第六章 静力学专题
习题解答
习题6-1 如图6-1a 所示，一重980N 的物块放在倾斜角?=30θ的倾斜面上。已知接触面间的静摩擦因数2.0=s f 。N F 588=的力沿斜面推物体，试问物体在斜面上处于静止还滑动？此时摩擦力为多大？
解：假设物体静止，有沿斜面向上滑动趋势。据此，作出受力图如图6-1b 所示，静摩擦力S F 沿斜面向下。
选取图示坐标轴，列平衡方程，解得
N F N F N S 7.848,98==
由于
N N F f F F N s s S 7.1697.8482.0max =?==<
所以，假设成立，物体静止。此时的摩擦力N F S 98=。
习题6-2 如图6-2a 所示，已知某物块的质量kg m 300=，被力F 压在铅直墙面上，物块与墙面之间的静摩擦因数25.0=s f ，试求保持物体静止的力F 的大小。
解：（1）求保持物体静止的力F 的最大值 考虑物体处于即将向上滑动的临界平衡状态，受力图如图6-2b 所示。列出2个平衡方程和最大静摩擦力补充方程，解得
N F 13148max =
考虑物体处于即将绕点A 翻到的临界平衡状态，受力图如图6-2b 所示。由平衡方程0)(=∑F M A 得
N F 6574max =
所示，保持物块静止的力F 的最大值为
N F 6574max =
（2）求保持物块静止的力F 的最小值 考虑物体处于即将向下滑动的临界平衡状态，受力图如图6-2c 所示。列出2个平衡方程和最大静摩擦力补充方程，解得
N F 4383min =
考虑物体处于即将绕点B 翻倒的临界平衡状态，受力图如图6-2c 所示。由平衡方程0)(=∑F M B 得
N F 2191min =
所以，保持物块静止的力F 的最小值为
N F 4383min =
根据上述计算可知，保持物块静止的力F 的取值范围为
N F N 65744383≤≤
当N F 4383<时，物块将向下滑动；当N F 6574>时，物块将绕点A 翻倒。
习题6-3 如图6-3a 所示，两根相同的匀质杆和在端点B 用光滑铰链连接，A 、C 端放在粗糙的水平面上。若当成等边三角形是，系统在铅直面内处于临界平衡状态，试求杆端与水平面间的静摩擦因数。
解：先选取整个系统为研究对象，作为受力图如图6-3b 所示，其中P 为杆的重力。由对称性可得
P F F CN AN ==
再选取杆为研究对象，作出受力图如图6-3c 所示。以点B 为矩心，列平衡方程
060sin 602
160cos ,0)(max =??-??-??=∑l F COS P l F F M Cs CN a 最大静摩擦力补充方程
CN s Cs F f F =max
联立解之，得杆端与水平面间的静摩擦因数
289.06
3==s f 习题6-4 平面机构如图6-4a 所示，曲柄长为l ，其上作用一矩为M 的力偶；在图示位置，
曲柄水平，连杆与铅垂线的夹角为θ；滑块B 与水平面之间的静摩擦因数为s f ，且s f >θt a
n 。若不计构件自重，试求机构在图示位置保持静平衡时力F 的大小，已知力F 与水平线之间的夹角为β。
解：首先选取曲柄为研究对象，注意到连杆为二力杆，作出受力图如图6-4b 所示。由平面力偶系平衡方程得
?60cos l M F A
（1）求机构保持静平衡时力F 的最小值 此时滑块处于即将向右滑动的临界状态，作出受力图如图6-4c 所示，其中，=B F ?
