专题三：三角形中常见的辅助线的作法
一、斜边中线模型构成：RtAABC, NACB二90。，D为AB边的中点
G
目的：找等量关系，或2倍(1/2)的关系。
结果：AD=CD=BD A O
例 1 已知：ZiABC 中，NA= 60°, CE1AB, BDXAC
求证：DE=yBC A
证明：取BC中点X,连结EM,DM 夭 j
先证 EM=DM<=EM=yBC=DM 再证：N2二乃-N1-N3 之二守二也二冗一(4-2NABC) - (/T-2ZACB)二60。
则4ED弘为等边三角形，所以有DE二D行|BC
“Rt△中斜边上的中线等于斜边的一半” + “等腰对等底” + “等量代换”
例2、如图，直角三角形ABC中，NC=90。，M是AB中点，AM=AN, MN//AC
求证：MN=AC
证明：连结CM
在直角三角形ABC中，NC=90%是AB的中点/T
Z\
:.CM=^AB = AM A
又?： MN H AC
ZMCA = ZMAC = /AMN = NN \ / Q
??. SACM = AMNA
.?.MN = AC
例3己知：ZkABC中，CE_LAB,BDJ_AC, M, N分别为BC, DE的中点
求证：MN±ED
证明：连结 EM, DX 先证 EX=DMUEM=：BC=DM / \
2
后证 MN_LED UN 为中点，EM=DX
“RT△中斜边上的中线等于斜边的一半” + “三线合一定理”6而
［思考］:若aABC为钝角△,又该如何呢？在Rt△中，又是怎样？例 4 已知：在ZiABC 中，AB=AC,BD 为NABC 的角平分线,AM±BC,DE±BC, FD1BD
求证：ME= BF
4
证明：取BD、BF中点G、N,连结DN, EF, GM
先证DN=-BF 再证：DN=DC<= ZDNC=ZC=ZABC <= ①DN〃ABUN3=N1②AB
二AC
再证GM=1DC 后证 GM=ME<=ZMEG=ZMGE<= ① NGEX = N2 ② NGMB = NC 二 2N2 所以有 XE=3DC=
“RT△中斜边上的中线等于斜边的一半（2次）” + “平行线性质1” + “等腰对等底” + “三角形中位线定理” 例5如图，在AABC中，ZB=2ZC> AD±BC与D, M为BC边的中点，AB
二10cm,则MD长为多少？
解：取 AB 中点 N,连结 DN, NM,则 DN=1AB, NNDB二 NB,且NNMD二 ZC
ZNDB= NNMD+ ZDNM
ZB= ZC+ ZDNM=2 ZC 二 ZDNM=ZC=ZNDM 贝ij DM=DN=^AB
“Rt△斜边上中线等于斜边的一半” + “三角形中位线定理” + “外角性质” + “等底对等腰” 例6如图，RtAABC中，NC=90°，CD平分NC, E为AB中点，PEJ_AB,交CD延长线于P,
那么NPAC+NPBC的大小是多少？解：连结 CE ，则 NEAC=NECA /. ZDCE=
ZECA-ZDCA= ZDAC- 45° 又「 ZDAC=1800 -ZADC- 45° = 135° -ZPDE 二
ZDCE=( 135°-ZPDE)- 45()=ZDPE 贝"PE 二EC二AE 则可证 ZPAC+ /PBC =
/PAB+ NBAC+ Z PBA+ ZABC=180°
“斜边中线性质” + “对顶角相等” + “等量代换” + “三角形内角
和定理” 等腰三角形底边的中线例1、如图所示，在aABC中，AB=2AC, AD平分NBAC且
AD=BD,求证：CD±AC
A
提示：在AB上取中点E,连结DE,可得DE_LAB,并且AE二AC,
证△AEDw^ACD,则有NACD二NAED二90。，即 CD_LAC
例2如图所示，等腰直角三角形ABC, NBAC=90。，点D是BC的中点且AE=BF
求证：DE1DF 证明:连接AD
???在等腰直角三角形ABC中，AD是中线
7.AD1BC,且NDAE」NBAC = 45。，BD = AD
又ZB = ZC = 45°
/. ZB = Z.DAE
在厂和“DE中
BF=AE
< ZB =乙DAE
BD = AD
. qBDF =￡,ADE
ZBDF = ZADE
又???ZADF + /BDF= 90°
J AADE + AADF= 90°
即 OEJ.OE
二、“三线合一”模型
“角平分线” +垂线f等腰三角形”
构成：0C为NA0B的角平分线，BC_LOC于C点
目的: 构造等腰三角形
结果：⑴［边］:BC=AC, 0A=0B — 0C为AOAB的中线
⑵［角］:Z3=Z4, NAC0=900— 0C 为△ABO 的高线⑶［全等］:AACO^ABCO
例1已知：AD是AABC的NA的平分线，CD1AD于D, BE1AD于AD的延长线于E, M是BC 边上的中点。
求证:ME=MD
证明：延长CD交AB于F点，BE与AC延长线交于G点
??? D为FC中点，M为BC中点。
DM〃 A B, Z 1 =Z3
???N4+N5=90°，N2+N6=90°
Z5 =ZG = Z 6 Z4 =Z2
则N3=N4 则MD=ME
“‘三线合一'定理的逆定理” + “平行线的性质” + “等底对等
腰” 例2已知：ZiABC为等腰直角三角形，ZA=90°, N 1 =Z2,CE±BE
求证：BD=2CE
证明：延长CE、BA交于F点
