市2018届高三年级第三次模拟考试 数 学 2018.05
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的、学校、班级、学号写在答题纸的密封线．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格．考试结束后，交回答题纸．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定
位置上）
1．集合A ＝{x| x 2
＋x －6＝0}，B ＝{x| x 2
－4＝0}，则A ∪B =▲________．
2．已知复数z 的共轭复数是－z ．若z (2－i)＝5，其中i 为虚数单位，则－z 的模为▲________．
3．某学校为了了解住校学生每天在校平均开销情况，随机抽取了500名学生，他们的每天在校平均开销都不低于20元且不超过60元，其频率分布直方图如图所示，则其中每天在校平均开销在[50，60]元的学生人数为▲________．
4．根据如图所示的伪代码，可知输出S 的值为▲________．
5．已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为▲________．
6．若实数x ，y 满足?
????x －y －3≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则y
x 的取值围为▲________．
7. 已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，有如下四个命题： ①若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β； ②若l ⊥α，α⊥β，则l ∥β； ③若l ∥α，l ⊥β，则α⊥β； ④若l ∥α，α⊥β，则l ⊥β． 其中真命题为▲________（填所有真命题的序号）．
S ←1 I ←1
While I ＜8 S ←S ＋2 I ←I ＋3 End While Print S
(第3题图)
(第4题图)
8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2
b
2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离为2a ，则
该双曲线的离心率为▲________．
9．若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *
，且a 1=1，S 6=3S 3，则a 7的值为▲________．
10．若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝???
??
x 2
＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2＜x ≤3，
则f (a+1)的值为
▲________
． 11．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：x 2
＋y 2
－6x －4y ＋8＝0与x 轴的两个交点分别为A ，B ，其中A 在B
的右侧，以AB 为直径的圆记为圆N ，过点A 作直线l 与圆M ，圆N 分别交于C ，D 两点．若D 为线段
AC 的中点，则直线l 的方程为▲________．
12．在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 为边BC 上一点．若AB →·AD →＝5， AC →·AD →
＝－23
，则AB →·AC →的值
为▲________．
13．若正数a ，b ，c 成等差数列，则
c
a b
b a
c 22++
+的最小值为▲________． 14．已知a ，b ∈R ，e 为自然对数的底数．若存在b ∈[－3e ，－e 2
]，使得函数f (x )＝e x
－ax －b 在[1，
3]上存在零点，则a 的取值范围为▲________．
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题卡的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy 中，锐角α,β的顶点为坐标原点O ，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 的交点分别为P ,Q ．已知点P 的横坐标为7
7
2，点Q 的纵坐标为1433．
（1）求α2cos 的值； （2）求βα-2的值.
16.（本小题满分14分）
如图，在三棱锥ABC P -中，6=PA ，其余棱长均为2，M 是棱PC 上的一点，D ，E 分别为棱AB ，
BC 的中点．
（1）求证: 平面⊥PBC 平面ABC ； （2）若//PD 平面AEM ，求PM 的长．
17．(本小题满分14分)
如图，公园里有一湖泊，其边界由两条线段AB ，AC 和以BC 为直径的半圆弧BC ⌒组成，其中AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π
3
．若在半圆弧BC ⌒，线段AC ，线段AB 上各建一个观赏亭D ，E ，F ，再修两条栈
道DE ，DF ，使DE ∥AB ，DF ∥AC . 记∠CBD ＝θ（π3≤θ＜π
2）． （1）试用θ表示BD 的长；
（2）试确定点E 的位置，使两条栈道长度之和最大.
18．(本小题满分16分)
如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点P (85，35)，离心率为3
2
. 已知过
点M (2
5，0)的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）试问x 轴上是否存在定点N ，使得NA →·NB →
为定值．若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.
(第17题图)
(第16题图)
A
B
M
D
E
P (第18题图)
19．(本小题满分16分)
已知函数f (x )＝2x 3
－3ax 2
＋3a －2（a ＞0），记f'(x )为f (x )的导函数． （1）若f (x )的极大值为0，求实数a 的值；
（2）若函数g (x )＝f (x )＋6x ，求g (x )在[0，1]上取到最大值时x 的值；
（3）若关于x 的不等式f (x )≥f'(x )在[a 2，a +2
2
]上有解，求满足条件的正整数a 的集合．
20．(本小题满分16分)
若数列{a n }满足：对于任意n ∈N *，a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|均为数列{a n }中的项，则称数列{a n }为“T 数列”． （1）若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2
，n ∈N *，求证：数列{a n }为“T 数列”； （2）若公差为d 的等差数列{a n }为“T 数列”，求d 的取值范围；
（3）若数列{a n }为“T 数列”，a 1＝1，且对于任意n ∈N *，均有a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，求数列{a n
}的通项公式．
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学附加题 2018.05
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答．题纸．．
上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷纸指定区域内．．．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲
在△ABC 中， AC ＝1
2AB ，M 为边AB 上一点，△AMC 的外接圆交BC 边于点N ，BN ＝2AM ，
求证：CM 是∠ACB 的平分线．
B ．选修4—2：矩阵与变换
已知矩阵A ＝??????1 2 0 1 ，B ＝????
