西安理工大学
研究生课程论文报告
课程名称：矩阵论
课程代号：
任课教师：
论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统
状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动
学号：
姓名：
成绩：
矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵
求解中的应用
摘 要
控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。
关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数.
1.问题提出
线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。
线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。
线性定常系统齐次状态方程为
()()t Ax t x
= ()1-1
其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ?系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。
设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即
)(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1
式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。
式()2-1代入方程()1-1得
()
+++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1 既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有
????
??
???=======-0!11103!
31
231302!21
12120
1b A Ab b b A Ab b b A Ab b Ab b k k k k k
()4-1 Ⅰ.当0=t 时，由式()2-1可得到
()00x b = ()5-1 将式()4-1和式()5-1代入式()2-1，得到齐次状态方程的解
()()
()0
!1
22!21x t A t A At I t x k k k +++++= ()6-1 上边右边括号内的级数是n n ?矩阵指数函数，记成At e ，即
+++++=k k k At t A t A At I e !
1
22!21 ()7-1 所以式()6-1可写成
()()0x e t x At = ()8-1 Ⅱ.如果初始时刻00≠t ，初始状态为()0t x ，则齐次状态方程的解为
()()()00x e t x t t A -= ()9-1 由上式可知，系统在状态空间的任一时刻t 的状态()t x ，可视为系统的初始状态()0t x 通过矩阵指数函数()0t t A e -的转移而得到的。因此，矩阵指数函数()0t t A e -又称为状态转移矩阵。
从上面的分析看，求状态方程的解()t x ，关键是求矩阵指数At e 。
2.问题求解
2.1 矩阵指数的基本性质
在介绍求矩阵指数At e 的方法之前，先介绍At e 的一些主要性质和几个特殊的指数函数：
（1）∑∞
==0!
k k
k At
k t A e ，该无穷级数在有限时间时绝对收敛的
（2）At
At Ae e dt
d =
（3）()2121At At t t A e e e ?=+ （4）[]
At At
e e --=1
（5）若BA AB =，则()t B A Bt At e e e +=?； 若BA AB ≠，则()t B A Bt At e e e +≠?
（6）若P 为非奇异矩阵，A 通过非奇异变换成对角阵，即AP P A 1-∧
=,则有 11
--=P Pe e AP p At (7) 若A 为对角阵
?
????????
???=n A λλλ0021
，则??????
?
???????=t t
t At n e e e e λλλ0
021
2.2状态转移矩阵()t φ的几种计算方法 1.根据At
e 的定义直接计算
() +++++==n n n At t A t A At I e t !
1
22!21φ 2.拉普拉斯变换法
对于线性定常系统的齐次状态方程
()()t Ax t x
= 两边求拉普拉斯变换，得
()()()s Ax x s sX =-0， 即()()()0x s X A sI =-， 有()()()01
x A sI s X --=
因此，()()[]
()01
1x A sI L e t x At ---==
若初始时刻00=t ，初始状态为()0x ，则对上式进行拉普拉斯变换，得
()()[]1
1---==A sI L e t At L
φ 3.非奇异线性变换
（1）矩阵A 经线性变换化为对角线矩阵Λ求At
e
当矩阵A 的n 个特征值互异或者虽有重根但是仍有n 个独立的特征向量时，经过线性变换，将A 化为对角形矩阵Λ，即
?
?????
?????
?=Λ=-n PAP λλλ00 211 此时，系统的状态转移矩阵
???????
??????
?=???????????
??
?+++++++++=+???????????
?+???????
?
????+????????????=+Λ+Λ+=t t t
n n n n At n e e e t t t t t t t t t t I e λλλλλλλλλλλλλλλ0
00000000
2122!21
222!21
2221!21122
21!2121
22!21
111111 由于P P A Λ=-1
所以矩阵A 的状态转移矩阵
()()
(
)
(
)
[
]
P
e P P t t I P P t P Pt P P P t P P Pt P P P t P P Pt P I e e t t Pt
P
At Λ----------Λ=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+===-122!
21122!
21
1
1122
1!21
1122
1!
21
11
φ
（2）矩阵A 经线性变换化为约当形矩阵J 求At
e
当矩阵A 的n 个特征值均相同，且为1λ时，经过线性变换，可化为约当形矩阵J
??
?
??
???
????????==-1111
111λλλ00
J PAP 则()()t
n n Jt
e t t n t t n t
e 11!21
1!11121λ??
???????
?
??
?
??
??
??
?
--=--0
所以，系统的状态转移矩阵为()P e P e t Jt At 1-==φ 4. 应用凯莱-哈密顿定理
首先介绍一下凯莱-哈密顿定理：n n ?矩阵A 满足自身的特征方程，即矩阵A 的特征多项式是A 的零化多项式。
()[]0det 012211=+++++=-=?----a a a a A I n n n n n λλλλλλ 即012211-----a a a a n n n n n λλλλ ----= 根据凯莱-哈密顿定理，有
()0012211=+++++=?----I a A a A a A a A A n n n n n 于是
I a A a A a A a A n n n n n 012211----- ----=
上式表明，n A 是1-n A ，2-n A ，…A ，I 的线性组合。 显然有A a A a A a A a A A A n n n n n n 0211211----- ---+=?=
则I a a A a a a A a a a A a a A n n n n n n n n n n 010*******-2121)()(---------++-++-+= ）（ 依次类推，可得2-1-,n n A A ，…均是1-n A ，2-n A ，…A ，I 的线性组合。
那么，At
e 就化成一个A 的最高幂次为1-n 的n 项幂级数的形式，即
()()()1
110!1
22!21--+++=+++++==n n n n n At A
t a A t a I t a t A t A At I e t
）（φ
(1)A 的特征值),,2,1(n i i =λ互异
应用凯莱-哈密顿定理，i λ和A 均是特征多项式的零根。因此，
()()()n i t a t a t a e n i
n i t i ,,2,11
110 =+++=--λλλ
那么，()()()??
?
?
?
?
?????????????????
??
?=??????????????----t a t a t a e e e n n n n n n n t t t n 11012
12222
11211
11121
λλλλλλλλλλλλ
于是，()()()??????
?
???????????
??
?
??
??
?
??=????????????----t t t n n n n n n n n e e e t a t a t a λλλλλλλλλλλλ
211
-12
122
22
1
12
1
1
110111 (2)A 的特征值均相同
设A 的特征值为1λ，待定系数()t a i 的计算公式如下
()()()()()()()()()()()??
???????
??????????????
???
??
??
?
????
??
