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高考知识点古典概型

第5节古典概型

最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.

知识梳理

1.基本事件的特点

(1)任何两个基本事件是互斥的.

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.

2.古典概型

具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型.

(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果.

(2)每一个试验结果出现的可能性相同.

3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，

那么每一个基本事件的概率都是1

n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事

件A的概率P(A)＝m n.

4.古典概型的概率公式

P(A)事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数

[常用结论与微点提醒]

1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法.

2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B ＝?，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0.

诊断自测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( )

(3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( )

(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( )

解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确.

答案 (1)× (2)× (3)√ (4)×

2.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.112

解析所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2，

3)，(3，2)，(4，1)共4个.

故所求概率为P ＝436＝19.

答案 B

3.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825

D.925

解析甲被选中的概率为P ＝C 11C 14C 25

＝410＝25. 答案 B

4.(2018·长沙模拟)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由

这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大122，则

口袋中原有小球的个数为( )

A.5

B.6

C.10

D.11

解析设原来口袋中白球、黑球的个数分别为n 个，依题意

n ＋12n ＋1－n 2n ＝122，解得n ＝5.

所以原来口袋中小球共有2n ＝10个.

答案 C

5.在集合??????

????x ???x ＝n π6，n ＝1，2，3，…，10中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cos x ＝12的概率是________.

解析基本事件总数为10，满足方程cos x ＝12的基本事件数为2，故所求概率为

P ＝210＝15.

答案 15

考点一简单的古典概型的概率

【例1】 (1)(2017·山东卷)从分别标有1，2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A.518 B.49 C.59 D.79

(2)(2018·沈阳模拟)将A ，B ，C ，D 这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有1名同学”的概率是( )

A.12

B.14

C.16

D.18 解析 (1)由题意得，所求概率P ＝

5×4×29×8＝59. (2)A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法.当A ，

C 之间是B 时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是

D 时，有2种排法，所以所求概率为4＋224＝14.

答案 (1)C (2)B

规律方法 1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n ；

(2)计算事件A 所包含的基本事件的个数m ；(3)代入公式求出概率P .

2.(1)用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏.

(2)利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用.

【训练1】 (1)(2018·湖南衡阳八中、长郡中学等十三校二模)同学聚会上，某同学从《爱你一万年》《十年》《父亲》《单身情歌》四首歌中选出两首歌进行表演，则《爱你一万年》未被选取的概率为( )

A.13

B.12

C.23

D.56

(2)(2018·昆明诊断)从集合A ＝{－2，－1，2}中随机抽取一个数记为a ，从集合B ＝{－1，1，3}中随机抽取一个数记为b ，则直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率为( )

A.29

B.13

C.49

D.14

解析 (1)从四首歌中任选两首共有C 24＝6种选法，不选取《爱你一万年》的方

法有C 23＝3种，故所求的概率为P ＝36＝12.

(2)(a ，b )所有可能的结果为(－2，－1)，(－2，1)，(－2，3)，(－1，－1)，(－1，

1)，(－1，3)，(2，－1)，(2，1)，(2，3)，共9种.由ax －y ＋b ＝0得y ＝ax ＋b ，当?????a ≥0，b ≥0

时，直线不经过第四象限，符合条件的(a ，b )的结果为(2，1)，(2，3)，共2种，∴直线ax －y ＋b ＝0不经过第四象限的概率P ＝29.

答案 (1)B (2)A

考点二复杂的古典概型的概率(典例迁移)

【例2】 (经典母题)某市A ，B 两所中学的学生组队参加辩论赛，A 中学推荐了3名男生、2名女生，B 中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一

起参加集训.由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队.

(1)求A 中学至少有1名学生入选代表队的概率；

(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率.

解 (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名.参赛学生全从B 中学抽取(等价于

A 中学没有学生入选代表队)的概率为C 33C 34C 36C 36

＝1100，因此，A 中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－1100＝99100

. (2)设“参赛的4人中女生不少于2人”为事件A ，记“参赛女生有2人”为事件B ，“参赛女生有3人”为事件C .

则P (B )＝C 23C 23C 46＝35，P (C )＝C 33C 13C 46

＝15. 由互斥事件的概率加法公式，

得P (A )＝P (B )＋P (C )＝35＋15＝45，

故所求事件的概率为45.

【迁移探究1】求A 中学至多有1人入选代表队的概率.

