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角平分线辅助线专题
引例.
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中考常考几何模型 专题16 角平分线四大模型 1、角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点 P 作 PA⊥OM 于点 A，PB⊥ON 于点 B。 结论：PB=PA。 2、截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点 A 是射线 OM 上任意一点，在 ON上截取 OB=OA，连接 PB。结论：△OPB≌△OPA。 3、角平分线+垂线构造等腰三角形 如图，P 是∠MO 的平分线上一点，AP⊥OP 于 P 点，延长 AP 于点 B。 结论：△AOB 是等腰三角形。 4、角平分线+平行线 如图，P 是∠MO 的平分线上一点，过点 P 作 PQ∥ON，交 OM 于点 Q。结论：△POQ 是等腰三角形。
模型精练： 1．（2019?东平县二模）如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝（） A．40°B．45°C．50°D．60° 【点睛】根据外角与内角性质得出∠BAC的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP＝∠F AP，即可得出答案 【解析】解：延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC， 设∠PCD＝x°， ∵CP平分∠ACD， ∴∠ACP＝∠PCD＝x°，PM＝PN， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠PBC，PF＝PN，
∴PF＝PM， ∵∠BPC＝40°， ∴∠ABP＝∠PBC＝∠PCD﹣∠BPC＝（x﹣40）°， ∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°， ∴∠CAF＝100°， 在Rt△PF A和Rt△PMA中， {PA=PA PM=PF， ∴Rt△PF A≌Rt△PMA（HL）， ∴∠F AP＝∠P AC＝50°． 故选：C． 2．（2019?桂平市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝12cm，BD＝8cm，那么点D到直线AB的距离是（） A．2cm B．4cm C．6cm D．10cm 【点睛】先求出CD的长，过点D作DE⊥AB于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得DE＝CD，从而得解． 【解析】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，
人教版八年级上第十二章 全等三角形 12.7 角平分线辅助线添加方法 教师： 学生： 时间： 教学目标：学会解平面几何题常用辅助线作法——题中有角平线的时。 重难点：根据平面几何题中有角平分线时——采用相对应的辅助作法。 知识回顾与新知识准备 【回顾要点】 角平分线的性质： 1、 2、 3、 【新知识】 角平分线辅助线添加1：角分线上点向角两边作垂线构全等 【知识要点】 角分线上点向角两边作垂线构全等：过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上 的点到两边距离相等的性质来证明问题。 【典型例题】 【例1】如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD A B C D
1、如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC＋∠ABC＝180度，CE⊥AD于E，猜想AD、AE、AB之间的数量关系，并证明你的猜想， 2、如图，已知∠B=∠C=90。，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，探究线段BM与CM的关系，说明理由。 【例2】如图，△ABC中，AD是∠A的平分线，E、F分别为AB、AC上一点，且∠EDF＋∠BAF=180°，求证：DE=DF. 举一反三：如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延长线于G，求证：BF=CG. 角平分线辅助线添加方法2------截取构全等 E B A C D B C M A D
【知识要点】 截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ， 从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 【典型例题】 【例1 方法2】如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD 图1-1 O A B D E F C A B C D
几何证明——角平分线模型(高级) 【经典例题】 例1、已知如图，ABC ?中，BC AC =，AD 平分CAB ∠，若ο 100=∠C ，求证：CD AD AB +=。 例2、如图，已知在ABC ?中，ο 60=∠B ，ABC ?的角平分线CE AD ,相交于点O ，求证：AC CD AE =+。 E O B 例3、如图，BD 平分ABC ∠，?=∠45ADB ，BC AE ⊥，求AED ∠. A B C D 例4、已知，如图ABC ?中，AD 为ABC ?的角平分线，求证：BD AC DC AB ?=?．
例5、如图，已知P 为锐角△ABC 内一点，过P 分别作AB AC BC ，，的垂线，垂足分别为F E D ，，，BM 为ABC ∠的平分线，MP 的延长线交AB 于点N ；如果PF PE PD +=，求证：CN 是ACB ∠的平分线。 A B C N M P D E F 例6、如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，DC AB =，?=∠80ABC ，E 是腰CD 上一点，连接BE 、AC 、 AE ，若?=∠60ACB ，?=∠50EBC ，求EAC ∠的度数． B C E 例7、已知：ABC ?中，BC AB <，AC 的中点为M ，AC MN ⊥交ABC ∠的角平分线于N ． （1）如图1，若?=∠60ABC ，求证：BN BC BA 3= +；
