南京市2018届高三数学考前综合题
一．填空题
1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α；
②若l ?α，m ?β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ?α，m ?β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号）
2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，
则双曲线的离心率为 ．
4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC →
，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ．
5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则d
aq
的值是 ．
6．已知函数f (x )＝－34x ＋1
x ，若直线l 1，l 2是函数y ＝f (x )图像的两条平行的切线，则直线l 1，
l 2之间的距离的最大值是 ．
7．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)上一点，F 为椭圆C 的右
焦点，直线FP 与圆O ：x 2
＋y 2
＝b 2
4
相切于点Q ，若Q 恰为线段FP 的中点，则椭圆C 的离
心率为 ．
8．实数x ，y 满足x 2＋2xy ＋4y 2＝1，则x ＋2y 的取值范围是 ． 9．已知AB ＝4，点M ，N 是以AB 为直径的半圆上的任意两点，且MN ＝2，AM →·BN →
＝1，则AB →·MN →＝ ．
10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (1，1)，若圆M ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)上存在两点
A ，
B 使得AP →＝2PB →
，则r 的取值范围是 ．
11．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是 ． 12．已知函数f (x )＝x 2－[k 2＋(2－a )k ＋4－a ]x ＋1，a ，k ∈R ．对于任意k ＞0有：任意x 1∈[－1，0]，任意x 2∈[k ，k ＋2]，f (x 1)≥f (x 2)成立，则a 的最大值是 ．
13．已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，则当a ＋b
取最小值时，b 的值为 ．
14．已知函数f (x )＝x 3－ax ＋1，g (x )＝3x －2，若函数F (x )＝???f (x )，f (x )≥g (x )，
g (x )，f (x )＜g (x )，
有三个零
A
B N
M
点，则实数a 的取值范围是 ． 二．解答题
15．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f '(x )是f (x )的导函数．
（1）求函数F (x )＝f (x )f '(x )＋3f 2(x )的最大值和最小正周期；
（2）若f (x )＝2f '(x )，求sin(2x ＋π
4)的值．
16．设△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →＝0．
（1）求角B 的大小；
（2）若b ＝23，试求AB →·CB →
的最小值．
17．四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面P AD ⊥平面ABCD ，AB ＝2AP ＝2，
PD ＝3．
求证：（1）P A ⊥平面PCD ；
（2）求点C 到平面PBD 的距离．
P
A
B
D
r r
h
18．某地举行水上运动会，如图，岸边有A ，B 两点，相距2千米，∠BAC ＝30°．小船从A
点以v 千米/小时的速度沿AC 方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t 小时与小船相遇．
（1）若v ＝12，运动员从B 处出发游泳匀速直线追赶，为保证在15分钟内（含15分钟）
能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；
（2）若运动员先从A 处沿射线AB 方向在岸边跑步匀速行进 m (0＜m ＜t )小时后，再游
泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为16千米/小时，在水中游泳的速度为8千米/小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v 的最大值．
19．某公司拟建造如图所示的蓄水池，其下方是高为h 的圆柱体，上方是以圆柱上底面为大圆的半径为r 的半球体.设计要求，蓄水池总体积为64π
3m 3，且h ≥2r .经测算，上方半球形部
分每平方米建造费用为c (c ＞3)千元，下方圆柱体的侧面和底面部分平均每平方米建造费用为3千元，设该蓄水池的总建造费用为y 千元.
（1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当该蓄水池的总建造费用y 最小时，求半径r 的值.
A
B
C
岸边
30°
20．某火山喷发停止后，为测量的需要，设距离喷口中心50米内的圆面为第1区，50米至
100米的圆环面为第2区，…，50(n －1)米至50n 米的圆环面为第n 区，n ∈N *，n ≥2．现测得第1区火山灰平均每平方米的重量为1000千克，第2区火山灰平均每平方米的重量较第1区减少2%，…，第n ＋1区火山灰平均每平方米的重量较第n 区减少2%，n ∈N *．设第n 区火山灰的总重量为a n ，n ∈N *． （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）第几区火山灰的总重量最大，说明理由．
21．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝64，以O 1(9，0)为圆心的圆记为圆O 1，已知
圆O 1上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为21． （1）求圆O 1的标准方程；
（2）求过点M (5，5)且与圆O 1相切的直线的方程；
（3）已知直线l 与x 轴不垂直，且与圆O ，圆O 1都相交，记直线l 被圆O ，圆O 1截得
的弦长分别为d ，d 1．若d
d 1＝2，求证：直线l 过定点．
22．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
且两焦点F 1，F 2与椭圆的短轴顶点(0，1)构成直角三角形． （1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线l 1，l 2过右焦点F 2，且它们的斜率乘积为－1
2
，设l 1，l 2分别与椭圆交于点
A ，
B 和
C ，
D ． ①求AB ＋CD 的值；
②设AB 的中点M ，CD 的中点为N ，求△OMN 面积的最大值．
23．已知函数f(x)＝x3＋3|x－a|，a∈R．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f(x)在x＝2处的切线方程；
（2）当x∈[－1，1]时，求函数f(x)的最小值；
（3）已知a＞0，且任意x≥1有f(x＋a)－f(1＋a)≥15a2ln x，求实数a的取值范围．
24．已知函数f(x)＝x－x ln x，g(x)＝
ax
1＋x2
，a∈R．
（1）当a＞0时，求g(x)单调区间；
（2）若a＝2，设0＜n＜m＜1，证明：f(m)＞g(n)；
（3）证明：关于x的方程f(x)＝g(x)有唯一的实数解．
25．设数列{a n}的前n项和为S n，若对任意m，n∈N*，都有S mn＝S m S n，则称数列{a n}具有性质P．
（1）若数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，试判断数列{a n}是否具有性质P；
（2）若正项等差数列{b n}具有性质P，求数列{b n}的公差；
（3）已知正项数列{c n}具有性质P，c2＝3，且任意n∈N*，有c n＋c n＋2≤2c n＋1，求数列{c n}的通项公式．
D
C
B
A P
26．已知数列{a n }的前n 项和为S n ．
（1）若数列{a n }为等差数列，求证：对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a n
m －n ；
（2）若数列{a n }对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a n
m －n ，求证：数列
{a n }为等差数列．
．
三．理科附加题
27．在即将施行的新高考方案中，某科目可以每半年参加一次考试，然后取若干次考试的最高分作为最终成绩．某同学打算参加三次该科目考试，已知第一次考试达到优秀(得分大
于或等于总分的80%)的概率为13，第二次考试达到优秀的概率为1
2，前两次考试相互独立，
第三次考试受到前两次成绩的影响，如果前两次考试至少有一次达到优秀，则第三次考
试达到优秀的概率为23，否则为1
2．
（1）求该同学没能达到优秀的概率；
（2）记该同学达到优秀的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布及期望．
28．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, P A ⊥平面ABCD ，P A ＝3,AB ＝23,BC ＝6．
（1）求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值；
（2）若二面角P －BD －C 的大小为2π
3
，求AD 的长．
29．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，且对于任意n ∈N *有a n ＋4＝a n ＋3＋a n ＋1＋a n ．
（1）求证：任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1；
（2）求证：任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为整数．
30．已知m ∈N *，数列T ：a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1满足如下条件： ①a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1是1，2，3，…，3m ＋1的一个全排列；
②数列a 1，a 2，a 3，…，a 3m ＋1的前n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)项和S n 均不能被3整除． （1）当m ＝1时，写出所有符合条件的数列T ； （2）求满足条件的数列T 的个数f (m )．
参考答案 1：【答案】④．
2：【答案】2π3．【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成
立，即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ)
展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立．
所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3，
又θ∈[0，π]，所以θ＝2π
3
．
3：【答案】2．【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±b
a
x ，
可得两条切线的斜率分别为±b
a
，
则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1， 可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1，
4：【答案】3
8．【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23
AC →
由于AP →与AD →共线，设AP →＝mAD →
，则?
