（ 2012 届）
本科毕业论文（设计）
题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
学院：教师教育学院
专业：数学与应用数学（师范）
班级：数学082
学号：
姓名：
指导教师：
完成日期：
教务处制
诚信声明
我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日
授权声明
学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。
论文(设计)作者签名：签名日期：年月日
柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用
王莉莉
（嘉兴学院数学与信息工程学院）
摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式.
关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理
Cauchy Integral Theorem and Cauchy Integral Formulas of
the Origin and its Application
Wanglili
（College of Mathematics and Information Engineering , Jiaxing University）
Abstract:Complex-variable function is a comprehensive university or institute of technology of normal colleges and universities professional required courses. It is real veriables function of the promotion and development of calculus. One cauchy integral theorem and cauchy integral formula is a complex function theory foundation. It is the key of sresearching complex function theory. One of its important contents is the cauchy integral theorem, which says that the integral along a contour of an analytic function is zero. This paper studies the cauchy integral theorem and cauchy integral formula related concepts and prove, promotion and in algebra fundamental theorem of integral proof, in the calculation of the application. It discusses the closely related of the cauchy integral theorem and cauchy complex functions. The famous cauchy integral formula can follows easily from the cauchy integral theorem. Also residue theorem are briefly introduced. Use of residue theorem can get the complex functions respectively cauchy integral theorem and cauchy integral formulas and high derivatives formula.
Key words:Complex-variable function;cauchy integral theorem;cauchy integral formula;residue theorem
目录
1 绪论 (1)
1.1 研究背景 (1)
1.1.1 复变函数概况 (1)
1.1.2 复积分的定义 (2)
1.1.3 柯西积分定理的引入 (3)
1.2 本文的研究工作 (4)
1.3 本文的未来工作 (4)
2 柯西积分定理 (5)
2.1 柯西积分定理 (5)
2.2 柯西积分定理的证明 (5)
2.3 柯西积分定理的推广 (6)
2.4 柯西积分定理的应用 (9)
3 柯西积分公式 (12)
3.1 柯西积分公式 (12)
3.2 柯西积分公式的证明 (12)
3.3 柯西积分公式的推广 (13)
3.4 柯西积分公式的应用 (14)
4 复变函数积分之间的关系 (18)
4.1 柯西积分定理与柯西积分公式的关系 (18)
4.2 复变函数积分与留数定理的关系 (19)
参考文献 (22)
1 绪论
1.1 研究背景
在18世纪后半叶到19世纪初，开始了复函数的偏导数与积分性质的探索.复分析真正作为现代分析的一个研究领域是在19世纪建立起来的，主要奠基人：柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯.柯西建立了复变函数的微分和积分理论.1814年、1825年的论文《关于积分限为虚数的定积分的报告》建立了柯西积分定理，1826年提出留数概念，1831年获得柯西积分公式，1846年发现积分与路径无关定理[3].
1.1.1 复变函数概况
复数的概念起源于求方程的根，在二次、三次代数方程的求根中就出现了负数开平方的情况.在很长时间里，人们对这类数不能理解.但随着数学的发展，这类数的重要性就日益显
a ，其中i是虚数单位.以复数作为自变量的函数就叫做复现出来.复数的一般形式是：bi
变函数，而与之相关的理论就是复变函数论.解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就是研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论.复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学.当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一.
复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有着许多的相似之处.但是，复变函数又有与实变函数不同之点,它是数学分析在研究领域的扩展.在我们学习中，要勤于思考，善于比较，既要注意共同点，更要弄清不同点.这样，才能抓住本质，融会贯通.
复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容.
如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数，多项式就是这样的函数.复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具.由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面.利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和支点概念在几何上有非常直观的表示和说明.对于某一个多值函数，如果能作出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数.黎曼曲面理论是复变函数论和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何性质联系起来.近来，关于黎曼曲面的研究还对另一门数学分支拓扑学产生了比较大的影响，逐渐地趋向于讨论它的拓扑性质.
复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论，复变函数可以通过共形映像理论为它的性质提供几何说明.导数处处不是零的解析函数所实现的映像都都是共形映像，共形映像也叫做保角变换.共形映像在流体力学、空气动力学、弹性理论、静电场理论等方面都得到了广泛的应用.
留数理论是复变函数论中一个重要的理论.留数也叫做残数，它的定义比较复杂.应用留数理论对于复变函数积分的计算比起线积分计算方便.计算实变函数定积分，可以化为复变函数沿闭回路曲线的积分后，再用留数基本定理化为被积分函数在闭合回路曲线内部孤立奇点上求留数的计算，当奇点是极点的时候，计算更加简洁.
把单值解析函数的一些条件适当地改变和补充，以满足实际研究工作的需要，这种经过改变的解析函数叫做广义解析函数.广义解析函数所代表的几何图形的变化叫做拟保角变换。解析函数的一些基本性质，只要稍加改变后，同样适用于广义解析函数.广义解析函数的应用范围很广泛，不但应用在流体力学的研究方面，而且象薄壳理论这样的固体力学部门也在应用.因此，近年来这方面的理论发展十分迅速.
从柯西算起，复变函数论已有170多年的历史了.它以其完美的理论与精湛的技巧成为数学的一个重要组成部分.它曾经推动过一些学科的发展，并且常常作为一个有力的工具被应用在实际问题中，它的基础内容已成为理工科很多专业的必修课程.现在，复变函数论中仍然有不少尚待研究的课题，所以它将继续向前发展，并将取得更多应用. 1.1.2 复积分的定义
复积分是复变函数理论中的最基本的概念之一,和各种实积分相比，复积分的定义看上去比较简单，但复积分却具有十分奇特的性质——柯西积分定理，从这个著名定理出发可以导出许多关于解析函数的重要性质[4].