60cos l M F A 。列出平衡方程和最大静摩擦力补充方程，联立解之，得机构保持静平衡时力F 的最小值
)
cos(cos )sin()sin (cos cos )cos (sin min f f s s l M f l f m F ?βθ?θββθθθ--=+-= （2）求机构保持静平衡时力F 的最大值 此时滑块处于即将向最滑动的临界平衡状态，作出受力图如图6-4d 所示。列出平衡方程和最大静摩擦力补充方程，联立解之，的机构保持静平衡时力F 的最大值
)
cos(cos )sin()sin (cos cos )cos (sin min f f s s l M f l f m F ?βθ?θββθθθ++=-+= 综上所述，机构在图示位置保持静平衡时力F 的取值范围为
≤≤--F l M f f )
cos(cos )
sin(?βθ?θ)cos(cos )sin(f f l M ?βθ?θ++
式中，s f f arctan =?。 习题6-5 凸轮推杆机构如图6-5a 所示，已知推杆与滑到间的静摩擦摩擦因数为s f ，滑道高度为b 。设凸轮与推杆之间为光滑接触面，并不计推杆自重，试问a 为多大，推杆才不致被卡住。
解：（1）解析法 选取推杆为研究对象，设推杆处于即将向上滑动的临界平衡状态，作为受力图如图6-5b 所示，其中，F 为凸轮对推杆的推力。这是平面任意力系，列出3个平衡方程和2个最大静摩擦力补充方程，联立解之，得
s
f b a 2= 故有结论，当s
f b a 2<时，推杆才不致被卡住。 （2）几何法 选取推杆为研究对象，设推杆处于即将向上滑动的临界平衡状态，将接触点A 、B 处的最大静摩擦力和法向约束力均用其全约束力取代，作出受力图如图6-5c 所示。由三方里平衡汇交定理可知，退杆所受三力F 、A F 和B F 的作用线相交于同一点O 。 根据图示几何关系有
2
/tan d a c f +=
? 2/tan d a c b f --=? 联立上述两式，并注意到s f f =?tan ，既得
s
f b a 2= 习题6-6 专家的宽度为250，曲柄与在G 点铰链，尺寸如图6-6a 所示。已知砖重120N;提起砖的力F 作用在曲柄上，期作用线与砖夹的中心线重合；砖夹与砖间的静摩擦因数5.0=s f 。试问距离b 为多大时才能把砖夹起？
解：考虑砖块处于即将下滑的临界平衡状态。先选取砖块为研究对象，作出受力图如图6-6b 所示，由对称性和最大静摩擦力补充方程，易得
N F F N F F DN AN Ds As 120,60max max ====
在选取曲线为研究对象，作出受力图如图6-6c 所示，其中
N F F N F F N P F AN AN As As
120,60,120max max =='=='== 以G 点为矩心，由平衡方程0)(=∑F M G ,解得
110
故有结论，当距离mm b 110≤是才能把砖夹起。
习题6-7 尖劈顶重装置如图6-7a 所示，尖劈A 的顶角为a ，在B 快上受重力为P 的重物作用，尖劈A 与B 快间的静摩擦因数为s f ，有滚珠处表示接触面光滑。若不计尖劈A 与B 块的自重，试求：(1)顶起重物所需的力F ；（2）去除F 后能保证自锁的顶角a 。
解：（1）求顶起重物所需的力F 考虑即将顶起重物的临界平衡状态。分别选取B 快、尖劈
A 为研究对象，作出受力分别如图6-7b 、c 所示，其中，全约束力R
F '与R F 互为作用力与反作用力，全约束力与斜面法线间的夹角为摩擦角s f f arctan =?。
对于图6-7b ，列平衡方程
0)(,0=++-=∑f RCOS y a F p F
?
对于图6-7c ，列平衡方程 0)(,0sin =+'+-=∑f R
x a F p F
? 联立解之，得 )tan(f a P F ?+=
故有结论，顶起重物所需的力F 的大小为
)tan(f a P F ?+>
（2）求去除F 后能保证自锁的顶角a 去除F 后，B 块在重力P 的作用下，有下滑趋势，带动尖劈A 有向右滑动的趋势。考虑即将滑动的临界平衡状态，作为尖劈A 的受力图如图
6-7d 所示，根据二力平衡原理，此时的全约束力R F 必沿铅垂方向，从而得f a ?=。 故有结论，去除F 后能保证自锁的顶角
s f f a arctan =≤?