（2）如图2，若?=∠120ABC ，则BA 、BC 、BN 之间满足什么关系式，并对你得出的结论给予证明． A C 【提升训练】 1、在ABC ?中，AB AC >，AD 是BAC ∠的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB AC PB PC ->-． B 2、如图，在ABC ?中，A ∠等于ο 60，BE 平分CD ABC ,∠平分ACB ∠，求证：EH DH =。 3、如图所示，在ABC ?中，AD 平分BAC ∠，AD AB =，CM AD ⊥于M ，求证：2AB AC AM +=。
由角平分线想到的辅助线 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ， 并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠ABC ， CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB +CD 。 分析：此题中就涉及到角平分线，可以利用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题中常用到的方法是延长法或截取法来证明，延长短的线段或在长的线段长截取一部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线 图1-1 B 图 1-2 D B C
段的相等，延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等，进而达到所证明的目的。 简证：在此题中可在长线段BC 上截取BF=AB ，再证明CF=CD ，从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE 与CD 的延长线交于一点来证明。自已试一试。 例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥A C 分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形。构造的方法还是截取线段相等。其它问题自已证明。 例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：A B-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 练习 A B C 图1-4 A B C
第一章 遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法： 一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线 ，补得等腰现 例1．已知如图，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求AC ． 邦德点拨：过点D 作DE ⊥AB ，则DE=CD ，AE=AC ， 再利用方程思想、勾股定理解AC ． B E D C
练习1：已知如图，P 为△ABC 两外角∠DBC 和∠ECB 平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC ． 例2．已知如图，AB//CD ，BE 平分∠ABC ，CE 平分∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD ． 邦德点拨：在BC 上截取BF=BA ，问题转化为证CF=CD ． 练习2．已知如图，AD 是△ABC 的内角平分线，P 是AD 上异 A B C E D P A P C B E D A F B
于点A的任意一点，，试比较PB-PC与AC-AB的大小，并说明理由．
例3．已知如图，在△ABC 中（AB AC ），D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF//BA 交AE 于点F ，DF=AC ，求证：AE 平分∠BAC ． 邦德点拨：过C 点作AB 平行线交AE 延长线于点G ， 则∠G=∠BAE ，接下只需证∠G=∠CAE ． 练习3．已知如图，过△ABC 的边BC 的中点D 作∠BAC 的平分线AG 的平行线，交AB 、BC 及CA 的延长线于点E 、D 、F ．求证：BE=CF ． A E F B C D G F A E B C G D
角平分线四大模型 模型一： 这个模型的基本思想是过角平分线上一点P 作角两边的垂线。如图中PA ⊥OA ，PB ⊥OB 。容易通过全等得到PA=PB （角平分线性质）。 注意：题目一般只有一条垂线，需要自行补出另一条垂线。甚至只给你一条角平分线，自行添加两条垂线。 例题1：AF 是△ABC 的角平分线。P 是AF 上任意一点。过点P 作AB 平行线交BC 于点D ，作AC 的平行线交BC 与点E 。证明：点F 到DP 的距离与点F 到EP 的距离相等。 拓展，如果点P 在AF 延长线上，结论是否依然成立？ 例题2：如图正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E ，若点P 、Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ+PQ 的最小值是__2√2__ E
模型二： 这个模型的基础是，在角平分线上任意找一点P ，过点P 作角平分线的垂线交角的两条边与A 、B 。这样就构造出了一个等腰三角形AOB ，即OA=OB 。这个模型还可以得到P 是AB 中点。 注意：这个模型与一之间的区别在于垂直 的位置。并且辅助线的添加方法一般是延长一段与角平分线垂直的线段。如图中的PB 。 例题1：如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD 垂直AD 于点D ，H 是BC 的中点。 求证：DH=1/2（AB-AC ） 提示：要使用到三角形中位线的性质，即三角形中位线是对应边的一半。 模型三： 这个模型的基础是在角的两边分别截取OA=OB ，然后在对角线上取任意一点P ，连接AP ，BP 。容易证得△APO ≌△BPO 。 注意：一般这样的模型最容易被孩子忽略，因为这个模型里没有的角度，因而对于孩子而言添出PB 这条辅助线是有难度的。添加这条辅助线的基本思想是在ON 上截 取OB ，使得AP=BP 。从而构造出一个轴对称。这样的模型一般会出现在截长补短里。 B B N
