化简有 i i i o o o u R C u C C R R u R C u R C u C C R R u R C 1 22 11 221122 112211 )(1)1(++ +=++ ++ （2）对图（b ）所示系统，设i 为电流，则有 dt i C i R u u o i ?+ +=1 11 i R dt i C u o 2 2 1+= ? 消除中间变量，并化简有 i i o o u C u R u C C u R R 2 22 1 211)11()(+=+ ++ 2.5 求图2.5所示机械系统的微分方程。图中M 为输入转矩，C m 为圆周阻尼，J 为转动惯量。 解：设系统输入为M （即M （t ）），输出为θ（即θ（t ）），分别对圆盘和质块进行动力学分析，列写动力学方程如下：
第二章控制系统的数学模型 2-1 什么是系统的数学模型？大致可以分为哪些类型？ 答定量地表达系统各变量之间关系的表达式，称工矿企业数学模型。从不同的角度，可以对数学模型进行大致的分类，例如：用来描述各变量间动态关系的数学模型为动态模型，用来描述各变量间稳态关系有数学模型为静态模型；数学模型中各变量与几何位置无关的称为集中参数模型，反之与几何位置有关的称为分布参数模型；变量间关系表现为线性的称为线性模型，反之非线性模型；模型参数与时间有关的称为时变模型，与时间无关的称为时不变或定常模型；以系统的输入、输出变量这种外部特征来描述系统特性的数学模型称为输入输出模型，而以系统部状态变量描述的数学模型称为状态空间模型；等等。 2-2 系统数学模型的获取有哪几种方法？ 答获取系统数学模型的方法主要有机理分析法和实验测试法。 机理分析法是通过对系统部机理的分析，根据一些基本的物理或化学变化的规律而导出支配系统运动规律的数学模型，这样得到的模型称为机理模型。 实验测试法是通过对实际系统的实验测试，然后根据测试数据，经过一定的数据处理而获得系统的数学模型，这样得到的模型可称为实测模型或经验模型。 如果将上述两种方法结合起来，即通过机理分析的方法预先得到数学模型的结构或函数形式，然后对其中的某些参数用实验辨识的方法来确定，这样得到的数学模型可称为混合模型。这是介于上述两种方法之间的一种比较切合实际的应用较为普遍的方法。 2-3 通过机理分析法建立对象微分方程数学模型的主要步骤有哪些？ 答主要步骤有： ⑴根据系统的控制方案和对象的特性，确定对象的输入变量和输出变量。一般来说，对象的输出变量为系统的被控变量，输入变量为作用于对象的操纵变量或干扰变量。 ⑵根据对象的工艺机理，进行合理的假设和简化，突出主要因素，忽略次要因素。 ⑶根据对象的工艺机理，从基本的物理、化学等定律出了，列写描述对象运动规律的原始微分方程式（或方程式组）。 ⑷消去中间变量，推导出描述对象输入变量与输出变量之间关系的方程式。 ⑸根据要求，对上述方程式进行增量化、线性化和无因次化的处理，最后得出无因次的、能够描述对象输入变量与输出变量的增量之间关系的线性微分方程式（对于严重非线性的对象，可进行分段线性化处理或直接导出非线性微分方程式）。 2-4 试述传递函数的定义。如何由描述对象动态特性的微分方程式得到相应的传递函数？并写出传递函数的一般形式。 答对于线性定常系统、对象或环节的传递函数的定义可以表述为：当初始条件为零时，系统、对象或环节输出变量的拉氏变换式与输入变量的拉氏变换式之比。 如果已知系统、对象或环节的动态数学模型用下述线性常系数微分方程式来描述： 式中y 为输出变量， x为输入变量，表示y(t) 的n 阶导数，表示x(t) 的 m阶导数。对于一般实际的物理系统，。 假定初始条件为零，对上式的等号两边进行拉氏变换，得 式中Y(s)是y(t) 的拉氏变换， X(s)是x(t) 的拉氏变换，于是可得传递函数：