此题6-8 试用节点法计算如图6-8a 所示平面桁架各杆内力。
解;首先选取桁架整体为对象(见图6-8a ），求得支座约束力
KN F KN F kN F Br BY A 20,29,21===
显然，杆7为零杆，96F F =.由节点法，依次选取节点A 、C 、D 、B 为研究对象，即可求出所有杆件内力。
节点A ：受力图如图6-8b 所示，列平衡方程，解得杆1、杆2的内力
kN F kN F 21,7.2921=-=
节点C ：受力图如图6-8c 所示，列平衡方程，解得杆3、杆4的内力
kN F kN F 21,2143-==
节点D ：受力图如图6-8d 所示，列平衡方程，解得杆5、杆6（杆9）的内力
kN F F kN F 9,15965===
节点B ；受力图如图6-8e 所示，由平衡方程0=∑y F ，得杆8的内力
kN F 0.418-=
在上述计算结果中，正好代表杆件受拉，负号代表杆件受压。
习题6-9 平面桁架如图6-9a 所示，已知2m ，3吗，10。是用节点法计算各杆内力。
解：首先选取桁架整体为研究对象（见图6-9a ），求得支座约束力
KN F KN F kN F Er Ey A 10,25.11,75.8-===
可以判断，杆B B '、C B '、C C '与D D '为零杆;E D F CD BC AB C B B A F F F F F F D C ''''===='',,。故有节点法，依次选取节点A 、E 、D 为研究对象，即可求出所有杆件内力。
节点A ：受力图如图6-9b 所示，列平衡方程，解得杆AB B A ,'的内力
kN F kN F AB B A 67.11,58.14=-='
故得杆BC C B ,''和CD 的内力
KN F F F kN F F AB CD BC B A C B 67.11,58.14===-=='''
节点E ：受力图如图6-9b 所示，列平衡方程，解得杆DE E D ,'的内力
kN F kN F DE E D 25,75.18=-='
故得杆D C ''的内力
kN F F E D D C 75.18-=='''
节点D ：受力图如图6-9d 所示，由平衡方程0=∑y F ，得杆D C '的内力
kN F D C 0.24='
在上述结果中，正号代表杆件受拉，负号代表杆件受压。
习题6-10 平行桁架如图6-10a 所示已知m l kN F 3,3==。试用节点法计算各杆内力。 解：改梯无需求支座反力，可直接由节点法求出各杆内力。
显然，杆、为零件，依次选取节点E 、B 、D 为研究对象，即可求出所有杆的内力。 节点E;受力图如图610b 所示，列平衡方程，解得杆、的内力
kN F kN kN F DE BE 3,24.423=-=-=
节点B ：受力图如图6-10c 所示，列平衡方程，解得杆、的内力
kN F kN F BD AB 3,3=-=
节点D ：受力图如图6-10d 所示，列平衡方程，解得杆、的内力
kN F kN kN F DO AD 9,49.826=-=-=
在上述计算结果中，正号代表杆件受拉，负号代表杆件受压。
习题6-11 平面桁架如图6-11a 所示，试用截面法计算杆1、2、3的内力。
解：首先选取桁架整体为研究对象（见图6-11a ），求得支座约束力
kN F kN F A 5.87,5.620==
由此截面法，截取如图6-11所示部分桁架为研究对象，作出受力图，列平衡方程，解得
kN F kN F GH 125,5.871-==（压），kN F 0.532=(拉）
再由节点法，截取节点，H （见图6-11c ），得杆3的内力
kN F F GH 5.873-=-=(压）
习题6-12 平面桁架受力如图6-12a 所示，为等边三角形，且，试求的内力。
解：可以判断，杆为零。由截面法，截取如图6-12b 所示部分桁架为研究对象，作出受力图。设等边三角形的边长为a ，以点B 为矩心，列平衡方程
060,0)(=??--=∑ASIN F a F F M
CD B
解得杆的内力
F F F CD 866.02
3-=-=(压） 习题6-13 平行桁架如图6-13a 所示，已知F 、l ，试求杆l 的内力。
解：首先可以看出，杆6为零杆，由此推断杆5、杆2也是零杆。有截面法，截取如图6-13b 所示部分桁架为研究对象，作为受力图，由平衡方程,0=∑y F 得杆1的内力
F F 21=
习题6-14 平面桁架如图6-14a 所示，试求杆1、2、3的内力。
解：由截面法，首先截取如图6-14b 所示部分桁架为研究对象，做出受力图。由平衡方程,0=∑x F 可知杆3为零杆；由平衡方程0)(=∑F M D .得
F F 3
22-=（压） 再由节点法，截取节点C 为研究对象，作出受力图如图6-14c 所示。列平衡方程，解得杆1的内力
F F 9
41-=（压）
习题6-15 试用积分公式计算如图6-15所示匀质等厚薄板的重心坐标。
解：（a ）如图6-15a 所示，取微面积元
dy ky cy dA )(92-=
故等厚薄板面积
dy ky cy dA A b ??-==0
2)( 由点B 坐标可得2,b a k b a c ==，代入上式积分得ab A 6
1=。 根据式（6-9），的该匀质等厚薄板的重心坐标 a ab b a ab dy ky cy ky cy A xdA xc b O 526
115161)(2222==-+==?? b ab ab ab dy ky cy y A ydA yc b O 216
112161)(22==-==?? （b ）如图6-15b 所示，取微面积元
dx x a a
b ydx dA 22-=
= 故等厚薄板面积 ab dx x a a b dA A a o 2
222π=-==?? 根据式（6-9），得该匀质等厚薄板的重心坐标
b ab ab ab dx x a a b A dA y y
c a o πππ342322)(22
2222==-==??