先证CF=2CE
再证 RTAABD^RTACAF <= "N3=NF" +" AB二AC" +” NBAD二NCAF”
则有 BD=CF=2CE
“‘三线合一'定理的逆定理”+ "ASA=>全等”
例 3 已知：ZkABC 中，CE 平分NACB, K AE±CE, ZAED+ZCAE=180° (Z3+Z4=1800)求证:DE〃BC
证明：延长AE交BC边于F点，则有N3=N6且N3=N5
<= ① N3+N4=180°② Z4+Z5=180°
??? Z5=Z6 则 DE〃BC
“‘三线合一'定理的逆定理” + “平行线的判定”
例4已知：在△ABC中，AC〉AB,AM为NA的平分线，ADLBC于D
求证：ZMAD=y(ZB-ZC)
证明：作BE_LAM,交AC于E点，交AM于K点
先证 N3=N4UN 1 =Z2
N5=NAEB<= ①AM为角平分线②BE_LAM
后证：ZB-ZC=Z4+Z5-ZC=Z4+ZAEB -ZC=2Z4
则N3=N4=:(ZB-ZC)即NMAD=：(NB-NC) J J
“三线合一逆定理” + “平行四边形的判定”
例5已知:在AABC的两边AB、AC上分别取BD=CE, F、G分别为DE、BC的中点,NA的
平分线AT交BC于T
求证:FG/7AT
证明：作ENJ_AT于N点，交AB于L点，作CKJ_AT于K点，连结FN、GK
先证：NF〃且=4L D,KG〃且二;MB
再证：LD二MBULMRB=EC
最后证明四边形FNKG为平行四边形。
“‘三线合一'定理的逆定理” + “平行四边形判定”
例 6、如图，AB=AE, NABC=NAED, BC=ED,点 F 是 CD 的中点
(1)求证：AF1CD
(2)在你连接BE后，还能得出什么新结论？
证明：(1)连接 AC、AD,在AABC 和4AED 中，AB=AE, NABC二 NAED, BC=ED
/. ZkABC = ZkAED
???AC=AD
在等腰4ACD中，F是底边CD的中点
AAF±CD
例 7、如图，△ABC, NACB=90。，AC=BC, D 为 AC 上一点，AE_LBD 的延长线于 E,且 AE二
1BD,
2
求证：BD平分NABC
提示：分别延长AE和BC,两者相交于F
欲证BD平分NABC,只需证BE是等腰三角形底边上的高与中线，
F
蕴含着BE 是AF 的中垂线 三、三角形中位线模型 构成：△ABC 中，D 为AB 边中点
目的：找中位线，构造：①2倍关系②相似三角形 结果：①DE 〃BC,DE 二:BC ②△ADEs/\ABC
例 1 已知：在△ABC 中，AB=AC,AD_LBC 于 D,DE_LAC 于 E,F 为 DE 中点
求证：AF±BE
证明：取BE 中点H,连DH
,DE EC
先证：RtAEDH^RtAxAED 则 ——=——
AE DE
二 NEAF+NAEG = 90° 贝4 AF1BE
“AAA=>Z \s” + “中位线定理” + “(两直线)定义” 例2已知BD 、CE 为aABC 的角平分线，AF1CE 于F, AG_LCE 于F, AG_LBD 于G
求证：①FG 〃BC ② FG=： (AB+AC-BC) 证明：延长AF 、AG 分别交BC 于M 、N 两点 证G 为AN 中点 <=①BDLAN ②N1=N2
F 为AM 中点U ①N3=N4②CELAM
① 则GF 为△ANY 中位线GF 〃BC, GF=1M N Ar ② MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC
“等腰△三线合一” + “△中位线定理” + “等量代换” 思考：BD 、
CE 为外角平分线时或一内一外角平分线时，又该如何证明？ 例3已知，如图在oABCD 中，P 为CD 中点，AP 延长线交BC 延长线于E,PQ 〃CE
交DE 于Q
求证：PQ =1BC
证明：先证△ADPgZkPCE 可得 CE=AD=BC
再证PQ 为中位线，PQ^CE
MM
-AAS=>A^" + "平行四边形性质” + “△中位线定理”
2HD 2EF
RtAEDH^RtAAEF 则 ZBED= Z1
例4已知：梯形ABCD中，AB=DC,AC_LBD,E、F为腰上中点,DL J_BC, M为DL与EF的交点
求证：EF=DL
证明：取AD、EF的中点H、K,连结EH、FH、HK
易证 EH_LHF 则 HK=；EF
RT4DLC中可得M为DL中点，贝ij DM=\ DL
由题意得HK=DM则EF二DL
“三角形中位线定理（3次）” + “平行线性质” + “斜边上中线为斜边一半” 例5已知：锐角AABC中，以AB、AC为斜边向外作等腰直角△ADB, △AEC,M为
BC中点，连结DM、ME
求证：DM=EM , DM±EM
证明：取AB、AC的中点F、G,连结DF、FM、ME
先证△DFMgAMGE U① DF=GM
(2)ZDFM=ZMGE<=Z1=Z2=Z3 ③FM二GE
贝|JD)仁ME, Z4=Z5 再证NDME=N7+N1+N5=9O°,则DM±EM
［思考］:NBAC为钝角时，又该如何证明？
例6：如图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC, D是AB延长线上一点，且AB二BD, CE是腰
AB上的中线。