+ 第二章控制系统的数学模型 一．是非题 1．惯性环节的输出量不能立即跟随输入量变化，存在时间上的延迟，这是由于环节的惯性造成的。（√） 2．比例环节又称放大环节，其输出量与输入量之间的关系为一种固定的比例关系。（√） 3．积分环节的输出量与输入量的积分成正比。（√） 4．如果把在无穷远处和在零处的的极点考虑在内，而且还考虑到各个极点和零点的重复数，传递函数G （s ）的零点总数与其极点数不等 （×） 二． 选择题 1．比例环节的传递函数为 （A ） A ．K B 。K s C 。 τs D 。以上都不是 2．下面是t 的拉普拉斯变换的是 （B ） A ． 1 S B 。 21S C 。2S D 。S 3．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相串联则总的传递函数是 （C ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。 () () 12G s G s
4．两个环节的传递函数分别为()1G s 和()2G s 则这两个环节相并联则总的传递函数是 （A ） A ．()()12G s G s + B 。()12()G s G s - C ．()()12G s G s D 。() () 12G s G s 三． 填空题 1．典型环节由比例环节，惯性环节， 积分环节，微分环节，振荡环节，纯滞后环节 2．振荡环节的传递函数为22 21k s s τζτ++ 3．21 2 t 的拉普拉斯变换为 3 1 s 4．建立数学模型有两种基本方法：机理分析法和实验辨识法 四．计算题 §2-1 数学模型 1、 线性元部件、系统微分方程的建立 （1）L-R-C 网络 C r u R i dt di L u +?+? = c i C u =? c c c u u C R u C L +'??+''??=
过程控制系统第二章（对象特性）习题 2-1．什么是被控过程的数学模型 2-1解答： 被控过程的数学模型是描述被控过程在输入（控制输入与扰动输入）作用下，其状态和输出（被控参数）变化的数学表达式。 2-2．建立被控过程数学模型的目的是什么过程控制对数学模型有什么要求 2-2解答： 1）目的：○1设计过程控制系统及整定控制参数； ○2指导生产工艺及其设备的设计与操作； ○3对被控过程进行仿真研究； ○4培训运行操作人员； ○5工业过程的故障检测与诊断。 2）要求：总的原则一是尽量简单，二是正确可靠。阶次一般不高于三阶，大量采用具有纯滞后的一阶和二阶模型，最常用的是带纯滞后的一阶形式。 2-2．简述建立对象的数学模型两种主要方法。 2-2解答： 一是机理分析法。机理分析法是通过对对象内部运动机理的分析，根据对象中物理或化学变化的规律(比如三大守恒定律等)，在忽略一些次要因素或做出一些近似处理后推导出的对象特性方程。通过这种方法得到的数学模型称之为机理模型，它们的表现形式往往是微分方程或代数方程。 二是实验测取法。实验测取法是在所要研究的对象上，人为施加一定的输入作用，然后，用仪器测取并记录表征对象特性的物理量随时间变化的规律，即得到一系列实验数据或实验曲线。然后对这些数据或曲线进行必要的数据处理，求取对象的特性参数，进而得到对象的数学模型。 5-12 何为测试法建模它有什么特点 2-3解答： 1）是根据工业过程输入、输出的实测数据进行某种数学处理后得到数学模型。
2）可以在不十分清楚内部机理的情况下，把被研究的对象视为一个黑匣子，完全通过外部测试来描述它的特性。 2-3．描述简单对象特性的参数有哪些各有何物理意义 2-3解答： 描述对象特性的参数分别是放大系数K 、时间常数T 、滞后时间τ。 放大系数K 放大系数K 在数值上等于对象处于稳定状态时输出的变化量与输入的变 化量之比，即 输入的变化量 输出的变化量=K 由于放大系数K 反映的是对象处于稳定状态下的输出和输入之间的关系，所以放大系数是描述对象静态特性的参数。 时间常数T 时间常数是指当对象受到阶跃输入作用后，被控变量如果保持初始速度变 化，达到新的稳态值所需的时间。或当对象受到阶跃输入作用后，被控变量达到新的稳态值的63．2％所需时间。 时间常数T 是反映被控变量变化快慢的参数，因此它是对象的一个重要的动态参数。 滞后时间τ滞后时间τ是纯滞后时间0τ和容量滞后c τ的总和。 输出变量的变化落后于输入变量变化的时间称为纯滞后时间，纯滞后的产生一般是由于介质的输送或热的传递需要一段时间引起的。容量滞后一般是因为物料或能量的传递需要通过一定的阻力而引起的。 滞后时间τ也是反映对象动态特性的重要参数。 5-6 什么是自衡特性具有自衡特性被控过程的系统框图有什么特点 2-3解答： 1）在扰动作用破坏其平衡工况后，被控过程在没有外部干预的情况下自动恢复平衡的特性，称为自衡特性。 2）被控过程输出对扰动存在负反馈。
