2015-2016学年第一学期立体几何测试
高二理科数学
参考公式：
圆柱的表面积公式：rl r S ππ222
+=，圆锥的表面积公式：rl r S ππ+=2
台体的体积公式h S S S S V )(3
1''
++=
，球的表面积公式：24r S π= 圆台的表面积公式Rl rl R r S π+π+π+π=2
2，球的体积公式：33
4r V π=
一、选择题（每小题5分，共60分） 1．下列四个几何体中，是棱台的为( )
2．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是( )
3．给出下列命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；
③若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．空间几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积为()
A．96 B．136 C．152 D．192
5．若棱长为1的正方体的各棱都与一球面相切，则该球的体积为()
A.3π
2B.
2π
3C.
2π
12D.
π
6
6．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是() A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n?α
C．m∥n，n⊥β，m?αD．m∥n，m⊥α，n⊥β
7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为() A．10π＋96 B．9π＋96 C．8π＋96 D．9π＋80
8．m,n是空间两条不同直线,α,β是空间两个不同平面,下面有四种说法: 其中正确说法的个数为( )
①m⊥α,n∥β,α∥β?m⊥n; ②m⊥n,α∥β,m⊥α?n∥β;
③m⊥n,α∥β,m∥α?n⊥β; ④m⊥α,m∥n,α∥β?n⊥β.
A.1
B.2
C.3
D.4
9、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
3560.
A
3580
.
B 200.
C 240.D
10．如图,网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A.1727
B.59
C.1027
D.13
11．如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
A .62
B .42
C .6
D .4
12.已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ?是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =,则此棱锥的体积为（ ） A.
26 B.36 C.23 D.2
2
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．某一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积
为________．
14.正四棱台的上底为边长为2的正方形，下底为边长为4的正方形，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长为3，则此四棱台的体积为，
15. 己知棱长为2，各面均为等边三角形的四面体S-ABC的四个顶点都在一个球面上，则该四面体的表面积为__________,该球的体积为___________
AH HB=,AB⊥平面α,H为垂足,α截16．已知H是球O的直径AB上一点,:1:2
球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为______。
三、解答题(17题10分，其余各题12分，共70分)
17．已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．求： (1)该几何体的体积V ； (2)该几何体的侧面积S ．
18、如图3，AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，
PA ⊥平面ABC ．
（1）求证：BC ⊥平面PAC
（2）若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB 上任意一点，求证：平面AEF ⊥平面PBC ．
19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点。 （1）求证：1//A C 平面BDE 。
（2）求直线1A C 与平面D D AA 11所成角余弦值。
N
M
A
B
D
C
O
20．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长为1的菱形，0
45=∠ABC ,
OA ABCD ⊥底面,2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点。
（1）证明：直线MN OCD
平面‖；
（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；
21. 如图，正方形ABCD 所在平面与三角形CDE 所在平面相交于CD ，AE ⊥平面CDE ，且
3AE =，6AB =．
（1）求证：AB ⊥平面ADE ； （2）求凸多面体ABCDE 的体积．
22．如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，PO 垂直于圆O 所在的平面，且1PO =OB =．
（Ⅰ）若D 为线段AC 的中点，求证：C A ⊥平面D P O ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -体积的最大值； （Ⅲ）若2BC =
，点E 在线段PB 上，
求CE OE +的最小值．
A
B
C
D E
参考答案
1-5:CCBCB 2-10:CCBCC 11-12:CA
10
．
.
.27
10
π54π34-π54π.342π944.2342π.
546π96321C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体体积，高为径为，右半部为大圆柱，半，高为小圆柱，半径加工后的零件，左半部体积，，高加工前的零件半径为==
∴=?+?=∴=?=∴π 11.
12. 【解析】ABC ?的外接圆的半径3
3
r =
,点O 到面ABC 的距离2263
d R r =
-=
. SC 为球O 的直径?点S 到面ABC 的距离为26
2d =
此棱锥的体积为113262233ABC V S d ?=
?=??= 另:13
23ABC V S R ?<
?=排除,,B C D 13. 8－2π
3
14.7328
15. 34 ,π6 16.
17．由已知该几何体是一个四棱锥P －ABCD ，如图所示． 由已知，AB ＝8，BC ＝6，高h ＝4，
由俯视图知底面ABCD 是矩形，连接AC 、BD 交于点O ，连接PO ，则PO ＝4，即为棱锥的高．作OM ⊥AB 于M ，ON ⊥BC 于N ，连接PM 、PN ，则PM ⊥AB ，PN ⊥BC ． ∴PM ＝PO 2＋OM 2＝42＋32＝5， PN ＝PO 2＋ON 2＝42＋42＝42．
(1)V ＝13Sh ＝1
3
×(8×6)×4＝64．
(2)S 侧＝2S △P AB ＋2S △PBC ＝AB ·PM ＋BC ·PN ＝8×5＋6×42＝40＋242．
18、证：(1)∵PA ⊥平面ABC ．BC ?平面ABC
∴BC ⊥PA
∵AB 是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点 ∴ＢＣ⊥ＡＣ
又PA ?ＡＣ＝Ａ,ＰＡ?平面PAC,ＡＣ?平面PAC
∴BC ⊥平面PAC
(2) 由（1）知BC ⊥平面PAC ,又AE ?平面PAC
∴AE ⊥ BC 又∵AE ⊥PC
BC ?PC=C,BC ?平面PBC ．PC ?平面PBC ．∴平面AEF ⊥平面PBC ． 19.证：(1)连接AC 交BD 于O,连接EO ∵AC 与BC 是正方形ABCD 的对角线 ∴点O 的AC 的中点,又E 的1AA 的中点， ∴OE //C A 1
又OE ?平面BDE ,C A 1?平面BDE
∴1//A C 平面BDE 。 (2)连接D A 1
∵CD ⊥平面11A ADD ,
∴D A 1是C A 1在平面11A ADD 的射影
∴D CA 1∠是直线D A 1与平面11A ADD 所成的角，
设正方体1111ABCD A B C D -的边长为a
在直角三角形D CA 1中，D A 1=a 2 ,C A 1=a 3,cos D CA 1∠=C A D A 11=36
32=a
a .. 20． (1)取OD 中点E ，连接ME ，CE 。
因为M 为OA 中点，
所以ME 是三角形OAD 的中位线
所以AD
ME
2
1//=
因为底面ABCD 是菱形，N 为BC 中点，
所以
AD
BN
2
1//=
所以ME
BN =//
所以四边形MNCE 是平行四边形
所以MN//CE
又因为OCD MN 面?，OCD CE 面?