为了叙述上的方便，今后如无特别声明，所提到的曲线均指光滑或逐段光滑曲线，因而是可求长的[1]，曲线通常还要规定其方向，不是闭的曲线的方向，则只须指出它的起点和终点即可．
定义1 设有向曲线()t z z C =:，)(βα≤≤t 以()αz a =为起点，()βz b =为终点，
()z f 沿C 有定义，在C 上从a 到b 的方向取分点：b z z z z a n n ==-,,,110 ，把曲线C 分
成n 个弧段(图1）
(图1）
在从k z 到1+k z ()n k ,,2,1 =的每一个弧段上任取一点k ζ，作成和数
()k n
k k n z f S ?=∑=1
ζ，其中1--=?k k k z z z ()n k ,,2,1 =.当分点无限增多，而这些弧段长度
的最大值趋于零时，如果和数n S 的极限存在且等于J ,则称()z f 沿C （从a 到b ）可积，J 称为()z f 沿C 的积分，记为()dz z f J C
?=，C 称为积分路径.同时()dz z f C
?表示沿C 的正
方向的积分，
()dz z f C ?
-
表示沿C 的负方向的积分．
定理1.1.1 若函数()()()y x iv y x u z f ,,+=沿曲线C 连续，则()z f 沿C 可积，且
()???++-=C
C
C
udy vdx i vdy udx dz z f .
（1.1.1.） 公式（1.1.1.）式说明，复变函数积分的计算问题，可以转化为其实、虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题.
1.1.3 柯西积分定理的引入
在积分?
C
zdz （C 表连接点a 及b 的任一曲线）中，被积函数()z z f =在单连通区域z
平面上处处解析，它沿连接起点a 与终点b 的任何路径C 的积分值都是相同，即积分与路径无关，或者说沿z 平面上任何闭曲线的积分为零；但在积分
()?-C n a z dz
（C 表示以a 为心，
ρ为半径的圆周）中，被积函数()a
z z f -=
1
只以a z =为奇点，即在“z 平面除去一点a ”的非单连通区域内处处解析，但是积分
()02≠=-?C n i a z dz
π，
其中C 表圆周0>=-ρa z ，即在此区间内积分与路径有关；积分?
C
zdz Re 中，被积函数()z z f Re =在单连通区域z 平
面上处处不解析，而积分值却与连接起点O 与终点i +1的路径有关，即沿z 平面上任何闭曲线的积分，其值不恒为零．
我们知道，积分值与路径有关或无关的问题，实质上就是函数沿区域D任何闭曲线的积分值是否为零的问题．1825年，柯西肯定地回答了上述问题，得到了著名的柯西积分定理[1].
1.2 本文的研究工作
柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，也是19世纪最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一，许多重要的性质定理都由它们直接或间接推导出来的.现有的资料中对柯西积分定理的条件进行深层次的挖掘的文献又很少，故在教学过程中，一般都是用复积分的概念来求解，很少有找到简捷方法，考虑到柯西积分定理是复变函数积分的基础，也是连接其它其他学科的枢纽，对其研究具有较强的理论价值和现实意义.柯西积分公式是复变函数论中的重要公式之一，无论对解析函数的理论研究还是它的直接应用,都是非常有意义的.
本文研究的问题是柯西积分定理及柯西积分公式的相关知识及证明，他们在代数基本定理、实积分计算和证明中的应用，在收集和整理已有的文献资料的条件下，认真分析了柯西积分定理的相关条件，结合柯西积分公式、留数定理、高阶导数公式进行了比较研究.
1.3 未来的研究工作
柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键，在后面的学习中，通过推广的柯西积分定理，得到了很多重要的定理，在机械、力学、数学物理等方面有着广泛和重要的应用 ,然而对柯西积分定理的条件进行深层次的挖掘的文献又很少，尽管近几十年来理论上得到了不少结果，但通常很繁琐，还有一些其它因素.
2 柯西积分定理
2.1 柯西积分定理
柯西积分定理是解析函数中最重要的基础定理,解析函数的很多重要性质,都是由这个定理派生出来的.下面给出几个定理：
定理2.1.1（柯西积分定理） 设函数()z f 在z 平面上的单连通区域D 上解析，C 为D 内任一条周线，则
()0=?dz z f c
.
定理2.1.2 设函数()z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一闭曲线（不必是简单的），则
()0=?dz z f c
.
引理2.1.3 设()z f 是在单连通区域D 内的解析函数，设C 为D 内的一个多角形的周界，那么
()0=?dz z f c
.
推论2.1.4 设函数()z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，则()z f 在D 内的积分与路径无关.即对D 内任意两点0z 与1z ，积分()dz z f z z ?1
0之值，
不依赖D 内连接起点0
z 与终点1z 的
曲线.
2.2 柯西积分定理的证明
柯西定理是复变函数论中的重要定理之一,教材中有多种证法,大多数是在附加导函数连续的条件下给出的,证明不够严密,为此,讨论了一种取消该附加条件后的证法,过程虽复杂,但证明严密、思路清晰. 1.黎曼证明
1851年，黎曼在附加假设“()z f '在D 内连续”的条件下，得到如下的简单证明. 令()()()y x iv y x u z f iy x z ,,,+=+=，由公式
()???++-=c
c
c
udy vdx i vdy udx dz z f ，
而()z f '在D 内连续，导致y x y x v v u u ,,,在D 内连续，并适合..R C -方程：.,x y y x v u v u -== 由格林定理，??=+=-c
c
udy vdx vdy udx 0,
0，
故得
()0=?dz z f c
.