黄淮学院电子科学与工程系 自动控制原理课程验证性实验报告 实验名称 用MATLAB 建立系统数学模型 实验时间 2012 年10月11日 学生姓名 实验地点 同组人员 专业班级 1、实验目的 1）熟悉MATLAB 实验环境，掌握MATLAB 命令窗口的基本操作。 2）掌握MATLAB 建立控制系统数学模型的命令及模型相互转换的方法。 3）掌握使用MATLAB 命令化简模型基本连接的方法。 4）学会使用Simulink 模型结构图化简复杂控制系统模型的方法。 2、实验主要仪器设备和材料： MATLAB 软件 3、实验内容和原理：（1）控制系统模型的建立 控制系统常用的数学模型有四种：传递函数模型（tf 对象）、零极点增益模型（zpk 对象）、结构框图模型和状态空间模型（ss 对象）。经典控制理论中数学模型一般使用前三种模型，状态空间模型属于现代控制理论范畴。 1）传递函数模型（也称为多项式模型）。连续系统的传递函数模型为 101101() ()() m m m n n n b s b s b num s G s n m a s a s a den s --++ += =≥++ +， 在MATLAB 中用分子、分母多项式系数按s 的降幂次序构成两个向量： 0101[] []m n num b b b den a a a ==，，，，，，，。 用函数tf( )来建立控制系统的传递函数模型，用函数printsys( )来输出控制系统的函数，其命令调用格式为 ()int ()sys tf num den pr sys num den =，，， Tips ：对于已知的多项式模型传递函数，其分子、分母多项式系数两个向量可分别用 .{1}sys num 与.{1}sys den 命令求出。这在MATLAB 程序设计中非常有用。 2）零极点增益模型。零极点模型是传递函数模型的另一种表现形式，其原理是分别对原传递函数的分子、分母进行因式分解，以获得系统的零点和极点的表示形式。 1212()()() ()()()() m n K s z s z s z G s s p s p s p ---= ---，式中，K 为系统增益；12m z z z ， ，为系统零点；12m p p p ，，为系统极点。在MATLAB 中，用向量z p k ，，构成矢量组[]z p k ，，表示系统。
反馈控制系统的数学模型及设计工具 反馈系统的数学模型在系统分析和设计中起着很重要的作用，基于系统的数学模型,就可以用比较系统的方法对之进行分析，同时，一些系统的方法也是基于数学模型的，这就使得控制系统的模型问题显得十分重要。 1数学模型的表示方法 线性时不变(LTI)系统模型包括传递函数模型( tf )，零极点增益模型( zpk )，状态空间模型( ss )和频率响应数据模型 ( frd ) 传递函数模型 线性系统的传递函数模型可以表示成复数变量s 的有理函数式: n n n n n m m m m a s a s a s a s b s b s b s b s G +++++++++=---+-122111121)( 调用格式： G =tf (num, den) 其中][num 121+=m m b b b b ,]1[den 121n n a a a a -= 分别是传递函数分子和分母多项式的系数向量,按照s 的降幂排列.返回值G 是一个tf 对象，该对象包含了传递函数的分子和分母信息。 例1 一个传递函数模型 5 43232)(2342++++++=s s s s s s s G 可以由下面命令输入到MATLAB 工作空间去. >> num=[1 2 3]；den=[1 2 3 4 5];G=tf(num,den) Transfer function: s^2 + 2 s + 3 ---------------------------------- s^4 + 2 s^3 + 3 s^2 + 4 s + 5 对于传递函数的分母或分子有多项式相乘的情况, MATLAB 提供了求两个向量的卷积函数—conv( )函数求多项式相乘来解决分母或分子多项式的输入。conv( )函数允许任意地多层嵌套，从而表示复杂的计算.应该注意括号要匹配，否则会得出错误的信息与结果。 例2 一个较复杂传递函数模型 ) 432)(6()1()3)(2(2)(2342+++++++=s s s s s s s s G 该传递函数模型可以通过下面的语句输入到MATLAB 工作空间去。 >> num=2*conv([1 2],[1 3]); den=conv(conv(conv([1 1],[1 1]),[1 6]),[1 2 3 4]);
