数值分析作业（第一章）
习题
4.利用公式（2.3）求下列各近似值的误差限：
（1）1***24
x x x ++； （2）***123x x x ；
（3）**24
/x x . 其中****1234
,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：由第3题可知，*411()102x ε-=?，*321()102x ε-=?，*131()102
x ε-=? *341()102x ε-=?，*151()102
x ε-=? （1）112
******244()()()()x x x x x x εεεε++≤++ 433111*********
---=?+?+? 31.0510-=?
（2）13
************1232313212()()()()x x x x x x x x x x x x εεεε≤++ 431
1110.031385.610 1.1021385.610 1.10210.03110222
---=???+???+???0.2148=
（3）****2442**242
*4()()
(/)x x x x x x x εεε+≤
33
110.0311056.430102256.43056.430
--??+??=? 50.910-=?
5.计算球体积要使相对误差限为1%，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？
解：球体计算公式为34()3
V R f R π==； '**
**()(())()()r f R f R R f R εε≈ 由于 ***r ()()R R R εε=
则有 '**
***r r *()(())()3*()1%()r f R f R R R R f R εεε=== 因此 度量半径R 允许的相对误差限*r 1()0.0033300
R ε== 9.正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才能使其面积误差不超过12cm ？ 解：正方形面积计算公式为2()A x f x ==
由于 *'*****2(())()()2()2100()1f x f x x x x x cm εεεε≈==??≤
则有 *21()102
x ε-≤? 即边长测量时的误差限为21102
cm -?
12.计算61)f =，≈1.4，利用下列等式计算，哪一个得到的结果最好？
3(3-， 99-
解：另 x =661)(1)f x ==-
则有* 1.4x =，*11()102
x ε-=?。 *'**(())()()f x f x x εε≈
*5*6(1)()x x ε=-
33.07210-=?
等式1
，61()(1)f x x =+ *'**(())()()f x f x x εε≈
**76()(1)
x x ε-=+ **76()(1)x x ε=
+ 46.54110-=?
等式2：3(3-，3
()(32)f x x =-
*'**(())()()f x f x x εε≈
*2*6(32)()x x ε=--
*2*6(32)()x x ε=-
21.210-=?
等式3
，31()(32)f x x =+ *'**(())()()f x f x x εε≈
**46()(32)
x x ε=+ 42.65110-=?
等式4：99-()9970f x x =-
*'**(())()()f x f x x εε≈
*70()x ε=
3.5=
计算得到结果比较好。
13.()ln(f x x =,求(30)f 的值。若开平方用6位函数表，问求对数时误差有多大？若改用另一等价公式
ln(ln(x x =-
计算，求对数时误差有多大？
解：（1）()ln(f x x =
(30)ln(30f =
开方使用6位函数表，设*29.9833a ==，*41()102
a ε-=?
**(30)ln(30ln(30)()f a f a ==-=
*'**(())()()f a f a a εε≈
**1()30a a
ε=-- 20.310-=?
（2）()ln(f x x =-+
(30)ln(30f =-
开方使用6位函数表，设*29.9833a ==，*41()102
a ε-=?
**(30)ln(30ln(30)()f a f a =-=-+= *'**(())()()f a f a a εε≈
**1()30a a
ε=-+ 60.83610-=?