?????----=??????????????????-----------t t t t n n t n n n n n n n n n e e t e t e t e t
n n n n t a t a t a t a t a 111111!112!212!211!111
-112
1
312
1
121
2
1
131
11123101!
113210!221310
011
1
0000λλλλλλλλλλλλλλλλ
(3)A 的n 个特征值有重特征值和互异特征值
当A 的n 个特征值有重特征值和互异特征值时，待定系数()t a i 可以根据
()()21综合得出，然后求出状态转移矩阵()t φ。
3.举例计算
已知?
??
???=3-2-10A ，分别用上述四种方法求解状态转移矩阵()t φ。 解：
()1 定义法
根据定义计算
()?
?
?
???+-+---=??
????-+--+-+-+-=+??
????--+??????--+??????=+++++==--------t t t t t t t t k k k At e e e e e e e e t t t t t t t t t t t t t t A t A At I e t 22223252273372367223322!1
22!212222313213210!2132101001
φ ()2 拉普拉斯变换法
[]()()??
??
??????++
+-++
+-+-
++-+=++??????-+=??????+-=---22112
21221112112212133211
1s s s s s s s s s s s s s s A sI 那么，
()[]
??
?
???+-+---=-=----------t t t t t t t t At e e e e e e e e A sI L
e 22221
1
2222 ()3 化矩阵为对角线标准型
由()()021-=++=λλλA I 得特征根2-1-21==λλ，
???
?
??--=??
????==?
?????=??????=-211-1-222-1-111111
-21AP P P adjP P P λλ 所以，
?
?
????+-+---=??
????--????
????????--==-----------??
?
???--t t t t t
t t
t
t t t At
e e e
e e
e e e e e P Pe
e 2222212001222211120
02111
()4 应用凯莱-哈密顿定理
已知特征根2-1-21==λλ，，两两相异，则有
()()()()(
)
()
?
?
?
???+-+---=??
????---+??
????-=+=?
?????--=????????????--=???????????
?--=????????????=??????----------------------t t t t t t t
t t t t
t At t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e
e A
t a I t a e e e e e e e e e e e t a t a 2222221022221
1
211022223210
100122111221111121λλλλ
可见，四种算法的计算结果是一样的。
4.应用小结
本文在给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解时，用到的矩阵论知识主要有矩阵的特征多项式，特征值，特征向量，矩阵逆，矩阵乘法，幂级数等一些基础知识。其次，在给出求解状态转移矩阵的四种方法中，其中利用线性变换将矩阵A 化成对角线形，约当形；应用凯莱-哈密顿定理，再根据矩阵指数函数的性质对矩阵函数At e 进行求解，从而计算出状态转移矩阵()t φ。通过这些矩阵论知识的应用，使得复杂的线性定常系统状态转移矩阵的求解变得方便了许多，对解决本专业问题有很大的意义。
参考文献
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矩阵的开题报告 篇一：矩阵变换及应用开题报告 鞍山师范学院 数学系 13届学生毕业设计（论文）开题报告 课题名称：浅谈矩阵的变换及其应用 学生姓名：李露露 专业：数学与应用数学 班级：10级1班 学号： 30 指导教师：裴银淑 XX年 12月 26日 一、选题意义 1、理论意义： 矩阵是数学中的一个重要内容，是线性代数核心。矩阵的变换是矩阵中一种 十分重要的运算，它在解线性方程组求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都可起到 非常重要的作用。很多复杂、繁琐的问题经过变换都可以化为简单、易于解 决的问题。因此，矩阵变换是研究代数问题的一个重要工具。 2、现实意义：
矩阵变换在物理、力学、信号与信息处理、通信、电子、系统、控制、模式 识别、土木、电机、航空航天等众多学科中式最富创造性和灵活性，并起着 不可代替的作用。 二、论文综述 1、国内外有关研究的综述： 矩阵不仅是个数学学科，而且也是许多理工学科的重要数学工具，因此国内 外有许多有关于矩阵的研究。英国数学家西尔维斯特首先使用了“矩阵”一词， 他与矩阵论的创立者凯莱一起发展了行列式理论。1858年，凯莱发表了关于矩 阵的第一篇论文《矩阵论的研究报告》。自此以后，国内外有了许多关于矩阵的 研究。在张贤达所著的《矩阵分析与应用》一书中，就有关于矩阵变换的内容， 在第一章中有关于矩阵初等变换的内容，并有初等变换在矩阵方程中的应用，在 第四章中也提到了Householder变换和Givens旋转。美国著名的约翰斯.霍普金 斯大学的RogerA.Horn和威廉姆和玛丽学院的
CharlesR.Johnson联合编著的《矩 阵分析》也有关于矩阵变换的内容，此书主要涉及的是矩阵变换的应用。国内外 关于矩阵变换的研究都取得了很大的进展，为矩阵知识所涉及的各个领域都作出 了巨大贡献。 2 、本人对以上综述的评价： 矩阵理论一直都是各个学科的基本数学工具，矩阵变换是矩阵理论的基础， 近年来有许多关于矩阵变换的研究，这些研究将一些繁琐复杂的问题简单化，也 极大地推进和丰富了电子信息、航空航天等领域的发展，同时促进了更多的数学 家加入到研究矩阵变换的队伍中，这样就使得矩阵变换知识日渐完善，并应用到 更多的领域中去。 三、论文提纲 前言 (一)、矩阵初等变换及应用 1、矩阵初等变换的基本概念 2、初等变换在方程组中的应用 3、初等变换在向量组中的应用
华北水利水电大学 线性代数发展简史 课程名称：线性代数 专业班级： 成员组成：姓名 学号 联系方式： 年月日