自动控制系统的数 学模型 1 2020年4月19日
第二章自动控制系统的数学模型 教学目的： （1）建立动态模拟的概念，能编写系统的微分方程。 （2）掌握传递函数的概念及求法。 （3）经过本课学习掌握电路或系统动态结构图的求法，并能应用各环节的传递函数，求系统的动态结构图。 （4）经过本课学习掌握电路或自动控制系统动态结构图的求法，并对系统结构图进行变换。 （5）掌握信号流图的概念，会用梅逊公式求系统闭环传递函数。 （6）经过本次课学习，使学生加深对以前所学的知识的理解，培养学生分析问题的能力 教学要求： （1）正确理解数学模型的特点； （2）了解动态微分方程建立的一般步骤和方法； （3）牢固掌握传递函数的定义和性质，掌握典型环节及传递函数； （4）掌握系统结构图的建立、等效变换及其系统开环、闭环传递函数的求 2 2020年4月19日
3 2020年4月19日 取，并对重要的传递函数如：控制输入下的闭环传递函数、扰动输入 下的闭环传递函数、误差传递函数，能够熟练的掌握； （5） 掌握运用梅逊公式求闭环传递函数的方法； （6） 掌握结构图和信号流图的定义和组成方法，熟练掌握等效变换代数法 则，简化图形结构，掌握从其它不同形式的数学模型求取系统传递函 数的方法。 教学重点： 有源网络和无源网络微分方程的编写；有源网络和无源网络求传递函数；传递函数的概念及求法；由各环节的传递函数，求系统的动态结构图；由各环节的传递函数对系统的动态结构图进行变换；梅逊增益公式的应用。 教学难点：举典型例题说明微分方程建立的方法；求高阶系统响应；求复杂系统的动态结构图；对复杂系统的动态结构图进行变换； 求第K 条前向通道特记式的余子式k 。 教学方法：讲授 本章学时：10学时 主要内容： 2.0 引言
第二章 数学模型作业与习题解答 2-1 试建立图2-55所示各系统的动态方程，并说明这些动态方程之间有什么特点。图中电压1u 和位移1x 为输入量，电压2u 和位移2x 为输出量；k 、1k 和2k 为弹性系数；f 为阻尼器的阻尼系数。 解： 1212 2 211u idt u u i u C C u u iR i R ?=+?=+????=?=??? 2211 u u u RC + = 21()1()1U s s RCs U s RCs s RC == ++
221fx kx fx += 21()()1f s X s fs k f X s fs k s k ==++ 1111 ()()()1c R Cs U s I s U s R Cs ? =?++ 22()()U s R I s = 22111221()(1) ()U s R R Cs U s R R R R Cs +=++ 12212212121()R R u R R Cu R R Cu R u ++=+ 1222111211 R R u u u u R R R C ++ =+
22 2211 1121212121() (1) 1() 1 1U s R R R R Cs R U s R R R R Cs R R Cs R Cs R R Cs +=== ++? + ++ + 21222111fx k x k x k x fx ++=+ 112121112 12 1()()1k f s k k k x s fs k f x s fs k k s k k ??+ ? ++??= ++++＝ 22211212 1()1 1( )()1 R U s R Cs Cs U s R R Cs R R Cs + +== ++++