求证:CD=2CE
分析：要证明一条线段是另一条线段的两倍（或一条线段是另一条线段的一半）
常用的方法是构造中位线
证明：找出AC的中点F连接BF,
C
B
???A8 = AC,/是AC的中点
.?.BF =1AC
2
???AB = AC
AE = AF = BE = CF
ZABC = ZACB
BC = BC
BCE =A CBF
:.CE = BF
..CE = -CD
2
即 CD = 2CE
“补长截短”模型
（l）截长法：构成：线段a, b, c
目的：确定一线段，找令一线段的等量关系
结果：-a-//=c=>a=b+c, b=b'
（2）补短法：构成：线段a,b,c
目的：构造一等长线段，再找等量关系
结果：c=c r, b+c'二a=>a=b+c
例1已知：ZiABC中，AD平分NBAC
求：（1）若 NB=2 NC,则 AB+BD=AC
（2）若AB T BD=AC,贝i]NB=2NC
解：（1）在 AC 上取 AE=AB,连结 DE,则△AEDgAABD
??? BD=EDN3=NB, AB=AE KZ3=2ZC=Z4+ZC
则 EC=ED
AC=AE+EC=AB+BD
(2) (1)的反推过程
“SASA△全等” + “△的一外角等于与它不相邻的两内角和” + “等底。等腰”
A 例 2：在△ ABC 中，NC=2NB, AD_LBCY 于 D,求证 BD=AC+CD //N
提示：要证明一条线段等于两条线段之和的问题时要将两条线段转化到B ---------- DC 一条直线上，即选用截长补短法
延长DC至E使AC=CE证明△ ABE是等腰三角形进而证明BD=DE则问题得证
例3如图所示，等腰直角△ ABC中，/84890。过点八做直线口￡, BD_LDE于D, CEJ_DE于
E,求证：DE = BD+CE F
提示：证明 DE=BD+CE 即证△ ABDW △ CAE 则有 AD=CE, BD=AE
例 2 已知：等腰△ ABC 中，AB=AC, NA= 108, BD 平分NABC
求证：BOAB+DC
证明：在BC边上取BE=BA,连结DE,
则 AABD^AEBD =>AB = BE
再证：Z3=Z4 <=Z4=72(\ Z3=Z5-ZC=72°
，DC=EC 则 BC=BE+EC=AB-DC
“SAS =>△全等"+ “△两外角等于不相邻两内角和” + “等底对等腰”
例3、已知如图所示，在△ ABC中，AB=AC NA=100。，BD平分NABC交AC于D 求证：BOAD-BD
提示通过截长补短证明，然后和角度结合
例3 己知：在AABC的边BC上取BE=CF,过E作EH/7AB交AC于H,过F作FG/7AB交AC
求证：EH+FG=AB
证明：在AB上取BD=FG,连结DE
先证△DBE^^GFC 再推 N3二NC
再证四边形ADEH为平行四边形则FG+EH=AD+D肚AB
“SAS =>△全等” + “平行线的判定” +
“平行四边形的判定”
［思考］: ①若在AC上截取AD二EH,连DF,如何证明？
②若用以下方法添加辅助线，又该如何证明？
a. 在CA上截取CD二GF,连DF
b.延长HE至D,使ED=GF,连AD
c. 延长EH至D,使ED=AC,连CD
例4 己知：在正方形ABCD中，X是CD的中点，E是CD上一点,
且 NBAE=2NDAM
求证：AE=BC+CE
证明：取BC的中点G,连结AG
延长AB至F使AF=AE,连结FG , GE
先证N3=N5 则N3=N4=N5 后证 RTAAFG^RTAAEG 则 FG=GE
再证 RTAFBG^RTAECG 则 BF=EC
所以有 AE二AF=AB+BF=BC+CE
“SAS =>△全等” + “，三线合一'定理” + “等量代换”
［思考］:若用以下方法添加辅助线，该如何证明？
a. 在AE上截取AF二AB,取BC中点G,连结AG,GF,GE
b.延长DC至H,使CH=AB,连AH交BC于G
例5 已知：在正方形ABCD中，E为BC上任一点，NEAD的平分线交DC于F 求证：BE+DF=AE
证明：延长 CD 至 G,使 DG=BE,连结 AG,则 RTAABE^RTAADG,
得N3=N4 再证N5=N1+N4 =>AG=FG
所以有 AE二AG二AF =DF+DG=DF+BE
“平行线性质2” + “等底对等腰” + “HL=>RT△全等” “等
腰 <=> 等边”模型
角平分线+平行线一等腰△
构成：ZAOB , 0D为NAOB的角平分线
目的：构造等腰△,找等角，等边
结果：①AOEC为等腰△=>()(：=0E
②N3=NC, Z1=Z3
例 1 已知：Z^ABC 中，AB=4,AC=7,M^BC4I^t AD 平分NBAC,过 M 点作 MF〃AD, 交AC于F
求：FC的长度？
解：延长FM至N,使MF=MN,延长MF、BA交于E点
先证：△BMNg^CMF =>BN=CF , ZN=ZMFC
再证：NE二NBAD二NCAD二NCFM二NAFE二NN
=>AE=AF, BN=BE
则有：AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=XB+FC=2FC
所以有：FC 二;(AB^AC) =5. 5