摘要：一次方程也叫线性方程，讨论线性方程及线性运算的代数就是线性代数，它是高等代数的一大分支，同时也是大学数学教育中一门主要基础课程。线性代数的主要内容有行列式、矩阵、向量、线性方程组、线性空间、线性变换、欧式空间和二次型等。 关键词：线性代数行列式矩阵向量线性方程组二次型群论 正文： 1.引言：线性代数是大学数学教育中一门主要基础课程，对于培养面向21世纪人才起着重要作用。通过了解线性代数的发展简史可以让我们更好地理解数学，从而更好地学习并应用它。 2.1 行列式 我们知道，在线性代数中最重要的内容之一就是行列式，它不仅是一种语言和速记，而且他的大多数生动的概念能对新的思想领域提供钥匙，同时人们已经证明了这个概念是数学、物理中非常有用的工具。 行列式出现于线性方程组的求解，它的概念最早是由十七世纪日本数学家关孝和在其著作《解伏题之法》中提出的。他于1683年写
了这本书，书里对行列式的概念和它的算法进行了清除的叙述。同时代的德国数学家莱布尼茨是欧洲提出行列式的第一人，也是微积分学的奠基人之一，他于1693年4月在写给洛比达的一封信中使用并给出了行列式，而且给出方程组的系数行列式为零的条件。 1750年，瑞士数学家克莱姆在其著作《线性带分析导引》中，比较完整、明确地阐述了行列式的定义与展开法，并且发表了求解线性系统方程的重要公式，即我们现在所称的解线性方程组的克莱姆法则。 1764年，数学家贝祖将确定行列式每一项符号的方法进行了系统化，利用系数行列式等于零这一条件判断对给定了含n个未知量的n 个齐次线性方程是否有非零解。 尽管上述几位数学家对行列式的提出与应用做出了很大的贡献，但仍在很长一段时间内，行列式只是作为解线性方程组的一种工具使用，并没有人意识到它可以独立于线性方程组之外，单独形成一门理论加以研究。 可喜的是，法国数学家范德蒙给出了一条法则，用二阶余子式和它们的余子式来展开行列式，从而把行列式理论与线性方程组求解相分离，他也因此成为了第一个对行列式理论做出连贯的系统的阐述的人。范德蒙自幼在父亲的指导下学习音乐，但他对数学却有浓厚的兴趣，后来终于成为了法兰西科学院院士，就对行列式本身这一点来说，他是这门理论的奠基人。 1772年，拉普拉斯在论文《对积分和世界体系的探讨》中证明了范德蒙的一些规则，并推广了他的展开行列式的方法。
研究生“矩阵论”课程课外作业 姓名：学号： 学院：专业： 类别：上课时间： 成绩：
矩阵论在人口迁移问题中的应用 摘要 本文根据矩阵论的理论解决实际中的人口迁移问题，做出简单的分析和概括。文中运用方阵函数 ()f A 的相关基本理论来解决这一实际问题，使得实际问题得 到简化解决，最终得出人口迁移问题的最终结论。 1、待解决问题内容： 假设有两个地区—如北方和南方，之间发生人口迁移，每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示： 问题：这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部搬到南方？如果会请说明理由；如果不会，那北方的人最终人口分布会怎样？ 2、基本术语解释 方阵函数 ()f A ：最简单的方阵函数是矩阵多项式 01()n n B f A a E a A a A ==+++L ，其中,n n i A C a C ?∈∈。一般运用 复变幂级数的和函数定义方阵幂级数和函数—方阵函数。 3、基本理论阐述： 1、Hamilton-Cayley 定理： 设矩阵A 的特征多项式为()f λ，则有()0f A =。 设A 的特征多项式为： ()1101n n n f a a a λλλλ--=++++L Hamilton-Cayley 定理表明： ()11010n n n f A A a A a A a E --=++++=L ，即方阵函数可以由 1,,,,n n A A A E -L 的线性组合表示。 方阵函数是多项式 ()01f A a E a A =++L ，其中,n n i A C a C ?∈∈。
2、最小多项式的相关理论： 定义1：A 是n 阶方阵，()f λ是方阵A 的特征多项式。如果有()0f A =， 则称 ()f λ是方阵A 的零化多项式。由Hamilton-Cayley 定理知一个矩阵的零化 多项式一定存在。 定义2：在n 阶方阵A 的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为A 的最小多项式。 设n n A C ?∈的最小多项式为1212()()()()s t t t s m λλλλλλλ=---L 其中12 s t t t t +++=L ，(,,1,2,,)i j i j i j s λλ≠≠=L ，而方阵函数()f A 是 收敛的方阵幂级数 k k k a A ∞ =∑的和函数，即 0 ()k k k f A a A ∞ ==∑ 设1011()t t T b b b λλλ--=+++L ，使 () () ()()l l i i f T λλ= 1,2,,0,1,,1i i s l t =?? ? =-?? L L ，则0()()k k k T A f A a A ∞===∑ 3、运用 ()f z 在A 上的谱值计算方阵函数()f A 的理论： 设n 阶方阵A 的最小多项式为1212()()()()s t t t s m λλλλλλλ=---L ， 其中2,,,s λλλL 是 A 的互不相同的特征根。如果复函数 ()f z 及其各阶导数 ()()l f z 在(1,2,,)i z i s λ==L 处的导数值，即 () () ()l l i i l d f z f z dz λλ==1,2,,0,1,,1i i s l t =?? ?=-?? L L 均为有限值，便称函数()f z 在方阵A 的谱上给定，并称这些值为()f z 在A 上 的谱值。 4、报告正文 根据所给条件，设南方和北方第一年的人口数量分别为s 和n ，第n 年人口数量分别为n x 和n y 。根据题意可以列出下式：
西安理工大学 研究生课程论文 课程名称：矩阵论 任课教师：XXX 论文/研究报告题目：线性变换在 电路方程中的应用 完成日期：2014年11月5日学科：Xxxx 学号：XXXXXXX 姓名：XXX 成绩：
线性变换在电路方程中的应用 摘要：电路分析中的坐标变换和复杂绕组变压器分析中所用的变压器变换都是电路方程的线性变换。根据矩阵理论，对坐标变换和变压器变换进行了统一阐释。坐标变换本质是一个方阵和对角阵的相似变换，变压器变换的本质是新变量对旧变量的表示，当变换矩阵的逆阵等于它的转置（共轭转置）阵时，坐标变换和变压器变换数学表示是相同的。通过对电路方程系数矩阵和三角阵的相似变换，同时得到了三相 abc 坐标系和任意速度旋转两相 dq0 坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、前进 - 后退 FB0 坐标系之间的变换矩阵。这有助于在更加基础的理论层面上揭示和理解电路方程线性变换的本质，也为提出电路方程线性变换的新类型提供了思路。 关键词：电路方程；线性变换；坐标变换；变压器变换 引言 在交流电机等电路分析中，常用的坐标变换是指三相静止 abc 坐标系任意速度旋转两相 d q坐标系、瞬时值复数分量 120 坐标系、 前进 - 后退 F B坐标系，以及它们对应的特殊坐标系的变量之间的 相互转换。电路方程坐标变换的主要目的是使电压、电流、磁链方程系数矩阵对角化和非时变化，从而简化数学模型，使分析和控制变得简单、准确、易行。还有一类电路方程变换，其目的是用旧变量表示出新变量，例如变压器中由原边变量利用变比变换而来的副边变量，把这类电路方程变换称为变压器变换。坐标变换已有很多文献进行了阐述，但这些阐述大都是基于物理概念的。变压器变换在复杂绕组变