解设“A 中学至多有1人入选代表队”为事件A ，“A 中学无人入选代表队”为事件B ，“A 中学有1人入选代表队”为事件C ，则

P (B )＝C 33C 34C 36C 36＝1100，P (C )＝C 13C 23C 34＋C 12C 24C 3

3C 36·C 36＝325，由互斥事件的概率加法公式得P (A )＝P (B )＋P (C )＝1100＋325＝13100，故所求事件的

概率为13100.

【迁移探究2】求B 中学入选代表队的女生人数多于男生人数的概率.

解设“B 中学入选代表队的女生人数多于男生人数”为事件A ，则P (A )＝

C 34·C 23·C 02C 13＋C 34C 13C 02C 23＋C 34C 03C 02C 33＋C 24C 13·C 12C 23＋C 24C 03C 12C 33＋C 14C 03·C 22C 33C 36·C 36

＝12，即B 中学入选代表队的女生人数多于男生人数的概率为12.

规律方法 1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实

际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.

2.注意区别排列与组合，以及计数原理的正确使用.

【训练2】 (1)(2018·亳州模拟)已知集合M ＝{1，2，3，4}，N ＝{(a ，b )|a ，b ∈M }，A 是集合N 中任意一点，O 为坐标原点，则直线OA 与y ＝x 2＋1有交点的概率是( )

A.12

B.13

C.14

D.18

(2)(2018·兰州模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 与

BD 的交点，P ，Q ，M ，N 分别是线段OA ，OB ，OC ，OD 的

中点.在A ，P ，M ，C 中任取一点记为E ，在B ，Q ，N ，D 中

任取一点记为F .设G 为满足向量OG

→＝OE →＋OF →的点，则在上述的点G 组成的集合中的点，落在平行四边形ABCD 外(不含边界)的概率为________.

解析 (1)设A (a ，b )，则直线OA 的方程为y ＝b a x ，由???y ＝x 2＋1，y ＝b a x 得x 2－b a x ＋1

＝0，由题意得Δ＝? ??

??－b a 2－4≥0，即b ≥2a 或b ≤－2a ，由于点A 的坐标可能取到的所有情况有：(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，

4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共16种，其中满足b ≥2a 或b ≤－2a 的情况有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4种，

故所求的概率为P ＝416＝14.

(2)易知基本事件的总数是4×4＝16，在OG

→＝OE →＋OF →中，当OG →＝OP →＋OQ →，OG →＝OP

→＋ON →，OG →＝ON →＋OM →，OG →＝OM →＋OQ →时，点G 在平行四边形的边界上，而其余情况的点G 都在平行四边形外，故所求的概率是1－416＝34.

答案 (1)C (2)34

考点三古典概型与统计知识的交汇问题

【例3】 (2018·黄冈质检)已知某中学高三理科班学生的数学与物理的水平测试成绩抽样统计如下表：

若抽取学生n 人，成绩分为A (优秀)，B (良好)，C (及格)三个等级，设x ，y 分别表示数学成绩与物理成绩，例如：表中物理成绩为A 等级的共有14＋40＋10＝64(人)，数学成绩为B 等级且物理成绩为C 等级的共有8人.已知x 与y 均为A 等级的概率是0.07.

(1)设在该样本中，数学成绩的优秀率是30%，求a ，b 的值；

(2)已知a ≥7，b ≥6，求数学成绩为A 等级的人数比C 等级的人数多的概率.

解 (1)由题意知14n ＝0.07，解得n ＝200，

∴14＋a ＋28200×100%＝30%，解得a ＝18，

易知a ＋b ＝30，所以b ＝12.

(2)由14＋a ＋28>10＋b ＋34得a >b ＋2，又a ＋b ＝30且a ≥7，b ≥6，则(a ，b )的所有可能结果为(7，23)，(8，22)，(9，21)，…，(24，6)，共18种，而a >b

＋2的可能结果为(17，13)，(18，12)，…，(24，6)，共8种，则所求概率P ＝818

＝49.

规律方法求解古典概型与统计交汇问题的思路

(1)依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼需要的信息.

(2)进行统计与古典概型概率的正确计算.

【训练3】从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重(单位：kg)数据绘制成频率分布直方图(如图所示).由图中数据可知体重的平均值为________kg ；若要从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12个人中选两人当正副队长，则这两人体重不在同一组内的概率为________.

