4.6.若用复化梯形公式计算积分1
x
I e dx =?，问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不
超过
51
102
-?？若改用复化辛普森公式，要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分？
解：采用复化梯形公式时，余项为
2
()(),(,)12
n b a R f h f a b ηη-''=-
∈ 又
1
0x I e dx =?
故
(),(),0, 1.x
x
f x e f x e a b ''====
221()()1212
n e R f h f h η''∴=
≤ 若51
()102
n R f -≤
?，则 256
10h e
-≤?
当对区间[0,1]进行等分时，
1,h n
=
故有
212.85n ≥
= 因此，将区间213等分时可以满足误差要求。
采用复化辛普森公式时，余项为
4(4)
()()(),(,)1802
n b a h R f f a b ηη-=-
∈ 又
(),x f x e =
(4)4(4)4
(),
1()|()|28802880
x n f x e e R f h f h
η∴=∴=-≤ 若51
()102
n R f -≤
?，则 451440
10h e
-≤
?
当对区间[0,1]进行等分时
1n h
=
故有
1
54
1440(10) 3.71n e
≥?=
因此，将区间8等分时可以满足误差要求。
4.10.试构造高斯型求积公式
)()()(1
11001
x f A x f A dx x f x
+≈?
。
解 令公式对3
2,,,1)(x x x x f =准确成立，得
???
??
?
???
??=+=+=+=+,72,52,
32,213103012
1020110010A x A x A x A x A x A x A A )
4()3()2()
1(
由于
1011001100)()(A x x A A x A x A x -++=+，
利用方程(1)，方程(2)可化为
3
2
)(21010=
-+A x x x (5)
同样，用方程(2)化方程(3)，方程(3)化方程(4)，分别得
52
)(3211010=-+A x x x x (6) 7
2
)(52121010=-+A x x x x (7)
用方程(5)消去方程(6)中的101)(A x x -，即将101)(A x x -用023
2
x -代替，得
5
2
)32(32100=-+x x x (8)
用方程(6)消去方程(7)中的1101)(A x x x -，即将1101)(A x x x -用03
2
52x -代替，得
7
2
)3252(52100=-+x x x (9) 整理方程(8)和方程(9)，解得
???
???
?
==+.353,7
61010x x x x 从而（注意10x x <）
???
?
??-=5623710x ，???
?
??+=5623711x ， 代回方程(1)和方程(2)可得
653110+
=A ，.6
5
3111-
=A 得求积公式为
???
? ??+???? ??-+???? ??-???? ??+≈?
5672736531156727365311)(1
1
f f dx x f x
4.17.确定数值微分公式的截断误差表达式
)]2()(3)(4[21
)(0000'h x f x f h x f h
x f +--+≈
解 数值微分公式
)]2()(3)(4[21
)(0000'h x f x f h x f h
x f +--+≈
是由对过节点))(,(00x f x ，))(,(00h x f h x ++，))2(,2(00h x f h x ++的二次插值多项式)(2x P 求导而得到的。由于
)
,(),(!
3)
()()
)()((!3)
()()(203'''2210'''2x x x f x P x x x x x x f x P x f ∈+=---+=ξωξξ，
其中2,1,0,0=+=i ih x x i ，
)()
)(()
)(()())(())(()())(())(()(2120210121012002010212x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x f x x x x x x x x x P ----+----+----=
对x 求导得
),(!3)(!3)()()('
'''3'3''''
2
'
ξωωξf dx
d x f x P x f ++=
取0x x =，得
.3
)()]2()(3)(4[21)
(!