矩阵分析在同步捕获性能研究新应用 摘要：该文提出了一种利用概率转移矩阵计算捕获传输函数的方法，通过将以往分析方法中的流程图转换为概率转移矩阵，仅需知道一步转移概率矩阵，利用现代计算机编程语言(如MAPLE，MATLAB等)的符号运算功能，即可得到捕获系统的传输函数：通过对传输函数求导，可计算平均捕获时间。矩阵分析方法可完整地计算出捕获系统的传输函数，可弥补流程图方法在分析传统连续搜索捕获方案的传输函数时所忽略的项；可纠正流程图方法在分 析非连续搜索捕获方案的传输函数时所引起的误差。 关键词：CDMA；矩阵分析；传输函数；流程图；捕获 A Novel Acquisition Performance Evaluation Approach Based on Matrix Analysis Abstract：A novel acquisition performance analysis approach is proposed based on matrix analysis．Given the first step transition probability matrix，the transfer function of acquisition system can be obtained by utilizing the symbol operation function of computer programming such as MAPLE，MATLAB and so on，and the mean acquisition time can be computed by differentiating the transfer function．The transfer function of acquisition system can be computed perfectly by matrix analysis，it not only complements the items neglected in that of conventional serial acquisition scheme but also corrects the error items in that of nonconsecutive acquisition scheme．
农业电气化与自动化专业硕士研究生培养方案 一、培养目标 培养面向世界，面向未来，面向现代化，德智体全面发展，为社会主义现代化建设服务的高层次专门人才。具体要求是： 1、较好地掌握马列主义、毛泽东思想、邓小平理论和“三个代表”的重要思想，树立正确的世界观、人生观和价值观，遵纪守法，具有较强的事业心和责任感，具有良好的道德品质和学术修养。 2、掌握农业电气化与自动化专业坚实的基础理论和系统的专业知识，具有独立从事科学研究或担任专门技术工作的能力。 3、掌握一门外国语，并能运用该门外国语比较熟练地阅读本专业的外文资料。 4、具有健康的体魄和心理素质。 二、学习年限 学习年限一般为3年，最长为5年，经批准可在2～5年范围内变动。实现学分制和弹性学制，按规定修满课程学分，完成所有培养环节和论文工作。可提前毕业或延期毕业，允许分段完成学业，允许休学创业。 三、研究方向 农业电气化与自动化专业隶属于农业工程一级学科。根据本学科覆盖面较宽的特点，设置的研究方向主要有农村供配电自动化与智能控制技术、农业水利工程自动化与信息化技术、农业环境监测与控制技术、水资源及水环境监测技术、新能源与分布式发电技术等五个方向。其主要研究方向和研究内容见表1。 表1：农业电气化与自动化专业硕士点主要研究方向和研究内容
四、课程设置与学习要求 本专业硕士研究生课程分为学位课程和非学位课程，非学位课程包括必修课程和选修课程。课程学习最低应不少于43学分（其中学位课程18学分，非学位课程中必修课程5学分，选修课程9学分，学术研讨与学术报告2学分，跨专业学生还应补修学士阶段基础课程9学分）。 表2 农业电气化与自动化专业硕士研究生课程设置与学分
矩阵理论学习报告 矩阵的现代概念在19世纪逐渐形成。1801年德国数学家高斯把一个线性变换的全部系数作为一个整体。1844年，德国数学家爱森斯坦讨论了“变换”（矩阵）及其乘积。1850年，英国数学家西尔维斯特首先使用矩阵一词。1858年，英国数学家凯莱发表《关于矩阵理论的研究报告》。他首先将矩阵作为一个独立的数学对象加以研究，并在这个主题上首先发表了一系列文章，因而被认为是矩阵论的创立者，他给出了现在通用的一系列定义，如两矩阵相等、零矩阵、单位矩阵、两矩阵的和、一个数与一个矩阵的数量积、两个矩阵的积、矩阵的逆、转置矩阵等。并且凯莱还注意到矩阵的乘法是可结合的，但一般不可交换，且m*n矩阵只能用n*k矩阵去右乘。1854年，法国数学家埃米尔特使用了“正交矩阵”这一术语，但他的正式定义直到1878年才由德国数学家费罗贝尼乌斯发表。1879年，费罗贝尼乌斯引入矩阵秩的概念。至此，矩阵的体系基本上建立起来了。 通过这次在朱善华老师的课程上我了解了很多获益匪浅，我通过矩阵的学习，系统地掌握了矩阵的基本理论和基本方法，进一步深化和提高矩阵的理论知识，掌握各种矩阵分解的计算方法，了解矩阵的各种应用，其主要内容包括矩阵的基本理论，矩阵特征值和特征向量的计算,矩阵分解及其应用，矩阵的概念，了解单位阵、对角距阵、三角矩阵、零矩阵、数量矩阵、对角距阵等。这些内容与方法是许多应用学科的重要工具。矩阵的应用是多方面的，不仅在数学领域里，而且在力学、物理、科技等方面都十分广泛的应用。我通过学习得知，矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的，而矩阵本身所具有的性质是依赖于元素的。在逻辑上，矩阵的概念应先于行列式的概念，然而在历史上次序正好相反。矩阵和行列式是两个完全不同的概念，行列式代表着一个数，而矩阵仅仅是一些数的有顺序的摆法。利用矩阵这个工具，可以把线性方程组中的系数组成向量空间中的向量；这样对于一个多元线性方程组的解的情况，以及不同解之间的关系等一系列理论上的问题，就都可以得到彻底的解决。 认识总是随着时间和已有知识的积累在不断修正，我对矩阵论的认识也大致如此。从一开始的认为只能解线性方程，到如今发现它的几乎无所不能，我想我收获到的不仅仅是这种简单的知识，更是一种世界观，那就是对所有的事物都不要轻易地下定论。同时，当我们知道的越多，就会发现未知的东西越多。作为一门已经发展了一百多年的学科，我对矩阵论的认识只是沧海一粟，唯有终身学习，不断探索，才可能真正领悟到其中之真谛，我亦将为此付诸行动。 控制理论与控制工程 肖雪峰