解析由频率分布直方图可知，体重在[40，50)内的男生人数为0.005×10×100＝5，同理，体重在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90]内的人数分别为35，

30，20，10，所以体重的平均值为45×5＋55×35＋65×30＋75×20＋85×10100

＝64.5.利用分层抽样的方法选取12人，则从体重在[60，70)，[70，80)，[80，90]

三组内选取的人数分别为12×3060＝6，12×2060＝4，12×1060＝2，则两人体重不在

同一组内的概率为C 16C 16＋C 14C 18＋C 12C 110A 212

＝23. 答案 64.5 23

基础巩固题组

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1.集合A ＝{2，3}，B ＝{1，2，3}，从A ，B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )

A.23

B.12

C.13

D.16

解析从A ，B 中任意取一个数，共有C 12·C 13＝6种情形，两数和等于4的情形只

有(2，2)，(3，1)两种，∴P ＝26＝13.

答案 C

2.(2018·淮南一模)从1，2，3，4，5这五个数中，随机抽取2个不同的数，则这2个数的和为偶数的概率是( )

A.15

B.25

C.35

D.45

解析从1，2，3，4，5这五个数中随机抽取2个不同的数有10种不同的情况，而这2个数的和为偶数，则2个数全为偶数，或2个数全为奇数，共有1＋C 23＝

4(种)不同情况，由古典概型概率公式得所求概率P ＝410＝25.

答案 B

3.(2018·张家口期末)某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在平面直角坐标系xOy 中，以(x ，y )为坐标的点在直线2x －y ＝1上的概率为( )

A.112

B.19

C.536

D.16

解析先后投掷一枚骰子两次，共有6×6＝36种结果，满足题意的结果有3种，

即(1，1)，(2，3)，(3，5)，所以所求概率为336＝112.

答案 A

4.(2018·郑州模拟)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当a >b ，b

A.16

B.524

C.13

D.724

解析选出一个三位数有A 34＝24种情况，取出一个凹数有C 34×2＝8种情况，所

以，所求概率为P ＝824＝13.

答案 C

5.从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )

A.15

B.25

C.35

D.45

解析从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可

能)取两点，共有C 25＝10条线段，

满足该两点间的距离小于1的有AO ，BO ，CO ，DO 共4条线段，则根据古典概型的概率公

式可知随机(等可能)取两点，则该两点间的距离小于1的概率P ＝410＝25.

答案 B

二、填空题

6.(2018·武汉模拟)小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A ，a ，B ，b 中的一个，另一位是数字4，5，6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登陆的概率是________.

解析小明输入密码后两位的所有情况有C 14·C 13＝12(种)，而能成功登陆的密码

只有一种，故小明输入一次密码能够成功登陆的概率是112.

答案 112

7.某校高三年级要从4名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中的机会均等)，则男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是________.

解析男生甲和女生乙至少有一人被选中的概率是1－C 34C 36

＝45. 答案 45

8.(2016·上海卷)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________.

解析甲同学从四种水果中选两种，选法种数有C 24，乙同学的选法种数为C 24，

则两同学的选法种数为C 24·C 24，两同学各自所选水果相同的选法种数为C 24，由古

典概型概率计算公式可得，甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为P ＝C 24C 24C 24＝16

. 答案 16

概率知识点总结

概率知识点总结随机现象：在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。随机试验：对随机现象进行的观察或实验统称为随机试验。样本点：随机试验的每个可能出现的实验结果称为这个试验的一个样本样本空间：所有样本点组成的集合称为这个试验的样本空间。随机事件：如果在每次试验的结果中，某事件可能发生，也可能不发生，则这一事件称为随机事件。 &必然事件：某事件一定发生，则为必然事件。 9、不可能事件：某事件一定不发生，则为不可能事件。 10、基本事件：有单个样本点构成的集合称为基本事件。 11、任一随机事件都是样本空间的一个子集，该子集中任一样本点发生, 则该事件发生。利用集合论之间的关系和运算研究事件之间的关系和运算。事件的包含A 互不相容事件（互斥事件） AI B 1、确定性现象：在一定条件下必然出现的现象。 2、 3、概率论：是研究随机现象统计规律的科学。 4、 5、占八 6、 7、事件的并（和） AUB 事件的交（积） AI B 事件的差A B A A B A B