2.柯西积分定理的简化证明[5]
设C 所围成的区域是0D ，取一个四边平行于坐标轴的矩形，把C 包含在内.用线段连接矩形对边的中点，最多可把0D 分成四块.不妨设分成1D 、E 、F 、G 四块.由于()z f 沿
C 的积分等于沿这四块区域边界积分的和，所以必有一块边界上的积分，满足
()()??
≥
?c
D dz z f dz z f 4
11
.
用同样的方法把1D 分成至多四块，其中必有一块2D 使得
()()()??
?
≥
≥
??c
D D dz z f dz z f dz z f 2
414
11
2
.
把这种做法一直进行下去，可以得到曲线C 内的一串矩形区域或矩形被曲线C 截得的区域
n D ：
使得
()()??
≥
?c
n
D dz z f dz z f n
41 （2.2.1）
由Cantor 定理可知存在唯一一点0z 属于每个n D 或n D ?，而且∞→n 时，0z D n →. 因为()z f 在0z 有导数()z f '，所以对任何0>ε，当z 与0z 充分接近时， ()()()()000z z z f z z z f z f -≤'---ε. 因为()00=?
?n
D dz z f ，
()()00
='-??n
D dz z f z z ，所以当n 充分大时，
()()()()()ds z z ds z f z z z f z f dz z f n
n
n
D D D ???
???-≤'---≤00000ε. (2.2.2)
设最大矩形的周长是L .当n 充分大时，对于n D z ?∈，有n D z z ?<-0的周长，所以
n n n D n D L L L
ds L ds z z n n
4
22122
0εεεε=?≤≤-????，
再由式(2.2.2)和式（2.2.1）得
()2L dz z f C
ε≤?
因为ε可以是任意正数，所以
()0=?dz z f C
上面通过构造收敛于一点的嵌套子区域序列，并对围绕子区域边界积分的模进行估计，给出了柯西积分定理的一种简捷证明方法.
2.3 柯西积分定理的推广
1.单周线的柯西积分定理
首先，容易证明柯西积分定理2.1.1与下面定理是等价的：
定理2.3.1 设C 是一条周线，D 是C 的内部，函数()z f 在闭域C D D +=上解析，则
()0=?dz z f c
.
其次，我们还可将定理2.3.1作更进一步的推广.
定理2.3.3 设C 是一条周线，D 是C 的内部，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则
()0=?dz z f c
.
2.多围线的柯西积分定理
我们从另一个方面推广柯西积分定理，即将柯西积分定理从以一条(单)围线为边界的有界单连通区域，推广到以多条围线组成的“复围线”为边界的有界多连通区域.
定义2.3.2 考虑1+n 条围线n C C C ,,10，其中n C C C ,,10中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在0C 的内部.在0C 的内部同时又在n C C C ,,10外部的点集构成一个有界的多连通区域D ,以n C C C ,,10为它的边界.在这种情况下,我们称区域D 的边界是一条复周线n C C C ,,10,它包括取正方向的0C ,以及取负方向的n C C C ,,21.换句话说,假如观察者沿复围线C 的正方向绕行时,区域D 的点总在它的左手边（图2.3.1是2=n 的情形）.
图 2.3.1
定理2.3.4 设D 是复周线---++++=n
C C C C C 210所围成的有界1+n 连通区域，函数()z f 在
D 内解析，在C D D +=上连续，则()0=?dz z f c
.
或写成 ()()()010=+++?
?
?-
-
dz z f dz z f dz z f n C C C （2.3.1）
或写成
()()()dz z f dz z f dz z f n
C C C ???++= 1
（2.3.2）
（沿外边界积分等于沿内边界积分之和）
注：定理2.3.4中的复周线换成单周线就是定理2.3.3.所以定理2.3.3是定理2.3.4的推
广.
证：取1+n 条互不相交且全在D 内(端点除外)的光滑弧n L L L L ,,,210作为割线.用它们顺次的与n C C C ,,21连接.设想将D 沿割线割破,于是D 就被分成两个单连通区域(如图2.3.1是2=n 的情形),其边界各是一条围线,分别记为1Γ和2Γ.而由定理2.3.3,我们有
)()0,02
1
==??
ΓΓdz z f dz z f
将这两个等式想加,并注意到沿着n L L L L ,,,210的积分,各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相抵消.于是,由复积分的基本性质就得到
()0=?dz z f c
.
从而有(2.3.1)和(2.3.2). 3.∞处的柯西积分定理[6]
定理2.3.5 如果()z f 在00r z z >-内解析，并且()A z zf z =∞
→lim ,那么对任何正数0r r >，
有
()?=r
K A dz z f i π21
，在这里r K 是按反时针方向选取的.
证明：对任意的1r K ，2r K ()021,r r r >由定理2.3.4知
()()dz z f i dz z f i r r K K ??=2
121
21ππ
这表明
()dz z f i r
K ?π21
是一个常数，当然就有 ()()dz z f i
dz z f i r r K r K ??∞→=ππ21
lim 21. 下面就来证明
()A dz z f i r K r =?∞→π21
lim
.
()()dz z
A
z zf i A dz z f i r r K K ??-=-ππ2121, 因为()A z zf z =∞
→lim ,对于0>?ε，M ?，可选择使0r M >使得当M z >时有
()ε<-A z zf ,那么对于上述给定的,0>ε当M z r +>0时，
()z
z A z zf ε
<-. 将其代入
()dz z
A
z zf i r K ?-π21中，可以得到
()επε
πε
π
π=<
<
-?
?00
22121
21r r ds z
dz z A z zf i r
r K K . 这说明()A dz z f i r K r =?∞→π21lim
，那么()A dz z f i
r K =?π21
，所以结论成立. 2.4 柯西积分定理的应用
1.周线上的复积分的计算
柯西积分定理可推广到复周线的情形，这也是计算复积分的一个有利工具.