??λ＝m 3，
μ＝2m 3
，
于是2λ＝μ，又2λ＋3μ＝1，解得λ＝18，μ＝1
4，
所以λ＋μ＝3
8
．
5：【答案】2【提示】S 2＝2a ，
S 4＝a 1＋a 3＋a 2＋a 4＝2a ＋d ＋a ＋aq ＝3a ＋d ＋aq ， S 6＝a 1＋a 3＋a 5＋a 2＋a 4＋a 6＝3a ＋3d ＋a ＋aq ＋aq 2＝， 因为S 2：S 4：S 6＝1：3：6，
所以(2a )：(3a ＋d ＋aq )：(4a ＋3d ＋aq ＋aq 2)＝1：3：6，
即???d ＋aq ＝3a ，3d ＋aq ＋aq 2
＝8a ，
所以2aq －aq 2＝a ． 因为a ≠0，所以2q －q 2＝1即q ＝1， 所以d ＝2a ，从而d
aq
＝2．
6：【答案】2．【提示】设切线l 1，l 2的切点为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1＞x 2，
因为f′(x )＝－34－1x 2， 切线l 1，l 2平行，所以－34－1x 12＝－34－1
x 2
2，因此有x 1＝－
x 2＞0，切线l 1，l 2的方程分别为y ＝(－34－1x 12)x ＋2x 1，y ＝(－34－1x 22)x ＋2
x 2
，
于是l 1，l 2之间的距离d ＝
|2x 1－2
x 2
|(－34－1x 1
2)2
＋1＝
4x 1
(－34－1x 12)2
＋1
＝
42516x 12＋1x 12＋32
≤
4
52＋32
＝2， 当且仅当x 1＝25
5
时取等号，于是d 的最大值为2．
7：【答案】
5
3
．【提示】设椭圆C 的左焦点为F 1，连接PF 1，OQ ， 因为Q 为线段FP 中点，O 为线段F 1F 中点， 所以，PF 1＝b ，PF ＝2a －b ，
又OQ ⊥PF ，所以PF 1⊥PF ，因此PF 12＋PF 2＝F 1F 2，
所以b 2＋(2a －b )2＝(2c )2，即b 2＋(2a －b )2＝4(a 2－b 2)，
可得b a ＝23，所以e ＝53
．
8：【答案】[－223，22
3]．【提示】设x ＋2y ＝t ，则y ＝t －x 2，代入x 2＋2xy ＋4y 2＝1得：x 2
－tx ＋t 2－1＝0，
D C
B
A 则△＝t 2－4(t 2－1)≥0，解得－233≤t ≤23
3
．
【说明】注意利用方程有解，求参数的范围．这一方法在数列填空题中经常会用到，例如： 已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项的和为S n ，且S 2＋2，S 3＋4，S 4＋6成等
比数列，则公差d 的最小值是 ．
转化为关于a 1和d 的方程，看作关于a 1的方程有解，列出关于d 的不等式即可，答案－1． 9：【答案】6．
【提示】设圆心为O ，则OM →·ON →＝2，OA →·OB →＝－4，
于是AM →·BN →＝(OM →－OA →)·(ON →－OB →
)
＝OM →·ON →＋OA →·OB →－OA →·ON →－OB →·OM →
＝2－4－OA →·ON →＋OA →·OM →
＝－2－OA →·MN →
＝－2＋12AB →·MN →
＝1
所以AB →·MN →＝6．
【说明】本题考查的加减运算，数量积运算，体现了化归与转化的思想． 10．【答案】(2，32]．
【提示】设B (x 0，y 0)，根据AP →＝2PB →
，可得A (3－2x 0，3－2y 0)， 则有(1－2x 0)2
＋(3－2y 0)2
＝r 2
，即(x 0－12)2＋(y 0－32)2＝r 2
4
，
又(x 0－2)2＋y 02＝r 2，故有r －r
2≤
(2－12)2＋(32)2≤r ＋r
2
，解得：2≤r ≤32，
易知点P (1，1)在圆(x －2)2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，所以r ＞2，
从而r ∈(2，32]
【说明】一般的解析几何中存在性问题，要能有轨迹思想的意识，把存在性问题转化为
有解问题，注意几何与代数之间的相互转化．
11．【答案】4＋43． 【提示】设△BCD 的面积为S ，
则S ＝12×4×BC ×sin ∠BCD ＝2BC sin(∠ACD ＋π
3
)
＝BC sin ∠ACD ＋3BC cos ∠ACD 设∠ADC ＝α，则
AC sin α＝2
sin ∠ACD
， 于是AC sin ∠ACD ＝2sin α，即BC sin ∠ACD ＝2sin α，
又BC cos ∠ACD ＝AC ×AC 2＋42－222AC ×4＝AC 2＋128＝22＋42－2×2×4cos α＋12
8＝4－
2cos α，所以S ＝2sin α＋3(4－2cos α)＝4sin(α－π
3
)＋43，
从而S 的最大值为4＋43，此时α＝5π
6
．
【说明】本题考查正余弦定理及三角恒等变换，注意这类题容易设计成应用题，本题难
点在如何选择变量建立函数．
12．【答案】22－1．
【提示】由题意知：函数f (x )在区间[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在区间[k ，k ＋2]上的最大值．
结合函数f (x )的图像可知：对称轴x ＝k 2＋(2－a )k ＋4－a 2≥k ＋2
2，对任意k ＞0恒成立，
即a ≤k 2＋k ＋2k ＋1，对任意k ＞0恒成立．因为k 2＋k ＋2k ＋1＝k ＋2k ＋1＝k ＋1＋2
k ＋1－1≥22－1，
当且仅当k ＝2－1时取等号，因此当k ＞0时，k 2＋k ＋2
k ＋1的最小值为22－1，于是a ≤22－
1，所以a 的最大值是22－1．
【说明】本题的题意为：函数f (x )在[－1，0]上的最小值不小于函数f (x )在[k ，k ＋2]上的
最大值．在这里不必去求最值，结合函数的图像，只要对称轴满足一定的条件即可．
13．【答案】ln3－1
3
．
【提示】在平面直角坐标系xOy 中，分别作出y ＝ln x 及y ＝a (x －2)＋b 的图像，不等式ln x ≤a (x －2)＋b 对一切正实数x 恒成立，即直线y ＝a (x －2)＋b 恒在曲线y ＝ln x 的上方．a ＋b 最小，即直线y ＝a (x －2)＋b 与x ＝3交点的纵坐标最小．根据图像可知：a ＋b 的最小值为ln3，此时直线y ＝a (x －2)＋b 与曲线y ＝ln x 相切于点(3，ln3)，因此有：a ＝1
3，从而b ＝ln3
－13
． 14．【答案】a ＞35
18
．
【提示】易得f'(x )＝3x 2－a ．
当a ≤0时，函数f (x )在R 上单调递增，F (x )至多两个零点，不满足题意． 当a ＞0时，令f'(x )＝3x 2－a ＝0，解得x ＝±a 3
， 易得函数f (x )在(－∞，－
a 3
)，(a
3
，＋∞)上单调递增，在(－a 3
，a 3
)上单调递减，
在同一坐标系中，分别作出函数f (x )，g (x )的图像，根据图像可知：
当f (
a
3
)＞0时，F (x )有且仅有一个零点；当f (a
3
)＝0时，F (x )有且仅有一个零点；
当f (
a
3
)＜0时，要使得F (x )有三个不同的零点，则f (23)＜0或者?