??
2 0 0 1 ，若直线l : x －y ＋2＝0在矩阵AB 对应的变换作用下得到直线l 1，
求直线l 1的方程．
C ．选修4—4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C 经过点P （2，π3），圆心C 为直线sin(θ－π
3
)＝－3与极轴的交点，求圆
C 的极坐标方程．
D ．选修4—5：不等式选讲
C
A
M
N
(第21A 题图)
已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且a ＋b ＋c ＝1，求2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．作答．解答应写出 文字说明、证明过程或演算步骤． 22．(本小题满分10分)
在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：y 2
＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF ＝2． （1）求p 的值；
（2）若M ，N 为抛物线C 上异于A 的两点，且AM ⊥AN ．记点M ，N 到直线y ＝－2的距离分别为d 1，d 2，
求d 1d 2的值．
23．(本小题满分10分) 已知f n (x )＝i ＝1∑n －1A
n －i
n
x (x ＋1)…(x ＋i －1)，g n (x )＝A n
n ＋x (x ＋1)…(x ＋n －1)，其中x ∈R ，n ∈N *且n ≥2．
（1）若f n (1)＝7g n (1)，求n 的值；
（2）对于每一个给定的正整数n ，求关于x 的方程f n (x )＋g n (x )＝0所有解的集合．
(第22题图)
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学参考答案
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定
位置上）
1．{－3，－2，2} 2． 5 3．150 4．7 5．23 6．[2
11，2] 7． ①③
8． 5 9．4 10．2 11．x ＋2y －4＝0 12．－3 13．25
9 14．[e 2，4e]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写
在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)
解：（1）因为点P 的横坐标为27
7
，P 在单位圆上，α为锐角，
所以cos α＝27
7， ………………………………2分
所以cos2α＝2cos 2
α－1＝17． ………………………………4分
（2）因为点Q 的纵坐标为3314，所以sin β＝33
14． ………………………………6分
又因为β为锐角，所以cos β＝13
14
． ………………………………8分
因为cos α＝277，且α为锐角，所以sin α＝21
7
，
因此sin2α＝2sin αcos α＝43
7
， (10)
分
所以sin(2α－β) ＝ 437×1314－17×3314＝3
2
． (12)
分
因为α为锐角，所以0＜2α＜π． 又cos2α＞0，所以0＜2α＜π
2
，
又β为锐角，所以－π2＜2α－β＜π2，所以2α－β＝π
3
． …………………………………
14分
16．(本小题满分14分)
（1）证明：如图1，连结PE ．
因为△PBC 的边长为2的正三角形，E 为BC 中点，
所以PE ⊥BC ， ……………………2分 且PE ＝3，同理AE ＝3．
因为PA ＝6，所以PE 2＋AE 2＝PA 2
，所以PE ⊥AE ．……4分 因为PE ⊥BC ，PE ⊥AE ，BC ∩AE ＝E ，AE ，BC 平面ABC ， 所以PE ⊥平面ABC ． 因为PE 平面PBC ，
所以平面PBC ⊥平面ABC ． ……………………7分 （2）解法一
如图1，连接CD 交AE 于O ，连接OM ．
因为PD ∥平面AEM ，PD 平面PDC ，平面AEM ∩平面PDC ＝OM ，
所以PD ∥OM ， ……………………………………9分
所以PM PC ＝DO DC
． ……………………………………11分
因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，CD ∩AE ＝O ，
所以O 为ABC 重心，所以
DO DC ＝13
， 所以PM ＝13PC ＝2
3
． …………………………………14分
解法二
如图2，取BE 的中点N ，连接PN ． 因为D ，N 分别为AB ，BE 的中点， 所以DN ∥AE ．
又DN 平面AEM ，AE 平面AEM ， 所以DN ∥平面AEM ．
(图2)
P A
M
D
E
B N
(图1)
O
B
P A
C
M
D