例1：计算
?++C z z dz
222，其中C 为单位圆周1=z
解：1=z 是()2
21
2++=z z z f 的解析区域的一闭曲线，由柯西积分定理有
0222=++?C z z dz
注：此题可用参数方法，但计算要复杂得多，而用柯西积分定理很简单. 例2：计算
dz z
z z C
?
--21
2的值，其中C 为含圆周2=z 的任何正向简单闭曲线. 解：
dz z z dz z z z C C
??
??
? ??-+=--111
122， 分别以0=z ，1=z 为心做两完全含于C 内且互不相交的圆周1C ，2C ，则有
dz z z dz z z dz z z z C C C
???
??
? ??-++??? ??-+=--21111111122 dz z dz z dz z dz z C C C C ????-++-+=
221111
1111
i i ππ2002+++= i π4=
例3：由积分?+=c z dz
I 3
()1:=z c 值，求周线上复积分的几种算法θθθπd ?++0cos 610cos 31的值.
解：因为符合柯西积分定理的条件，则有03
=+?c z dz
令)(,sin cos ππ≤≤-+=q q i q z
dq q i q q i q z dz
I c ??-+++-=+=ππ3
sin cos cos sin 3
()()()()()????
---
-++++-=+++-=
-+++-++-=ππππππ
π
πdq q
q dq q q dq
q q i q dq q i q q i q q i q q i q cos 610cos 31cos 610sin 3cos 610cos 31sin 3sin 3cos sin 3cos sin 3cos cos sin ?
-=+-=π
πθθθ
0cos 610sin 31d I
0cos 610cos 312cos 610cos 3102=++=++=??-θθθθθθπππd i d i I
所以0cos 610cos 310=++?θθ
θ
πd . 从例3我们可以看出,如果按照常规方法，用万能公式代换的话，将变得相当复杂，而柯西积分定理却避免了这种复杂性，使得解题思路清晰，解题过程简洁明了，很大程度上提高了解题效率，是求这类问题的好办法. 2.∞处柯西积分定理的举例 例4.计算积分
dz z z ?=-2411
.
解：因为函数()z f 在2≥z 上解析，并且有01
lim
4=-∞→z z
z ，
所以由定理2.3.5知
011
24=-?=dz z z .
注：如果用柯西积分公式计算会复杂很多. 3.证明代数基本定理[10]
代数基本定理是高等代数中一个重要定理，用纯粹代数的方法是不容易证明的，因此，一般的高等代数的教材中都没有给出其证明.但从复变函数论的教材中，得到几种新的定理证明.首先，给出如下几个定理
(代数基本定理) 在z 平面上，n 次多项式()n
n n
a z
a z a z p +++=- 1
10()00≠a 至少有
一个零点.
下面分别用两种方法证明.
证明：(反证法--应用柯西积分定理） 假设()z p n 在复平面C 上没有零点，则()()()
z p z p z f '=
在C 上解析，则由Cauchy 积分定理知，
对0>?R , ()0=?Γ
dz z f (2.4.1)
其中{}
R z z ==Γ
()0=Γdz z f ，其中{}R z z ==Γ （2.4.2） 同时若设{}
i a M max =，则当R 充分大时有： n i ≤≤0
()nM
R a nM
nMR R a nMR z n z f n n n -=
-≤--+-201101 因此()mi z
n
dz z f π2lim lim
==?
?
ΓΓ
与(2.4.1)式矛盾， ∞→R 即假设错误，定理得证.
3 柯西积分公式
3.1 柯西积分公式
柯西积分公式是解析函数的积分表达式，是研究解析函数的重要工具．由柯西积分公式，我们可以从解析函数的边界C 上的值推出它在C 内部的一切值，它反映出解析函数的特性,是解析函数论中最基本的公式．
定理3.1.1 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则有()()ξξξπd z
f i z f c ?-=
21 ()D z ∈.
此式反映了解析函数值之间很强的内在联系：()z f 在曲线C 内任一点0z 的值()0z f 可以由
()z f 在边界曲线C 上的值来决定，而实函数却不具有此性质.
定义3.1.2
()()c z d z
f i c ?-?021ξξξπ
上式称为柯西积分，且有
()()???=-?0
2100z f d z f i c ξξξπ D z D z ?∈00 3.2 柯西积分公式的证明
证明：对于任意固定一点D z ∈，则函数()()z
f F -=
ζζζ作为ζ的函数在D 内除点z 外解
析．现以点z 为心，充分小的0>ρ为半径作圆周ργ，使D ∈ργ．对于复围线-
+=ΓργC 及函数()ζF ，应用定理2.3.4的（2.3.1）式，得
()()??-=-ργζζζζd z z f d z z f C
而前面我们已经知道
()
?=-ργπζζi d z z f 2
因此
()
()()
()??--=--ργπζζζπζζζz if d z f z if d z f C 22 ()()()()???--=
---=
ρ
ργ
γζζζζζζζζζd z
z f f d z f d z f C
又根据()ζf 的连续性知对0,0>?>?δε，只要δρζ<=-z 时，就有
()()π
εζ2<
-z f f ()p γε∈ 于是由定理3.2知
()
()()()??--=
--ρ
γ
ζ
ζζπζζζd z
z f f z if d z f C 2επρπρε=?22 由ε的任意性即知，有
()
()?=-C z if d z f πζζζ2 （D z ∈）
故有 ()()?-=
C d z
f i z f ζζζπ21. 3.3 柯西积分公式的推广
1.高阶导数公式
由柯西积分公式在积分号下求导数,可推测并能证明下面的高阶导数公式.