《矩阵论》课程教学大纲 一、课程基本信息 课程编号： xxxxx 课程中文名称：矩阵论 课程英文名称：Matrix Theory 课程性质：学位课 考核方式：考试 开课专业：工科各专业 开课学期：1 总学时：36学时 总学分： 2学分 二、课程目的和任务 矩阵论是线性代数的后继课程。在线性代数的基础上，进一步介绍线性空间与线性变换、欧氏空间与酉空间以及在此空间上的线性变换，深刻地揭示有限维空间上的线性变换的本质与思想。为了拓展高等数学的分析领域，通过引入向量范数和矩阵范数在有限维空间上构建了矩阵分析理论。 从应用的角度，矩阵代数是数值分析的重要基础，矩阵分析是研究线性动力系统的重要工具。为了矩阵理论的实用性，对于矩阵代数与分析的计算问题，利用Matlab计算软件实现快捷的计算分析。 三、教学基本要求（含素质教育与创新能力培养的要求） 通过本课程的学习，使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上，进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。并着重培养学生将所学的理论知识应用于本专业的实际问题和解决实际问题的能力。 本课程还要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论，会证明简单的一些命题和结论，从而培养逻辑思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法，如各种标准型、矩阵函数等，为今后在相关专业中实际应用打好基础。 四、教学内容与学时分配 (一) 线性空间与线性变换 8学时 1. 理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式；
2. 掌握子空间与维数定理，了解线性空间同构的含义； 3. 理解线性变换的概念，掌握线性变换的矩阵表示。 (二) 内积空间 6学时 1. 理解内积空间的概念，掌握正交基及子空间的正交关系； 2. 了解内积空间的同构的含义，掌握判断正交变换的方法； 3. 理解酉空间的概念，会判定一个空间是否为酉空间 4. 掌握酉空间与实内积空间的异同； 5. 掌握正规矩阵的概念及判定定理和性质。 (三) 矩阵的对角化与若当标准形 6学时 1. 掌握矩阵相似对角化的判别方法； 2. 理解埃尔米特二次型的含义； 3. 会求史密斯标准形； 4. 会求若当标准型。 (四) 矩阵分解4学时 1. 会求矩阵的三角分解和UR分解； 2. 会求矩阵的满秩分解和单纯矩阵的谱分解； 3. 了解矩阵的奇异值和极分解。 (五) 向量与矩阵的重要数字特征4学时 1. 理解向量范数、矩阵范数； 2. 有限维线性空间上向量范数的等价性； 3. 向量范数与矩阵范数的相容性。 (六) 矩阵分析 4学时 1. 理解向量和矩阵的极限的概念； 2. 掌握矩阵幂级数收敛的判定方法； 3. 理解矩阵的克罗内克积； 4. 会求矩阵的微分与积分。 (七) 矩阵函数 4学时 1. 理解矩阵多项式的概念； 2. 掌握由解析函数确定的矩阵函数； 3. 掌握矩阵函数的计算方法。 五、教学方法及手段（含现代化教学手段） 本课程的所有授课内容，均使用多媒体教学方式，教案采用PowerPoint编写，教师使
矩阵论在方程解耦及最小二乘法中的应用摘要：模态（也称为固有振动模态，或主模态）是多自由度线性系统的一种固有属性，可由系统的特征值（也称为固有值）与系统的特征矢量（也称为固有矢量，或者主振型）二者共同来表示的；它们分别从时空两个方面来刻画系统的振动特性。模态是机械结构的固有振动特性，每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型，其可以使得耦合方程组解耦。作用于一个n维自由度系统，可以转换到模态坐标下来解耦，确定在模态坐标下响应，然后通过线性变换得到物理坐标下的响应。惯常使用中，将线性定常系统振动微分方程组中的物理坐标变换为模态坐标，使方程组解耦，成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程，以便求出系统的模态参数[1]。 在科学实验和工程计算中，我们希望从给定的数据出发,构造一个近似函数，使数据点均在离曲线的上方或下方不远处，所求的曲线称为拟合曲线，它既能反映数据的总体分布，又不至于出现局部较大的波动，更能反映被逼近函数的特性，使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小，这就是最小二乘法。最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配，使这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小[2]，则需要范数的知识。 关键字：模态，方程解耦，最小二乘 一、引言 数学中解耦是指使含有多个变量的数学方程变成能够用单个变量表示的方程组，即变量不再同时共同直接影响一个方程的结果，从而简化分析计算。通过适当的控制量的选取，坐标变换等手段将一个多变量系统化为多个独立的单变量系统的数学模型，即解除各个变量之间的耦合。 对离散型函数(即数表形式的函数)考虑数据较多的情况.若将每个点都当作插值节点，则插值函数是一个次数很高的多项式，比较复杂，而且由于龙格振荡现象，这个高次的插值多项式可能并不接近原函数。最小二乘法在实际工程数据处理中应用广泛，在工程问题中，使用最小二乘法根据两个变量的几组实验数据可 1
师生教学关系矩阵论
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师生教学关系矩阵论-中学语文论文 师生教学关系矩阵论 ■ 梁红松 教学活动中，师生关系主要为教学关系，它是教育教学生产关系的主要方面。改革教育教学生产关系，释放、提高教育教学生产力，应该是新课程的本质追求。重新定位师生教学关系成为新课程改革的关键。 受苏联教育教学理论的影响，再加传统教育思想的历史沉淀，主客对立统一观长期占统治地位：教师是教育教学的主体，学生是客体。这种观念高度重视教师，而对学生则严重忽略。教育教学的创新发展被束缚住了。 新时期，中西文教交流日益密切，欧美教育教学理论涌入中国，学生的主体地位被重新发现，形成了“学生为主体，教师为主导，训练为主线”的三主教学观。新课程的启动，更把学生的自主合作探究活动视为教学的生命线。 但是，改革的深入，改革的各种问题逼迫我们更加细致透彻地分析研究师生教学关系。 教学是师生的交流互动，是教师的教与学生的学的和谐交融。它是师生双方的活动，其结果与目的却在单方的学生：培育符合社会时代需求的“社会人”。人之初，只是具备“社会人”发展可能性的“动物人”，如不接受教育（包括家庭、学校、社会教育等），就会象印度狼人一样，只是徒具人形的动物，从这个意义上说，教育教学是马克思所说的人的自身生产的一部分。母亲只生了我的身，教育使我们成为真正的人。 教师与学生、教师的教与学生的学通过符合与体现教育教学目的的教育教学资源（如教材等）的中介，浑然融合为一个不可分割的整体——教育教学活动。教