所以OCD MN 面//。
(2)连接MC ，AC 因为AB//CD 所以CDM ∠为所求角或其补角。
在三角形ABC 中，
2
22
2
*
2112-=-+=AC ， 232-=MC ，22=MD ，12=CD ，
所以
21
1
*2*22312cos =
+-+=
∠CDM ， 所以060=∠CDM ,所以所求角为060
21. 证明：（1）∵AE ⊥平面CDE ，CD ?平面CDE ，∴AE ⊥CD ．
在正方形ABCD 中，CD AD ⊥，∵AD
AE A =，∴CD ⊥平面ADE ．
∵AB CD ，∴AB ⊥平面ADE ．
（2）解法1：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =，
∴DE =．
过点E 作EF AD ⊥于点F ，
∵AB ⊥平面ADE ，EF ?平面ADE ， ∴EF AB ⊥． ∵AD AB A =，
∴EF ⊥平面ABCD ． ∵AD EF AE DE ?=?，
∴AE DE EF AD ?=== 又正方形ABCD 的面积36ABCD S =， ∴1
3
ABCDE E ABCD ABCD V V S EF -==
?
13632=??
= 故所求凸多面体ABCDE
的体积为
解法2：在Rt △ADE 中，3AE =，6AD =
，∴DE =．
连接BD ，则凸多面体ABCDE 分割为三棱锥B CDE -和三棱锥B ADE -． 由（1）知，CD ⊥DE
．∴11
622
CDE S CD DE ?=??=??= 又AB CD ，AB ?平面CDE ，CD ?平面
CDE ，
∴AB
平面CDE ．
∴点B 到平面CDE 的距离为AE 的长度． ∴11
333
B CDE
CDE V S AE -?=?=?= ∵AB ⊥平面ADE ，∴116332
B ADE ADE V S AB -?=
?=?=． ∴ABCDE B CDE B ADE V V V --=+== 故所求凸多面体ABCDE 的体积为 22．（15年福建文科）
A B
C
D
E
F
A
B
C D
E
分析：（Ⅰ）要证明C A ⊥平面D P O ，只需证明AC 垂直于面D P O 内的两条相交直线．首先由PO 垂直于圆O 所在的平面，可证明C PO ⊥A ；又C OA =O ，D 为C A 的中点，可证明C D A ⊥O ，进而证明结论；（Ⅱ）三棱锥P ABC -中，高1PO =，要使得P ABC -体积最大，则底面ABC 面积最大，又2AB =是定值，故当AB 边上的高最大，此时高为半径，进而求三棱锥P ABC -体积；（Ⅲ）将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，此时线段'
OC 的长度即为CE OE +的最小值． 证明：（I ）在C ?AO 中，因为C OA =O ，D 为C A 的中点， 所以C D A ⊥O ．
又PO 垂直于圆O 所在的平面，且ABC AC 面?， 所以C PO ⊥A ． 因为D O
PO =O ，PDO DO ，O，面?
所以C A ⊥平面D P O ． （II ）因为点C 在圆O 上，
所以当C O ⊥AB 时，C 到AB 的距离最大，且最大值为1． 又2AB =，所以C ?AB 面积的最大值为1
2112??=． 又因为三棱锥C P -AB 的高1PO =， 故三棱锥C P -AB 体积的最大值为11113
3
??=
． （III ）在?POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，
所以22
112PB =+=
．
同理C 2P =，所以C C PB =P =B ．
在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 又因为OP =OB ，C C ''P =B ，所以C 'O 垂直平分PB ，
即E 为PB 中点．从而C C ''O =OE +E =
=，
亦即C E +OE 的最小值为
2
． 解法二：（I ）、（II ）同解法一．
（III ）在?POB 中，1PO =OB =，90∠POB =，
所以45∠OPB =，PB ==
．同理C P =
所以C C PB =P =B ，所以C 60∠PB =．
在三棱锥C P -AB 中，将侧面C B P 绕PB 旋转至平面C 'B P ，使之与平面ABP 共面，如图所示．
当O ，E ，C '共线时，C E +OE 取得最小值． 所以在C '?O P 中，由余弦定理得：
()
2C 1221cos 4560'O =+-?+
112222
2=+--??
2=
从而C 2
'O =
=
．
所以C E +OE 的最小值为2
．