(7)完备事件组：事件A,A 2,L ,A n 两两互不相容，且AUAUL U A n (8)事件之间的运算规律：交换律、结合律、分配率、 De Morgan 定理 12、概率 P( ) 1 , P( ) 0 如果 A I ,A 2,L ,A n 两两互不相容，则 P (AUAUL U A n ) P (A i ) P(A 2)L P (AJ 如果A,B 是任意两个随机事件，则P(A B) P(A) P(AB) P (AUB) P(A) P (B) P (AB) n P(A)P(A j )P(A k ) L ( 1)n1 P(A ,A 2L A n ) 1 i j k n 12、古典概型每次试验中，所有可能发生的结果只有有限个，即样本空间是有限集每次试验中，每一个结果发生的可能性相同 P(A) A 包含的基本事件数 I 丿试验的基本事件总数 13、条件概率：P HB)篇为事件B 发生的条件下’事件A 发生的条件概率力口法公式：P (AUB) P (A) P (B) P (AB)，若 A, B 互斥，贝 Jp( AUB) P (A) P(B) (6)对立事件(互逆事件) AUB AI B ，记 B A 如果 B A ，贝J P(A B) P(A) P(B) P (AUBUC) P (A) P (B) P(C) P (AB) P (AC) P (BC) P (ABC) n P(A 1 UAUL U AJ P(A) i 1 1 i j P(A) P(A j )

高二数学古典概型知识点

2019学年高二数学古典概型知识点古典概型是一种概率模型，是概率论中最直观和最简单的模型，小编准备了高二数学古典概型知识点，具体请看以下内容。知识点总结本节主要包括古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等主要知识点。其中主要是理解和掌握古典概型的概率计算公式，这个并不难。 1、古典概型 (1)定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。 (2)特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性 (3)古典概型的解题步骤; ①求出试验的总的基本事件数 ; ②求出事件A所包含的基本事件数 ; 2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能事件除外)。常见考法本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查

古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。误区提醒在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的;②任何事件都可以表示成基本事件的和(不可能事件除外)。【典型例题】例1 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率. 解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44=256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有433=36(种)涂法.②若△AOB与△COD不同色，它们共有43=12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4322=48(种)涂法.故相邻三角形均不同色的概率例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地

古典概型,几何概型深刻复习知识点和综合知识题

（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）（1）（2）（3）（4） A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 若热茶杯数y 与气温x 近似地满足线性关系，则其关系式最接近的是（） A. 6y x =+ B. 42y x =+ C. 260y x =-+ D. 378y x =-+ 知识点二：概率一、随机事件概率：事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0）（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈

古典概型和几何概型专题训练[答案解析版]

古典概型与几何概型专题训练 1.在集合{} 04M x x =<≤中随机取一个元素，恰使函数2log y x =大于1的概率为( ) A ．1 B. 14 C. 12 D. 34 答案及解析：1.C 2.考虑一元二次方程2 0x mx n ++=，其中,m n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数,则方程有实根的概率为( ) A. 3619 B.187 C.94 D.36 17 答案及解析：2.A 3.如图，大正方形的面积是34，四个全等直角三角形围成一个小正方形，直角三角形的较短边长为3，向大正方形内抛撒一枚幸运小花朵，则小花朵落在小正方形内的概率为 A . 117 B .217 C .317 D .4 17 答案及解析：3.B . 因为大正方形的面积是34，所以大正方形的边长是34，由直角三角形的较短边长为 3，得四个全等直角三角形的直角边分别是5和3，则小正方形边长为2，面积为4.所以小花朵落在小正方形内的概率为42 3417 P = =.故选B . 【解题探究】本题考查几何概型的计算. 几何概型的解题关键是求出两个区间的长度（面积或体积），然后再利用几何概型的概率计算公式 ()= A P A 构成事件的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）求解．所以本题求小花朵落在小正方形内的概率，关键是求出小正方形的面积和大正方形的面积. 4.如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格（若它在5处，跳动一次，只能进入3处，若在3处，则跳动一次可以等机会进入1，2，4，5处），则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是（）

概率论和数理统计知识点总结[超详细版]

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

概率论知识点总结

概率论总结目录一、前五章总结第一章随机事件和概率 (1) 第二章随机变量及其分布 (5) 第三章多维随机变量及其分布 (10) 第四章随机变量的数字特征 (13) 第五章极限定理 (18) 二、学习概率论这门课的心得体会 (20) 一、前五章总结第一章随机事件和概率第一节：1.、将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E表示。在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为S或Ω。 2、我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间. 样本空间用S或Ω表示.