另由对称性得
0=xc
习题6-16 试确定图6-16所示平面图形的形心位置。
解：如图6-16所示，该平面图形各分割成三角形（第1部分）和小圆（第2部分）两部分，但小圆是切去的，其面积应该取负值，既有
cm y cm x cm A 33.13,67.18,2801121===?
cm y cm x cm A 14,20,27.502222==-=?
根据式（6-8），得该平面图形的形心坐标
cm A
A y A y yc cm A A x A x xc 18.13,38.1822112211=?+?==?+?= 习题6-17 试确定图6-17所示平面图形的形心位置。
解：如图6-17a 所示，T 形截面关于y 轴对称，故形心坐标0=xc 。T 形截面可分割为两个矩形，从上往下依次有
mm
y mm A mm
y mm A 100,10000225,7500222121==?==?
根据式（6-8），得另一个形心坐标 mm A
A y A y yc 6.1532211=?+?= （b ）如图6-17b 所示，L 形截面可分割为两个矩形，从左向右依次有
mm
y mm x mm A mm
y mm x mm A 5,45,70060,5,120022221121===?===?
根据式（6-8），的形心坐标 ,7.192211mm A A x A x xc =?+?=mm A
A y A y yc 7.392211=?+?= 习题6-18 试确定图6-18所示，该截面图形可分割为矩形（第1部分）、三角形（第2部分）和半圆（第3部分）三个部分，但是半圆是切去的，其面积应取负值，既有
mm
y mm x mm A mm
y mm x mm A mm
y mm x mm A 0.73,60,3.251330,140,270045,60,10800332322221121==-=?===?===?
根据式(6-8),得形心坐标 mm A
A x A x A x xc 7.79332211=?+?+?= mm A A y A y A y yc 9.34332211=?+?+?= 习题6-19 试确定图6-19所示匀质折杆的重心位置。
解：如图6-19所示，折杆可分割为（第1部分）、（第2 部分）、（第3部分）、（第4部分）和（第5部分）五个部分，依次有
mm
z mm y mm x mm l z mm y mm x mm l z mm y x mm l z y mm x mm l z mm y mm x mm l 50,100,200,1000
,100,100,2000
,50,0,1000
,0,50,1000
,100,100,20055554444333322221111-====?====?====?==-==?=-=-==?
根据式(6-8），得匀质折杆的重心坐标 mm l
li xi xc 4.21=?=∑ mm l
li yi yc 4.21=?=∑ mm l li zi zc 1.7-=?=∑
习题6-20 试确定图6-20所示匀质混凝土基础的重心位置，图中尺寸单位为m 。
解：（a ）如图6-20a 所示，混凝土基础可分割为三个长方体，从右向左，从里向外依次有
m
z m y m x m v m
z m y m x m v m
z m y m x m v 25.0,1,5.4,175.0,1,2,1275.0,5.2,75.0,5.1333332223211131====?====?====?
根据式（6-8），得该匀质混凝土基础的重心坐标 m V
V x V x V x xc 511.0332211=?+?+?= m V
V y V y V y yc 41.1332211=?+?+?= m V
V z V z V z zc 717.0332211=?+?+?=
第六章 静力学专题 习题解答 习题6-1 如图6-1a 所示，一重P=980N 的物块放在倾斜角?=30θ的倾斜面上。已知接触面间的静摩擦因数2.0=s f 。N F 588=的力沿斜面推物体，试问物体在斜面上处于静止还滑动此时摩擦力为多大 解：假设物体静止，有沿斜面向上滑动趋势。据此，作出受力图如图6-1b 所示，静摩擦力S F 沿斜面向下。 选取图示坐标轴，列平衡方程，解得 N F N F N S 7.848,98== 由于 N N F f F F N s s S 7.1697.8482.0max =?==< 所以，假设成立，物体静止。此时的摩擦力N F S 98=。 】 习题6-2 如图6-2a 所示，已知某物块的质量kg m 300=，被力F 压在铅直墙面上，物块与墙面之间的静摩擦因数25.0=s f ，试求保持物体静止的力F 的大小。