“SAS =>△全等” + “平行线性质” + “对顶角相等” + “等底对等腰” 例2已知：锐角AABC 中，ZABC=2ZC, NABC 的平分线与AD 垂直，垂足为D
求证：AC=2BD
证明：过A 作BC 平行线，延长BE 交平行线于F
先证：Z\ABF 为等腰4OBF=2BD
再证：AE+EC=EF+BE <=①AE=EF <=Z3=Z4
② BE = EC <=Z2=ZC 即 AC=BF=2BD
“等底<=>等腰” + “等腰△三线合一” + “平行线性质2" 例3已知：在ZkABC 中,ZA=100°,AB=AC, BE^ZB 的平分线
求证：AE+BE=BC
过E 作ED//BC 交AB 于D,延长CA 至A 使EF=BC 连结FD DE=DB=EC
△DEF 里△ECB=>FD = BE FD=FA<=Z4=Z5=90°
所以有：AE+BE=AE+FD=AE+FA=EF 二BC
“平行线性质” + “等底 <=> 等腰” + "SAS==> △全等” 例4已知：△ABC 中，AB=AC,AD 为AABC 的角平分线，P 为BC 上一点，过P 作
AD 的平行线交BA 的延长线于E,交AC 于F 求证：2AD=PE+PF
证明：延长AD ，FP,过C 作AB 平行线，交于G 、H 点 先证：AD=DG,PH=FP <=Z1=Z2=Z3=Z4=Z5 后证：AG=EHU 四边形AEHG 为平行四边形 则有：2AD 二AG 二EH=EP+PH=EP+FP
“等底O 等腰” + “平行线性质1” + “平行四边形判定及性质” 构造等边三角形、等腰三角形 例 1、如图，已知 NABD=NACD 二60。NADB=90。-! NBDC 且 NBAC 二20。求：/ACB 的度数。
2
证明: 先证: 再证: 后证:
分析：由已知，NABD=NACD=60。联想等边三角形的内角,
而原图中没有等边三角形因此考虑添加辅助线构造等边三角形。 解：如图延长CD 到E,使CE=CA,连结AE
? / ZACD = 600 ? ?.MCE 是等边三角形 .?? Z ￡ = /ABD = 600 ? / ADB=90° - BDC 二 2ZADB= 1800-ZBDC=ZBDE 二 /ADB^/ADE / Z ￡ = ^ABD = 6()0, AD = AD . .A ADB ^ADE .?." = AE = AC /.ZACfi = l(1800-ZBAC) =1(1SO°-2O°)
=80° 2 2 注意：当条件中含有60。角或己知角的和差中含有60。的角时，经常想起构造等边三角形 例2、如图所示，在A AOB 中，ZA0B=120°, CO 为N AOB 的角平分线交AB 于点C 求证:
1 十 1 二 1 OA ^OB^OC
证明：延长A0到点D,使0D=0B,连接BD ? / ZAOB = 120° /. NBOD = 60° ：.Z1 = Z2 = 60°,BD = OB ,.?。。是乙4。8的角平分线 ? ,ZOC = 60。.. OC//DB ..AO ： AD = OC ： BD ^CO.AD = AO.BD ?
,.OC(AO-OB)=OA ?OB 即」_+_!_=」_ OA OB OC 倍长中线模型 构成(条件)：AABC 中，AD 为中线 目的：(1)构造全等三角形一找等量关系(边) (2)构造平行线一找等角关系 结果：(1) ABDE^AADC 一 ① BE 二AC
(2) AE=2AD ②N1=N2, N3=N4-AC〃BE
例1：已知：AD为aABC中线，E为AC上一点，且AE=FE 求证：AC=BF 证明：（倍长中线）△BDGgaCDAn/ G=NEAF, BG=AC
再 NG = N3=>BF = BG “SAS △全等” + “等底等腰” + “等量代换”
例2 :已知：CE、CB分别是△ABC、4ACD的中线，且AB二AC,求证：CD=2CE 证明：倍长CE,连结BM △MEB^ACEA<= (SAS) ME=EC+ ZMEB= ZAEC+BE=AE
△MBC^ADBC<= (SAS) 眸BD+NMBC= NDBC+ BC=BC
.\DC=MC=2EC
“等腰对等底” + “外角二两内角和" + “SAS△全等”
例3、如图，在AABC中，AB二BD=DC, AE是AABD的中线，求证：AC=2AE
证明：延长AE到F使AE=EF,连结DF,
证△ABETZXFDE—》AB二DF 所以在证△ADFgZiADC * F
有 AC=AF=2AE
例4、如图在aBAC中，AD是中线，且BE二AC
求证：AF二EF
证明：延长AD到X使AD=DX,连结BY证明△BDMgZ\CDA
则有 BM=AC, NBMD二NDAC,又因为 BE=AC二BM
所以NBMD二NBEM二NAEF=/DAC,所以 AE二AF
例5：已知RtZ\BAC中，ZA=90°, D为BC边中点，E、F分别为边AB、AC上一动点，且ED
±FDo 求证：EF=BE+CF。
证明：倍长FD至G,连结BG、EG
先证△CFDgZ^BGD=>CF=BG, ZC=ZGBD (AC/7BG)
RtZXEBG 中，EG:=BG:+BE2=FC:+BE=
△EGF 为等腰△,则 EFJBE'+CF，
“SAS=>△全等” + “勾股定理” + “等腰△三线合一”
例6：已知：ZliABC中，AD为中线，AB边长为x , AC边长为y,求中线AD
的取值范围.