??f (2
3)≥0，a 3＜23，
解得a ＞35
18
．
15、解：（1）因为f'(x )＝cos x －sin x ，
所以F (x )＝f (x )f'(x )＋3f 2(x )＝cos 2x －sin 2x ＋3＋23sin x cos x
＝3＋3sin2x ＋cos2x ＝3＋2sin(2x ＋π
6)．
所以当2x ＋π6＝π2＋2kπ，即x ＝π
6＋kπ(k ∈Z )时，F (x )max ＝3＋2．
函数F (x )的最小正周期为T ＝2π
2
＝π．
（2）因为f (x )＝2f'(x )，所以sin x ＋cos x ＝2(cos x －sin x )，即cos x ＝3sin x ，故tan x ＝1
3
．
于是sin(2x ＋π4)＝22(sin2x ＋cos2x )＝22(2sin x cos x
sin 2x ＋cos 2x ＋cos 2x －sin 2x sin 2x ＋cos 2x
)
＝22(2tan x 1＋tan 2x ＋1－tan 2x 1＋tan 2x )＝22·2tan x ＋1－tan 2
x
1＋tan 2x
＝22·2×13＋1－(13)2
1＋(13
)
2＝72
10
． 16、解：（1）因为(2a ＋c )BC →·BA →＋cCA →·CB →
＝0，
所以(2a ＋c )ac cos B ＋cab cos C ＝0，即(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0． 由正弦定理得(2sin A ＋sin C )cos B ＋sin B cos C ＝0， 即2sin A cos B ＋sin(C ＋B )＝0，亦即2sin A cos B ＋sin A ＝0，
因为sin A ≠0，故cos B ＝－1
2．
因为B ∈(0，π)，所以B ＝2π
3
．
（2）由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π
3
，即12＝a 2＋c 2＋ac ．
因为12＝a 2＋c 2＋ac ≥3ac ，所以ac ≤4，
所以→AB ·CB →
＝ac cos 2π3＝－12
ac ≥－2，当且仅当a ＝c ＝2时取等号，
所以→AB ·CB →
的最小值为－2．
【说明】本题考查三角恒等变换、向量数量积、正余弦定理．其中第二问要能利用基本不等式求最小值，也可以利用正弦定理建立函数，但过程复杂．
17、（1）证明：因为底面ABCD 为正方形，所以CD ⊥AD ．
又平面P AD ⊥平面ABCD ，CD ?平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ， 所以CD ⊥平面P AD ．
又AP ?平面P AD ，所以CD ⊥AP ．
因为底面ABCD 为正方形，AB ＝2，所以AD ＝2．
因为AP ＝1，PD ＝3，所以AP 2＋PD 2＝AD 2，因此AP ⊥PD ．
又CD ⊥AP ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ?平面PCD ，所以P A ⊥平面PCD ．
（2）解：设点C 到平面PBD 的距离为h ．
由（1）知CD ⊥平面P AD ，因为PD ?平面P AD ，所以CD ⊥PD ． V 三棱锥B －PCD ＝13S △PCD ·P A ＝13×(12×2×3)×1＝3
3
．
因为AB ∥CD ，所以PD ⊥AB ．
由（1）知AP ⊥PD ，又AP ∩AB ＝A ，AP ，AB ?平面APB ，所以PD ⊥平面APB ． 又PB ?平面APB ，所以PD ⊥PB ．
因为底面ABCD 为正方形，且边长为2，所以BD ＝22，又PD ＝3，所以PB ＝5．
于是V 三棱锥C －PBD ＝13S △BPD ·h ＝13×(12×3×5)h ＝15
6
h ．
因为V 三棱锥B －PCD ＝V 三棱锥C －PBD ，所以156h ＝3
3
，解得h ＝255．
即点C 到平面PBD 的距离为25
5
．
18、解：（1）设运动员游泳速度为x 千米/小时，
由题意可知(xt )2＝22＋(12t )2
－2×2×12t cos30°，
整理得x 2＝4t 2－243t ＋144＝(2
t －63)2＋36.
由于0＜t ≤14，所以2
t
≥8，
所以，当2t ＝63即t ＝3
9时，x 2取得最小值36，即x 最小值为6.
答：运动员游泳速度的最小值为6千米/小时.
（2）由题意知[8(t －m )]2＝(16m )2＋(vt )2－2×16m ×vt cos30°，
两边同除以t 2得：192(m t )2＋(128－163v )m
t ＋v 2－64＝0
设m
t
＝k ，0＜k ＜1， 则有192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0，其中k ∈(0，1)，
即关于k 的方程192k 2＋(128－163v )k ＋v 2－64＝0在(0，1)上有解， 则必有△＝(128－163v )2－4×192×(v 2－64)≥0， 解得0＜v ≤1633
，
当v ＝1633时，可得k ＝13∈(0，1)，因此v 为最大值为1633.
答：小船的最大速度为163
3
千米/小时.
19、解：（1）由题意知πr 2h ＋12×43πr 3＝64π
3
，
故h ＝23(32
r 2－r )，
由于h ≥2r ，
因此23(32
r
2－r )≥2r ，解得0＜r ≤2，
所以建造费y ＝2πr 2c ＋(2πrh ＋πr 2)×3＝π(2c －1)r 2＋128π
r ，定义域为(0，2].
（2）由（1）得y ′＝2π(2c －1)(r 3－64
2c －1
)
r 2，
当
642c －1
≥8即3＜c ≤9
2时，y ′≤0恒成立，
此时函数y ＝π(2c －1)r 2＋128π
r
在(0，2]上单调递减，因此r ＝2时，总建造费用y 最小；
当642c －1
＜8即c ＞9
2时，令y ′＝0得r ＝
3
64
2c －1
∈(0，2)， 当0＜r ＜
3
64
2c －1
时，y ′＜0；当3
64
2c －1
＜r ＜2时，y ′＞0， 所以函数y ＝π(2c －1)r 2＋128π
r
在(0，
3
64
2c －1
)上单调递减，在(3
64
2c －1
，2)上单调递增，
所以r ＝
3
64
2c －1
时，总建造费用y 最小. 综上所述，当3＜c ≤9
2
时，总建造费用y 最小时，r ＝2m ；
当c ＞9
2
时，总建造费用y 最小时，r ＝
3
64
2c －1
m. 20、解：（1）设第n 区火山灰平均每平方米的重量为b n 千克，则b n ＝1000(1－2%)n －
1＝1000×0.98n －
1．
设第n 区的面积为c n 平方米，
则当n ≥2时，c n ＝π502n 2－π502(n －1)2＝2500π(2n －1)，
又c 1＝2500π＝2500π(2×1－1)， 因此c n ＝2500π(2n －1)，n ∈N *．
所以第n 区内火山灰的总重量为a n ＝b n c n ＝25×105π(2n －1)×0.98n －
1(千克)．
（2）a n ＋1－a n ＝25×105π(2n ＋1)×0.98n －25×105π(2n －1)×0.98n
－1
＝25×105π[(2n ＋1)×0.98－(2n －1)]×0.98n －
1
＝25×105π(－0.04n ＋1.98)×0.98n －
1．
当1≤n ≤49时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＜a n ＋1， 当n ≥50时， a n ＋1－a n ＜0，即a n ＞a n ＋1， 所以，当n ＝50时，a n 最大． 答：第50区火山灰的总重量最大．
【说明】关注数列应用题．
21、解：（1）由题设得圆O 1的半径为4，所以圆O 1的标准方程为(x －9)2＋y 2＝16．
（2）x ＝5，y ＝－940x ＋49
8
．
（3）设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，则O ，O 1到直线l 的距离分别为h ＝
|m |
1＋k 2
，h 1
＝|9k ＋m |
1＋k
2， 从而d ＝2
64－(m )2
1＋k 2，d 1
＝2
16－(9k ＋m )2
1＋k 2
．
由d d 1＝2，得d 2
d 21
＝64－
m 2
1＋k 216－
(9k ＋m )21＋k 2
＝4， 整理得m 2＝4(9k ＋m )2，故m ＝±2(9k ＋m )， 即18k ＋m ＝0或6k ＋m ＝0，
所以直线l 为y ＝kx －18k 或y ＝kx －6k ， 因此直线l 过定点(18，0)或直线l 过定点(6，0)．
【说明】本题考查直线与圆．求直线方程时，不要忘记斜率不存在的讨论． 22、解：（1）x 22