解：（1）求保持物体静止的力F 的最大值 考虑物体处于即将向上滑动的临界平衡状态，受力图如图6-2b 所示。列出2个平衡方程和最大静摩擦力补充方程，解得 N F 13148max = 考虑物体处于即将绕点A 翻到的临界平衡状态，受力图如图6-2b 所示。由平衡方程0)(=∑F M A 得 N F 6574max = 所示，保持物块静止的力F 的最大值为 N F 6574max = （2）求保持物块静止的力F 的最小值 考虑物体处于即将向下滑动的临界平衡状态，受力图如图6-2c 所示。列出2个平衡方程和最大静摩擦力补充方程，解得 N F 4383min = )
考虑物体处于即将绕点B 翻倒的临界平衡状态，受力图如图6-2c 所示。由平衡方程0)(=∑F M B 得 N F 2191min = 所以，保持物块静止的力F 的最小值为 N F 4383min = 根据上述计算可知，保持物块静止的力F 的取值范围为 N F N 65744383≤≤ 当N F 4383<时，物块将向下滑动；当N F 6574>时，物块将绕点A 翻倒。 习题6-3 如图6-3a 所示，两根相同的匀质杆AB 和BC 在端点B 用光滑铰链连接，A 、C 端放在粗糙的水平面上。若当ABC 成等边三角形是，系统在铅直面内处于临界平衡状态，试求杆端与水平面间的静摩擦因数。 解：先选取整个系统为研究对象，作为受力图如图6-3b 所示，其中P 为杆的重力。由对称性可得 ， P F F CN AN == 再选取杆BC 为研究对象，作出受力图如图6-3c 所示。以点B 为矩心，列平衡方程
第六章 静力学专题 习题解答 习题6-1 如图6-1a 所示，一重980N 的物块放在倾斜角?=30θ的倾斜面上。已知接触面间的静摩擦因数2.0=s f 。N F 588=的力沿斜面推物体，试问物体在斜面上处于静止还滑动？此时摩擦力为多大？ 解：假设物体静止，有沿斜面向上滑动趋势。据此，作出受力图如图6-1b 所示，静摩擦力S F 沿斜面向下。 选取图示坐标轴，列平衡方程，解得 N F N F N S 7.848,98== 由于 N N F f F F N s s S 7.1697.8482.0max =?==< 所以，假设成立，物体静止。此时的摩擦力N F S 98=。 习题6-2 如图6-2a 所示，已知某物块的质量kg m 300=，被力F 压在铅直墙面上，物块与墙面之间的静摩擦因数25.0=s f ，试求保持物体静止的力F 的大小。 解：（1）求保持物体静止的力F 的最大值 考虑物体处于即将向上滑动的临界平衡状态，受力图如图6-2b 所示。列出2个平衡方程和最大静摩擦力补充方程，解得 N F 13148max = 考虑物体处于即将绕点A 翻到的临界平衡状态，受力图如图6-2b 所示。由平衡方程0)(=∑F M A 得 N F 6574max =
所示，保持物块静止的力F 的最大值为 N F 6574max = （2）求保持物块静止的力F 的最小值 考虑物体处于即将向下滑动的临界平衡状态，受力图如图6-2c 所示。列出2个平衡方程和最大静摩擦力补充方程，解得 N F 4383min = 考虑物体处于即将绕点B 翻倒的临界平衡状态，受力图如图6-2c 所示。由平衡方程0)(=∑F M B 得 N F 2191min = 所以，保持物块静止的力F 的最小值为 N F 4383min = 根据上述计算可知，保持物块静止的力F 的取值范围为 N F N 65744383≤≤ 当N F 4383<时，物块将向下滑动；当N F 6574>时，物块将绕点A 翻倒。 习题6-3 如图6-3a 所示，两根相同的匀质杆和在端点B 用光滑铰链连接，A 、C 端放在粗糙的水平面上。若当成等边三角形是，系统在铅直面内处于临界平衡状态，试求杆端与水平面间的静摩擦因数。
1-3 试画出图示各结构中构件AB的受力图 1-4 试画出两结构中构件ABCD的受力图
1-5 试画出图a和b所示刚体系整体各个构件的受力图 1-5a 1-5b
1- 8在四连杆机构的ABCD 的铰链B 和C 上分别作用有力F 1和F 2，机构在图示位置平衡。试求二力F 1和F 2之间的关系。 解：杆AB ，BC ，CD 为二力杆，受力方向分别沿着各杆端点连线的方向。 解法1(解析法) 假设各杆受压，分别选取销钉B 和C 为研究对象，受力如图所示： 由共点力系平衡方程，对B 点有： ∑=0x F 045cos 0 2=-BC F F 对C 点有： ∑=0x F 030cos 0 1=-F F BC 解以上二个方程可得：2 2163.13 62F F F ==