定理3.3.1 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，函数()z f 在区域D 内有各阶导数，并且有
()()()()
ξξξπd z f i n z f c n n ?+-=
12! ()D z ∈. 这是一个用解析函数()z f 的边界值表示其各阶导数内部值的积分公式. 由定理3.3.1，我们可得到解析函数的无穷可微性：
定理3.3.2 设()z f 在区域D 内解析，则()z f 在D 内具有各阶导数，并且它们也都在D 内解析．
注：定理3.3.2说明，只要()z f 在区域D 内解析，（仅假设()z f '在D 内存在），就可推出
()z f 的各阶导数在D 内存在且连续，而在数学分析中，由()z f '在[]b a ,上存在且连续，还
不能推出()z f ''在[]b a ,上存在，这就是复变函数较之实变函数优越的地方． 2.∞处的柯西积分公式[6]
定理 3.3.3 如果函数()z f 在简单闭曲线C 的外区域D 内及C 上每一点解析，并且
()a z f z =∞
→lim ，那么
()()?
??+-=-?a a z f d z f i C ζζζπ21 ， D z D z ?∈
这里C 的积分是按照反时针方向选取的. 3.0z 在积分路径C 上的柯西积分公式
我们一般讨论的复积分，要求被积函数在积分路径上有界，并且奇点不在积分路径上，这类积分可以直接套用柯西积分定理或柯西积分公式可求，如果积分路径上存在奇点，就不满足条件了，就不能用柯西积分定理或柯西积分公式了，此时一般用复积分概念，利用极限来求解，但比较复杂，甚至求不出结果．下面结合Holder 条件相关知识，对被积函数分析变形，针对奇点在积分路径上的复积分得出一种新的求解公式．
定理3.3.4 设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，()z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，且在C 上f 满足Holder 条件，即()()()10,2121<≤-≤-αα
z z K z f z f ，则有
()()dz z z z f i z f C ?-=0
02121π，（C z ∈0） 3.4 柯西积分公式的应用
柯西积分公式较柯西积分定理的高级之处在于它可以解决积分曲线内有被积函数的奇点且被积函数不是特殊函数的积分问题，它提供了一种计算积分的方法，更重要的是通过柯西积分公式可以把对解析函数的研究化为对柯西积分的研究． 下面举例说明柯西积分公式公式在积分计算中的应用. 例1：求
()()ζζζζ
d i C
?+-2
9，其中C 为圆周2=ζ
分析：函数()2
9ζζ
ζ-=
f 在2
≤ζ内解析，()()()i z i f g +-=--=2
9ζζ
ζζζ在2≤ζ内有唯一奇点i -=ζ. 可以应用柯西积分公式求解.
解：i -±=,3ζ是奇点，但是只有i -=ζ在圆周2=ζ内，且()2
9ζ
ζ
ζ-=
f 在2≤ζ内解析，所以()()()5
92992
2
2π
ζζπζζζζ
ζζζζζ=
-=---=+--=??i
C C i d i d i
例2：求积分
dz z z
C
?
-1
cos 2
，其中C 为圆周：2=z 分析：1±=z 是被积函数的奇点,且都在C 的内部,不能直接套用柯西积分公式，可以分别
第三章 复变函数的积分 §3-1复变函数的积分 【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】 复变函数积分的定义： 设C 为复平面上以0z 为起点，而以z %为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=%L 把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -] 上任取一点k ξ作和数： ()()()11 1 n n n k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=?∑∑, 其中1k k k z z z -?=- 如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -?=-）趋于零时， 和式()1 n k k k f z ξ=?∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿 路径C 由0z 到z %的积分: ()()1 lim lim n n k k C n n k f z dz S f z ξ→∞ →∞ ===?∑? ， C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。 若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()C f z dz ?? . (围道积分) 几点说明： 1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。)
2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是 ()()()(),,C C f z dz u x y iv x y dx idy =++?????? ()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ????=-++???? ??， 所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。 3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质： （1）0C dz z z =-?%，z %、0z 分别为C 之起点、终点。 （2）()()()()11221122C C C a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±???????，1a 、2a 为复常数。 （3）()()()1 2 C C C f z dz f z dz f z dz =+???, 其中积分路径C 由路径1C 、2C 连接 而成。 （4）()()C C f z dz f z dz - =-??, C - 表示与C 方向相反的同一条曲线。 4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分()C f z dz ??时必须先规定积分路径的环绕方向（因为：()()C C f z dz f z dz - =-??蜒 ）。 以后凡遇围道积分，如 不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。 ( C 为逆时钟方向，C - 代表顺时钟方向)
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分 系 专业 班 姓名 学号 §1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分 一．选择题 1．设C 为从原点沿2 y x =至1i +的弧段，则2()C x iy dz +=? [ ] （A ） 1566i - （B ）1566i -+ （C ）1566i -- （D ）15 66 i + 2. 设C 是(1)z i t =+，t 从1到2的线段，则arg C zdz =? [ ] （A ） 4 π （B ）4i π （C ）(1)4i π+ （D ）1i + 3．设C 是从0到12 i π+的直线段，则z C ze dz =? [ ] （A ）12e π- （B ）12e π-- （C ）12ei π+ （D ）12 ei π - 4．设()f z 在复平面处处解析且 ()2i i f z dz i ππ π-=?，则积分()i i f z dz ππ--=? [ ] （A ）2i π （B ）2i π- （C ）0 （D ）不能确定 二．填空题 1． 设C 为沿原点0z =到点1z i =+的直线段，则 2C zdz =? 2 。 2． 设C 为正向圆周|4|1z -=，则2232 (4)?C z z dz z -+=-?10.i π 三．解答题 1．计算下列积分。 （1） 323262121 ()02 i z i i z i i i e dz e e e ππ ππππ---==-=?