第一章遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法：一．点在平分线，可作垂两边 二．角边相等，可造全等 三．平分加平行，可得等腰形 四．平分加垂线，补得等腰现
练习1：已知如图，P为△ABC两外角∠DBC和∠ECB平分线的交点，求证：AP 平分∠BAC．
例3．已知如图，在△ABC中（AB≠AC），D、E在BC上，且DE=EC，过D作
例4．如图，ΔABC 中，过点A 分别作∠ABC, ∠ACB 的外角的平分线的垂线AD 、AE ，D 、E 为垂足．求证： （1）ED//BC ； （2）ED=2 1（AB+AC+BC ）． 邦德点拨：延长AD 、AE 交直线BC 于F 、G ， 可证得△BAF 、△CAG 为等腰三角形． 练习4．已知如图，等腰Rt △ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，CE ⊥BD ，垂足为点E ，求证：BD=2CE ． 【homework 】 1．已知如图，在△ABC 中，BD 、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB ，DE//AB ，FD//AC ．如 果BC=6，求△DEF 周长． 2．已知如图，四边形ABCD 中，∠B+∠D=180°，BC=CD ．求证：AC 平分∠BAD ． A D E C B A E D F G C B A D F E C B
B C A D
3．已知如图，∠BAD=∠CAD ，AB>AC ，CD ⊥AD 于点D ，H 是BC 中点，求证：DH=2 1(AB-AC)． 4．如图，ABC ?中，AM 平分A ∠，BD 垂直于AM ，交AM 延长线于点D ，DE∥CA 交AB 于E ．求证：AE=BE ． 5．已知CE 、AD 是△ABC 的角平分线，∠B=60°，求证：AC=AE+CD ． A B H D C A E C M B D A E B D C
全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有△OED≌△OFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。 例1．如图1-2，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。 例2．已知：如图1-3，AB=2AC，∠BAD=∠CAD，DA=DB，求证DC⊥AC B 图1-2 D B C
例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢？ 练习 1． 已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B= 2∠C ，求证：AB+BD=AC 2． 已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ， 求证：AE=2CE 3． 已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。 求证：BM-CM>AB-AC 图1-4 A B C
角平分线四大模型 模型1 角平分线上的点向两边作垂线 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。 结论：PB=PA 。 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 模型实例 （1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D 到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。 求证：AP 平分∠BAC 。 热搜精练 1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。 求证：∠BAD+∠BCD=180°。 2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。 N M O A B P 2图4321A C P B D A B C 图1A B D C
模型2 截取构造对称全等 如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。 结论：△OPB ≌△OPA 。 模型分析 利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 模型实例 （1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点 A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由； （2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。 热搜精练 1．已知，在△ABC 中，∠A=2∠B ，CD 是∠ACB 的平分线，AC=16，AD=8。 求线段BC 的长。 A B D C P P O N M B A 图2D P A B C D C 1图P B A A B C D
每日一题：三角形中角平分线的基本模型 武穴市百汇学校徐国纲 在初中阶段，角平分线问题涉及角度的计算和证明。经过总结归纳，有相当部分可以转化为基本模型，掌握这些模型，可以为我们迅速找到解题思路，形成良好的数学思维习惯奠定基础。下面举例说明。 【模型一】角平分线+垂直一边 若PA⊥OM于点A，如图a，可以过P点作PB⊥ON于点B，则PB=PA。可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”，显然这个基本图形中可以利用角平分线的性质定理，也可以得到一组全等三角形； 【模型二】角平分线+斜线 若点A是射线OM上任意一点，如图b，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△OPB≌△OPA。可记为“图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。 【模型三】角平分线+垂线 若AP⊥OP于点P，如图c，可延长AP交ON于点B，构造△AOB是等腰三角形，P是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”，实际上这是“两线合一”的一种情形，这个图形中隐含着全等和等腰三角形； 【模型四】角平分线+平行线 若过P点作PQ∥ON交OM于点Q，如图d，可以构造△POQ是等腰三角形，可记为“角平分线+平行线，等腰三角形必呈现”，这个基本图形使用频率那是相当的高，切记。 【模型五】角平分线+对角互补 若∠A+∠C=180°，BD是∠ABC的平分线，则AD=CD． 【模型六】夹角模型 ①BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=90°+1 2 ∠A． ②BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线，则：∠P=1 2 ∠A．
BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线，则：∠D=90°-1 2 ∠B．
一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥O B，交OA于点 E，则EO=EP. A A A E P C E C D F E P O B B C O F B 图1 图2 图 3 例1 如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF，PE=PF. 例2 如图4，BD是∠ABC的平分线， AD⊥BD，垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右
边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB /D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E A P / B C D B / B C 图5 图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点. 求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距 2 1F E D C B A N P E D C B A A B D C E F 图
角平分线四大模型 模型1 角平分线的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，则PB＝PA 模型分析 利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口 模型实例 （1）如图①，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BC＝6,BD＝4,那么点D到直线AB的距离是 解答：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AD平分∠CAB,∴CD＝DE. ∵CB＝6,BD＝4,∴DE＝CD＝2，即点D到直线AB的距离是2. （2）如图②，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠BAC 证明：如图，过点P作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F， ∵∠1＝∠2，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4, ∴PE＝PF，∴PD＝PF 又∵PD⊥AB，PF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定） 练习 1、如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD＝DC,BD平分∠ABC ， 求证：∠BAD＋∠BCD＝180°
证明：作DE⊥BC于E，作DF⊥BA的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°, ∵BD平分∠ABC,∴DF＝DE，又∵AD＝DC，∴△DFA≌DEC,∴∠FAD＝∠C ∵∠FAD＋∠BAD＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180° 2.如图，△ABC的外角∠ACD∠的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP相交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP ＝ . 解答：如图所示，作PN⊥BD于N，作PF⊥BA，交BA延长线于F，作PM⊥AC于M ∵BP、CP分别是∠CBA和∠DCA的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP,∠DCP＝∠ACP， PF＝PN＝PM，∵∠BAC＝∠ACD－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质) ∴∠BAC＝2∠PCD－2∠PBC＝2(∠PCD－∠PBC)＝2∠BPC＝80° ∴∠CAF＝180°－∠BAC＝100°，∵PF＝PM ∴AP是∠FAC的角平分线，∴∠CAP＝∠PAF＝50° 模型2 截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,连接PB，则△OPB ≌△OPA