一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件间的关系及运算，就是集合间的关系和运算。 3、定义：事件的包含与相等若事件A发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为B?A 或A?B。若A?B且A?B则称事件A与事件B相等，记为A＝B。定义：和事件 “事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件 A与事件B的和事件。记为A∪B。用集合表示为: A∪B={e|e∈A，或e∈B}。定义：积事件称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB，用集合表示为AB={e|e∈A且e∈B}。定义：差事件称“事件A发生而事件B不发生,这一事件为事件A与事件B的差事件,记为A－B,用集合表示为 A-B={e|e∈A，e?B} 。定义：互不相容事件或互斥事件如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件 B是互不相容事件或互斥事件。定义6：逆事件/对立事件称事件“A不发生”为事件A的逆事件，记为ā。A与ā满足：A ∪ā= S,且Aā=Φ。

古典概型的知识点

第五节古典概型 [备考方向要明了] 考什么怎么考 1.理解古典概型及其概率计算公式． 2.会计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率. 高考对本节内容的考查多为选择题或填空题，难度中低档，如2012年广东T7，上海 T11等. [归纳·知识整合] 1．基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的； (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． [探究] 1.在一次试验中，其基本事件的发生一定是等可能的吗？提示：不一定．如试验一粒种子是否发芽，其发芽和不发芽的可能性是不相等的．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等． [探究] 2.如何判断一个试验是否为古典概型？提示：关键看这个实验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性． 3．古典概型的概率公式 P(A)＝ A包含的基本事件的个数基本事件的总数 [自测·牛刀小试] 1．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为() A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3D．1

解析：选C 基本事件总数为(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共3种．甲被选中共2种，所以甲被选中的概率为2 3 . 2．某国际科研合作项目由两个美国人，一个法国人和一个中国人共同开发完成，现从中随机选出两个人作为成果发布人，在选出的两人中有中国人的概率为( ) A.14 B.13 C.12 D ．1 解析：选C 用列举法可知，共6个基本事件，有中国人的基本事件有3个． 3．5张卡片上分别写有数字1,2,3,4,5，从这5张卡片中随机抽取2张，则取出2张卡片上数字之和为奇数的概率为( ) A.35 B.25 C.34 D.23 解析：选A 由题意得基本事件共有10种，2张卡片之和为奇数须一奇一偶，共有6种，故所求概率为610＝3 5 . 4．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5的下方的概率为________．解析：点P 在直线x ＋y ＝5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故P ＝66×6＝1 6 . 答案：16 5．在集合A ＝{2,3}中随机取一个元素m ，在集合B ＝{1,2,3}中随机取一个元素n ，得到点P (m ，n )，则点P 在圆x 2＋y 2＝9内部的概率为________．解析：点P (m ，n )共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6种情况，只有(2,1)，(2,2)，这两种情况满足在圆x 2＋y 2＝9内部，所以所求概率为26＝1 3 . 答案：13

高考知识点古典概型

第5节古典概型最新考纲 1.理解古典概型及其概率计算公式；2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率. 知识梳理 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型具有以下两个特征的概率模型称为古典的概率模型，简称古典概型. (1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果. (2)每一个试验结果出现的可能性相同. 3.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1 n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝m n. 4.古典概型的概率公式 P(A)事件A包含的可能结果数试验的所有可能结果数 . [常用结论与微点提醒] 1.古典概型中的基本事件都是互斥的，确定基本事件的方法主要有列举法、列表法与树状图法. 2.概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B ＝?，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. 诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”.()

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件.( ) (3)从－3，－2，－1，0，1，2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同.( ) (4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率.( ) 解析对于(1)，发芽与不发芽不一定是等可能，所以(1)不正确；对于(2)，三个事件不是等可能，其中“一正一反”应包括正反与反正两个基本事件，所以(2)不正确；对于(4)，应利用几何概型求概率，所以(4)不正确. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)× 2.(必修3P127例3改编)掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于( ) A.118 B.19 C.16 D.112 解析所有基本事件的个数为6×6＝36，点数之和为5的基本事件有(1，4)，(2， 3)，(3，2)，(4，1)共4个. 故所求概率为P ＝436＝19. 答案 B 3.(2016·北京卷)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925 解析甲被选中的概率为P ＝C 11C 14C 25 ＝410＝25. 答案 B 4.(2018·长沙模拟)在装有相等数量的白球和黑球的口袋中放进一个白球，此时由这个口袋中取出一个白球的概率比原来由此口袋中取出一个白球的概率大122，则口袋中原有小球的个数为( ) A.5 B.6 C.10 D.11