解：倍长AD连结BE
△ ABE 中，x-y i < 2AD < x+y
… x + y
2 2 “SAS △全等” + “等量代换” + “△三边关系” 例7：已知M是AABC的边BC上的中点，过BC上一点D引直线平行于AM交AB于E, 交CA的延长线于F求证：ED+DF=2AM 证明：倍长AM ,连结BH延长ED交BH于K 先证四边形FAHK为平行四边形AAH二FK 再证 ED= DKUED/AM=DK/HM, AM=MH ???ED+FD = FK = AH=2AM “SAS 全等△” + “平行四边形定义及性 质” + “比例性质” + “等量代换” ［练习］已知：Z^ABC中，AD是角平分线，M是BC中点，MF〃DA, MF交AB、CA 的延长线 于 E、F。求证：BE=CF 证明：倍长FM连结BG 先证△BMGgACMF=>BG=CF, ZG=ZF ，FC〃BG Z4 = Z1 再证 N1 = NF 二 NGU lz2 = ZF Z1 = Z2 .\BE=BG=CF “SA S 全等” + “两直线平行，同位角相等” + “等底对等腰” 四、面积法 （1）构成: AD/7BC, AABC, ABCD。 目的: 找等枳△. 结果: SA^C =SABCD. （2）构成: EF〃BC, △ABC, AAEF。K H 目的：找比例线段。 结果：SAAEF ： SAABC=AF : ： AC : =AE 2 ： AB = =EF : ： BC c (3)构成：L 〃L 〃h ，线段AC 、BD, AD 、BC 相交于点0。 目的：找比例线段。 结果：AE ： EC=A0： 0D=B0： C0=BF ： FD 例L 在AABC 的边AB 、AC 上分别取点D 、E,使DE 〃BC ,在AB 上取点F, 使 SZXADE=Sz^BFQ 求证：AD ==ABXBF a 证明：SAADE ： SAABC=AD : ： AB 二"+ " SAADE ： SAABC= SABFC ： SAABC=FB ： AB" => AD : ： AB 三FB ： AB => AD 二=FBXAB “相似△而积比” + “同高△而积比” + “比例的基本性质” 例 2：已知：/XABC 中，NACB =90°, CE 平分NACB 交 AB 于 E, EFXAC 于 F 。 证明：过E 作EDLBC 于D SAABC = SABEC +SAAEC=>BCX AC=BC X ED+AC XEF 则 BC XAC= (BC+AC) XEF 所以有一L+—L =， AC BC EF “角平分线的性质”+ “△面积公式” + “比例性质(逆用)” + “等面积代换” 例 3：已知：ZkABC 中,AB 二AC , D 为 BC 上任一点，DE_LAB 于 E , DFLAC 于 F, CG_LAB 于 G 。 求证：CG=ED-DF / 证明：连结AD 。 叭、F SAABC =SAABD+ SAACD B D C 1 1 1 rtl -ACXBG=-ABXED+- ACXDF,则 BG=ED+DF 2 2 2 “△而积公式” + “等面积代换” 小结：等腰△腰上的高为底边任一点到两腰距离之和。 延伸：如图题中的条件不变把“点D 在BC 上”改为“点D 在BC 的延长线上”那么DE 、 A DF 、CG 存在什么等式关系？写出你的猜想并加以证明 E /\ ^7 H 结论：DE-DF=CG 求证: --- 1 --- - --- AC BC EF 例4：已知P是△ABC中NA的平分线上任意一点，过C引CE〃PB,交AB的延长线于E, 过B引BF〃PC,交AC的延长线于F。求证：BE二 CF“ 证明：连结PE、PF。 先证 SAPBE= SABPC=SAPCF 再证P到BE边与CF边的距离相等。 所以有BE二CF “同底等高二＞△而枳相等” + “角平分线性质” + “面积公 式” 例5：已知：ZiABC中，DE/7BC交CB延长线于F, AG〃DC交BC延长线肝G, 求证：BF=CG 证明:连结EF、DG. SAFBE=SAGCD<= "SZ\AEB =SAFBE V + “SZXADC =SAGCD" + U SAAEBC= SAADC" 则有L FBXEN二L CGXDM,即 BF二CG。 2 2 “等高同底△面积相等” + “△面积公式” + “两平行线距 离” 例6、已知：△ABC中，AD是中线，F是AD上的点，且DF=2AF, BF的延长线与AC交于E, 求BF： FEo 证明：作FP〃AC交BC于P。 先证CD CP 则有 ［思考］:将“DF=2AF”改为"AF=2DF” ，其它条件不变,求BF： FEo （BF： FE=2） 相似三角形添加辅助线的方法举例 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 例2．已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 3=，E 是腰AB 上的一点，连结CE （1）如果AB CE ⊥ ，CD AB =，AE BE 3=，求B ∠的度数； （2）设BC E ?和四边形AECD 的面积分别为1S 和2S ，且2132S S =，试求 AE BE 的值 例3．如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点， AD AF 31= ，连E 、F 交AC 于G ．求AG ：AC 的值． 例4、如图4—5，B 为AC 的中点，E 为BD 的中点，则AF ：AE=___________. 例5、如图4-7，已知平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为AB 延长线上一点，OE 交BC 于F ，若AB=a ，BC=b ，BE=c ，求BF 的长． 例6、已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：CD BD AC AB = ． 相似三角形添加辅助线的方法举例答案 例1： 已知：如图，△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ． 求证： BC 2 ＝2CD ·AC ． 分析：欲证 BC 2＝2CD ·AC ，只需证 BC AC CD BC = 2．但因为结论中有“2”，无法直接找到它们所在的相似三角形，因此需要结合图形特点及结论形式，通过添加辅助线，对其中某一线段进行倍、分变形，构造出单一线段后，再证明三角形相似．由“2”所放的位置不同，证法也不同． 证法一（构造2CD ）：如图，在AC 截取DE ＝DC ， ∵BD ⊥AC 于D ， ∴BD 是线段CE 的垂直平分线， ∴BC=BE ，∴∠C=∠BEC ， 又∵ AB ＝AC ， ∴∠C=∠ABC ． ∴ △BCE ∽△ACB ． ∴ BC AC CE BC =， ∴BC AC CD BC =2 ∴BC 2 ＝2CD ·AC ． 证法二（构造2AC ）：如图，在CA 的延长线上截取AE ＝AC ，连结BE ， ∵ AB ＝AC ， ∴ AB ＝AC=AE ． ∴∠EBC=90°， 又∵BD ⊥AC ． ∴∠EBC=∠BDC=∠EDB=90°， B C B C E B C 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程： 证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。 解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。 （2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 《全等三角形》辅助线做法总结 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 一、截长补短法（和，差，倍，分） 截长法：在长线段上截取与两条线段中的一条相等的一段，证明剩余的线段与另一段相等（截取----全等----等量代换） 补短法：延长其中一短线段使之与长线段相等，再证明延长段与另一短线段相等（延长----全等----等量代换） 例如：1，已知，如图，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB=AC+CD。 2，已知：如图，AC∥BD，AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E．求证：（1）AE⊥BE；（2）AB=AC+BD． 二、图中含有已知线段的两个图形显然不全等（或图形不完整）时，添加公共边（或一其中 一个图形为基础，添加线段）构建图形。（公共边，公共角，对顶角，延长，平行）例如：已知：如图，AC、BD相交于O点，且AB＝DC，AC＝BD，求证：∠A＝∠D。 三、延长已知边构造三角形 例如：如图6：已知AC＝BD，AD⊥AC于A ，BC⊥BD于B，求证：AD＝BC D C B A 1 10 图 O A B C D E O 四、遇到角平分线，可自角平分线上的某个点向角的两边作垂线（“对折”全等） 例如：已知，如图，AC 平分∠BAD ，CD=CB ，AB>AD 。求证：∠B+∠ADC=180。 五、遇到中线，延长中线，使延长段与原中线等长（“旋转”全等） 例如：1如图，AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD 。（三角形一边上的中线小 于其他两边之和的一半） 2，已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 。 3，如图，已知：AD 是△ABC 的中线，且CD=AB ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE. E C B D A 六、遇到垂直平分线，常作垂直平分线上一点到线段两端的连线（可逆 ：遇到两组线段相等， 可试着连接垂直平分线上的点） 例如：在△ABC 中，∠ACB=90，AC=BC,D 为△ABC 外一点，且AD=BD,DE ⊥AC 交AC 的延长 线于E,求证：DE=AE+BC 。 