解法2(几何法) 分别选取销钉B 和C 为研究对象，根据汇交力系平衡条件，作用在B 和 C 点上的力构成封闭的力多边形，如图所示。 对B 点由几何关系可知：0245cos BC F F = 对C 点由几何关系可知： 0130cos F F BC = 解以上两式可得：2163.1F F = 2-3 在图示结构中，二曲杆重不计，曲杆AB 上作用有主动力偶M 。试求A 和C 点处的约束力。 解：BC 为二力杆(受力如图所示)，故曲杆AB 在B 点处受到约束力的方向沿BC 两点连线的方向。曲杆AB 受到主动力偶M 的作用，A 点和B 点处的约束力必须构成一个力偶才能使曲杆AB 保持平衡。AB 受力如图所示，由力偶系作用下刚体的平衡方程有（设力偶逆时针为正）： 0=∑M 0)45sin(100=-+??M a F A θ a M F A 354.0= 其中：31 tan =θ 。对BC 杆有：a M F F F A B C 354.0=== A ，C 两点约束力的方向如图所示。 2-4 F F
静力学(由高考到竞赛) 陕西师大附中 陈宏社 一、一般物体的平衡 1、共点力的平衡： 1>共点力：几个力如果作用在物体的同一个点，或者它们的作用线相交于同一个点，这几个力叫做共点力。 2>例题分析： 【例】如图所示，三个相同的支座上分别放着三个质量和直径都相等的光滑圆球α、b、c，支点P、Q在同一水平面上．α球的重心Oa位于球心，b球的重心Ob位于球心的正上方，C球的重心Oc位于球心的正下方．三个球都处于平衡状态．支点P对α球、b球、c球的弹力分别为Fa、Fb、Fc，则（A） A．Fa＝Fb＝Fc B．Fb＞Fa＞Fc C．Fb＜Fa＜Fc D．Fa＞Fb＝Fc 【例】重为G的均质杆一端放在粗糙的水平面上, 另一端系在一条水平绳上,杆与水平面成α角,如 力对物体的 作用可以改 合力对物体的平动有影响 合力矩对物体的转动有影响 )0 (= ∑外F ∑=)0 (M
图所示,已知水平绳中的张力大小F1,求地面对杆下端的作用力大小 和方向. 【 【例】如图所示，长为L 、粗细不均匀的横杆被两根轻绳水平悬挂， 绳子与水平方向的夹角在图上已标 示，求横杆的重心位置。 【例】重量为G 的一根均匀硬棒AB,杆A 端被绳吊起, 在杆的另一端B 作用一个水平的拉力F,把杆拉向右边, 使整个系统平衡后,棒与绳跟竖直方向夹角为?和?, 如图所示,求证tan 2tan θα= 【例】如图所示：一重为G 的绳子．它的两端挂 在同一高度的两个挂钩上，绳的两端与水平线的 夹角为θ，则绳的最低点处的张力为多大? 【例】如图所示，一个半球形的碗放在桌面上，碗口水平，O 是球心， 碗的内表面光滑．一根轻质杆的两端固定有两个小球，质量分别是 m 1、m 2，当它们静止时，m 1、m 2与球心的连线 跟水平面分别成60°30°角，则碗对两小球的
第4章 刚体静力学专题 4－1 塔式桁架如图所示，已知载荷F P 和尺寸d 、l 。试求杆1、2、3的受力。 解：截面法，受力如图（a ） d l = αtan ，2 2 cos d l d +=α 0=∑x F ，0cos 2P =-αF F P 2 22F d d l F += （拉） 0=∑A M ，02P 1=?-l F d F P 12F d l F =（拉） 0=∑y F ，0sin 231=++αF F F P 33F d l F -=（压） 4－2 图示构件AE 和EQ 铰接在一起做成一个广告牌。它承受给定的分布风载。试求解：（1）先将分布载荷合成于E 点 88894.2)7.7402963(8.47.740=?-+?=F N 由节点C ，显然 F CQ = 0 （1） （2）截面法，图（a ） 0=∑D M ，08.45 38.4=??+?-QG F F ，F QG = 14815 N （拉） （2） 0=∑B M ，F QD = 0 0=∑y F ，05 4=+?BC QG F F ，11852-=BC F N （压） （3） （3）截面法，图（b ） 0=∑E M ，08.04.2)7.7402963(2 12.14.27.7404.253=??--??-??-AB F 2963-=AB F N （压） （4） （4）节点B ，图（c ） 0=∑y F ， 054 54=--'BQ BC AB F F F ，05 411852296354=-+?-BQ F F BQ = 11852 N （拉） （5）