2 2222sin 1cos2sin 222 4sin 2.244i i i i i i zdz z z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------??==- ?????--=-=-=+ ?? ? ?? （3） 1 1 0sin (sin cos )sin1cos1. z zdz z z z =-=-? （4） 20 222 cos sin 1sin sin().2 22 i i z z dz z i ππππ= =?=-? 2．计算积分||C z dz z ??的值，其中C 为正向圆周： （1） 220 0||2 2,022224. 2 i i i z C z e e ie d id i θθ ππθθπ θθπ-==≤≤?==? ?积分曲线的方程为 则原积分I=
柯西积分公式的应用 姓名：武小娜 班级：2014级数学教育 学号：201430626 摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位,叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和高阶导数公式,并举例说明了这些公式在积分计算中的应用. 关键词:解析函数;复积分;柯西积分公式. 1 前言 的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去． 2 预备知识 2.1 柯西积分定理 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则0)(=?c dz z f ． 2.2 推广的柯西积分定理
设C 是一条周线，D 为C 之内部，函数)(z f 在闭域C D D +=上解析，则 0)(=?c dz z f ． 2.3 复周线柯西积分定理 设D 是有复周线---++++=n C C C Λ210C C 所围成的有界1+n 连通区域，函数 )z (f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则0)(=?c dz z f ． 2.4 柯西积分公式 3.2 高阶导数公式 设区域D 的边界是周线(或复周线)C ，函数)(z f 在D 内解析，在C D D +=上连续，则函数)(z f 在区域D 内有各阶导数，并且有 这是一个用解析函数)(z f 的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式． 现行教材中，仅应用数学归纳法证明了它的特殊形式——高阶导数公式，而数学归纳法比较繁琐．下面首先给出引理，然后利用该结论导出高阶导数公式一
种简单的证明． 引理 设Γ是一条可求长的曲线，)(z f 是Γ上的连续函数，对于每个自然数m 及复平面C 上的每个点Γ?z ，定义函数 那么每个)(z F m 在区域Γ-=C D 上解析，且 证明：首先证明)(z F m 是区域G 上的连续函数，即要证明，对于G 内的任意点a ，不论0>ε多么小，总存在0>δ，只要δ<-a z （z 在G 内的点），就有 2 ,2r r z r r a >≥->≥-ζζ．于是有（2）得 l r Mm a z a F z F m m m 1)2()()(+-<-， 其中l 为曲线Γ的长． 令 l Mm r a z l r Mm a z m m m 1112)2(+++<-?<-εε．
复变函数的积分及其计算方法 石睿 (北京林业大学工学院自动化10-1班,学号:101044118) 摘要：复变函数的积分是研究解析函数的一个重要工具,解析函数的很多重要性质都是通过复积分证明的。本文主要介绍柯西定理和柯西积分公式。 关键词：柯西定理；柯西积分公式 引言：首先介绍复积分的概念、性质和计算法，然后介绍解析函数积分的柯西积分定理及其推广——复合闭路定理. 在此基础上，建立柯西积分公式，然后利用这一重要公式证明解析函数的导数仍然是解析函数这一重要结论. 复积分的概念： 设C 是平面上一条光滑的简单曲线，其起点为A ，终点为B 。函数f(z)在C 上有定义。把曲线C 任意分成n 个小弧段。设分点为A=z 0,z 1,…,z n-1,z n =B,其中z k =x k +iyl k (k=0,1,2,…,n)，在每个弧段 zk-1zk 上任取一点ζ k =ξ k +i η k ，做合式k n k k n k k k k n Δz )f(ζ)z (z )f(ζ S ∑∑==-?=-?= 1 1 1，其中 k k k k k y i x z z z ?+?=-=?-1 。 记 当λ→0时，如果和式的极限存在，且此极限值不依赖与ζk 的选择，也不依赖对 C 的分法，那么就称此极限值为f(z)沿曲线C 自A 到B 的复积分，记作 复积分的计算方法： 复积分可以通过两个二元实变函数的线积分来计算 设 ???==,)(,)(:t y y t x x C .βα≤≤t 则???'+'+'-'=β α β α t t y t y t x u t x t y t x v i t t y t y t x v t x t y t x u z z f C d )}()](),([)()](),([{d )}()](),([)()](),([{d )( ?'+'+= β αt t y i t x t y t x iv t y t x u d )}()()]}{(),([)](),([{ |,|max 1k n k z ?=≤≤λ.)(lim d )(1 0k n k k C z f z z f ??=∑ ? =→ζλ
第三章 复变函数的积分 第一节 复变函数积分的概念 教学内容：复变函数的积分的定义、复变函数积分的计算问题、复变 函数积分的基本性质、柯西积分定理. 教学要求：1、了解复变函数积分的定义和性质，会求复变函数在曲线 上的积分 2、会用柯西积分定理和复合闭路定理计算积分，了解不定 积分的概念 教学过程： 一、复变函数的积分的定义 定义3.1设在复平面上有一条连接A 及B 两点的光滑简单曲线C 设),(),()(y x iv y x u z f +=是在C 上的连续函数.其中 ),(y x u 及),(y x v 是)(z f 的实部及虚部.把曲线C 用分点 B z z z z z A n n ==-,...,,,1210分成n 个小弧段，其中 ),...,2,1,0(n k y x z k k k =+=
在每个狐段上任取一点k k k ηξ?+=，作和式 ))((11 -=-∑k n k k k z z f ? （1） 令|}{|max 11-≤≤-=k k n k z z λ，当0→λ时，若（1）式的极限存在，且此极限值不依赖于k k k ηξ?+=的选择，也不依赖于曲线C 的分法，则就称此极限值为)(z f 沿曲线C 的积分.记作 =? C z z f d )())((lim 11 -=→-∑k n k k k z z f ?λ 当)(z f 沿曲线C 的负方向（从B 到A ）积分，记作?- C z z f d )( 当)(z f 沿闭曲线C 的积分，记作()dz z f C ? 定理3.1 若),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，则)(z f 沿C 可积，且 ,d ),(d ),(d ),(d ),(d )(y y x u x y x v i y y x v x y x u z z f C C C ++-= ?? ? （2） 证明： ) )((11 -=-∑k n k k k z z f ? )]())][(,(),([11 1k k n k k k k k k k y y i x x iv u -+-+=+=+∑ηξηξ ], ))(,())(,([) )(,())(,(1 1 11 11 1 11 1∑∑∑∑-=+=+-=+=+-+-+---=n k k k k k n k k k k k n k k k k k n k k k k k y y u x x v i y y v x x u ηξηξηξηξ 由),(),()(y x iv y x u z f +=沿光滑简单曲线C 连续，可知 ),(),,(y x v y x u 沿光滑简单曲线C 也连续，当0→λ时，有
