第三章 离散小波变换
3.1 尺度与位移的离散化方法
减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数??
? ??-=
a t a t a τψψτ1)(,的
τ,a 限定在一些离散点上取值。
1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，
即取m
m a a 0=（m 为整数，10≠a ，一般取20=a ）。如果采用对数坐标，则尺度a
的离散取值如图3.1
所示。
图3.1 尺度与位移离散方法
2. 位移的离散化：当120==a 时，()τψψτ-=t t a )(,。 （1）通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。
（2）要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。
3. )(,t a τψ=？
当m 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取s m T 2。此时)(,t a τψ可表示为
);(2212221
,t T n t T n t n m s m m m s m m ψψψ记作??? ???-=???
? ???- Z n m ∈, 为简化起见，往往把t 轴用s T 归一化，这样上式就变为
()n t t m m n m -=--
22)(2
,ψψ （3.1）
4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为
??=R
n m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ （3.2）
DWT 与CWT 不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题：
（1）离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m W T n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。
（2）是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和
∑∈=
Z
n m n m n
m t C
t f ,,,)()(ψ？如果可以，系数n m C ,如何求？
上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择ψ，并对τ,a 进行适当的离散（即适当的选择s T a ,0），那么一定存在与小波序列n m ,ψ对
应的n
m ,~ψ序列，使得问题（1）的重建简单地表示为 ∑∈><=
Z
n m n
m n
m f t f ,,,~,)(ψψ
（3.3） n m ,~ψ称为n
m ,ψ的对偶，它可以由一个基本小波)(~t ψ通过位移和伸缩取得： ()
n t t m m
n
m -=--2~2)(~2,ψψ 由上式，若存在)()(2R L t g ∈，则有
∑>><<=><>= m n m n m g f g f f g ,,,,~,,,ψψ =∑>>< m n m n m g f ,,,),~,(ψψ =∑>>< m n m n m f g ,,,,~,ψψ =∑>>< m n m n m f g ,,,,~,ψψ 也即 ∑><=n m n m n m g g ,,,~,ψψ 故问题（2）也成立，其中>= m n m g C ,,~,ψ 由于问题（1）和问题（2）是统一的，我们首先来看问题（1），该问题的数学语言描述如下： 若小波系数> ;,,,2,1>>=< 或当0=f 时， > 当1f 和2f 很接近时，Z n m n m f ∈><,,1,ψ 和Z n m n m f ∈><,,2,ψ也必然很接近。用范数 的概念来描述，即当21f f -为一个很小的数时，2 ,,2,1,,∑><-> m n m n m f f ψψ也 必然为一个很小的数，用数学公式来描述： 2 212,,2,1,,f f B f f n m n m n m -≤><-><∑ψψ ， +∈R B 也即 2 2,,,f B f n m n m ≤><∑ψ （3.4 a ） 若要小波系数> 当序列Z n m n m f ∈><,,1,ψ 和Z n m n m f ∈><,,2,ψ很接近时，函数1f 和2f 也很接近，即 ,,2 ,,2 ∑><≤n m n m f f A ψ +∈R A （3.4b ） 把（3.4a ）和（3.4b ）合到一起。我们便得到一个合理的离散小波变换，该小波变换对所有)()(2R L t f ∈必须满足下述条件： ;,2 2,,2 f B f f A n m n m ≤><≤∑ψ +∈R B A , （3.4c ） 满足式（3.4c ）的离散函数序列{}Z n m n m ∈,;,ψ在数学上称为“框架” 。 3.2 小波框架与离散小波变换的逆变换 3.2.1 小波框架 （1）小波框架的定义 当由基本小波)(t ψ经伸缩和位移引出的函数族 () s j j k j kT t a a t -=-- 02 0,)(ψψ； Z k j ∈, （3.5） 具有下述性质时： ;,2 2 ,2 f B f f A j k k j ≤><≤∑∑ψ ∞<< 便称{} Z k j k j t ∈,,) (ψ构成了一个小波框架，称上式为小波框架条件，其频域表示为 ∑∈≤ψ≤Z j j ,)2(2 βωα ∞<<<βα0 （3.7） （2）小波框架的性质 1）满足小波框架条件的)(,t k j ψ，其基本小波)(t ψ必定满足容许性条件。 但是并不是满足容许性条件的小波，在任意离散间隔s T 及尺度基数0a 下都满足小波框架的条件。 2）小波函数的对偶函数() k t t j j k j -=-- 2~2)(~2,ψ ψ也构成一个框架，其框架的上、下界是)(,t k j ψ框架上、下界的倒数： 2 2,2 1~,1f B f f A j k k j ≤><≤∑∑ψ （3.8） 3）离散小波变换具有非伸缩和时移共变性。 4）离散小波变换仍然具有冗余度。 3.2.2 离散小波变换的逆变换与重建核问题 1. 离散小波变换的逆变换 如离散小波序列{} Z k j k j t ∈,,) (ψ，构成一个框架，其上、下界分别为A 和B ， 则当B A =时（紧框架），由框架概念可知离散小波变换的逆变换为 )(),(1)(~)(,)(,,,,1t k j WT A t t f A t f k j k j f k j j k j ψψψ∑∑?=><=- （3.9） 当B A ≠，而A ，B 比较接近时，作为一阶逼近，可取 )(2)(~,,t B A t k j k j ψψ+= （3.10） 则重建公式近似为 )(),(2 )(~)(,)(,,,,t k j WT B A t t f t f k j k j f k j j k j ψψψ∑∑?+≈><= （3.11） 逼近误差的范数为 f B A B A f R R f +-= ?= 由上式可见，A 与B 愈接近，逼近误差就愈小。 为了保证k j ,ψ能构成一个重建误差较小的框架就必须对基本小波在τ,a 轴上的采样间隔提出更高要求：0a 不一定等于2，s T 也不一定等于1，以便于使A 和 B 接近于相等，可以想像，当尺度间隔愈密，位移间隔τ?愈小。