七、遇到等腰三角形，可作底边上的高，或延长加倍法（“三线合一”“对折”） A D B C C A E B D 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2. 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线， 利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常 是角平分线的性质定理或逆定理. 4. 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5. 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用 三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线（线段）造全等 应用：1、（09崇文二模）以ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt^ABD 和等腰Rt^ACE , ? BAD = ? CAE = 90 （1）如图① 当 ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是 线段AM 与DE 的数量关系是 （2）将图①中的等腰Rt'ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转 二（0＜二＜90）后，如图②所示，（1 ）问中得到的两个结论是否发生改 变？并说明理由. 连接DE ，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点?探究: AM 与DE 的位置关系及数量关系. 例1、已知, 例2、如图, 例3、如图, 相似三角形之常用辅助线 在与相似有关得几何证明、计算得过程中 ,常常需要通过相似三角形,研究两条线段之间得比例关系,或者转移线段或角。而有些时候,这样得相似三角形在问题中,并不就是十分明显、因此,我们需要通过添加辅助线,构造相似三角形,进而证明所需得结论。 专题一、添加平行线构造“Ａ"“X”型 定理:平行于三角形一边得直线与其它两边(或两边延长线)相交,所构成得三角形与原三角形相似。 定理得基本图形: 例1、平行四边形AＢCD中,E为ＡＢ中点,AF:ＦD＝1:2,求ＡＧ:GＣ 变式练习: 已知在△ABC中,AD就是∠BAＣ得平分线.求证:、(本题有多种解法,多想想) 例2、如图,直线交△AＢＣ得BC,ＡＢ两边于D,E,与ＣA延长线交于F,若==2,求BE:EＡ得比值、 变式练习:如图,直线交△ABC得ＢC,ＡＢ两边于D,E,与CA延长线交于F,若错误!= 错误!=2,求BＥ:E Ａ得比值。 例3、BE=AD,求证:EF·BC＝AC·DF 变式1、如图,△ABＣ中,AB 相似三角形中几种常见的辅助线作法 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 一、添加平行线构造“A ”“X ”型 例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延 长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ， 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ， 解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5= 例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证： （证明：过点C作CG//FD交AB于G） 例3：如图，△ABC中，AB 全等三角形问题中常见得辅助线得作法【三角形辅助线做法】 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折瞧,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题 2、倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 3、角平分线在三种添辅助线 4、垂直平分线联结线段两端 ５、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长, 6、图形补全法:有一个角为6０度或１２0度得把该角添线后构成等边三角形 7、角度数为30、6０度得作垂线法：遇到三角形中得一个角为３0度或6０度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成３0-6０-9０得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或3０-60-９0得特殊直角三角形,或40－6０-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数，这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变 换中得“对折”法构造全等三角形. 2)遇到三角形得中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思 维模式就是全等变换中得“旋转”法构造全等三角形. 3)遇到角平分线在三种添辅助线得方法，（１)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂 相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习： 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想） G F E D C B A G F E D C B A CD BD AC AB 例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比 值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB 例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长. 变式：如图，21==DE AE CD BD ，求BF AF 。（试用多种方法解） 说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔． 总结： （1）遇燕尾，作平行，构造 字一般行。 （2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。 三角形中位线中的常见辅助线 知识梳理 知识点一中点 一、与中点有关的概念 三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线 等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半 斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形 二、与中点有关的辅助线 方法一：倍长中线 解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。 方法二：构造中位线 解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 方法三：构造三线合一 解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口 其他位置的也要能看出 方法四：构造斜边中线 解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。 其他位置的也要能看出 C E D B A 常见考点 构造三角形中位线 考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三 角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用． 典型例题 【例1】 已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =． 举一反三 1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =． D C B A E D F C B A 全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种： 1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等 例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. A 应用：1、（09崇文二模）以 ABC ?的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90, BAD CAE ∠=∠=? 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系． （1）如图①当 ABC ?为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ， 线段AM与DE的数量关系是； （2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC，AD平分BAC ∠，且AD=BD，求证：CD⊥AC C D B A 五种辅助线助你证全等 姚全刚 在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点?