3)()()(2'
''0000'
3'''0'2
0'
h f h x f x f h x f h x f x P x f ξωξ++--+=+= 从而得截断误差为]).2,[)((3
00'
''2h x x f h +∈ξξ 小学奥数题（1）
1、妹妹今年6岁，哥哥今年11岁，当哥哥16岁时，妹妹几岁？
2、小明从学校步行到少年宫要25分钟，如果每人的步行速度相同，那么小明、小丽、小刚、小红4个人
一起从学校步行到少年宫，需要多少分钟？
3、聪聪参加有奖知识竞答，共10道题。答对一题得10分，答错一题扣10分，聪聪最后得了60分，那 么他答对了几道题？
4、晚上停电，小文在家点了8支蜡烛，先被风吹灭了1支蜡烛，后来又被风吹灭了2支。最后还剩多少支 蜡烛？
5、有16个小朋友在操场上玩捉迷藏游戏，已经捉住了9人，藏着的还有几人？
6、19名战士要过一条河，只有一条船，船上每次只能坐4名战士，至少要渡几
次，才能使全体战士过河？
7、布袋里有两只红袜子和两只黑袜子，至少拿出几只，才能保证配成一双同样颜色的袜子？
8、布袋里有形状大小完全一样的篮球和黄球各4个，要保证一次拿出两种颜色不相同的球，至少必须摸出
几个球？
9、跷跷板的两边各有四个铁球，这时跷跷板保持平衡。如果拿掉一个铁球，跷跷板上还有几个铁球？
10、一根电线，对折再对折，最后从中间剪开，剪开的电线一共有几段？
11、布袋里有两只红袜子和两只蓝袜子，至少拿出几只，才能保证配成一双同样颜色的袜子？
第一章 1、 在下列各对数中，x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解：（1）0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π （2）0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r （3）0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π （4）001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r （μ2）≦1/∣μ2∣［x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4］ =0.501937 3、设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。 解：设=()u f x ， ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??==
二 1求A的LU分解，并利用分解结果求 解由紧凑格式 故 从而 故 2求证：非奇异矩阵不一定有LU分解 证明设非奇异，要说明A不一定能做LU分解，只需举出一个反例即可。现考虑矩阵，显然A为非奇异矩阵。若A有LU分解，则 故，而，显然不能同时成立。这矛盾说明A不能做LU分解，故只假定A非奇异并不能保证A能做LU分解，只有在A的前阶顺序主子式 时才能保证A一定有LU分解。
3用追赶法求解如下的三对角方程组 解设有分解 由公式 其中分别是系数矩阵的主对角线元素及其下边和上边的次对角线元素，故有 从而有 故，，， 故，，，
4设A是任一阶对称正定矩阵，证明是一种向量范数 证明（1）因A正定对称，故当时，，而当时， （2）对任何实数，有 （3）因A正定，故有分解，则 故对任意向量和，总有 综上可知，是一种向量范数。 5 设，，已知方程组的精确解为 （1）计算条件数； （2）若近似解，计算剩余； （3）利用事后误差估计式计算不等式右端，并与不等式左边比较，此结果说明了什么？解（1） （2） （3）由事后误差估计式，右端为 而左端
这表明当A为病态矩阵时，尽管剩余很小，误差估计仍然较大。因此，当A病态时，用大小作为检验解的准确度是不可靠的。 6矩阵第一行乘以一数成为，证明当时，有最小值 证明设，则 又 故 从而当时，即时，有最小值，且 7讨论用雅可比法和高斯-赛德尔法解方程组时的收敛性。如果收敛，比较哪一种方 法收敛较快，其中 解对雅可比方法，迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛。 对高斯-赛德尔法，迭代矩阵
，故高斯-赛德尔法收敛。 因=故高斯-赛德尔法较雅可比法收敛快。 8设，求解方程组，求雅可比迭代法与高斯-赛德尔迭代法收敛的充要条件。 解雅可比法的迭代矩阵 ， 故雅可比法收敛的充要条件是。 高斯-赛德尔法的迭代矩阵 ，
第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。 解：,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞， 试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解：,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end
z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11，特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。 解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c
1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数
是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =，则
1、（本题5分）试确定7 22作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22=3.142857…=1103142857.0-? π=3.141592… 所以 3 12 10 2 110 21005.0001264.07 22--?= ?= <=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3 10 2 10005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：???? ? ??=????? ??????? ??--654131321 112321x x x ； 解 设???? ? ? ?????? ? ?????? ??===????? ? ?--11 1 11113 1321 11232312132 1 32 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,21527,25,2323121321- == - == -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23,97,910( ,)5 63, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组??? ? ? ??=++-=+-+=-+-=-+17722238231138751043214321 321431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为