第六章习题解答 2、利用梯形公式和Simpson 公式求积分2 1 ln xdx ? 的近似值，并估计两种方法计算值的最大 误差限。 解：①由梯形公式： 21ln 2 ()[()()][ln1ln 2]0.3466222 b a T f f a f b --= +=+=≈ 最大误差限 3''2 ()111 ()()0.0833******** T b a R f f ηη-=-=≤=≈ 其中，(1,2)η∈ ②由梯形公式： 13()[()4()()][ln14ln()ln 2]0.38586262 b a b a S f f a f f b -+= ++=++≈ 最大误差限 5(4)4()66 ()()0.0021288028802880 S b a R f f ηη-=-=≤≈， 其中，(1,2)η∈。 4、推导中点求积公式 3''()()()()() ()224 b a a b b a f x dx b a f f a b ξξ+-=-+<
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??==
第六章习题解答 2 2、利用梯形公式和 Simpson 公式求积分 ln xdx 的近似值， 并估计两种方法计算值的最大 1 误差限。 解：①由梯形公式： T ( f ) b a [ f (a) f (b)] 2 1 [ln1 ln 2] ln 2 0.3466 2 2 2 最大误差限 R ( f ) (b a)3 f '' ( ) 1 1 1 0.0833 T 12 12 2 12 12 其中， (1,2) ②由梯形公式： b a 4 f ( b a f (b)] 1 4ln( 3 ln 2] 0.3858 S( f ) [ f (a) ) [ln1 ) 6 2 6 2 最大误差限 R S ( f ) (b a)5 f (4) ( ) 6 6 0.0021， 2880 2880 4 2880 其中， (1,2) 。 4、推导中点求积公式 f ( x)dx (b a) f ( a b ) (b a) 3 (a b) b a 2 24 证明： 构造一次函数 P （ x ），使 P a 2 b f a b , P ' ( a b ) f ' ( a b ), P '' ( x) 0 2 2 2 则，易求得 P( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 且 P(x)dx f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) dx b b a a 2 2 2 f ( a b )dx (b a) f ( a b ) ，令 P(x)dx I ( f ) b b a 2 2 a 现分析截断误差：令 r ( x) f ( x) P(x) f ( x) f ' ( a b )( x a b ) f ( a b ) 2 2 2 由 r ' ( x) f ' (x) f ' ( a b ) 易知 x a 2 b 为 r (x) 的二重零点， 2 a b )2 ， 所以可令 r (x) ( x)( x 2
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则
第一章绪论 1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。 解：近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。 解：设()n f x x =，则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指 出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解：
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
4.6.若用复化梯形公式计算积分1 x I e dx =? ， 问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超过 51 102 -?？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？ 解：采用复化梯形公式时，余项为 2 ()(),(,)12 n b a R f h f a b ηη-''=- ∈ 又 1 x I e dx =? 故 (),(),0, 1.x x f x e f x e a b ''==== 221()()1212 n e R f h f h η''∴= ≤ 若51 ()102 n R f -≤ ?，则 256 10h e -≤? 当对区间[0,1]进行等分时， 1,h n = 故有 212.85n ≥ = 因此，将区间213等分时可以满足误差要求。 采用复化辛普森公式时，余项为 4(4) ()()(),(,)1802 n b a h R f f a b ηη-=- ∈ 又 (),x f x e = (4)4(4)4 (), 1()|()|28802880 x n f x e e R f h f h η∴=∴=-≤ 若51 ()102 n R f -≤ ?，则 451440 10h e -≤ ?
当对区间[0,1]进行等分时 1n h = 故有 1 54 1440(10) 3.71n e ≥?= 因此，将区间8等分时可以满足误差要求。 4.10.试构造高斯型求积公式 )()()(1 11001 x f A x f A dx x f x +≈? 。 解 令公式对32,,,1)(x x x x f =准确成立，得 ??? ?? ? ??? ??=+=+=+=+,72,52, 32,213103012 1020110010A x A x A x A x A x A x A A ) 4()3()2() 1( 由于 1011001100)()(A x x A A x A x A x -++=+， 利用方程(1)，方程(2)可化为 3 2 )(21010= -+A x x x (5) 同样，用方程(2)化方程(3)，方程(3)化方程(4)，分别得 52 )(3211010=-+A x x x x (6) 7 2 )(52121010=-+A x x x x (7) 用方程(5)消去方程(6)中的101)(A x x -，即将101)(A x x -用023 2 x -代替，得 5 2 )32(32100=-+x x x (8) 用方程(6)消去方程(7)中的1101)(A x x x -，即将1101)(A x x x -用03 2 52x -代替，得
第六章 习 题 1. 计算下列矩阵的1A ，2A ，A ∞三种范数。 （1）1101A ???=????，（2）312020116A ????=??????? . 2. 用Jacobi 方法和Gauss-Seidel 迭代求解方程组 1231231 238322041133631236x x x x x x x x x ?+=??+?=??++=? 要求取(0)(0,0,0)T x =计算到(5)x ，并分别与精确解(3,2,1)T x =比较。 3. 用Gauss-Seidel 迭代求解 12312312 35163621122x x x x x x x x x ??=??++=???+=?? 以(0)(1,1,1)T x =?为初值，当(1)() 310k k x x +?∞?<时，迭代终止。 4. 已知方程组121122,2,x x b tx x b +=?? +=? （1）写出解方程组的Jacobi 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件。 （2）写出解方程组的Gauss-Seidel 迭代矩阵，并讨论迭代收敛条件. 5. 设有系数矩阵 122111221A ?????=?????? ， 211111112B ?????=??????? ， 证明：（1）对于系数矩阵A ，Jacobi 迭代收敛，而Gauss-Seidel 迭代不收敛. （2）对于矩阵B ，. 6. 讨论方程组 112233302021212x b x b x b ?????????????=??????????????????? 用Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性；如果都收敛，比较哪种方法收敛更快.