离散栅格愈接近于覆盖整个τ-a 半平面，A B /就愈接近于1. 关于B A 、与τ?、0a ，以及）（ωψ间的关系的部分结论如下： 如{}Z n m n m ∈,,ψ是一个框架，则框架的上界A 、下界B 满足下面的不等式： B d a A ≤ψ?≤ ? ∞ +∞ -ωω ωτπ 2 ) (log （3.12） 特别对紧框架有： ωω ωτπ ? ∞ +∞ -ψ?= d a A 2 ) (log （3.13） 举例：将Marr 小波离散化为小波框架。 Marr 小波是常用的一种连续小波形式。若将Marr 小波的尺度及位移分别离散化为 () τψψ?-=-- k t a a t j j k j 02 0,)( 则可证明，)(,t k j ψ构成了一个)(2R L 空间的小波框架，其框架的上界A 、下界B 同τ?、0a 之间的关系如表3.1表示。 表3.1 Marr 小波框架上、下界同0a 和τ?之间的关系 0a τ? A B A B 2 0.25 13.091 14.18 3 1.083 2 0.50 6.546 7.092 1.083 2 0.75 4.36 4 4.728 1.083 2 1.00 3.223 3.596 1.161 2 1.2 5 2.001 3.454 1.72 6 2 1.50 0.325 4.221 1 2.984 2 0.25 27.273 27.278 1.0002 2 0.50 1 3.673 13.639 1.0002 2 1.00 6.768 6.870 1.015 2 1.50 2.609 6.483 2.485 3 12 0.50 20.457 20.457 1.0000 3 12 1.00 10.178 10.279 1.010 312 1.50 4.629 9.009 1.947 4 12 0.50 27.276 27.276 1.0000 4 12 1.00 13.586 13.690 1.007 4 12 1.50 6.594 11.590 1.758 由表3.1可知： 1） 当20=a 时，取;75.0 1 此时采用重建公式（3.9）可较精确地重构原函数。 2） 0a 一定时，A B /的值随τ?增大而增大。 3） 给定一个0a 值，只要τ?足够小，总可以得到一个近似紧的小波框架。 4） 20=a ，1=?τ时，B A ≠，不是紧框架。 2. 重建核公式 （1）正交性：只有当1==B A 时，框架)(,t k j ψ变为正交基，此时经框架变换后的信息无任何冗余。但在其他情况下，框架)(,t k j ψ并不正交，具有一定的相关性。因此经框架处理后所含的信息是有冗余的。 （2）紧框架情况下的小波变换系数的相关性： 将离散小波变换的逆变换公式（3.9）重写如下： )(),(1 )(,,t k j WT A t f k j k j f ψ∑= （3.14） 其中 ??=R k j f dt t t f k j WT )()(),(,ψ （3.15a ） 则 ??=R k j f dt t t f k j WT )()(),(00,00ψ （3.15b ） 将式（3.14）代入式（3.15b ）得 ?∑∑= R k j j k j k f f dt t t k j WT A k j WT )(])(),([1 ),(00,,00ψψ ∑∑∑?∑= ?= j k f k j j R k j k f k j WT k j k j K A dt t t k j WT A )],(),;,([1 ])()(),([1 00,,00ψψψ （3.16） 其中 >= k j ψψψψψ （3.17） 分析说明： (1) 与连续情况一样，式（3.16）给出任意一点),(00k j 处小波变换之值与栅格上其他各点小波变换系数之间的内在联系，称它为重建核方程，称ψK 为重建核，由小波框架本身决定。 (2) 并不是相平面上的任意离散函数),(k j F 都可看作是某一函数的离散小波变换，只有它们之间满足（3.16）时才可以被看作为某一函数的 离散小波变换序列。 (3) 无论将Marr 小波如何离散，都不能使1==B A ，也即它不可能构成)(2R L 空间的正交基。 （Morlet 小波和DOG 也是如此） 3.3 二进小波变换 对于尺度及位移均离散化的小波序列，若取离散栅格的20=a ，0=?τ，即相当于连续小波只在尺度上进行了二进制离散，而位移仍取连续变化，我们称这 类小波为二进小波，表示为 ?? ? ??-=- k k t a t k 2 )(2 0,2τψψτ （3.18） 二进小波介于连续小波和离散小波之间，它只是对尺度参量进行了离散化，而在时间域上的平移量仍保持连续变化，故二进小波具有时移共变性，在奇异性检测、图像处理方面十分有用。在讨论二进小波变换及逆变换公式时，我们仍借用离散小波框架理论对其进行分析。 3.3.1 二进小波变换及其逆变换 设小波函数为)(t ψ，其傅里叶变换为)(ωψ，若存在二常数∞<≤ 使得 B A Z k k ≤ψ≤∑∈2 )2(ω （3.19） 此时式（3.18）定义的二进小波才是有意义的二进小波，即其逆变换存在。称式（3.19）为二进小波的稳定性条件；若B A =，则称最稳定条件。 若定义函数)(2R L f ∈的二进小波变换系数为 ? ?? ? ??-=*=- R k k dt t t f t t f WT k k 2)(2 )()()(2 ,22τψψττ （3.20） 由卷积定理，设)(2τk W T 的傅里叶变换为)(2τk W T ，则 )2(2)()(2 2ωωτωτk j k e F WT k ψ?=- 因此，稳定性条件（3.19）等价于对任意)(2R L f ∈都有 2 2 22 )(f B WT f A Z k j ≤≤∑∈τ （3.21） 式（3.21）说明： 1）二进小波)(,2t k τψ构成了)(2R L 的一个框架。 2）二进小波)(,2t k τψ的小波变换公式（式（3.20））及其逆变换公式存在。 二进小波变换的重建公式为 τψττ ∑?∈=Z k R d t W T t f k k )(~)()(,22 （3.22） 其中，)(~,2t k τψ为)(,2t k τ ψ的对偶框架，其上、下界分别为11,--A B 。 同离散小波框架相似，当B A =时， )(1)(~,2,2t A t k k τ τ ψψ= （3.23） 当B A ≠时，)(~,2t k τ ψ 的一阶近似为 )(2 ,2t B A k τ ψ+ （3.24） 当A B 接近于1时，其重构误差减小。当1??A B 采用高阶近似或递推的方法就可求 得更精确的解。 3.3.2 二进小波变换 （1）与离散小波相同，二进小波也一定是一个允许小波，且有 2ln ) (2ln 0 2 B d A ≤ψ≤? ∞ +ωω ω 2ln ) (2ln 0 2 B d A ≤-ψ≤? ∞ +ωω ω 特别是，当B A =时， 2ln ) (0 2 A d C =ψ=? ∞ +ωω ωψ （3.25） （2）二进小波变换时冗余的 由框架理论可知，当不满足1==B A 是，框架是冗余的，也即二进变换系数之间具有一定的相关性，它们之间的关系满足重建核方程。紧框架情况下的重建核方程如下： 紧框架（B A =）时，由（3.22）和（3.23）可知，重建公式为 τψττ∑?∈= Z k R d t WT A t f k k )()(1 )(,22 （3.26） 由于 ? ?? ? ??