数值计算方法第一次作业及参考答案 1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1）， （1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。 解：(1)Lagrange 插值基函数为 0(1)(2)1 ()(1)(2)(01)(02)2 x x l x x x +-= =-+-+- 同理 1211 ()(2),()(1)36 l x x x l x x x = -=+ 故 2 20 2151 ()()(1)(2)(2)(1) 23631 i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为 011215 5(1) [,]4, [,]20(1) 12 f x x f x x ---= =-= =----- 0124(2) [,,]102 f x x x ---= =- 实际演算中可列一张差商表： （3）用对角线上的数据写出插值多项式 2 2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+ 2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使 截断误差不超过6 10-，问使用函数表的步长h 应取多少 解： ()40000(), (),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及
(3) 2000 4 43 4 3 () ()[(()]()[()] 3! (1)(1) (1)(1) 3!3! .(4,4). 6 f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξ ξ =----+ -+ ≤+??-= ≤∈- 则 4 36 ((1)(1) 100.006. t t t h - -+± << Q在点 得 3.求2 () f x x =在［a,b］上的分段线性插值函数() h I x，并估计误差。 解： 22 22 11 1 111 22 11 11 1 () () k k k k h k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++ + +++ ++ ++ + --- =+= --- ?-? -=+- - [] 2 11 22 11 ()()()[()] 11 ()() 44 h h k k k k k k k k R x f x I x x x x x x x x x x x x x h ++ ++ =-=-+- =--≤-= 4.已知单调连续函数() y f x =的如下数据 用插值法计算x约为多少时() 1. f x=（小数点后至少保留4位） 解：作辅助函数()()1, g x f x =-则问题转化为x为多少时，()0. g x=此时可作新 的关于() i g x的函数表。由() f x单调连续知() g x也单调连续，因此可对() g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17) x g y y y y y y y - ==-+++++ -++-
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解： 求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。 （1）若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1012h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 011431313A h A h A h -?=?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
令4()f x x =，则 455 1012()5 2 ()(0)()3 h h h h f x dx x dx h A f h A f A f h h ---== -++=? ? 故此时， 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≠-++? 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 具有3次代数精度。 （2）若 21012()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =，则 1014h A A A -=++ 令()f x x =，则 110A h Ah -=-+ 令2 ()f x x =，则 3 2211163 h h A h A -=+ 从而解得 1143 8383A h A h A h -?=-?? ? =?? ?=?? 令3 ()f x x =，则 22322()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++=
6.4.设??? ? ? ??=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与 高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。 解 雅可比迭代法的迭代矩阵 ? ??? ??? ? ??----=???? ? ??----????? ??=-050100100100000001010101 a b b a a b b a B J ， ?? ? ?? -=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J = ρ。 雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3 100 || 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? ()()()()()()()()()收敛较慢 代入上式得：将解： 收敛速度次并分析该迭代公式的迭代的根求方程 取试用迭代公式∴≠<<*'*+++-='∴+*+*=*∴=+?+?? ? ??===++= =∴++= ==-++=++=++014.01022220||10 2202613381013202132020 132010212010220. 2.0 20102110220 4.1222 222212012123021x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x k k k k k k k ?????? )))()()()[]()()[])49998.0cos 215.0cos 2 1,022,00cos 2 102 12,0210,2,0.cos 2 10sin 2 11,cos 2 113cos 2 12; 1.0cos 2 12.4120101==== ==->-=<-=-=>+='-===-+x x x x x x x f f x x x f x x f x x x f x x x x k k 则 取上有一个根在所以上在为单调递增函数故则令解： 位有效数字求出这些根，精确到用迭代公式分析该方程有几个根给定方程ππππ 500 .0105.0102.0||3412≈*? 第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试 指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -= ( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 211N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的 绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y ≈(三位有效数 字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大? 若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin ,2s ab c = 其中c 为弧度, 02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章 插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令 20000112111 2 1 ()(,,,,)11 n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x x x ----== 证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- . 