E
又因为PD ∥平面AEM ，DN 平面PDN ，PD 平面PDN ，DN ∩PD ＝D ， 所以平面PDN ∥平面AEM ． ………………………………9分 又因为平面AEM ∩平面PBC ＝ME ，平面PDN ∩平面PBC ＝PN ，
所以ME ∥PN ，所以PM PC ＝NE NC
． ………………………………11分
因为E ，N 分别为BC ，BE 的中点，
所以NE NC ＝13，所以PM ＝13PC ＝2
3
． ………………………………14分
17．(本小题满分14分) 解：（1）连结DC ．
在△ABC 中，AC 为2百米，AC ⊥BC ，∠A 为π3
，
所以∠CBA ＝π
6，AB ＝4，BC ＝23． ………………………………2分
因为BC 为直径，所以∠BDC ＝π
2
，
所以BD ＝BC cos θ＝23cos θ． ………………………………4分 （2）在△BDF 中，∠DBF ＝θ＋π6，∠BFD ＝π
3
，BD ＝23cos θ，
所以DF sin(θ＋π6)＝BF sin(π2
－θ)
＝BD
sin ∠BFD
，
所以DF ＝4cos θsin(π
6＋θ)， ………………………………6分
且BF ＝4cos 2θ，所以DE ＝AF =4－4cos 2θ， ………………………………8分 所以DE ＋DF ＝4－4cos 2θ＋4 cos θsin(π
6
＋θ)=3sin2θ－cos2θ＋3
＝2 sin(2θ－π
6
)＋3． …………………………………12分
因为π3≤θ＜π2，所以π2≤2θ－π6＜5π6
，
所以当2θ－π6＝π2，即θ＝π
3时，DE ＋DF 有最大值5，此时E 与C 重合． ……………13分
答：当E 与C 重合时，两条栈道长度之和最大． …………………………………14分
18．(本小题满分16分) 解（1）离心率e ＝c a ＝
32，所以c ＝32a ，b ＝a 2－c 2
＝12
a ， …………………………………2分 所以椭圆C 的方程为x 24
b 2＋y 2
b
2＝1．
因为椭圆C 经过点P (85，35)，所以1625b 2＋9
25b
2＝1，
所以b 2
＝1，所以椭圆C 的方程为x 2
4＋y 2
＝1． …………………………………4分
（2）解法一
设N (n ，0)，
当l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2
＝1－(25)
24＝2425，
则NA
→
NB →＝(25－n )2－y 2＝(25－n )2－24
25
＝n 2－45n －45， …………………………………6分
当l 经过左?右顶点时，NA
→
NB →
＝(－2－n )(2－n )＝n 2－4．
令n 2－45n －45＝n 2
－4，得n ＝4． ……………………………………8分
下面证明当N 为(4，0)时，对斜率为k 的直线l ：y ＝k (x －2
5)，恒有NA
→NB →
＝12．
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由???x 2
4＋y 2
＝1，
y ＝k (x －25
)，消去y ，得(4k 2
＋1)x 2
－165k 2
x ＋16
25
k 2
－4＝0，
所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625
k 2
－44k 2＋1， …………………………………10分
所以NA
→
NB →
＝(x 1－4)(x 2－4)＋y 1y 2
＝(x 1－4)(x 2－4)＋k 2
(x 1－25)(x 2－25
)
＝(k 2
＋1)x 1x 2－(4＋25k 2)(x 1＋x 2)＋16＋425k 2 …………………………………12分
＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(4＋25k 2
)165k 2
4k 2＋1＋16＋425k 2
＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(4＋25k 2)＋425
k 2(4k 2
＋1)
4k 2
＋1
＋16 ＝－16k 2
－44k 2
＋1
＋16＝12． 所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →
NB →
为定值． …………………………………16分
解法二
设N (n ，0)，当直线l 斜率存在时，设l ：y ＝k (x －2
5)，
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由???x 2
4＋y 2
＝1，
y ＝k (x －25
)，消去y ，得(4k 2
＋1)x 2
－165k 2
x ＋16
25
k 2
－4＝0，
所以x 1＋x 2＝165k 24k 2＋1，x 1x 2＝1625