15． 速度为 v 的风吹在迎风面积为 s 的风车上，空气密度是 ，用量纲分析方法确定风车 获得的功率 P 与 v 、S 、 的关系 . 解: 设 P 、 v 、 S 、 的关系为 f ( P, v, s, ) 0 ， 其量纲表达式为 : [P]= ML 2T 3 , [ v ]= LT 1 ,[ s ]= L 2 ,[ ]= ML 3 , 这里 L, M ,T 是基本量纲 . 量纲矩阵为： 2 1 2 3 ( L) A= 1 0 0 1 ( M ) 3 1 (T ) ( P) (v) (s) ( 齐次线性方程组为： 2 y 1 y 2 2y 3 3y 4 y 1 y 4 0 3y 1 y 2 它的基本解为 y ( 1,3 ,1,1) 由量纲 P i 定理得 P 1v 3 s 1 1 ， P v 3s 1 1 ， 其中 是无量纲常数 . 16．雨滴的速度 v 与空气密度 、粘滞系数 和重力加速度 g 有关，其中粘滞系数的定义 是：运动物体在流体中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比， 比例系数为粘滞系 数，用量纲分析方法给出速度 v 的表达式 . 解：设 v , , , g 的关系为 f ( v , , , g ) =0. 其量纲表达式为 [ v ]=LM 0T -1 ，[ ]=L -3 MT 0， -2 -1 L -1 -1 -2 -2 -2 -1 -1 0 -2 , 其中 L ，M ， T 是基本量纲 . [ ]=MLT （ LT ） L =MLL T T=L MT ， [ g ]=LM T 量纲矩阵为 1 3 1 1 ( L) A= 0 1 1 0 ( M ) 1 0 1 2 (T ) (v) ( ) ( ) ( g) 齐次线性方程组 Ay=0 ，即 y 1 - 3y 2 - y 3 y 4 0 y 2 y 3 - y 1 - y 3 - 2y 4 的基本解为 y=(-3 ,-1 ,1 ,1) 由量纲 P i 定理 得 v 3 1 g . v 3 g ，其中 是无量纲常数 .
第二章 用拉格朗日方程建立系统的数学模型 §2.1概述 拉格朗日方程——属于能量法，推导中使用标量，直接对整个系统建模 特点：列式简洁、考虑全面、建模容易、过程规范 适合于线性系统也适合于非线性系统，适合于保守系统，也适合于非保守系统。 §2.2拉格朗日方程 1． 哈密尔顿原理 系统总动能 ),,,,,,,(321321N n q q q q q q q q T T = （2－1） 系统总势能 ),,,,(321t q q q q U U N = （2－2） 非保守力的虚功 N N nc q Q q Q q Q W δδδδ ++=2211 （2－3） 哈密尔顿原理的数学描述： 0)(2 1 21 =+-??t t nc t t dt W dt U T δδ （2－4） 2． 拉格朗日方程： 拉格朗日方程的表达式： ),3,2,1()(N i Q q U q T q T dt d i i i i ==??+??-?? （2－5） （推导：） 将系统总动能、总势能和非保守力的虚功的表达式代入哈密尔顿原理式中（变分驻值原理），有 0)( 22112211221122112 1 =+++??-??-??-??++??+??+??+??+??? dt q Q q Q q Q q q T q q U q q U q q T q q T q q T q q T q q T q q T N N N N N N N N t t δδδδδδδδδδδδ （2－6） 利用分步积分
dt q q T dt d q q T dt q q T i t t i t t i i i t t i δδδ?? ??-??=??21212 1 )(][ （2－7） 并注意到端点不变分（端点变分为零） 0)()(21==t q t q i i δδ （2－8） 故 dt q q T dt d dt q q T i i t t i t t i δδ)(212 1 ??-=???? （2－9） 从而有 0)])([2 1 1 =+??-??+??- ?