（ 2012 届） 本科毕业论文（设计） 题目：柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 学院：教师教育学院 专业：数学与应用数学（师范） 班级：数学082 学号： 姓名： 指导教师： 完成日期： 教务处制
诚信声明 我声明，所呈交的论文(设计)是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文(设计)中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得＿＿＿＿＿＿或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。我承诺，论文(设计)中的所有内容均真实、可信。 论文(设计)作者签名：签名日期：年月日
授权声明 学校有权保留送交论文（设计）的原件，允许论文（设计）被查阅和借阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以影印、缩印或其他复制手段保存论文（设计），学校必须严格按照授权对论文(设计)进行处理，不得超越授权对论文（设计）进行任意处置。 论文(设计)作者签名：签名日期：年月日
柯西积分定理与柯西积分公式的由来及其应用 王莉莉 （嘉兴学院数学与信息工程学院） 摘要:复变函数是综合性大学或师院类院校理工专业的必修课，是实变函数微积分的推广和发展.其中柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数理论的基础，是研究复变函数理论的关键.它的核心内容是柯西积分定理,即解析函数沿围线的积分值为零.本文研究了柯西积分定理和柯西积分公式的相关概念、证明、推广及在代数基本定理证明、实积分计算中的应用，论述了柯西积分定理与复变函数的积分有着密切的联系，利用柯西积分定理很容易导出著名的柯西积分公式，还对留数定理作了简要介绍，利用留数定理可以分别得到复变函数中的柯西积分定理、柯西积分公式和高阶导数公式. 关键词:复变函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理
复变函数积分方法总结 经营教育 乐享 [选取日期] 复变函数积分方法总结 数学本就灵活多变，各类函数的排列组合会衍生多式多样的函数新形势，同时也具有本来原函数的性质，也会有多类型的可积函数类型，也就会有相应的积分函数求解方法。就复变函数： z=x+iy i2=-1 ，x,y分别称为z的实部和虚部，记作x=Re(z),y=Im(z)。arg z=θ? θ?称为主值-π＜θ?≤π，Arg=argz+2kπ。利用直角坐标和极坐标的关系式x=rcosθ，y=rsinθ,故z= rcosθ+i rsinθ；利用欧拉公式 e iθ=cosθ+isinθ。z=re iθ。 1.定义法求积分： 定义：设函数w=f(z)定义在区域D内，C为区域D内起点为A终点为B 的一条光滑的有向曲线，把曲线C任意分成n个弧段，设分点为A=z0，z1，…，
z k-1，z k，…，z n=B，在每个弧段z k-1 z k(k=1,2…n)上任取一点?k并作和式S n=?(z k-z k-1)=??z k记?z k= z k- z k-1，弧段z k-1 z k的长度 ={?S k}(k=1,2…,n),当0时，不论对c的分发即?k的取法如何，S n 有唯一的极限，则称该极限值为函数f(z)沿曲线C的积分为： =??z k 设C负方向(即B到A的积分记作).当C为闭曲线时，f(z)的积分记作(C圆周正方向为逆时针方向) 例题：计算积分,其中C表示a到b的任一曲线。（1）解：当C为闭合曲线时，=0. ∵f(z)=1 S n=?(z k-z k-1)=b-a ∴=b-a,即=b-a. (2)当C为闭曲线时，=0. f(z)=2z;沿C连续，则积分存在，设?k=z k-1,则 ∑1= （）(z k-z k-1) 有可设?k=z k，则 ∑2= （）(z k-z k-1) 因为S n的极限存在，且应与∑1及∑2极限相等。所以 S n= (∑1+∑2)==b2-a2 ∴=b2-a2 1.2 定义衍生1：参数法： f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy带入得：
柯西积分定理的一个简单证明 摘要：本文用到零的同源环给出了柯西定理的一个证明。证明运用了解析函数基本的局部性质，没有额外的几何以及拓扑论证。 本文的目的是给出关于柯西定理for circuits homologous to 0的一个简洁明了的证明。 柯西定理：假设D 是C 的一个开子集，γ是D 中的一个环。假设γ是与零同源的，并且每个E 中的D ω?都是确定的。那么对于每一个D 中解析函数f ： （1）()0f z dz γ=? （2）对于任意与γ无关且属于D 的w ，有11(,)()(2) ()()Ind w f w i z w f z dz γγπ--=-? 证明：考虑D D C ?→的函数g ，且对z w ≠满足(,)(()())/()g w z f z f w z w =--，(,)'()g w w f w =。可知g 是连续的，并且对每个,z w ，(,)g w z 是解析的。给定:h C C →，并且在D 上()(,)h w g w z dz γ=?，在E 上1()()()h w z w f z dz γ-=-?。假设C D E =?，由 于(,)0Ind w γ=，则这两种()h w 的表示在D E ?是相等的。 那么可知h 在D 和E 上都是可导的，所以h 是整函数。由于γ的映射是有限的，并且E 包含了∞的一个邻域，()0h w →时有w →∞。这表明h 是连续的（刘伟尔定理），并且h=0.则对于所有D ω∈不依赖于γ，(,)g w z dz γ?=0。这样就证明了（2） 。最后设u 是D 中不依赖于γ的定点。将（2）用于函数()()z f z z u →-，计算w u =的情况，便得到（1）。