＋y 2
＝1．
（2）①设AB 的直线方程为y ＝k (x －1)．
联立?????y ＝k (x －1)，x 2
2＋y 2
＝1，消元y 并整理得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2
，
于是AB ＝1＋k 2
|x 1－x 2|＝1＋k 2
×(x 1＋x 2)2
－4x 1x 2＝22＋22k 2
1＋2k 2
，
同理CD ＝22＋22(－1
2k )2
1＋2(－12k
)
2＝42k 2＋2
2k 2＋1
，
于是AB ＋CD ＝22＋22k 21＋2k 2＋42k 2＋2
2k 2＋1
＝32．
②由①知x M ＝2k 21＋2k 2，y M ＝－k 1＋2k 2，x N ＝11＋2k 2，y N ＝k
1＋2k 2
，
所以M (2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2)，N (11＋2k 2，k
1＋2k 2)， 所以MN 的中点为T (1
2
，0)，
于是S ΔOMN ＝12OT ·|y M －y N |＝14|2k 1＋2k 2|＝12×|k|1＋2k
2＝12×11|k |
＋2|k|≤2
8， 当且仅当2|k |＝1|k|，即k ＝±22时取等号，所以△OMN 面积的最大值为2
8
．
【说明】本题考查直线与椭圆的相关知识．最后一问要能发现并利用直线MN 过定点，
简化面积的运算，值得注意．
23、解：（1）当x ＞1时，f (x )＝x 3＋3x －3，f (2)＝11．由f'(x )＝3x 2＋3，得f'(2)＝15．
所以y ＝f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝15(x －2)＋11即15x －y －19＝0． （2）①当a ≤－1时，得f (x )＝x 3＋3x －3a ，因为f'(x )＝3x 2＋3＞0，
所以f (x )在[－1，1]单调递增，所以f (x )min ＝f (－1)＝－4－3a ． ②当a ≥1时，得f (x )＝x 3－3x ＋3a ，因为f'(x )＝3x 2－3≤0， 所以f (x )在[－1，1]单调递减，所以f (x )min ＝f (1)＝－2＋3a ．
③当－1＜a ＜1时，f (x )＝???x 3＋3x －3a ，a ＜x ＜1，
x 3－3x ＋3a ，－1＜x ≤a ，
由①②知：函数f (x )在(－1，a )单调递减，(a ，1)单调递增，所以f (x )min ＝f (a )
＝a 3．
综上，当a ≤－1，f (x )min ＝－4－3a ；
当－1＜a ＜1时，f (x )min ＝a 3； 当a ≥1时，f (x )min ＝－2＋3a ．
（3）当a ＞0，且任意x ≥1有f (x ＋a )－f (1＋a )≥15a 2ln x ，
即对任意x ≥1有(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3≥0． 设g (x )＝(x ＋a )3＋3x －15a 2ln x －(a ＋1)3－3，
则g (1)＝0，g'(x )＝3(x ＋a )2
＋3－15a 2x ．
设h (x )＝g'(x )＝3(x ＋a )2
＋3－15a 2
x
，
因为a ＞0，x ≥1，所以h'(x )＝6(x ＋a )＋15a 2
x
2＞0，所以h (x )在[1，＋∞)单调递
增，
所以h (x )≥h (1)，即g'(x )≥g'(1)＝3(1＋a )2＋3－15a 2＝－(a －1)(2a ＋1)， ① 当g'(1)≥0即0＜a ≤1时，所以g'(x )≥0恒成立，
所以g (x )在[1，＋∞)单调递增，此时g (x )≥g (1)＝0，满足题意． ② 当g'(1)＜0即a ＞1时，
因为g'(a )＝12a 2－15a ＋3＝3(a －1)(4a －1)＞0，且g'(x )在[1，＋∞)单调递增，
所以存在唯一的x 0＞1，使得g'(x 0)＝0，
因此当1＜x ＜x 0时g'(x )＜0；当x ＞x 0时g'(x )＞0； 所以g (x )在(1，x 0)单调递减，(x 0，＋∞)单调递增．
所以g (x 0)＜g (1)＝0，不满足题意． 综上，0＜a ≤1．
【说明】本题主要考查利用导数求函数的最值，绝对值函数处理方法，分类讨论思想及函
数极值点常见的处理方法．其中第三问要能通过g'(1)的大小来分类． 24、解：（1）因为g'(x )＝a (1－x )(1＋x )
(1＋x 2)2
，
所以g (x )单调减区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，单调增区间为(－1，1)． （2）因为f (x )＝x －x ln x ，f'(x )＝1－ln x －1＝－ln x ，
当0＜x ＜1时，f'(x )＞0，所以f (x )在(0，1)上单调递增， 因为0＜n ＜m ＜1，所以f (m )＞f (n )，下面证明f (n )＞g (n )， f (n )－g (n )＝n －n ln n －2n
n 2＋1＝n (n 2－1n 2＋1－ln n )
设φ(n )＝n 2－1
n 2＋1－ln n ，0＜n ＜1，
则φ'(n )＝－(n 2－1)2
n (n 2＋1)2
＜0，
所以φ(n )在(0，1)上单调递减，所以φ(n )＞φ(1)＝0， 所以n 2－1
n 2＋1－ln n ＞0，从而f (n )＞g (n )，
又f (m )＞f (n )，所以f (m )＞g (n )．
（3）由方程f (x )＝g (x )，得x －x ln x ＝
ax
1＋x 2
， 因为x ＞0，所以等价于证：关于x 的方程1－ln x ＝a
1＋x 2
在(0，＋∞) 有唯一的
实数解，
即证：关于x 的方程x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ＝0在(0，＋∞)有唯一的实数解．
设h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a ，h'(x )＝2x ln x －x ＋1
x ．
设m (x )＝2x ln x －x ＋1
x
，
因为m'(x )＝2ln x －1
x 2＋1在(0，＋∞)单调递增，且m'(1)＝0，
所以当0＜x ＜1时，m'(x )＜0；当x ＞1时，m'(x )＞0， 因此m (x )在(0，1)上单调递减，m (x )在(1，＋∞)上单调递增， 从而m (x )≥m (1)＝0，即h'(x )≥0恒成立，
所以h (x )＝x 2(ln x －1)＋ln x －1＋a 在(0，＋∞)单调递增． 因为h (e)＝a ，h (e 1－
a )＝－a e 2
－2a
，
① 当a ＝0时，因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，且h (e)＝0，
所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点x ＝e ．
②当a ≠0时，则h (e)h (e 1－
a )＜0，又因为h (x )在(0，＋∞)单调递增，
所以h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点．
综上所述，函数h (x )在(0，＋∞)存在唯一的零点，即方程f (x )＝g (x )有唯一的实数
解．
【说明】考查函数零点问题、零点存在性定理，函数与方程思想、数形结合思想问题，学
会利用导数来研究函数的图象和性质．
25、解：（1）S 2＝a 1＋a 2＝1＋2＝3，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋4＋8＝15≠S 22，故{a n }不具有性质P ．
（2）由S mn ＝S m S n ，得S 1＝S 12，又S 1＞0，所以b 1＝S 1＝1．
设数列{b n }公差为d ，则S n ＝n ＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(1－d
2
)n ．
又对任意m ，n ∈N *，都有S mn ＝S m S n ，从而d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝[d
2m 2＋(1－
d 2)m ][d 2n 2＋(1－d 2)n ]，即d 2(mn )2＋(1－d 2)mn ＝(d 2)2(mn )2＋d 2(1－d 2)m 2n ＋d
2(1－d 2)mn 2＋(1－d
2
)2mn ， 因为上式关于m ，n 恒成立，
所以d 2＝(d 2)2，d 2(1－d 2)＝0，1－d 2＝(1－d 2)2，
解得d ＝0或d ＝2． （3）同（2）可知c 1＝1，