下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考. 一、截长补短 一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用 截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等. 例1.如图1，在△ ABC 中，/ ABC=60 ° , AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB .求证: AC=AE+CD . 分析：要证AC=AE+CD , AE、CD不在同一直线上.故在AC上截取AF=AE，则只要证明 CF=CD . 证明：在AC上截取AF=AE，连接OF. ?/ AD、CE 分别平分/ BAC、/ ACB，/ ABC=60 ° ???/ 1 + Z 2=60 ° ,A Z 4=Z 6= / 1 + Z 2=60 ° . 显然，△ AEO ◎△ AFO，?/ 5= / 4=60 ° ,?/ 7=180° — (/ 4+ / 5) =60 ° 在厶DOC 与厶FOC 中，/ 6= / 7=60°，/ 2= / 3, OC=OC ???△ DOC ◎△ FOC, CF=CD ? AC=AF+CF=AE+CD 截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等, 或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作 法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 例2:如图甲，AD// BC 点E在线段AB上，/ ADE=/CDE / DC=Z ECB 求证： CD=AD F BC 思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CDAC+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CE，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。 解答过程： 证明：在CD上截取CF=BC如图乙 6 = CS CE= CE ???△ FCE^A BCE(SAS， ???/ 2=Z 1。 又??? AD// BC ???/ ADG-Z BCD：180°， ???/ DC+Z CD=90°, 初中常见辅助线作法 任何几何题目都需分析题目条件和结论找到解题思路，本讲从常见的条件和结论出发说明50种辅助线作法，分三角形部分、四边形部分、解直角三角形部分、圆。每种辅助线作法均配备了例题和练习。 三角形部分 1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某 边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE . 证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N 在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE ＋NE ① 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ② 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③ ①＋②＋③得 AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G , 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有 AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证 有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点， 求证： 1 2 (AB ＋BC ＋AC )＜P A ＋PB ＋PC ＜AB ＋BC ＋AC 2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来， 可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， F G N M E D C B A 三角形中做辅助线的技巧 口诀： 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 一、由角平分线想到的辅助线 口诀： 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。 通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。 与角有关的辅助线 （一）、截取构全等 如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ， 则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造 了条件。 例1． 如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分 ∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。 例2． 已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠C AD ，D A=DB ，求证DC ⊥AC 例3． 已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 图1-2 D B C 数学：三角形中的常用辅助线 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。 思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。 解答过程： 证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。 又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。 在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。 三角形常见辅助线作法练习题 1如图：D 、E 为△ABC 内两点,求证:AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE. 2如图：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 。 3如图：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 4如图：AD 为 △ABC 的中线，求证：AB ＋AC ＞2AD A B C D E A B C D E F G A C D E F 123 4 A B C D 5已知△ABC ，AD 是BC 边上的中线，分别以AB 边、AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形， 求证EF ＝2AD 。 6如图：在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任一点。求证：AB －AC ＞PB －PC 。 7如图：在Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，∠1＝∠2，CE ⊥BD 的延长于E 。求证：BD ＝2CE 8已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 9已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 A B C D E F A B C D P 1 2D A E 1 2 A D B C B A C D F 2 1 E 10已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC 11已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C 12已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 13. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 14．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC ∥EF C D B A 初二几何常见辅助线口诀 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，倍长中线得全等。四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为三角或平四。平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等 如图， AB//CD, BE平分/ ABC CE平分/ BCD点E在AD上，求证：BC=AB+C。 分析：在此题中可在长线段BC上截取BF=AB再证明CF=CD从而达到证明的目的。这里面用到了角平分线来构造全等三角形。另外一个全等自已证明。