西安理工大学 研究生课程论文报告 课程名称：矩阵论 课程代号： 任课教师： 论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统 状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动 学号： 姓名： 成绩：
矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵 求解中的应用 摘 要 控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。 关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数. 1.问题提出 线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。 线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 线性定常系统齐次状态方程为 ()()t Ax t x = ()1-1 其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ?系数矩阵。设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。 设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即 )(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1 式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。 式()2-1代入方程()1-1得 () +++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1 既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有
一、 报告摘要 在已知曲线大致模型的情况下，运用曲线拟合最小二乘法，使得观测数据与曲线模型数据之间的误差平方和最小。进而求得曲线的模型参数，并由所求的曲线模型进行分析预测。 二、 题目内容 一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据： 我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。 问题：预测该导弹在什么水平距离着地。 三、 基本术语 1. 内积 设V 是实数域R 上的线性空间，如果V 中任意两个向量,αβ都按某一个确定的法则对应于惟一确定的实数，记作(,)αβ，并且(,)αβ满足 i. 对任意的,V αβ∈，有(,)(,)αββα= ii. 对任意的,,V αβγ∈，有(,)(,)(,)a αβγγβγ+=+ iii. 对任意的,,k R V αβ=∈有(,)(,)k k αβαβ= iv. 对任意的V α∈，有(,)0αα≥。当且仅当0α=时，(,)0αα= 则称(,)αβ为向量,αβ的内积。如无特殊说明的，我们认为对任意向量
1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b αβ== ，其内积(,)αβ为 1122(,)n n a b a b a b αβ=+++ 2. 范数 如果V 是数域K 上的线性空间，且对于V 的任以向量χ，对应于一个实数函数χ，它满足如下三个条件。 i. 非负性 当0χ≠时0χ>；当0χ=时，0χ=； ii. 齐次性 ,a a V χχχ=∈； iii. 三角不等式 ,,V χζχζχζ+≤+∈； 则称χ为V 上χ的范数。 可以证明对于向量12(,,,)n χξξξ= 的长度 χ= 是一种范数，我们称为2-范数，记为2χ。 3. 线性方程组 设有n 个未知数m 个方程的线性方程组 11112211 21122222 1122n n n n m m mn n m a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=??+++=?? ????+++=? 可以写成以向量x 为未知元的向量方程 Ax b = 则A 为该方程的系数矩阵，(,)B A b =为增广矩阵。该线性方程有解的条件如下 i. 当A 的秩()R A 和B 的秩()R B 满足()()R A R B <时，该方程无解 ii. 当()()R A R B n ==时，该方程有唯一解。
利用蚁群算法分析TSP问题 “旅行商问题”(Traveling Salesman Problem,TSP)可简单描述为：一位销售商从n个城市中的某一城市出发，不重复地走完其余n-1个城市并回到原出发点，在所有可能路径中求出路径长度最短的一条。旅行商的路线可以看作是对n城市所设计的一个环形，或者是对一列n个城市的排列。由于对n个城市所有可能的遍历数目可达(n-1)!个，因此解决这个问题需要O(n!)的计算时间。而由美国密执根大学的Holland教授发展起来的遗传算法，是一种求解问题的高效并行全局搜索方法，能够解决复杂的全局优化问题，解决TSP问题也成为遗传算法界的一个目标。 与粒子群算法相似，蚁群算法也是通过对生物的群体进行观察研究得来的。在研究蚂蚁的行为时发现，一只蚂蚁，不论是工蚁还是蚁后，都只能完成很简单的任务，没有任何一只蚂蚁能够指挥其他蚂蚁完成筑巢等各种复杂的行为。蚂蚁是如何分工，如何完成这些复杂的行为的这一问题引起了科学及的兴趣。 生物学家发现，蚁群具有高度的社会性。在蚂蚁的行动过程中，蚂蚁之间不只是通过视觉和触觉进行沟通，蚂蚁之间的信息传递还可以通过释放出一种挥发性的分泌物，这是一种信息素之类的生物信息介质。一只蚂蚁的行为极其简单，但是一个蚁群的行为则是复杂而又神奇的。蚂蚁在觅食的过程中，如果没有发现信息素，会随机选择一个方向前进，遇见障碍物也会绕开，直到遇见食物，若果遇见的食物比较小，就即刻搬回巢穴，假如食物很大，则会释放信息素之后回去搬救兵。在一只蚂蚁发现食物并留下信息素之后，其它的蚂蚁会跟着信息素很快找到食物。 虽然对蚂蚁的行为有了一定的了解，在实际模拟蚁群的时候仍然存在不少问题。蚂蚁觅食过程中在没有信息素的情况下，蚂蚁会随机向一个方向前进，不能转圈或者震动。虽然有了一个方向，蚂蚁也不能一直只向着同样方向做直线运动，这一运动需要有点随机性，由此，蚂蚁的运动在保持原有的方向的同时对外界的干扰能够做出反应，也有了新的试探。这一点在遇到障碍物时是非常重要的。在有了信息素之后，大多数的蚂蚁都会沿着信息素去找食物，这条路上的信息素会越来越多，但这并不一定会是最优的路径，所以还需要找到最优的路径。好在蚂