因为c n ＋c n ＋2≤2c n ＋1，所以c n ＋2－c n ＋1 ≤c n ＋1－c n ， 因此c n ＋1－c n ≤c 2－c 1＝2，
于是c 2－c 1≤2， c 3－c 2≤2， …… c n ＋1－c n ≤2，
累加得c n ＋1－c 1≤2n ，即c n ＋1≤2n ＋1，从而c n ≤2(n －1)＋1＝2n －1，n ≥2， 又c 1＝1＝2×1－1，因此c n ≤2n －1，n ∈N *． 因为S 2n ＝S 2S 2n －
1＝4S 2n －
1，
所以数列{S 2n －
1}是首项为1，公比为4的等比数列，从而S 2n ＝4n ．
因为c n ≤2n －1，n ∈N *，所以对于任意k ∈N *，S k ≤1＋3＋…＋(2k －1)＝k 2． 又对于任意k ∈N *，存在m ∈N *，使得2m －
1≤k ＜2m ，
所以S k ＝S 2m －(c k ＋1＋c k ＋2＋…＋c 2m )≥4m －(2k ＋1＋2k ＋3＋…＋2×2m －1)＝
k 2，
因此S k ＝k 2．
所以当n ≥2时，c n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1， 又c 1＝1＝2×1－1，所以c n ＝2n －1． 经检验c n ＝2n －1满足题设条件， 从而c n ＝2n －1．
【说明】本题考查学生对新定义的理解；考查等差、等比数列基本量，恒成立问题的处
理方法，累加法及简单不等式的放缩；考查学生综合处理问题的能力．
26、证明：（1）设数列{a n }公差为d ，
于是2S m ＋n
m ＋n ＝2[(m ＋n )a 1＋(m ＋n )( m ＋n －1)
2d ]
m ＋n
＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，
a m ＋a n ＋a m －a n m －n ＝2a 1＋(m ＋n －2)d ＋d ＝2[a 1＋(m ＋n －1)d ]，
所以2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a n
m －n
．
（2）因为对任意m ，n ∈N *，且m ≠n ，都有2S m ＋n m ＋n ＝a m ＋a n ＋a m －a n
m －n
， ①
在①中令m ＝n ＋1得，
2S 2n ＋1 2n ＋1
＝a n ＋1＋a n ＋a n ＋1－a n
1＝2a n ＋1， ②
由①得2S m ＋n ＋1m ＋n ＋1＝a m ＋a n ＋1＋a m －a n ＋1
m －n －1，
令m ＝n ＋4得，2S 2n ＋5 2n ＋5
＝a n ＋4＋a n ＋1＋a n ＋4－a n ＋13＝4a n ＋4＋2a n ＋1
3， ③
由②得
2S 2n ＋5 2n ＋5
＝2a n ＋3，因此2a n ＋3＝4a n ＋4＋2a n ＋13，即a n ＋4＝3a n ＋32－a n ＋1
2，
于是a n ＋4＋a n ＋2－2a n ＋3＝－1
2(a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2)，
所以a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝(－12
)n －
1( a 4＋a 2－2a 3)，
在①中令m ＝1，n ＝3，得2S 4 4＝3a 3＋a 1
2，即a 2＋a 4＝2a 3，
于是a n ＋3＋a n ＋1－2a n ＋2＝0，即当n ≥2时，a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1，
在①中令m ＝1，n ＝2，得2S 3
3＝2a 2，即a 1＋a 3＝2a 2，
因此对于任意n ∈N *有a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1， 从而数列{a n }为等差数列．
【说明】本题等差数列的通项与求和及数列的递推，其中第二问含有双变量值得关注 三、理科附加题 27、解：（1）1
6
．
（2）ξ可能的取值为0，1，2，3．
P (ξ＝0)＝16；P (ξ＝1)＝13×12×13＋23×12×13＋23×12×12＝1
3
；
P (ξ＝2)＝13×12×13＋13×12×23＋23×12×23＝718；P (ξ＝3)＝13×12×23＝1
9；
故随机变量ξ的概率分布为
E (ξ)＝0×16＋1×13＋2×718＋3×19＝13
9
．
【说明】本题考查独立事件的概率．
28、解：因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，
因为AD ∥BC ,∠ABC ＝90°, 所以AB ⊥AD ．
以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A －xOy ， 则B (23，0，0)， C (23，6，0)，P (0，0，3)
（1）PB →＝(23，0，－3)， AC →
＝(23，6，0)，
所以cos ＜PB →，AC →
＞＝PB →·AC →|PB →|·|AC →|
＝77，
即异面直线PB 与AC 所成角的余弦值为
7
7
． （2）设AD ＝a (a ＞0)，则D (0，a ，0)，所以BD →
＝(－23，a ，0)，
设平面PBD 的法向量→
n ＝(x ，y ，z )，
则?????BD →·→n ＝0PB →·→n ＝0
，即?????－23x ＋ay ＝0 23x －3z ＝0，取x ＝3，则y ＝6a ，z ＝2，则→
n ＝(3，6a ，2)．
又平面BCD 的一个法向量→
m ＝(0，0，1)，二面角P －BD －C 的大小为2π3，
所以|→m ·→
n
|→m |·|→n ||＝1
2
，即|
23＋36
a
2＋4
|＝1
2，解得a ＝2． 经检验，当AD ＝2，二面角P －BD －C 的大小为2π
3
．
【说明】考查异面直线所成角，二面角的平面角的计算． 29、证明：（1）因为a 3＝a 2＋a 1，因此n ＝1时，命题成立；
假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k ＋1＝a 2k ＋a 2k －1， 则a 2k ＋3＝a 2k ＋2＋a 2k ＋a 2k －1＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1， 即n ＝k ＋1时，命题也成立，
因此任意n ∈N *，a 2n ＋1＝a 2n ＋a 2n －1．
（2）易知a 1＝1，a 2＝1，a 3＝2，a 4＝4，a 5＝6，a 6＝9，a 7＝15，a 8＝25， a 2a 4＝2，a 4a 6＝6，a 6a 8＝15， 猜想a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *， 证明：当n ＝1时，命题成立；
假设n ＝k 时，命题成立，即a 2k a 2k ＋2＝a 2k ＋1， 则a 2k ＋2a 2k ＋4＝a 2k ＋2(a 2k ＋3＋a 2k ＋1＋a 2k )
＝a 2k ＋2(a 2k ＋2＋a 2k ＋1＋a 2k ＋1＋a 2k ) ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k a 2k ＋2 ＝a 2k ＋22＋2a 2k ＋1a 2k ＋2＋a 2k ＋12 ＝a 2k ＋2＋a 2k ＋1 ＝a 2k ＋3，
即n ＝k ＋1时，命题也成立，
所以a 2n a 2n ＋2＝a 2n ＋1，n ∈N *，
又a 2n ＋1∈N *，因此任意n ∈N *，a 2n a 2n ＋2为正整数．
【说明】本题考查数学归纳法，第二问解决的关键是：要能通过前几项归纳发现a 2n ，a 2n
＋1
，a 2n ＋2成等比数列．进而得到a 2n a 2n ＋2为整数．
30、解：（1）满足条件的数列T 有：
1，3，4，2； 1，4，3，2； 1，4，2，3；
4，3，1，2； 4，1，3，2； 4，1，2，3；
（2）设a n (1≤n ≤3m ＋1，n ∈N *)除以3的余数为为b n ，
于是数列T 的前n 项和能否被3整除，由数列{b n }：b 1，b 2，…，b 3m ＋1决定， 因为数列{b n }中有m 个0，m ＋1个1，m 个2，
因此数列{b n }中由m ＋1个1及m 个2组成的排列应为：1，1，2，1，2，…，1，2．
数列{b n }中的m 个0除了不能排首位，可排任何位置，共有C m 3m 种排法， 故满足条件的数列T 共有：C m 3m
×m !×m !×(m ＋1)!＝(3m )!m !(m ＋1)!(2m )!个， 因此f (m )＝(3m )!m !(m ＋1)!
(2m )!