支付宝首页搜索“ 933314”领红包，每 天都能领。付款前记得用红包 第二讲角平分线模型的构造 3月 角平分线 (l)定义：如图2-1，如果∠AOB ＝∠BOC ，那么∠AOC=2∠AOB=2∠BOC ，像OB 这样，从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的角平分线． (2)角平分线的性质定理 ①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个角分成两个相等的角， ②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等． (3)角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上， 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的四大基本模型， 已知P 是∠MON 平分线上一点， (l)若PA ⊥OM 于点A ，如图2-2(a)，可以过P 点作PB ⊥ON 于点B ，则PB=PA.可记为“图中有角平分线，可向两边作垂线”． (a) O (b) (2)若点A 是射线OM 上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON 上截取OB=OA ，连接PB ，构造△OPB ∽△OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对 折看，对称以后关系现”． (3)若AP ⊥OP 于点P ，如图2-2(c)，可以延长AP 交ON 于点B ，构造△AOB 是等腰三角形，P 是底边AB 的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”． (c) O (d) O (4)若过P 点作PQ ∥ON 交OM 于点Q ，如图2-2(d)，可以构造△POQ 是等腰三角形，可记为“角平分线十平行线，等腰三角形必呈现”． 例1 (1)如图2-3(a)，在△ABC 中，∠C=90。，AD 平分∠CAB ，BC=6cm ，BD=4cm ，那么点D 到直线AB 的距离是（ ）cm. 图2-3 （a ） (2)如图2-3(b)，已知：∠1=∠2，∠3=∠4， 求证：AP 平分∠BAC ． 图2-3（b ）
和角平分线有关的辅助线 未命名 一、单选题 1．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ， E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作E F ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ；②∠BCE +∠BCD =180°；③AD=AE ；④BA +BC =2BF ．其中正确的是（ ） A ．①②③ B ．①③④ C ．①②④ D ．①②③④ 2．如图，ABC ?中，135ACB ∠=?，CD AB ⊥，垂足为D ，若6AD =，20BD =，则CD 的长为（ ） A ．22 B ．32 C ．72 D ．4 3．如图，Rt ACB 中，90ACB ?∠=，ABC 的角平分线AD 、BE 相交于点P ，过P 作PF AD ⊥交BC 的延长线于点F ，交AC 于点H ，则下列结论： ①135APB ?∠=；②PF PA =；③AH BD AB +=；④S 四边形2 3ABDE S ABP = ，其中正确的个数是（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1
二、解答题 4．如图，ABC 的外角∠DAC 的平分线交BC 边的垂直平分线于P 点， PD ⊥AB 于D ，PE ⊥AC 于E ． （1）求证：BD ＝CE ； （2）若AB ＝6cm ，AC ＝10cm ，求AD 的长． 5．（特例感知） （1）如图（1），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为直径，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，3CD =，4BD =，求点D 到直线AB 的距离． （类比迁移）（2）如图（2），ABC ∠是O 的圆周角，BC 为O 的弦，BD 平分ABC ∠交O 于点D ，过点D 作DE BC ⊥，垂足为点E ，探索线段AB ，BE ，BC 之间的数量关系，并说明理由． （问题解决）（3）如图（3），四边形ABCD 为O 的内接四边形，90ABC ∠=?，BD 平分ABC ∠，72BD =，6AB =，求ABC 的内心与外心之间的距离． 6．如图，在ABC 中，AB AC =，100A ∠=?，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD 至点E ，DE AD =，试求ECA ∠的度数． 7．在平面直角坐标系中，点()5,0A -，()0,5B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，过点
D A B C 角平分线专题 1、 轴对称性： 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形 基本结构：如图， 2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。 4、 补充性质：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则有AB:AC=BD:DC 针对性例题： 例题1：如图，AB=2AC ,∠BAD=∠DAC,DA=DB 求证：DC ⊥AC
B 例题2：如图，在△ABC 中，∠A 等于60°，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB 求证：DH=EH 例题3：如图1，BC ＞AB ，BD 平分∠ABC ，且∠A+∠C=1800， 求证：AD=DC ．： 思路一：利用“角平分线的对称性”来构造 因为角是轴对称图形，角平分线是其对称轴，因此，题中若有 角平分线，一般可以利用其对称性来构成全等三角形． 证法1：如图1，在BC 上取BE=AB ，连结DE ，∵BD 平分 ∠ABC ，∴∠ABD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠A=∠DBE ，AD=DE ，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC ，DE=DC ， 则AD=DC ． 证法2：如图2，过A 作BD 的垂线分别交BC 、BD 于E 、F ， 连结DE ，由BD 平分∠ABC ，易得△ABF ≌△EBF ，则AB=BE ， BD 平分∠ABC ，BD=BD ，∴△ABD ≌△EBD （SAS ）， ∴AD=ED ，∠BAD=∠DEB ，又∠BAD+∠C=1800， ∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC ，则DE=DC ，∴AD=DC ． 说明：证法1，2，都可以看作将△ABD 沿角平分线BD 折向BC 而构成 全等三角形的． 证法3：如图3，延长BA 至E ，使BE=BC ，连结DE ， ∵BD 平分∠ABC ，∴∠CBD=∠DBE ，又BD=BD ，∴△CBD ≌△EBD （SAS ）， ∴∠C=∠E ，CD=DE ，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800， ∴∠E=∠DAE ，DE=DA ，则AD=DC ． 说明：证法3是△CBD 沿角平分线BD 折向BA 而构成全等三角形的． B A C D E 图1 B A C D E F 图2 B A C D E 图3