关于求积分的各种方法的总结 摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法.其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法.现将这些方法逐一介绍. 关键词：积分，解析，函数，曲线 1.利用定义求积分 例1、计算积分()dz ix y x c ?+-2，积分路径C 是连接由0到i +1的直线段. 解：()10≤≤=x x y 为从点0到点i +1的直线方程，于是 ()dz ix y x c ?+-2 ()()iy x d ix y x i ++-= ?+10 2 ()()ix x d ix x x ++-= ?1 2 ()dx x i i ?+=1 21 3 1i -- =. 2.利用柯西积分定理求积分 柯西积分定理：设()z f 在单连通区域 D 内解析，C 为D 内任一条周线，则 ()0=?dz z f c . 柯西积分定理的等价形式：设C 是一条周线， D 为C 之内部，()z f 在闭域 C D D +=上解析，则()0=?dz z f c . 例2、求dz i z z c ? +cos ，其中C 为圆周13=+i z ， 解：圆周C 为()13=--z z ，被积函数的奇点为i -，在C 的外部， 于是， i z z +cos 在以C 为边界的闭圆13≤+i z 上解析， 故由柯西积分定理的等价形式得dz i z z c ? +cos 0=. 如果D 为多连通区域，有如下定理： 设D 是由复周线---+++=n C C C C C 210所构成的有界多连通区域，()z f 在D 内
柯西积分公式的应用 摘要:阐述了柯西积分公式在解析函数理论中的重要地位,叙述了各种不同表示形式的柯西积分公式和高阶导数公式,并举例说明了这些公式在积分计算中的应用. 关键词:解析函数;复积分;柯西积分公式. 1 前言 《实变函数与泛函分析》是综合性大学理工科的基础课程，其中柯西积分定理和柯西积分公式是基础，是关键，也是19实际最独特的创造，是抽象科学中最和谐的理论之一．许多重要的性质定理由它们直接或者间接推导出来的． 柯西积分公式是复变函数的基本公式，是解析函数的一种积分表达式，它深刻地反映了解析函数在解析区域内边界值与内部值的关系．柯西积分公式的基本理论和相关性质已经有了详细而全面的阐述．但柯西积分公式仍然存在一些有待解决和完善的方面．有些理论的证明比较复杂，为初学者带来了诸多的不便；柯西积分公式只给出了求解光滑周线域的复积分方法；已经证明了的理论给出的例题还不够．考虑到柯西积分公式是复变函数积分的基础，对其进行研究具有较强的理论意义和现实意义． 通过阅读大量的专着，期刊还有网上的资料，本文将对实变函数中的柯西积分公式和它的几个重要的推论的意义及其性质进行归纳总结，并举出相应的例子，化抽象为具体；还将对柯西积分公式的使用条件和使用方法进行总结；然后总结归纳参考文献中得到的结论，并试图将归纳得到的这些结论做进一步的推广；在论文的最后，会选取一些经典例题做供大家参考！为完成本文我查阅大量的相关资料，力求把课本上的知识运用到实践中去． 2 预备知识 柯西积分定理 设函数)(z f 在z 平面上的单连通区域D 内解析，C 为D 内任一条周线，则0)(=?c dz z f ． 推广的柯西积分定理 设C 是一条周线，D 为C 之内部，函数)(z f 在闭域C D D +=上解析，则 0)(=?c dz z f ． 复周线柯西积分定理
Cauchy积分定理证明及讨论 Cauchy积分定理是复变函数学中极为重要的理论，它给出了解析函数积分与路径无关的几个等价定理，提供了计算复变函数积分的一种简便方法，并成为证明复变函数问题的一种有力工具，同时与后面章节中的留数紧密相关。课本在“)('z f是G内的连续函数”这一条件下给出了黎曼证明，本论文将给出严谨的古莎证明，并进一步讨论与Cauchy积分定理相关的内容。 1.Cauchy积分定理基础知识.................................................................................................... - 2 - 1.1.Cauchy积分定理定义 ................................................................................................ - 2 -
1.2.黎曼证明 ....................................................................................................................... - 2 - 1.3.Cauchy 积分定理的推广 ............................................................................................ - 3 - 2.古莎证明 .................................................................................................................................. - 4 - 2.1.证明思想 ....................................................................................................................... - 4 - 3.一种新的证明方法 .................................................................................................................. - 4 - 4.Cauchy 积分定理应用 ............................................................................................................ - 6 - 5.Cauchy 积分定理与其他定理的关系 .................................................................................... - 7 - 5.1.Cauchy 积分定理与柯西积分公式的关系 ................................................................. - 7 - 5.2.Cauchy 积分定理与留数定理的关系 ......................................................................... - 8 - 5.3.Cauchy 积分定理与高阶导数公式的关系 ................................................................. - 9 - 6.小结 .......................................................................................................................................... - 9 - 1.Cauchy 积分定理基础知识 1.1.Cauchy 积分定理定义 首先给出Cauchy 积分定理的定义：设f(z)是单连通区域G 上的解析函数，γ 是G 中任意一条回路，则 ?=γ 0)(dz z f 1.2.黎曼证明 在“f(z)是G 内的连续函数”条件下，很容易得到黎曼证明： ???++-=γ γ γ dy y x u dx y x v i dy y x u dx y x u dz z f ),(),(),(),()(