∑=dt q Q q U q T q T dt d i i i t t i i N i δ （ （2－10） 由变分学原理的基本引理： （设 n 维向量函数M(t)，在区间],[0f t t 内处处连续，在],[0f t t 内具有二阶连续导 数，在f t t ,0处为零，并对任意选取的n 维向量函数)(t η，有 ? =f t t T dt t M t 0 0)()(η 则在整个区间],[0f t t 内，有 0)(≡t M ） 我们可以得到： 0)(=+??-??+??- i i i i Q q U q T q T dt d （2－11） 即 i i i i Q q U q T q T dt d =??+??-??)( （2－12） 对非保守系统，阻尼力是一种典型的非保守力，如果采用线性粘性阻尼模型， 则阻尼力与广义速度}{q 成正比，在这种情况下，可引入瑞利耗散（耗能）函数D ， }]{[}{2 1q C q D T ≡ （2－13） 阻尼力产生的广义非保守力为：
学习目标 （1）了解数学建模的方法和步骤以及数学模型的分类。 （2）具备数学建模常用思维方法及能力。 根据研究目的，对研究的过程和现象（称为现实原型或原型）的主要特征、主要关系采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构。所谓“数学化”，指的就是构造数学模型通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法，简称为MM方法。 数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。数学建模有广义和狭义两种解释。广义的说，数学概念，如数、几何、向量、方程都可称为数学模型；狭义的说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方式。数学模型大致可以分为两类：（1）描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是微分方程、积分方程和差分方程等；（2）描述客体或然现象的随机性模型。其数学模型方法是科学研究与创新的重要方法之一。在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。如经调查统计现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80m左右、体重70kg左右，100m成绩10s左右或更好等。 用字母、数字和其它数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述系统的特征及其内在联系或与外界联系的模型，它是真实系统的一种抽象。数学模型是研究和掌握系统运动规律的有利工具，它是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础。 知识链接 一、数学模型的分类 数学模型的种类很多，而且有多种不同的分类方法。例如： （1）按研究方法和对象的数学特征分：初等模型、几何模型、优化模型、微分方程模型、图论模型、逻辑模型、稳定性模型、扩展模型等。 （2）安研究对象的实际领域（或所属学科）分：人口模型、交通模型、环境模型、生态模型、生理模型、城镇规划模型、水资源模型、污染模型、 经济模型、社会模型等。 （3）按是否考虑随机因素分:确定性模型、随机性模型。 （4）按是否考虑模型的变化分：静态模型、动态模型。 （5）按应用离散方法或连续方法分：离散模型、连续模型。 （6）按人们对事物发展过程的了解程度分：黑箱模型、灰箱模型、白箱模型。 白箱模型指那些内部规律比较清楚的模型。如力学、热学、电学以及相关的 工程技术问题。 灰箱模型指那些内部规律尚不十分清楚，在建立和改善模型方面都还不同程 度上都还有许多工作要做的问题。如气象学、生态学、经济学等领域的模型。 黑箱模型指一些内部规律还很少为人们所知的现象。如生命科学、社会科学 等方面的问题。但由于因素众多、关系复杂、也可以简化为灰箱模型来研究。 二、数学建模的一般方法 建立数学模型的方法没有一定的模式，但一个理想的模型应该反映系统的全部 重要特征，模型应具有可靠和实用性。 建模的一般方法 1.机理分析 机理分析就是根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反应内部机