．
【说明】本题考查排列组合的应用，对于整除问题要能按余数进行分类处理．
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
广东省华南师范大学附中 2013届高三5月综合测试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的 1. 已知i 是虚数单位，则复数3 2 32i i i z ++=所对应的点落在 A. 第一象限； B. 第二象限； C. 第三象限； D. 第四象限 2. 已知全集R U =，}21|{<<-=x x A ，}0|{≥=x x B ，则=)(B A C U A. }20|{<≤x x ； B. }0|{≥x x ； C. 1|{->x x ； D. }1|{-≤x x 3. 公比为2的等比数列}{n a 的各项都是正数，且16122=a a ，则=92log a A. 4； B. 5； C. 6； D. 7 4. 若y x 、满足约束条件?? ?≤+≥+1 02 2 y x y x ，则y x +2的取值范围是 A. ??? ? ??5,22 ； B. ?? ? ???-22,22； C. [ ] 5,5-； D. ?? ????-5, 2 2 5. N M 、分别是正方体1AC 的棱1111D A B A 、的中点，如图是过A N M 、、和1C N D 、、的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为 6. 若将函数5 2)(x x f =表示为5 52 210)1()1()1()(x a x a x a a x f +++++++= ，其中0a ，1a ，2a ， ，5a 为实数，则=3a A. 10； B. 20； C. 20-； D. 10- 7. 在ABC ?中，已知向量)72cos ,18(cos ??=，)27cos 2,63cos 2(??=，则ABC ?的面积为 A. 22； B. 42； C. 2 3 ； D. 2 A C B D A C D B N M 1 B 1 C
南京市2018届高三数学考前综合题 一．填空题 1．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α； ②若l ?α，m ?β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ?α，m ?β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ． 其中是真命题的有 ．（填所有真命题的序号） 【答案】④． 【说明】考查基本的直线与直线，直线与平面，平面与平面基本位置关系的判断． 2．已知函数f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，θ∈[0，π]，则角θ的值为 ． 【答案】2π 3 ． 【提示】因为f (x )＝3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)为偶函数，所以f (x )＝f (－x )恒成立， 即3sin(x ＋θ)＋cos(x －θ)＝3sin(－x ＋θ)＋cos(－x －θ) 展开并整理得(3cos θ＋sin θ)sin x ＝0恒成立． 所以3cos θ＋sin θ＝0，即tan θ＝－3， 又θ∈[0，π]，所以θ＝2π 3 ． 【说明】本题考查函数的奇偶性，以及三角恒等变换，这类问题也可以利用特殊值代入建立方程求解． 3．在平面直角坐标系xOy 中，过抛物线x 2＝4y 焦点的直线l 交抛物线于M ，N 两点，若抛物线在点M ，N 处的切线分别与双曲线C 2：x 2a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线平行，则双曲线的离心率为 ． 【答案】2． 【提示】由双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程y ＝±b a x ， 可得两条切线的斜率分别为±b a ， 则两条切线关于y 轴对称，则过抛物线C 1：x 2＝4y 焦点(0，1)的直线l 为y ＝1， 可得切点为(－2，1)和(2，1)，则切线的斜率为±1， 即a ＝b ，于是e ＝2． 【说明】本题考查抛物线、双曲线的简单几何性质，要能通过分析得到直线l 为y ＝1，这是本题的难点． 4．已知点P 是△ABC 内一点，满足AP →＝λAB →＋μAC → ，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ，BD ＝2DC ，则λ＋μ＝ ． 【答案】3 8 ． 【提示】因为BD ＝2DC ，所以AD →＝13AB →＋23 AC →
绝密★启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 1．设1i 2i 1i z -= ++，则||z = A ．0 B ． 12 C ．1 D 2．已知集合{} 2 20A x x x =-->，则A =R e A ．{} 12x x -<< B ．{} 12x x -≤≤ C ．}{}{ |1|2x x x x <->U D ．}{}{ |1|2x x x x ≤-≥U 3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图： 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少 B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12- B ．10- C ．10 D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为 A ．2y x =- B ．y x =- C ．2y x = D ．y x = 6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u r A ．3144 AB AC -u u u r u u u r B ．1344 AB AC -u u u r u u u r C ．3144 AB AC +u u u r u u u r D ．1344 AB AC +u u u r u u u r 7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．设抛物线C ：y 2 =4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为2 3 的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ?u u u u r u u u r = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 9．已知函数e 0()ln 0x x f x x x ?≤=? >?，， ，， ()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是 A ．[–1，0） B ．[0，+∞） C ．[–1，+∞） D ．[1，+∞） 10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直 角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2 B ．p 1=p 3 C ．p 2=p 3 D ．p 1=p 2+p 3
启恩中学2013届高三数学（理）综合训练题(四) 一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．若集合}1 |{2x y y M = =,{|1}P y y x ==-, 那么=P M A ．[0, )+∞ B ． (0, )+∞ C ．(1, )+∞ D ．[1, )+∞ 2．在等比数列{}n a 中，已知 13118a a a =，那么28a a = A ．4 B ．6 C ．12 D ．16 3．在△ABC 中，90, (, 1), (2, 3)C AB k AC ∠=?== ，则k 的值是 A ． 2 3 B ．－5 C ．5 D ．2 3 - 4．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第 一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；…；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． 设成绩小于17秒的学生人数占全班人数的百分比为 x ，成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为 y ，则从频率分布直方图中可分析出 x 和y 分别为 A ．0.935， B ．0.945， C ．0.135， D ．0.145， 5．设βα,为互不重合的平面，n m ,为互不重合的直线，给出下列四个命题： ① 若αα?⊥n m ,, 则n m ⊥；② 若, , //, //m n m n ααββ??，则 βα//； ③ 若, , , m n n m αβαβα⊥=?⊥ ，则β⊥n ；④ 若, , //m m n ααβ⊥⊥，则β//n ． 其中所有正确命题的序号是 ： A ．①③ B ．②④ C ．①④ D ．③④ 6．已知α∈( 2π，π)，sin α=53 ， 则)4 2tan(πα+等于：
南京市2021届高三年级学情调研 数 学 2020.09 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知集合A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |1＜x ＜3 }，则A ∩B ＝ A ．{x |－1＜x ＜3} B ．{x |－1＜x ＜1} C ．{x |1＜x ＜2} D ．{x |2＜x ＜3} 2．已知(3－4i)z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且|a ＋b |＝3，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．5π6 D ．2π3 4．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (43，0)到双曲线C ：x 2a 2－y 2 9＝1的一条渐近线的距离 为6，则双曲线C 的离心率为 A ．2 B ．4 C ． 2 D ． 3 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2b cos C ≤2a －c ，则角B 的取值范围是 A ．(0，π3] B ．(0，2π3] C ．[π3，π) D ．[2π 3，π) 6．设a ＝log 4 9，b ＝2 －1.2 ，c ＝(827 )－1 3，则 A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞c C ．a ＞c ＞b D ．c ＞a ＞b 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆A ：(x －1)2＋y 2＝1，点B (3，0)，过动点P 引圆A 的切线，切点为T ．若PT ＝2PB ，则动点P 的轨迹方程为 A ．x 2＋y 2－14x ＋18＝0 B ．x 2＋y 2＋14x ＋18＝0 C ．x 2＋y 2－10x ＋18＝0 D ．x 2＋y 2＋10x ＋18＝0 8．已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (1＋x )＝f (1－x )．若当x ∈(0，1]时，f (x )＝log 2(2x ＋3)，则f (93 2 )的值是 A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，
2018年普通高等学校招生全国统一考试(理科数学全国卷3) 数 学(理科) 一、选择题：本题共12小题。每小题5分. 1.已知集合{}10A x x =-≥，{}2,1,0=B ，则=?B A （ ） .A {}0 .B {}1 .C {}1,2 .D {}0,1,2 2.()()=-+i i 21 （ ） .A i --3 .B i +-3 .C i -3 .D i +3 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头，若如图摆放的木构件与某一卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( ) 4. 若1 sin 3α= ，则cos 2α= （ ） .A 89 .B 79 .C 79- .D 89- 5. 25 2()x x +的展开式中4x 的系数为 （ ） .A 10 .B 20 .C 40 .D 80 6.直线20x y ++=分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，点P 在圆()2 2 22x y -+=上，则ABP ?面积 的取值范围是 （ ） .A []2,6 .B []4,8 .C .D ?? 7.函数422y x x =-++的图像大致为 （ ）