矩阵相关文献翻译： Cooperative Spectrum Sensing Using Random Matrix Theory Leonardo S. Cardoso and Merouane Debbah and Pascal Bianchi FROM IEEE 字数：5000字
基于随机矩阵理论的协作频谱感知 摘要 本文提出了一种基于随机矩阵理论的协作频谱感知算法，这个算法既适用于AWGN，也适用于衰落信道。不像先前的研究工作，新算法并不需要噪声统计和方差，并且与随机矩阵的最大和最小特征值有关。值得注意的是，仿真结果表明，新算法方便随时间变化的拓扑结构，其性能明显优于典型的能量检测算法。 一、前言 从美国联邦通信委员会（FCC）频谱政策专责小组[1]的报告中显示，无论是由于稀疏用户访问还是系统的固有缺陷，目前移动通信系统并没有充分利用可用的频谱，这已经成为共识。可以预见，未来的系统将能够有机会利用这些频谱，通过认知环境的能力的相关知识，以适应相应的无线电参数[2]。由于微电子和计算机系统的最新进展，这种无线电的时代已经不远，其中最重要的是开发出很好的感知技术。 用最通俗的话来说，频谱检测手段是在一个给定的有噪声的频段下寻找频带中的信号在（也可能包括进行分类的信号）。这个问题以前得到广泛的研究，如今由于认知无线电研究的部分原因重获关注。为此，有几个经典的技术，如能量检测（ED）（文献[3] - [5]），匹配滤波器（文献[6]）和循环平稳特征检测（文献[7] - [9]）。这些技术有自身的优缺点，而且都是适合于非常特殊的应用场合。 然而，从认知无线电的角度来看，频谱感知有非常严格的要求 和限制的问题，例如： ?没有信号结构的先验知识（统计、噪音方差值，等等）； ?在最短的时间内的信号检测；需要具有在严重衰落信道的环境下可靠检测的能力。 Cabric等人的工作[7]、Akyildiz等人的工作[10]、和Haykin[11]提供了从认知网络的角度对这些经典技术进行了汇总。从这些工作中可以清楚的看到，任何方法都不可能完全应付认知无线电网络的所有需求。 在简单的AWGN（加性高斯白噪声）信道中，经典的方法效果非常好。然而，在快衰落的情况下，这些技术无法提供满意的解决方案，尤其是隐藏节点问题[12]。为此，[13]- [16]几部文献已经研究认知无线电的协作频谱感知的情况。这些工作的目的是通过增加额外的冗余感知方法降低错误概率。他们还旨在通过减少收集的样本数量，来使用并行测量装置估计次数。不过，即使人们可以高效的利用空间维度，这些工作也都是是基于相同的基本技术，都需要一个信号的先验信息。在这项工作中，我们引入一个不需要先验信息的频谱感知方法。这种方法依赖于多个接收器采用随机矩阵理论（RMT）对接收到的信号进行结构推断。随机矩阵理论(RMT)是研究大维随机矩阵的经验谱分布函数在一定条件下特殊 收敛性质的相关理论，现已被广泛应用于无线通信领域中，如无线信道容量、阵列信号处理、接收机性能分析、通信系统设计等的各个方面。基于RMT 的频
矩阵分析在雷达信号波达方向估计中的应用 摘要：本文介绍了矩阵分析在雷达信号波达方向估计中的应用，主要介绍了DOA 估计中 常用的基于矩阵特征空间分解的MUSIC 算法的基本原理，并用MATLAB 对此算法性能进行了仿真。 关键词：矩阵分析 DOA 估计MUSIC 算法算法仿真 1、引言 矩阵分析作为一种重要的数学工具，在信号与信息处理领域起着不可代替的作用。矩阵分解是解决矩阵问题的重要方法之一，将一个矩阵分解为几个简单矩阵的乘积，有很强的技巧性和实用性。比如在雷达信号波达方向估计常用的MUSIC 算法中涉及了较多的矩阵分解的知识。 2、矩阵分析在MUSIC 算法中的应用 波达方向(DOA)估计的基本问题就是确定同时处在空间某一区域多个感兴趣的信号的空间位置(即多个信号到达阵列参考阵元的方向角)。最早的也是最经典的超分辨率DOA 估计算法是著名的多信号分类(MulitPleSignalClassicfiaitno)法,简称MUSIC 算法,是一类经典的基于特征结构分析的空间谱估计[1,2]方法。该方法是Scmhidt 和Bienveun 及Kopp 于1979年独立提出的,后来scmhidi 于1986年重新发表[3]。 MUSIC 算法基本原理及矩阵分析如下： 阵列阵元数为M ，则信号()i S t 到达各阵元的相位差所组成的向量为 ()()()(M 1)11,,...,,...,i i T jw j w i i M i a e e a a θθθ---??==? ????? (1) 称为信号()i S t 的方向向量。又知共有N 个信号位于远场，则在第K 个阵元上观测或接收信号()k x t 为： ()()()()1 N k k i i k i x t a S t n t θ==+∑()k n t 表示第K 个阵元上的加性观测噪声。 将M 个阵元上的观测数据组成1M ?维数据向量： ()()()()12,,...,T M x t x t x t x t =???? (2) 类似地，定义1M ?维观测噪声向量： ()()()()12,n ,...,n T M n t n t t t =???? (3) 空间信号的1N ?维矢量： ()()()()12,s ,...,s T N s t s t t t =???? (4)
电子与通信工程领域-中华人民共和国教育部
“卓越计划”电子与通信工程领域全日制专业学位工程硕士研究生 培养方案 西安电子科技大学研究生院 二零一一年五月
“卓越计划”电子与通信工程领域 全日制专业学位工程硕士研究生 培养方案 领域代码：085208 一、工程领域简介 信息技术是当今社会经济发展的一个重要支 柱，信息产业由于其技术新、产值高、范围广而已成为或正在成为许多国家或地区的支柱产业。电子 技术及微电子技术的迅猛发展给新技术革命带来根本性和普遍性的影响。电子技术水平的不断提高，出现了超大规模集成电路和计算机，促成了现代通信的实现。电子技术正在向光子技术演进，微电子集成正在引伸至光子集成。光子技术和电子技术的结合与发展，推动通信向全光化通信方向的快速发展，通信与计算机紧密的结合与发展，构建崭新的网络社会和数字时代。 电子与通信工程领域是信息与通信系统和电子科学与技术相结合的工程领域。本领域主要培养从事通信与信息系统、信号与信息处理、电路与系统、电磁场与微波技术、计算机网络、物理电子学与光电子学、微电子学与固体电子学、集成电路系统设计技术专业的高级工程技术人才。 二、培养目标 1. 拥护党的基本路线和方针政策，热爱祖国，遵纪守法，具有良好的职业道德和敬业精神，具有科学严谨和求真务实的学习态度和工作作风。 2. 基础扎实、素质全面、工程实践能力强，具有较强的解决实际问题的能力，面向企业服务的应用型、复合型高层次工程技术和工程管理并具有良好素养的专门人才。 3. 掌握通信与信息系统、信号与信息处理、电