习题4-3图 习题4-4图 0=∑x F ，0)(53 =++'BE BQ AB F F F ，0)118522963(5 3=++-BE F ，5333-=BE F N （压） （6） 又 11852-==BC CD F F N （压） （7） 4－3 桁架的载荷和尺寸如图所示。试求杆BH 、CD 和GD 的受力。 解：（1）节点G ：0=∑y F ，0=GD F （2）节点C ：0=∑y F ，0=HC F （3）整体，图（a ） 0=∑B M ，0405601015R =?+?-E F 67.26R =E F kN （↑） （4）截面法，图（b ） 0=∑H M ，067.26106055=?+?--CD F 67.6-=CD F kN （压） 2 P 解：截面法，图（a ）：0=∑J M ，04P =?+?-d F d F FK ，4 P F FK =（拉） 0=∑y F ，4 P F F JO -=（压） 4－5 图示桁架所受的载荷F P 和尺寸d 均为已知。试求杆1、2、3受力。
静力学平衡 1、一根大弹簧内套一根小弹簧，小弹簧比大弹簧长0.2m，它们的一端平齐并 固定，另一端自由，如图1所示，当压缩此组合弹簧时，测得力与压缩距离之 间的关系如图2所示。求这两根弹簧的劲度系数k1和k2。（不 计弹簧质量） 2、如图所示，四个完全相同的弹簧都处于 水平位置，它们的右端受到大小皆为F的拉 力作用，而左端的情况各不相同：甲弹簧的 左端固定在墙上；乙弹簧的左端受大小也为 F的拉力作用；丙弹 簧的左端拴一小物块，物块在光滑的桌面上滑 动；丁弹簧的左端拴一小物块， 物块在有摩擦的桌面上滑动。若认为弹簧的质量都为零，以L］、L2、L3、L4依次表示四个弹簧的伸长量，则有（） A、L2> L1 B、L4> L3 C、L1> L3 D、L2=L4 3、如图所 示， 的质量为M的粗糙斜面匀速下 滑， 无摩擦力 有水平向左的摩擦力支持力为 （M+m）g 支持力小于（M+m ）g 图中OA为一遵从胡克定律的弹性绳，其一端固定 于天花板上的O点，另一端与静止的动摩擦因数恒定的水平地 面 上 的 滑 块 连，当绳处在竖直位置时，滑块A对地面有压力作用， 平小钉，它到天花板的距离BO等于弹性绳的自然长度。A, A、 B、 C、 D、条件不足，无法判断 5、如图所示，水平细杆上套一环A,环A与球B间用一轻质绳 相连，质量分别为m A、m B，由于B球受到风力作用，A与B 球一起向右匀速运动.已知细绳与竖直方向的夹角为0则下列说法中正确的是（）A、风力增大时，轻质绳对B球的拉力保持不变 D、A球与水平细杆间的动摩擦因数为m B tan ' （m^ m B） 6、如图，半径为R,圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套 在大圆环上，一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系在质量为m的重物， 忽略小圆环的大小。 （1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧 0=30 °的位置上。在两个 小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M= —m的重 物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重 物M下降的最大距离。 （2）若不挂重物M小圆环可以在大圆环上自由转动，且 绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态？ 7、如图所示，测力计由支架和固定在支架上的均匀弹簧 组成，弹簧质量为支架质量的1/3。测力计的一只钩子与 支架相连，另一只钩子与弹簧自由端相连。两个这样的测力计“串联”一两只钩子挂在 质量为m的物体在沿斜面向上的拉力F作用下沿放在水平地面上 A 、 B 、 C 、 A相 B为紧挨绳的一光滑水 现用一水平力F作用于 使之向右做直线运动，在运动过程中，作用于逐渐增大 逐渐减小 保持不变 A的摩擦力（） B、B球受到的风力F为m B gtan 0 C、杆对A球的支持力随着风力的增加而增加 凤一 IIL 0. 2a F/N 0. 1 0. 2 0. 3 X/m O 图9 B A-