k 2
－44k 2＋1， …………………………………6分
所以NA
→
NB →＝(x 1－n )(x 2－n )＋y 1y 2＝(x 1－n )(x 2－n )＋k 2(x 1－25)(x 2－25
)
＝(k 2＋1)x 1x 2－(n ＋25k 2)(x 1＋x 2)＋n 2
＋425
k 2
＝(k 2＋1)1625k 2－44k 2＋1－(n ＋25k 2)165k 2
4k 2＋1＋n 2
＋425k 2 ……………………………………8分
＝(k 2＋1)(1625k 2－4)－165k 2(n ＋25k 2)＋425k 2(4k 2
＋1)
4k 2
＋1
＋n 2
＝(－165n －165)k 2
－4
4k 2
＋1＋n 2
． ……………………………………12分 若NA
→NB →
为常数，则(－165n －165)k 2－44k 2＋1为常数，设(－165n －165)k 2－4
4k 2
＋1
＝λ，λ为常数， 则(－165n －165
)k 2－4＝4λk 2
＋λ对任意的实数k 恒成立，
所以?????－165n －165＝4λ，
－4＝λ，
所以n ＝4，λ＝－4，
此时NA
→NB →
＝12． ……………………………………14分
当直线l 斜率不存在时，A (25，y )，B (25，－y )，则y 2
＝1－(25)
24＝2425，
所以NA
→
NB →
＝(25－4)2－y 2＝(25－4)2－2425
＝12，
所以在x 轴上存在定点N (4，0)，使得NA →
NB →
为定值． ………………………………16分
19．(本小题满分16分)
解：（1）因为f (x )＝2x 3
－3ax 2
＋3a －2（a ＞0），
所以f'(x )＝6x 2
－6ax ＝6x (x －a )．
令f'(x )＝0，得x ＝0或a ． ………………………………2分 当x ∈(－∞，0)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈(0，a )时，f'(x )＜0，f (x )单调递减； 当x ∈(a ，＋∞)时，f'(x )＞0，f (x )单调递增．
故f (x )极大值＝f (0)＝3a －2＝0，解得a ＝2
3
． ………………………………4分
（2）g (x )＝f (x )＋6x ＝2x 3
－3ax 2
＋6x ＋3a －2（a ＞0），
则g ′(x )＝6x 2－6ax ＋6＝6(x 2
－ax ＋1)，x ∈[0，1]．
①当0＜a ≤2时，△＝36(a 2
－4)≤0，
所以g ′(x )≥0恒成立，g (x )在[0，1]上单调递增，
则g (x )取得最大值时x 的值为1． ……………………………6分
②当a ＞2时，g ′(x )的对称轴x ＝a
2
＞1，且△＝36(a 2
－4)＞0，g ′(1)＝6(2－a )＜0，g ′(0)＝6
＞0，
所以g ′(x )在(0，1)上存在唯一零点x 0＝
a －a 2－4
2
．
当x ∈(0，x 0)时，g ′(x )＞0，g (x )单调递增， 当x ∈(x 0，1)时，g ′(x )＜0，g (x )单调递减， 则g (x )取得最大值时x 的值为x 0＝
a －a 2－4
2
． ………………………………8分
综上，当0＜a ≤2时，g (x )取得最大值时x 的值为1；
当a ＞2时，g (x )取得最大值时x 的值为
a －a 2－4
2
． ……………………………9分
（3）设h (x )＝f (x )－f ′(x )＝2x 3
－3(a ＋2)x 2
＋6ax ＋3a －2，
则h (x )≥0在[a 2
，a ＋2
2]有解． ………………………………10分
h ′(x )＝6[x 2
－(a ＋2)x ＋a ]＝6[(x －
a ＋2
2
)2
－
a 2＋4
4
]，
因为h ′(x )在(a 2，a ＋22)上单调递减，所以h ′(x )＜h ′(a 2)＝－32a 2
＜0，
所以h (x )在(a 2，a ＋2
2
)上单调递减，
所以h (a
2)≥0，即a 3－3a 2
－6a ＋4≤0． …………………………………12分 设t (a )＝a 3
－3a 2
－6a ＋4（a ＞0），则t ′ (a )＝3a 2
－6a －6， 当a ∈(0，1＋2)时，t ′ (a )＜0，t (a )单调递减； 当a ∈(1＋2，＋∞)时，t ′ (a )＞0，t (a )单调递增．
因为t (0)＝4＞0，t (1)＝－4＜0，所以t (a )存在一个零点m ∈(0，1)， (14)
分
因为t (4)＝－4＜0，t (5)＝24＞0，所以t (a )存在一个零点n ∈(4，5)，
所以t (a )≤0的解集为[m ，n ]，
故满足条件的正整数a 的集合为{1，2，3，4}． …………………………………16分
20．(本小题满分16分)