路与系统、电磁场与微波技术、物理电子学与光电子学、微电子学与固体电子学等专业的基础理论、 先进技术方法和现代技术手段。在光纤通信、计算机与数据通信、计算机网络、卫星通信、移动通信、 多媒体通信、通信网设计与管理、信号与信息处理、集成电路系统设计与制造、电子元器件、电磁场与微波技术等领域的某一方向具有独立从事工程设计与运行、分析与集成、研究与开发、管理与决策等能力。 4. 掌握一门外语，掌握和了解本领域的技术现状和发展趋势。 5. 积极参加体育锻炼，具有健康的体魄和心理素质。 三、学制和培养方式 1．学制2年：“卓越计划”全日制专业学位工程硕士研究生（以下简称“卓越硕士生”）学习年限一般为2年，采用“1+1”模式，1年在校学习，1年校企联合培养。校内完成主要专业理论基础课程学习，校企联合培养期间完成企业课程、工程实践和专业学位论文工作。在第四学期的6月上旬提交学位论文，6下旬进行论文答辩。卓越硕士生一般不能推迟毕业，但若有特殊原因，例如课程重修、休学、论文问题等原因，本人申请并经导师和领导批准，一般可延长半年至一年，但学习年限最长不超过四年。 2．培养方式：卓越硕士生采用“三段式”培养方式，即课程学习+实践教学+学位论文相结合的培养方式；实践教学可采用集中实践与分段相结合，但在企业培养的时间不得少于十个月；学位论文的内容应来自研究生本人参与的实践项目。 3．学生来源：主要源于本科“卓越工程师”班推荐免试的硕士研究生和其他推荐免试的全日制专业学位工程硕士研究生，同时接收当年公开招考录取全日制专业工程硕士研究生的申请。
矩阵论论文 论文题目：矩阵微分在BP神经网络中的应用 姓名: 崔义新 学号: 20140830 院（系、部）: 数学与信息技术学院 专业: 数学 班级: 2014级数学研究生 导师: 花强 完成时间: 2015 年 6 月
摘要 矩阵微分是矩阵论中的一部分，是实数微分的扩展和推广.因此，矩阵微分具有与实数微分的相类似定义与性质.矩阵微分作为矩阵论中的基础部分，在许多领域都有应用，如矩阵函数求解，神经网络等等. BP网络，即反向传播网络(Back-Propagation Network）是一种多层前向反馈神经网络，它是将W-H学习规则一般化，对非线性可微分函数进行权值训练的多层网络. 它使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小.在其向前传播的过程中利用了矩阵的乘法原理，反传的过程中则是利用最速下降法，即沿着误差性能函数的负梯度方向进行，因此利用了矩阵微分. 关键词:矩阵微分;BP神经网络;
前 言 矩阵微分(Matrix Differential)也称矩阵求导(Matrix Derivative)，在机器学习、图像处理、 最优化等领域的公式推导过程中经常用到.本文将对各种形式下的矩阵微分进行详细的推导. BP （Back Propagation ）神经网络是1986年由Rumelhart 和McCelland 为首的科学家小组提出，是一种按误差逆传播算法训练的多层前馈网络，是目前应用最广泛的神经网络模型之一.BP 网络能学习和存贮大量的输入-输出模式映射关系，而无需事前揭示描述这种映射关系的数学方程.它的学习规则是使用最速下降法，通过反向传播来不断调整网络的权值和阈值，使网络的误差平方和最小.BP 神经网络模型拓扑结构包括输入层（input ）、隐层(hiddenlayer)和输出层(outputlayer). BP (Back Propagation)神经网络，即误差反传误差反向传播算法的学习过程，由信息的正向传播和误差的反向传播两个过程组成.输入层各神经元负责接收来自外界的输入信息，并传递给中间层各神经元；中间层是内部信息处理层，负责信息变换，根据信息变化能力的需求，中间层可以设计为单隐层或者多隐层结构；最后一个隐层传递到输出层各神经元的信息，经进一步处理后，完成一次学习的正向传播处理过程，由输出层向外界输出信息处理结果.当实际输出与期望输出不符时，进入 误差的反向传播阶段. 误差通过输出层，按误差梯度下降的方式修正各层权值，向隐层、输入层逐层反传.周而复始的信息正向传播和 误差反向传播过程，是各层权值不断调整的过程，也是神经网络学习训练的过程，此过程一直进行到网络输出的误差减少到可以接受的程度，或者预先设定的学习次数为止. 1 矩阵的微分 1.1 相对于向量的微分的定义 定义1 对于n 维向量函数，设函数 12 ()(,,,)n f f x x x =X 是以向量X 为自变量的 数量函数，即以n 个变量 x i 为自变量的数量函数. 我们将列向量 1n f x f x ???????? ???????????? 叫做数量函数f 对列向量X 的导数， 记作 1n f x df f f d f x ??? ?????= = =????? ???????? grad X 12T n df f f f d x x x ?? ???=? ?????? X （1.1）
矩阵论 1、意义 随着科学技术的发展，古典的线性代数知识己不能满足现代科技的需要，矩阵的理论和方法业巳成为现代科技领域必不可少的工具．有人认为：“科学计算实质就是矩阵的计算”．这句话概括了矩阵理论和方法的重要性及其使用的广泛性．因此，学习和掌握矩阵的基本理论和方法，对于理、工科研究生来说是必不可少的数学工具．2、内容 《矩阵论》和工科《线性代数》课程在研究矩阵的内容上有较大的差异： 线性代数：研究行列式、矩阵的四则运算(加、减、乘、求逆 ) 以及第一类初等变换 (非正交的)、对角标准形 (含二次型) 以及n阶线性方程组的解等基本内容． 矩阵论：研究矩阵的几何理论(线性空间、线性算子、内积空间等)、第二和第三类初等变换(正交的)、分析运算(矩阵微积分和级数)、矩阵的范数和条件数、广义逆和分解、若尔当标准形以及几类特殊矩阵和特殊运算等,内容十分丰富． 3、方法 在研究的方法上，矩阵论和线性代数也有很大的不同： 线性代数：引入概念直观，着重计算． 矩阵论：着重从几何理论的角度引入矩阵的许多概念和运算，把矩阵看成是线性空间上线性算子的一种数量表示．深刻理解它们对将
来正确处理实际问题有很大的作用． 第1讲 线性空间 内容： 1.线性空间的概念； 2.基变换和坐标变换； 3.子空间和维数定理； 4.线性空间的同构 线性空间和线性变换是矩阵分析中经常用到的两个极其重要的概念，也是通常几何空间概念的推广和抽象，线性空间是某类客观事物从量的方面的一个抽象． §1 线性空间的概念 1. 群，环，域 代数学是用符号代替数（或其它）来研究数（或其它）的运算性质和规律的学科，简称代数． 代数运算：假定对于集A 中的任意元素a 和集B 中的任意元素b ，按某一法则和集C 中唯一确定的元素c 对应，则称这个对应为A 、B 的一个（二元）代数运算． 代数系统：指一个集A 满足某些代数运算的系统． 1.1群 定义1.1 设V 是一个非空集合，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法，记为“+”．即，对V 中给定的一个法则，对于V 中任意元素βα,，在V 中都有惟一的一个元ν和他们对应，称ν为βα,的和，记为βαν+=．若在“+”下，满足下列四个条件，则称V 为一个群． 1）V 在“+”下是封闭的．即，若,,V ∈βα有 V ∈+βα； 2) V 在“+”下是可结合的．即，)()(γβαγβα++=++ ，V ∈γ；