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?
西安邮电大学2018级工硕学位课 数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x +=+?,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+ 6. 计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? (B) 3(3- (D) 99-7.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过5110-?,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 8.已知近似值0.500x *=的误差限*4()510x ε-≤?,32()21f x x x x =---. ①用秦九韶算法计算()f x *. ②求(())f x ε*,并说明x *及()f x *各有几位有效数字. 9. 分析算法011111,,32,1,2,,k k k y y y y y k +-?==???=-=? 的数值稳定性.
习 题 六 解 答 1、在区间［0，1］上用欧拉法求解下列的初值问题，取步长h=0.1。 (1)210(1)(0)2y y y '?=--?=?(2)sin (0)0x y x e y -'?=+?=? 解：（1）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(1)(0,1,2,)n n n y y y n +=--= 由初值y 0=y(0)=2出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=2； x 1=0.1，2100(1)211y y y =--=-= x 2=0.2，2211(1)101y y y =--=-= 指出： 可以看出，实际上求出的所有数值解都是1。 （2）取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 21(sin )(0,1,2,)n x n n n y y h x e n -+=++= 由初值y 0=y(0)=0出发计算，所得数值结果如下： x 0=0，y 0=0； x 1=0.1， 02 1000 (sin )00.1(sin 0)00.1(01)0.1x y y h x e e -=++=+?+=+?+= x 2=0.2， 122110.1 (sin )0.10.1(sin 0.1)0.10.1(0.10.9)0.2 x y y h x e e --=++=+?+=+?+= 指出： 本小题的求解过程中，函数值计算需要用到计算器。 2、用欧拉法和改进的欧拉法(预测－校正法)求解初值问题，取步长h=0.1。 22(00.5) (0)1 y x y x y '?=-≤≤? =? 解：(1) 取h=0.1，本初值问题的欧拉公式具体形式为 2 1(2)(0,1,2,)n n n n y y h x y n +=+-= 由初值y 0=y(0)=1出发计算，所得数值结果如下：
第四章： 1、（1）：复合梯形 建立m文件： function t=natrapz(fname,a,b,n) h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b); f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f)); 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,10) 输出： ans = -0.417062831779470 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,100) 输出： ans = -0.443117908008157 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> natrapz(f,eps,1,1000) 输出： ans = -0.444387538997162 复合辛普森 建立m文件： function t=comsimpson(fname,a,b,n)
h=(b-a)/n; fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b); f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h); f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h); t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2)); 输入： >> syms x >> f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >> format long； >>comsimpson(f,eps,1,10) 输出： ans = -0.435297890074689 输入： >>syms x >>f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >>comsimpson(f,eps,1,100) 输出： ans = -0.444161178415673 输入： >>syms x >>f=inline('sqrt(x).*log(x);'); >>comsimpson(f,eps,1,1000) 输出： ans = -0.444434117614180 （2）龙贝格 建立m文件： function [RT,R,wugu,h]=Romberg(fun,a,b,wucha,m) %RT是龙贝格积分表 %R是数值积分值 %wugu是误差估计 %h是最小步长 %fun是被积函数 %a b是积分下、上限