古典概型知识点总结

知识点：古典概型目录知识点总结常见考法误区提醒知识点难易度 (中) 知识点总结本节主要包括古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等主要知识点。其中主要是理解和掌握古典概型的概率计算公式，这个并不难。 1、古典概型（1）定义：如果试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，并且每个基本事件出现的可能性相等，则称此概率为古典概型。（2）特点：①试验结果的有限性②所有结果的等可能性（3）古典概型的解题步骤； ①求出试验的总的基本事件数； ②求出事件A所包含的基本事件数； 2、基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。常见考法本节在段考中，一般以选择题、填空题和解答题的形式考查古典概型的特征、古典概型的概率计算公式等知识点，属于中档题。在高考中多融合在离散型随机变量的分布列中考查古典概型的概率计算公式，属于中档题，先求出各个基本量再代入即可解答。误区提醒

在求试验的基本事件时，有时容易计算出错。基本事件是事件的最小单位，所有事件都是由基本事件组成的，基本事件有下列两个特点：①任何两个基本事件都是互斥的；②任何事件都可以表示成基本事件的和（不可能事件除外）。【典型例题】例1 如图，四边形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，若每个小三角形用4种不同颜色中的任一种涂染，求出现相邻三角形均不同色的概率．解：若不考虑相邻三角形不同色的要求，则有44＝256(种)涂法，下面求相邻三角形不同色的涂法种数：①若△AOB与△COD同色，它们共有4种涂法，对每一种涂法，△BOC与△AOD各有3种涂法，所以此时共有4×3×3＝36(种)涂法．②若△AOB与△COD不同色，它们共有4×3＝12(种)涂法，对每一种涂法△BOC与△AOD各有2种涂法，所以此时有4×3×2×2＝48(种)涂法．故相邻三角形均不同色的概率例2 盒中有6只灯泡，其中2只次品，4只正品，有放回地从中任取2次，每次只取1只，试求下列事件的概率：(1)取到的2只都是次品；(2)取到的2只中正品、次品各1只；(3)取到的2只中至少有1只正品．解：从6只灯泡中有放回地任取2次，每次只取1只，共有62＝36(种)不同取法．

高一数学必修3古典概型知识点

高一数学必修3古典概型知识点基本事件的定义：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件。古典概型：如果一个随机试验满足：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个； (2)每个基本事件的发生都是等可能的；那么，我们称这个随机试验的概率模型为古典概型. 古典概型的概率：如果一次试验的等可能事件有n个，那么，每个等可能基本事件发生的概率都是如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件，那么事件A发生的概率为古典概型解题步骤： (1)阅读题目，搜集信息； (2)判断是否是等可能事件，并用字母表示事件； (3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m； (4)用公式求出概率并下结论。

求古典概型的概率的关键：求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。高一数学必修3几何概型知识点几何概型的概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)称比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型。几何概型的概率：一般地，在几何区域D中随机地取一点，记事件"该点落在其内部一个区域d内"为事件A，则事件A发生的概率说明：(1)D的测度不为0； (2)其中"测度"的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的"测度"分别是长度，面积和体积； (3)区域为"开区域"； (4)区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关。几何概型的基本特点： (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等。相互独立事件的定义：如果事件A(或B)是否发生对事件B(A)发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。若A，B是两个相互独立事件，则A与与

精品教案：古典概型与几何概型

古典概型与几何概型【知识网络】 1．理解古典概型，掌握古典概型的概率计算公式；会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。 2．了解随机数的概念和意义，了解用模拟方法估计概率的思想；了解几何概型的基本概念、特点和意义；了解测度的简单含义；理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。【典型例题】 [例1]（1）如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（） A ． 4 9 B ．2 9 C ．23 D ．13 （2）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6），骰子朝上的面的点数分别为X 、Y ，则1log 2 Y X 的概率为（） A ． 6 1 B ． 36 5 C ． 12 1 D ． 2 1 （3）在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2 与81cm 2之间的概率为（） A ． 5 6 B ． 12 C ．13 D ． 16 （4）向面积为S 的△ABC 内任投一点P ，则随机事件“△PBC 的面积小于3 S ”的概率为．（5）任意投掷两枚骰子，出现点数相同的概率为． [例2]考虑一元二次方程x 2+mx+n=0，其中m ，n 的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率。 [例3]甲、乙两人约定于6时到7时之间在某地会面，并约定先到者应等候另一个人一刻钟，过时即可离去．求两人能会面的概率．