2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式. 3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值. 昆明理工大学2012级硕士研究生试卷 科目： 数值分析 考试时间： 出题教师： 集体 考生姓名： 专业： 学号： 考试要求：考试时间150分钟；填空题答案依顺序依次写在答题纸上，填在试卷卷面上的不予计分；可带计算器。 一、 填空题（每空2分，共40分） 1．设*0.231x =是真值0.228x =的近似值，则*x 有 位有效数字，*x 的相对误差限 为 。 2．设 133)(47+++=x x x x f ，则=]2,,2,2[710 f ，=]2,,2,2[810 f 。 3. 过点)0,2(),0,1(-和)3,1(的二次拉格朗日插值函数为 )(2x L = ， 并计 算=)0(2L 。 4．设 32()3245f x x x x =+-+在[]1,1-上的最佳二次逼近多项式为 ， 最佳二次平方逼近多项式为 。 5．高斯求积公式 )()()(1101 0x f A x f A dx x f x +≈? 的系数0A = ， 1A = ，节点0x = ， 1x = 。 6．方程组 b Ax =，,U L D A --=建立迭代公式f Bx x k k +=+)()1(，写出雅可比迭代法和 高斯-赛德尔迭代法的迭代矩阵， =Jacobi B ，=-Seidel Gauss B 。 7．0 0100A ??? =? ???，其条件数2()Cond A = 。 8．设?? ? ???=2113A ，计算矩阵A 的范数，1||||A = ， 2||||A = 。 9．求方程 ()x f x =根的牛顿迭代格式是 。 10．对矩阵??? ? ? ??=513252321A 作LU 分解，其L=________________， U= __________________。 二、计算题（每题10分，共50分） 1. 求一个次数不高于4次的多项式P (x ), 使它满足:1)1(,0)0(,0)0('===p p p ,1)1(,'=p ,1)2(=p 并写出其余项表达式（要求有推导过程）。 2. 若用复合梯形公式计算积分 dx e x ? 1 ，问区间[0, 1]应分成多少等分才能使截断误差不超过 5102 1 -?? 若改用复合辛普森公式，要达到同样的精度区间[0, 1]应该分成多少等份? 由下表数据，用复合辛普森公式计算该积分的近似值。 3. 线性方程组b Ax =，其中???? ??????=18.04.08.014.04.04.01A ，T b ]3,2,1[=，（1）建立雅可比迭代法和 高斯-赛德尔迭代法的分量形式。（2）问雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法都收敛吗 ? 4. 已知如下实验数据4,,1,0),,( =i y x i i , 用最小二乘法求形如x a a y 10+=的经验公式，并 计算最小二乘法的误差。 5. 用改进的欧拉公式(预估-校正方法)，解初值问题0)0(,10022=+=y y x dx ，取步长,1.0=h 计算到2.0=x （保留到小数点后四位） 。 三、证明题（共10分） 1． 如果 A 是对称正定矩阵，则A 可唯一地写成T LL A =，其中L 是具有正对角元的下三角 阵。 第二章习题解答 1. ( 1) R n Xn中的子集“上三角阵”和“正交矩阵”对矩阵乘法是封闭的。 (2)R n Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是 封闭的。 -1 设A是nXn的正交矩阵。证明A也是nXn的正交矩阵。 证明：⑴证明：A为上三角阵，B为上三角阵，A, B R n n a ij 0(i j ), b ij 0(i j) n C AB 则G j a ik b kj, C j 0(i j) k1 上三角阵对矩阵乘法封闭。 以下证明：A为正交矩阵，B为正交矩阵，A,B R n n AA T A T A E,BB T B T B E (AB)((AB)T) ABB T A T E,( AB)T(AB) B T A T AB E AB为正交矩阵，故正交矩阵对矩阵乘法封闭。 (2) A是nXn的正交矩阵 A A-1 =A-1A=E 故(A-1) -1 =A A-1(A1) -1= (A-1) -1A-1 =E 故A-1也是nXn 的正交矩阵。 设A是非奇异的对称阵，证A也是非奇异的对称阵。 A非奇异.A可逆且A-1非奇异 又A T=A .( A-1)T=( A T)-1=A-1 故A-1也是非奇异的对称阵 设 A 是单位上(下)三角阵。证A-1也是单位上(下)三角阵。 -1 证明：A是单位上三角阵，故|A|=1 ，.A可逆，即A存在，记为(b ij ) n Xn n 由 A A =E，则a j b jk ik (其中a ij 0 j >i 时，1) j1 故b nn=1, b ni=0 (n 丰 j) 类似可得，b ii =1 (j=1 …n) b jk=0 (k > j) 即A-1是单位上三角阵 综上所述可得。F t Xn中的子集“正交矩阵”，“非奇异的对称阵”和“单位上(下)三角阵”对矩阵求逆是封闭的。 2、试求齐次线行方程组Ax=0 的基础解 系。 1 21 41 A= 0 11 00 5.1.设A 是对称矩阵且011≠a ，经过一步高斯消去法后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 证明2A 是对称矩阵。 证明 由消元公式及A 的对称性，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 对称。 5.2.设n ij a A )(=是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 其中1)2(2)(-=n ij a A 。证明： (1).A 的对角元素;,,2,1,0n i a ii => (2).2A 是对称正定矩阵。 证明 (1).因为A 对称正定，所以 n i e Ae a i i ii ,,2,1,0),( =>=， 其中T i e )0,,0,1,0,,0( =为第i 个单位向量。 (2).由A 的对称性及消元公式，有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 也对称。 又由A L A a a T 121110=????? ?，其中 ??? ?????- =? ????? ? ?????????--=-111 1 11111 21101 1011n n I a a a a a a L ， 可见1L 非奇异，因而对任意0≠x ，由A 的正定性，有 ,0),(),(,011111>=≠x AL x L x AL L x x L T T T T 故T AL L 11正定。 由,000110211 111121111 1?? ? ?? ?=????????-??????=-A a I a a A a a AL L n T T T 而011>a ，故知2A 正定 第四版 数值分析习题 第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y . 27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字 27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?数值分析试卷及其答案1
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