角平分线垂直平分线及辅 助线专题 Prepared on 22 November 2020
1在ABC 中，90C ∠=°，AD 是CAB ∠的平分线，DE AB ⊥于E ，且4BE cm =，5BD cm =则，BC =＿＿＿＿＿＿＿ 2.如图，已知,AC BC AD ⊥平分,BAC DE AB ∠⊥，下列结论正确的是（ ） A BD+ED=BC B DE 平分ADB ∠ C DA 平分EDC ∠ D D E AC AD +> 3.如图ABC 中，90C ∠=°，AD 平分BAC ∠，交BC 于D ，若 10,6BC BD ==，则点D 到AB 的距离是 4.如图所示，ABC 中，90C ∠=°，,AC BC AD =平分CAB ∠，交BC 与点D ，DE AB ⊥垂足与E ，且6AB cm =，则DEB 的周长为＿＿＿＿ 5.在ABC 中，90ACB ∠=°，4,3AC BC ==，AD 平分CAB ∠，交BC 于点D ，若DE AB ⊥，垂足为E ，求BDE 的周长＿＿＿＿＿
6.如图，ABC 中，90C ∠=°， ,AC BC AD =平分CAB ∠交BC 于点D ， DE AB ⊥，垂足为E ，且4AB =，则DEB 的周长为＿＿＿ 7.如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，BE 平分 ,ABC DE AB ∠⊥于D ，如果 6,10,BC cm AB cm ==求①AE DE +的长②DE 的 长 8.如图所示，105BAC ∠=°，若PM 和NQ 分别垂直平分AB 和AC ，求PAQ ∠的度数 9.如图，ABC 中，125BAC ∠=°，AB 边的垂直平分线交BC 于E ，垂足为M ，AC 边的垂直平分线交BC 于F ，垂足为N ，求EAF ∠的度数
角平分线四大模型 模型一：角平分线上的点向两边作垂线 如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM于点A,PB⊥ON于点 B,则PB=PA. 模型分析：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。 例1：（1）如图①，在△ABC,∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到AB的距离是___cm (2)如图②，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC. 练习1 如图，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC. 求证：∠BAD+∠C=180° 练习2 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=（）
模型二：截取构造对称全等 如图，P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上 截取OB=OA，连接PB，则△OPB△OPA. 模型分析：利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 例2：(1)如图①所示，在△ABC中，AD是△BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB+PC与AB+AC的大小，并说明理由． (2)如图②所示．AD是△ABC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC -PB与AC-AB的大小，并说明理由． 练习 3 已知：△ABC中，∠A=2∠B，CD是∠ACB的平分线，AC=16，AD=8，求线段BC的长。 练习4 已知,如图AB=AC,∠A=108°，BD平分∠ABC交AC于D，求证：BC=AB+CD. 练习5 如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE=AD.求证：BC=AB+CE.
邦德点拨：过点 D 作 DEL AB 」DE=CD AE=AC 再利用方程思想、勾股定理解 AC. 练习1:已知如图，P ABC 两外角/ DBC 和/ ECB 平分线的交点，求证: ?角边相等，可造全等 在角的两边取相等线段，可得全等三角形. 如图，若 0P 为/ AOB 角平分线，可在 0B 上取OF=OE 则可用结论有：（1）证得△ 0卩瞪厶OPE 第一章 遇角平分线常用辅助线 【添法透析】 角相等时，添线段可构造线段相等、三角形全等或相似，常用有如下四大添法: ?点在平分线，可作垂两边 ?角边相等，可造全等 ?平分加平行，可得等腰形 四?平分加垂线，补得等腰现 ?点在平分线，可作垂两边 例1 ?已知如图, O 在厶 ABC 中，/ C=90 °，AD 平分/ CAB ，CD=1.5，BD=2.5，求 AC . AP 平 C . BA D A A B D E C C
(2) 证得PF=PE OF=OE (3)证得/ PFO=Z PEO / OPF=/ OPE 例2.已知如图，AB//CD , BE平分/ ABC, CE平分/ BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD 邦德点拨：在BC上截取BF=BA问题转化为证CF=CD 练习2.已知如图，AD是厶ABC的内角平分线，P是AD上异于点与AC- AB的大小，并说明理由. 三?平分加平行，可得等腰形 1?过角平分线上一点，作角的一边平行线，可构造得等腰三角形或相 似； 则可用结论有：（1）证得△ OEF是等腰三角形； 1 （2）证得/ E=^ / AOB A B F C P A 的任意一点，E，试 如图，若OP为/ AOB平分线，过直线OB上一点E，作OP平行线交OA于点F，