高二数学古典概型知识点归纳

高二数学古典概型知识点归纳数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。小编准备了高二数学古典概型知识点，具体请看以下内容。一.【课标要求】 1.在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别; 2.通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式; 3.通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。二.【命题走向】本讲内容在高考中所占比重不大，纵贯近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性预测(1)对于理科生来讲，对随机事件的考察，结合选修中排列、组合的知识进行考察，多以选择题、填空题形式出现; (2)对概率考察的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算为主，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主三.【要点精讲】 1.随机事件的概念在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件。

(1)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件; (2)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件; (3)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件 2.随机事件的概率事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率,记作P(A)。由定义可知01，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。 3.事件间的关系 (1)互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件; (2)对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件; (3)包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B(或事件B包含事件A); 4.事件间的运算 (1)并事件(和事件) 若某事件的发生是事件A发生或事件B发生，则此事件称为事件A与事件B的并事件。注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式： P(A+B)=P(A)+P(B)(A、B互斥);且有P(A+ )=P(A)+P( )=1。 (2)交事件(积事件)

概率论知识点复习总结

概率论知识点总结第一章随机事件及其概率第一节基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω. 样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间. 样本空间用Ω表示. 一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件—单点集，复合事件—多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件 A 发生必然导致事件B 发生，则称B 包含A ，记为A B ?或 B A ?。相等关系：若A B ?且B A ?，则称事件A 与事件B 相等，记为A ＝B 。事件的和：“事件A 与事件B 至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A 与事件B 的和事件。记为 A ∪B 。事件的积：称事件“事件A 与事件B 都发生”为A 与B 的积事件，记为A∩ B 或AB 。事件的差：称事件“事件A 发生而事件B 不发生”为事件A 与事件B 的差事件,记为 A －B 。用交并补可以表示为B A B A =-。互斥事件：如果A ，B 两事件不能同时发生，即AB ＝Φ，则称事件A 与事件B 是互不相容事件或互斥事件。互斥时B A ?可记为A ＋B 。对立事件：称事件“A 不发生”为事件A 的对立事件（逆事件），记为A 。对立事

高考统计知识点汇总

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第二章：统计 1、抽样方法： ①简单随机抽样（总体个数较少） ②系统抽样（总体个数较多） ③分层抽样（总体中差异明显）注意：在N 个个体的总体中抽取出n 个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均为 N n 。 2、总体分布的估计： ⑴一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 ⑵茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。 3、总体特征数的估计： ⑴平均数：n x x x x x n ++++=Λ321；取值为n x x x ,,,21Λ的频率分别为n p p p ,,,21Λ，则其平均数为 n n p x p x p x +++Λ2211；注意：频率分布表计算平均数要取组中值。 ⑵方差与标准差：一组样本数据n x x x ,,,21Λ方差：2 1 2)(1 ∑=-= n i i x x n s ；标准差：2 1 )(1∑=-= n i i x x n s 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平。 ⑶线性回归方程 ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系； ②制作散点图，判断线性相关关系 ③线性回归方程：a bx y +=∧ （最小二乘法） 1 221 n i i i n i i x y nx y b x nx a y bx ==? -? ?=??-??=-??∑∑注意：线性回归直线经过定点),(y x 。第三章：概率 1、随机事件及其概率： ⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母表示；⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点； ⑶随机事件A 的概率：1)(0,)(≤≤= A P n m A P . 2、古典概型： ⑴基本事件：一次试验中可能出现的每一个基本结果；⑵古典概型的特点： ①所有的基本事件只有有限个； ②每个基本事件都是等可能发生。 ⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事件共有n 个，事件A 包含了其中的m 个基本事件，则事件A 发生的概率n m A P = )(. 3、几何概型：⑴几何概型的特点：①所有的基本事件是无限个；②每个基本事件都是等可能发生。

概率论与数理统计知识点总结(超详细版)

徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P （3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y （n 可以取∞） 2．概率的一些重要性质：（i ） 0)(=φP （ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( Y （n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）