-=*=- R k k dt t t f t t f WT k k 2)(2 )()()(2 ,22τψψττ 当尺度为m ，平移为0τ时，小波变换系数为 ? ?? ? ??-=- R m m dt t t f WT m 2)(2 )(02 2τψτ =?∑???? ??-??????∈- R m Z k R m dt t d t WT A k k 2)()(210,222τψτψττ = ττψτψτ??∑??? ??????? ??-???? ??-∈R R m k Z k R k m d dt t t WT A k 22)(2 2102 2 2 = ττττψ?∑??∈R Z k R d k m K WT A k ),;,()(1 02 其中 dt t t K R k m k m ??? ? ??-?? ?? ??-= 222 2102 2 τψτψψ （3.27） 此即为二进小波变换紧框架下的重建核方程。 说明：由重建核方程可知，并不是任意函数序列{} Z k k g ∈)(2τ都可以作为某一函数的二进小波变换，而只有当它们满足重建核方程时，才可以看作是某一函数的二进小波变换。 （3）二进小波变换具有平移不变性（时域平移不变性），即若 )()(00ττ-=t f t f 设)(t f 的二进小波变换为)(2τk W T ，)(0t f τ的二进小波变换为)(2τk W T ，则有 )()(022τττ-=k k W T W T （3.28） 证明略（习题） 表3.1 Marr 小波框架上、下界同0a 和τ?之间的关系 0a τ? A B A B 2 0.25 13.091 14.18 3 1.083 2 0.50 6.546 7.092 1.083 2 0.75 4.36 4 4.728 1.083 2 1.00 3.223 3.596 1.161 2 1.2 5 2.001 3.454 1.72 6 2 1.50 0.325 4.221 1 2.984 2 0.25 27.273 27.278 1.0002 2 0.50 1 3.673 13.639 1.0002 2 1.00 6.768 6.870 1.015 2 1.50 2.609 6.483 2.485 3 12 0.50 20.457 20.457 1.0000 3 12 1.00 10.178 10.279 1.010 312 1.50 4.629 9.009 1.947 4 12 0.50 27.276 27.276 1.0000 4 12 1.00 13.586 13.690 1.007 4 12 1.50 6.594 11.590 1.758 基于小波变换的人脸识别 近年来，小波变换在科技界备受重视，不仅形成了一个新的数学分支，而且被广泛地应用于模式识别、信号处理、语音识别与合成、图像处理、计算机视觉等工程技术领域。小波变换具有良好的时频域局部化特性，且其可通过对高频成分采取逐步精细的时域取样步长，从而达到聚焦对象任意细节的目的，这一特性被称为小波变换的“变聚焦”特性，小波变换也因此被人们冠以“数学显微镜”的美誉。 具体到人脸识别方面，小波变换能够将人脸图像分解成具有不同分辨率、频率特征以及不同方向特性的一系列子带信号，从而更好地实现不同分辨率的人脸图像特征提取。 4.1 小波变换的研究背景 法国数学家傅立叶于1807年提出了著名的傅立叶变换，第一次引入“频率”的概念。傅立叶变换用信号的频谱特性来研究和表示信号的时频特性，通过将复杂的时间信号转换到频率域中，使很多在时域中模糊不清的问题，在频域中一目了然。在早期的信号处理领域，傅立叶变换具有重要的影响和地位。定义信号(t)f 为在(-∞，+∞)内绝对可积的一个连续函数，则(t)f 的傅立叶变换定义如下： ()()dt e t f F t j ωω-? ∞ -∞ += (4-1) 傅立叶变换的逆变换为： ()()ωωπ ωd e F t f t j ? +∞ ∞ -= 21 (4-2) 从上面两个式子可以看出，式（4-1）通过无限的时间量来实现对单个频率 的频谱计算，该式表明()F ω这一频域过程的任一频率的值都是由整个时间域上的量所决定的。可见，式（4-1）和（4-2）只是同一能量信号的两种不同表现形式。 尽管傅立叶变换可以关联信号的时频特征，从而分别从时域和频域对信号进行分析，但却无法将两者有效地结合起来，因此傅立叶变换在信号的局部化分析方面存在严重不足。但在许多实际应用中，如地震信号分析、核医学图像信号分析等，研究者们往往需要了解某个局部时段上出现了哪个频率，或是某个频率出现在哪个时段上，即信号的时频局部化特征，傅立叶变换对于此类分析无能为力。 因此需要一种如下的数学工具：可以将信号的时域和频域结合起来构成信号的时频谱，描述和分析其时频联合特征，这就是所谓的时频局部化分析方法，即时频分析法。1964年，Gabor 等人在傅立叶变换的基础上引入了一个时间局部化“窗函数”g(t)，改进了傅立叶变换的不足，形成窗口化傅立叶变换，又称“Gabor 变换”。 定义“窗函数”(t)g 在有限的区间外恒等于零或很快地趋于零，用函数(t )g -τ乘以(t)f ，其效果等同于在t =τ附近打开一个窗口，即： ()()()dt e t g t f G t j f ωττω-+∞ ∞--=?, (4-3) 式（4-3）即为函数f(t)关于g(t)的Gabor 变换。由定义可知，信号(t)f 的Gabor 变换可以反映该信号在t =τ附近的频谱特性。其逆变换公式为： ()()()ττωτωπ ωd G t g e d t f f t j ,21 ? ?+∞ ∞ --- = (4-4) 可见()τω,f G 的确包含了信号(t)f 的全部信息，且Gabor 窗口位置可以随着 τ的变化而平移，符合信号时频局部化分析的要求。 虽然Gabor 变换一定程度上克服了傅立叶变换缺乏时频局部分析能力的不 第三章 离散傅立叶变换 一、离散傅立叶级数 计算题： 1．如果)(~n x 是一个周期为N 的周期序列，那么它也是周期为2N 的周期序列。把)(~n x 看 作周期为N 的周期序列有)(~ )(~1k X n x ?（周期为N ）；把)(~n x 看作周期为2N 的周期序列有)(~)(~2k X n x ?（周期为2N ）；试用）（k X 1~表示） （k X 2~ 。 二、离散傅立叶变换定义 填空题 2．某DFT 的表达式是∑-==10 )()(N k kl M W k x l X ，则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是（ ）。 3．某序列DFT 的表达式是∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度是 （ ），变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是（ ）。 4．如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 （ ）。 5．采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ），其中时域数字序列)(n x 的序号n 代表的样值实际位置是（ ）； )(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际位置又是（ ） 。 6．用8kHz 的抽样率对模拟语音信号抽样，为进行频谱分析，计算了512点的DFT 。则频域 抽样点之间的频率间隔f ?为_______,数字角频率间隔w ?