第二讲角平分线模型的构造3月 角平分线 (I)定义：如图2-1，如果/ AOB = / BOC，那么/ A0C=2 / AOB=2 / BOC，像OB 这样，从一个角的 顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫 作这个角的角平分线. ⑷若过P点作PQ// ON交OM于点Q,如图2-2(d)， 可以构造厶POQ是等腰三角形，可记为“角平分线 十平行线，等腰三角形必呈现” ? 例1 (1)如图2-3(a),在厶ABC 中，/ C=90。，AD 平分 / CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D 到直线AB的距离是( )cm. (2)角平分线的性质定理 ①如果一条射线是一个角的平分线，那么它把这个 角分成两个相等的角， ②在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相 等. (3)角平分线的判定定理 ①在角的内部，如果一条射线的端点与角的顶点重 合，且把一个角分成两个等角，那么这条射线是这 个角的平分线， ②在角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个 角的平分线上， 与角平分线有关的常用辅助线作法，即角平分线的 四大基本模型， 已知P是/ MON平分线上一点， (I)若PA丄OM于点A，如图2-2(a)，可以过P点作 PB丄ON于点B，贝U PB=PA.可记为“图中有角平 分线，可向两边作垂线” 图2-3 (a) ⑵如图2-3(b)，已知：/仁/2，Z 3=Z4, 求 证：AP平分/ BAC . ⑵若点A是射线OM上任意一点，如图2-2(b)，可以在ON上截取OB=OA，连接PB，构造△ OPB OPA.可记为“图中有角平分线，可以将图对折看，对称以后关系现”. ⑶若AP丄OP于点P,如图2-2(c)，可以延长AP 交ON于点B，构造△ AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可记为“角平分线加垂线，三线合 、亠、亠K ” (b)
1 一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作PE ∥OB ，交OA 于点E ，则EO=EP. A A A E P C E C D F E P O B B C O F B 图1 图2 图3 例1 如图2，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点F ，过F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB 平分线OC 上的一点P ，作EF ⊥OC ，交OA 于点E ，交OB 于点F ，则OE=OF ，PE=PF. 例2 如图4，BD 是∠ABC 的平分线，AD ⊥BD ，垂足为D ，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，沿角平分线AD 将△ABD 往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD ≌△AB /D.此翻折 相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D A E A P / B C D B / B C 图5 图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证： PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ECD ． 2 1F E D C B A A B D C E F 图
角平分线的几种辅助线 作法与三种模型 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT
一、角平分线的三种“模型” 模型一：角平分线+平行线→等腰三角形 如图1，过∠AOB平分线OC上的一点P，作PE∥OB，交OA于点E，则EO=EP. AAA EPCEC DFEP OBBCOFB 图1图2图3 例1如图2，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E.求证：BD+EC=DE. 模型二：角平分线+垂线→等腰三角形 如图3，过∠AOB平分线OC上的一点P，作 EF⊥OC，交OA于点E，交OB于点F，则OE=OF， PE=PF. 例2如图4，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD， 垂足为D，求证：∠BAD=∠DAC+∠C. 模型三：角平分线+翻折→全等三角形 在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，沿角平分线AD将△ABD往右边折叠就得到如图5的图形.此时有：△ABD≌△AB/D.此翻折相当于在三角形的一边截取线段等于另一边，或延长一边等于另一边构造出相等的线段.用此方法可解决一些不相等的线段和差类问题. D AE AP /BC DB/BC
图5图6 例3 如图6，点P 是△ABC 的外角∠CAD 的平分线上的一点.求证：PB+PC>AB+AC. 二、角平分线定理使用中的几种辅助线作法 一、已知角平分线，构造三角形 1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC=3∠C ，AD 是∠BAC 的平分线，BE ⊥AD 于F 。 求证：1 ()2 BE AC AB =- 2、在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ．求证：∠ACE=∠B+∠ ECD ． 二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线段 1、如图所示，∠1=∠2，P 为BN 上的一点，并且PD ⊥BC 于D ，AB ＋BC=2BD 。 求证：∠BAP ＋∠BCP=180°。 三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段 1、如图所示，在△ABC 中，PB 、PC 分别是∠ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 2、2、如图2，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 2 1F E D C B A N P E D C B A 2 1 P F E C B A A G C H D E F 图2 A B D C E F 图