8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，4.2=DX ,()()64=<=X P X P ，则=P （ ） .A 0.7 .B 0.6 .C 0.4 .D 0.3 9.ABC ?的内角C B A 、、的对边分别c b a 、、,若ABC ?的面积为222 4 a b c +-，则=C （ ） . A 2π . B 3π . C 4π . D 6 π 10.设D C B A 、、、是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为，则三棱锥ABC D -积的最大值为 （ ） .A .B .C .D 11.设21F F 、是双曲线C : 22 221x y a b -=（0,0>>b a ）的左、右焦点，O 是坐标原点，过2F 作C 的一 条渐近线的垂线，垂足为P ，若1PF =，则C 的离心率为 （ ） .A .B 2 .C .D 12.设3.0log 2.0=a ，3.0log 2=b ，则 （ ） .A 0a b ab +<< .B 0a b a b <+< .C 0a b a b +<< .D 0ab a b <<+
广东省13大市2013届高三上期末考数学文试题分类汇编 复数 1、（潮州市2013届高三上学期期末）12i i += A ．i --2 B ．i +-2 C ．i -2 D ．i +2 答案：C 2、（东莞市2013届高三上学期期末）若复数z 满足(12)2i z i +=+，则z = ． 答案：i 5 354- 3、（佛山市2013届高三上学期期末）设i 为虚数单位，则复数i 2i +等于 A ．12i 55+ B ． 12i 55-+ C ．12i 55- D ．12i 55 -- 答案：A 4、（广州市2013届高三上学期期末）复数1+i （i 为虚数单位）的模等于 A ．2 B ．1 C ． 22 D ．12 答案：A 5、（惠州市2013届高三上学期期末）i 是虚数单位，若(i 1)i z +=，则z 等于（ ） A ．1 B ．32 C. 22 D. 12 答案：C 6、（江门市2013届高三上学期期末）若) )( 2(i b i ++是实数（i 是虚数单位，b 是实数）， 则=b A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 答案：D 7、（茂名市2013届高三上学期期末）计算：2 (1)i i +=( ) A ．-2 B ．2 C ．2i D ．-2i 答案：A 8、（汕头市2013届高三上学期期末）如图在复平面内，复数21,z z 对应的向量分别是OB OA ,，则复数21z z -的值是( )． A ．i 21+- B ．i 22-- C ．i 21+ D ．i 21- 答案：B
9、（增城市2013届高三上学期期末）复数5-2+i = A ． 2+i B ． 2i -+ C ． 2i -- D ． 2i - 答案：C 10、（湛江市2013届高三上学期期末）复数z 满足z ＋1＝2＋i （i 为虚数单位），则z （1－i ）＝ A 、2 B 、0 C 、1＋i D 、i 答案：A 11、（肇庆市2013届高三上学期期末）设i 为虚数单位，则复数11i i +=-（ ） A ． i B ．i - C ．1i + D ．1i - 答案：A 12、（珠海市2013届高三上学期期末）已知是虚数单位，复数i i +3＝ A ．i 103101+ B ．i 103101+- C ．i 8 381+- D ．i 8381-- 答案：A
市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 2018.05 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的、学校、班级、学号写在答题纸的密封线．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格．考试结束后，交回答题纸． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定 位置上） 1．集合A ＝{x| x 2 ＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2 －4＝0}，则A ∪B =▲________． 2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________． 3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________． 5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________． 6．若实数x ，y 满足? ????x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则y x 的取值围为▲________． 7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）． S ←1 I ←1 While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S (第3题图) (第4题图)
南京市2020届高三第二次模拟考试数学 2020.3.24 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、已知集合{}|lg M x y x ==，{} |1N x y x ==-，则M N I = 2、已经复数z 满足(2)1z i i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的模是 3、若0,0x y ≥≥，且11x +≤，则z x y =-的最大值是 4、已知函数2()21,f x x ax =++其中[]2,2a ∈-，则函数() f x 有零点的概率是 5、下图是根据某小学一年级10名学生的身高（单位：cm ）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的 百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，则选10名学生平均身高是 cm 6、根据如图所示的算法语句，可得输出的结果是 7、等比数列{}n a 的公比q ﹥0，已知11116n m m a a a a ++=++=，则{} n a 的前四项和是 8、过点（1，2）的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当AOB V D 的面积最小时，直线l 的方程是 9、若平面向量a,b 满足｛a+b ｝=1,a+b 平行于y 轴，a=(2,-1),则b= 10、定义在R 上的奇函数()f x ,当x∈（0，+∞）时，f(x)=2log x ,则不等式f(x)<-1的解集是 。 11、.以椭圆 22 221x y a b +=（a>b>0）的右焦点为圆心的圆经过原 点O ，且与该椭圆的右准线交与A ，B 两点，已知△O AB 是正三 角形，则该椭圆的离心率是 。 12、定义在R 上的()f x 满足()f x =13,0, (1)(2),0, x x f x f x x -?≤?--->?则 10 7 8 11 2 5 5 6 8 12 3 4 119 1Pr int S I While I I I S S I End While S ←←≤←+←+
高三数学201712 青浦区2017学年第一学期高三年级期终学业质量调研测试 数学试题 2017.12.19 （满分150分，答题时间120分钟） 学生注意： 1． 本试卷包括试题纸和答题纸两部分． 2． 在试题纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 3． 可使用符合规定的计算器答题． 一.填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分. 1．设全集=U Z ，集合{ }{}2,1,0,1,2,2,1--==P M ，则P M U e=________． 2．已知复数i 2i z = +（i 为虚数单位），则z z ?=． 3．不等式2 3(1) 43122x x x ---??> ??? 的解集为． 4．函数( )2cos cos f x x x x =+的最大值为． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以直线2y x =±为渐近线，且经过椭圆2 2 +14 y x =右顶点的双曲 线的方程是. 6．将圆锥的侧面展开后得到一个半径为2的半圆，则此圆锥的体积为. 7．设等差数列{}n a 的公差d 不为0，19a d =．若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k =． 8．已知6 (12)x +展开式的二项式系数的最大值为a ，系数的最大值为b ，则b a =． 9．同时掷两枚质地均匀的骰子，则两个点数之积不小于4的概率为. 10．已知函数22 log (),0()3,0 x a x f x x ax a x +≤?=? -+>?有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是． 11．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，121a a ==，平面内三个不共线的向量,,OA OB OC ， 满足11()(1), 2.n n n OC a a OA a OB n n -+=++-≥∈* N ，若,,A B C 在同一直线上，则 2018S =. 12．已知函数()()(2)f x m x m x m =-++和()33x g x =-同时满足以下两个条件：
江苏省2013届高三最新数学（精选试题26套）分类汇编1：集合 一、填空题 1 ．（江苏省常州市奔牛高级中学2013年高考数学冲刺模拟试卷）已知全集U ={1,2,3,4,5,6,7}, 集合2{|650}M x x x =∈-+Z ≤,则集合U M eu =______. 【答案】{6,7} 2 ．（江苏省南通市海门中学2013届高三下学期5月月考数学试卷）已知集合 {} 0322<-+=x x x A ,{}21<-=x x B ,则=?B A __________. 【答案】)1,1(- 3 ．（江苏省西亭高级中学2013届高三数学终考卷）设A ,B 是两个非空的有限集合，全集U =A ∪B , 且U 中含有m 个元素.若()()A B U U C C 中含有n 个元素，则A ∩B 中所含有元素的个数为 ▲ . 【答案】m -n 4 ．（江苏省启东中学2013届高三综合训练（1））已知全集{12345}U =，，，，,集合 2 {|320}A x x x =-+=,{|2}B x x a a A ==∈，,则集合()U A B e=__. 【答案】{3,5}; 5 ．（江苏省常州市第五中学2013年高考数学文科）冲刺模拟试卷）已知全集U =R ,集合 2{|log 1}A x x =>,则U A e=____. 【答案】(-∞,2] 6 ．（武进区湟里高中2013高三数学模拟试卷）集合{}1,0,1A =-,A 的子集中,含有元素0的 子集共有__________个 【答案】解析:子集中的元素为来自集合{}1,1-,所以子集的个数为2 24=. 7 ．（江苏省常州市金坛市第一中学2013年高考冲刺模拟试卷）集合 {}1,0,1A =-,{}2 |1,B x x m m R ==+∈,则A B = ________. 【答案】{ }1; 8 ．（江苏省2013届高三高考压轴数学试题）在整数集Z 中,被5除所得余数为k 的所有整数 组成一个“类”,记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z},k=0,1,2,3,4.给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3 ∈ [3]; ③z=[0]∪[1] ∪[2] ∪[3] ∪[4]; ④“整数a,b 属于同一‘类”的充要条件是“a -b∈[0]” 其中,正确结论的个数是________个 【答案】3 9 ．（江苏省扬州市2013届高三下学期5月考前适应性考试数学（理）试题）已知集合
南京市2020届高三第一次模拟考试（数学） 2020.01 n 参考公式：1.样本数据X I ,X 2,L ,X n 的方差s 2 - （x i X ）2，其中x 是这组数据的平均 n i i 数。 2. 柱体、椎体的体积公式：v 柱体ShV 椎体Ish ，其中S 是柱（锥）体的底面面积，h 3 是高。 一、填空题：（5分X 14=70分） 1.函数 y V2X ―X 2 的定义域是 _______ . _______ 2. 已知复数z 满足（z 2）i 1 i （ i 为虚数单位），则z 的模 为 _______ . _____ X y 2 0, 3. 已知实数x,y 满足X y 0, 则z 2X y 的最小值 X 1, 是 . 4. 如图所示的流程图，若输入的X 9.5，则输出的结果 为 5. 在集合A 2,3中随机取一个元素m ，在集合B 1,2,3中随机取一个元素 n ，得到 点P （m, n ），则点P 在圆X 2 y 2 9内部的概率为 . 6. 已知平面向量a,b 满足|a| 1,|b| 2，a 与b 的夹角为_，以a,b 为邻边作平行四边 3 形，贝吐匕平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为 l |47g3 7. 为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在 6」 场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差I 为 . 8. 在厶ABC 中,角A B C 所对的边分别为a 、b 、c ,若1 业冬，则角A 的大小 tanB b 为 . 2 2 9. 已知双曲线C:务与1（a 0,b 0）的右顶点、右焦点分别为 A F,它的左准线与X a b 轴的交点为B ,若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 二 雪）