为 _______和模拟角频率间隔 ?Ω ______。 判断说明题： 7．一个信号序列，如果能做序列傅氏变换对它进行分析，也就能做DFT 对它进行分析。 （ ） 计算题 8．令)(k X 表示N 点的序列)(n x 的N 点离散傅里叶变换，)(k X 本身也是一个N 点的序列。 第三章 离散小波变换 3.1 尺度与位移的离散化方法 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数?? ? ??-= a t a t a τψψτ1)(,的 τ,a 限定在一些离散点上取值。 1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化， 即取m m a a 0=（m 为整数，10≠a ，一般取20=a ）。如果采用对数坐标，则尺度a 的离散取值如图3.1 所示。 图3.1 尺度与位移离散方法 2. 位移的离散化：当120==a 时，()τψψτ-=t t a )(,。 （1）通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。 （2）要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。 3. )(,t a τψ=？ 当m 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取s m T 2。此时)(,t a τψ可表示为 );(2212221 ,t T n t T n t n m s m m m s m m ψψψ记作??? ???-=??? ? ???- Z n m ∈, 为简化起见，往往把t 轴用s T 归一化，这样上式就变为 ()n t t m m n m -=-- 22)(2 ,ψψ （3.1） 4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为 ??=R n m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ （3.2） DWT 与CWT 不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题： （1）离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m W T n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。 （2）是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和 ∑∈= Z n m n m n m t C t f ,,,)()(ψ？如果可以，系数n m C ,如何求？ 上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择ψ，并对τ,a 进行适当的离散（即适当的选择s T a ,0），那么一定存在与小波序列n m ,ψ对 应的n m ,~ψ序列，使得问题（1）的重建简单地表示为 ∑∈><= Z n m n m n m f t f ,,,~,)(ψψ （3.3） n m ,~ψ称为n m ,ψ的对偶，它可以由一个基本小波)(~t ψ通过位移和伸缩取得： () n t t m m n m -=--2~2)(~2,ψψ 由上式，若存在)()(2R L t g ∈，则有 ∑>><<=><>= *第三章消解原理 斯柯伦标准形 内容提要 我们约定，本章只讨论不含自由变元的谓词公式(也称语句,sentences)，所说前束范式均指前束合取范式。 全称量词的消去是简单的。因为约定只讨论语句，所以可将全称量词全部省去，把由此出现于公式中的“自由变元”均约定为全称量化的变元。例如A(x)实指xA(x)。 存在量词的消去要复杂得多。考虑xA(x)。 （1）当A(x)中除x外没有其它自由变元，那么，我们可以像在自然推理系统中所做那样，可引入A(e/x)，其中e为一新的个体常元，称e为斯柯伦（Skolem）常元，用A(e/x)代替xA(x),但这次我们不把A(e/x)看作假设,详见下文。 （2）当A中除x外还有其它自由变元y1,…,y n，那么xA(x, y1,…,y n) 来自于y1…y n xA(x, y1,…,y n)，其中“存在的x”本依赖于y1,…,y n的取值。因此简单地用A(e/x, y1,…,y n)代替xA(x, y1,…,y n) 是不适当的，应当反映出x对y1,…,y n的依赖关系。为此引入函数符号f，以A(f(y1,…,y n)/x, y1,…,y n) 代替xA(x, y1,…,y n)，它表示：对任意给定的y1,…,y n, 均可依对应关系f确定相应的x，使x, y1,…,y n满足A。这里f是一个未知的确定的函数，因而应当用一个推理中尚未使用过的新函数符号，称为斯柯伦函数。 定理（斯柯伦定理）对任意只含自由变元x, y1,…,y n的公式A(x, y1,…,y n)，xA(x, y1,…,y n)可满足，当且仅当A(f(y1,…,y n), y1,…,y n)可满足。这里f为一新函数符号；当n = 0时，f为新常元。 定义设公式A的前束范式为B。C是利用斯柯伦常元和斯柯伦函数消去B中量词（称斯柯伦化）后所得的合取范式，那么称C为A的斯柯伦标准形（Skolem normal form）。 以下我们约定：斯柯伦标准形中，各子句之间没有相同的变元。 定义子句集S称为是可满足的，如果存在一个个体域和一种解释，使S中的每一个子句均为真，或者使得S的每一个子句中至少有一个文字为真。否则, 称子句集S是不可满足的。 习题解答 练习 1、求下列各式的斯柯伦标准形和子句集。 （1）┐(xP(x)→y zQ(y, z)) （2）x(┐E(x, 0)→y(E(y, g(x))∧z(E(z, g(x))→E(y, z)))) （3）┐(xP(x)→y P(y)) （4）（1）∧（2）∧（3） 解（1）┐(xP(x)→y zQ(y, z))┝┥┐xP(x)∧y zQ(y, z) ┝┥x┐P(x)∧y zQ(y, z) 斯柯伦标准形：┐P(e1)∧Q(e2, z) 子句集：{┐P(e1)，Q(e2, z)} （2）x(┐E(x, 0)→y(E(y, g(x))∧z(E(z, g(x))→E(y, z)))) ┝┥x y z (E(x, 0)∨(E(y, g(x))∧(┐E(z, g(x))∨E(y, z)))) ┝┥x y z ((E(x, 0)∨E(y, g(x)))∧(E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(y, z))) 斯柯伦标准形：(E(x, 0)∨E(f(x), g(x)))∧(E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(f(x), z))子句集：{ E(x, 0)∨E(f(x), g(x)), E(x, 0)∨┐E(z, g(x))∨E(f(x), z)} （3）┐(xP(x)→y P(y))┝┥xP(x)∧┐y P(y) ┝┥xP(x)∧y┐P(y) ┝┥x y (P(x)∧┐P(y)) 斯柯伦标准形：P(x)∧┐P(y) 子句集：{P(x),┐P(y) } 小波变换与傅里叶变换 的对比异同 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 小波变换与傅里叶变换的对比、异同 一、基的概念 两者都是基，信号都可以分成无穷多个他们的和（叠加）。