第六章非线性方程的数值解法习题解答 填空题： 1. 求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是__________________。 Ans:1()1()n n n n n x f x x x f x +-=- '- 2.求解方程 在(1, 2)内根的下列迭代法中， (1) (2) (3) (4) 收敛的迭代法是（A ）. A ．(1)和(2) B. (2)和(3) C. (3)和(4) D. (4)和(1) 3.若0)()(，故迭代发散。 以上三中以第二种迭代格式较好。 2、设方程()0f x =有根，且'0()m f x M <≤≤。试证明由迭代格式1()k k k x x f x λ+=- (0,1,2,)k =L 产生的迭代序列{}0k k x ∞ =对任意的初值0(,)x ∈-∞+∞，当2 0M λ<< 时，均收敛于方程的根。
数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当充分大时,利用下列各式计算N 121N N dx I x +=+∫,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N =+?N (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan(1I N N =++ (D) 211I N =+ 6.计算61)?,取 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? 3(3? (D) 99? 7.计算球体的体积,已知半径的相对误差限不超过3310?×,则计算所得体积的相对误差限如何估计? 8.设,近似值0x >*x 的相对误差限为δ,试估计*ln x 的误差限. 9.计算圆柱体的体积,已知底面半径及圆柱高的相对误差限均不超过r h δ,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 10.用秦九韶算法求32()431f x x x x =?+?在2x =处的值. 11.已知近似值的误差限1.0000x ?=4()110x ε??=×,21()16 f x x = ,求(())f x ε?,并说明x ?及()f x ?的各有几位有效数字. 12.设为非零常数,已知a 0y 的近似值0y ?,由递推式1n n y ay ?=计算序列{}n y 的近似值,分析该算法的稳定性.
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2％,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程 稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.
4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误 差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.
一、实验名称 Newton-cotes型求积公式 二、实验目的 学会Newton-cotes型求积公式,并应用该算法于实际问题。 三、实验内容 求定积分?π cos xdx e x 四、实验要求 选择等分份数n,用复化Simpson求积公式求上述定积分的误差不超过8 10-的近似值,用MATLAB中的内部函数int求此定积分的准确值,与利用复化Simpson求积公式计算的近似值进行比较。 五、实验程序与输出结果 在MATALAB的Editor窗口中输入以下程序： function y=comsimpson(fun,a,b,n) z1=feval (fun,a)+ feval (fun,b);m=n/2; h=(b-a)/(2*m); x=a; z2=0; z3=0; x2=0; x3=0; for k=2:2:2*m x2=x+k*h; z2= z2+2*feval (fun,x2); end for k=3:2:2*m x3=x+k*h; z3= z3+4*feval (fun,x3); end y=(z1+z2+z3)*h/3; 然后保存为然后保存为comsimpson.m的文件 在MATALAB工作窗口命令窗口中输入： Q2 =comsimpson (@fun,0,pi,1000000000) syms x fi=int(exp(x).*cos(x),x,0,pi); Fs= double (fi)
wQ2= double (abs(fi-Q2) ) 运行后结果： Q2=-12.0703，Fs=-12.0703, wQ2=5.2654e-08 六、实验结果分析 利用复化simpson求积公式计算运行后其结果为Q2=-12.0703，利用内部函数求解的结果为Fs=-12.0703,两者的误差为wQ2=5.2654e-08。从中可以看出误差结果达到了1E-8级数，而相对应的N已经取到了10亿次，再增大N对结果已经没有太大变化。可见复化simpson要得到比较准确的结果需要运算的次数比较大。
第一章 绪论 习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算） 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差 限。（误差限的计算） 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。（函数误差的计算） 7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 8 设?-=1 1 dx e x e I x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n （2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）