古典概型知识点与习题

古典概型 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 知识聚焦不简单罗列古典概型（1）基本事件的特点：①任何两个基本事件是的.②任何事件（除不可能事件）都可以表示成的和. （2）古典概型的特点： ①试验中所有可能出现的基本事件只有个，即. ②每个基本事件出现的可能性，即. （3）概率公式：P（A）＝. 正本清源不单纯记忆 ■链接教材 1.[教材改编]从字母a，b，c，d中任意取出两个不同字母的试验中，基本事件共有个. 2.[教材改编]抛掷质地均匀的一枚骰子一次，出现正面朝上的点数大于2且小于5的概率为. ■易错问题 3.等可能事件：等可能性. 从两男两女四人中任意抽取两个人，出现的结果：①两男；②两女；③一男一女，其中概率相等的事件为. 4.古典概型：关键在于基本事件的计数. 从1，3，5，7中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是. ■通性通法 5.古典概型：基本事件的个数；古典概型概率公式. [2015·昆明模拟]投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1，2，3，4，5，6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于12的概率为. 6.小明的自行车用的是密码锁，密码锁的四位数码由4个数字2，4，6，8按一定顺序构成，小明不小心忘记了密码中4个数字的顺序，随机地输入由2，4，6，8组成的一个四位数，不能打开锁的概率是.

探究点一基本事件及事件的构成 1做抛掷两颗骰子的试验，用（x ，y ）表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，写出：（1）试验的基本事件；（2）事件“出现点数之和大于8”包含的基本事件；（3）事件“出现点数相等”包含的基本事件；（4）事件“出现点数之和大于10”包含的基本事件. [总结反思]求一个试验包含的所有基本事件时，需要将该试验的所有可能情况一一列出，不重不漏，也可采用列表法或树状图法找出基本事件. 式题将一枚质地均匀的硬币抛掷三次，观察向上一面的正反. （1）试用列举法写出该试验所包含的基本事件；（2）事件A ：“恰有两次正面向上”包含几个基本事件；（3）事件B ：“三次都正面向上”包含几个基本事件. 2（1）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（） A .310 B .15 C .110 D .120 （2）]已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为（） A .0.4 B .0.6 C .0.8 D .1

古典概型、几何概型复习知识点和综合习题集

知识点一：变量间的相关系数 1.两变量之间的关系 (1)相关关系——非确定性关系 (2)函数关系——确定性关系 2.回归直线方程：∧ ∧∧+=a x b y ?????????-=--=---=∧∧====∧∑∑∑∑x b y a x n x y x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i ,)())((1221 121 例题分析例1：某种产品的广告费x （单位：百万元）与销售额y （单位：百万元）之间有一组对应数据如下表所示，变量y 和x 具有线性相关关系： x （百万元） 2 4 5 6 8 y （百万元） 30 40 60 50 70 （1 针对练习 1、对变量x, y 有观测数据理力争（，）（i=1,2,…，10），得散点图左；对变量u ，v 有观测数据（，）（i=1,2,…，10）,得散点图右. 由这两个散点图可以判断（）（A ）变量x 与y 正相关，u 与v 正相关（B ）变量x 与y 正相关，u 与v 负相关（C ）变量x 与y 负相关，u 与v 正相关（D ）变量x 与y 负相关，u 与v 负相关 2．在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是（）（1）（2）（3）（4 A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（4） D ．（2）（3） 3. 下表是某小卖部一周卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃ 18 13 10 4 -1 杯数 24 34 39 51 63 ）

A. B. C. D. 知识点二：概率一、随机事件概率：事件：随机事件：可能发生也可能不发生的事件。确定性事件: 必然事件（概率为1）和不可能事件（概率为0）（1）必然事件：在条件S下，一定会发生的事件，叫相对于条件S的必然事件；（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件；（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S的随机事件；随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件在次实验中发生了次，当实验的次数很大时，我们称事件A发生的概率为说明：①一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ②不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值二、概率的基本性质：基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，那么称事件A与事件B互斥；（3）若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件；（4）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P(A∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B) 概率必须满足三个基本要求：①对任意的一个随机事件，有 ② ③如果事件（概率加法公式）互斥事件：不能同时发生的两个事件称为互斥事件对立事件：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事件，事件的对立事件记为：互斥事件和对立事件的区别： ①若可能都不发生，但不可能同时发生，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集 ②对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生 ③对立事件一定是互斥事件 ④从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集，而两个互斥事件的并集不一定是全集

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