而展开系数就是基与信号之间的内积，更通俗的说是投影。展开系数大的，说明信号和基是足够相似的。这也就是相似性检测的思想。但我们必须明确的是，傅里叶是0-2pi标准正交基，而小波是-inf到inf之间的基。因此，小波在实轴上是紧的。而傅里叶的基（正弦或余弦），与此相反。而小波能不能成为Reisz基，或标准稳定的正交基，还有其它的限制条件。此外，两者相似的还有就是PARSEVAL 定理。（时频能量守恒）。 二、离散化的处理 傅里叶变换，是一种数学的精妙描述。但计算机实现，却是一步步把时域和频域离散化而来的。第一步，时域离散化，我们得到离散时间傅里叶变换（DTFT），频谱被周期化；第二步，再将频域离散化，我们得到离散周期傅里叶级数（DFS），时域进一步被周期化。第三步，考虑到周期离散化的时域和频域，我们只取一个周期研究，也就是众所周知的离散傅里叶变换（DFT）。这里说一句，DFT是没有物理意义的，它只是我们研究的需要。借此，计算机的处理才成为可能。所有满足容许性条件（从-INF到+INF积分为零）的函数，都可以成为小波。小波作为尺度膨胀和空间移位的一组函数也就诞生了。但连续取值的尺度因子和平移因子，在时域计算量和频域的混叠来说，都是极为不便的。用更为专业的俗语，叫再生核。也就是，对于任何一个尺度a和平移因子b的小波，和原信号内积，所得到的小波系数，都可以表示成，在a，b附近生成的小波，投影后小波系数的线性组合。这就叫冗余性。这时的连续小波是与正交基毫无关系的东西，它顶多也只能作为一种积分变换或基。但它的显微镜特点和相似性检测能力，已经显现出来了。为了进一步更好的将连续小波变换离散化，以下步骤是一种有效方法。第一步，尺度离散化。一般只将a二进离散化，此时b 是任意的。这样小波被称为二进小波。第二步，离散b。怎么离散化呢b取多少才合适呢于是，叫小波采样定理的东西，就这样诞生了。也就是小波平移的最小距离（采样间隔），应该大于二倍小波基的最高频率（好像类似，记不清了）。所以b取尺度的整数倍就行了。也就是越胖的小波，对应频谱越窄，平移量应该越大，采样间隔越大。当然，第一二两步的频域理解，即在满足频域窗口中心是3倍的频域窗口半径的前提下，频域就在统计上是完美二分的。（但很多小波满足不了这个条件，而且频域窗口能量不,所以只是近似二分的).这时的小波变换,称为离散二进小波变换.第三步,引入稳定性条件.也就是经过变换后信号能量和原信号能量有什么不等式关系.满足稳定性条件后,也就是一个小波框架产生了可能.他是数值稳定性的保证.一个稍弱的稳定条件,就是 第三章 离散傅里叶变换及其快速算法习题答案参考 3.1 图P3.1所示的序列()x n %是周期为4的周期性序列。请确定其傅里叶级数的系数()X k %。 解： (1) 1 1 *0 ()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-==-=∑∑∑ %%%%%% 3.2 （1）设()x n %为实周期序列，证明()x n %的傅里叶级数()X k %是共轭对称的，即*()()X k X k =-%。 （2）证明当()x n %为实偶函数时，()X k %也是实偶函数。 证明：（1） 1 01 1 * * ()()()[()]()() N nk N n N N nk nk N N n n X k x n W X k x n W x n W X k --=---==-=-===∑∑∑%%%%%% （2）因()x n %为实函数，故由（1）知有 *()()X k X k =-%或*()()X k X k -=% 又因()x n %为偶函数，即()()x n x n =-%%，所以有 (1) 11*0 ()()()()()()N N N nk nk nk N N N n n n X k x n W x n W x n W X k X k -----=====-= =-=∑∑∑ %%%%%% 3.3 图P3.3所示的是一个实数周期信号()x n %。利用DFS 的特性及3.2题的结果，不直接计算其傅里叶级 数的系数()X k %，确定以下式子是否正确。 （1）()(10)X k X k =+%%，对于所有的k ； （2）()()X k X k =-%%，对于所有的k ； （3）(0)0X =%； 基于Matlab的离散小波变换 lyqmath https://www.doczj.com/doc/3d3139324.html,/lyqmath 目录 基于Matlab的离散小波变换 (1) 简介 (1) 实例 (2) 结果 (2) 总结 (2) 简介 在数字图像处理中，需要将连续的小波及其小波变换离散化。一般计算机实现中使用二进制离散处理，将经过这种离散化的小波及其相应的小波变换成为离散小波变换（简称DWT）。实际上，离散小波变换是对连续小波变换的尺度、位移按照2的幂次进行离散化得到的，所以也称之为二进制小波变换。 虽然经典的傅里叶变换可以反映出信号的整体内涵，但表现形式往往不够直观，并且噪声会使得信号频谱复杂化。在信号处理领域一直都是使用一族带通滤波器将信号分解为不同频率分量，即将信号f(x)送到带通滤波器族Hi(x)中。 小波分解的意义就在于能够在不同尺度上对信号进行分解，而且对不同尺度的选择可以根据不同的目标来确定。 对于许多信号，低频成分相当重要，它常常蕴含着信号的特征，而高频成分则给出信号的细节或差别。人的话音如果去掉高频成分，听起来与以前可能不同，但仍能知道所说的内容；如果去掉足够的低频成分，则听到的是一些没有意义的声音。在小波分析中经常用到近似与细节。近似表示信号的高尺度，即低频信息；细节表示信号的高尺度，即高频信息。因此，原始信号通过两个相互滤波器产生两个信号。 通过不断的分解过程，将近似信号连续分解，就可以将信号分解成许多低分辨率成分。理论上分解可以无限制的进行下去，但事实上，分解可以进行到细节（高频）只包含单个样本为止。因此，在实际应用中，一般依据信号的特征或者合适的标准来选择适当的分解层数。 第六章部分课后习题参考答案5.确定下列命题是否为真： （1）? ?真 ? （2）? ?假 ∈ （3）} ?真 {? ? （4）} ?真 ∈ {? （5）｛a,b｝?｛a,b,c,｛a,b,c｝｝真 （6）｛a,b｝∈｛a,b,c,｛a,b｝｝真 （7）｛a,b｝?｛a,b,｛｛a,b｝｝｝真 （8）｛a,b｝∈｛a,b,｛｛a,b｝｝｝假 6．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真: （1）｛｛a,b｝，c,?｝=｛｛a,b｝,c｝假 （2）｛a ,b,a｝=｛a,b｝真 （3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝假 （4）｛?，｛?｝，a,b｝=｛｛?,｛?｝｝,a,b｝假 8．求下列集合的幂集： （1）｛a,b,c｝P(A)={ ?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} （2）｛1，｛2，3｝｝P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } （3）｛?｝P(A)={ ?, ｛?｝ } （4）｛?，｛?｝｝P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } 14．