第二章 插值法 习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 2 已知9,4,10=== x x x y ，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值） 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有 ) ())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- 试证明 ),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。 （拉格朗日插值基函数的性质） 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===，用抛物线插值计算3367.0sin 的值并估计截断误差。（拉格朗日二次插值） 5 用余弦函数x cos 在00=x ，4 1π =x ，2 2π = x 三个节点处的值，写出二次拉格朗日插值 多项式, 并近似计算6 cos π 及其绝对误差与相对误差，且与误差余项估计值比较。（拉格朗 日二次插值） 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ，求函数的四阶均差 ]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。（均差的计算） 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值，其中1+≤n p ，而节点 )1,1,0(+=n i x i 互异。（均差的计算） 8 如下函数值表 建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造） 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ，满足如下插值条件：2)1(=p ，4)2(=p ， 3)2(='p ，12)3(=p 。（插值多项式的构造）
第一章 误差与算法 1. 误差分为有__模型误差___, _观测误差___, __方法误差____， ___舍入误差____, Taylor 展开式近似表达函数产生的误差是_方法误差 . 2. 插值余项是插值多项式的 方法误差。 3. 0.2499作为1/4的近似值，有几位有效数字？ 00.24990.249910,0m =?=即， 031|0.2499|0.00010.5100.510,34 m n n ---=
该算法是不稳定的。因为： 1 1()()...(1)!()n n n I n I n I εεε-=-==- 111n n I I n n -= -， 10110I = 5. 衡量算法优劣的指标有__时间复杂度,__空间复杂度_. 6. 时间复杂度是指：.算法需耗费时间的度量， 两个n 阶矩阵相乘的 乘法次数是 3n , 则称两个n 阶矩阵相乘这一问题的时间复杂度为3()O n . 二 代数插值 1.根据下表数据建立不超过二次的Lagrange 和Newton 插值多项式，并写出误差估计式，以及验证插值多项式的唯一性。 x 0 1 4 f(x) 1 9 3 Lagrange: 设0120120,1,4;()1()9()3x x x f x f x f x ======则，， 对应i x 的标准基函数)(x l i 为： 1200102 ()()(1)(x 4)1()(1)(x 4)()()(01)(04)4x x x x x l x x x x x x ----===------ 1()...l x = 2()...l x = 因此，所求插值多项式为：
1.1解： m=3; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 121 ans =121 实际上，当m=2时，就可以看出这两种算法在计算的精确度上的区别： m=2; f=@(x)digit(digit(x^4,m)- digit(x^3,m)+ digit(3*x^2,m)+ digit(x-2,m),m); g=@(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m); f(3.33) g(3.33) 有ans = 120 ans =130，可以看出，两者在计算精度上的不同区别，数学上恒等，在数值上不一定恒等。 1.2解： （1）精确到小数点后第三位，故有4位有效数字 （2）精确到小数点后第三位，故有2位有效数字 （3）精确到小数点后第三位，故有0位有效数字 1.3 解; 记圆的面积为S，由题意有|e(S)|≤1%。由S=πr2知：dS=2πrdr所以 dS/S=(2πrdr)/(πr2)=2(dr/r) ∴|e(r)|≈1／2|e(S)|≤0.5×1%=0.5% 1.4 解： 由题有：|e(x)|≤1/2×10^-2 ; |e(y)|≤1/2×10^-2; |e(z)||≤1/2×10^-2 ∴|e（S）|≈|xe(x)+ye(y)|+ |ze(z)|^2≈x|e(x)|+y|e(y)|+z^2|z(z)|^2≤4.21×0.005+1.79×1.005+2.11×2.11×0.005^2=0.03≤1/2×10^-1 又S=4.21*1.79+2.11^2=11.988 ∴S至少具有3位有效数字。 在字长为3的计算机上运行，误差为： S1=4.21*1.79+2.11; S2=digit(digit(4.21*1.79,3)+digit(2.11^2,3),3); err=S1-S2 err = -2.3541 1.6 解： clc disp('Please input the coefficients of'); disp('quadratic equation ax^2+bx+c=0, respectively') a=input('a='); b=input('b='); c=input('c='); m=4; % m-digit rounding arithmetic