此题的证明也可以延长BE与CD的延长线交于点来证明。自已试一试。 二、角分线上点向两边作垂线构全等 如图，已知AB>AD, / BAC K FAC,CD=B C求证：/ ADC# B=180 分析：可由C向/BAD的两边作垂线。近而证/ ADC与Z B之和为平角 三、三线合一构造等腰三角形 如图，AB=AC Z BAC=90, AD为Z ABC的平分线，CEL BE.求证：BD=2CE 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。 四、角平分线+平行线 女口图，AB>AC, Z 1 = Z2,求证：AB-AC>BD-CD c D C B A E D F C B A 三角形和四边形中常见的辅助线的作法和类型（绝对 经典） 一、倍长中线（线段）造全等 例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是中点，试比较BE+CF 与EF 的大小. 例3、如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE. E D C B A 二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC C D B A C C B A 2、如图，AD ∥BC,EB,EA 分别平分∠CBA,∠DAB ，CD 过点E ，求证;AB ＝AD+BC 注意：三角形中位线与梯形中位线 3、如图，已知在ABC V 内，0 60BAC ∠=，0 40C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ， BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠， 求证： 0 180=∠+∠C A P 21 C B A 5、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC 三、平移变换 例1 AD 为△ABC 的角平分线，直线MN ⊥AD 于A.E 为MN 上一点，△ABC 周长记为A P ，△EBC 周长记为B P .求证B P ＞A P . 例2 如图，在△ABC 的边上取两点D 、E ，且BD=CE ，求证：AB+AC>AD+AE. 初二几何常见辅助线口诀三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段和差及倍半，延长缩短可试验。 线段和差不等式，移到同一三角去。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，倍长中线得全等。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。 梯形问题巧转换，变为三角或平四。 平移腰，移对角，两腰延长作出高。 如果出现腰中点，细心连上中位线。 上述方法不奏效，过腰中点全等造。 证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。 直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 由角平分线想到的辅助线 一、截取构全等 如图，AB证：BD=2CE。 分析：延长此垂线与另外一边相交，得到等腰三角形，随后全等。 四、角平分线+平行线 如图，AB>AC, ∠1=∠2，求证：AB－AC>BD－CD。 分析：AB上取E使AC=AE，通过全等和组成三角形边边边的关系可证。 由线段和差想到的辅助线 五、截长补短法 AC平分∠BAD，CE⊥AB，且∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE。 分析：过C点作AD垂线，得到全等即可。 由中点想到的辅助线 一、中线把三角形面积等分 如图，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。 分析：利用中线分等底和同高得面积关系。 二、中点联中点得中位线 如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交EF的延长线G、H。求证：∠BGE=∠CHE。 分析：联BD取中点联接联接，通过中位线得平行传递角度。 三、倍长中线 如图，已知ΔABC中，AB=5，AC=3，连BC上的中线AD=2，求BC的长。 数学专题一一三角形中的常用辅助线 典型例题 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 全等三角形辅助 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中； （2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等； （3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种： （1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 例1:如图，△ ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90，BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD,交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE （2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 例2:如图，已知△ ABC中, AD是/BAC的平分线，AD又是BC边上的中线求证：△ ABC是等腰三角形。 li (3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利 用的思维模式是三角形全等变换中的 “对折”，所考知识点常常是角平分线的性 质定理或逆定理。 例 3:已知，如图，AC 平分/ BAD CD=CB AB>AD 求证：/ B+Z ADC=180。 ① 关于角平行线的问题，常用两种辅助线; (4) 过图形上某一点作特定的平行线，构造全等三角形，利用的思维模式 是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 例4:如图，△ ABC 中，AB=AC E 是AB 上一点，F 是AC 延长线上一点，连 EF 交BC 于D,若EB=CF 求证：DE=DF B 第2讲相似三角形中的辅助线及动点 在解相似三角形问题时，常需要作辅助线来沟通已知条件和未知条件， 在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得 出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种： 、作平行线 例1.如图，.VABC 的AB 边和AC 边上各取一点 ” BF BD 求证： CF CE 例2.如图，△ ABC 中，AB 例4.如图从—ABCD 顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF，垂足分别为E、F，求证: 2 AB AE AD AF =AC2。 三、作延长线例5.如图，在梯形ABCD中，AD // BC,若/ BCD的平分线CH丄AB于点H , BH=3AH，且四边形AHCD的面积为21,求厶HBC的面积。 例6?如图，https://www.doczj.com/doc/e212282723.html,BC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 于F, FG _ AB于G, 求证：FG2=CF *BF 四、作中线 例 7 如图，. ：ABC 中，AB 丄AC , AE 丄 BC 于 E , D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1，求 AC 。 2、如图，正方形 ABCD 勺边长为2, AE = EB MN= 1,线段MN 的两端在CB CD 上滑动，当CM 为 何值时，△ AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ 动点题型 1、如图正方形ABCD 的边长为2, AE=EB ，线段MN 的两端点分别在 MN=1，当CM 为何值时厶AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？ CB 、CD 上滑动，且 u c D N C 中考相似三角形之常 用辅助线 Revised on November 25, 2020 相似三角形之常用辅助线 在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。 专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型 定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形： 例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习： 已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：． （本题有多种解法，多想想） 例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的 比值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB相似三角形添加辅助线的方法举例有答案新
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