化简下列集合表达式： （1）（A B） B ）-（A B） （2）（（A B C）-（B C）） A 解: (1)（A B） B ）-（A B）=（A B） B ） ～（A B） =（A B） ～（A B）) B=? B=? （2）（（A B C）-（B C）） A=（（A B C） ～（B C）） A =（A ～（B C）） （（B C ） ～（B C）） A =（A ～（B C）） ? A=（A ～（B C）） A=A 基于GEM模型和离散小波变换的图像修复方法 让·格姆士，安东尼·库马尔 摘要：在本文中，我们提出了一种新颖的期望最大化算法，使用一种新的离散多尺度方向的稀疏表示称为离散小波变换（DWT）应用于自动彩色图像修复。众所周知，传统小波都不能有效处理分布不连续的多维信号，如边缘处。采用基础元素与更高的定向敏感性法的方法可以实现更有效的表示。而最为有效表示图像的边缘的方法是利用小波变换使多尺度方法的能力相结合一种能够捕捉多维数据的几何形状的独特的能力。待修复的部分可以被看作是插值或者估计问题与数据缺失。为了实现这一目标，我们建议使用期望最大化（EM）算法在贝叶斯框架上，用于恢复丢失的样本，使用的是稀疏表示的离散小波变换（DWT）的想法。我们首先介绍一个简单而有效的稀疏表示的离散小波变换（DWT）的图像修复的迭代算法。然后，我们推导出它的收敛性。我们可以证明，这种基于新的稀疏表示—离散小波变换的算法在图像修复中的应用，无论是在性能方面还是计算效率上都具有一定竞争力。 关键词：稀疏表示，小波，离散小波变换，系统修复，优化，期望最大化 1.简介 图像修复是指填充在图像中丢失或损坏的区域（如裂缝或疤痕）。在美术博物馆，专业艺术家对图像进行传统的图像修复，通常是非常耗时的，更不用说由于直接修复而造成图像完全被破坏的风险。 从数学角度来说，图像修复本质上是一个插值问题。从而在计算机视觉和图像处理上直接重叠与其他许多重要的任务，包括图像转换、图像修补、缩放、超分辨率和错误隐藏。当前的工作是激励和启发错误隐藏的应用程序，其实就是自动恢复在传输过程中所丢失的数据包信息。 在小波域内图像修复或使用稀疏表示是一个完全不同的问题，因为这种方法没有定义的图像修复区域的像素域。在新的图像压缩标准JPEG2000发布之后，这个新的标准在很大程度上是基于小波变换，许多图像不仅是格式化的并且存储在小波系数中。在这些图像无线传输时，它可能会在传输过程中发生随机丢失或损坏某些小波数据包。在小波域上，用小波变换从这些丢失或损坏小波包的图像中恢复原始图像是图像修复的难题，这种方式的任务明显不同于传统的图像修补方法。 在传统的图像修复方法中，在稀疏词典中运用著名的Daubechies 小波7/9[1][2]双正交分解。这些传统小波不能有效处理诸如如边缘处的含有分散式间断部分的多维信号。因为这种处理，常常导致形成Gibbs吉布斯型构件式假象[6]，其周围明显的锐利，不连续。由于小波系数较小的会被消除，所以系数较小的小波会被保留。虽然新的小 第三章离散小波变换 3.1尺度与位移的离散化方法 减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数 ' 一些离散点上取值。 1.尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幕级数进行离散化，即取 ，一般取 ）。如果采用对数坐标，则尺度'的离 ]2 3 4 5 € J ■ ■ ■ k- ] ■ ■ v ■ Prit ■ 1J ■i r 图3.1尺度与位移离散方法 （1）通常对「进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。 （2）要求采样间隔「满足’’… 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率 通带的2倍。 3. ： ' = ？ 当 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图 2.2），可见采样 频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。因此，如果尺度：■时—的 T rE T? T （ f l 间隔为?，则在尺度为-时，间隔可取 。此时 可表示为 为简化起见，往往把’轴用’归一化，这样上式就变为 叫厂畸（皿为整数，叫士 散取值如图3.1所示。 2. 位移的离散化：当1 时， 'o m, w e Z %山"2 W"（3.1） 4.任意函数的离散小波变换为 H 心（3.2） DWT与CWT不同，在尺度一位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题： （1）离散小波变换’一' *"是否完全表征函数的全部信息，或 者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数。 （2）是否任意函数都可以表示为以为基本单元川2工 的加权和？如果可以，系数’ 如何求？ 上述两个问题可以归结为一个。假设条件（1）满足，可合理的选择，并对进行适当的离散（即适当的选择?’），那么一定存在与小波 序列对应的序列，使得问题（1）的重建简单地表示为 A0 = ￡也2“ （3.3） 称为的对偶，它可以由一个基本小波■?通过位移和伸 缩取得： 由上式，若存在'''，则有 Matlab实现小波变换 本文来自: 高校自动化网(https://www.doczj.com/doc/3d3139324.html,) 详细出处参考(转载请保留本链接)：https://www.doczj.com/doc/3d3139324.html,/html/matlab/7709.html MATLAB 小波变换2010-01-11 20:51 3. 图像小波变换的Matlab 实现函数fft、fft2 和fftn 分析 3.1 一维小波变换的Matlab 实现 (1) dwt 函数Matlab 功能：一维离散小波变换 格式：[cA,cD]=dwt(X,'wname') [cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D)别可以实现一维、二维和N 维DFT 说明：[cA,cD]=dwt(X,'wname') 使用指定的小波基函数'wname' 对信号X 进行分解，cA、cD 分别为近似分量和细节分量；[cA,cD]=dwt(X,Lo_D,Hi_D) 使用指定的滤波器组Lo_D、Hi_D 对信号进行分解。 (2) idwt 函数 功能：一维离散小波反变换 格式：X=idwt(cA,cD,'wname') X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) X=idwt(cA,cD,'wname',L)函数fft、fft2 和fftn 分 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 说明：X=idwt(cA,cD,'wname') 由近似分量cA 和细节分量cD 经小波反变换重构原始信号X 。 'wname' 为所选的小波函数 X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R) 用指定的重构滤波器Lo_R 和Hi_R 经小波反变换重构原始信号X 。 