解：（1）当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2
－2(n －1)2
＝4n －2，
又a 1＝S 1＝2＝4×1－2，所以a n ＝4n －2． …………………………………2分 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝4n －2＋4＝4(n ＋1)－2为数列{a n }的第n ＋1项，
因此数列{a n }为“T 数列”． …………………………………4分 （2）因为数列{a n }是公差为d 的等差数列， 所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a 1＋(n －1) d ＋|d |． 因为数列{a n }为“T 数列”，
所以任意n ∈N *，存在m ∈N *，使得a 1＋(n －1) d ＋|d |＝a m ，即有(m －n ) d ＝|d |．…………6分 ①若d ≥0，则存在m ＝n ＋1∈N *，使得(m －n ) d ＝|d |， ②若d ＜0，则m ＝n －1．
此时，当n ＝1时，m ＝0不为正整数，所以d ＜0不符合题意．
综上，d ≥0． ……………………………………8分 （3）因为a n ＜a n ＋1，所以a n ＋|a n ＋1－a n ＋2|＝a n ＋a n ＋2－a n ＋1．
又因为a n ＜a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋2－(a n ＋1－a n )＜a n ＋2，且数列{a n }为“T 数列”， 所以a n ＋a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1，即a n ＋a n ＋2＝2a n ＋1，
所以数列{a n }为等差数列． …………………………………10分 设数列{a n }的公差为t (t ＞0)，则有a n ＝1＋(n －1)t ，
由a n ＜a 2n ＋1－a 2n ＜a n ＋1，得1＋(n －1)t ＜t [2＋(2n －1)t ]＜1＋nt ， (12)
分
整理得n (2t 2
－t )＞t 2
－3t ＋1， ①
n (t －2t 2)＞2t －t 2－1． ②
若2t 2
－t ＜0，取正整数N 0＞t 2－3t ＋1 2t 2
－t
， 则当n ＞N 0时，n (2t 2－t )＜(2t 2－t ) N 0＜t 2
－3t ＋1，与①式对于任意n ∈N *恒成立相矛盾， 因此2t 2
－t ≥0．
同样根据②式可得t －2t 2
≥0， 所以2t 2
－t ＝0．又t ＞0，所以t ＝12
．
经检验当t ＝1
2
时，①②两式对于任意n ∈N *恒成立，
1 2(n－1)＝
n＋1
2
．………………………………16分
所以数列{a n}的通项公式为a n＝1＋
南京市2018届高三年级第三次模拟考试
数学附加题参考答案及评分标准 2018.05
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区域内．．．．．．．
作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A ．选修4—1：几何证明选讲
证明：连结MN ，则∠BMN ＝∠BCA ， ………………………………2分
又∠MBN ＝∠CBA ，因此△MBN ∽△CBA ． ………………………………4分 所以AB AC ＝
BN
MN
． ………………………………6分 又因为AC ＝12AB ，所以BN
MN ＝2，即BN ＝2MN ． ………………………………8分
又因为BN ＝2AM ，所以AM ＝MN ，
所以CM 是∠ACB 的平分线． ………………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换
解：因为A ＝??????1 20 1，B ＝??????2 00 1，所以AB ＝????
??
2 20 1． ………………………………4分
设点P 0(x 0，y 0)是l 上任意一点，P 0在矩阵AB 对应的变换作用下得到P (x ，y )．
因为P 0(x 0，y 0)在直线l : x －y ＋2＝0上，所以x 0－y 0＋2＝0． ①
由AB ??????x 0y 0＝??????
x y ，即??????2 20 1 ??????x 0y 0＝????
??x y ，
得???2 x 0＋2 y 0＝x ， y 0＝y ，
………………………………6分 即?????x 0＝12x －y ，
y 0＝y ．
② 将②代入①得x －4y ＋4＝0，
所以直线l 1的方程为x －4y ＋4＝0． ………………………………10分
C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：解法一
在直线sin(θ－π
3
)＝－3中，令θ＝0，得＝2.