合肥市2018年高三第一次教学质量检测 数学试题(理科) (考试时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． (1)已知i 为虚数单位，则 ()()2342i i i +-= - （ ） A.5 B.5i C.71255i - - D.71255 i -+ (2)已知等差数列{}n a ，若210a =，51a =，则{}n a 的前7项的和是（ ） A.112 B.51 C.28 D.18 (3)已知集合M 是函数 y = 集合N 是函数24y x =-的值域，则M N =（ ） A.1 {|}2x x ≤ B ．1{|4}2 x x -≤< C.1 {(,)|4}2 x y x y < ≥-且 D.? (4)若双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，的一条渐近线方程为2y x =-，则该 双曲线的离心率是（ ） A. 2 (5)执行下列程序框图，若输入的n 等于10，则输出的结果是（ ） A.2 B.3- C.1 2 - D.13 (6)已知某公司生产的一种产品的质量X (单位：克)服从正态分布 (100 4)N ，．现从该产品的生产线上随机抽取10000件产品，其中质量在[]98 104，内的产品估计有 （ ） A.3413件 B.4772件 C.6826件 D.8185件 (附：若X 服从2 ()N μσ，，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，(22)P X μσμσ-<<+
0.9544=) (7)将函数cos sin y x x =-的图像先向右平移()0??>个单位，再将所得的图像上每个点的横坐标变为原来的a 倍，得到cos 2sin 2y x x =+的图像，则,a ?的可能取值为（ ） A.22 a π ?= =， B.328a π?= =， C.3182a π?==， D.122 a π?==， (8)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若323n n S a n =-，则2018a =（ ） A.201821- B.2018 36- C.2018 1722??- ? ?? D.2018 110 33 ??- ??? (9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A.518π+ B.618π+ C.86π+ D.106π+ (10)已知直线210x y -+=与曲线x y ae x =+相切(其中 e 为自然对数的底数)，则实数a 的值是（ ） A. 1 2 B.1 C.2 D.e (11)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件 乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A 、B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A.320千元 B.360千元 C.400千元 D.440千元 (12)已知函数()2 2f x x x =-，()2 x e g x x =+(其中e 为自然对数的底数)，若函数 ()()h x f g x k =-????有4个零点，则k 的取值范围为（ ） A.()1,0- B.()0,1 C.22 1(,1)e e - D.2 21 (0,)e e - 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题～第(23)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置. (13)若平面向量a b ，满足2 6a b a b += -=，，则a b ?＝ .
试卷类型：A 2013年广州市普通高中毕业班综合测试（一） 数学（理科） 2013.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息 点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目 指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏 涂、错涂、多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式： 如果事件A B ,相互独立,那么()()()P A B P A P B ?=?. 线性回归方程 y bx a =+ 中系数计算公式 1 2 1 n i i i n i i x x y y b a y b x x x ()() ,() ==--∑= =--∑ ， 其中y x ,表示样本均值. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的． 1．设全集{}123456U ,,,,,=，集合{}135A ,,=，{}24B ,= ，则 A ．U A B = B ．U =()U A eB C ．U A = ()U B e D ．U =()U A e()U B e 2. 已知11a bi i =+-，其中a b ,是实数，i 是虚数单位，则a b +i = A ．12+i B ．2+i C ．2-i D ．12-i
南京市、盐城市2018届高三年级第二次模拟考试 数学 注意事项： 1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟． 2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题纸上，试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式： 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分，不需写出解答过程，请把答案写在 答题纸的指定位置上） 1．函数f(x) =lg(2 -x)的定义域为 ▲ ． 2．已知复数z 满足 12z i =1，其中i 为虚数单位，则复数z 的模为 ▲ ． 3．执行如图所示的算法流程图，则输出口的值为▲ ． 4．某学生5次数学考试成绩的茎叶图如图所示，则这组数据的方差为 ▲ ． 5.3名教师被随机派往甲、乙两地支教，每名教师只能被派往其中一个地方，则恰有2名教师被派往甲地的概率为__▲ ． 6．已知等差数列 的前，l 项和为品．若S 15 =30，a 7=1，则S 9的值为▲ ．
7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若bsinAsinB 十acos 2B - 2c ，则a c 的值为 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：22 21y x b -=(b>0)的两条渐近线与圆O ：x 2+y 2 =2 的四个交点依次 为A ，B ，C ，D.若矩形ABCD 的面积为b ，则b 的值为 ▲ ． 9．在边长为4的正方形ABCD 内剪去四个全等的等腰三角形（如图1的正四棱锥S-EFGH （如图2），则正四棱锥S-EFGH 的体积为 ▲ ． 10．已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f(x)=x 2+x ．若f(a)+f(-a)<4 ，则实数a 的取值范围为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线y=1 m x +（m>0）在x=l 处的切线为l ，则点（2，-1）到直线，的距离的最大值为▲ ． 12．如图，在△ABC 中，边BC 的四等分点依次为D ，E ，F.若2AB AC =uu u r uuu r g ，5AD AF =uuu r uuu r g ，则AE 长为 ▲ ． 13.在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 为圆C ：(x+4)2+(y-a)2=16上两个动点，且．若直线l:y= 2x 上存在唯一的一个点P ，使得 ，则实数a 的值为 ▲ ． 14．已知函数f(x) , t ∈R ．若函 数g(x)=f(f(x))-1）恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为 ▲ ． 二、解答题（本大题共6小题，计90分，解答应写出必要的文
江苏省南京市 2020 届高三年级第一学期期初联考考试 数学试题 2019．9 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合{}21≤<-=x x A ，{}0≤=x x B ，则=B A ． 2. 已知复数i i z +-=13（i 是虚数单位），则z 的虚部是 ． 3. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为 1600，检测结果的频率分布 直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[15，20)， [20，25)和[30，35)内为二等品，其余为三等品．则样本中三等品件数为 ． 4．现有三张卡片，分别写有“1”、“2”、“3”这三个数字．将这三张卡片随机排序组成一个 三位数，则该三位数是偶数的概率是 ． 5. 函数x y 2log 1+=的定义域为 ． 6. 运行如图所示的伪代码，其结果为 ． 7. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 C ：)0(116 2 22>=-a y a x 的右顶点到双曲线的一条渐近线的距离为3 54 ，则双曲线 C 的方程为 ． 8. 如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为 ．
9. 函数)0,0)(sin()(>>+=ω?ωA x A x f 的部分图象如图所示.若函数)(x f y =在区间],[n m 上的值域为]2,2[-，则m n -的最小值是 ． 10. 在公比为q 且各项均为正数的等比数列{}n a 中，n S 为{}n a 的前n 项和.若211q a = ，且725+=S S ，则首项1a 的值为 ． 11. 已知是定义在区间(﹣1，1)上的奇函数，当0 2018年普通高等学校招生全国统一考试 （全国卷Ⅱ）理科试卷 本试卷共23题，共150分，共5页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：1、答题前，考试现将自己的姓名，准考证号填写清楚，将条形 码准确粘贴在条形码区域内 2、选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。 3、请按照题号顺序在答题卡 各题目的答题区域内做答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4、作图可先试用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。 5、保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、 选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、1212i i +=- A 、4355i -- B 、4355i -+ C 、3455i -- D 3455 i -+ 2、已知集合(){}22,|3,,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈则A 中元素的个数为（） A 、9 B 、8 C 、5 D4 3、函数 ()2x x e e f x x --=的图象大致是（） x x 4、已知向量() ,1,1,2a b a a b a a b =?=--=满足则（） A 、4 B 、3 C 、2 D 、0 5、双曲线()222210,0x y a b a b -=>> 则其渐近线方程为（） A 、 y = B 、 y = C 、2 y x =± D y x = 6、在△ABC 中，cos 2C = ，BC=1,AC=5,则AB=( ) A 、 B C D 7、为计算11111123499100S =-+-+ +-，设计了右侧的程序框图，则空白框中应填入 A 、i=i+1 B 、i=i+2 C 、i=i+3 D 、i=i+42018年高考数学试题
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