X=idwt(cA,cD,'wname',L) 和X=idwt(cA,cD,Lo_R,Hi_R,L) 指定返回信号X 中心附近的L 个点。 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 3.2 二维小波变换的Matlab 实现 二维小波变换的函数别可以实现一维、二维和N 维DFT ------------------------------------------------- 函数名函数功能 --------------------------------------------------- dwt2 二维离散小波变换 wavedec2 二维信号的多层小波分解 idwt2 二维离散小波反变换Matlab waverec2 二维信号的多层小波重构 wrcoef2 由多层小波分解重构某一层的分解信号 upcoef2 由多层小波分解重构近似分量或细节分量 1. 离散傅立叶变换的Matlab实现 detcoef2 提取二维信号小波分解的细节分量 第三章习题一解答 一、求下列集合的幂集 1、{杨,李,石} 解：P({杨,李,石}) ={Φ, {石},{李,石},{杨},{杨,石},{杨,李},{杨,李,石}} 2、{{1,2},{2,1,1},{2,1,1,2}} 解：原集合={{1,2},{2,1},{2,1}}={{1,2}}，只含一个元素，故其幂集只有2 个元素： P={Φ,{1,2}} 二、利用包含排斥原理，求解以下各题。 1、对60 人调查，25 读《每周新闻》，26 读《时代》，26 人读《财富》，9 人读《每周新闻》和《财富》，11 读《每周新闻》和《时代》，8 人读《时代》与《财富》，还有 8 人什么都不读，请计算： (1) 阅读全部三种杂志的人数。 (2) 分别求只阅读每周新闻、时代、财富杂志的人数。 解：记A={《每周新闻》的读者}，B={《时代》的读者}，C={《财富》的读者}。 由于8 人什么都不读，故只有 52 人读杂志，即 |A ∪B ∪C|=52。已知 |A|=25，|B|=26，|C|=26 |A ∩C|=9，|A ∩B|=11，|B ∩C|=8 （1）由包含排斥原理可知 |A ∪B ∪C|=|A|+|B|+|C|-|A ∩C|-|A ∩B|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|， 故 52=25+26+26-9-11-8+| A ∩B ∩C|，即有 | A ∩B ∩C|=3， 所以同时读三种杂志的人为3 人。 （2）注意到 |S ∩T| = |S|-|S ∩T|，故 只读《每周新闻》的人数为： | )()(||||)(||||)(|||C A B A A C B A A C B A C B A ???-=??-=??=?? =|A|-|A ∩B|-|A ∩C|+| A ∩B ∩C|=25-9-11+3=8； 只读《时代》人数为：=??||C A B |B|-|B ∩A|-|B ∩C|+| A ∩B ∩C|=26-11-8+3=10 ； 只读《财富》的人为：=??||B A C |C|-|C ∩A|-|C ∩B|+| A ∩B ∩C|=26-9-8+3=12。 2、某班25个学生，14人会打篮球，12人会打排球，6人会篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球，已知6人会网球的都会篮球或排球，求不会打球的人。 解：先求出会打球的人，25-会打球的人=不会打球的人。 |篮|=14, |排|=12, |篮∩排|=6, |篮∩网|=5, |篮∩排∩网|=2，|网|=6， 又 6= |网∩(篮?排)| = |网∩篮|+|网∩排|-|网∩篮∩排|, 故 5+ |网∩排|-2=6， 故 | 网∩排|=3, 由包含排斥原理可知会打球的人数为 长期以来，离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。本章分别对FFT 和DWT 的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。 1.1 离散小波变换DWT 1.1.1 离散小波变换DWT 及其串行算法 先对一维小波变换作一简单介绍。设f (x )为一维输入信号，记)2(2)(2/k x x j j jk -=--φφ， )2(2)(2/k x x j j jk -=--ψψ，这里)(x φ与)(x ψ分别称为定标函数与子波函数，)}({x jk φ与 )}({x jk ψ为二个正交基函数的集合。记P 0f =f ，在第j 级上的一维离散小波变换 DWT(Discrete Wavelet Transform)通过正交投影P j f 与Q j f 将P j -1f 分解为： ∑∑+=+=-k k jk j k jk j k j j j d c f Q f P f P ψφ1 其中：∑ =-=-+1 1 2)(p n j n k j k c n h c ，∑=-=-+1 1 2)(p n j n k j k c n g d )12,...,1,0,,...,2,1(-==j N k L j ，这里，{h (n )}与{g (n )}分别为低通与高通权系数，它们由基函数)}({x jk φ与)}({x jk ψ 来确定，p 为权系数 的长度。}{0 n C 为信号的输入数据，N 为输入信号的长度，L 为所需的级数。由上式可见，每级一维DWT 与一维卷积计算很相似。所不同的是：在DWT 中，输出数据下标增加1时，权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。 算法 一维离散小波变换串行算法 输入：c 0 =d 0 (c 00 , c 10 ,…, c N-10 ) h=(h 0, h 1,…, h L-1) g=(g 0, g 1,…, g L-1) 输出：c i j , d i j (i=0, 1,…, N/2j-1 , j ≥0) 第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换 对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反 *时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反 小波变换与小波框架 小波分析的理论与方法是从Fourier分析的思想方法演变而来的，就象Fourier分析分为积分Fourier变换和Fourier级数一样，小波分析也分为(积分)小波变换和小波级数两部分，(积分)小波变换的主体是连续小波变换，正尺度小波变换和s-进小波变换；而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论．小波分析理论深刻，应用广泛，并且仍在迅速发展之中．本文是作者作为初学者，就小波分析这一理论中比较基本和初步的东西所作的一点归纳和整理，其实，有许多结论已经或明或暗的出现于许多文献中了，只是作者觉得它们叙述得不够适合初学者，尤其是不适合没有工程应用背景的人，这是因为小波分析象Fourier 分析一样，起初都是由应用数学家，物理学家和工程师们发展起来的．本文所得结论比较初步，所用方法基本上属于泛函分析中的一些基本内容，只是稍微需要一点关于拓扑群的知识和Fourier分析的基础知识．