所以圆C 的圆心坐标为C (2，0)． ………………………………4分
因为圆C 经过点P (2，π
3)，
所以圆C 的半径PC ＝22+22
－2×2×2×cos π3
＝2， (6)
分
所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ． ……………………………10分
解法二
以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系，
则直线方程为y ＝3x －23，P 的直角坐标为(1，3)，
令y ＝0，得x ＝2，所以C (2，0)， ………………………………4分 所以圆C 的半径PC ＝(2－1)2
+(0－3)2
=2， ………………………………6分
所以圆C 的方程为(x －2)2
＋(y －0)2
＝4，即x 2
＋y 2
－4x ＝0， ………………………………8分
所以圆C 的极坐标方程＝4cos θ. (10)
分
D ．选修4—5：不等式选讲 解：因为(12＋12＋12)[(2a ＋b )2＋(2b ＋c )2＋(2c ＋a )2]≥(1·2a ＋b ＋1·2b ＋c ＋1·2c ＋a )2
，
即(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2
≤9(a ＋b ＋c )． ……………………………4分
因为a ＋b ＋c ＝1，所以(2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a )2
≤9， ……………………………6分
所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≤3，
当且仅当2a ＋b ＝2b ＋c ＝2c ＋a ，即a ＝b ＝c ＝1
3
时等号成立．
所以2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a 的最大值为3. ……………………………10分
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）
解：（1）因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，且AF =2，
所以p
2＋1＝2，所以p ＝2. ……………………………3分
（2）解法一
由(1)得抛物线方程为y 2
＝4x ．
因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分
设直线AM 方程为x －1＝m (y －2) (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．
由???x －1＝m (y －2)，y 2＝4x ，
消去x ，得y 2－4m y ＋8m －4＝0， 即(y －2)( y －4m ＋2)＝0，所以y 1＝4m －2． ……………………………6分
因为AM ⊥AN ，所以－1m 代m ，得y 2＝－4
m
－2， ……………………………8分
所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝|4m ×(－4
m
)|＝16． ……………………………10分
解法二
由(1)得抛物线方程为y 2
＝4x ．
因为点A (1，a ) (a ＞0)是抛物线C 上一点，所以a ＝2． ……………………………4分 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则AM →·AN →
＝(x 1－1)(x 2－1)＋( y 1－2) (y 2－2)＝0． ……6分
又因为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在y 2
＝4x 上，
所以(y 21－4) (y 2
2－4)＋16( y 1－2) (y 2－2)＝0，
即[( y 1＋2) (y 2＋2)＋16]( y 1－2) (y 2－2)＝0．
因为( y 1－2) (y 2－2)≠0，所以( y 1＋2) (y 2＋2)＝－16， ……………………………8分 所以d 1d 2＝|(y 1＋2) (y 2＋2)|＝16． ……………………………10分
23．（本小题满分10分） 解：（1）因为f n (x )＝i ＝1∑n －1A
n －i
n
x (x ＋1)…(x ＋i －1)，
所以f n (1)＝i ＝1
∑n －1A
n －i
n
×1×…×i ＝i ＝1∑n －1
n !＝(n －1)×n !，g n (1)＝A n
n ＋1×2×…×n ＝2×n !，
所以(n －1)×n !＝14×n !，解得n ＝15． ……………………………3分 （2）因为f 2(x )＋g 2(x )＝2x ＋2＋x (x ＋1)＝(x ＋1)(x ＋2)，
f 3(x )＋
g 3(x )＝6x ＋3x (x ＋1)＋6＋x (x ＋1)(x ＋2)＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，
猜想f n (x )＋g n (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋n )． ……………………………5分 下面用数学归纳法证明： 当n ＝2时，命题成立；
假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即f k (x )＋g k (x )＝(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )，
因为f k ＋1(x )＝i ＝1∑k
A
k ＋1－i k ＋1
x (x ＋1)…(x ＋i －1)
＝i ＝1
∑k －1
(k ＋1)A
k －i k
x (x ＋1)…(x ＋i －1)＋A 1
k ＋1x (x ＋1)…(x ＋k －1)
＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)，
所以f k ＋1(x )＋g k ＋1(x )＝(k +1) f k (x )＋(k +1) x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k ＋1
k ＋1＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(k +1)[ f k (x )＋x (x ＋1)…(x ＋k －1)＋A k
k ]＋x (x ＋1)…(x ＋k ) ＝(k +1)[ f k (x )＋g k (x )]＋x (x ＋1)…(x ＋k )
＝(k +1)(x ＋1)(x ＋2)…(x ＋k )＋x (x ＋1)…(x ＋k )
＝(x＋1)(x＋2)…(x＋k) (x＋k＋1)，
即n＝k＋1时命题也成立．
因此任意n∈N*且n≥2，有f n(x)＋g n(x)＝(x＋1)(x＋2)…(x＋n)．…………………9分所以对于每一个给定的正整数n，关于x的方程f n(x)＋g n(x)＝0所有解的集合为
{－1，－2，…，－n}．……………………………10分