静力平衡练习 1. 重为G 、半径为R 的实心球，放在竖直墙和板AB 之间，板AB 可绕A 端自由转动，其B 端用水平绳BC 拉住。如图。若已知AB 板长为L ，板与墙面间夹角为θ，且板的重量可以忽略不计。求 （1）绳的拉力为多大？ （2）θ解为何值时，绳的拉力最小？ 2. 有一轻质木板AB 长为L ，A 端用铰链固定在竖直墙上，另一端用水平轻绳B 拉住，板上依次放着A 、B 、C 三个圆柱体，半径均为r ，重均为G ，木板与墙的夹角为θ，如图所示，不计一切摩擦，求BC 绳上的张力。 3.如图所示，原长L O 为100厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内，弹簧的一端固定在槽的O 端，另一端连接一小球。这一装置可从水平位置开始绕O 点缓缓地转到竖直位置。设弹簧的形变总是在其弹性限度内。试在下述（a ）、（b ）两种情况下，分别求出这种装置从原来的水平位置开始缓缓地绕O 点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度h O 。 （a ）在转动过程中，发现小球距原水平面的高度变化出现极大值，且极大值h m 为40厘米。 （b ）在转动过程中，发现小球离原水平的高度不断增大。 A B C
4．有六个完全相同的刚性长条薄片A i B i （i=1，…，6）其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重量均可以不计。现将此六个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起B i 恰在碗口上，另一端小突起A i 位于其下方薄片的正中，由正下方俯视如图6-4所示。若将一质量为m 的质点放在薄片A 6B 6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A 6的距离，求薄片A 6B 6中点所受的（由另一薄片的小突起A 1所施的）压力。 5. 半径为r ，质量为m 的三个相同的球放在水平桌面上，两两互相接触，用一个高为1.5r 的圆柱形圆筒（上下均无底）将此三球套在筒内，圆筒的内半径取适当值，使得各球间以及球与筒壁之间均保持无形变接触，现取一质量亦为m ，半径为R 的第四个球，放在三球的上方正中，设四个球的表面，圆筒的内壁表面均由相同物质构成，其相互间的最大静摩擦系数为15/3=μ（约等于0.775），问R 取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆筒即能将四个球一起提起来？ 1
第四章静力学应用专题 一、物体系统的平衡 由两个或两个以上的物体所组成的系统，称为物体系统（或称为刚体系统）。为了解决物体系统的平衡问题，必须了解这类问题的特点。 刚体系统平衡问题的特点是：在刚体系统中，一方面刚体数目不止一个，另一方面约束（或联接）方式和受力情况都比较复杂。因此，在很多情形下，只考虑整个系统或某个局部系统，或只考虑某个刚体的平衡都不能解出全部未知力。但是，由于所讨论的刚体系统是平衡的，组成这一系统的每个分系统以至系统中的每个刚体也必然是平衡的。因此，只要正确理解整体平衡与局部平衡的概念，全面地考虑整体平衡和局部平衡，就可以解出全部未知力。 １．基本概念 （1）外力 系统外任何物体作用于该系统的力称为这个系统的外力。 （2）内力 系统内部各物体间相互作用的力称为内力。内力总是成对地作用于同一系统上，故当取系统为研究对象时，可不必考虑这些内力。 （3）静定系统 系统中所有未知量的总数小于或等于系统独立的平衡方程总数时，称这系统为静定系统。这类系统仅应用刚体的静力平衡条件，就可以得到全部未知量的解。 （4）静不定系统 系统中所有未知量的总数大于系统独立的平衡方程总数时，称这系统为静不定系统或超静定系统。这类问题仅应用刚体的静力平衡条件，不能得到全部未知量的解。 2．物体系统的平衡问题 常见的物体系统的平衡问题有三类，即:（1）构架；（2）多跨静定梁；（3）三铰拱。这三类问题都有其相应的求解特点，在求解过程中能总结归纳。在求解
这三类问题时通常要注意以下情况，如固定端约束、铰上受力、分布荷载计算、二力构件等。 二、平面简单桁架的内力计算 桁架是由一些直杆彼此在两端用铰链连接而成的几何形状不变的结构。桁架的特点：桁架中的每个杆件均为二力构件或二力杆。 平面简单桁架内力的求解方法有两种：节点法和截面法。 1、节点法 假想将某节点周围的杆件割断，取该节点为考察对象，建立其平衡方程，以求解杆件内力的一种方法。其主要计算步骤和注意点有： （1）逐个考虑各节点的平衡，画出它们的受力图。 （2）应用平面汇交力系的平衡方程，根据已知力求出各杆的未知内力。 （3）在受力图中，一般均假设杆的内力为拉力，如果所得结果为负值，即表示该杆受压。 2、截面法 用适当的截面将桁架截开，取其中一部分为研究对象，建立平衡方程，求解被切断杆件内力的一种方法。 （1）被截开杆件的内力成为该研究对象外力，可应用平面任意力系的平衡条件，求出这些被截开杆件的内力。 （2）由于平面一般力系只有3个独立平衡方程，所以一般说来，被截杆件应不超出3个。 3、零杆及零杆判别 零杆：桁架中某些不受力的杆件。根据图4-1所示三种情况可判别零杆。 图4-1