本文仅考虑Hilbert 空间L~2(R)及其闭子空间中的小波变换和小波框架等问题．本文主要考虑的问题是：L~2(R)上的连续小波变换，正尺度小波变换和s-进小波变换，以及L~2(R)中的小波框架，因为平移框架在小波框架中具有重要作用，所以也考虑了L~2(R)的闭子空间中的平移框架．事实上，通常的小波分析所研究的问题，在一维情形，概括地说，是研究实直线R上的仿射群R~*×R及其子群和子集在L~2(R)上的酉表示U所诱导的L~2(R)(有时是其闭子空间)中的函数的积分变换的性质及应用．下面作稍具体的一点解释：首先，变换上的仿射变换，所有这样的变换全体做成—个群，记为和凡xB—1（。m，幻＞儿mE 二，bE用是XxR的子群，（丹xRh 一 U习－，巴－nf小＞1；左＞0，mE 凤n二厂I是R宇XR的一忏集丞它不是群．分别作定义在集合 R’ x B， 由于小波变换的知识涵盖了调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论，所以没有一定的数学基础很难学好小波变换．但是对于我们工科学生来说，重要的是能利用这门知识来分析所遇到的问题．所以个人认为并不需要去详细学习调和分析，实变函数论，泛函分析及矩阵论等数学知识．最重要是的理解小波变换的思想！从这个意义上说付立叶变换这一关必需得过！因为小波变换的基础知识在付立叶变换中均有提及，我觉得这也就是很多小波变换的书都将付立叶分析作为其重要内容的原因．所以我认为学习小波应从＜数字信号处理＞中的付立叶分析开始．当然也可从＜信号与系统＞这本书开始．然后再看杨福生老师的小波变换书．个人觉得他的书最能为工科学生所接受． ２信号的分解 付立叶级数将周期信号分解为了一个个倍频分量的叠加，基函数是正交的，也就是通常所说的标准正交基．通过分解我们就能将特定的频率成分提取出来而实现特定的各种需要，如滤波，消噪等．付立叶变换则将倍频谱转换为了连续谱，其意义差不多．小波变换也是一种信号分解思想：只不过它是将信号分解为一个个频带信号的叠加．其中的低频部分作为信号的近似，高频部分作为信号的细节．所谓的细节部分就是一组组小波分量的叠加，也就是常说的小波级数． ３小波变换的时频分析思想 付立叶变换将信号从时域变换到了频域，从整体上看待信号所包含的频率成分．对于某个局部时间点或时间段上信号的频谱分析就无能为力了，对于我们从事信号的奇异性检测的人来说，付立叶变换就失去了意义（包括加窗付立叶变换）．因为我们要找的是信号的奇异点（时域方面）和奇异点处所包含的频带（频域方面）也就是说需要一种时频分析方法．当然能有纯时域的分析方法更好！（据说数学形态学能达到这种效果）．小波变换之所以可以检测信号的奇异点，正在于它的＂小＂．因为用小的波去近似奇异信号要比正弦波要好的多． ４小波变换的实质 小波变换的公式有内积形式和卷积形式，两种形式的实质都是一样的．它要求的就是一个个小波分量的系数也就是＂权＂．其直观意义就是首先用一个时窗最窄，频窗最宽的小波作为尺子去一步步地＂量＂信号，也就是去比较信号与小波的相似程度．信号局部与小波越相似，则小波变换的值越大，否则越小！当一步比较完成后，再将尺子拉长一倍，又去一步步地比 第3章作业 班级学号姓名成绩 8.一个小猪储钱罐有100个相同的5角和80个1元的硬币，从中选出8个硬币有多少种方式。 11.设x1，x2，x3是非负整数，不等式x1+x2+x3 11有多少种解。 13.使用MISSISSIPPI中的所有字母可以构成多少个不同的串？使用ABRACADABR中的所有字母可以构成多少个不同的串？ 15.把一副标准的52张扑克牌发给5个人，每人得7张，有多少种不同的方式，把一副标准的52张扑克牌平均发给4个人，有多少种不同的方式？ 16.有多少种不同的方式把5个不同的物体放到3个不同的盒子里？有多少种不同的方式把5个相同的物体放到3个不同的盒子里？ 17找出按照字典顺序跟在下面每个排列后面的下一个更大的全排列。 （1）1432（2）54123（3）12453（4）45231(5)6714235(6)31528764 18.按照字典顺序排列下述{1,2,3,4,5,6}的排列：234561,231456,165432,156423,543216,541236,231465, 314562,432561,654321,654312,435612。 20.使用算法3.3.2列出集合{1,2,3,4}的所有子集。 21.使用算法3.3.3列出集合{1,2,3,4,5}的所有3-组合。 38.一个碗里有10个红球和10个蓝球。一位女士不看球而随机地选取。 （1）她必须选多少个球才能保证至少有3个球是同色的？ （2）她必须选多少个球才能保证至少有3个球是蓝色的？ 39.一个计算机网络有6台计算机组成，每台计算机至少连接1台其他计算机。证明，网络中至少有2台计算机直接连接相同数目的其他计算机。 离散小波变换 长期以来，离散小波变换(Discrete Wavelet Transform)在数字信号处理、石油勘探、地震预报、医学断层诊断、编码理论、量子物理及概率论等领域中都得到了广泛的应用。各种快速傅氏变换(FFT)和离散小波变换(DWT)算法不断出现，成为数值代数方面最活跃的一个研究领域，而其意义远远超过了算法研究的范围，进而为诸多科技领域的研究打开了一个崭新的局面。本章分别对FFT 和DWT 的基本算法作了简单介绍，若需在此方面做进一步研究，可参考文献[2]。 1.1 离散小波变换DWT 1.1.1 离散小波变换DWT 及其串行算法 先对一维小波变换作一简单介绍。设f (x )为一维输入信号，记)2(2)(2/k x x j j jk -=--φφ， )2(2)(2/k x x j j jk -=--ψψ，这里)(x φ与)(x ψ分别称为定标函数与子波函数，)}({x jk φ与 )}({x jk ψ为二个正交基函数的集合。记P 0f =f ，在第j 级上的一维离散小波变换DWT(Discrete Wavelet Transform)通过正交投影P j f 与Q j f 将P j -1f 分解为： ∑∑+=+=-k k jk j k jk j k j j j d c f Q f P f P ψφ1 其中：∑=-=-+10 12)(p n j n k j k c n h c ，∑=-=-+1 12)(p n j n k j k c n g d )12,...,1,0,,...,2,1(-==j N k L j ，这里，{h (n )}与{g (n )}分别为低通与高通权系数，它们由基函数)}({x jk φ与)}({x jk ψ 来确定，p 为权系数 的长度。}{0 n C 为信号的输入数据，N 为输入信号的长度，L 为所需的级数。由上式可见，每级一维DWT 与一维卷积计算很相似。所不同的是：在DWT 中，输出数据下标增加1时， 权系数在输入数据的对应点下标增加2，这称为“间隔取样”。 算法22.3 一维离散小波变换串行算法 输入：c 0=d 0(c 00, c 10,…, c N-10) h=(h 0, h 1,…, h L-1) g=(g 0, g 1,…, g L-1) 输出：c i j , d i j (i=0, 1,…, N/2j-1, j ≥0) Begin (1)j=0, n=N (2)While (n ≥1) do (2.1)for i=0 to n-1 do (2.1.1)c i j+1=0, d i j+1=0小波变换详解
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